Bài giảng môn Toán cao cấp 2

91 trang phuongnguyen 2650

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn Toán cao cấp 2", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_mon_toan_cao_cap_2.pdf

Nội dung text: Bài giảng môn Toán cao cấp 2

TRƯỜNG Khoa . [\ [\ Bài giảng Toán cao cấp A2
BÀI GIẢNG MÔN TOÁN CAO CẤP 2 Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Tháng 12 năm 2009
Mục lục 1 Hàm số nhiều biến số 2 1.1 Hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Tập hợp trong Rn. 2 1.1.2 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Giới hạn và liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Đạo hàm riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Vi phân toàn phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Áp dụng vi phân toàn phần vào tính gần đúng và đánh giá sai số. . 8 1.2.5 Đạo hàm của hàm số hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Cực trị của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Điều kiện cần của cực trị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Điều kiện đủ của cực trị hàm hai biến. . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Tích phân kép 13 2.1 Bài toán tính thể tích vật thể hình trụ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Định nghĩa tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Các tính chất của tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Cách tính tích phân kép trong toạ độ Đề-Các . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6 Ứng dụng hình học của tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6.1 Thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6.2 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 i
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 3 Tích phân đường 31 3.1 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường: Công của một lực biến đổi . 31 3.2 Định nghĩa tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Cách tính tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân . . . . 38 3.6 Ứng dụng của tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6.1 Công của một lực biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6.2 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.7 BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Lý thuyết chuỗi 45 4.1 Đại cương về chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.2 Tiêu chuẩn Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1.3 Tính chất của chuỗi số hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.2 Các định lý so sánh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2.3 Các quy tắc khảo sát sự hội tụ của chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . 49 4.3 Chuỗi số có số hạng với dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3.1 Hội tụ tuyệt đối. Bán hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3.2 Chuỗi số đan dấu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3.3 Các tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối. . . . . . . . . . . . . . 51 4.4 Chuỗi hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.4.1 Hội tụ và hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.4.2 Tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4.3 Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.5.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.5.2 Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . 56 4.5.3 Tính chất của chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.5.4 Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . 59 4.5.5 Khai triển một số hàm số sơ cấp thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . 60 4.5.6 Công thức Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5.7 Ứng dụng chuỗi lũy thừa để tính gần đúng . . . . . . . . . . . . . . 62 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng ii
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 4.6 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.6.1 Chuỗi lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6.2 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6.3 Điều kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier . . . . 65 4.6.4 Khai triển một hàm số bất kỳ thành chuỗi Fourier . . . . . . . . . . 69 4.6.5 Dạng phức của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5 Phương trình vi phân 73 5.1 Đại cương về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.1 Định nhĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.2 Ý nghĩa cơ học và vật lý của phương trình vi phân. . . . . . . . . . 74 5.1.3 Cấp của phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.1.4 Nghiệm của phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1.5 Phương trình vi phân cấp một. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.2 Cách giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.3 Một số phương trình vi phân phi tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3.1 Phương trình biến số phân ly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3.2 Phương trình đẳng cấp (hay phương trình thuần nhất). . . . . . . . 79 5.3.3 Phương trình Becnuly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.3.4 Phương trình vi phân toàn phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 1
Chương 1 Hàm số nhiều biến số Mục đích yêu cầu - Trong chương trình bày những khái niệm cơ bản và kết quả cơ bản về phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số; định nghĩa hàm số nhiều biến số, miền xác định, cách biểu diễn hình học, giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến số, đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, đạo hàm cấp cao, đạo hàm theo hướng, cực trị của hàm số nhiều biến số và một số ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học. - Sinh viên cần hiểu rõ các khái niệm trên, nắm vững các kết quả trên, hiểu được ý nghĩa của đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, cần lưu ý đến sự khác biệt giữa hàm số một biến và hàm số nhiều biến số. 1.1 Hàm số nhiều biến số 1.1.1 Tập hợp trong Rn. n - Giả sử M (x1, x2, , xn) ,N (y1, y2, , yn) là hai điểm trong R . Khoảng cách giữa hai điểm ký hiệu là d(M, N) được cho bởi công thức: v u n uX 2 d (M, N) = t (xi − yi) i=1 Với ba điểm A, B, C bất kỳ trong Rn ta luôn có d (A, C) ≤ d (A, B) + d (B, C) n n - Cho M0 ∈ R . Người ta gọi ε - lân cận của M0 là tập hợp những điểm M ∈ R sao cho d (M, M0) < ε. Lân cận của M0 là mọi tập hợp chứa một ε - lân cận nào đó của M0. - Điểm M ∈ E ⊂ Rn được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một ε - lân cận nào đó của M nằm hoàn toàn trong E. Tập E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong. - Điểm N ∈ Rn được gọi là điểm biên của tập hợp E nếu mọi ε - lân cận của N đều
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 vừa chứa những điểm thuộc E, vừa chứa những điểm không thuộc E. Điểm biên của tập hợp E có thể thuộc E có thể không thuộc E. Tập hợp những điểm biên của E được gọi là biên của nó. - Tập E được gọi là tập đóng nếu nó chữa mọi điểm biên của nó (tức là biên của E là một bộ phận của E). - Tập hợp E gồm những điểm M sao cho d (M0,M) 0 ⇔ x + y 6 a Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 3
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Miền chứa điểm (x, y) thỏa mãn điều kiện trên cũng được gọi là miền xác định của hàm, ở đây là miền hình tròn tâm O, bán kính a (kể cả đường biên). Hàm (1.1) có hình ảnh hình học là nửa mặt cầu tâm O bán kính a nằm phía trên mặt phẳng xOy. Thí dụ 2. Hàm hai biến f : R2 → R, z = ax + by + c là hàm bậc nhất đối với hai biến x và y. Nó xác định với mọi (x, y) và có hình ảnh hình học là một mặt phẳng trong không gian. Chú ý 1. Nếu cho một số biến của hàm nhiều biến các giá trị không đổi thì ta sẽ có hàm với số biến ít hơn. Chẳng hạn với hàm hai biến z = f (x, y), nếu y = y0 không đổi trong suốt quá trình khảo sát thì ta có hàm của một biến x: z = f (x, y0) . Chú ý 2. Nếu trong hàm hai biến z = f (x, y) ta cho z giá trị không đổi C thì phương trình f (x, y) = C biểu diễn một đường cong(là giao tuyến của mặt phẳng z = C với mặt cong z = f (x, y)). Trên đường cong này, các giá trị của hàm là như nhau. Ta gọi nó là đường đồng mức của hàm f (với mức C). Biểu diễn một số đường đồng mức trên cùng một hình vẽ ta có một hình ảnh về hàm đang xét. Thí dụ, trên một bản đồ địa lý, các điểm có cùng một độ sâu được nối với nhau bằng các đường đồng mức. Với hàm ba biến f (x, y, z), các mặt f (x, y, z) = C là các mặt đồng mức. Thí dụ trong vật lý học, nếu hàm f là một hàm thế, cho giá trị của thế năng tại các điểm trong không gian thì mặt đồng mức chính là các mặt đẳng thế. 1.1.3 Giới hạn và liên tục n Ta coi một bộ n số thực (x1, x2, , xn) như một điểm M trong không gian n chiều R . Như vậy hàm n biến u = f (x1, x2, , xn) sẽ được coi như hàm của điểm M: u = f (M). Ta có khoảng cách giữa hai điểm A (a1, a2, , an) và M (x1, x2, , xn) là số: q 2 2 2 d (A, M) = (x1 − a1) + (x2 − a2) + + (xn − an)  x1 → a1    x2 → a2 Điểm M dần tới M0 : M → M0 khi và chỉ khi    xn → an Định nghĩa 2. 1. Hàm u = f (M) có giới hạn là l khi điểm M dần tới điểm A nếu với mọi ε > 0 cho trước ta tìm được một số δ > 0 sao cho : khi 0 6= d (A, M) < δ thì |f (M) − l| < ε và ta viết lim f (M) = l. M→A 2. Hàm u = f (M) được gọi là liên tục tại điểm A nếu: a. Nó xác định tại A. b. lim f (M) = f (A). M→A Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 4
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 1.2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến 1.2.1 Đạo hàm riêng. Giả sử f là một hàm n biến xác định trong một miền xác định chứa điểm (x1, x2, , xn). Ta cho số xi một số gia ∆xi còn giữ nguyên các biến khác (coi như hàm chỉ chứa biến xi). Xét tỷ số ∆f f (x , , x + ∆x , , x ) − f (x , , x , , x ) = 1 i i n 1 i n ∆xi ∆xi Nếu ∆xi → 0 mà tỷ số trên có giới hạn thì giới hạn của nó được gọi là đạo hàm riêng lấy theo biến xi tại điểm (x1, x2, , xn) của hàm f. Kí hiệu đạo hàm riêng của hàm f lấy ∂f theo biến x là , i = 1, 2, , n hay f 0 (x , x , , x ). i xi 1 2 n ∂xi Như vậy muốn tính đạo hàm riêng của một hàm f theo một biến nào đó ta chỉ việc tính đạo hàm của hàm đó theo biến đang xét (coi như hàm một biến), còn các biến khác coi như hằng số. y Thí dụ 1 : Tính các đạo hàm riêng của hàm hai biến f (x, y) = . x Ta có 0 ∂f 1 y ∂f 1 0 1 = y = − 2 ; = (y)y = ∂x x x x ∂y x x Thí dụ 2 : f (x, y) = xy. Khi lấy đạo hàm riêng theo x, coi như hằng số nên áp dụng ∂f quy tắc đạo hàm hàm luỹ thừa: = yxy−1. Khi lấy đạo hàm riêng theo y, coi x như ∂x ∂f hằng số nên áp dụng quy tắc đạo hàm hàm mũ: = xy ln x. ∂x Thí dụ 3 : Cho f (x, y, z) = px2 + y2 + z2. Tính các đạo hàm riêng cấp một. ∂f x ∂f y ∂f z = ; = ; = ∂x px2 + y2 + z2 ∂y px2 + y2 + z2 ∂z px2 + y2 + z2 −−→ Nếu đặt r = px2 + y2 + z2 thì r là độ dài của véc tơ OM với M (x, y, z); gọi α, β, γ là −−→ các góc tạo bởi véc tơ OM với các trục Ox, Oy, Oz thì: ∂f x ∂f y ∂f z = = cos α; = = cos β; = = cos γ ∂x r ∂y r ∂z r 1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao. 0 0 Cho hàm số hai biến số z = f (x, y). Các đạo hàm riêng fx , fy là những đạo hàm riêng cấp một. Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một (nếu có) được gọi là những đạo hàm riêng cấp hai. Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được kí hiệu như sau: 2 2 ∂ ∂f ∂ f 00 ∂ ∂f ∂ f 00 = = f 2 (x, y) , = = f (x, y) ∂x ∂x ∂x2 x ∂y ∂x ∂x∂y xy 2 2 ∂ ∂f ∂ f 00 ∂ ∂f ∂ f 00 = = f 2 (x, y) , = = f (x, y) ∂y ∂y ∂y2 y ∂x ∂y ∂y∂x yx Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 5
