Bài giảng môn Đại số tuyến tính

79 trang phuongnguyen 3250

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn Đại số tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_mon_dai_so_tuyen_tinh.pdf

Nội dung text: Bài giảng môn Đại số tuyến tính

Bài giảng đại số tuyến tính
MU. C LU. C . 1 Ma trˆa.n - D- .inh thu´c 3 1.1 Ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 D- .inh nghı˜a v`a ca´c kha´i niˆe.m . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Ca´c phe´p toa´n trˆen ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . 1.1.3 Ma trˆa.n d¯ˆo´i xu´ng v`a ma trˆa.n pha’n xu´ng. . . . . . . . 8 . 1.1.4 D- a thu´c ma trˆa.n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . 1.2 D- .inh thu´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Phe´p thˆe´ - Nghi.ch thˆe´. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . 1.2.2 D- .inh thu´c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Ma trˆa.n kha’ nghi.ch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Ha.ng cu˙’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . 2 Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh 31 . . 2.1 Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t. . . . . . . . . . . . . 31 2.1.1 D- .inh nghı˜a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 . . 2.1.2 Gia’i hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh. . . . . . . . . . . . . 33 . . 2.2 Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t. . . . . . . . . . . . . 40 2.2.1 D- .inh nghı˜a v`a tı´nh chˆa´t. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 . . . 2.2.2 Hˆe. nghiˆe.m co ba’n cu’a hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 . . 2.2.3 Cˆa´u tru´c nghiˆe.m cu’a hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Khˆong gian vector 47 3.1 Kha´i niˆe.m v`ˆe khˆong gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.1 D- .inh nghı˜a khˆong gian vector . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.2 V`ai v´ı du. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 . 3.1.3 Mˆo.t sˆo´ tı´nh chˆa´t d¯on gia’n cu’a khˆong gian vector. . . . 49 3.2 Khˆong gian vector con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 . 3.3 Su. phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh v`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. . . . . . . . 51 1
MU. C LU. C 2 . 3.3.1 Tˆo’ ho. p tuyˆe´n tı´nh v`a biˆe’u thi. tuyˆe´n tı´nh. . . . . . . . 51 3.3.2 D- oˆ.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh. . . . . . . 52 3.3.3 V`ai t´ınh chˆa´t v`ˆe hˆe. phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh v`a hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 Ha.ng cu˙’a mˆo.t hˆe. vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4.1 Hˆe. con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh tˆo´i d¯a.i. . . . . . . . . . . . . 55 3.4.2 Ha.ng cu˙’a mˆo.t hˆe. vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 n 3.4.3 C´ac hˆe. vector trong K . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 . . 3.5 Co so˙’ - Sˆo´ chi`ˆeu - To.a d¯ˆo. cu˙’a khˆong gian vector. . . . . . . . 57 3.5.1 Co. so˙’. cu˙’a khˆong gian vector. . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5.2 Hˆe. sinh cu˙’a mˆo.t khˆong gian vector. . . . . . . . . . . . 58 . 3.5.3 Sˆo´ chi`ˆeu. Khˆong gian hu˜u ha.n v`a vˆo ha.n chi`ˆeu. . . . . 59 3.5.4 To.a d¯ˆo. cu˙’a mˆo.t vector trong khˆong gian n chi`ˆeu. . . . 60 . . 4 Da.ng to`an phuong 66 4.1 Anh´ xa. song tuyˆe´n t´ınh, da.ng song tuyˆe´n t´ınh. . . . . . . . . 66 4.1.1 D- .inh ngh˜ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.1.2 Ma trˆa.n cu˙’a da.ng song tuyˆe´n t´ınh. . . . . . . . . . . . 67 . . 4.2 Da.ng to`an phuong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.1 D- .inh ngh˜ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 . . . 4.2.2 D- ua da.ng to`an phuong v`ˆe da.ng ch´ınh tˇa´c. . . . . . . . 69 . . 4.2.3 Da.ng chuˆa˙’n tˇa´c cu˙’a da.ng to`an phuong. . . . . . . . . 76 . . . . 4.2.4 Da.ng to`an phuong x´ac d¯i.nh am,ˆ x´ac d¯i.nh duong, luˆa.t qu´an t´ınh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
Chu.o.ng 1 . Ma trˆa. n - D- .inh thu´c 1.1 Ma traˆ. n 1.1.1 D- .inh nghı˜a v`a ca´c kha´i niˆe.m . . Cho K la` mˆo.t truo`ng. . . D- .inh nghı˜a 1.1. Cho m, n la` hai sˆo´ nguyˆen duong. Ta go. i mˆo.t ma trˆa.n A . . . cˆa´p m n la` mˆo.t ba’ng gˆ`om m.n phˆ`an tu’ aij K (i = 1, m; j = 1, n) d¯uo. c × . ∈ s˘a´p xˆe´p tha`nh m do`ng v`a n cˆo.t nhu sau: a11 a12 . . . a1n a a . . . a n A =  21 22 2  · · · · · · · · · · · · a a . . . a   m1 m2 mn   Kı´ hiˆe.u: A = (aij)m n. . . × . . . . . Ca´c phˆ`an tu’ o’ do`ng thu´ i v`a cˆo.t thu´ j d¯uo. c go. i la` phˆ`an tu’ aij. Ca´c phˆ`an . . . . . . tu’ ai1, ai2, . . . , ain d¯uo. c go. i la` ca´c phˆ`an tu’ thuˆo.c do`ng thu´ i. Ca´c phˆ`an tu’ . . . . a1j, a2j, . . . , amj d¯uo. c go. i la` ca´c phˆ`an tu’ thuˆo.c cˆo.t thu´ j. Vı´ du.: 1 3 6 0 − 6 2 1 8 la` ma trˆa.n cˆa´p 3 4 (3 ha`ng, 4 cˆo.t)  −  × 2 2 5 1   Ca´c kha´i niˆe.m kha´c: . . 1. Ma trˆa.n khˆong. Mˆo.t ma trˆa.n cˆa´p m n d¯uo. c go. i la` ma trˆa.n khˆong nˆe´u . × mo. i phˆ`an tu’ d¯`ˆeu b˘a`ng 0. . . 2. Ma trˆan vuˆong. Mˆo.t ma trˆa.n A = (aij)m n d¯uo. c go. i la` ma trˆa.n vuˆong . × nˆe´u m = n. Lu´c d¯o´ ta go. i A la` ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n, kı´ hiˆe.u A = (aij)n. 3
. 4 1. Ma trˆa.n - D- .inh th´uc 3. Cho ma trˆa.n vuˆong a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A = (aij)n =   · · · · · · · · · · · · a a . . . a   n1 n2 nn .  .  . . Ca´c phˆ`an tu’ a11 , a22, . . . , ann go. i la` ca´c phˆ`an tu’ thuˆo.c d¯uo`ng che´o chı´nh. . . . . Ca´c phˆ`an tu’ a1n , a2n 1, . . . , an1 go. i la` ca´c phˆ`an tu’ n˘a`m trˆen d¯uo`ng che´o − phu. . . . . 4. Ma trˆa. n d¯on vi Cho ma trˆa.n vuˆong A = (aij)n. A d¯uo. c go. i la` ma trˆa.n . . . . d¯on vi. nˆe´u mo. i phˆ`an tu’ n˘a`m trˆen d¯uo`ng che´o chı´nh d¯`ˆeu b˘a`ng 1 co`n ca´c phˆ`an . . . . tu’ kha´c d¯`ˆeu b˘a`ng 0. Lu´c d¯o´ A d¯uo. c kı´ hiˆe.u la` In: ma trˆa.n d¯on vi. cˆa´p n. Vı´ du 1 0 0 1 0 I = I = 0 1 0 2 0 1 3   0 0 1 . .  5. Ma trˆa.n che´o. Cho A = (aij)n. A d¯uo. c go. i la` ma trˆa.n che´o nˆe´u mo. i . . . phˆ`an tu’ khˆong thuˆo.c d¯uo`ng che´o chı´nh d¯`ˆeu b˘a`ng 0. Vı´ du 1 0 0 A = 0 2 0 la` ma trˆan che´o.  −  . 0 0 5   6. Ma trˆa.n tam gia´c. Cho A = (aij)n. A la` ma trˆa.n tam gia´c trˆen nˆe´u . . . . . mo. i phˆ`an tu’ n˘a`m duo´i d¯uo`ng che´o chı´nh d¯`ˆeu b˘a`ng 0. A la` ma trˆa.n tam gia´c . . . . . duo´i nˆe´u mo. i phˆ`an tu’ n˘a`m trˆen d¯uo`ng che´o chı´nh d¯`ˆeu b˘a`ng 0. A la` mˆo.t ma . . trˆa.n tam gia´c nˆe´u no´ la` ma trˆa.n tam gia´c trˆen ho˘a.c duo´i. a11 a12 . . . a1n 1 a1n − 0 a22 . . . a2n 1 a2n  −  A = la` ma trˆa.n tam gia´c trˆen. · · · · · · · · · · · · · · ·  0 0 . . . an 1n 1 an 1n  − − −   0 0 . . . 0 a   nn    a11 0 . . . 0 0 a21 a22 . . . 0 0 B =   la` ma trˆan tam gia´c du.o´.i. · · · · · · · · · · · · · · · . an 11 an 11 . . . an 1n 1 0   − − − −   an1 an2 . . . an 1n ann  −  Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuy ˆe´n tı´nh 
1.1. Ma trˆa.n 5 . . 7. Ma trˆa.n A = (aij)1 n = [a11, a12, . . . , a1n] d¯uo. c go. i la` ma trˆa.n do`ng. × a11 a21 . . Ma trˆa.n B = (bij)m 1 =   d¯uo. c go. i la` ma trˆa.n cˆo.t. × · · · a   m1 8. Ma trˆan bˆac thang. Matrˆa.n cˆa´p m n co´ aij = 0 ; i, j , i > j go. i la` . . × ∀ ma trˆa.n bˆa.c thang. Vı´ du.: 3 4 5 6 7 8 0 0 7 6 9 4 A =   la` ma trˆan bˆac thang. 0 0 0 0 1 2 . . 0 0 0 0 0 0     . . 9. Hai ma trˆa.n A = (aij)m n v`a B = (bij)m n d¯uo. c go. i la` b˘a`ng nhau nˆe´u × × aij = bij, i = 1, m, j = 1, n. ∀ ∀ 1.1.2 Ca´c phe´p toa´n trˆen ma trˆa.n a. Cˆo.ng ma trˆa.n. D- .inh nghı˜a 1.2. Cho hai ma trˆa.n cu`ng cˆa´p A = (aij)m n v`a B = (bij)m n. × . × Tˆo’ng cu’a hai ma trˆa.n A, B la` mˆo.t ma trˆa.n C = (cij)m n v´oi cij = aij + × bij, i = 1, m, j = 1, n. Kı´ hiˆeu: A + B = C. ∀ ∀ . Vı´ du 1 2 2 6 3 8 1 + 6 2 + 3 2 + ( 8) − − 4 2 5 + 2 2 1 = 4 + 2 2 + ( 2) 5 + 1  −   −   − −  7 3 4 0 0 5 7 + 0 3 + 0 4 + 5 − −       7 5 6 − = 6 0 6   7 3 9 −   Tı´nh chˆa´t 1.1. Cho A, B, C, 0 la` c´ac ma trˆa. n cu`ng cˆa´p, khi d¯o´ ta c´o: . (i) (A + B) + C = A + (B + C) (tı´nh kˆe´t ho. p) (ii) A + B = B + A(tı´nh giao ho´an) (iii) A + 0 = 0 + A = A Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. 6 1. Ma trˆa.n - D- .inh th´uc (iv) A + ( A) = ( A) + A = 0 − − . . . . b. Nhˆan mˆo. t phˆ`an tu’ cu’a truo`ng K v´oi ma trˆa.n. . D- .inh nghı˜a 1.3. Cho A = (aij)m n, k K. Phe´p nhˆan mˆo.t phˆ`an tu’ cu’a . . . × ∈ . truo`ng K v´oi ma trˆa.n A cho ta mˆo.t ma trˆa.n B = (bij)m n v´oi bij = k.aij, i = × ∀ 1, m, j = 1, n. ∀ Kı´ hiˆe.u: kA. ka11 . . . ka1n kA = B = (bij)m n = . . . . . . . . . ×   kam1 . . . kamn   D- a˘.t biˆe.t, khi k = 1 K, thay cho ( 1)A, ta se˜ viˆe´t A v`a go. i no´ la` ma −. ∈ − − trˆa. n d¯ˆo´i cu’a A. Nhu vˆa.y: ( aij)m n = (aij)m n i = 1, m, j = 1, n. − × − × ∀ ∀ Vı´ du 1 2 2 2 4 4 2. 4 2 5 = 8 4 10  −   −  7 3 4 14 6 8 − −     Tı´nh chˆa´t 1.2. Cho A, B la` c´ac ma trˆa. n cu`ng cˆa´p, α, β K. Khi d¯o´ ta c´o: ∈ (i) α(A + B) = αA + αB (ii) (α + β)A = αA + βA (iii) α(βA) = (αβ)A = β(αA) (iv) 1.A = A c. Phe´p nhˆan hai ma trˆa.n. D- .inh nghı˜a 1.4. Cho A = (aij)m n la` ma trˆa.n cˆa´p m n trˆen K v`a B = × × . (bjk)n p la` ma trˆa.n cˆa´p n p trˆen K. Ta go. i la` tı´ch cu’a A v´oi B, kı´ hiˆe.u AB, × × . . . mˆo.t ma trˆa.n C = (cik)m p cˆa´p m p trˆen K ma` ca´c phˆ`an tu’ cu’a no´ d¯uo. c xa´c × × d¯inh nhu. sau: n cik = aijbjk ; i = 1, m, k = 1, p. ∀ ∀ j=1 X Minh ho. a: Vı´ du Cho ca´c ma trˆa.n: 1 3 1 2 1 2 1 A = − , B = 2 1 , C = − 3 1 2   1 0 3 1 − Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh  
