Bài giảng môn Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận-Định thức

Nội dung text: Bài giảng môn Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận-Định thức

1. C1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1 Ma trận 2 Định thức 3 Ma trận nghịch đảo 4 Hạng của ma trận 1
2. 1. MA TRẬN 1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1.1. Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có m hàng và n cột gọi là ma trận cấp m x n a11 a12 a1n a a a A 21 22 2n am1 am2 amn • aij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j. • A = [aij]m x n = (aij)m x n 2
3. 1. MA TRẬN 1.1.2. Ma trận vuông: Ma trận vuông: Khi m = n a11 a12 a1n a a a A 21 22 2n an1 an2 ann • a11,a22, ann được gọi là các phần tử chéo. • Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là đường chéo chính. 3
4. 1. MA TRẬN Ma trận tam giác trên: aij = 0 nếu i > j a11 a12 a1n 0 a a A 22 2n 0 0 ann Ma trận tam giác dưới: aij = 0 nếu i < j a11 0 0 a a 0 A 21 22 an1 an2 ann 4
5. 1. MA TRẬN Ma trận chéo: aij = 0 nếu i ≠ j a11 0 0 0 a 0 A 22 0 0 ann Ma trận đơn vị: I = [aij]n x n với aij=1,i=j; aij = 0, i≠j 1 0 0 0 1 0 I 0 0 1 5
6. 1. MA TRẬN 1.1.3. Vectơ hàng(cột): Ma trận chỉ có một hàng(cột) 0 0 0 0 0 0 1.1.4. Ma trận không: mxn 0 0 0 1.1.4. Ma trận bằng nhau: A=B 1) A=[aij]m x n; B=[bij]m x n 2) aij = bij với mọi i,j 1 3 Ví dụ, tìm X sao cho: X 2 9 6
7. 1. MA TRẬN T 1.1.5. Ma trận chuyển vị: A=[aij]m x n => A =[aji]n x m 1 4 7 3 9 6 Ví dụ: tìm AT: A 4 2 2 9 1 4 1.1.6. Ma trận đối xứng: A=AT 1 3 5 7 3 2 1 4 Ví dụ: A 5 1 3 6 7 4 6 4 7
8. 1. MA TRẬN 1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN: 1.2.1. Phép cộng hai ma trận 1. Định nghĩa: A=[aij]mxn; B=[bij]mxn => A+B =[aij+bij]mxn 2 1 4 4 9 3 Ví dụ, tìm X: X 2 3 0 1 3 5 2. Tính chất: • A + B = B + A • (A + B) + C = A + (B + C) •  + A = A • Nếu gọi -A = [-aij]m x n thì ta có -A + A =  8
9. 1. MA TRẬN 1.2.2. Phép nhân một số với ma trận: 1. Định nghĩa: cho A=[aij]m x n, k R => kA=[kaij]m x n 2 4 1 A Tính 3A? 3 5 8 2. Tính chất: cho k, h R: • k(A + B) = kA + kB • (k + h)A = kA + hA 9
10. 1. MA TRẬN 1.2.3. Phép nhân hai ma trận: 1. Định nghĩa :A=[aik]m x p; B=[bkj]p x n=>C=AB=[cij]m x n: p cij ai1b1j ai2b2j aipbpj  aikbkj k 1 Thuật toán: Hàng i ma trận A x Cột j ma trận B 10
11. 1. MA TRẬN 1 2 3 1 2 1 1 Ví dụ: Tính: 2 1 1 0 3 2 1 3 0 2 1 2. Một số tính chất: • (A.B).C = A.(B.C) • A(B+C) = AB + AC • (B+C)A = BA + CA • k(BC) = (kB)C = B(kC) • Phép nhân nói chung không có tính giao hoán • A=[aij]n x n => I.A = A.I = A 11
12. 1. MA TRẬN 1.3. VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm lượng hàng bán trong hai tháng. Tháng 1 A B C D Tháng 2 A B C D CH1 10 2 40 15 CH1 12 4 20 10 CH2 4 1 35 20 CH2 10 3 15 15 12
13. 1. MA TRẬN Ví dụ 2: Hãy tính nhu cầu vật tư cho từng phân xưởng theo kế hoạch sản xuất cho bởi 2 bảng số liệu sau: Phân Sản phẩm Sản Vật liệu xưởng A B C phẩm VL1 VL2 VL3 VL4 VL5 PX1 10 0 5 A 1 2 0 2 0 PX2 0 8 4 B 0 1 1 2 0 PX3 0 2 10 C 0 0 2 1 3 13
14. 2. ĐỊNH THỨC 2.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA: A là ma trận vuông cấp 1: A= [a11] thì det(A) = |A| = a11 A là ma trận vuông cấp 2: a11 a12 A a21 a22 thì det(A) = a11a22 – a12a21 14
15. 2. ĐỊNH THỨC • A là ma trận vuông cấp n: a11 a12 a1n a a a A 21 22 2n an1 an2 ann • Aij là ma trận con cấp n-1 nhận được từ A bằng cách xoá hàng i cột j. Aij: ma trận con bù của aij i+j • cij = (-1) det(Aij) là phần bù đại số của aij • C = (cij): Ma trận phần bù đại số của A 15
16. 2. ĐỊNH THỨC • Định thức cấp n của A là: det(A) = a11c11 + a12c12 + + a1nc1n n n 1 j det( A)  a1jc1j  ( 1) a1j det( A1j) j 1 j 1 Ví dụ: Sử dụng định nghĩa hãy tính định thức: 2 4 3 A 1 2 3 3 1 5 16
17. 2. ĐỊNH THỨC 2.2. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC: • Tính chất 1:AT=A Hệ quả: Một phát biểu của định thức đúng theo hàng thì đúng theo cột. • Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (cột) định thức đổi dấu. Hệ quả: Định thức triển khai theo bất kỳ hàng nào. 1 0 1 2 Ví dụ: tính: 0 0 1 4 5 1 9 15 0 0 2 1 17