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Thí dụ: Với hàm hai biến z = x3y2 − 3xy3 − xy + 1 ta có: ∂z ∂z Các đạo hàm riêng cấp 1: = 3x2y2 − 3y3 − y, = 2x3y − 9xy2 − x. ∂x ∂y Các đạo hàm riêng cấp 2: ∂2z ∂2z = 6xy2; = 2x3 − 18xy ∂x2 ∂y2 ∂2z ∂2z = 6x2y − 9y2 − 1; = 6x2y − 9y2 − 1 ∂y∂x ∂x∂y Nếu các đạo hàm hỗn hợp cấp hai của hàm z = f (x, y) là liên tục thì chúng bằng 00 00 nhau; fxy (x, y) = fyx (x, y). Các đạo hàm riêng của các hàm đạo hàm riêng cấp hai (nếu có) được gọi là các đạo hàm riêng cấp ba, Nếu các đạo hàm riêng là liên tục thì chúng không phụ thuộc thứ tự lấy đạo hàm. 1.2.3 Vi phân toàn phần. Cho hàm hai biến z = f (x, y) xác định trong một miền D chứa điểm (x0, y0). Xét số gia toàn phần của hàm tại điểm (x0, y0): ∆f = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0, y0) Ta có có thể biểu diễn số gia ∆f dưới dạng: p ∆f = A∆x + B∆y + α (ρ) , ρ = ∆x2 + ∆y2 (1.2) Trong đó A, B độc lập đối với ∆x, ∆y, nó chỉ phụ thuộc vào x0 và y0, α (ρ) là một vô α (ρ) cùng bé cấp cao hơn ρ, tức là → 0 khi ρ → 0 (cả ∆x và ∆y đều dần đến 0), thì ta ρ nói rằng hàm số z khả vi tại (x0, y0) và biểu thức A∆x + B∆y được gọi là vi phân toàn phần của hàm z = f (x, y) tại điểm (x0, y0). Kí hiệu là df (x0, y0) hay dz. Thí dụ: Tìm vi phân toàn phần của hàm z = f (x, y) = x2 + y2 Ta có 2 2 2 2 2 2 ∆f = (x0 + ∆x) + (y0 + ∆y) − x0 + y0 = 2x0∆x + 2y0∆y + ∆x + ∆y Ở đây α (ρ) = ∆x2 + ∆y2 vì α (ρ) ∆x2 + ∆y2 p = = ∆x2 + ∆y2 → 0 ρ p∆x2 + ∆y2 khi ρ → 0 (∆x → 0, ∆y → 0) , α (ρ) là vô cùng bé có cấp cao hơn ρ Vậy df (x0, y0) = 2x0∆x + 2y0∆y. Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 6
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Định lý 1. Nếu hàm z = f (x, y) có vi phân tại (x0, y0) thì nó cũng có các đạo hàm riêng tại (x0, y0) và ∂f (x , y ) ∂f (x , y ) 0 0 = A, 0 0 = B ∂x ∂y Chứng minh. Thực vậy, từ (1.2) ta có ∆y = 0 : f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) = A∆x + α (|∆x|) f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x , y ) α (|∆x|) lim 0 0 0 0 = A + lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x Khi ∆x → 0 thì giới hạn cuối cùng bằng không vì α (|∆x|) là vô cùng bé cấp cao hơn ∆x. Vậy ∂f (x , y ) 0 0 = A ∂x ∂f (x , y ) Chứng minh tương tự ta có 0 0 = B ∂y Định lý 2. Nếu hàm z = f (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục tại (x0, y0) thì nó có vi phân tại điểm đó và ∂f (x , y ) ∂f (x , y ) df (x , y ) = 0 0 ∆x + 0 0 ∆y (1.3) 0 0 ∂x ∂y (Chứng minh xem [2] tập 3). Sau này để tính vi phân toàn phần của hàm hai biến ta sẽ dùng công thức (1.3) và viết nó dưới dạng thu gọn: ∂z ∂z dz = ∆x + ∆y ∂x ∂y Nếu các biến số x, y của hàm hai biến z = f (x, y) độc lập thì ta cũng có dx = ∆x và dy = ∆y, khi đó vi phân toàn phần của hàm hai biến còn được viết dưới dạng: ∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y Ta cũng có kết quả tương tự cho hàm số nhiều biến hơn, chẳng hạn với hàm của ba biến số độc lập u = f (x, y, z) ta có vi phân toàn phần của nó: ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z Thí dụ: Tìm vi phân toàn phần của hàm u = xyz tại điểm (x, y, z). Ta có ∂u ∂u ∂u = yz; = xz; = xy ∂x ∂y ∂z Từ đó: du = yzdx + zxdy + xydz. Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 7
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 1.2.4 Áp dụng vi phân toàn phần vào tính gần đúng và đánh giá sai số. Từ công thức (1.2) ta thấy rằng khi ρ khá bé tức là |∆x| , |∆y| khá bé ta có công thức tính gần đúng ∂f (x , y ) ∂f (x , y ) f (x + ∆x, y + ∆y) ∼= f (x , y ) + 0 0 ∆x + 0 0 ∆y 0 0 0 0 ∂x ∂y Thí dụ: Tính gần đúng 1, 024,05 Xét hàm z = xy và áp dụng công thức gần đúng trên: y0+∆y ∼ y0 y0−1 y0 (x0 + ∆x) = x0 + y0x0 ∆x + x0 ln x0∆y Cho x0 = 1, ∆x = 0, 02, y0 = 4, ∆y = 0, 05 ta có 1, 024,05 ∼= 14 + 4.130, 02 + 14 ln 0, 05 = 1, 08 Áp dụng của vi phân toàn phần vào việc đánh giá sai số: Giả sử ta phải tính giá trị của hàm cho trước z = f (x, y) tại các giá trị của x và y mà ta chỉ biết chúng một cách xấp xỉ. Nói cách khác với giá trị x ta mắc phải sai số ∆x, với y ta mắc phải sai số ∆y, như vậy khi tính z theo các giá trị x + ∆x, y + ∆y ta sẽ mắc phải sai số, sai số đó chính là ∆z. Do ∆x, ∆y khá bé nên ta có thể thay ∆z bởi dz. Thông thường sai số ∆x của giá trị x, về trị tuyệt đối không vượt quá một số dương ∆x nào đó, số ∆x này được gọi là sai số tuyệt đối của x: |∆x| 6 ∆x. Tương tự |∆y| ∆y, với ∆y là sai số tuyệt đối cực đại của y. 6 ∼ ∂z ∂z Từ đó, |∆z| = |dz| ∆x + ∆y 6 ∂x ∂y ∂z ∂z Vậy sai số tuyệt đối cực đại của z là: ∆z = ∆x + ∆y. ∂x ∂y ∆ Chú ý : Nhiều khi người ta dùng sai số tương đối cực đại của z, đó là tỷ số: δ = z . Như z |z| vậy, ∂z/∂x ∂z/∂y ∂ ln |z| ∂ ln |z| δz = ∆x + ∆y = ∆x + ∆y z z ∂x ∂y Sai số tương đối cực đại của z bằng sai số tuyệt đối của ln |z|. 1.2.5 Đạo hàm của hàm số hợp. Cho hàm số z = f (x, y) có vi phân (khả vi đối với x và y). Giả sử x và y không phải là biến số độc lập mà là hàm của một biến t nào đó: x = x (t) , y = (t) với giả thiết chúng là các hàm khả vi đối với t. Như vậy, z = f (x, y) là hàm của biến số t, và ta cần Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 8
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 tính đạo hàm của nó theo t. Vì hàm f có vi phân nên ∆f = A∆x + B∆y + α (ρ), do đó ∆f ∆x ∆y α (ρ) = A + B + ∆t ∆t ∆t ∆t trong đó A, B độc lập với ∆x, ∆y nên cũng độc lập với ∆t nên khi ∆t → 0 thì: ∆x dx ∆y dy A → A ,B → B ∆t dt ∆t dt Mặt khác, s ∆ (ρ) α (ρ) p∆x2 + ∆y2 α (ρ) ∆x2 ∆y 2 = · = · + ∆t ρ ∆t ρ ∆t ∆t Các hàm x(t), y(t) khả vi nên liên tục, vì vậy, khi ∆t → 0 thì cả ∆x, ∆y → 0 tức là α (ρ) ρ → 0. Theo định nghĩa của vi phân → 0 khi ρ → 0. Do đó khi ∆t → 0 thì ρ s α (ρ) dx2 dy 2 → 0 · + = 0 ρ dt dt Vậy ∆f dx dy df ∂f dx ∂f dy lim = A + B hay = + ∆t→0 ∆t dt dt dt ∂x dt ∂y dt Ta có thể mở rộng kết quả trên cho trường hợp hàm hợp của hai biến:z = f (x, y) với x = x (u, v) , y = y (u, v). Khi đó nếu hàm z là khả vi đối với x, y; các hàm x, y khả vi đối với u, v thì hàm hợp z = f [x (u, v) , y = y (u, v)] cũng khả vi đối với u, v và ta có: df ∂f dx ∂f dy = · + · du ∂x du ∂y du df ∂f dx ∂f dy = · + · dv ∂x dv ∂y dv Thí dụ 1 : Cho hàm số z = ex2+y2 trong đó x = a cos t, y = b sin t Ta có: ∂z 2 2 ∂z 2 2 dx dy = 2xex + y ; = 2yex + y ; = −a sin t; = bcost ∂x ∂y dt dt do đó dz 2 2 2 2 = 2ex + y (−ax sin t + bycost) = ex + y sin 2t(b2 − a2) dt Thí dụ 2 : Cho hàm số z = x2 + y2 trong đó x = u + v, y = u − v Khi đó: dz ∂z dx ∂z dy = · + · = 2x + 2y = 4u du ∂x du ∂y du dz ∂z dx ∂z dy = · + · = 2x − 2y = 4v dv ∂x dv ∂y dv Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 9
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 1.3 Cực trị của hàm nhiều biến 1.3.1 Định nghĩa. 0 0 0 Hàm n biến z = f(x1, x2, , xn) có cực đại tại (x1, x2, , xn) trong một miền D nếu 0 0 0 (∗) với mọi điểm (x1, x2, , xn) thuộc một lân cận đủ nhỏ của điểm (x1, x2, , xn) ta có: 0 0 0 f(x1, x2, , xn) 6 f(x1, x2, , xn) 0 0 0 Hàm n biến z = f(x1, x2, , xn) có cực tiểu tại (x1, x2, , xn) trong một miền D nếu 0 0 0 (∗) với mọi điểm (x1, x2, , xn) thuộc một lân cận đủ nhỏ của điểm (x1, x2, , xn) ta có: 0 0 0 f(x1, x2, , xn) > f(x1, x2, , xn) Thí dụ: Hàm z = f (x, y) = x2 + y2 có cực tiểu tại (0, 0) vì với mọi x, y ta luôn có 2 2 f (x, y) = x + y > 0 = f(0, 0) 1.3.2 Điều kiện cần của cực trị. 0 0 0 Định lý 3. Nếu hàm khả vi z = f(x1, x2, , xn) có cực trị tại điểm (x1, x2, , xn) thì các đạo hàm riêng của hàm tại điểm đó triệt tiêu z0 = f 0 (x0, x0, , x0 ) = 0, i = 1, , n và xi xi 1 2 n 0 0 0 điểm (x1, x2, , xn) được gọi là điểm dừng của hàm số z = f(x1, x2, , xn). Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp hàm hai biến z = f (x, y). Giả sử nó có cực trị tại điểm (x0, y0). Xét hàm một biến z = f (x, y0), do giả thiết nó có cực trị tại ∂z điểm x = x , theo điều kiện cần của cực trị hàm một biến ta có = 0 tại điểm (x , y ). 0 ∂x 0 0 ∂z Tương tự ta có = 0 tại điểm (x , y ). ∂y 0 0 Trong thí dụ ở trên ta đã chứng tỏ hàm z = x2 + y2 có cực tiểu tại (0,0). Ta có ∂z ∂z = 2x = 0; = 2y = 0 ∂x ∂y tức là các đạo hàm riêng tại điểm cực trị (0, 0) triệt tiêu. Chú ý: Điều kiện các đạo hàm riêng bị triệt tiêu chỉ là điều kiện cần chứ không phải là đủ. Thật vậy, hàm số z = x2 − y2 có các đạo hàm riêng triệt tiêu tại (0, 0), nhưng ta có f(0, 0) = 0, nếu lấy các điểm (x, y) thuộc lân cận điểm (0, 0) mà x > y thì f(x, y) > 0, còn nếu lấy các điểm mà x < y thì f(x, y) < 0, nên theo định nghĩa cực trị thì hàm số không có cực trị tại (0, 0). Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 10
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 1.3.3 Điều kiện đủ của cực trị hàm hai biến. Định lý 4. Giả sử hàm z = f(x, y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của nó trong một miền chứa điểm (x0, y0). Tại (x0, y0) các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu. Đặt ∂2z ∂2z ∂2z A = (x , y ); B = (x , y ); C = (x , y ) ∂x2 0 0 ∂x∂y 0 0 ∂y2 0 0 2 • Nếu AC − B > 0 thì f(x, y) có cực trị tại điểm (x0, y0), f(x, y) đạt cực đại nếu A 0. 2 • Nếu AC − B 0, A > 0 do đó hàm số có cực tiểu. 4 Tại M : A = −20; B = 0; C = − , AC − B2 > 0, A < 0 do đó hàm số có cực đại. 2 3 2 Tại M3 : A = −2; B = 4; C = 0, AC − B < 0 do đó hàm số không có cực trị. 2 Tại M4 : A = −2; B = −4; C = 0, AC − B < 0 do đó hàm số không có cực trị. 1.4 Bài tập 1.1. Tìm miền xác định của các hàm sau: 1 x z = ; z = arcsin pa2 − x2 − y2 y2 x √ z = ln − ; u = x + y + z y Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 11
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 1.2. Tìm các đường đồng mức của các hàm √ x x 1) z = 2x + y; 2) z = ; 3) z = y y 1.3. Cho hàm số r x 1, f (x, y) = xy + . Tính f 0 (2, 1) f 0 (2, 1). y x y x2 + y2 0 0 2, z = e . Tính zx, zy. 1.4. Chứng tỏ rằng hàm số z = y ln(x2 − y2) thỏa mãn phương trình 1 ∂z 1 ∂z z + = x ∂x y ∂y y2 ∂x ∂x ∂r ∂ϕ 1.5. Cho x = rcosϕ, y = rsinϕ. Tìm ∂y ∂y ∂r ∂ϕ 1.6. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau: p 1) z = ln(x + x2 + y2) 2) u = ex(cosy + xsiny) 3) u = xy2z 1.7. Tính gần đúng: q 1,02 p3 1) arctg ; 2) 1, 022 + 0, 052; 3) sin2 1, 55 + 8e0,015 0,95 1.8. 00 00 00 1) Cho hàm z = y ln x. Tìm zxx, zxy, zyy. y 2) Cho hàm z = ln tg . Tìm z00 . x xy 1.9. Cho hàm 1 u 1) z = ln với u = tg2x, v = cot g2x. Tìm z0 . 2 v x x2 − y dz 2) z = với y = 3x + 1. Tìm . x2 + y dx 1 1.10. Cho hàm u = với r = px2 + y2 + z2. Chứng tỏ rằng: r ∂2u ∂2u ∂2u + + = 0 ∂x2 ∂y2 ∂z2 1.11. Tìm các cực trị của các hàm 1) z = x2 + xy + y2 − 3x − 6y 1 x y 2) z = xy + (47 − x − y) + 2 3 4 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 12
Chương 2 Tích phân kép Mục đích yêu cầu: - Chương này nghiên cứu về tích phân kép. Đó là sự mở rộng của tích phân xác định của hàm số một biến số sang tích phân của hàm số hai biến số, do đó có rất nhiều điểm tương tự với tích phân xác định. - Khi học, sinh viên cần nắm vững định nghĩa, các tính chất và cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các và trong hệ tọa độ cực, cũng như các ứng dụng của tích phân kép. 2.1 Bài toán tính thể tích vật thể hình trụ cong Giả sử cần tính thể tích của vật thể hình trụ cong, đáy dưới là miền hữu hạn D trong mặt phẳng Oxy, đáy trên là mặt cong có phương trình z = f(x, y) và các đường sinh song song với Oz. Hàm số z = f(x, y) liên tục và không âm trong miền D. Chia miền D một cách tuỳ ý thành n miền con d0, d1, , dn−1 có các diện tích tương ứng là ∆s0, ∆s1, , ∆sn−1 và qua biên của các miền nhỏ ấy dựng các mặt trụ đường sinh song song với Oz. Như vậy hình trụ cong đã cho được chia thành n hình trụ cong nhỏ. Để tính thể tích của hình trụ cong nhỏ thứ i, lấy trong miền nhỏ di một điểm tuỳ ý Mi (ξi, ηi). Theo giả thiết, hàm số f(x, y) liên tục trong miền D nên trên miền nhỏ di giá trị của nó khác f(Mi) rất ít. Vậy thể tích hình trụ cong thứ i có thể xem gần đúng bằng hình trụ thẳng, có diện tích đáy là ∆si chiều cao là f(Mi) và thể tích của vật thể hình trụ cong đã cho gần đúng bằng: n−1 X Vn = f (Mi) ∆si Hình 2.1: Thể tích vật thể hình trụ i=0 Dễ thấy rằng khi tăng số phần chia n lên sao cho các mảnh nhỏ di có đường kính λi