1.1. Ma trˆa.n 7 Khi d¯o´: 1 3 1 2 1 AB = − 2 1 3 1 2   3 1 − 1.1 + 2.2 +( 1).3 1.3 + 2.1 + ( 1).( 1) 2 6 = − − − = 3.1 + 1.2 + 2.3 3.3 + 1.1 + 2.( 1) 11 8 − 1 3 10 5 5 1 2 1 BA = 2 1 − = 5 5 0   3 1 2   3 1 0 0 5 − −     AC v`a CB khˆong xa´c d¯i.nh. Nhˆa. n xe´t: . . . 1 D- i`ˆeu kiˆe.n d¯ˆe’ phe´p nhˆan hai ma trˆa.n thu. c hiˆe.n d¯uo. c la` sˆo´ cˆo.t cu’a ma trˆa.n 1 b˘a`ng sˆo´ do`ng cu’a ma trˆa.n 2. 2 AB = BA. Phe´p nhˆan hai ma trˆan khˆong co´ tı´nh giao hoa´n. 6 . . . . Ta kı´ hiˆe.u Mm,n(K) la` tˆa.p tˆa´t ca’ nhu˜ng ma trˆa.n cˆa´p m n trˆen truo`ng K, . ×. . Mn(K) la` tˆa.p tˆa´t ca’ nhu˜ng ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n trˆen truo`ng K. . Tı´nh chˆa´t 1.3. V´oi phe´p nhˆan hai ma trˆa. n ta c´o c´ac tı´nh chˆa´t sau: (i) (AB)C = A(BC); A Mm,n(K), B Mn,p(K), C Mp,q(K). ∈ ∈ ∈ (ii) A(B + C) = AB + AC; A Mm,n(K), B, C Mn,p(K). ∈ ∈ (A + B)C = AC + BC; A, B Mm,n(K), C Mn,p(K). ∈ ∈ (iii) α(AB) = (αA)B = A(αB); A Mm,n(K), B Mn,p(K), α K. ∈ ∈ ∈ . (iv) AIn = A = ImA; A Mm,n(K), Im, In la` c´ac ma trˆa. n d¯on vi. cˆa´p lˆ`an . . ∈ luo. t la` m, n. d. Chuyˆe’n vi. ma trˆa.n. D- inh nghı˜a 1.5. Cho A = (aij)m n. Chuyˆe’n vi. cu’a ma trˆan A la` ma trˆa.n B . × co´ cˆa´p n m v`a ca´c phˆ`an tu’. d¯u.o.c xa´c d¯inh nhu. sau: × . . bij = aji, i = 1, m, j = 1, n. t Ta kı´ hiˆe.u ma trˆa.n chuyˆe’n vi. cu’a ma trˆan A la` A . No´i mˆo.t ca´ch kha´c chuyˆe’n . . vi. cu’a ma trˆa.n A la` ma trˆa.n B d¯uo. c suy ra b˘a`ng ca´ch d¯ˆo’i do`ng tha`nh cˆo.t v`a cˆo.t tha`nh do`ng. Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. 8 1. Ma trˆa.n - D- .inh th´uc 1 2 1 1 1 0 2 − t 1 3 0 Vı´ du A = 2 3 5 0 A = −   −  0 5 3 1 0 3 4 − 3 4  2 0 4   ×  4 3   × . Tı´nh chˆa´t 1.4. Phe´p chuyˆe’n vi. ma trˆa. n c´o nhu˜ng tı´nh chˆa´t sau: t t t 1. (A B) = A B , A, B Mm,n(K). ∈ t t 2. (αA) = αA , A Mm,n(K), α K. ∈ ∈ t t t 3. (AB) = B A , A Mm,n(K), B Mn,p(K). ∈ ∈ t . 4. (In) = In, In la` ma trˆa. n d¯on vi. cˆa´p n. t 5. A la` ma trˆa. n che´o thı` A = A. . . 1.1.3 Ma trˆa. n d¯ˆo´i xu´ng v`a ma trˆa. n pha’n xu´ng. D- .inh nghı˜a 1.6. Cho A la` ma trˆa. n vuˆong cˆa´p n . . t +) A go.i la` ma trˆa. n d¯ˆo´i xu´ng nˆe´u A = A. +) A goi la` ma trˆan pha’n xu´.ng nˆe´u At = A. . . − Vı´ du 1 2 1 1 2 1 − − Cho A = 2 3 1 . Ta co´ At = 2 3 1 = A. Vˆay A la` ma −  −  . 0 1 1 0 1 1 . − − trˆa.n d¯ˆo´i xu´ng.    0 2 1 0 2 1 − t − Cho B = 2 0 3 . Ta co´ B = 2 0 3 = B. Vˆa.y B la` ma   − −  − 1 3 0 1 3 0 . − − trˆa.n pha’n xu´ng.    . . . . Nhˆa.n xe´t. Nˆe´u A la` mˆo.t ma trˆa.n pha’n xu´ng thı` ca´c phˆ`an tu’ trˆen d¯uo`ng che´o chı´nh cu’a no´ b˘a`ng 0. Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
1.1. Ma trˆa.n 9 . 1.1.4 D- a thu´c ma trˆa.n. D- .inh nghı˜a 1.7. Cho A la` mˆo.t ma trˆa.n vuˆong trˆen K v`a p(x) = a0 + a1x + n . . + anx K[x] la` mˆo.t d¯a thu´c cu’a biˆe´n x v´oi hˆe. sˆo´ trˆen K. Khi d¯o´ ma · · · ∈ trˆa.n n a I + a A + + anA , 0 1 · · · . . . . . trong d¯o´, I la` ma trˆa.n d¯on vi. cu`ng cˆa´p v´oi A, d¯uo. c go. i la` gia´ tri. cu’a d¯a thu´c . . . p(x) tai x = A, kı´ hiˆe.u p(A). No´ cu˜ng d¯uo. c go. i la` d¯a thu´c ma trˆa.n. . . A go. i la` mˆo.t nghiˆe.m ma trˆa.n cu’a d¯a thu´c p(x) nˆe´u d¯a thu´c ma trˆa.n . p(A) = 0 (ma trˆa.n khˆong cu`ng cˆa´p v´oi A). Ba`i tˆa.p. 1.1.1 Cho ca´c ma trˆa.n: 1 2 1 3 2 5 1 4 A = 1 0 ; B = 2 1 ; C = 0 3 ; D = 2 5 . −        2 1 3 2 4 2 3 6 − −         Tı´nh: a) 5A 3B + 2C + 4D; b) A + 2B 3C 5D. − − − 1.1.2 Cho ma trˆa.n: 1 2 6 − A = 4 3 8 .  −  2 2 5 −   Tı`m ma trˆa.n X sao cho: a) 3A + 2X = I3; b) 5A 3X = I3. − 1.1.3 Kı´ hiˆe.u (r s) la` mˆo.t ma trˆa.n cˆa´p r s trˆen K. Tı`m m, n N 0 ×. . . × ∈ \{ } trong ca´c truo`ng ho. p sau: a) (3 4) (4 5) = (m n); b) (2 3) (m n) = (2 6); c) × × × × × × × × (2 m) (4 3) = (2 n). × × × × 1.1.4 Tı´nh: 1 4 1 1 0 2 5 n 1 2 3 2 1 3 2 1 1 a) − 0 1 1 0  ; b) ; c) ; 3 0 4   3 2 4 2 0 1 1 0 2 1 − − 4 3     n  n  λ 1 cos ϕ sin ϕ d) ; e) − ; (n N, 0 ϕ < 2π). 0 λ sin ϕ cos ϕ ∈ ≤ Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. 10 1. Ma trˆa.n - D- .inh th´uc 1.1.5 Cho ma trˆa.n: 0 1 0 0 0 0 1 0 A =   . 0 0 0 1 0 0 0 0   t t   Tı´nh ca´c ma trˆa.n: AA v`a A A. 1.1.6 Chu´.ng minh ca´c tı´nh chˆa´t 1.1, 1.2, 1.3, 1.4. . 2 . 1.1.7 Cho d¯a thu´c p(x) = x 3x + 1. Tı´nh ca´c d¯a thu´c ma trˆa.n p(A), p(B) − biˆe´t 1 2 3 1 2 − A = ; B = 3 0 4 . 0 4   0 1 0 −   1.1.8 Chu´.ng minh r˘a`ng: 2 0 0 a) A = 0 2 0 la` mˆot nghiˆem cu’a p(x) = x3 3x2 + 4;   . . − 0 0 1 −   a b 2 b) B = M2(K) la` nghiˆe.m cu’a q(x) = x (a + d)x + c d ∈ − +(ad bc) K[x]. − ∈ . . 1.1.9* V´oi mˆo˜i ma trˆa.n vuˆong A = (aij)n Mn(K), ta go. i tˆo’ng ca´c phˆ`an tu’ . . ∈ . trˆen d¯uo`ng che´o chı´nh cu’a A la` vˆe´t cu’a no´, kı´ hiˆe.u tr(A). Tu´c la`: tr(A) = a + a + + ann. 11 22 · · · . . Chu´ng minh r˘a`ng v´oi moi A, B Mn(K) ta d¯`ˆeu co´: . ∈ tr(AB) = tr(BA). . 1.1.10* Chu´ng minh r˘a`ng khˆong tˆ`on ta. i ca´c ma trˆa.n vuˆong A, B Mn(K) sao ∈ cho AB BA = In. − . 1.2 D- .inh thu´c 1.2.1 Phe´p thˆe´ - Nghi.ch thˆe´. . . . D- .inh nghı˜a 1.8. Cho n la` mˆo.t sˆo´ nguyˆen duong v`a X la` mˆo.t tˆa.p ho. p co´ n . . phˆ`an tu’ . Mˆo. t phe´p thˆe´ bˆa. c n la` mˆo.t song ´anh σ tu` X lˆen chı´nh no´. Khˆong Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. 1.2. D- .inh th´uc 11 mˆa´t tı´nh tˆo’ng qua´t, ta thu.o`.ng lˆa´y X = 1, 2, , n . Khi d¯o´ mˆo˜i phe´p thˆe´ . . . . { } bˆa.c n thuo`ng d¯uo. c kı´ hiˆe.u: 1 2 n σ = · · · σ(1) σ(2) σ(n) · · · . . Kı´ hiˆe.u Sn la` tˆa.p ho. p tˆa´t ca’ ca´c phe´p thˆe´ bˆa.c n thı` Sn la` tˆa.p ho. p gˆ`om n! = 1.2 n phˆ`an tu’ . . Khi n > 1, c˘a.p sˆo´ (khˆong thu´ tu. ) phˆan biˆe.t i, j 1, 2, , n go. i la` mˆo. t i j { } ⊂ { } nghich thˆe´ nˆe´u − 0). D- .inh thu´c cu’a ma trˆa.n A la` mˆo.t sˆo´ thuˆo.c K, kı´ hiˆe.u detA, . . ∈ . . d¯uo. c cho bo’ i biˆe’u thu´c: detA = ( 1)N(σ)a a a − 1σ(1) 2σ(2) nσ(n) σ Sn X∈ Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. 12 1. Ma trˆa.n - D- .inh th´uc . . . D- .inh thu´c cu’a ma trˆa.n A co`n d¯uo. c kı´ hiˆe.u la`: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A ho˘a.c A = | | · · · · · · · · · · · · a a . . . a m1 m2 mn a11 a12 Vı´ du. 1. A = , n = 2, I = 1, 2 , a21 a22 { } 1 2 1 2 σ = , σ = , N(σ ) = 0, N(σ ) = 1, 0 1 2 1 2 1 0 1 detA = ( 1)0a a + ( 1)1a a = a a a a . − 11 22 − 12 21 11 22 − 12 21 a11 a12 a13 Vı´ du 2. B = a a a , su’. dung nhu˜.ng kˆe´t qua’ cu’a vı´ du o’. muc .  21 22 23 . . . a31 a32 a33 . . 1.2.1 ta tı´nh d¯uo. c:  detB = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a . 11 22 33 12 23 31 13 21 32 − 11 23 32 − 12 21 33 − 13 22 31 . Quy t˘a´c Sarrus d¯ˆe’ tı´nh d¯i.nh thu´c cˆa´p 3. . . . + Viˆe´t theo thu´ tu. cˆo.t mˆo.t v`a cˆo.t v`a cˆo.t hai sau cˆo.t thu´ ba. . . + Ba sˆo´ ha. ng mang dˆa´u cˆo.ng trong d¯i.nh thu´c la` tı´ch cu’a ca´c phˆ`an tu’ n˘a`m trˆen 3 d¯u.o`.ng song song v´o.i d¯u.o`.ng che´o chı´nh. . . . + Ba sˆo´ ha. ng mang dˆa´u tru` trong d¯i.nh thu´c la` tı´ch cu’a ca´c phˆ`an tu’ n˘a`m . . . . . trˆen 3 d¯uo`ng song song v´oi d¯uo`ng che´o phu. . . . . . . Tu` d¯o´ ta tı´nh d¯uo. c d¯i.nh thu´c cˆa´p 3 nhu vı´ du. 2. Minh hoa. : 1 2 1 Vı´ du Tı´nh: 2 3 4 = 1.3.2 + 2.3.4 + 1.2.5 1.3.3 2.2.2 1.4.5 = 3 − − − 3 5 2 . b. Tı´nh chˆa´t cu’a d¯i.nh thu´c. t D- .inh ly´ 1.1. Cho A = (aij)n Mn(K) va` A la` ma trˆa. n chuyˆe’n vi. cu’a A. t ∈ . Khi d¯o´ det(A ) = det(A). No´i c´ach kha´c d¯i.nh thu´c cu’a ma trˆa. n khˆong thay d¯ˆo’i qua phe´p chuyˆe’n vi . . t Chu´ng minh. Gia’ su’ A = (aij0 )n. Khi d¯o´ aij0 = aji (i = 1, n, j = 1, n). N(σ) Ta co´: detA = ( 1) a1σ(1)a2σ(2) anσ(n) σ Sn − t ∈ N(σ−1) detA = P ( 1) a0 σ−1 a0 σ−1 anσ0 −1 n −1 1 (1) 2 (2) ( ) σ Sn − ∈ Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh P
. 1.2. D- .inh th´uc 13 N(σ) = ( 1) aσ−1(1)1aσ−1(2)2 aσ−1(n)n −1 σ Sn − 1 ∈ vı` N(σ− ) = N(σP) v`a aij0 = aji, i, j = 1, n. 1 2 n σ 1(1) σ 1(2) σ 1(n) D- ˆe’ ´y r˘a`ng: σ = · · · = − − · · · − σ(1) σ(2) σ(n) 1 2 n . · · · · · · Do do´ v´oi moi σ Sn ta d¯`ˆeu co´: . ∈ N(σ) N(σ) ( 1) a a a = ( 1) a −1 a −1 a −1 . − 1σ(1) 2σ(2) nσ(n) − σ (1)1 σ (2)2 σ (n)n t Vˆa.y detA =detA. . Tu` tı´nh chˆa´t trˆen ta suy ra r˘a`ng vai tr`o cu’a c´ac do`ng va` c´ac cˆo. t trong ma . trˆa. n la` bı`nh d¯˘a’ ng. Mˆo˜i mˆe. nh d¯`ˆe v`ˆe d¯i.nh thu´c nˆe´u d¯a˜ d¯u´ng cho do`ng thı` cu˜ng . . . d¯u´ng v´oi cˆo. t va` nguo. c la.i. . D- .inh ly´ 1.2. Nˆe´u d¯ˆo’i chˆo˜ hai do`ng bˆa´t kı` cu’a mˆo. t ma trˆa. n thı` d¯i.nh thu´c cu’a no´ d¯ˆo’i dˆa´u. . . . . Chu´ng minh. Gia’ su’ A = (aij)n (n 2) v`a B = (bij)n la` ma trˆa.n nhˆa.n d¯uo. c ≥ tu`. A b˘a`ng ca´ch d¯ˆo’i chˆo˜ hai do`ng thu´. k v`a thu´. l na`o d¯o´ (1 k < l n) cho ≤ ≤ nhau, nghı˜a la`: aij, khi i 1, 2, , n k, l , ∈ { }\{ } bij = alj, khi i = k, (j = 1, n) akj, khi i = l, Ta cˆ`an chu´.ng to’ detB=-detA. N(f) Ta co´: detB = ( 1) b1f(1)b2f(2) bnf(n). f Sn − ∈ Xe´t phe´p thˆe´ bˆa.Pc n: 1 2 k l n f : f(1) f(2) f(k) f(l) f(n) 1 2 k l n D- a˘t g : . f(1) f(2) f(l) f(k) f(n) Ta co´ g(i) = f(i), i = 1, n, i = k, i = l, g(k) = f(l), g(l) = f(k). Theo 6 6 . d¯i.nh nghı˜a nghi.ch thˆe´, ta suy ra N(g) v`a N(f) sai k´em nhau mˆo.t d¯on vi N N Do d¯o´ ( 1) (f) = ( 1) (g), khi f cha. y kh˘a´p Sn thı` g cu˜ng cha. y kh˘a´p Sn. − − − Vˆa.y: N(f) detB = ( 1) b1f(1)b2f(2) bkf(k) blf(l) bnf(n) f Sn − ∈ Ba`i gia’ng D- a.i sˆPo´ tuyˆe´n tı´nh