18. 2. ĐỊNH THỨC • Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (cột) bằng nhau thì bằng không. • Tính chất 4: Một định thức có một hàng (cột) toàn là số không thì bằng không. • Tính chất 5: Nhân các phần tử của một hàng (cột) với cùng một số k (k 0) thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k. Hệ quả: Ta có thể đưa thừa số chung của một hàng (cột) ra ngoài định thức. 18
19. 2. ĐỊNH THỨC • Tính chất 9: Cộng k lần hàng r vào hàng s thì định thức không đổi. 2 1 3 Tính 4 5 7 6 1 5 • Tính chất 10: Định thức ma trận tam giác bằng tích các phần tử chéo. A a11a22 ann a11 a12 a1n a11 0 0 0 a a a a 0 A 22 2n A 21 22 0 0 ann an1 am2 ann 19
20. 2. ĐỊNH THỨC 2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC: • Phương pháp 1: Dùng định nghĩa. • Phương pháp 2: Sử dụng các biến đổi sơ cấp biến đổi ma trận về dạng tam giác. Phép biến đổi Tác dụng TC Đổi chỗ hai hàng Định thức đổi dấu 2 Nhân một hàng với số thực k 0 Định thức nhân k 5 Cộng k lần hàng r vào hàng s Định thức không đổi 9 • Phương pháp 3: Kết hợp hai phương pháp trên và một số tính chất của định thức 20
21. 2. ĐỊNH THỨC Ví dụ: Tính định thức: 4 1 10 2 1 1 3 1 2 3 3 3 3 0 2 1 21
22. 2. ĐỊNH THỨC Ví dụ: Tính định thức: a a a a a a a a a A 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 22
23. 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.1. Ma trận không suy biến: nếu det(A) ≠ 0. 3.2. Ma trận nghịch đảo: Cho A cấp n, nếu tồn tại B thoả: AB = BA = I thì: • B gọi là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu: B = A-1 • A gọi là ma trận khả nghịch. 3.3. Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo: Định lý: Nếu A khả nghịch thì A-1 là duy nhất. 23
24. 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.4. Sự tồn tại và biểu thức ma trận nghịch đảo: Định lý: A khả nghịch det(A)≠0 và c11 c21 cn1 1 1 c c c A 1 CT 12 22 n2 A A c1n c2n cnn • CT: ma trận chuyển vị của ma trận phần bù đại số 3 1 1 Ví dụ, tìm ma trận nghịch đảo: A 2 1 2 1 2 1 24
25. 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 3.6. Phương pháp Gauss - Jordan: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp chuyển: [A│I] = [I│A-1] Phép biến đổi 1. Đổi chỗ hai hàng 2. Nhân một hàng với một số thực k 0 3. Cộng k lần hàng r vào hàng s 1 2 3 4 3 4 5 6 Ví dụ: tìm ma trận nghịch đảo: A 1 3 3 4 1 2 3 5 25
26. 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.1. Ma trận con: • Ma trận vuông cấp p suy ra từ Amxn bằng cách bỏ đi m-p hàng và n-p cột gọi là ma trận con cấp p của A. • Định thức của ma trận con đó gọi là định thức con cấp p của A. • p min(m,n) Ví dụ: Tìm các ma trận con A 1 3 4 2 1 3 A B 2 1 1 4 4 2 1 2 1 2 26
27. 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.2. Hạng của ma trận: • Định nghĩa: Hạng của ma trận Amxn là cấp cao nhất của định thức con khác không của A. Nếu r là hạng của ma trận thì: • Trong A tồn tại một định con cấp r khác 0. • r = min(m,n) hoặc mọi định thức con của A cấp lớn hơn r đều bằng 0. • Ký hiệu: r(A) = r 1 3 4 2 Ví dụ: Tìm hạng A A 2 1 1 4 1 2 1 2 27
28. 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.3. Ma trận bậc thang: 4.3.1. Định nghĩa: • Một dòng của ma trận được gọi là dòng 0 nếu nó chỉ gồm những phần tử 0. • Ngược lại, nếu một dòng của ma trận có ít nhất một phần tử khác 0 thì được gọi là dòng khác 0. • Phần tử khác 0 đầu tiên của một dòng được gọi là phần tử chính của dòng đó. 28
29. 4 HẠNG CỦA MA TRẬN Ma trận A được gọi là ma trận bậc thang khi thoả các điều kiện sau: • A không có dòng 0 hoặc dòng 0 luôn ở dưới các dòng khác 0. • Nếu A có ít nhất 2 dòng khác 0 thì đối với 2 dòng khác 0 tuỳ ý của A, phần tử chính của dòng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử chính của dòng trên. 1 2 3 4 2 3 4 1 2 0 0 1 2 0 2 4 0 A B C 2 1 0 D 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 29
30. 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 4.3.2. Định lý về hạng của ma trận: Sau hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận thì hạng không thay đổi. Hệ quả: Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của ma trận bậc thang thu được sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp. 1 3 1 1 1 3 6 2 1 5 Ví dụ: Tìm hạng của ma trận: A 2 4 2 2 2 2 3 1 0 4 30