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 nhỏ lại thì sự khác nhau giữa V và Vn càng ít. Do đó thể tích V của vật thể hình trụ cong đã cho được xem là giới hạn của Vn khi n → ∞ sao cho đường kính lớn nhất trong các đường kính λi của các miền nhỏ di tiến đến không. Vậy: n−1 X V = lim Vn = lim f (Mi) ∆si (2.1) max λi→0 max λi→0 (n→+∞) (n→+∞) i=0 2.2 Định nghĩa tích phân kép Cho hàm số hai biến z = f(x, y) xác định trong miền hữu hạn D thuộc mặt phẳng Oxy. Thực hiện các bước sau: 1. Chia tuỳ ý miền D thành n miền nhỏ d0, d1, , dn−1 có các diện tích tương ứng là: ∆s0, ∆s1, , ∆sn−1. 2. Trong mỗi miền nhỏ di, lấy một điểm tuỳ ý Mi (ξi, ηi) và tính f(Mi)∆si = f(ξi, ηi)∆si n−1 P 3. Lập tổng In = f (Mi) ∆si i=0 Tổng In được gọi là tổng tích phân của hàm f(x, y) trong miền D 4. Tìm giới hạn In khi n → ∞ sao cho maxλi → 0. Nếu tổng In tiến đến một giới hạn xác định I không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm Mi trong mỗi miền nhỏ di thì giới hạn I được gọi là tích phân kép của hàm số f(x, y) trong miền D, ký hiệu là RR f (x, y) ds. D Vậy: n−1 ZZ X f (x, y) ds = lim f (Mi) ∆si (2.2) max λi→0 D (n→+∞) i=0 f(x, y) gọi là hàm dưới dấu tích phân, ds gọi là yếu tố diện tích, D gọi là miền lấy tích phân, x, y gọi là các biến số tích phân. Nếu RR f (x, y) ds tồn tại thì ta nói rằng hàm D f(x, y) khả tích trong miền D. Người ta chứng minh được rằng: Nếu hàm số f(x, y) liên tục trong miền hữu hạn D thì khả tích trong miền D. Trở lại bài toán dẫn đến khái niệm tích phân kép và dựa vào định nghĩa tích phân kép vừa nêu ta có: n−1 X ZZ V = lim f (Mi) ∆si = f (x, y) ds max λi→0 (n→+∞) i=0 D Cần lưu ý là bài toán tính thể tích của vật thể hình trụ cong chỉ là một trong rất nhiều bài toán thực tế dẫn đến khái niệm tích phân kép, do đó không nên hiểu tích phân kép chỉ là thể tích, mà phải hiểu rằng tích phân kép là một con số, con số ấy chỉ phụ thuộc vào hàm số dưới dấu tích phân f(x, y) và miền lấy tích phân D mà không phụ thuộc vào Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 14
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 ký hiệu của biến số lấy tích phân, nghĩa là: ZZ ZZ f (x, y) ds = f (u, v) ds D D 2.3 Các tính chất của tích phân kép Dựa vào định nghĩa, ta thấy cách xây dựng tích phân kép và tích phân xác định hoàn toàn giống nhau, do đó các tính chất của tích phân kép, cũng như cách chứng minh các tính chất ấy đều hoàn toàn tương tự tích phân xác định. Ở đây ta chỉ phát biểu tính chất mà không chứng minh. Tính chất 1: RR kf(x, y)ds = k RR f(x, y)ds, (k = const) D D Tính chất 2: ZZ ZZ ZZ ZZ [f1 (x, y) + f2 (x, y) − f3 (x, y)] ds = f1 (x, y) ds+ f2 (x, y) ds− f3 (x, y) ds D D D D Tính chất 3: Nếu miền lấy tích phân D chia thành hai miền D1,D2 rời nhau thì: ZZ ZZ ZZ f (x, y) ds = f (x, y) ds + f (x, y) ds D D1 D2 RR Tính chất 4: Nếu tại mọi điểm thuộc miền D ta luôn có f(x, y) ≥ 0 thì f (x, y) ds > 0 D RR còn nếu f(x, y) ≤ 0 thì ta có f (x, y) ds 6 0 D Tính chất 5: Nếu tại mọi điểm thuộc miền D ta luôn có f(x, y) ≥ g(x, y) thì ZZ ZZ f (x, y) ds > g (x, y) ds D D Tính chất 6: Nếu m, M là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số f(x, y) trong miền D, nghĩa là m ≤ f(x, y) ≤ M tại mọi điểm (x, y) ∈ D thì: ZZ mSD 6 f (x, y) ds 6 MSD D Trong đó SD là diện tích của miền D Tính chất 7: (Định lý giá trị trung bình). Nếu f(x, y) liên tục trong miền D thì trong miền đó tìm được ít nhất một điểm Mi (ξi, ηi) sao cho: ZZ f (x, y) ds = f (ξi, ηi) SD D Giá trị của hàm số f(x, y) tại điểm Mi (ξi, ηi) gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x, y) trong miền D 2.4 Cách tính tích phân kép trong toạ độ Đề-Các Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 15
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Như đã biết trong định nghĩa tích phân kép, giới hạn I không phụ thuộc vào cách chia miền D thành những miền nhỏ nên trong hệ toạ độ đề- các, để cho tiện người ta chia miền D thành các miền nhỏ bởi các đường thẳng song song với các trục toạ độ Ox, Oy. Khi đó, mỗi miền nhỏ di nói chung là một hình chữ nhật, có các cạnh song song với các trục toạ độ và có chiều dài là dx, dy. Bởi vậy, yếu tố diện tích ds = dxdy và ký hiệu Hình 2.2: Chia miền D tích phân kép thường viết dưới dạng: ZZ f (x, y) dxdy D Để tính tích phân kép, chú ý rằng trường hợp f(x, y) ≥ 0 trong miền D, RR f (x, y) dxdy D bằng số đo thể tích V của vật thể hình trụ cong, đáy dưới là miền D trong mặt phẳng , đáy trên là mặt cong z = f(x, y) và các đường sinh song song với Oz. Do đó muốn tính tích phân kép trong trường hợp f(x, y) ≥ 0 chỉ cần tính thể tích của vật thể hình trụ cong. Thể tích ấy được tính bằng công thức: b Z V = S (x) dx (2.3) a trong đó S(x) là diện tích của thiết diện tạo nên bởi giao diện của mặt phẳng thẳng góc với trục hoành tại điểm x và vật thể, còn x = a, x = b là phương trình của những mặt phẳng giới hạn hai đầu của vật thể. Giả sử miền D thoả mãn điều kiện sau: mọi đường thẳng song song với trục Oy cắt biên của miền D không quá hai điểm. Trong mặt phẳng, vẽ hai đường thẳng song song với trục Oy và tiếp xúc với biên của miền D tại các điểm A, B, có hoành độ lần lượt là a, b. Hai điểm này chia biên của miền thành hai đường cong AP B và ARB, có phương trình lần lượt là y = ϕ1 (x) và y = ϕ2 (x). Cắt vật thể hình trụ cong đã cho bằng mặt phẳng thẳng góc với trục hoành tại điểm x với x ∈ (a, b). Thiết diện nhận được là hình thang cong PMNR; phía trên giới hạn bởi đường cong MN có phương trình là z = f(x, y), xem như hàm số một biến số y (vì đường cong MN là giao tuyến của mặt phẳng thẳng góc với trục hoành tại điểm x và mặt cong S có phương trình là z = f(x, y); phía dưới là đoạn thẳng PR song song với trục Oy và hai cạnh bên là PM và RN. Ta có IP = ϕ1(x) và IR = ϕ2(x). Theo công thức tính diện tích Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 16
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 hình thang cong ta có: ϕ (x) Z2 SthangcongPMNR = S (x) = f (x, y) dy ϕ1(x) Thay biểu thức của S(x) vào công thức (2.3) ta có:   b ϕ2(x) Z Z   V =  f (x, y) dy dx a ϕ1(x) Nhưng ZZ V = f (x, y) dxdy D nên:   b ϕ2(x) Hình 2.3: ZZ Z Z   f (x, y) dxdy =  f (x, y) dy dx D a ϕ1(x) Người ta thường viết dưới dạng b ϕ2(x) ZZ Z Z f (x, y) dxdy = dx f (x, y) dy (2.4) D a ϕ1(x) Tóm lại, để tính tích phân kép ta chỉ cần tính lần lượt hai tích phân xác định. Đầu tiên, ϕ2(x) tính R f (x, y) dy, xem x là hằng số, kết quả cho ta một hàm số của x. Tính tích phân ϕ1(x) hàm ấy theo x từ a đến b ta được kết quả phải tìm. Bây giờ giả sử mọi đường thẳng song song với trục Ox cắt biên của miền D không quá hai điểm. Nếu ta cắt vật thể hình trụ cong đã cho bởi một mặt phẳng thẳng góc với trục tung tại điểm y và lý luận tương tự như trên, ta có công thức tính tích phân kép sau: d ψ2(y) ZZ Z Z f (x, y) dxdy = dy f (x, y) dx (2.5) D c ψ1(y) Hình 2.4: trong đó x = ψ1 (y) là phương trình đường cong CQE; x = ψ2 (y) là phương trình đường cong CSE; C và E là những điểm tiếp xúc giữa các đường thẳng song song với trục Ox Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 17
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 và biên của miền D; c và d là tung độ các điểm C và E. ψ2(y) Chú ý rằng, nếu dùng công thức (2.5) để tính tích phân kép thì đầu tiên tính R f(x, y)dx, ψ1(y) xem y là hằng số, kết quả cho ta một hàm số của y. Tính tích phân hàm số ấy theo y từ c đến d ta được kết quả phải tìm. Chú ý 1. Trong trường hợp f(x, y) < 0 trong miền D, người ta chứng minh được rằng các công thức tính tích phân kép (2.4) và (2.5) vẫn đúng. 2. Công thức (2.4) gọi là tính theo y trước, x sau và (2.5) gọi là tính theo x trước, y sau. 3. Khi tính tích phân kép bằng công thức (2.4) và (2.5), vấn đề xác định cận tích phân (hay thứ tự lấy tích phân) đóng một vai trò rất quan trọng. Điều này sẽ được minh hoạ rõ trong những ví dụ dưới đây. Ví dụ 1. Xác định các cận tích phân trong tích phân kép RR f(x, y)dxdy với: D a, D là miền giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2 b, D là miền giới hạn bởi các đường y = 0, y = x2 và x + y = 2 Giải: a, Hoành độ của các giao điểm A và B được xác định bởi phương trình 2x2 = 2; x = ±1. Vậy: xA = −1; xB = 1 Áp dụng công thức (2.4), tính tích phân theo y trước. Nhìn theo hướng dương của trục Oy, thấy rằng đường cong AOB giới hạn phía dưới của miền D có phương trình y = 2x2; đường thẳng AB giới hạn phía trên của miền D có phương Hình 2.5: trình y = 2; còn x biến thiên từ xA = −1 đến xB = 1 (nghĩa là có thể biểu diễn miền D bởi các bất đẳng thức kép −1 ≤ x ≤ 1 và 2x2 ≤ y ≤ 2).Do đó: 1 2 ZZ Z Z f(x, y)dxdy = dx f (x, y) dy D −1 2x2 Nếu dùng công thức (2.5) thì tính tích phân theo x trước, y sau. Nhìn thep hướng dương của trục Ox, thấy rằng đường cong OA giới hạn bên trái miền D có phương trình ry ry x = − , đường cong OB giới hạn phía phải miền D có phương trình x = ; còn y 2 2 biến thiên từ y = 0 đến y = 2 ( nghĩa là có thể biểu diễn miền D bởi các bất đẳng thức ry ry kép: 0 y 2 và − x . Vậy: 6 6 2 6 6 2 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 18
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 s y 2 2 ZZ Z Z f(x, y)dxdy = dy f (x, y) dx D 0 s y − 2 b, Hoành độ giao điểm B được xác định bởi phương trình: x2 = 2 − x hay x2 + x − 2 = 0. Từ đó nhận được xB = 1, yB = 1. Áp dụng công thức (2.4),tính tích phân theo y trước. Nhìn theo hướng dương của trục Oy, thấy rằng đường cong OBA giới hạn phía trên của miền D gồm hai đoạn OB và BA có phương trình khác nhau nên phải chia miền D thành hai miền OCB và CAB. Ta có: ZZ ZZ ZZ f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy+ f(x, y)dxdy D OCB CAB Miền COB được biểu diễn bởi: 0 6 x 6 1 2 và 0 6 y 6 x , còn miền CAB được biểu diễn bởi: 1 6 x 6 2 và 0 6 y 6 2 − x. Do đó: 1 x2 2 2−x ZZ Z Z Z Z Hình 2.6: f(x, y)dxdy = dx f (x, y) dy+ dx f (x, y) dy D 0 0 1 0 Nếu dùng công thức (2.5), tính tích phân theo x trước. Nhìn theo hướng dương của √ trục Ox, miền D được biểu diễn: 0 6 y 6 1 và y 6 x 6 2 − y. Vậy: 1 2−y ZZ Z Z f(x, y)dxdy = dy f (x, y) dx √ D 0 y Qua trường hợp này, ta thấy rõ tầm quan trọng của việc phải căn cứ vào hình dạng của miền D mà quyết định dùng công thức (2.4) hay (2.5) để tính tích phân kép một cách đơn giản nhất. Ví dụ 2 : Tính tích phân kép RR x2ydxdy, D là miền giới hạn bởi: D a, Các đường thẳng x = 0, x = 3, y = 2 √ b, Các đường y = x2, y = 2 − x2 √ c, Các đường y = x, x = y, y = 2 Giải Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 19
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 a, Áp dụng công thức (2.4) tính tích phân theo y trước. Nhìn theo hướng dương của trục Oy, có thể biểu diễn miền D bởi các bất đẳng thức kép: 0 ≤ x ≤ 3 và 0 ≤ y ≤ 2. Do đó: 3 2 ZZ Z Z x2ydxdy = dx x2ydy D 0 0 Đầu tiên, tính tích phân theo y, xem x là hằng số, ta có: Hình 2.7: 2 2 Z Z 2 y=2 2 2 2 2 y x 2 2 2 2 ydy = x ydy = x = 2 − 0 = 2x 2 y=0 2 0 0 Cuối cùng ta có: 3 ZZ Z 3 3 2 2 x 2 2 2 x ydxdy = 2x dx = 2 = 3 − 0 = 18 3 0 3 D 0 Nếu dùng công thức (2.5), tính tích phân theo x trước. Nhìn theo hướng dương của trục Ox có thể biểu diễn miền D bởi bất đẳng thức kép: 0 ≤ y ≤ 2 và 0 ≤ x ≤ 3. Vậy 2 3 ZZ Z Z x2ydxdy = dy x2ydx D 0 0 Tính tích phân theo x , xem y là hằng số ta có: 3 3 Z Z 3 x=3 2 2 x y 2 2 yx dx = y x dx = y = 3 − 0 = 9y 3 x=0 3 0 0 Vậy 2 ZZ Z y=2 2 9 2 9 2 2 x ydxdy = 9ydy = y = 2 − 0 = 18 2 y=0 2 D 0 b, Áp dụng công thức (2.4) tính tích phân theo y trước. Nhìn theo hướng dương của trục Oy, có thể biểu diễn miền D bởi các bất đẳng thức kép: −1 ≤ x ≤ 1 √ và x2 ≤ y ≤ 2 − x2. (chú ý rằng x = −1, x = 1 là hoành độ giao điểm A và C xác định bởi phương trình Hình 2.8: Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 20