. 14 1. Ma trˆa.n - D- .inh th´uc N(f) = ( 1) a1f(1)a2f(2) akf(l) alf(k) anf(n) f Sn − ∈ N(g) = P ( 1) a1g(1)a2g(2) akg(k) alg(l) ang(n)= det(A) g Sn − − − ∈ P . . D- .inh ly´ 1.3. Cho A la` mˆo. t ma trˆa. n vuˆong cˆa´p n trˆen K va` gia’ su’ do`ng thu´ i na`o d¯o´ (1 i n) cu’a A c´o tı´nh chˆa´t aij = λa + µa ; ≤ ≤ ij0 ij00 j = 1, n. Khi d¯o´ ta c´o: · · · · · · · · · · · · detA = λa0 + µa00 λa0 + µa00 λa0 + µa00 i1 i1 i2 i2 · · · in in · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · = λ a0 a0 a0 + µ a00 a00 a00 i1 i2 · · · in i1 i2 · · · in · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Trong d¯o´, c´ac do`ng c`no lai cu’a ba d¯i nh thu´.c o’. hai vˆe´ la` ho`na to`na nhu. nhau . . va` chı´nh la` n 1 do`ng c`no la.i cu’a A. − . . . . . Chu´ng minh. Kı´ hiˆe.u ba d¯i.nh thu´c trˆen tu` tra´i sang pha’i lˆ`an luo. t la` D, D0, D00. . Ta cˆ`an chu´ng minh D = λD0 + µD00. Ta co´ N D = ( 1) (σ)a1σ(1)a2σ(2) anσ(n) σ Sn − ∈ N = P ( 1) (σ)a1σ(1)a2σ(2) (λaiσ0 (i) + µaiσ00 (i)) anσ(n) σ Sn − ∈ N = λP ( 1) (σ)a1σ(1)a2σ(2) aiσ0 (i) anσ(n) + σ Sn − ∈ N + µ P ( 1) (σ)a1σ(1)a2σ(2) aiσ00 (i) anσ(n) σ Sn − ∈ = λDP0 + µD00 . Tu` ca´c d¯i.nh ly´ 1.2 v`a 1.3 ta d˜ˆe da`ng suy ra hˆe. qua’ sau Hˆe. qua’ 1.1. Cho A la` mˆo. t ma trˆa. n vuˆong cˆa´p n trˆen K. . . (1) Nˆe´u nhˆan mˆo. t do`ng na`o d¯o´ cu’a A v´oi mˆo. t sˆo´ λ K thı` d¯i.nh thu´c cu’a . . . ∈ no´ cu˜ng d¯uo. c nhˆan v´oi λ. (2) det(λA) = λndetA, λ K. ∈ . (3) Nˆe´u A c´o mˆo. t do`ng khˆong thı` d¯i.nh thu´c cu’a no´ b˘a`ng khˆong. . . (4) Nˆe´u A c´o hai do`ng b˘a`ng nhau hay tı’ lˆe. v´oi nhau thı` d¯i.nh thu´c cu’a no´ b˘a`ng khˆong. Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. 1.2. D- .inh th´uc 15 (5) Nˆe´u ta cˆo. ng va`o mˆo. t do`ng na`o d¯o´ cu’a ma trˆa. n A mˆo. t do`ng kha´c d¯a˜ nhˆan . . . . . v´oi mˆo. t sˆo´ bˆa´t ky` thuˆo. c truo`ng K thı` ta d¯uo. c mˆo. t ma trˆa. n B c´o cu`ng . . d¯i.nh thu´c v´oi ma trˆa. n A. . . D- .inh ly´ 1.4. D- .inh thu´c cu’a ma trˆa. n che´o A b˘a`ng tı´ch c´ac phˆ`an tu’ n˘a`m trˆen d¯u.o`.ng che´o chı´nh. . . . . . . . Viˆe.c chu´ng minh d¯i.nh ly´ na`y tuong d¯ˆo´i d˜ˆe, nguo`i d¯o. c tu. chu´ng minh. . . Hˆe. qua’ 1.2. D- .inh thu´c cu’a ma trˆa. n tam gia´c A b˘a`ng tı´ch c´ac phˆ`an tu’ n˘a`m trˆen d¯u.o`.ng che´o chı´nh. . . Vı´ du Du`ng ca´c tı´nh chˆa´t cu’a d¯i.nh thu´c tı´nh ca´c d¯i.nh thu´c sau: 5 1 2 7 2 3 4 1 a + x x x − 3 0 0 2 4 2 3 2 1) 2) x b + x x 3) − 1 3 4 5 a b c d x x c + x 2 0 0 3 3 1 4 3 − c. D- .inh ly´ Laplace. . D- .inh thu´c con v`a phˆ`an bu` d¯a. i sˆo´. D- .inh nghı˜a 1.10. Cho A = (aij)n la` mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n trˆen K . . . . (n 2), D = detA v`a k la` mˆo.t sˆo´ nguyˆen duong nho’ hon n. Xe´t k do`ng thu´ ≤ . i1, i2, , ik (1 i1 < i2 < < ik n) v`a k cˆo.t thu´ j1, j2, , jk (1 j1 < j2 < ≤ ≤ . . ≤ < jk n) na`o d¯o´ cu’a A. Ca´c phˆ`an tu’ cu’a A n˘a`m o’ giao cu’a ca´c do`ng v`a ≤ ca´c cˆo.t trˆen ta. o nˆen mˆo.t ma trˆa.n vuˆong Si1i2 ikj1j2 jk cˆa´p k sau d¯ˆay: ai1j1 ai1j2 ai1jk ai2j1 ai2j2 ai2jk Si1i2 ikj1j2 jk =   a a a   ikj1 ikj2 ikjk    - . Si1i2 ikj1j2 jk go. i la` mˆo.t ma trˆa. n vuˆong con cˆa´p k cu’a ma trˆa.n A. D.inh thu´c . detSi1i2 ikj1j2 jk go. i la` mˆo. t d¯i.nh thu´c con cˆa´p k cu’a D, kı´ hiˆe.u Di1i2 ikj1j2 jk. . . Ma trˆa.n con cˆa´p n k cu’a A co´ d¯uo. c b˘a`ng ca´ch xo´a d¯i k do`ng, k cˆo.t . − chu´a Si1i2 ikj1j2 jk go. i la` ma trˆa. n con bu` cu’a Si1i2 ikj1j2 jk (trong A) v`a d¯i.nh . . . . . thu´c con cˆa´p n k cu’a no´ d¯uo. c go. i la` d¯i.nh thu´c con bu` cu’a d¯i.nh thu´c con − Di1i2 ikj1j2 jk (trong D), kı´ hiˆe.u Mi1i2 ikj1j2 jk - ˜ . D.inh nghıa 1.11. Phˆ`an phu. d¯a. i sˆo´ cu’a d¯i.nh thu´c con Di1i2 ikj1j2 jk kı´ hiˆe.u . . . Ai1i2 ikj1j2 jk , d¯uo. c d¯i.nh nghı˜a bo’ i s Ai1i2 ikj1j2 jk = ( 1) Mi1i2 ikj1j2 jk − Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. 16 1. Ma trˆa.n - D- .inh th´uc trong d¯o´ s = i + i + + ik + j + j + + jk la` tˆo’ng ca´c chı’ sˆo´ do`ng v`a 1 2 · · · 1 2 · · · chı’ sˆo´ cˆo.t ta. o nˆen Di1i2 ikj1j2 jk . D- a˘. c biˆe.t, khi k = 1, i = i1, j = j1 (1 i, j n) thı` Sij = [aij] aij = . ≤ ≤ . ≡ det[aij ] = Dij, d¯i.nh thu´c con bu` cu’a Dij la` d¯i.nh thu´c con Mij cˆa´p n 1 nhˆa.n . . . − d¯uo. c tu` D b˘a`ng ca´ch xo´a d¯i do`ng i v`a cˆo.t j; co`n phˆ`an bu` d¯a. i sˆo´ cu’a Dij i+j chı´nh la` Aij = ( 1) Mij. − . Vı´ du Xe´t d¯i.nh thu´c cˆa´p n = 4 sau: 5 1 2 7 3 0 3 2 D = − 1 3 4 5 2 1 0 3 Lu´c d¯o´: 5 7 D = la` d¯inh thu´.c con cˆa´p 2 cu’a D v´o.i phˆ`an bu` d¯ai sˆo´ la`: 1314 1 5 . . 1+3+1+4 0 3 0 3 A1314 = ( 1) − = − . − 1 0 − 1 0 3 0 3 − D = 1 3 4 la` d¯inh thu´.c con cˆa´p 3 cu’a D v´o.i phˆ`an bu` d¯ai sˆo´ la`: 234123 . . 2 1 0 2+3+4+1+2+3 A234123 = ( 1) a14 = 7. − − . . D13 = a13 = 2 la` d¯i.nh thu´c con cˆa´p 1 cu’a D v´oi phˆ`an bu` d¯a. i sˆo´ la`: 3 0 2 A = ( 1)1+3 1 3 5 . 13 − 2 1 3 D- inh ly´ 1.5. Cho A = (aij)n la` mˆot ma trˆan vuˆong cˆa´p n trˆen K (n 2), . . . ≥ Aij la` phˆ`an bu` d¯a.i sˆo´ cu’a aij, i, j = 1, n. Khi d¯o´ ta c´o: n (1) detA = aijAij = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin, i = 1, n; j=1 · · · P n (2) detA = aijAij = a1jA1j + a2jA2j + + anjAnj, j = 1, n; i=1 · · · P Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. 1.2. D- .inh th´uc 17 . . . . . . Cˆong thu´c (1) (tuong u´ng (2)) d¯uo. c go. i la` phe´p khai triˆe’n detA theo do`ng . . . . . . thu´ i (tuong u´ng theo cˆo.t thu´ j); no´ quy viˆe.c tı´nh d¯i.nh thu´c cˆa´p n v`ˆe viˆe.c . tı´nh d¯i.nh thu´c cˆa´p n 1. .− Vı´ du Tı´nh d¯i.nh thu´c cˆa´p 3 sau d¯ˆay: 1 1 1 − D = 1 1 1 . − 1 1 1 − Ca´ch 1. Du`ng d¯i.nh nghı˜a. D = 1.1.1 + 1.1.1 + ( 1).( 1).( 1) 1.1.( 1) ( 1).1.1 1.( 1).1 = 4. − − − − − − − − − Ca´ch 2. Khai triˆe’n D theo do`ng 1. 1 1 1 1 1 1 D = 1.( 1)1+1 + 1.( 1)1+2 − + ( 1).( 1)1+3 − − 1 1 − 1 1 − − 1 1 − − = 2 + 2 + 0 = 4 Ca´ch 2. Khai triˆe’n D theo cˆo.t 3. 1 1 1 1 1 1 D = ( 1).( 1)1+3 − + 1.( 1)2+3 + 1.( 1)3+3 − − 1 1 − 1 1 − 1 1 − − − = 0 + 2 + 2 = 4 . . . D- .inh ly´ 1.6 (Laplace). Cho A la` ma trˆa. n vuˆong cˆa´p n trˆen truo`ng K. Tu` . A ta cho.n k ha`ng (ho˘a. c k cˆo. t) tu`y ´y (1 k n). Khi d¯o´ d¯i.nh thu´c cu’a ma ≤ ≤ . . . trˆa. n A b˘a`ng tˆo’ng cu’a c´ac tı´ch cu’a tˆa´t ca’ c´ac d¯i.nh thu´c con cˆa´p k lˆa. p d¯uo. c . trˆen k ha`ng (cˆo. t) d¯o´ v´oi phˆ`an bu` d¯a.i sˆo´ cu’a chu´ng. . . . D- .inh ly´ trˆen co`n d¯uo. c go. i la` d¯i.nh ly´ khai triˆe’n d¯i.nh thu´c cu’a ma trˆa.n A . . . theo k do`ng (tuong u´ng theo k cˆo.t). . Vı´ du Tı´nh d¯i.nh thu´c sau d¯ˆay: 1 2 0 1 − 3 0 3 2 D = − 0 0 2 1 2 1 0 3 . . . . Ta se˜ khai triˆe’n D theo 2 do`ng 2 v`a 3. Ta co´ 6d¯i.nh thu´c con d¯uo. c lˆa.p tu` 2 do`ng na`y: 3 0 3 3 3 2 D2312 = = 0, D2313 = − = 6, D2314 = = 3, 0 0 0 2 0 1 0 3 0 2 3 2 D2323 = − = 0, D2324 = = 0, D2334 = − = 7, 0 2 0 1 2 1 − Ta chı’ cˆ`an tı´nh: Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuy ˆe´n tı´nh
. 18 1. Ma trˆa.n - D- .inh th´uc 2+3+1+3 2 1 2+3+1+4 2 0 A2313 = ( 1) − = 7, A2314 = ( 1) = 0, − 1 3 − − 1 0 1 2 A = ( 1)2+3+3+4 = 3, 2334 − 2 1 − Vˆa.y D = 6.( 7) + 3.0 + ( 7) .( 3) = 21. − .− − −. . . . . Ch´u ´y. Sˆo´ ca´c d¯i.nh th u´c con lˆa.p d¯uo. c trˆen k do`ng (tuong u´ng k cˆo.t) cu’a k mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n la` Cn. . . Nhˆa.n xe´t. D- oˆ´i v´oi ba`i toa´n tı´nh d¯i.nh thu´c: . (1) Khi thˆa´y mˆo.t do`ng (hay cˆo.t) cu’a d¯i.nh thu´c co´ nhi`ˆeu sˆo´ khˆong thı` nˆen . khai triˆe’n d¯i.nh thu´c theo do`ng (hay cˆo.t) d¯o´. . . . . (2) Du`ng ca´c phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p ta co´ thˆe’ la`m cho d¯i.nh thu´c tro’ nˆen d¯on . . . . . gia’n, d˜ˆe tı´nh hon. D- a˘.c biˆe.t, mo. i d¯i.nh thu´c d¯`ˆeu d¯ua d¯uo. c v`ˆe da. ng tam . . gia´c sau mˆo.t sˆo´ hu˜u ha. n phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p. . . Tu` d¯i.nh ly´ Laplace v`a ca´c tı´nh chˆa´t cu’a d¯i.nh thu´c ta co´ d¯i.nh ly´ sau: . . D- .inh ly´ 1.7 (D- .inh ly´ nhˆan d¯i.nh thu´c). Gia’ su’ A = (aij)n va` B = (bij)n la` hai ma trˆa. n vuˆong cu`ng cˆa´p n, khi d¯o´ ta c´o : det(AB) =detA.detB. . . . Nhˆa.n xe´t. Du`ng d¯i.nh ly´ 1.7 ta co´ thˆe’ tı´nh d¯uo. c mˆo.t sˆo´ d¯i.nh thu´c b˘a`ng . . . ca´ch ta´ch tha`nh tı´ch cu’a hai d¯i.nh thu´c d¯on gia’n hon. . Vı´ du Tı´nh d¯i.nh thu´c D = detA cu’a ma trˆa.n vuˆong A cˆa´p n sau: 1 + x y 1 + x y 1 + x yn 1 1 1 2 · · · 1 1 + x2y1 1 + x2y2 1 + x2yn A =  · · ·  · · · · · · · · · · · · 1 + xny 1 + xny 1 + xnyn  1 2 · · ·    Nhˆa.n thˆa´y r˘a`ng: 1 1 1 1 x1 0 0 · · · · · · y1 y2 yn 1 x2 0 0  · · ·  A =  · · ·  0 0 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · ·    1 xn 0 0  · · · · · · · · · · · ·  · · ·   0 0 0       · · ·  Do d¯o´ Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. 1.2. D- .inh th´uc 19 1 1 1 1 x1 0 0 · · · · · · y1 y2 yn 1 x2 0 0 · · · D = detA = · · · 0 0 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 xn 0 0 · · · · · · · · · · · · 0 0 0 · · · · · · 0 , khin > 2, = ((x2 x1)(y2 y1) , khi n = 2. − − Ba`i tˆa.p. 1.2.1 Tı`m sˆo´ nghi.ch thˆe´ cu’a ca´c phe´p thˆe´ sau: 1 2 3 4 1 2 3 4 5 a) b) 2 4 1 3 3 5 4 1 2 1 2 3 4 5 6 7 c) 6 4 5 3 7 1 2 a x b 1.2.2 Chu´.ng minh v´o.i a, b, c R phu.o.ng trı`nh − = 0 luˆon co´ ∈ b c x − nghiˆem thu.c. . . . . 1.2.3 Khˆong khai triˆe’n d¯i.nh thu´c chu´ng minh r˘a`ng: 1 a bc 1 a a2 a) 1 b ca = 1 b b2 1 c ab 1 c c2 3 2 1 a a 1 a a b) 1 b b3 = (a + b + c) 1 b b2 1 c c3 1 c c2 2 1 a a c) 1 b b2 = (b a)(c a)(c b) − − − 1 c c2 . 1.2.5 Tı´nh ca´c d¯i.nh thu´c sau: 2 3 4 1 a 3 0 5 x 1 1 1 − 4 2 3 2 0 b 0 2 1 x 1 1 a) − b) c) a b c d 1 2 c 3 1 1 x 1 3 1 4 3 0 0 0 d 1 1 1 x − ’ - ´ ´ Ba`i giang Da.isˆo tuyˆen tı´nh