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 hoàn độ điểm chung). Do đó: √ 1 2−x2 1 √ 1 ZZ Z Z Z 2 y= 2−x2 Z 2 2 2 2 y x 2 4 x ydxdy = dx x ydy = x dx = 2 − x − x dx 2 y=x2 2 D −1 x2 −1 −1 1 1 Z Z 3 5 7 x=1 1 2 4 6 2 4 6 x x x 34 = 2x − x − x dx = 2x − x − x dx = 2 − − = 2 3 5 7 x=0 105 −1 0 Chú ý : 1. Đối với trường hợp trên, áp dụng công thức (2.4) là đơn giản nhất. Thật vậy, nếu dùng công thức (2.5) ta phải tính tích phân theo x trước. Khi đó nhìn theo chiều dương của trục Ox, thấy rằng đường cong OAB giới hạn phía trái của miền D gồm hai đoạn OA và AB có phương trình khác nhau, tương tự đường cong OCB phía bên phải cũng gồm hai đường OC và CB có phương trình khác nhau. Vì vậy phải chia miền D thành hai miền OAC và ABC. 2. Trong ví dụ này, miền lấy tích phân D đối xứng đối với trục Oy, hàm số dưới dấu tích phân x2y là hàm số chẵn đối với biến x nên có thể viết ZZ ZZ x2ydxdy = 2 x2ydxdy D D1 trong đó D1 là miền tam giác cong OBC. c, Tính theo công thức (2.5). Nhìn theo hướng dương của trục Ox có thể biểu diễn miền D bởi các bất đẳng √ thức kép 0 ≤ y ≤ 2, −y ≤ x ≤ y. Do đó: √ 2 y ZZ Z Z x2ydxdy = dy x2ydx D 0 −y Đầu tiên ta tính tích phân theo x, xem y là hằng số, ta có: √ Hình 2.9: y √  5  Z 3 y 2 x 1 4 x ydx = y = y 2 + y  3 −y 3 −y Cuối cùng ta có: 2  7 y=2 ZZ Z √ 2 1 5 4 1 2 1 5 1 2 7 1 5 16 x y = y 2 + y dy =  y 2 + y  = 2 2 + 2 = 5 2 + 14 3 3 7 5 3 7 5 105 D 0 y=0 2.5 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 21
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Giả sử cần tính tích phân kép I = RR f (x, y) ds D trong hệ tọa độ cực, trong đó miền D có tính chất là mọi tia xuất phát từ gốc cực O cắt biên của nó không quá hai điểm. Muốn thế ta chia miền D thành các miền nhỏ di bởi: - Các tia xuất phát từ gốc O có phương trình trong Hình 2.10: hệ tọa độ cực là ϕ=hằng số; - Các đường tròn đồng tâm O, có phương trình trong hệ tọa độ cực là r=hằng số; Khi đó, mỗi miền nhỏ di nói chung là một tứ giác cong giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm O và hai bán kính của chúng. Diện tích ∆si của miền nhỏ di bằng hiệu số diện tích hai hình quạt tròn có cùng góc ở tâm ∆ϕi và có bán kính lần lượt là ri + ∆ri và ri: 1 1 ∆r ∆s = (r + ∆r )2 ∆ϕ − r2∆ϕ = r + i ∆r ∆ϕ = r0∆r ∆ϕ i 2 i i i 2 i i i 2 i i i i i ∆r trong đó r0 = r + i là bán kính trung bình giữa r và r + ∆r . i i 2 i i i Để thành lập tổng tích phân In của hàm số f(x, y) trong miền D, ta giả thiết rằng hàm số f(x, y) liên tục trong miền D. Khi đó, trong mỗi miền nhỏ di có thể lấy một điểm tùy ý Mi(ξi, ηi), ở đây ta chọn Mi(ξi, ηi) là một điểm nằm trên đường tròn bán kính trung 0 0 0 0 bình ri có tọa độ cực là ri và ϕi (với ϕi < ϕi < ϕi + ∆ϕi) Ta có: 0 0 0 0 ξi = ri cos ϕi, ηi = ri sin ϕi (Tất nhiên ta chọn hệ tọa độ Đề-Các có gốc tại cực O và trục hoành trùng với trục cực) và: n−1 n−1 X X 0 0 0 0 0 In = f(Mi)∆si = f (ri cos ϕi, ri sin ϕi)ri∆ri∆ϕi i=0 i=0 Vì vế phải là tổng tích phân của hàm số f (r cos ϕ, r sin ϕ) r theo các biến r và ϕ trong miền D, nên chuyển qua giới hạn khi n → +∞ sao chomax λi → 0 ta nhận được tích phân kép của hàm số f (r cos φ, r sin φ) r theo các biến r và ϕ trong miền D: ZZ ZZ ZZ I = f (x, y) ds = f (x, y) dxdy = f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdrdϕ (2.6) D D D Đó là công thức chuyển tính phân kép từ hệ tọa độ Đề-các sang hệ tọa độ cực. Biểu thức ds = rdrdϕ gọi là yếu tố diện tích trong hệ tọa độ cực. Tóm lại, muốn chuyển tích phân kép ZZ f (x, y) dxdy D Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 22
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 từ hệ tọa độ đề các sang hệ tọa độ cực, ta thay x và y trong hàm số dưới dấu tích phân bởi r cos ϕ và r sin ϕ, còn dx, dy thay bằng rdrdϕ. Đồng thời phương trình đường cong giới hạn miền lấy tích phân D cũng phải đổi sang hệ tọa độ cực bằng cách thay x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Sau đó tính RR f (r cos φ, r sin φ) rdrdφ hoàn toàn giống như trong hệ tọa độ D Đề -Các, nghĩa là cũng đưa về hai tích phân xác định liên tiếp đối với các biến r và ϕ. Để thấy rõ cách xác định cận lấy tích phân, ta phân biệt ba trường hợp sau: 1. Trường hợp gốc cực O nằm ngoài miền D. Giả sử miền D nằm giữa các tia ϕ = α và ϕ = β, mọi tia xuất phát từ gốc cực O cắt biên của D không quá hai điểm và r = g1(ϕ), r = g2(ϕ) lần lượt là phương trình trong hệ tọa độ cực của các đoạn đường cong AP B và CRE (nếu nhìn từ gốc cực O về phía miền D thì AP B là đường cong giới hạn phía dưới miền D còn CRE là đoạn đường cong giới Hình 2.11: hạn phía trên miền D. Khi đó, lấy tích phân theo r trước (xem ϕ là hằng số), sau đó lấy tích phân theo ϕ, ta có: β g (ϕ) ZZ Z Z2 f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr (2.7) D α g1(ϕ) 2.Trường hợp gốc cực O nằm trên biên của miền D. Giả sử mọi tia xuất phát từ gốc cực O cắt biên của miền D không quá một điểm ( không kể điểm O) và phương trình của biên đó trong hệ tọa độ cực là r = g(ϕ) với α ≤ ϕ ≤ β. Khi đó, lấy tích phân theo r trước (xem ϕ là hằng số), sau đó lấy tích phân theo ϕ, ta có: β g(ϕ) ZZ Z Z Hình 2.12: f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr (2.8) D α 0 3.Trường hợp gốc cực O nằm trong miền D. Giả sử mọi tia xuất phát từ gốc cực O cắt biên của miền D tại một điểm và phương trình của biên đó trong hệ tọa độ cực là r = g(ϕ) với 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Khi đó, lấy tích phân theo r trước (xem ϕ là hằng số), sau đó lấy tích phân theo ϕ, ta có: 2π g(ϕ) ZZ Z Z Hình 2.13: f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr (2.9) D 0 0 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 23
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Chú ý. Trong công thức trên, tích phân theo thứ tự ngược lại, nghĩa là trước hết theo ϕ (xem r là hằng số), sau đó theo r thường không sử dụng. Ví dụ 3. Chuyển tích phân kép RR f (x, y) dxdy từ hệ tọa độ Đề-các sang hệ tọa độ D cực„ viết rõ các cận lấy tính phân theo r và ϕ, trong đó D là miền giới hạn bởi: a, Đường tròn x2 + y2 = 4 b, Đường tròn x2 + y2 = 2x c, Đường tròn x2 + y2 = 2y d, Các đường thẳng y = x, y = −x và các đường tròn x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x Giải a, Đổi sang tọa độ cực phương trình đường tròn x2 +y2 = 4 có dạng r = 2. Vì gốc cực O nằm trong miền D nên áp dụng công thức (2.9), ta có: ZZ ZZ f (x, y) dxdy = f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdrdϕ D D 2π 2 Z Z = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr 0 0 Hình 2.14: b, Đường tròn x2 + y2 = 2x là đường tròn tâm O0(1, 0), bán kính 1, vì có thể viết dưới dạng (x−1)2+y2 = 1. Trong hệ tọa độ cực phương trình đường tròn này có dạng r = 2cosϕ. Các tia kẻ từ gốc cực O và tiếp xúc với đường tròn (biên π π của miền D) trùng với trục Oy do đó α = − , β = . Vì 2 2 gốc cực O nằm trên biên của miền D nên áp dụng công thức (2.8) có: Hình 2.15: π 2 2cosϕ ZZ ZZ Z Z f (x, y) dxdy = f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr D D π 0 − 2 c, Đường tròn x2 + y2 = 2y là đường tròn tâm O0(0, 1) bán kính 1, vì có thể viết dưới dạng x2 + (y − 1)2 = 1. Trong hệ tọa độ cực, phương trình đường tròn trên có dạng: r = 2sinϕ. Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 24
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Các tia kẻ từ gốc O và tiếp xúc với đường tròn (biên của miền D) trùng với Ox do đó α = 0 và α = π. Vì gốc cực nằm trên biên của miền D nên áp dụng công thức(2.8), ta có: ZZ ZZ f (x, y) dxdy = f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdrdϕ D D π 2 sin ϕ Hình 2.16: Z Z = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr 0 0 d, Giống trường hợp b, x2 + y2 = 2x là phương trình 2 đường tròn tâm O1(1, 0), còn x2 + y = 4x là phương trình đường tròn tâm O2(2, 0) bán kính 2. Đổi sang tọa độ cực phương trình các đường biên của miền D có dạng: x2 + y2 = 2x → r = 2cosϕ; x2 + y2 = 4x → r = 4cosϕ; Hình 2.17: π y = −x → rsinϕ = −rcosϕ; tgϕ = −1, ϕ = − ; 4 π y = x → rsinϕ = rcosϕ, tgϕ = 1, ϕ = 4 Vì gốc cực O nằm ngoài miền D nên áp dụng công thức (2.7), ta có π 4 cos ϕ ZZ ZZ Z4 Z f (x, y) dxdy = f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdrdϕ = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr D D π 2 cos ϕ − 4 Ví dụ 4. Chuyển sang tọa độ cực, tính: dxdy √ a, RR , D là miền giới hạn cung tròn y = 2x − x2 và trục Ox p 2 2 D 4 − x − y RR y 2 2 2 2 b, arctg x dxdy, D là miền giới hạn bởi các đường tròn x + y = 1, x + y = 9 và các D 1 √ đường thẳng y = √ x, y = 3x (phần nằm trong góc phần tư thứ nhất) √ 3 a a2−x2 c, R dx R (x2 + y2) dy √ −a − a2−x2 Giải: a, Thay x = rcosϕ, y = rsinϕ vào hàm số dưới dấu tích phân, ta có 1 1 1 = = √ p q 2 4 − x2 − y2 4 − r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ 4 − r Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 25
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 còn dxdy thay bằng rdrdϕ. Theo (2.6) ta nhận được dxdy rdrdϕ RR = RR √ . Đổi sang tọa độ cực, p 2 2 4 − r2 D 4 − x − y D √ phương trình cung tròn y = 2x − x2 có dạng: rsinϕ = p2rcosϕ − r2cos2ϕ, r2 sin2 ϕ + r2 cos2 ϕ = 2r cos ϕ, r2 = π 2r cos ϕ, r = 2 cos ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2 Các tia kẻ từ gốc cực O và tiếp xúc với biên của miền D π Hình 2.18: trùng với Ox và Oy, do đó α = 0, β = . Theo công thức 2 (2.8), ta có π 2 2 cos ϕ ZZ rdrdϕ Z Z rdr √ = dϕ √ 4 − r2 4 − r2 D 0 0 2 cos ϕ rdr Trước hết, tính R √ bằng cách đổi biến số 4−r2 = t, −2rdr = dt, 4 ≤ t ≤ 4sin2ϕ. 2 0 4 − r 2 cos ϕ 4 sin2 ϕ rdr dt √ 4 sin2 ϕ Vậy R √ = − R √ = − t = −2 sin ϕ + 2 2 4 0 4 − r 4 2 t p π (Ở đây: 4 sin2 ϕ = 2 sin ϕ vì ϕ biến thiên từ 0 đến nên sinϕ > 0) 2 Cuối cùng π 2 π ZZ dxdy ZZ rdrdϕ Z = √ = (2 − 2 sin ϕ) dϕ = 2ϕ + 2 cos ϕ| 2 = π − 2 p4 − x2 − y2 4 − r2 0 D D 0 b, Thay x = rcosϕ, y = rsinϕ vào hàm số dưới dấu tích phân ta có: y r sin ϕ arctg = arctg = arctg (tgϕ) = ϕ x r cos ϕ Đổi sang tọa độ cực, phương trình các đường biên của miền D có dạng: x2 + y2 = 1 → r = 1; x2 + y2 = 9 → r = 3 1 1 1 Hìnhπ 2.19: y = √ x → r sin ϕ = √ r cos ϕ → tgϕ = √ → ϕ = 3 3 3 6 √ √ √ π y = 3x → r sin ϕ = 3r cos ϕ → tgϕ = 3 → ϕ = 3 Áp dụng công thức (2.7), ta có: π π π 3 3 3 3 ZZ ZZ Z Z Z 2 3 Z 2 y r π arctg dxdy = ϕrdrdϕ = ϕdϕ rdr = ϕ dϕ = 4ϕdϕ = x 2 1 6 D D π 1 π π 6 6 6 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 26
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 √ √ c, Theo đầu bài, y biến thiên từ y = − a2 − x2 đến y = a2 − x2, còn x biến thiên từ −a đến a, vậy miền D giới hạn bởi đường tròn x2 + y2 = a2. Trong hệ tọa độ cực, phương trình đường tròn trên có dạng: r = a. Vì gốc cực O nằm trong miền D, áp dụng công thức (2.9) ta có: √ a a2−x2 2π a Z Z ZZ Z Z πa4 dx x2 + y2 dy = r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ rdrdϕ = dϕ r3dr = 2 √ −a − a2−x2 D 0 0 Chú ý. Qua các ví dụ 3 và 4 thấy rằng người ta thường chuyển tích phân kép từ hệ tọa độ Đề Các sang hệ tọa độ cực trong trường hợp hàm số dưới dấu tích phân f(x, y) chứa biểu thức x2 + y2 hoặc trong trường hợp miền lấy tích phân D là một mặt tròn, một phần mặt tròn 2.6 Ứng dụng hình học của tích phân kép 2.6.1 Thể tích vật thể Như đã biết trong bài toán dẫn đến khái niệm tích phân kép, thể tích V của một vật thể hình trụ cong có đáy dưới là miền D trong mặt phẳng Oxy, đáy trên là mặt cong S có phương trình z = f(x, y) và các đường sinh song song với Oz (hàm số z = f(x, y) giả thiết liên tục và không âm trong miền D) được tính bằng công thức: ZZ V = f (x, y) dxdy (2.10) D Nếu f(x, y) ≤ 0 trong miền D thì RR f (x, y) dxdy ≤ 0 và D ZZ V = − f (x, y) dxdy (2.11) D Trong trường hợp cần tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt cong z = f1 (x, y) , z = f2 (x, y) và hình chiếu của vật thể đó lên mặt phẳng Oxy là miền D (f1 (x, y) , f2 (x, y) liên tục và f1 (x, y) 6 f2 (x, y) trong miền D) thì thể tích V phải tìm bằng hiệu số thể tích hai vật thể hình trụ cong ABCEF và ABCGF : ZZ ZZ ZZ V = f2 (x, y) dxdy − f1 (x, y) dxdy = (f2 (x, y) − f1 (x, y)) dxdy (2.12) D D D Ví dụ 5 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt: a, y = x2, y = 1, x + y + z = 4 và z = 0; b, z = 4 − x2 − y2 và z = x2 + y2. Giải: a, Vật thể đã cho là một vật thể hình trụ Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 27