. 20 1. Ma trˆa.n - D- .inh th´uc 1 2 3 n 1 n 1 2 3 n · · · − · · · 1 3 3 n 1 n 1 x + 1 3 n · · · − · · · 1 2 5 n 1 n d) 1 2 x + 1 n e) · · · − · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 2 3 2n 3 n 1 2 3 x + 1 · · · − 1 2 3 n 1 2n 1 · · · · · · − − 1 1 1 1 . . . 1 1 0 1 1 1 . . . 1 1 1 0 1 1 . . . 1 1 1 0 1 1 . . . 1 1 1 1 0 1 . . . 1 1 1 1 0 1 . . . 1 1 g) h) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 1 1 1 . . . 0 1 1 1 1 1 . . . 0 1 1 1 1 1 . . . 1 0 1 1 1 1 . . . 1 0 a0 1 0 0 . . . . . . 0 0 − a1 x 1 0 . . . . . . 0 0 − a2 0 x 1 . . . . . . 0 0 i) − · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an 1 0 0 0 . . . . . . x 1 − − a 0 0 0 . . . . . . 0 x n 1.2.4 Gia’i ca´c phu.o.ng trı`nh sau d¯ˆay theo aˆ’n x trˆen R: 1 x x2 x3 x2 x3 x4 1 2 4 8 a) 0 x2 1 0 = 0; = 0; − 1 3 9 27 0 x3 + 1 x3 1 1 4 16 64 − 1 1 1 1 · · · 1 1 x 1 1 − · · · c) 1 1 2 x 1 = 0 − · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 1 1 (n 1) x · · · − − 1.3 Ma traˆ. n kha’ nghi.ch. D- .inh nghı˜a 1.12. Cho A la` ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n trˆen K. Ta ba’o A la` ma trˆa. n kha’ nghi.ch nˆe´u tˆ`on ta. i mˆo.t ma trˆa.n B vuˆong cˆa´p n trˆen K sao cho: AB = BA = In. Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
1.3. Ma trˆa.n kha’ nghi.ch. 21 . . Ma trˆa.n B nhu thˆe´ la` duy nhˆa´t, vı` nˆe´u tˆ`on ta. i B1 cu˜ng co´ tı´nh chˆa´t nhu . B, tu´c la` AB1 = B1A = In, thı` B = BIn = B(AB1) = (BA)B1 = InB1 = B1. . . 1 Do d¯o´ B d¯uo. c go. i la` ma trˆa. n nghich d¯a’o cu’a ma trˆa.n A, kı´ hiˆe.u la` A− . . Nhu vˆa.y: 1 1 AA− = A− A = In. . . 1 1 1 D- uong nhiˆen A = (A− )− , no´i ca´ch kha´c A la. i la` nghi.ch d¯a’o cu’a A− . Nhˆa.n xe´t. . 1 . (1) Ma trˆa.n d¯on vi. In kha’ nghi.ch v`a In− = In, v´oi mo. i n N∗. ∈ (2) Ma trˆa.n 0n khˆong kha’ nghi.ch vı` 0nA = A0n = 0n, A Mn(K), n N∗. ∀ ∈ ∀ ∈ (3) Mo. i ma trˆa.n A Mn(K) ma` co´ ´ıt nhˆa´t mˆo.t do`ng (hay mˆo.t cˆo.t) khˆong ∈ d¯`ˆeu khˆong kha’ nghi.ch. . (4) Ta nhˆa´n ma. nh r˘a`ng tı´nh kha’ nghi.ch chı’ co´ nghı˜a d¯ˆo´i v´oi ma trˆa.n vuˆong. . Tuy nhiˆen khˆong pha’i ma trˆa.n vuˆong na`o cu˜gn kha’ nghi.ch. Tˆa.p ho. p ca´c . . ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n trˆen K kha’ nghi.ch d¯uo. c kı´ hiˆe.u la` GLn(K) Tı´nh chˆa´t 1.5. Tı´ch cu’a c´ac ma trˆa. n kha’ nghi.ch la` ma trˆa. n kha’ nghi.ch. . . . Tu´c la` nˆe´u A, B GLn(K) thı` AB GLn(K), hon nu˜a ∈ ∈ 1 1 1 (AB)− = B− .A− . . Chu´ng minh. Thˆa.t vˆa.y, 1 1 1 1 1 1 (AB)(B− A− ) = A(BB− )A− = AInA− = AA− = In; 1 1 1 1 1 1 (B− A− )(AB) = B− (A− A)B = B− InB = B− B = In. . D- .inh nghı˜a 1.13 (Ma trˆa.n phu. ho. p). Cho A = (aij)n la` ma trˆa.n vuˆong . . . . . cˆa´p n trˆen truo`ng K. Ma trˆa.n phu. ho. p cu’a A, kı´ hiˆe.u PA d¯uo. c d¯i.nh nghı˜a nhu. sau: A A An 11 21 · · · 1 A12 A22 An2 PA =  · · ·  , · · · · · · · · · · · · A n A n Ann  1 2 · · ·   .  trong d¯o´ Aij la` phˆ`an bu` d¯a. i sˆo´ cu’a phˆ`an tu’ aij, (i, j = 1, n) cu’a ma trˆa.n A. Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. 22 1. Ma trˆa.n - D- .inh th´uc . Bˆo’ d¯`ˆe 1.1. V´oi mˆo˜i ma trˆa. n vuˆong A = (aij)n trˆen K (n 2) ta d¯`ˆeu c´o: ≥ n detA , khi i = k (1) aijAkj = (i, k = 1, n); j=1 (0 , khi i = k, 6 Pn detA , khi j = k (2) aijAik = (j, k = 1, n); i=1 (0 , khi j = k, 6 . P . . . Chu´ng minh. Truo´c hˆe´t ta chu´ng minh (1). Lˆa´y hai sˆo´ i, k bˆa´t ky` trong tˆa.p . ho. p 1, 2, 3, , n . Co´ hai kha’ n˘ang sau: { } +) i = k. Khi d¯o´ (1) chı´nh la` cˆong thu´.c khai triˆe’n theo ha`ng. . . . +) i = k. Xe´t ma trˆa.n B = (blj)n nhˆa.n d¯uo. c b˘a`ng ca´ch thay do`ng thu´ k 6 . . b˘a`ng mˆo.t do`ng m´oi hoa`n toa`n giˆo´ng do`ng i, tu´c la` alj, khi l = k, blj = 6 (l, j = 1, n) (aij, khi l = k, . . . Nhu vˆa.y, B co´ hai do`ng thu´ i v`a thu´ k b˘a`ng nhau, do d¯o´ detB = 0. Khai . . . triˆe’n detB theo do`ng thu´ k, ta d¯uo. c: n n 0 = detB = bkjBkj = aijAkj (vı` Akj = Bkj, j = 1, 2, , n). j=1 j=1 X X . . . . . . . Vˆa.y (1) d¯uo. c chu´ng minh. D- a˘’ ng thu´c (2) Chu´ng minh hoa`n toa`n tuong . tu. . D- .inh ly´ 1.8. Nˆe´u A la` ma trˆa. n vuˆong cˆa´p n thı` : A.PA = PA.A = detA.In . . trong d¯o´ PA la` ma trˆa. n phu. ho. p cu’a A va` In la` ma trˆa. n d¯on vi. cˆa´p n. . . Chu´ng minh. Ap´ du. ng bˆo’ d¯`ˆe trˆen ta co´ d¯i`ˆeu pha’i chu´ng minh. D- .inh ly´ 1.9. Mˆo. t ma trˆa. n vuˆong trˆen K la` kha’ nghi.ch khi va` chı’ khi d¯i.nh thu´.c cu’a no´ kha´c khˆong. . Chu´ng minh. Xe´t ma trˆa.n A = (aij)n vuˆong cˆa´p n trˆen K. . 1 ( ) Gia’ su’ A kha’ nghi.ch v`a A− la` nghi.ch d¯a’o cu’a A. Khi d¯o´ ⇒ 1 1 1 AA− = In detA.detA− = det(AA− ) = detIn = 1 detA = 0. ⇒ ⇒ 6 ( ) Nˆe´u detA = 0 thı` theo D- .inh ly´ 1.8 ta co´ ⇐ 6 1 1 A P = P A = I . detA A detA A n Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
1.3. Ma trˆa.n kha’ nghi.ch. 23 Do d¯o´ A kha’ nghi.ch v`a 1 1 A− = P . detA A . . Thuˆa.t toa´n tı`m ma trˆa.n nghi.ch d¯a’o nh`o d¯i.nh thu´c. . . . Buo´c 1. Tı´nh d¯i.nh thu´c D = detA. * Nˆe´u D = 0 thı` A khˆong kha’ nghi.ch. Thuˆa.t toa´n kˆe´t th´uc. . . * Nˆe´u D = 0 thı` A kha’ nghi.ch. La`m tiˆe´p buo´c 2. . . 6 . Buo´c 2. Lˆa.p ma trˆa.n phu. ho. p PA. Tı´nh 1 1 A− = P . D A Vı´ du Xe´t tı´nh kha’ nghi.ch v`a tı`m ma trˆa.n nghi.ch d¯a’o (nˆe´u co´) cu’a ca´c ma trˆa.n sau: 1 2 1 1 0 0 A = 1 1 2 ; B = 3 1 0 .    −  3 5 4 1 2 3     1 2 1 1 2 1 d2 d2 d1 d3 d3 3d1 Gia’i. detA ===→ − 0 1 1 ===→ − 0 1 1 = 0 − − 3 5 4 0 1 1 − (vı` co´ 2 do`ng cuˆ o´i giˆo´ng nhau). Do d¯o´ A khˆong kha’ nghi.ch. detB = 3 = 0. Suy ra B kha’ nghi.ch. − 6 . +)Tı`m ma trˆa.n phu. ho. p cu’a B: 1+1 1 0 1+2 3 0 B11 = ( 1) − = 3, B12 = ( 1) = 9, − 2 3 − − 1 3 − 1+3 3 1 2+1 0 0 B13 = ( 1) − = 7, B21 = ( 1) = 0, − 1 2 − 2 3 1 0 1 0 B = ( 1)2+2 = 3, B = ( 1)2+3 = 2, 22 − 1 3 23 − 1 2 − 0 0 1 0 B = ( 1)3+1 = 0, B = ( 1)3+2 = 0, 31 − 1 0 32 − 3 0 − 1 0 B = ( 1)3+3 = 1, 33 − 3 1 − − - Ba`i gia’ng Da.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. 24 1. Ma trˆa.n - D- .inh th´uc B B B 3 0 0 11 21 31 − PB = B B B = 9 3 0 .  12 22 32 −  B B B 7 2 1 13 23 33 − −     +) Tı`m ma trˆa.n nghi.ch d¯a’o cu’a B: 1 0 0 1 1 3 1 0 B− = PB = . −3  7 −2 1 −  3 3 3 .   D- .inh nghı˜a 1.14 (Ma trˆa.n so cˆa´p.). Ma trˆa.n E vuˆong cˆa´p n trˆen K . . . . . . . . (n 2) d¯uo. c go. i la` ma trˆa. n so cˆa´p do`ng (tuong u´ng, cˆo. t) nˆe´u E thu d¯uo. c . ≥ . . . . . . tu` ma trˆa.n d¯on vi. In bo’ i d¯u´ng mˆo.t phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p do`ng (tuong u´ng, cˆo.t). Vı´ du 1 0 0 1 0 0 d2 d2+3d1 I = 0 1 0 → 3 1 0 = E . 3   −−−−−−→   1 0 0 1 0 0 1     1 0 0 1 0 0 c2 c3 I = 0 1 0 ↔ 0 0 1 = E . 3   −−−→   2 0 0 1 0 1 0   .   . E1 la` ma trˆa.n so cˆa´p do`ng cˆa´p 3 co`n E2 la` ma trˆa.n so cˆa´p cˆo.t cˆa´p 3. . . . . Tı´nh chˆa´t 1.6. Cho E la` mˆo. t ma trˆa. n so cˆa´p do`ng cˆa´p m (tuong u´ng, cˆo. t . . . . . . . . cˆa´p n) nhˆa. n d¯uo. c tu` Im (tuong u´ng, In) bo’ i phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p do`ng . . . (tuong u´ng, cˆo. t) e va` A la` mˆo. t ma trˆa. n m n trˆen K tuy` ´y. Khi d¯o´ ma trˆa. n . . . . . × . . . nhˆa. n d¯uo. c tu` A bo’ i phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p e chı´nh la` EA (tuong u´ng, AE). Tu´.c la` : . . . . . . E = e(Im) (tuong u´ng, E = e(In)) e(A) = EA (tuong u´ng, e(A) = AE) ⇒ . D- .inh ly´ 1.10. Mo.i ma trˆa. n so cˆa´p do`ng (hay cˆo. t) d¯`ˆeu kha’ nghi.ch va` nghi.ch . d¯a’o cu’a no´ la.i la` mˆo. t ma trˆa. n so cˆa´p do`ng (hay cˆo. t). . . . Chu´ng minh. Gia’ su’ E = e(In) la` mˆo.t ma trˆa.n so cˆa´p do`ng (hay cˆo.t) nhˆa.n . . . . . d¯uo. c tu` In bo’ i phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p do`ng (hay cˆo.t) e. D- a˘.t E0 = e0(In) la` . . . . . ma trˆa.n so cˆa´p do`ng (hay cˆo.t) nhˆa.n d¯uo. c tu` In bo’ i phe´p biˆe´n d¯ˆo’i do`ng (hay . . cˆo.t) e0 nguo. c cu’a e. Theo Tı´nh chˆa´t 1.6, ta co´: EE0 = e(E0) = e(e0(In)) = (ee0)(In) = In; Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
1.3. Ma trˆa.n kha’ nghi.ch. 25 E0E = e0(E) = e0(e(In)) = (e0e)(In) = In. 1 Do d¯o´ E kha’ nghi.ch v`a E− = E0. D- .inh ly´ 1.11. Cho A la` mˆo. t ma trˆa. n vuˆong cˆa´p n trˆen K (n 2). Khi d¯o´ . . . . ≥ c´ac kh˘a’ ng d¯i.nh sau tuong d¯uong: (1) A kha’ nghi.ch; . . . . . . (2) In nhˆa. n d¯uo. c tu` A bo’ i hu˜u ha.n c´ac phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p do`ng (hay cˆo. t); . . (3) A la` tı´ch cu’a mˆo. t sˆo´ hu˜u ha.n c´ac ma trˆa. n so cˆa´p do`ng (hay cˆo. t). . . Chu´ng minh. (1) (2): Gia’ su’ A kha’ nghi.ch. Ta d¯a˜ biˆe´t mo. i ma trˆa.n vuˆong ⇒ . . cˆa´p n d¯`ˆeu co´ thˆe’ d¯ua v`ˆe mˆo.t ma trˆa.n bˆa.c thang do`ng (t.u cˆo.t) ru´t go. n sau . . . mˆo.t sˆo´ hu˜u ha. n phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p do`ng (t.u cˆo.t). Go. i B la` ma trˆa.n bˆa.c . . . . . thang do`ng ru´t go. n co´ d¯uo. c tu` A sau mˆo.t sˆo´ hu˜u ha. n ca´c phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so . cˆa´p do`ng e1, e2, , ek na`o d¯o´. D- a˘.t Ei = ei(In) la` ma trˆa.n so cˆa´p do`ng nhˆa.n . . . . d¯uo. c tu` In nh`o ei, i = 1, k. Lu´c d¯o´, B = Ek E2E1A. Suy ra B kha’ nghi.ch (vı` A, E1, , Ek kha’ nghi.ch). Suy ra B khˆong co´ do`ng 0. Ma` B la. i la` ma trˆa.n . . . . bˆa.c thang do`ng ru´t go. n. Vˆa.y B = In. Tu´c la` In nhˆa.n d¯uo. c tu` A sau mˆo.t sˆo´ . . . . . . . hu˜u ha. n phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p do`ng. (Chu´ng minh tuong tu. v´oi phe´p biˆe´n . d¯ˆo’i so cˆa´p cˆo.t) . . (2) (3): Gia’ su’ co´ (2), khi d¯o´ tˆ`on ta. i ca´c ma trˆa.n so cˆa´p do`ng (hay cˆo.t) ⇒ . . . E1, E2, , Ek sinh ra tu` mˆo˜i phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p do`ng (hay cˆo.t) d¯ua A v`ˆe In sao cho: Ek E2E1A = In(hayAE1E2 Ek = In). 1 1 1 1 1 1 . Do d¯o´: A = E1− E2− Ek− (hay A = Ek− E2− Ek− ), tu´c (3) d¯u´ng. . . (3) (1): Gia’ su’ co´ (3), khi d¯o´ hiˆe’n nhiˆen A kha’ nghi.ch vı` mˆo˜i ma trˆa.n so ⇒ cˆa´p la` kha’ nghi.ch. Hˆe. qua’ 1.3. Cho A la` mˆo. t ma trˆa. n vuˆong cˆa´p n trˆen K (n 2). Khi d¯o´, . . . . ≥ . nˆe´u A kha’ nghi.ch thı` In nhˆa. n d¯uo. c tu` A bo’ i mˆo. t da˜y c´ac phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so . . cˆa´p do`ng (hay cˆo. t); d¯ˆ`ong th`oi chı´nh da˜y c´ac phe´p bie´n d¯ˆo’i so cˆa´p do`ng (hay 1 cˆo. t) d¯o´ se˜ biˆe´n In tha`nh nghi.ch d¯a’o A− cu’a A. . Tu` hˆe. qua’ 1.3 ta co´ mˆo.t thuˆa.t toa´n kha´ hiˆe.u qua’ kha´c d¯ˆe’ tı`m ma trˆa.n . . nghi.ch d¯a’o (nˆe´u co´) cu’a mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cho truo´c. . . * Thuˆa.t toa´n tı`m ma trˆa.n nghi.ch d¯a’o nh`o ca´c phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p. Cho A la` mˆot ma trˆan vuˆong cˆa´p n (n 2) trˆen K. D- ˆe’ tı`m ma trˆan nghich . . ≥ . . Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. 26 1. Ma trˆa.n - D- .inh th´uc . . . d¯a’o (nˆe´u co´) cu’a A ta thu. c hiˆe.n ca´c buo´c sau: . . Buo´c 1. Lˆa.p ma trˆa.n chia khˆo´i [A In] cˆa´p n 2n trˆen K b˘a`ng ca´ch ghe´p . | × thˆem v`oa bˆen pha’i A ma trˆa.n d¯on vi. In. a a . . . a n 1 0 . . . 0 11 12 1 | a21 a22 . . . a2n 0 1 . . . 0 [A In] =  |  | · · · · · · · · · · · · | · · · · · · · · · · · · am am . . . amn 0 0 . . . 1   1 2 |    . . . . Buo´c 2. Du`ng ca´c phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p do`ng d¯ˆe’ d¯ua [A In] v`ˆe da. ng [In B]. | | . . . 1 +) Nˆe´u la`m d¯uo. c nhu thˆe´ thı` A kha’ nghi.ch v`a A− = B; . +) Trong qua´ trı`nh biˆe´n d¯ˆo’i, nˆe´u o’ khˆo´i bˆen tra´i xuˆa´t hiˆe.n mˆo.t do`ng khˆong thı` A khˆong kha’ nghi.ch. Vı´ du Tı`m ma trˆa.n nghi.ch d¯a’o (nˆe´u co´) cu’a ma trˆa.n sau: 1 0 2 2 3 5 A = 2 1 3 ; A = 1 1 2 1  −  2   4 1 8 3 3 6     Xe´t A1. 1 0 2 1 0 0 | * Lˆa.p ma trˆa.n [A1 I3] = 2 1 3 0 1 0 |  − |  4 1 8 0 0 1 . | * Biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p trˆen ca´c do`ng cu’a ma trˆa.n[A1 I3]. | 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 d2 d2 2d1 | d3 d3+d2 | [A1 I3] → − 0 1 1 2 1 0 → 0 1 1 2 1 0 | −d−3 −−d3−−4→d1  − − | −  −−−−−−→  − − | −  → − 0 1 0 4 0 1 0 0 1 6 1 1 | − − | −     1 0 0 11 2 2 1 0 0 11 2 2 d2 d2 d3 | − d2 d2 | − → − 0 1 0 4 0 1 →− 0 1 0 4 0 1 −d−1 −−d1−+2−→d3  − | −  −d−3 −−→d3  | −  → 0 0 1 6 1 1 →− 0 0 1 6 1 1 − | − | − −     Ma trˆa.n sau cu`ng co´ da. ng [I3 B]. Do d¯o´ A1 kha’ nghi.ch v`a | 11 2 2 1 − A− = 4 0 1 1  −  6 1 1 − − Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh  
1.3. Ma trˆa.n kha’ nghi.ch. 27 Xe´t ma trˆa.n A2. 2 3 5 1 0 0 | * Lˆa.p ma trˆa.n [A2 I3] = 1 1 2 0 1 0 |  |  3 3 6 0 0 1 | * Biˆe´n d¯ˆo’i so. cˆa´p trˆen ca´c do`ng cu’a ma trˆan [A I ]. . 2| 3 1 1 2 0 1 0 1 1 2 0 1 0 d1 d2 | d2 d2 2d1 | [A2 I3] ↔ 2 3 5 1 0 0 → − 0 1 1 1 2 0 | −−−→  |  −d−3 −−d3−−3→d1  | −  3 3 6 0 0 1 → − 0 0 0 0 3 1 | | −     Khˆo´i bˆen tra´i cu’a ma trˆa.n sau cu`ng co´ mˆo.t do`ng khˆong, vˆa.y A2 khˆong kha’ nghi.ch. Ba`i tˆa.p. . . 1.3.1. Tı`m ma trˆa.n nghi.ch d¯a’o (nˆe´u co´) cu’a ca´c ma trˆa.n sau b˘a`ng hai phuong pha´p: 1 0 3 0 1 2 1 3 2 1 3 5 a) 2 1 1 ; b) 1 1 0 ; c) 2 1 3 ; d) 5 0 1 ;         3 2 2 2 0 1 3 2 1 3 1 0         1 2 0 1 2 1 0 2 1 1 0 1 1 1 2 0 2 2 1 0 0 1 1 0 e)   ; g)   ; h)   . 0 1 1 2 0 2 2 1 0 0 1 1 2 0 1 1 1 0 2 2 1 0 0 1       .     .  m 1.3.2. Chu´ng minh r˘a`ng, nˆe´u A kha’ nghi.ch thı` v´oi mo. i m N, A cu˜ng kha’ m 1 1 m ∈ nghi.ch v`a (A )− = (A− ) . . k . 1.3.3 Cho A Mn(K) tho’a ma˜n hˆe. thu´c A = 0 (k N 0 ). Chu´ng minh ∈ 1 ∈ \{ } r˘a`ng In A kha’ nghi.ch. Tı`m (In A)− . − − . . 1.3.4 Cho A Mn(K) (n 2) v`a PA la` ma trˆa.n phu. ho. p cu’a A. Chu´ng minh ∈ ≥ n 1 r˘a`ng: det(PA) = (detA) − . . 2 1.3.5 Chu´ng minh r˘a`ng nˆe´u A la` ma trˆa.n vuˆong tho’a ma˜n A 3A + I = 0 − thı` A kha’ nghich v`a A 1 = 3I A. . − − . 1.3.6 Cho hai ma trˆa.n vuˆong A v`a B sao cho AB = 0. Chu´ng minh r˘a`ng A . khˆong thˆe’ kha’ nghi.ch tru` khi B = 0. . 1.3.7 Chu´ng minh nˆe´u A kha’ nghi.ch v`a AB = AC thı` B = C. Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. 28 1. Ma trˆa.n - D- .inh th´uc 1.4 Ha.ng cu˙’a ma traˆ.n D- .inh nghı˜a 1.15. Ha. ng cu’a mˆo.t ma trˆa.n A la` cˆa´p cao nhˆa´t cu’a ca´c d¯i.nh . thu´c con kha´c khˆong co´ trong A. Kı´ hiˆe.u ha. ng cu’a ma trˆa.n la` rank(A) hay r(A). Nhˆa.n xe´t. +) Ma trˆa.n khˆong co´ ha. ng b˘a`ng 0. +) Nˆe´u A la` ma trˆa.n cˆa´p m n thı` 0 r(A) min(m, n). D- a˘.c biˆe.t, khi × ≤ . ≤ r(A) = min(m, n) thı` ta no´i A co´ ha. ng cu. c d¯a. i. . +) Nˆe´u ma trˆa.n A vuˆong cˆa´p n co´ det(A) = 0 thı` r(A) = n, tu´c A co´ ha. ng . 6 cu. c d¯a. i, co`n nˆe´u det(A) = 0 thı` r(A) < n. . . . +) Nˆe´u A la` mˆo.t ma trˆa.n bˆa.c thang do`ng (tuong u´ng, cˆo.t) thı` r(A) b˘a`ng sˆo´ do`ng (cˆo.t) kha´c khˆong cu’a A. . . D- .inh nghı˜a 1.16. Cho A ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n trˆen K. A d¯uo. c go. i la` ma . . . . trˆa. n khˆong suy biˆe´n nˆe´u A co´ ha. ng cu. c d¯a. i, tu´c la` r(A) = n. Nguo. c la. i, nˆe´u r(A) < n thı` A go. i la` ma trˆa. n suy biˆe´n. Tı´nh chˆa´t 1.7. Cho A la` mˆo. t ma trˆa. n vuˆong trˆen K. Ca´c kh˘a’ ng d¯i.nh sau la` tu.o.ng d¯u.o.ng: . . . (1) A kha’ nghi.ch (tuong u´ng, khˆong kha’ nghi.ch); (2) det(A) = 0 (tu.o.ng u´.ng, det(A)= 0); 6 (3) A khˆong suy biˆe´n (tu.o.ng u´.ng, suy biˆe´n). D- .inh ly´ 1.12. Ha.ng cu’a ma trˆa. n khˆong thay d¯ˆo’i qua phe´p chuyˆe’n vi . t t . Chu´ng minh. Nˆe´u A = Om,n thı` A = Om,n v`a r(A ) = 0 = r(A). Gia’ su’ . A = 0 v`a r(A) = r, 0 < r min(m, n). Lu´c d¯o´, trong A co´ mˆo.t d¯i.nh thu´c 6 ≤ . con D(r) = detS(r) cˆa´p r kha´c khˆong ta. o tha`nh tu` ma trˆa.n con S(r) vuˆong t t . cˆa´p r cu’a A. Do d¯o´, S(r) la` mˆo.t ma trˆa.n con cu’a A v`a d¯i.nh thu´c cu’a no´ t D0(r) = det(S(r) ) = detS(r) = D(r) = 0 6 . t la` mˆo.t d¯i.nh thu´c con cˆa´p r kha´c khˆong cu’a A . Suy ra r(At) r = r(A). ≥ . . . t t t Tuong tu. r = r(A) = r((A ) ) r(A ). t ≥ Vˆa.y r(A ) = r(A). Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
1.4. Ha.ng cu˙’a ma trˆa.n 29 . . . . Du. a v`oa ca´c tı´nh chˆa´t cu’a d¯i.nh thu´c ta d˜ˆe da`ng suy ra d¯uo. c d¯i.nh ly´ sau: . D- .inh ly´ 1.13. Ha.ng cu’a ma trˆa. n khˆong thay d¯ˆo’i qua c´ac phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p. . . * Thuˆa. t toa´n tı`m ha. ng cu’a ma trˆa.n nh`o ca´c phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p. D- ˆe’ tı`m hang cu’a mˆot ma trˆan A tuy` ´y kha´c khˆong cˆa´p m n trˆen K, . . . × (m, n 2), tru.o´.c hˆe´t ta du`ng ca´c phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so. cˆa´p do`ng (tu.o.ng u´.ng, ≥ . . . . cˆo.t) d¯ˆe’ d¯ua ma trˆa.n A v`ˆe ma trˆa.n bˆa.c thang do`ng (tuong u´ng, cˆo.t) B. Lu´c . . . d¯o´ ha. ng cu’a ma trˆa.n A b˘a`ng sˆo´ do`ng (tuong u´ng, cˆo.t) kha´c khˆong cu’a B. Vı´ du Tı`m ha. ng cu’a ma trˆa.n sau: 1 3 2 0 2 6 9 7 A =   2 5 2 4 − −  1 4 8 4   Ta co´:   1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 d2 d2 2d1 0 0 1 7 d4 d4 d3 0 0 1 7 d3 d2 0 1 6 4 A → −   → −   ↔  . d3 d3+2d1;d4 d4 d1 0 1 6 4 0 1 6 4 0 0 1 7 −−→−−−−−−−→−−−→ −−−−−−→ −−−→ 0 1 6 4 0 0 0 0 0 0 0 0       Vˆa.y r(A) = 3.       Ba`i tˆa.p. 1.4.1. Tı`m ha. ng cu’a ca´c ma trˆa.n sau: 0 4 10 1 2 1 11 2 2 0 3 1 − 4 8 18 7 1 0 4 1 1 2 2 3 a)   ; b)  −  ; c)  − − ; 10 18 40 17 11 4 56 5 3 2 5 4 − −  1 7 17 3   2 1 5 6 5 2 8 5    − −   − −        1 2 3 14 1 3 2 0 5 3 2 1 11 1 3 5 7 9 1   2 6 9 7 12 d) 1 1 1 6 ; e)   ; g) 1 2 3 4 5 2 . 2 5 2 4 5  − −  2 3 1 5  − − 2 11 12 25 22 4  −   1 4 8 4 20 1 1 0 3            1.4.2 Biˆe.n luˆa.n theo a ha. ng cu’a ca´c ma trˆa.n sau: 1 2 1 3 2 1 2 1 1 a 1 2 − − − 2 1 a2 0 4 a) 2 a 2 ; b) 2 1 a 5 ; c)  − .  −   −  3 1 2 5 7 3 6 (a + 3)(a + 7) 1 10 6 1 − − 1 2 a 1 1       Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh  
. 30 1. Ma trˆa.n - D- .inh th´uc . . t . 1.4.3. Cho A la` mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n pha’n xu´ng, tu´c la A = A. Chu´ng − minh r˘a`ng nˆe´u n le’ thı` A suy biˆe´n. . 1.4.4. V´oi gia´ tri. na`o cu’a λ R thı` ha. ng cu’a ca´c ma trˆa.n sau d¯ˆay b˘a`ng 1. ∈ 1 0 λ 1 2 3 1 3 5 a) 2 λ 2 ; b) 3 6 λ 9 ; c) 4 12 λ + 5 .  −   −    3 6 3 4 8 λ 12 5 15 λ + 10 − − −      .  . 1.4.5*. Cho A Mn(K) (n 2), PA la` ma trˆa.n phu. ho. p cu’a A. Chu´ng minh ∈ ≥ r˘a`ng: a) Nˆe´u A khˆong suy biˆe´n thı` PA cu˜ng vˆa.y; b) Nˆe´u r(A) = n 1 thı` r(PA) = 1; − c) Nˆe´u r(A) n 2 thı` PA = O. ≤ − Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