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 cong, đáy dưới là miền D trong mặt phẳng Oxy giới hạn bởi đường parabol y = x2 và đường thẳng y = 1; đáy trên là mặt phẳng z = 4 − x − y Áp dụng công thức (2.10) và (2.4), ta có 1 1 ZZ Z Z 68 V = (4 − x − y) dxdy = dx (4 − x − y) dy = 15 D −1 x2 b, Vật thể đã cho giới hạn bởi hai mặt paralôit tròn xoay có đỉnh tại O1(0, 0, 4) và O(0, 0, 0). Đường cong L (giao tuyến của hai mặt paralôit) được xác định bởi hệ phương trình: z = 4 − x2 − y2 z = x2 + y2 Khử z trong hai phương trình, nhận được x2 + y2 = 2. Đây chính là phương trình của đường tròn L1 giới hạn miền D và là hình chiếu của đường cong giao tuyến L xuống mặt phẳng Oxy. Vì tính đối xứng của vật thể đối với các mặt phẳng tọa độ Oxz và Oyz nên chỉ cần 1 tính thể tích nằm trong góc phần tám thứ nhất. Ta có: 4 V ZZ = 4 − x2 − y2 − x2 − y2 dxdy 4 D1 1 trong đó D là mặt tròn x2 + y2 ≤ 2 nằm góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy. 1 4 Để tính tích phân kép được đơn giản, ta chuyển sang tọa độ cực bằng cách thay x, y trong hàm số dưới dấu tích phân bởi rcosϕ, rsinϕ, còn dxdy thay bằng rdrdϕ. Ta có ZZ V = 4.2. 2 − r2 rdrdϕ D1 √ 2 2 Phương trình đường tròn L1: x + y = 2 khi đó có dạng r = 2. Vì gốc cực O nằm ở trên biên của miền D1, áp dụng công thức (2.8), nhận được π π π √ 2 2 2 √ 2 Z Z Z 4 r= 2 Z 3 2 r V = 8 dϕ 2r − r dr = 8 r − dϕ = 8 dϕ = 4π 4 r=0 0 0 0 0 2.6.2 Diện tích hình phẳng Nếu trong tích phân kép RR f (x, y) dxdy, hàm dưới dấu tích phân f(x, y) = 1 với mọi D (x, y) thuộc miền D thì RR dxdy bằng số đo thể tích hình trụ thẳng có đáy là miền D, D Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 28
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 đường sinh song song với Oz và chiều cao bằng 1. Do đó RR dxdy cũng bằng số đo diện D tích đáy, nghĩa là diện tích miền D. Vậy: ZZ S = dxdy (2.13) D Trong hệ tọa độ cực, diện tích S của hình phẳng D là ZZ S = rdrdϕ (2.14) D Ví dụ 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a, y = 2 − x2 và y = x b, x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x, y = x và y = 0 Giải: a, Trước hết, cần tìm tọa độ các giao điểm M1 và M2. Ta có 1 2−x2 1 1 ZZ Z Z Z 2 Z 9 S = dxdy = dx dy = y|y=2−x dx = 2 − x2 − x dx = y=x 2 D −2 x −2 −2 b, Đổi sang tọa độ cực, phương trình các đường biên của miền D có dạng: π x2 + y2 = 2x → r = 2cosϕ; x2 + y2 = 4x → 4 = 4cosϕ; y = x → ϕ = ; y = 0 → ϕ = 0 4 Áp dụng công thức (2.14) ta có π π 4 4 cos ϕ 4 ZZ Z Z 1 Z 3π 3 S = rdrdϕ = dϕ rdr = 16 cos2 ϕ − 4 cos2 ϕ = + 2 4 2 D 0 2 cos ϕ 0 2.7 BÀI TẬP 1. Tính tích phân sau s ZZ 1 − x2 − y2 dxdy 1 + x2 + y2 x2+y261 2. Tính tích phân sau ZZ 2ay − x2 − y2 dxdy y2 D 2 2 với D là mặt tròn x + y 6 2ay (a > 0) 3. Tính tích phân ZZ (x + 2y + 1) dxdy D Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 29
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 2 2 2 2 với D là miền được xác định bởi x + y 6 2y ; x + y 6 2x RR 2 2 √ 4. Tính tích phân x + y − xy dxdy với miền D được giới hạn bởi đường cong D 2 2 2 (x + y ) = xy ; x, y > 0 √ 5. Tính tích phân RR arcsin x + ydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường D x + y = 0, x + y = 1, y = −1, y = 1 6. Tính tích phân RR (x + y)2 (x − y)2 dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường D x + y = 1, x + y = 3, x − y = −1, x − y = 1 RR 2 2 7. Tính tích phân xydxdy trong đó D là nửa trên hình tròn (x − 2) + y 6 1 D 8. Tính tích phân RR x2 (x − y) dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = D x2, x = y2 9. Tính tích phân RR ln (x + y) dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x = D 1, y = 1, y = x + 1 RR xy 10. Tính tích phân x2+y2 dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường x = 0, y = D 0, x + y = 1 11. Tính tích phân ZZ h p p i x2 + y2 sin x2 + y2 + cos x2 + y2 dxdy π26x2+y264π2 12. Tính tích phân ZZ a dxdy pa2 − x2 − y2 D với miền D là nửa hình tròn x2 +y2 = ay nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng xOy 13. Tính tích phân ZZ y acrtg dxdy x D n √ o với D = x2 + y2 1 , x2 + y2 9 , y √x , y 3x > 6 > 3 6 2 2 RR x y 14. Tính tích phân xydxdy với miền D là miền giới hạn bởi elip 2 + 2 = 1 và nằm D a b trong góc phần tư thứ nhất. Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 30
Chương 3 Tích phân đường Mục đích yêu cầu - Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về tích phân đường: định nghĩa, các tính chất, cách tính tích phân đường, quan hệ giữa tích phân đường dọc theo một đường cong kín với tích phân kép trong miền giới hạn bởi đường cong kín đó (công thức Green) và một số ứng dụng của tích phân đường. - Sinh viên cần nắm vững các khái niệm ấy, tính được tích phân đường, vận dụng được một cách linh hoạt công thức Green trong tính tích phân đường và đặc biệt hiểu được sâu sắc điều kiện cần và đủ để tích phân đường dọc theo một cung AB không phụ thuộc vào đường lấy tích phân. 3.1 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường: Công của một lực biến đổi −→ Giả sử cần tính công của A của một lực F tác dụng lên một chất điểm M chuyển −→ −→ −→ động trên cung cong phẳng Từ B đến C. Lực F = F (M) = F (x, y) biến thiên liên tục dọc theo cung BC và có hình chiếu xuống hai trục Ox, Oy là P (x, y) và Q(x, y) (chúng là những hàm số liên tục trên cung BC). Ta có −→ −→ −→ −→ F (M) = F (x, y) = P (x, y) i + Q (x, y) j −→ −→ trong đó i , j là các veto đơn vị trên hai trục Ox và Oy. Chia cung BC một cách tùy ý thành n cung nhỏ bởi các điểm chia B = B0,B1,B2, , Bn = C có các độ dài tương ứng là ∆s0, ∆s1, , ∆sn−1. Xét cung nhỏ thứ i: Bi,Bi+1. Trên đó, vì độ dài ∆si là khá bé nên có thể xem −→ −→ như lực F không đổi và bằng F (Mi) với Mi (ξi, µi) là một 31 Hình 3.1:
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 điểm nào đó trên cung Bi,Bi+1. Ngoài ra có thể coi độ dài cung Bi,Bi+1 bằng độ dài dây BiBi+1. Do vậy, công trên cung Bi,Bi+1 gần đúng bằng: −→ −−−−→ −→ −−−−→ F (Mi) BiBi+1 cos αi = F (Mi) BiBi+1 = P (ξi, µi) ∆xi + Q (ξi, µi) ∆yi −→ −−−−→ trong đó αi là góc giữa F (Mi) và BiBi+1. ∆xi = xi+1 − xi và ∆yi = yi+1 − yi là các hình −−−−→ −→ chiếu của BiBi+1 xuống hai trục Ox và Oy. Công do lực F tạo nên khi chất điểm M chuyển động dọc theo cung cong phẳng từ B đến C gần đúng bằng: n−1 X An = [P (ξi, µi) ∆xi + Q (ξi, µi) ∆yi] i=0 Khi tăng số phần chia n lên sao cho các cung Bi,Bi+1 càng nhỏ lại thì sự khác nhau giữa −→ A và An càng ít. Do đó, hiển nhiên công A do lực F tạo nên xem là giới hạn của An khi n → +∞ sao cho max∆si → 0. Vậy: n−1 X A = lim An = lim [P (ξi, ηi) ∆xi + Q (ξi, ηi) ∆yi] max ∆si→0 max ∆si→0 (n→+∞) (n→+∞) i=0 3.2 Định nghĩa tích phân đường Cho hai hàm số P (x, y),Q(x, y) xác định trên cung cong phẳng BC. Thực hiện các bước sau: 1. Chia tùy ý cung BC thành n cung nhỏ bởi các điểm chia B = B0,B1,B2, , Bn = C có các độ dài tương ứng là ∆s0, ∆s1, , ∆sn−1. 2. Trên mỗi cung nhỏ thứ i BiBi+1 lấy một điểm tùy ý Mi (ξi, µi) và tính P (ξi, µi) ∆xi+ Q (ξi, µi) ∆yi(i = 0, 1, , n − 1), trong đó ∆xi = xi+1 − xi và ∆yi = yi+1 − yi là các −−−−→ hình chiếu của BiBi+1 xuống hai trục Ox và Oy. n−1 P 3. Lập tổng In = [P (ξi, µi) ∆xi + Q (ξi, µi) ∆yi] i=0 4. Tìm giới hạn của In khi n → +∞ sao cho max∆si → 0 Nếu tổng In tiến đến một giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung BC và cách chọn điểm Mi trên mỗi cung nhỏ BiBi+1 thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường của hai hàm số P (x, y),Q(x, y) dọc theo cung phẳng BC từ B đến C, ký hiệu là R P (x, y) dx + Q (x, y) dy. Vậy BC n−1 Z X P (x, y) dx + Q (x, y) dy = lim P (ξi, ηi) ∆xi + Q (ξi, ηi) ∆yi max ∆xi→0 BC (n→+∞) i=0 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 32
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Người ta cũng chứng minh được rằng: Nếu cung cong phẳng BC trơn và nếu các hàm số P (x, y),Q(x, y) liên tục trên cung BC thì tích phân đường tồn tại. Trở lại bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường và dựa vào định nghĩa tích phân vừa nêu ta có n−1 X Z A = lim [P (ξi, ηi) ∆xi + Q (ξi, ηi) ∆yi] = P (x, y) dx + Q (x, y) dy max ∆si→0 (n→+∞) i=0 BC Chú ý: 1. Từ định nghĩa dễ thấy rằng: Nếu ta đổi chiều trên cung BC thì các hình chiếu của −−−−→ véc tơ BiBi+1 xuống hai trục Ox, Oy đổi dấu, do đó Z Z P (x, y) dx + Q (x, y) dy = − P (x, y) dx + Q (x, y) dy BC CB 2. Trong trường hợp BC là đường cong kín L (nghĩa là hai điểm B và C trùng nhau), ta quy ước chọn chiều dương trên L là chiều sao cho một người đi dọc theo L theo chiều ấy sẽ thấy miền giới hạn bởi L ở gần mình nhất ở về bên trái; chiều ngược lại là chiều âm. Ta thường ký hiệu tích phân đường dọc theo đường cong kín L theo chiều dương là: I P (x, y) dx + Q (x, y) dy L 3. Tích phân đường có các tính chất như tích phân xác định. 3.3 Cách tính tích phân đường Để tính tích phân đường R P (x, y) dx + Q (x, y) dy, ta BC đưa về tích phân xác định. Giả sử cung BC là một cung cong trơn, các hàm số P (x, y),Q(x, y) liên tục trên cung BC. Có các trường hợp: 1. Cung cong BC được cho bởi phương trình tham số x = ϕ(t), y = ψ(t), điểm B ứng với tB, điểm C ứng với tC , ta có công thức: Hình 3.2: t Z ZC P (x, y) dx + Q (x, y) dy = [P (ϕ (t) , ψ (t)) ϕ0 (t) + Q (ϕ (t) , ψ (t))ψ0 (t)]dt BC tB (3.1) Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 33
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Hình 3.3: Ví dụ 4.a 2. Cung cong BC được cho bởi phương trình y = f(x), điểm B ứng với xB, điểm C ứng với xC , ta có công thức x Z Z C P (x, y) dx + Q (x, y) dy = [P (x, f (x)) + Q (x, f (x)) f 0 (x)]dx BC xB (3.2) 3. Cung cong BC được cho bởi phương trình x = g(x), điểm B ứng với yB, điểm C ứng với yC , ta có công thức y Z Z C P (x, y) dx + Q (x, y) dy = [P (g (y) , y) g0 (y) + Q (g (y) , y)]dy BC yB (3.3) Ví dụ 1. Tính R ydx − xdy, BC là nửa đường tròn có phương trình BC tham số là: x = a cos t, y = a sin t (0 6 t 6 π) Ta có: dx = −asintdt, dy = acost, tB = 0, tC = π. Do đó theo công thức (3.1): π I = R ydx − xdy = R [a sin t (−a sin t) − a cos t (a cos t)] dt = BC 0 π −a2 R dt = −πa2 0 Hình 3.4: Ví dụ 2. Tính I = R xydx + (x + y) dy, trong đó L là: L a, Đoạn thẳng nối hai điểm O(0, 0) và A(1, 1); b, Cung Parabol y = x2 nối hai điểm đó; c, Đường gấp khúc OBA; Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 34
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Giải a, Phương trình đoạn thẳng nối hai điểm O(0, 0) và A(1, 1) là y = x với 0 ≤ x ≤ 1. Do đó dy = dx và theo (3.2) ta có 1 Z Z 4 I = xydx + (x + y) dy = x2 + 2x dx = 3 L 0 b, Phương trình cung Parabol nối hai điểm O(0, 0) và A(1, 1) là y = x2, với 0 ≤ x ≤ 1. Do đó dy = 2xdx và theo (3.2) ta có 1 Z Z 1 3 2 3 4 2 3 17 I = xydx + (x + y) dy = x + x + x 2x dx = x + x = 4 3 0 12 L 0 c, Đường gấp khúc OBA gồm hai đoạn OB và BA có phương trình khác nhau do đó Z Z Z I = xydx + (x + y) dy = xydx + (x + y) dy+ xydx + (x + y) dy L OB BA Phương trình đoạn OB là y = 0 với 0 ≤ x ≤ 1 nên theo (3.2) ta có 1 Z Z Hình 3.5: xydx + (x + y) dy = x.0dx = 0 OB 0 Phương trình đoạn BA là x = 1 với 0 ≤ y ≤ 1 nên theo (3.3) ta có 1 Z Z 3 xydx + (x + y) dy = (1 + y) dy = 2 BA 0 3 Vậy I = 2 Ví dụ 3 Tính Z I = 2xydx + x2dy L trong đó L là các đoạn đường cong cho trong ba trường hợp của ví dụ 2. Giải a, Trên đoạn thẳng y = x với 0 ≤ x ≤ 1, ta có dy = dx và 1 Z Z 2 2 2 31 I = 2xydx + x dy = 2x + x dx = x 0 = 1 L 0 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 35
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 b, Trên đoạn y = x2 với 0 ≤ x ≤ 1 ta có dy = 2xdx và 1 Z Z 2 3 3 41 I = 2xydx + x dy = 2x + 2x dx = x 0 = 1 L 0 c, Trên đoạn thẳng OB y = 0 với 0 ≤ x ≤ 1 ta có 1 Z Z I = 2xydx + x2dy = 2x.0.dx = 0 OB 0 Trên đoạn thẳng BA x = 1 với 0 ≤ y ≤ 1 ta có 1 Z Z I = 2xydx + x2dy = 12dy = 1 BA 0 Vậy Z Z Z I = 2xydx + x2dy = 2xydx + x2dy + 2xydx + x2dy = 1 L OB BA Qua ví dụ trên, ta thấy nếu tính tích phân đường đã cho dọc theo mọi đoạn đường cong L khác nối liền điểm O và điểm A, giá trị của tích phân đường vẫn luôn bằng 1. Như vậy tích phân đường đã cho không phụ thuộc đường lấy tích phân mà chỉ phụ thuộc vào điểm đầu O và điểm cuối O. Ví dụ 4 Tính Z I = xydx L trong đó L là cung Parabol x = y2 nối hai điểm A(1, −1) và B(1, 1) Giải 2 Ta có x = y , dx = 2ydy, yA = −1, yB = 1, áp dụng công thức (3.3) ta có 1 Z Z 1 Hình 3.6: 2 2 5 4 I = xydx = y y2ydy = y = 5 −1 5 L −1 3.4 Công thức Green Công thức Green là công thức liên hệ giữa tích phân đường dọc theo một đường cong kín phẳng L và tích phân kép lấy trong miền D giới hạn bởi đường cong kín L. Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 36
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Định lý 1. Nếu các hàm số P (x, y),Q(x, y) và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong miền D thì ta có công thức Green: ZZ ∂Q ∂P I − dxdy = P dx + Qdy (3.4) ∂x ∂y D L trong đó L là đường cong kín, biên của miền D và chiều lấy tích phân trên đường cong L là chiều dương. Chứng minh. Giả sử D là miền đơn liên và mọi đường thẳng song song với các trục tọa độ cắt L không quá hai điểm. Theo công thức tính tích phân kép trong miền D ta có b y2(x) ZZ ∂P Z Z ∂P dxdy = dx dy ∂y ∂y D a y1(x) trong đó y = y2(x) phương trình cung cong AEB, y = y1(x) là phương trình cung cong ACB. Tính tích phân ở vế phải ta có: b b b ZZ Z Z Z ∂P y=y2(x) dxdy = P (x, y)| dx = P (x, y2(x)) dx − P (x, y1(x)) dx ∂y y=y1(x) D a a a Nhưng theo cách tính tích phân đường: b Z Z P (x, y2(x)) dx = P (x, y) dx a AEB b Z Z Z − P (x, y1(x)) dx = − P (x, y) dx = P (x, y) dx a ACB BCA Do đó ZZ ∂P Z I dxdy = P (x, y) dx = − P (x, y) dx ∂y D AEBCA L Tương tự trên, ta có ZZ ∂Q I dxdy = Q (x, y) dy ∂x D L Từ hai kết quả trên suy ra công thức Green. Người ta cũng chứng minh được rằng công thức Green vẫn đúng trong trường hợp miền D là miền đơn liên và mọi đường thẳng song song với các trục tọa độ cắt biên L của nó nhiều hơn hai điểm, hoặc D là miền đa liên. Cần nhớ rằng trong trường hợp miền D là miền nhị liên như hình, vì biên L của miền D gồm hai đường cong kín L1 và L2 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 37
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 rời nhau nên chiều dương trên L phải chọn theo quy ước đã nêu trong chú ý 2 của mục 2, nghĩa là chiều dương trên L1 là ngược chiều kim đồng hồ, còn chiều dương trên L2 là chiều kim đồng hồ. Ví dụ 5. Dùng công thức Green tính I I = −x2ydx + xy2dy L trong đó L là đường tròn x2 + y2 = R2 lấy theo chiều dương. Ta có: ∂P ∂Q P (x, y) = −x2y, Q (x, y) = xy2, = −x2, = y2 ∂y ∂x Áp dụng công thức Green (3.4) ta có I ZZ I = −x2ydx + xy2dy = x2 + y2 dxdy L D Đổi sang tọa độ cực, thay x = rcosϕ, y = rsinϕ, dxdy = rdrdϕ, ta có 2π R 2π ZZ Z Z R4 Z πR4 I = r3drdϕ = dϕ r3dr = dϕ = 4 2 D 0 0 0 3.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân Qua các ví dụ 2, 3 của mục 3, một câu hỏi được đặt ra là: Các hàm số P, Q cần phải thỏa mãn những điều kiện gì để tích phân đường R P dx + Qdy không phụ thuộc AB vào đường cong nối hai điểm A và B mà chỉ phụ thuộc vào điểm đầu A và điểm cuối B? Trước hết ta nhận xét rằng: R P dx + Qdy không phụ thuộc vào đường cong nối A, B AB mà chỉ phụ thuộc vào hai điểm A, B khi và chỉ khi H P dx + Qdy = 0 với mọi đường cong l kín l đi qua hai điểm A, B. Thật vậy, giả sử R P dx + Qdy không phụ thuộc vào đường cong nối hai điểm A, B. AB Khi đó Z Z P dx + Qdy = P dx + Qdy(∗) ANB AMB trong đó AMB, và ANB là hai đường cong bất kỳ nối A và B. Suy ra Z Z Z Z I P dx + Qdy− P dx + Qdy = P dx + Qdy+ P dx + Qdy = P dx + Qdy = 0(∗∗) ANB AMB ANB BMA l Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 38
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Ngược lại, nếu H P dx + Qdy = 0với mọi đường cong kín l thì từ ( ) dễ dàng suy ra l (*), nghĩa là R P dx + Qdy không phụ thuộc vào đường cong nối hai điểm A và B. AB Từ nhận xét trên ta đi đến định lý sau: Định lý 2. Cho hai hàm số P (x, y),Q(x, y) liên tục và có đạo hàm riêng cấp một liên tục trong một miền đơn liên D. Điều kiện cần và đủ để tích phân đường R P dx + Qdy, AB trong đó AB là một đường cong nằm trong D, chỉ phụ thuộc vào hai điểm A, B mà không phụ thuộc vào đường cong nối A với B là ∂Q ∂P = , ∀ (x, y) ∈ D (3.5) ∂x ∂y Chứng minh. Từ nhận xét trên, ta chỉ việc chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tích phân đường H P dx + Qdy = 0, trong đó l là một đường cong kín bất kỳ nằm trong miền l D, là điều kiện (3.5) được thỏa mãn trong miền D. Điều kiện đủ. Giả sử điều kiện (3.5) được thỏa mãn trong miền D. l là một đường cong kín bất kỳ nằm trong D, gọi d là miền giới hạn bởi l. Áp dụng công thức Green (3.4), ta có I ZZ ∂Q ∂P P dx + Qdy = − dxdy ∂x ∂y l d ∂Q ∂P Vì = tại mọi điểm trong miền D nên tích phân kép ở vế phải bằng không, và do ∂x ∂y đó I P dx + Qdy = 0 l Điều kiện cần Giả sử H P dx + Qdy = 0, l là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền l ∂Q ∂P D, cần chứng minh = tại mọi điểm trong miền D. ∂x ∂y ∂Q ∂P Dùng phản chứng, giả sử tại một điểm M trong miền D ta có − > 0 (trường ∂x ∂y ∂Q ∂P hợp 0. Gọi l là đường cong kín giới hạn miền d, ∂x ∂y dùng công thức Green ta có I ZZ ∂Q ∂P P dx + Qdy = − dxdy ∂x ∂y l d ∂Q ∂P Vì trong miền d, − > 0 nên tích phân kép ở vế phải dương. Điều này trái với giả ∂x ∂y thiết của điều kiện cần. Vậy tại mọi điểm trong miền D, ta phải có ∂Q ∂P = ∂x ∂y Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 39
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Ví dụ 6. Tính Z x2dx + y2dy OAB trong đó OAB là nửa đường tròn x2 + y2 = 2x nằm ở phía trên trục Ox Ta có P (x, y) = x2,Q (x, y) = y2 ∂Q ∂P = = 0 ∂x ∂y tại ∀ (x, y) ∈ R2, và tích phân đã cho không phụ thuộc vào đường cong nối hai điểm O và B. Để tính tích phân đường đã cho được đơn giản, ta thay nó bằng tích phân đường lấy trên đoạn thẳng OB của trục Ox. Trên đoạn thẳng này y = 0, 0 ≤ x ≤ 2 nên: 2 Z Z Z 3 2 2 2 2 2 2 x 8 x dx + y dy = x dx + y dy = x dx = = 3 0 3 OAB OB 0 Ví dụ 7. Tính I −ydx + xdy x2 + y2 L L là đường cong kín, trơn, trong hai trường hợp: a, Gốc O nằm ngoài miền D giới hạn bởi L b, L bao quanh gốc O. Giải a, Ta có −y x P (x, y) = ,Q (x, y) = x2 + y2 x2 + y2 ∂P y2 − x2 ∂Q y2 − x2 = , = ∂y (x2 + y2)2 ∂x (x2 + y2)2 ∂P ∂Q ∂P ∂Q trong đó P, Q, , liên tục và = tại mọi điểm (x, y) ∈ D. Do đó ∂y ∂x ∂y ∂x I −ydx + xdy = 0 x2 + y2 L ∂Q ∂P b, Nếu L bao quanh gốc O, ta không áp dụng định lý 2 được vì P, Q, , gián ∂x ∂y đoạn tại gốc O. Ta vẽ một đường tròn C tâm tại gốc O, bán kính R đủ lớn để nó chứa L ở trong và không cắt L. Phương trình tham số của đường tròn C là x = Rcost, y = Rsint(0 ≤ t ≤ 2π) Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 40
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 ∂Q ∂P ∂Q ∂P Các hàm số P, Q, , và = trong miền nhị liên D giới hạn bởi hai đường ∂x ∂y ∂x ∂y cong kín L và C. Áp dụng công thức Green vào miền D, ta có ZZ ∂Q ∂P I I − dxdy = 0 = P dx + Qdy − P dx + Qdy ∂x ∂y D C L Suy ra 2π I I Z −R sin t (−R sin t) + R cos t.R cos t P dx + Qdy = P dx + Qdy = dt = 2π R2 cos2 t + R2 sin2 t L C 0 3.6 Ứng dụng của tích phân đường 3.6.1 Công của một lực biến đổi −→ −→ −→ Công A của một lực F (x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j tác dụng lên một chất điểm M chuyển động trên cung cong phẳng từ B đến C được tính bởi công thức: Z A = P (x, y)dx + Q(x, y)dy (3.6) BC −→ −→ Ví dụ 8. Tại mỗi điểm M(x, y) trong mặt phẳng Oxy có một lực F (x, y) = −xy i + −→ −→ (x2 + y) j . Tìm công A của lực F khi điểm đặt chuyển động trên Parabol y = x2 từ điểm O(0, 0) đến điểm B(1, 1). Áp dụng công thức (3.6) ta có 1 1 Z Z Z 3 A = −xydx + (x2 + y)dy = −x.x2 + (x2 + x2)2x dx = 3x3dx = 4 OB 0 0 3.6.2 Diện tích hình phẳng Giả sử cần tính diện tích S của miền D, giới hạn bởi đường cong kín L trong mặt phẳng Oxy. Áp dụng công thức Green cho miền D và có ZZ ∂Q ∂P I − dxdy = P dx + Qdy ∂x ∂y D L Nếu chọn P = −y, Q = x, từ đẳng thức trên ta có 1 I S = xdy − ydx (3.7) 2 L Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 41
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Nếu chọn P = 0,Q = x, ta có công thức I S = xdy (3.8) L Nếu chọn P = y, Q = x, ta có công thức I S = − ydx (3.9) L Ví dụ 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = 2 − x2 và y = x Áp dụng công thức (3.9), ta có I Z Z S = − ydx = − ydx − ydx L AOB BCA Phương trình đoạn thẳng AOB là y = x với xA = −2, xB = 1; phương trình đoạn đường 2 cong BCA là y = 2 − x với xB = 1, xA = −2, do đó 1 −2 Z Z 9 S = − xdx − 2 − x2 dx = 2 −2 1 3.7 BÀI TẬP 1. Tính các tích phân đường sau: a, R (x2 − 2xy)dx + (2xy + y2)dy, AB là cung Parabol y = x2 từ điểm A(1, 1) đến điểm AB B(2, 4) b, R (xy − 1)dx + x2ydy, L từ điểm A(1, 0) đến điểm B(0, 2) trong các trường hợp sau: L 1. theo đường thẳng 2x + y = 2 2. theo cung Parabol 4x + y2 = 4 3. theo cung elip x = cost, y = 2sint c, H (x2 + y2)dy, L là chu vi của hình tứ giác có các đỉnh là A(0, 0),B(2, 0),C(4, 4) và L D(0, 4). 2. Tính tích phân I = R (x2 + y2) dx + (x2 − y2) dy trong đó C là đường y = 1 − C |1 − x| , 0 6 x 6 2 3. Tính tích phân sau Z I = |x − y| dy C Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 42
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 π π với C là đường x = a cos t, y = a |sin t| , − 4 6 t 6 2 (a > 0) 4. Tính tích phân Z x3 I = x2 + y cos xy dx + + xy2 − x + x cos xy dy 3 C với C là cung tròn x = a cos t, y = a sin t lấy theo chiều tăng của tham số t, 0 6 t 6 π , a > 0 5. Tính tich phân I (xy + x + y) dx + (xy + x − y) dy L x2 y2 trong đó L là elip + = 1 lấy theo chiều dương. a2 b2 6. Dùng công thức Green tính tích phân sau I yexy + 2x cos y − x2y dx + xexy − x2 sin y + xy2 + xy dy x2+y2=2x 7. Tính tích phân I p h p i x2 + y2dx + y xy + ln x2 + y2 + x dy (x−1)2+(y−1)2=1 8. Tìm hằng số a để tích phân Z (x2 + 2xy + ay2) dx + (x2 − 2xy + y2) dy I = (x + y)3 AB không phụ thuộc vào đường lấy tích phân đối với các đường không cắt đường y = −x. Tính tích phân với a tìm được và A(1, 0),B(0, 1) 9. Tính tích phân I I = yx3 + ey dx + xy3 + xey − 3y dy x2+y2=2x 10. Tính tích phân Z I = 2xy − x2 dx + x + y2 dy L trong đó L là đường kín gồm hai cung parabol y = x2 và x = y2. 11. Tính tích phân I (xy + ex sin x + x + y) dx + xy − e−y + x − sin y dy x2+y2=2x 12. Tính tích phân I x2 + y2 dx + x2 − y2 dy L Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 43
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 trong đó L là đường gấp khúc OABO, với O(0, 0),A(1, 0),B(0, 1) bằng cách trực tiếp và áp dụng công thức Green. 13. Tích phân Z y2 y y y y 1 − cos dx + sin + cos dy x2 x x x x L có phụ thuộc vào đường lấy tích phân L không? Tính tích phân trong trường hợp L là cung nối hai điểm A(1, π),B(2, π) và không cắt trục Oy. 14. Tính tích phân: Z y xdy − ydx ln x x2 AB biết A(1, 1).B(1, e) và cung AB nằm trong góc phần tư thứ nhất có x 6= 0 , y 6= 0 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 44
Chương 4 Lý thuyết chuỗi Mục đích yêu cầu - Trong chương trình bày các khái niệm cơ bản về chuỗi số và chuỗi hàm; chuỗi hội tụ, phân kỳ, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ, các tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ của chuỗi, ứng dụng của chuỗi vào tính gần đúng, bán kính hội tụ, miền hội tụ của chuỗi hàm, khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa, chuỗi Fourier và các ứng dụng - Sinh viên cần hiểu rõ các khái niệm trên, nắm vững các kết quả cơ bản để xét sự hội tụ, tính tổng của chuỗi số, tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm số, tìm khai triển Taylor, Mac Laurin, Fourier của hàm số và vận dụng các kết quả vào tính gần đúng. 4.1 Đại cương về chuỗi số 4.1.1 Định nghĩa. Cho dãy số thực vô hạn u1, u2, , un, Biểu thức ∞ X u1 + u2 + + un + = un n=1 được gọi là chuỗi số. Các số u1, u2, , un, được gọi là số hạng của chuỗi số, un được gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi. Tổng n hữu hạn số hạng đầu của chuỗi gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi n X Sn = u1 + u2 + + un = uk k=1 ∞ P Nếu lim Sn = S hữu hạn thì ta nói chuỗi số hội tụ và có tổng là S. Ta viết S = un. n→∞ n=1 Rn = S − Sn được gọi là phần dư thứ n của chuỗi số. Nếu lim Sn = ±∞ hoặc không tồn tại thì ta nói chuỗi số phân kỳ. n→∞ ∞ Ví dụ. Xét chuỗi P qn. n=0