Chu.o.ng 2 . . Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh . . 2.1 Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t. 2.1.1 D- .inh nghı˜a. . . D- .inh nghı˜a 2.1. Mˆo.t hˆe. m phuong trı`nh cu’a n aˆ’n sˆo´ x1, x2, , xn (m, n la` . ca´c sˆo´ tu. nhiˆen kha´c 0) da. ng a x + a x + + a nxn = b 11 1 12 2 · · · 1 1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2  · · · (2.1)  · · · · · · · · · · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm  · · ·  . . . . trong d¯o´ aij, bi (i =1, m; j = 1, n) la` ca´c sˆo´ cho truo´c thuˆo.c K, d¯uo. c go. i la` . . . . hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh (m phuong trı`nh, n aˆ’n sˆo´) trˆen K. Ca´c sˆo´ aij (i = 1, m, j = 1, n) go. i la` ca´c hˆe. sˆo´ (cu’a ca´c aˆ’n xj, j = 1, n), . . . co`n bi (i = 1, m) go. i la` ca´c hˆe. sˆo´ tu. do cu’a hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh (2.1) d¯ang xe´t. . . . D- ˆe’ cho go. n, hˆe. (2.1) co`n d¯uo. c viˆe´t nhu sau: n aijxj; i = 1, m (2.2) j=1 X Mˆo.t sˆo´ kha´i niˆe.m kha´c. Ca´c hˆe. sˆo´ aij (i = 1, m, j = 1, n) lˆa.p tha`nh mˆo.t ma trˆa.n cˆa´p m n trˆen • × K: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A = (aij)m n =   × · · · · · · · · · · · · a a . . . a   m1 m2 mn  31 
. . 32 2. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh . . . . Ma trˆa.n A d¯uo. c go. i la` ma trˆa. n hˆe. sˆo´ cu’a hˆe. phuong trı`nh (2.1). Ha. ng cu’a . . ma trˆa.n hˆe. sˆo´ A cu˜ng d¯uo. c go. i la` ha.ng cu’a hˆe. (2.1). . Ma trˆa.n cˆo.t gˆ`om ca´c hˆe. sˆo´ tu. do • b1 b2 B =  .  .   bm   .   go. i la` ma trˆa. n hˆe. sˆo´ tu. do cu’a hˆe. (2.1). Ma trˆa.n • a11 a12 . . . a1n b1 a a . . . a n b Abs =  21 22 2 2  · · · · · · · · · · · · · · · a a . . . a b   m1 m2 mn m  . .  .  co´ d¯uo. c b˘a`ng ca´ch thˆem v`oa A cˆo.t hˆe. sˆo´ tu. do go. i la` ma trˆa.n bˆo’ sung cu’a hˆe. (2.1). Ma trˆa.n cˆo.t gˆ`om ca´c aˆ’n sˆo´ • x1 x2 X =  .  .   xm     go. i la` ma trˆa. n aˆ’n sˆo´ cu’a hˆe. (2.1). . . . . . . V´oi nhu˜ng kı´ hiˆe.u ma trˆa.n vu`a d¯ua v`o,a hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh (2.1) . . co´ thˆe’ viˆe´t la. i tha`nh phuong tı`nh ma trˆa.n sau d¯ˆay AX = B (2.3) . . ma` d¯uo. c go. i la` da.ng ma trˆa. n cu’a hˆe. (2.1) . . n Nghiˆe. m cu’a hˆe. (2.1) la` mˆo.t bˆo. n sˆo´ s˘a´p thu´ tu. (c1, c2, , cn) K sao cho • . . ∈ . . khi thay xj = cj (j = 1, n) v`oa ca´c phuong trı`nh cu’a hˆe. (2.1) ta nhˆa.n d¯uo. c c1 . c2 . . ca´c d¯ˆ`ong nhˆa´t thu´c trˆen K. Lu´c d¯o´, ma trˆa.n cˆo.t C =  .  d¯uong nhiˆen la` .   cm . .   nghiˆe.m cu’a phuong trı`nh (2.3).   . . . Tˆa.p ho. p tˆa´t ca’ ca´c nghiˆe.m cu’a mˆo.t hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh go. i la` • . . . tˆa.p ho. p nghiˆe.m cu’a hˆe. phuong tı`nh tuy´en tı´nh d¯o´. Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. . 2.1. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t. 33 . . . . . . . . Hai hˆe. phuong trı`nh cu`ng sˆo´ aˆ’n d¯uo. c go. i la` tuong d¯uong nˆe´u ch´ung co´ • . cu`ng tˆa.p ho. p nghiˆe.m. . . . . Mˆo.t hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh go. i la` co´ nghiˆe.m hay tuong thı´ch nˆe´u • . . tˆa.p nghiˆe.m cu’a no´ kha´c rˆo˜ng, nguo. c la. i ta go. i hˆe. d¯o´ vˆo nghiˆe.m hay khˆong tu.o.ng thı´ch. . . . . Hˆe. phuong tı`nh tuyˆe´n tı´nh tuong thı´ch co´ duy nhˆa´t 1 nghiˆe.m go. i la` hˆe. • . . xa´c d¯i.nh, nguo. c la. i go. i la` hˆe. khˆong xa´c d¯i.nh. . . 2.1.2 Gia’i hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh. a. Hˆe. Cramer. . . . . D- .inh nghı˜a 2.2. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh n phuong tı`nh n aˆ’n sˆo´ ma` ma trˆa.n cu’a no´ khˆong suy biˆe´n go. i la` mˆo.t hˆe. Cramer. . . D- .inh ly´ 2.1. Mo.i hˆe. Cramer n phuong tı`nh n aˆ’n sˆo´ d¯`ˆeu c´o duy nhˆa´t mˆo. t . . nghiˆe.m cho bo’ i cˆong thu´c D x = j ; j = 1, n (2.4) j D . . trong d¯o´ D la` d¯i.nh thu´c cu’a ma trˆa. n hˆe. sˆo´ cu’a hˆe. , Dj la` d¯i.nh thu´c nhˆa. n . . . . . . d¯uo. c tu` D b˘a`ng c´ach thay cˆo. t thu´ j bo’ i cˆo. t tu. do, j = 1, n. . . . . Chu´ng minh. Cho hˆe. Cramer n phuong tı`nh, n aˆ’n sˆo´ v´oi ma trˆa.n hˆe. sˆo´ la` A, . cˆo.t tu. do B. Khi d¯o´ hˆe. co´ da. ng ma trˆa.n la` AX = B (2.5) . 1 Vı` A khˆong suy biˆe´n nˆen D = detA = 0 v`a A kha’ nghi.ch v´oi nghi.ch d¯a’o A− . . . . 6 d¯uo. c cho bo’ i cˆong thu´c A A An 11 21 · · · 1 1 1 1 A12 A22 An2 A− = PA =  · · ·  , (2.6) D D · · · · · · · · · · · · A n A n Ann  1 2 · · ·  Lu´c d¯o´ ta co´   1 1 1 1 1 (2.5) A− (AX) = A− B (A− A)X = A− B X = A− B (2.7) ⇔ ⇔ ⇔ 1 . Vˆa.y hˆe. co´ nghiˆe.m duy nhˆa´t X = A− B. Thay (2.6) v`oa (2.7) rˆ`oi thu. c hiˆe.n . . . phe´p nhˆan ma trˆa.n o’ vˆe´ pha’i ta d¯uo. c x1 b A + b A + + bnAn 1 11 2 21 · · · 1 x2 1 b1A12 + b2A22 + + bnAn2 X =  .  =  · · ·  . D   · · · · · · · · · · · · · · · x b1A1n + b2A2n + + bnAnn  n  · · ·      Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh  
. . 34 2. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh 1 xj = (b A j + b A j + + bnAnj); j = 1, n. (2.8) ⇔ D 1 1 2 2 · · · . D- ˆe’ ´y r˘a`ng (b1A1j + b2A2j + + bnAnj) la` khai triˆe’n cu’a d¯i.nh thu´c Dj (d¯i.nh . . . . · · · . . . . thu´c nhˆa.n d¯uo. c tu` D b˘a`ng ca´ch thay cˆo.t thu´ j bo’ i cˆo.t tu. do) theo cˆo.t thu´ D j, j = 1, n. Vˆay x = j , j = 1, n. . j D . . Nhˆa.n xe´t. Khi viˆe´t hˆe. Cramer o’ da. ng (2.5), co´ thˆe’ xem (2.7) la` cˆong thu´c nghiˆe.m duy nhˆa´t cu’a no´. Ap´ du. ng d¯i.nh ly´ Cramer ta co´ 2 ca´ch d¯ˆe’ gia’i hˆe. Cramer. Ca´ch 1: du`ng cˆong thu´.c (2.4), ca´ch 2: du`ng cˆong thu´.c (2.7). . . Vı´ du. 1. Gia’i hˆe. phuong trı`nh sau: x + x 2x = 6 1 2 − 3 2x1 + 3x2 7x3 = 16  − 5x1 + 2x2 + x3 = 16 1 1 2  −  Ta co´: A = 2 3 7 , D =detA = 2 = 0.  −  6 5 2 1   . Do d¯o´ hˆe. trˆen la` mˆo.t hˆe. Cramer. Su’ du. ng d¯i.nh ly´ Cramer ta tı´nh nghiˆe.m cu’a . hˆe. trˆen nhu sau: 6 1 2 1 6 2 1 1 6 − − D = 16 3 7 = 6; D = 2 16 7 = 2; D = 2 3 16 = 2. 1  −  2  −  3   − 16 2 1 5 16 1 5 2 16   D 6  D 2   Vˆay hˆe co´ nghiˆem la`: x = 1 = = 3, x = 2 = = 1, . . . 1 D 2 2 D 2 D 2 x = 3 = − = 1. 3 D 2 − . . Vı´ du. 2. Gia’i hˆe. phuong trı`nh sau: 2x 3x + x = 7 1 − 2 3 − x + 4x + 2x = 1  1 2 3 − x 4x = 5 1 − 2 − 2 3 1  −  Ta co´: A = 1 4 2 , D =detA = 2 = 0.   6 1 4 0 −   Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. . 2.1. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t. 35 . . Do d¯o´ hˆe. trˆen la` mˆo.t hˆe. Cramer. Viˆe´t hˆe. d¯a˜ cho duo´i da. ng AX = B. Nghiˆe.m 1 cu’a hˆe. la` X = A− B. 8 4 10 1 1 − − A− = 2 1 3 , 2  − −  8 5 11 −   8 4 10 7 1 1 1 − − − − Vˆa.y X = A− B = 2 1 3 1 = 1 2  − −  −    8 5 11 5 2 − − −       Nghiˆe.m cu’a hˆe. la`: x1 = 1, x2 = 1, x3 = 2. − − . . b. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t. . . . . D- .inh ly´ 2.2. Cho hai hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh trˆen K cu`ng c´o m phuong . . . bs bs trı`nh cu’a n aˆ’n sˆo´ v´oi ma trˆa. n bˆo’ sung lˆ`an luo. t la` A1 va` A2 . Khi d¯o´ nˆe´u bs . . . bs . . . A2 nhˆa. n d¯uo. c tu` A1 bo’ i mˆo. t sˆo´ hu˜u ha.n c´ac phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p do`ng thı` . . . . . . . hai hˆe. phuong tı`nh d¯a˜ cho tuong d¯uong v´oi nhau. . . . . . Chu´ng minh. Da. ng ma trˆa.n cu’a hai hˆe. phuong trı`nh trˆen lˆ`an luo. t la`: A1X = B1 v`a A2X = B2. . bs . . . bs . . . Gia’ su’ A2 nhˆa.n d¯uo. c tu` A1 bo’ i mˆo.t sˆo´ hu˜u ha. n ca´c phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p . . . do`ng, tu´c la` co´ mˆo.t da˜y hu˜u ha. n ca´c ma trˆa.n so cˆa´p do`ng E1, E2, , Ek sao cho: bs bs A2 = EkEk 1 E1A1 . (2.9) − D- a˘.t P = EkEk 1 E1. Lu´c d¯o´ P kha’ nghi.ch v`a d˜ˆe thˆa´y − A = P A , (2.9) 2 1 ⇐⇒ (B2 = P B1. Do d¯o´: A X = B P (A X) = P B (P A )X = P B A X = B . 1 1 ⇔ 1 1 ⇔ 1 1 ⇔ 2 2 . . D- .inh ly´ 2.3 (D- .inh ly´ Kronecker - Capelli). Mˆo. t hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n . c´o nghiˆe. m khi va` chı’ khi ma trˆa. n hˆe. sˆo´ va` ma trˆa. n mo’ rˆo. ng cu’a hˆe. c´o ha.ng b˘a`ng nhau. . . . . Hˆe. qua’ 2.1. Nˆe´u ha.ng cu’a hˆe. phuong tı`nh tuyˆe´n tı´nh d¯u´ng b˘a`ng sˆo´ phuong trı`nh cu’a no´ thı` hˆe. d¯o´ luˆon luˆon c´o nghiˆe.m. Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. . 36 2. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh . . . . Chu´ng minh. Gia’ su’ hˆe. AX = B gˆ`om m phuong trı`nh cu’a n aˆ’n v`a ha. ng cu’a hˆe. la` r(A) = m. Khi d¯o´ m = r(A) r(Abs) minm, n + 1 m. ≤ ≤ ≤ bs . Do d¯o´ r(A) = r(A ) = m, tu´c la` hˆe. co´ nghiˆe.m. . . . D- .inh ly´ 2.4. Cho hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t (2.1) v´oi ma trˆa. n bs hˆe. sˆo´ A va` ma trˆa. n bˆo’ sung A . Khi d¯o´ bs (i) Nˆe´u r(A) < r(A ) thı` hˆe. vˆo nghiˆe.m; bs (ii) Nˆe´u r(A) = r(A ) = n (sˆo´ aˆ’n) thı` hˆe. c´o duy nhˆa´t nghiˆe. m; bs (iii) Nˆe´u r(A) = r(A ) = r < n thı` hˆe. c´o vˆo sˆo´ nghiˆe. m (phu. thuˆo. c n r − tham sˆo´). . . . bs . Truo`ng ho. p r(A) = r(A ) = r < n thı` ca´c d¯i.nh thu´c con cˆa´p r cu’a A ♠ . . . . . . go. i la` d¯i.nh thu´c con co so’ cu’a A. Ta lˆa´y trong d¯i.nh thu´c con co so’ cu’a A . mˆo.t ha`ng tu`y ´y, ca´c phˆ`an tu’ cu’a ha`ng na`y la` ca´c hˆe. sˆo´ cu’a r aˆ’n trong n aˆ’n . . . cu’a hˆe. d¯a˜ cho, r aˆ’n na`y d¯uo. c go. i la` r aˆ’n co ba’n hay r aˆ’n chı´nh, n r aˆ’n co`n . − . la. i go. i la` ca´c aˆ’n khˆong co ba’n hay aˆ’n phu. . Co´ nhi`ˆeu ca´ch d¯ˆe’ cho. n ca´c aˆ’n co ba’n v`a aˆ’n khˆong co. ba’n. . . Vı´ du Gia’i v`a biˆe.n luˆa.n hˆe. phuong trı`nh: λx1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1 + λx2 + x3 + x4 = 1  (2.10) x1 + x2 + λx3 + x4 = 1  x1 + x2 + x3 + λx4 = 1  ˙’.  O d¯ˆay x1, x2, x3, x4 la` ca´caˆ’n, λ la` tham sˆo´. Gia’i. Lˆa.p ma trˆa.n hˆe. sˆo´ v`a ma trˆa.n bˆo’ sung: λ 1 1 1 λ 1 1 1 1 1 λ 1 1 1 λ 1 1 1 A =   ; Abs =   . 1 1 λ 1 1 1 λ 1 1 1 1 1 λ 1 1 1 λ 1     . .  .    Truo´c hˆe´t ta tı´nh d¯i.nh thu´c ma trˆa.n hˆe. sˆo´ λ 1 1 1 λ + 3 1 1 1 1 1 1 1 1 λ 1 1 λ + 3 λ 1 1 1 λ 1 1 detA = =   = (λ + 3) 1 1 λ 1 λ + 3 1 λ 1 1 1 λ 1 1 1 1 λ λ + 3 1 1 λ 1 1 1 λ   -   Ba`i gia’ng Da.i sˆo´ tuy ˆe´n tı´nh