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Đó là tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q. Với q 6= 1 ta có 1 − qn S = 1 + q + + qn−1 = n 1 − q n 1 - Nếu |q| 1 thì S = lim Sn = ∞, vậy chuỗi phân kỳ. n→∞ - Nếu q = 1 thì Sn = n, khi đó S = lim Sn = ∞ chuối phân kỳ. n→∞ - Nếu q = −1 chuỗi số có dạng 1 − 1 + 1 − 1 + Khi đó Sn = 0 khi n chẵn, Sn = 1 khi n lẻ, do đó Sn không dần tới một giới hạn xác định khi n → ∞, vậy chuối phân kỳ. ∞ P n Tóm lại, chuỗi số q hội tụ khi |q| 1. n=0 ∞ P Định lý 1. (Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ). Nếu chuỗi số un hội tụ thì số hạng n=1 tổng quát un dần tới 0 khi n → ∞ Chứng minh. Thật vậy, un = Sn − Sn−1, mặt khác do chuỗi hội tụ nên lim Sn = lim Sn−1 = S ⇒ lim un = lim (Sn − Sn−1) = 0 n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ do đó lim un = 0. n→∞ Chú ý. Điều kiện lim un = 0 chỉ là điều kiện cần chứ không phải điều kiện đủ để n→∞ ∞ P chuỗi un hội tụ. n=1 ∞ P 1 1 Ví dụ. Chuỗi điều hòa có số hạng tổng quát un = → 0 khi n → ∞, nhưng chuỗi n=1 n n phân kỳ. Thật vậy, xét 1 1 1 1 1 1 n 1 S − S = + + + > + + + = = , ∀n 1 2n n n + 1 n + 1 2n 2n 2n 2n 2n 2 > Nếu chuỗi hội tụ thì Sn,S2n cùng dần tới một giới hạn khi n → ∞, tức là lim (S2n − Sn) = n→∞ 1 0 điều này mâu thuẫn với S − S . 2n n > 2 ∞ P Từ định lý trên suy ra nếu un không dần tới 0 khi n → ∞ thì chuỗi số un phân kỳ. n=1 4.1.2 Tiêu chuẩn Cauchy. ∞ P Định lý 2. Chuỗi số un hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0 cho trước, tìm được số n=1 p P nguyên dương n0 sao cho khi p > p ≥ n0 ta có |Sp − Sq| = un < ε. n=q+1 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 46
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Chứng minh. Thật vậy, chuỗi số hội tụ khi và chỉ khi dãy các tổng riêng Sn hội tụ. Theo tiêu chuẩn Cauchy về dãy số hội tụ, dãy Sn hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0 cho trước, p P tìm được số nguyên dương n0 sao cho khi p > p ≥ n0 ta có |Sp − Sq| = un 0 với mọi n = 1, 2, 3, n=1 Ta có Sn+1 = Sn + un+1, un+1 > 0 suy ra Sn+1 > Sn. Vậy {Sn} là một dãy tăng. Do đó nếu dãy số {Sn} bị chặn trên thì tồn tại lim Sn, khi đó chuỗi hội tụ. Nếu dãy n→∞ số {Sn} không bị chặn thì lim Sn = ∞, chuỗi phân kỳ. n→∞ 4.2.2 Các định lý so sánh. Định lý 3. (Quy tắc so sánh). ∞ ∞ P P Cho hai chuỗi số dương un và vn. Giả sử un 6 vn, ∀n > n0 ∈ N. Khi đó n=1 n=1 ∞ ∞ P P a, Nếu chuỗi số vn hội tụ thì chuỗi số un cũng hội tụ. n=1 n=1 ∞ ∞ P P b, Nếu un phân kỳ thì chuỗi số vn phân kỳ. n=1 n=1 Chứng minh. Theo tính chất c của chuỗi số ở mục (3.1.4), ta có thể xem n0 = 1. Đặt n n P 0 P 0 Sn = uk, Sn = vk. Do uk ≤ vk với mọi k ≥ 1 suy ra Sn ≤ Sn. k=1 k=1 ∞ P 0 0 0 0 a, Nếu chuỗi số vn hội tụ và có tổng là S thì Sn ≤ S suy ra Sn ≤ S nên tổng n=1 ∞ P riêng Sn bị chặn trên, do đó chuỗi un hội tụ. n=1 ∞ P 0 b, Nếu chuỗi số un phân kỳ thì lim Sn = +∞ suy ra lim Sn = +∞, do đó chuỗi n=1 n→∞ n→∞ ∞ P số vn phân kỳ. n=1 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 47
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi số. ∞ ∞ X 1 X 1 a, √ ; b, √ 3n 3 n 3 n n=1 n=1 ∞ 1 1 1 ∞ 1n Giải. a, Chuỗi số P √ hội tụ, vì √ với mọi n ≥ 1, mà chuỗi P 3 n 3 n 6 n n=1 n.3 n.3 3 n=1 3 hội tụ. ∞ 1 1 1 ∞ 1 b, Chuỗi số P √ phân kỳ, vì √ với mọi n ≥ 1 và chuỗi số P phân kỳ. 3 3 > n=1 n n n n=1 n ∞ ∞ P P Định lý 4. (Quy tắc tương đương). Cho hai chuỗi số dương un và vn. Nếu tồn n=1 n=1 u tại giới hạn hữu hạn lim n = k > 0 thì hai chuỗi số ấy đồng thời hội tụ hoặc đồng thời n→∞ vn phân kỳ u Chứng minh. Do lim n = k > 0 nên bắt đầu từ một số hạng nào đó trở đi ta có n→∞ vn k u 3k vn. n=1 2 Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi số. ∞ ∞ X 1 X π a, ln 1 + ; b, sin n 2n n=1 n=1 1 1 Giải. a, Ta có ln 1 + ∼ suy ra n n 1 ln 1 + n lim = 1 n→∞ 1 n ∞ 1 ∞ 1 mà chuỗi P phân kỳ. Theo tiêu chuẩn tương đương chuỗi P ln 1 + phân kỳ . n=1 n n=1 n b, Ta có π sin n lim 2 = 1 n→∞ π 2n ∞ ∞ P π P π chuỗi n hội tụ, suy ra chuỗi sin n hội tụ. n=1 2 n=1 2 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 48
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 4.2.3 Các quy tắc khảo sát sự hội tụ của chuỗi số. ∞ P Định lý 5. (Quy tắc D’Alembert.) Cho chuỗi số dương un. Nếu n=1 u lim n+1 = r (4.1) n→∞ un ∞ P thì chuỗi số un hội tụ khi r 1 n=1 u Chứng minh. Thật vậy, giả sử r n0 thì = r + ε. Có thể xem n0 = 1. Khi un đó un un−1 u2 n−1 un = u1 1, thì từ một số hạng nào đó trở đi, > 1, do n=1 un đó un+1 > un, tức là số hạng tổng quát không dần tới 0 khi n → ∞, vậy chuỗi số phân kỳ. ∞ α P (n!) Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi số n , α ∈ R. n=1 n Thật vậy, ta có α n −n un+1 [(n + 1)!] n α−1 1 1 α−1 lim = lim n+1 . α = = lim (n + 1) 1 + = lim (n + 1) n→∞ un n→∞ (n + 1) (n!) n→∞ n e n→∞ u Nếu α > 1, lim n+1 = +∞, chuỗi phân kỳ. n→∞ u u n Nếu α 1 ∞ n P 2 2n π π Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi 2 sin α, với − , tức là − < α < − , < α < chuỗi phân kỳ. 2 2 4 4 2 ∞ π P 1 Nếu α = ± , ta có chuỗi 2 , nó hội tụ. 4 n=1 n Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 49
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Định lý 7. (Quy tắc so sánh với tích phân). Giả sử hàm số f(x) liên tục, dương, giảm +∞ trên khoảng [1, +∞) và dần tới 0 khi x → ∞. Khi đó tích phân suy rộng R f (x) dx và 1 ∞ P chuỗi số un, trong đó un = f (n), cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ n=1 ∞ P 1 Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi số α , α là hằng số (Chuỗi Riemann). n=1 n 1 Đặt f (x) = , ta có f(x) liên tục, dương, đơn điệu giảm trên [1, +∞) và u = f (n), xα n ∞ R 1 do đó chuỗi Riemann và tích phân suy rộng α dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Ta 1 x ∞ R 1 đã biết tích phân α dx hội tụ khi α > 1, phân kỳ khi α ≤ 1, nên chuỗi Riemann hội 1 x tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1. 4.3 Chuỗi số có số hạng với dấu bất kỳ 4.3.1 Hội tụ tuyệt đối. Bán hội tụ. ∞ P Xét chuỗi số un với các số hạng un bất kỳ. n=1 ∞ ∞ P P Định lý 8. Nếu chuỗi |un| hội tụ thì chuỗi un cũng hội tụ n=1 n=1 ∞ P Chứng minh. Thật vậy, vì chuỗi |un| hội tụ nên theo tiêu chuẩn Cauchy, với mọi ε > 0 n=1 p ∗ P cho trước, tìm được n0 ∈ N sao cho khi p > q ≥ n0 ta có |un| < ε. Do đó n=q+1 p p X X un 6 |un| < ε n=q+1 n=q+1 ∞ P Vậy chuỗi un hội tụ. n=1 ∞ P cos n Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi số 2 . n=1 n Xét chuỗi ∞ ∞ X cos n X |cos n| = n2 n2 n=1 n=1 |cos n| 1 ∞ 1 ∞ cos n P P Vì 2 < 2 và chuỗi 2 (Chuỗi Riemann với α = 2) hội tụ, nên chuỗi 2 n n n=1 n n=1 n ∞ P cos n hội tụ, do đó chuỗi 2 hội tụ. n=1 n ∞ ∞ P P Chú ý. Chuỗi |un| hội tụ chỉ là điều kiện đủ để chuỗi un hội tụ, chứ không phải là n=1 n=1 điều kiện cần. Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 50
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Định nghĩa. ∞ ∞ P P Chuỗi un được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi |un| hội tụ, là bán hội tụ n=1 n=1 ∞ ∞ P P nếu chuỗi un hội tụ nhưng chuỗi |un| phân kỳ. n=1 n=1 ∞ P Chú ý. Nếu dùng quy tắc D’Alembert hay quy tắc Cauchy mà biết được chuỗi |un| n=1 ∞ P phân kỳ thì chuỗi un phân kỳ. Thật vậy, khi đó |un| không dần tới 0 khi n → ∞, do n=1 đó un cũng không dàn tới 0, vậy chuỗi số phân kỳ. 4.3.2 Chuỗi số đan dấu. Chuỗi số đan dấu là chuỗi số có dạng ± (u1 − u2 + u3 − u4 ), trong đó u1, u2, u3, là những số dương. Rõ ràng ta chỉ cần xét chuỗi số đan dấu với số hạng đầu tiên dương: u1 − u2 + u3 − u4 Định lý 9. (Leibniz). Nếu dãy số dương u1, u2, u3, , un, giảm và dần tới 0 khi n → ∞ thì chuỗi số đan dấu u1 − u2 + u3 − u4 hội tụ và có tổng bé thua u1 Chứng minh. Với n số chẵn, n = 2m, ta có S2m = (u1 − u2) + (u3 − u4) + + (u2m−1 − u2m) Do un giảm nên S2m tăng khi m tăng. Mặt khác S2m = u1 − (u2 − u3) − (u4 − u5) − − (u2m−2 − u2m−1) − u2m do đó S2m = u1. Vậy dãy số S2m tăng và bị chặn trên, nên tồn tại giới hạn lim S2m = S, n→∞ với S 6 u1. Nếu n lẻ, n = 2m + 1, ta có S2m+1 = S2m + u2m+1. Vì u2m+1 → 0 khi n → ∞ nên lim S2m+1 = lim S2m = S. Vậy chuỗi số đan dấu hội tụ và có tổng bé thua u1. n→∞ n→∞ ∞ 1 Ví dụ. Xét chuỗi đan dấu P (−1)n−1 . Ta có các số hạng của chuỗi đơn điệu giảm n=1 n và dần tới 0, do đó nó thỏa mãn các điều kiện của định lý Liebniz, nên nó hội tụ. Mặt ∞ ∞ P n−1 1 P 1 khác ta có (−1) = phân kỳ (chuỗi điều hòa). Vậy chuỗi đang xét bán hội n=1 n n=1 n tụ. 4.3.3 Các tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối. Ta biết rằng tổng của một số hữu hạn số hạng có tính chất giao hoán và tính kết hợp: nó không thay đổi khi ta thay đổi thứu tự của các số hạng của nó hay khi nhóm một số hạng lại một cách tùy ý trước khi cộng. Nhưng điều đó không còn đúng đối với tổng của Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 51
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 một chuỗi các số hạng có dấu bất kỳ. ∞ 1 Ví dụ. Xét chuỗi P (−1)n−1 . n=1 n Ta có 1 1 1 1 1 S = 1 − + − + − + (1) 2 3 4 5 6 ∞ 1 Khi đó chuỗi P (−1)n−1 cũng hội tụ và có tổng là n=1 2n S 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + (2) 2 2 4 6 8 5 6 " # +∞ (−1)n−1 (−1)n−1 Nên chuỗi P + cũng hội tụ và có tổng là n=1 n 2n 3S 1 1 1 1 1 = 1 + − + + − + (3) 2 3 2 5 7 4 Nhưng chuỗi số (3) lại suy ra từ chuỗi số (1) bằng cách thay đổi thứ tự của các số hạng. Vậy khi ta thay đổi thứ tự của các số hạng của nó, tổng của nó đã thay đổi. Tuy nhiên tính chất giao hoán và tính chất kết hợp vẫn đúng với các chuỗi số hội tụ tuyệt dối. Người ta chứng minh được các tính chất sau: Tính chất 1. Với chuỗi hội tụ tuyệt đối, tính hội tụ và tổng của nó không thay đổi khi ta thay đổi thứ tự các số hạng và nhóm tùy ý một số số hạng. Với chuỗi số bán hội tụ, ta có thể thay đổi thứ tự của các số hạng của nó để nhận được chuỗi số hội tụ và có tổng bằng một số bất kỳ cho trước, hoặc trở nên phân kỳ. Định nghĩa. ∞ ∞ ∞ P P P Cho hai chuỗi số un và vn, người ta gọi tích của chúng là chuỗi số wn, trong n=1 n=0 n=0 n P đó wn = ukvn−k. k=0 Tính chất 2. ∞ ∞ P P Nếu hai chuỗi un và vn hội tụ tuyệt đối và có tổng là U và V thì tích của chúng n=1 n=0 hội tụ tuyệt đối và có tổng là U.V . Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 52
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 4.4 Chuỗi hàm số 4.4.1 Hội tụ và hội tụ đều. Tổng vô hạn ∞ X un (x) (4.3) n=1 trong đó un (x) là các hàm số xác định trên tập hợp X ⊂ R, được gọi là chuỗi hàm số. n P Sn (x) = uk (x) được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm. k=1 Định nghĩa 1. Chuỗi hàm số (4.3) được gọi hội tụ tại điểm x0 ∈ X nếu dãy hàm số {Sn (x)} hội tụ tại điểm x0 và được gọi là hội tụ trên tập X nếu nó hội tụ tại mọi điểm thuộc X. Giới hạn S của {Sn (x)} gọi là tổng của chuỗi. Ví dụ 1. Xét chuỗi hàm số x + x2 + x3 + x4 + + xn + x là cấp số nhân vô hạn công bội x, nó hội tụ và có tổng là S (x) = nếu |x| 0, tồn tại số n0 ∈ N sao cho Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 53
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 với mọi n ≥ n0 thì |S (x) − Sn (x)| − 1 thì |S (x) − S (x)| 0, tìm được số nguyên n0 sao cho khi p > q > n0 ta có |Sp (x) − Sq (x)| 0, tìm được số n0 sao cho khi p > q > n0 ta có an < ε. n=q+1 Do đó |Sp (x) − Sq (x)| = |uq+1 (x) + + up (x)| 6 |uq+1 (x)| + + |up (x)| 6 aq+1 + + ap < ε Vậy chuỗi hàm số đã cho hội tụ đều trên X. ∞ P sin nx Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi hàm: 2 2 n=1 n + x Ta có: sin nx 1 , ∀n, ∀x ∈ R n2 + x2 6 n2 ∞ P 1 mà chuỗi số 2 hội tụ nên chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên R (theo tiêu n=1 n chuẩn Weierstrass). Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 54