. . 2.1. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t. 37 1 1 1 1 0 λ 1 0 0 = (λ + 3) − = (λ + 3)(λ 1)3 0 0 λ 1 0 − − 0 0 0 λ 1 − . a. Nˆe´u λ = 3 v`a λ = 1 thı` hˆe. (2.10) tro’ tha`nh hˆe. Cramer. Khi d¯o´ 6 − 6 D = detA = (λ + 3)( λ 1)3 − 1 1 1 1 1 λ 1 1 D = = (λ 1)3 1 1 1 λ 1 − 1 1 1 λ λ 1 1 1 1 λ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 λ 1 1 D = = ( 1) = ( 1)2 = D 2 1 1 λ 1 − 1 1 λ 1 − 1 1 λ 1 1 1 1 1 λ 1 1 1 λ 1 1 1 λ . . . 3 Tuong tu. D3 = D 4 = D2 = D1 = (λ 1) − 1 Vˆay x = x = x = x = . . 1 2 3 4 λ + 3 bs b. Nˆe´u λ = 1 thı` r(A) = r(A ) = 1 nˆen hˆe. (2.10) co´ nghiˆe.m. Khi d¯o´ hˆe. . . . . . . . . (2.10) tuong d¯uong v´oi hˆe. mˆo.t phuong trı`nh x1 + x2 + x3 + x4 = 1, tu` d¯o´ x = 1 x x x (coi x , x , x la` nhu˜.ng tham sˆo´). 1 − 2 − 3 − 4 2 3 4 . bs c. Nˆe´u λ = 3 thı` detA = 0 r(A) < 4. Trong khi d¯o´ tu` ma trˆa.n A ta . . − . ⇒ cho. n ra d¯uo. c d¯i.nh thu´c con cˆa´p 4 1 1 1 1 3 1 1 1 − = ( 3 1)3 = ( 4)3 = 64 = 0. 1 3 1 1 − − − − 6 − 1 1 3 1 − bs bs Suy ra r(A )= 4. Vˆa.y r(A)< r(A ). Hˆe. vˆo nghiˆe.m. . . . . . * Phuong pha´p khu’ Gauss d¯ˆe’ gia’i hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t. . . (a) Nˆo.i dung phuong pha´p. . . . bs Du`ng ca´c phe´p biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p do`ng d¯ua ma trˆa.n mo’ rˆo.ng A v`ˆe da. ng • bs . . bs ma trˆa.n bˆa.c thang A1 . Lu´c d¯o´ d˜ˆe da`ng tı´nh d¯uo. c r(A) v`a r(A ). bs Nˆe´u r(A) < r(A ) thı` hˆe. d¯a˜ cho vˆo nghiˆe.m. • bs . . . . Nˆe´u r(A) = r(A ) = r thı` lˆa.p hˆe. phuong trı`nh m´oi co´ ma trˆa.n mo’ rˆo.ng • . . . bs . . . . . . nhˆa.n d¯uo. c tu` A1 sau khi bo’ ca´c do`ng khˆong. (Hˆe. m´oi na`y tuong d¯uong v´oi Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. . 38 2. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh hˆe. d¯a˜ cho). . . . . . Gia’i hˆe. phuong trı`nh m´oi co´ r phuong trı`nh, n aˆ’n sˆo´ b˘a`ng ca´ch cho. n r • . . . . . aˆ’n co ba’n v`a cho. n n r aˆ’n khˆong co ba’n, lˆ`an luo. t cho n r aˆ’n khˆong co ba’n − − bo’.i n r tham sˆo´ tu`y ´y, tı`m ca´c aˆ’n co. ba’n theo ca´c tham sˆo´ d¯o´ ta se˜ tı`m . . − . . d¯uo. c nghiˆe.m tˆo’ng qua´t cu’a hˆe. phuong trı`nh d¯a˜ cho. Nˆe´u cho n r tham sˆo´ . . . . − bo’ i n r sˆo´ thu. c cu. thˆe’ thı` ta se˜ nhˆa.n d¯uo. c 1 nghiˆe.m cu’a hˆe. v`a nghiˆe.m d¯o´ . . − . . . d¯uo. c go. i la` nghiˆe.m cu. thˆe’. Truo`ng ho. p n = r thı` hˆe. chı’ co´ mˆo.t nghiˆe.m duy nhˆa´t. (b) Nhˆa.n xe´t. . . bs Trong qua´ trı`nh biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p trˆen ca´c do`ng cu’a ma trˆa.n mo’ rˆo.ng A , ta co´ mˆa´y d¯iˆe’n cˆ`an lu.u ´y sau: Nˆe´u thˆa´y xuˆa´t hiˆe.n mˆo.t do`ng khˆong thı` co´ thˆe’ xo´a d¯i do`ng d¯o´. • Nˆe´u thˆa´y hai do`ng b˘a`ng nhau hay ty’ lˆe v´o.i nhau thı` co´ thˆe’ bo’ d¯i mˆot • . . do`ng. Nˆe´u thˆa´y xuˆa´t hiˆe.n mˆo.t do`ng co´ da. ng [0 0 0 0 a] a = 0 thı` kˆe´t luˆa.n • 6 ngay hˆe. vˆo nghiˆe.m. . . Vı´ du. 1. Gia’i hˆe. phuong trı`nh: x + 2x x + x = 0 1 2 − 3 4 2x1 3x2 + 3x3 = 3  − x2 + x3 + x4 = 1 (2.11)   4x + 2x + x = 2 − 1 3 4 − x1 + x2 + x3 + x4 = 2    Gia’i. Lˆa.p ma trˆa.n bˆo’ sung: 1 2 1 1 0 1 2 1 1 0 1 2 1 1 0 − − − 2 3 1 0 3 0 7 3 2 3 0 1 1 1 1  −   − −    Abs = 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 7 3 2 3 ∼ ∼ − −  4 0 2 1 2 0 8 2 5 2 0 8 2 5 2 − −   − −   − −   1 1 1 1 2  0 1 2 0 2  0 1 2 0 2           −   −  1 2 1 1 0 1 2 1 1 0 − − 1 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 −     0 1 1 1 1 0 0 10 5 10 0 0 2 1 2   ∼ ∼ ∼ 0 0 2 1 2 0 0 10 3 10 0 0 0 2 0  − − −    0 0 0 1 0 0 0 3 1 3  0 0 0 1 0         Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh   
. . 2.1. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t. 39 x + 2x x + x = 0 x = 1 1 2 − 3 4 1  x2 + x3 + x4 = 1 x2 = 0 Hˆe. (2.11)   ⇔  2x3 + x4 = 2 ⇔ x3 = 1   2x4 = 0 x4 = 0   Vˆay hˆe co´ nghiˆem duy nhˆa´t (1, 0, 1, 0).  . .  .  . . Vı´ du. 2. Gia’i hˆe. phuong trı`nh: 2x + x x x + x = 1 1 2 − 3 − 4 5 x1 x2 + x3 + x4 2x5 = 0  − − (2.12) 3x1 + 3x2 3x3 3x4 + 4x5 = 2  − − 4x + 5x 5x 5x + 7x = 3 1 2 − 3 − 4 5   Gia’i. Lˆa.p ma trˆa.n bˆo’ sung: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 − − − − 1 1 1 1 2 0 2 1 1 1 1 1 Abs =  − −   − −  3 3 3 3 4 2 ∼ 3 3 3 3 4 2 − − − − 4 5 5 5 7 3 4 5 5 5 7 3  − −   − −      1 1 1 1 2 0 1 1 1 1 2 0 − − − − 0 3 3 3 5 1 0 3 3 3 5 1  − −   − −  ∼ 0 6 6 6 10 2 ∼ 0 0 0 0 0 0 − − 0 9 9 9 15 3 0 0 0 0 0 0  − −    bs     r(A) = r(A ) = 2. Suy ra hˆe. co´ nghiˆe.m. x x + x + x 2x = 0 (2.12) 1 − 2 3 4 − 5 ⇔ (3x2 3x3 3x4 + 5x5 = 1 − − . . . Cho. n x1, x2 la` aˆ’n co ba’n. Cho. n x3, x4, x5 la` ca´c aˆ’n phu. , v`a d¯˘a.t ch´ung lˆ`an luo. t la` t1, t2, t3. Ta co´ nghiˆe.m cu’a hˆe. la`: 1 1 x = + t 1 3 3 3  1 x2 = (1 + 3t1 + 3t2 5t3)  3 −  t1, t2, t3 R. x3 = t1 ∈  x4 = t2  x5 = t3   Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´ntı´nh
. . 40 2. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh . . 2.2 Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thu`aˆn nhaˆ´t. 2.2.1 D- .inh nghı˜a v`a tı´nh chˆa´t. . . D- .inh nghı˜a 2.3. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh co´ da. ng a x + a x + + a nxn = 0 11 1 12 2 · · · 1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0  · · · (2.13)  · · · · · · · · · · · · · · · · · · am x + am x + + amnxn = 0 1 1 2 2 · · ·  . . .. d¯uo. c go. i la` hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t. Da. ng ma trˆa.n cu’a hˆe. phu.o.ng tı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t la` AX = O. (2.14) . . . Nhˆa.n xe´t. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t bao gi`o cu˜ng co´ nghiˆe.m. n . . Cu. thˆe’ bˆo. sˆo´ (0, 0, , 0) K luˆon la` mˆo.t nghiˆe.m cu’a hˆe. v`a d¯uo. c go. i la` . . ∈ n . nghiˆe.m tˆ`am thuo`ng. Mˆo˜i bˆo. sˆo´ (c1, c2, , cn) K khˆong d¯ˆ`ong th`oi triˆe.t tiˆeu . . ∈ . . nˆe´u la` nghiˆe.m cu’a hˆe. (2.13) thı` d¯uo. c go. i la` nghiˆe. m khˆong tˆ`am thuo`ng. . . D- .inh ly´ 2.5. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t c´o nghiˆe. m khˆong tˆ`am . . . . thuo`ng khi va` chı’ khi ha.ng cu’a hˆe. nho’ hon sˆo´ aˆ’n, tu´c la` r(A) < n. . . . . D- a˘.c biˆe.t, khi sˆo´ phuong trı`nh b˘a`ng sˆo´ aˆ’n kˆe´t ho. p v´oi d¯i.nh ly´ Cramer, ta co´: . . . . Hˆe. qua’ 2.2. Cho hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t c´o sˆo´ phuong trı`nh . b˘a`ng sˆo´ aˆ’n v´oi ma trˆa. n hˆe. sˆo´ A. Khi d¯o´ (1) Hˆe c´o nghiˆem duy nhˆa´t tˆ`am thu.o`.ng detA = 0. . . ⇔ 6 . . (2) Hˆe. c´o nghiˆe.m khˆong tˆ`am thuo`ng detA = 0. ⇔ . . D- .inh ly´ 2.6. Cho hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t (2.13). Khi d¯o´ (1) Tˆo’ng (hay hiˆe.u) cu’a hai nghiˆe.m cu’a hˆe. (2.13) la` mˆo. t nghiˆe. m cu’a hˆe. (2.13). . (2) Tı´ch cu’a mˆo. t sˆo´ thuˆo. c K v´oi mˆo. t nghiˆe.m cu’a hˆe. (2.13) la` mˆo. t nghiˆe.m cu’a hˆe. (2.13). Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. . 2.2. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thu`ˆan nhˆa´t. 41 . . . Chu´ng minh. Viˆe´t hˆe. (2.13) duo´i da. ng ma trˆa.n AX = O. Go. i P0 la` tˆa.p nghiˆe.m cu’a hˆe. AX = O. (1) C , C P , ta co´: AC = AC = O. ∀ 1 2 ∈ 0 1 2 Suy ra A(C C ) = AC AC = O. Hay C C P . 1 2 1 2 1 2 ∈ 0 (2) C P , λ K, ta co´ AC = O, do d¯o´ A(λC) = λ(AC) = O. Hay ∀ ∈ 0 ∀ ∈ λC P . ∈ 0 . . . 2.2.2 Hˆe. nghiˆe.m co ba’n cu’a hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t. . . . . . Trong truo`ng ho. p ha. ng cu’a ma trˆa.n hˆe. sˆo´ A cu’a hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh . . . thuˆ`an nhˆa´t la` r(A) < n = sˆo´ aˆ’n thı` ta cho. n d¯uo. c r(A) aˆ’n co ba’n v`a n r(A) . . . . −. aˆ’n khˆong co ba’n, ca´c aˆ’n co ba’n d¯uo. c biˆe’u di˜ˆen qua ca´c aˆ’n khˆong co ba’n. . . . . Nˆe´u ta cho. n n r(A) aˆ’n khˆong co ba’n tuong u´ng theo n r(A) tha`nh phˆ`an − − cu’a n r(A) bˆo. sˆo´ sau d¯ˆay: − (1, 0, 0 , 0, 0) , (0, 1, 0, , 0, 0), , (0, 0, 0, , 0, 1) n r(A) tha`nh phˆ`an − . . | {z } . . thı` ta se˜ d¯uo. c n r(A) nghiˆe.m cu. thˆe’ cu’a hˆe. phuong trı`nh thuˆ`an nhˆa´t, tˆa.p . − . . . ho. p ca´c nghiˆe.m d¯o´ go. i la` hˆe. nghiˆe.m co ba’n hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t. . . . Vı´ du Tı`m hˆe. nghiˆe.m co ba’n cu’a hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t sau: x x + x + 3x = 0 1 − 2 3 4 2x1 + x2 + 2x3 + 6x5 = 0 (2.15)  2x1 + x3 + 3x4 + 3x5 = 0  Gia’i. Ma trˆa.n hˆe. sˆo´:  1 1 1 3 0 1 1 1 3 0 1 1 1 3 0 − − − A = 2 1 2 0 6 0 3 0 6 6 0 1 0 2 2   ∼  −  ∼  −  2 0 1 3 3 0 2 3 3 3 0 0 3 1 1 − −       x x + x + 3x = 0 1 − 2 3 4 (2.15) x 2x + 2x = 0 (2.16) ⇔  2 − 4 5 3x + x 1x = 0 3 4 − 5 Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh 