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 4.4.3 Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều. Ta biết rằng tổng của một số hữu hạn các hàm số liên tục là một hàm số liên tục, đạo hàm (tích phân) của tổng của một số hữu hạn hàm số bằng tổng đạo hàm (tích phân) của mỗi số hạng. Đối với các chuỗi hàm số, các tính chất ấy nõi chung không còn đúng nữa, nhưng các tính chất ấy vẫn đúng đối với các chuỗi hàm số hội tụ đều. ∞ P Định lý 12. Cho chuỗi hàm số un. Nếu các số hạng un đều liên tục trên khoảng I, n=1 chuỗi hàm số hội tụ đều trên I thì tổng của nó cũng liên tục trên I. Từ định lý ta có: Nếu chuỗi hàm số có các số hạng liên tục mà hội tụ tới một hàm số gián đoạn trên X thì chuỗi hàm số ấy hội tụ không đều trên X. ∞ P Định lý 13. Cho chuỗi hàm số un. Nếu các số hạng un đều liên tục trên [a, b], chuỗi n=1 hàm số hội tụ đều trên đoạn đó tới S(x) thì b b " ∞ # ∞ b Z Z X X Z S (x)dx = un (x) dx = un (x)dx a a n=1 n=1 a ∞ P Định lý 14. Cho chuỗi hàm số un hội tụ đều trên (a, b) tới S, các số hạng un liên n=1 ∞ P 0 tục cùng với đạo hàm của chúng trên (a, b). Khi đó nếu chuỗi hàm số un hội tụ đều n=1 trên (a, b) thì tổng S khả vi trên (a, b) và ta có ∞ !0 ∞ 0 X X 0 S (x) = un (x) = un (x) n=1 n=1 ∞ P sin nx sin nx 1 Ví dụ. Xét chuỗi hàm số 3 . Ta có un (x) = 3 và |un (x)| 6 3 , ∀x ∈ R, ∀n n=1 n n n ∞ P 1 mà chuỗi số 3 hội tụ nên chuỗi hàm số đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên R do đó n=1 n S(x) là tổng của một chuỗi hàm số hội tụ đều với các số hạng đều liên tục trên R nên nó là một hàm số liên tục. Suy ra π π π " ∞ # ∞ ∞ n Z Z X sin nx X 1 Z X 1 − (−1) S (x)dx = dx = sin nxdx = n3 n3 n4 0 0 n=1 n=1 0 n=1 ∞ 0 cos nx P cos nx Vì un (x) = 2 mà chuỗi hàm số 2 hội tụ đều trên R, nên ta có n n=1 n ∞ ∞ 0 P 0 P cos nx Sn (x) = un (x) = 2 n=1 n=1 n Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 55
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 4.5 Chuỗi lũy thừa 4.5.1 Định nghĩa. Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng ∞ X n 2 n anx = a0 + a1x + a2x + + anx + (4.4) n=0 trong đó an là các hằng số và gọi là hệ số của chuỗi lũy thừa. Định lý 15. (Abel). ∞ P n a, Nếu chuỗi lũy thừa anx hội tụ tại điểm x = x0 6= 0 thì nó hội tụ tuyệt đối tại n=0 mọi x với |x| |x1|. ∞ ∞ P n P n Chứng minh. a, Nếu chuỗi anx hội tụ tại x0, chuỗi số anx0 hội tụ, do đó số n=0 n=1 n n hạng tổng quát anx0 dần tới 0 khi n → ∞, vì vậy dãy số {anx0 } bị chặn, tức là tồn tại n mọt số dương M sao cho |anx0 | 6 M, ∀n > 0. Ta viết n n n n n x n x x |anx | = anx = |anx | . M , ∀n 0. 0 0 6 x0 > x0 x0 ∞ n ∞ P x x P n Chuỗi M hội tụ nếu |x1| theo ý a, nó hội n=0 ∞ P n tụ tại mọi x thỏa mãn |x| |x1|. ∞ P n Rõ ràng chuỗi lũy thừa anx hội tụ tại x = 0 .Từ định lý Abel suy ra tồn n=0 ∞ P n tại số 0 ≤ R ≥ ∞ sao cho chuỗi anx hội tụ trong khoảng (−R, R), phân kỳ trong n=0 các khoảng (−∞, −R) và (R, +∞). Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa, khoảng (−R, R) gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa. Tại x = −R và x = R chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ. 4.5.2 Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. |a | √ n+1 n Định lý 16. Nếu lim = p (hoặc lim an = p) thì bán kính hội tụ R của chuỗi n→∞ |an| n→∞ ∞ P n lũy thừa anx được cho bởi công thức n=0 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 56
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2  1  nếu 0 1, tức là |x| > , chuỗi |anx | phân kỳ, do p p n=0 ∞ ∞ P n 1 P n đó chuỗi anx phân kỳ. Vậy R = (Vì |anx | phân kỳ, do đó số hạng tổng quát n=0 p n=0 n n lim |anx | không dần tới 0 khi n → ∞, suy ra lim anx không dần tới 0 khi n → ∞). n→∞ n→∞ n ∞ |an+1x | P n Nếu p = +∞ thì lim n = +∞, ∀x 6= 0, khi đó anx phân kỳ tại mọi x 6= 0. n→∞ |anx | n=0 Vậy R = 0. n ∞ |an+1x | P n Nếu p = 0 thì lim n = 0 < 1, ∀x ∈ R, khi đó anx hội tụ tuyệt đối tại mọi n→∞ |anx | n=0 x ∈ R. Vậy R = +∞. √ n Trường hợp lim an = p chứng minh tương tự. n→∞ Chú ý. Để tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa, ta tìm bán kính hội tụ R để xác định khoảng hội tụ (−R, R) của nó, rồi xét sự hội tụ của chuỗi tại hai điểm đầu mút x = ±R. ∞ n P x Ví dụ 1. Xét chuỗi lũy thừa n . n=0 n 2 Ta có n |an+1| n.2 1 lim = lim n+1 = n→∞ |an| n→∞ (n + 1) .2 2 suy ra R = 2. Vậy chuỗi hội tụ trong khoảng (−2, 2). Tại x = −2, ta có chuỗi số ∞ n ∞ n X (−2) X (−1) = n 2n n n=0 n=0 là chuỗi đan dấu, nó hội tụ theo Leibniz. ∞ 1 Tại x = 2, ta có chuỗi số P , là chuỗi điều hòa, nó phân kỳ. n=0 n Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là [−2, 1). ∞ xn Ví dụ 2. Xét chuỗi lũy thừa P . n=0 n! Ta có |a | n! lim n+1 = lim = 0 n→∞ |an| n→∞ (n + 1)! Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 57
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Do đó R = +∞. Vậy chuỗi đã cho hội tụ trên toàn R. ∞ n n Ví dụ 3. Xét chuỗi lũy thừa P (x + 3)n. n=1 n + 1 ∞ n n Đặt x + 3 = X, ta được chuỗi lũy thừa P Xn. Ta có n=1 n + 1 √ n n lim an = lim = 1 n→∞ n→∞ n + 1 ∞ n n suy ra R = 1. Khoảng hội tụ của chuỗi P Xn là (−1, 1), do đó chuỗi lũy thừa n=1 n + 1 đã cho hội tụ trong khoảng (−4, −2). ∞ n n Tại x = −2, ta có chuỗi P , do n=1 n + 1 n n 1 1 lim = lim n = n→∞ n + 1 n→∞ 1 e 1 + n nên chuỗi phân kỳ. ∞ n n Tại x = −4 ta có chuỗi P (−1)n , số hạng tổng quát không dần tới 0 khi n=1 n + 1 n → ∞, do đó chuỗi phân kỳ. Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là (−4, −2). 4.5.3 Tính chất của chuỗi lũy thừa. ∞ P n Tính chất 1. Chuỗi lũy thừa anx hội tụ đều trên mọi đoạn [a, b] nằm trong khoảng n=0 hội tụ của nó. ∞ P n Tính chất 2. Tổng của chuỗi lũy thừa anx là một hàm số liên tục trong khoảng n=0 hội tụ của nó. ∞ P n Tính chất 3. Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa anx trên mọi n=0 đoạn [a, b] nằm trong khoảng hội tụ của nó b ∞ ∞ b R P n P R n anx dx = anx dx a n=0 n=0 a ∞ P n Tính chất 4. Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi lũy thừa anx tại mọi n=0 điểm nằm trong khoảng hội tụ của nó ∞ 0 P n 2 n−1 anx = a1 + 2a2x + 3a3x + + nanx + n=0 chuỗi này cũng là chuỗi lũy thừa có khoảng hội tụ là (−R, R). Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 58
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 4.5.4 Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa. Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm mọi cấp trong một lân cận của điểm x0 và có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một chuỗi lũy thừa trong lân cận ấy, tức là 2 n f (x) = a0 + a1 (x − x0) + a2 (x − x0) + + an (x − x0) + (4.5) trong đó a0, a1, , an, là những hằng số. Theo tính chất 4 của chuỗi lũy thừa, ta có  0 n−1 f (x) = a1 + 2a2 (x − x0) + + nan (x − x0) +  00 n−2 f (x) = 2a2 + 3.2a3 (x − x0) + + n (n − 1) an (x − x0) + (4.6) f (n) (x) = n!a +  n  Thế x = x0 vào đẳng thức trên, ta được f 0 (x ) f 00 (x ) f (n) (x ) a = f (x ) , a = 0 , a = 0 , , a = 0 , 0 0 1 1! 2 2! n n! Vậy f 0 (x ) f 00 (x ) f (n) (x ) f (x) = f (x ) + 0 (x − x ) + 0 (x − x )2 + + 0 (x − x )n + (4.7) 0 1! 0 2! 0 n! 0 Chuỗi lũy thừa (4.7) được gọi là chuỗi Taylor của hàm số f(x) ở lân cận điểm x0. Nếu x0 = 0, ta có f 0 (x ) f 00 (x ) f (n) (x ) f (x) = f (x ) + 0 x + 0 x2 + + 0 xn + (4.8) 0 1! 2! n! Chuỗi lũy thừa (4.8) được gọi là chuỗi Mac Laurin của hàm số f(x). Như vậy, nếu hàm số f(x) có đạo hàm mọi cấp và có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của một chuỗi lũy thừa trong một lân cận nào đó của điểm x0 thì chuỗi lũy thừa đó phải là chuỗi Taylor của hàm số f(x) trong lân cận ấy. Vấn đề đặt ra; nếu hàm số f(x) có đạo hàm mọi cấp trong một lân cận của điểm x0, thì điều kiện nào chuỗi Taylor của hàm số f(x) hội tụ và có tổng bằng f(x). Khi đó ta nói rằng hàm số f(x) đã được khai triển thành chuỗi Taylor. Vậy ta cần tìm điều kiện để có thể khai triển hàm số f(x) thành chuỗi Taylor. Theo công thức Taylor(Chương VIII, Phép tính vi phân hàm số một biến), hàm số f(x) có đạo hàm mọi cấp ở lân cận x0 có thể khai triển thành f 0 (x ) f 00 (x ) f (n) (x ) f (x) = f (x ) + 0 (x − x ) + 0 (x − x )2 + + 0 (x − x )n + R (x) 0 1! 0 2! 0 n! 0 n trong đó f (n+1) (ξ) R (x) = (x − x )n+1 (4.9) n (n + 1)! 0 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 59
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 trong đó ξ là một điểm nào đó giữa x và x0. Do đó nếu lim Rn (x) = 0 (4.10) n→∞ thì f 0 (x ) f 00 (x ) f (n) (x ) f (x) = f (x ) + 0 x + 0 x2 + + 0 xn + 0 1! 2! n! tức là hàm số f(x) khai triển được thành chuỗi Taylor ở lân cận x0. Định lý 17. Nếu trong một lân cận nào đó của x0, hàm số f(x) có đạo hàm mọi cấp và trong lân cận ấy (n) f (x) 6 M, ∀n > 0 (4.11) M là một số dương nào đó, thì hàm số f(x) có thể khai triển được thành chuỗi TayLor trong lân cận ấy. Chứng minh. Từ (4.11), ta có f (n+1) (ξ) M |R (x)| = |x − x |n+1 |x − x |n+1. n (n + 1)! 0 6 (n + 1)! 0 ∞ n n P x |x| Chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối trên R, nên → 0 khi n → ∞, do đó n=0 n! n! n+1 |x − x0| → 0 khi n → ∞. Vậy lim Rn (x) = 0. Theo nhận xét trên, f(x) có thể (n + 1)! n→∞ khai triển được thành chuỗi Taylor. 4.5.5 Khai triển một số hàm số sơ cấp thành chuỗi lũy thừa. Hàm số f (x) = ex Hàm số ex có đạo hàm mọi cấp và các đạo hàm ấy đều bằng ex với mọi x ∈ R, do đó f (0) = f 0 (0) = = f (n) (0) = = 1. Vậy chuỗi Mac Laurin của hàm số f(x) = ex có dạng x2 xn 1 + x + + + + 2! n! Giả sử A là một số dương bất kỳ. Ta có ∀n ∈ N, ∀x ∈ (−∞, ∞) f (n) (x) = ex < eA = M Do đó theo định lý 17 hàm số f(x) = ex khai triển được thành chuỗi Mac Laurin trong x lân cận (−A, A) của điểm x0 = 0. Vì A là số bất kỳ, nên hàm số e có thể khai triển được thành chuỗi Mac Laurin ∀x ∈ R là ∞ x2 xn X xn ex = 1 + x + + + + = (4.12) 2! n! n! n=0 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 60
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Hàm số f (x) = sinx Ta có (n) π (n) π f (x) = sin x + n và f (x) = sin x + n 1, ∀x ∈ , ∀n ∈ 2 2 6 R N do đó có thể khai triển sinx thành chuỗi Mac Laurin với mọi x. Vì f (0) = 0, f 0 (0) = 1, f 00 (0) = 0, f 000 (0) = 1, f (4) (0) = 0, f (5) (0) = 1, , ta có x3 x5 x2n−1 sin x = x − + − + (−1)n−1 + (4.13) 3! 5! (2n − 1)! Hàm số f (x) = cosx Tương tự như trên ta có x2 x4 x2n cos x = 1 − + − + (−1)n + (4.14) 2! 4! (2n)! Hàm số f (x) = (1 + x)α,α là một số thực bất kỳ Ta có, với mọi n, f (n) (x) = α (α − 1) (α − 2) (α − n + 1) (1 + x)α−n do đó f (n) (0) = α (α − 1) (α − 2) (α − n + 1). Vậy chuỗi Mac Laurin của hàm số là α α (α − 1) α (α − 1) (α − n + 1) (1 + x)α = 1 + x + x2 + + xn + (4.15) 1! 2! n! Ta tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa (4.15). |a | |α (α − 1) (α − n) .n!| |α − n| lim n+1 = lim = lim = 1 n→∞ |an| n→∞ |α (α − 1) (α − n + 1) (n + 1)!| n→∞ n + 1 Vậy chuỗi lũy thừa (4.15) hội tụ khi |x| < 1. Hàm số f (x) = ln(1 + x) Ta có f 0 (x) = (1 + x)−1, ta lấy tích phần từng số hạng của chuỗi (4.15) với α = −1, ta được x x x x x x R dx R R R 2 R n n ln (1 + x) = ln (1 + x)|0 = = dx − xdx + x dx + + (−1) x dx + 0 1 + x 0 0 0 0 hay x2 x3 xn+1 ln (1 + x) = x − + − + (−1)n + , −1 < x < 1. (4.16) 2 3 n + 1 Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 61
Bộ môn Khoa học Cơ Bản Bài giảng TOÁN CAO CẤP 2 Hàm số f (x) = arctanx 1 Vì (arctan x)0 = , nên trong (4.15) thay x = x2 và α = −1, ta được 1 + x2 1 (arctan x)0 = = 1 − x2 + x4 − x6 + + (−1)n x2n + 1 + x2 Ta có x3 x5 x7 x2n+1 arctan x = x − + − + + (−1)n + , −1 < x < 1. (4.17) 3 5 7 2n + 1 4.5.6 Công thức Euler Ta mở rộng định nghĩa hàm số mũ ex với biến số độc lập là số phức: z2 zn ez = 1 + z + + + + 2! n! Chuỗi này hội tụ tại mọi z ∈ C. Với z = ix, x ∈ R ta có ix x2 ix x4 ix5 ix2n−1 ix2n eix = 1 + − − + + + + (−1)n + (−1)n + = 1! 2! 3! 4! 5! (2n − 1)! (2n)! x2 x4 x2n x x3 x5 x2n−1 = 1 − + − (−1)n + + i − + − + (−1)n + 2! 4! (2n)! 1! 3! 5! (2n − 1)! Vậy eix = cos x + i sin x (4.18) e−ix = cos x − i sin x (4.19) Do đó eix + e−ix cos x = (4.20) 2 eix − e−ix sin x = (4.21) 2i Các công thức (4.18), (4.19), (4.20), (4.21) gọi là công thức Euler. 4.5.7 Ứng dụng chuỗi lũy thừa để tính gần đúng Tính gần đúng giá trị của hàm số tại một điểm Sử dụng công thức (4.7) để tính gần đúng f(x) trong miền hội tụ của chuỗi. Sai số mắc phải là Rn(x) theo công thức (4.9). −5 Ví dụ. Tính số e với độ chính xác 10 . Trong (4.7) cho x = 1 và x0 = 0, ta có 1 1 e ≈ 1 + 1 + + + 2! n! Đàm Thanh Phương - Ngô Mạnh Tưởng 62