. . 42 2. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh . Vı` ha. ng cu’a ma trˆa.n hˆe. sˆo´ b˘a`ng 3, sˆo´ aˆ’n b˘a`ng 5 nˆen ta se˜ cho. n 3 aˆ’n co . . . ba’n la` x1, x2, x3, 2 aˆ’n khˆong co ba’n la` x4, x5. Lˆ`an luo. t cho x4 = 1, x5 = 0 v`a . . . x4 = 0, x5 = 1 rˆ`oi thay v`oa (2.16) ta se˜ d¯uo. c hˆe. nghiˆe.m co ba’n cu’a hˆe. (2.15) la` ( 2, 2, 1, 1, 0) v`a ( 1, 2, 1, 0, 1). − − − − . . 2.2.3 Cˆa´u tru´c nghiˆe.m cu’a hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t. . . Cho hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t a x + a x + + a nxn = b 11 1 12 2 · · · 1 1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2  · · · (2.17)  · · · · · · · · · · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm  · · · . .  . . . . . v`a hˆe. phuong trı`nhtuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t tuong u´ng (co´ d¯uo. c b˘a`ng ca´ch thay tˆa´t ca’ bj, j = 1, m cu’a hˆe. (2.17) b˘a`ng 0): a x + a x + + a nxn = 0 11 1 12 2 · · · 1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = 0  · · · (2.18)  · · · · · · · · · · · · · · · · · · am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0  · · ·  0 0 0 . . Mˆo.t nghiˆe.m X0 =(x1, x2, , xn) na`o d¯o´ cu’a hˆe. (2.17) d¯uo. c go. i la` mˆo.t . nghiˆe.m riˆeng. Go. i X1, , Xn r la` hˆe. nghiˆe.m co’ ba’n cu’a hˆe. (2.18). Viˆe´t . . − X0, X1, , Xn r duo´i da. ng ma trˆa.n cˆo.t. Khi d¯o´ mo. i nghiˆe.m cu’a (2.18) co´ − da. ng t1X1 + t2X2 + + tn rXn r (t1, , tn r tu`y ´y thuˆo.c K) v`a nghiˆe.m d¯o´ . . · · · − − − d¯uo. c go. i la` nghiˆe.m tˆo’ng qua´t cu’a hˆe. (2.18). Ta co´ d¯i.nh ly´ sau: . . D- .inh ly´ 2.7. Nghiˆe. m tˆo’ng qua´t cu’a mˆo. t hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t . . . b˘a`ng tˆo’ng mˆo. t nghiˆe. m riˆeng cu’a no´ v´oi nghiˆe. m tˆo’ng qua´t cu’a hˆe. phuong trı`nh . . . tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t tuong u´ng. Cu. thˆe’ nghiˆe.m tˆo’ng qua´t cu’a hˆe. (2.17) c´o da.ng: X = X0 + t1X1 + t2X2 + + tn rXn r (t1, , tn r tu`y ´y thuˆo. c K). · · · − − − . . Vı´ du Tı`m nghiˆe.m tˆo’ng qua´t cu’a hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh sau: x + 2y + z t = 3 − 2x + 5y + 3z + t = 11 (2.19) 3x + 7y + 4z = 14 ’ - ´ ´ Ba`i giang Da.i sˆo tuyˆen tı´nh 
. . 2.2. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thu`ˆan nhˆa´t. 43 . . . . . Xe´t hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t tuong u´ng: x + 2y + z t = 0 − 2x + 5y + 3z + t = 0 (2.20) 3x + 7y + 4z = 0 Ma trˆa.n hˆe. sˆo´:  1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 − − − A = 2 5 3 1 0 1 1 3 0 1 1 3 .   ∼   ∼   3 7 4 0 0 1 1 3 0 0 0 0       Hˆe. (2.20) co´ nghiˆe.m la` x = t1 + 7t2 y = t1 3t2  − − t1, t2 R. z = t1 ∈  t = t2  Hˆe nghiˆem co. ba’n cu’a (2.20) la` X = (1, 1, 1, 0); X = (7, 3, 0, 1). . .  1 − 2 − Mˆo.t nghiˆe.m riˆeng cu’a hˆe. (2.19) la` X0 = (1, 1, 1, 1). Vˆa.y nghiˆe.m tˆo’ng qua´t cu’a hˆe. (2.19) co´ da. ng: x = 1 + λ1 + 7λ2 y = 1 λ1 3λ2 X = X0 + λ1X1 + λ2X2  − − λ1, λ2 R. ⇔ z = 1 + λ1 ∈  t = 1 + λ2   Ba`i tˆa.p.  . . . 2.1 Xe´t xem ca´c hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thu. c sau d¯ˆay co´ pha’i la` hˆe. Cramer khˆong rˆ`oi gia’i ch´ung: 2x x x = 4 x + x + 2x = 1 1 − 2 − 3 1 2 3 − a) 3x + 4x 2x = 11 b) 2x x + 2x = 4  1 2 − 3  1 − 2 3 − 3x 2x + 4x = 11 4x + x + 4x = 2 1 − 2 3 1 2 3 − 3x + 4x x = 7 x + 2x + 4x = 31 1 2 − 3 1 2 3 c) x + 2x 3x = 0 d) 5x + x + 2x = 29  1 2 − 3  1 2 3 7x + 10x 5x = 2 3x x + x = 10 1 2 − 3 1 − 2 3 ’ - ´ ´ Ba`i giang Da.i sˆo tuyˆen tı´nh 
. . 44 2. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh x + 2x + 3x 2x = 6 2x x + 3x + 2x = 4 1 2 3 − 4 1 − 2 3 4 2x1 x2 2x3 3x4 = 4 3x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 = 6 e)  − − − f)  3x1 + 2x2 x3 + 2x4 = 4 3x1 x2 x3 + 2x4 = 6  −  − − 2x1 3x2 + 2x3 + x4 = 8 3x1 x2 + 3x3 x4 = 6.  − −  − −    . . . 2.2 Gia’i v`a biˆe.n luˆa.n ca´c hˆe. phuong trı`nh thu. c sau d¯ˆay theo tham sˆo´ m R. ∈ mx1 + x2 + x3 = 1 (m + 3)x1 + x2 + 2x3 = m a) x + mx + x = m b) mx + (m 1)x + x = 2m  1 2 3  1 − 2 3  2  x1 + x2 + mx3 = m 3(m + 1)x1 + mx2 + (m + 3)x3 = 3   x 2x + x + 2x = m x + 2x x + x = m 1 − 2 3 4 1 2 − 3 4 c) x + x x + x = 2m + 1 d) 2x + 5x 2x + 2x = 2m + 1  1 2 − 3 4  1 2 − 3 4 x + 7x 5x x = m 3x + 7x 3x + 3x = 1 1 2 − 3 − 4 − 1 2 − 3 4   2x x + x + x = 1 2x + x x + 2x = 4 1 − 2 3 4 1 2 − 3 4 x1 + 2x2 x3 + 4x4 = 2 x1 x2 + x3 + 2x4 = 3 e)  − f)  − x1 + 7x2 4x3 + 11x4 = m 2x1 + 2x2 2x3 + x4 = 3  −  − 4x1 + 8x2 4x3 + 16x4 = m + 1 x1 + x2 2x3 + x4 = m.  −  −    . . . .  2.3 Gia’i ca´c hˆe. phuong trı`nh sau b˘a`ng phuong pha´p Gauss: x + y + z + t + u = 7 2x + y z t + u = 1 − − 3x + 2y + z + t 3u = 2 x y + z + t 2u = 0 a)  − − b)  − − y + 2z + 2t + 6u = 23 3x + 3y 3z 3t + 4u = 2   − − 5x + 4y + 3z + 3t u = 12 4x + 5y 5z 5t + 7u = 3 − − −     2x 2y + z t + u = 1  3x + y 2z + t u = 1 − − − − x + 2y z + t 2u = 1 2x y + 7z 3t + 5u = 2 c)  − − d)  − − 4x 10y + 5z 5t + 7u = 1 x + 3y 2z + 5t 7u = 3  − −  − − 2x 14y + 7z 7t + 11u = 1 3x 2y + 7z 5t + 8u = 3. − − − − −      . . .  2.4 Tı`m hˆe. nghiˆe.m co ba’n cu’a ca´c hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆ`an nhˆa´t sau: Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. . 2.2. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh thu`ˆan nhˆa´t. 45 x + y 4z = 0 2x y + 5z + 7t = 0 − − 2x + 9y + 6z = 0 a) 4x 2y + 7z + 5t = 0 b)  − 3x + 5y + 2z = 0 2x y + 7z 5t = 0  − − 4x + 7y + 5z = 0    . .  2.5 Cho ca´c hˆe. phuong tı`nh tuyˆe´n tı´nh sau: x + 3y + 5z 4t = 1 − x + 2y 3t + 2u = 1 x + 3y + 2z 2t + u = 1 −  − − x y 3z + t 3u = 2 a) x 2y + z t u = 3 b)  − − −  − − − 2x 3y + 4z 5t + 2u = 7 x 4y + z + t u = 3  − − − − 9x 9y + 6z 16t + 2u = 25. x + 2y + z t + u = 1 − −    − −  .  .  . . . U´ ngv´oi mˆo˜i hˆe., ha˜y gia’i hˆe. thuˆ`an nhˆa´t tuong u´ng, sau d¯o´ tı`m mˆo.t nghiˆe.m riˆeng d¯ˆe’ suy ra nghiˆe.m tˆo’ng qua´t cu’a hˆe. d¯a˜ cho. . . 2.6 Cho hˆe. phuong trı`nh: ax1 3x2 + x3 = 2 − − . . ax1 + x2 + 2x3 = 3 v´oi a, b la` nhu˜ng tham sˆo´.  3x1 + 2x2 + x3 = b . . a) Tı`m a d¯ˆe’ hˆe. trˆen la` hˆe. Cramer, u´ng v´oi gia´ tri. d¯o´ ha˜y gia’i hˆe. theo b. b) Tı`m a, b d¯ˆe’ hˆe. vˆo nghiˆe.m. c) Tı`m a, b d¯ˆe’ hˆe. co´ vˆo sˆo´ nghiˆe.m. Chı’ ra nghiˆe.m tˆo’ng qua´t cu’a hˆe. trong . . . truo`ng ho. p na`y. . . . 2.7 Chu´ng minh r˘a`ng hˆe. phuong trı`nh sau co´ nghiˆe.m duy nhˆa´t. Tı`m nghiˆe.m duy nhˆa´t d¯o´: x 1 0 1 1 1 1 1 1 x 2 1 0 1 1 1 1  2      x3 3 1 1 0 1 1 1      x4  =  4  .    .   .  · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·  .   .   1 1 1 1 0 1        xn 1 n 1  1 1 1 1 1 0   −   −     xn   n            . 2.8 Tı`m ca´c d¯a thu´c bˆa.c 3 f(x) biˆe´t: Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. . 46 2. Hˆe. phuong trı`nh tuyˆe´n tı´nh a) f( 1) = 0 ; f(1) = 4 ; f(2) = 3 ; f(3) = 16, − b) f( 1) = 5 ; f(1) = 5 ; f(3) = 45 ; f( 4) = 25. − − − Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
Chu.o.ng 3 Khˆong gian vector 3.1 Kha´i niˆe.m v`ˆe khˆong gian vector 3.1.1 D- .inh nghı˜a khˆong gian vector . . . D- .inh nghı˜a 3.1. Cho mˆo.t tˆa.p ho. p E kha´c rˆo˜ng v`a mˆo.t truo`ng sˆo´ T cu`ng v´o.i hai phe´p toa´n: - Phe´p cˆo.ng: E E E × −→ (x, y) x + y. 7−→ - Phe´p nhˆan ngoa`i T E E × −→ (λ, x) λx. 7−→ . E cu`ng v´oi hai phe´p toa´n trˆen lˆa.p tha`nh mˆo.t khˆong gian vector trˆen K, hay . . . K- khˆong gian vector nˆe´u 8 tiˆen d¯`ˆe sau d¯ˆay d¯uo. c thu. c hiˆe.n: (1) (x + y) + z = x + (y + z); x, y, z E; ∀ ∈ (2) 0E E sao cho: x + 0E = 0E + x = x; x E; ∃ ∈ ∀ ∈ (3) x E, x E sao cho: x + ( x) = ( x) + x = 0E; ∀ ∈ ∃ − ∈ − − (4) x + y = y + x; x, y E; ∀ ∈ (5) λ(x + y) = λx + λy; x, y E; λ K; ∀ ∈ ∀ ∈ (6) (λ + µ)x = λx + µx; x E; λ, µ K; ∀ ∈ ∀ ∈ (7) (λµ)x = λ(µx); x E; λ, µ K; ∀ ∈ ∀ ∈ 47
48 3. Khˆong gian vector (8) 1x = x, x K. ∀ ∈ . . . Mˆo˜i phˆ`an tu’ cu’a E d¯uo. c go. i la` mˆo.t vector, mˆo˜i sˆo´ thuˆo.c K go. i la` mˆo.t vˆo hu.o´.ng. 3.1.2 V`ai v´ı du. . . . . . a. Tˆa.p ho. p V = Matm n(K) ca´c ma trˆa.n cˆa´p m n trˆen truo`ng K cu`ng v´oi × ×. . . phe´p toa´n cˆo.ng hai ma trˆa.n, nhˆan mˆo.t sˆo´ cu’a truo`ng K v´oi mˆo.t ma trˆa.n la` mˆo.t K- khˆong gian vector. Vector →−0 la` ma trˆa.n O, vector d¯ˆo´i A la` ma trˆa.n − d¯ˆo´i cu’a ma trˆa.n A. . . b. Cho V la` tˆa.p ho. p ca´c vector hı`nh ho. c v´oi vector →−0 la` vector co´ mod¯un . . b˘a`ng 0 v`a co´ huo´ng tu`y ´y, ta xa´c d¯i.nh phe´p cˆo.ng v`a phe´p nhˆan ngoa`i trˆen V nhu. sau: Phe´p cˆo.ng: V V V × −→ ( x , y ) x + y →− →− 7−→→− →− . . →−x + →−y d¯uo. c xa´c d¯i.nh theo quy t˘a´c hı`nh bı`nh ha`nh . . . Vector d¯ˆo´i →−x la` vector cu`ng phuong v´oi vector →−x , co´ d¯ˆo. da`i b˘a`ng d¯ˆo. da`i − . . . . . vector →−x v`a nguo. c huo´ng v´oi vector →−x . . . Phe´p nhˆan ngoa`i v´oi mˆo.t sˆo´: v´oi α R, →−x V , α→−x la` mˆo.t vector cu`ng . . . ∈ ∈. . . phuong v´oi →−x , co´ d¯ˆo. da`i b˘a`ng tı´ch cu’a α v´oi d¯ˆo. da`i cu’a →−x v`a co´ huo´ng . . . . . . .| | . cu`ng huo´ng v´oi →−x nˆe´u α > 0, nguo. c huo´ng v´oi →−x nˆe´u α < 0. . D˜ˆe thˆa´y r˘a`ng tˆa.p V cu`ng v´oi hai phe´p toa´n trˆen thoa’ ma˜n 8 tiˆen d¯`ˆe cu’a d¯i.nh nghı˜a khˆong gian vector. Vˆa.y V la` mˆo.t khˆong gian vector trˆen R. c. Cho tru.o`.ng K, v´o.i n 1, xe´t tı´ch D- ˆeca´c: ≥ n K = (x , x , , xn)/xi K, i = 1, 2, , n { 1 2 ∈ } cu`ng hai phe´p toa´n: (x1, x2, , xn) + (y1, y2, , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) k(x , x , , xn) = (kx , kx , , kxn), k K. 1 2 1 2 ∈ D˜ˆe thˆa´y Kn cu`ng hai phe´p toa´n trˆen la` mˆot K khˆong gian vector. Vector . − O = (0, 0, , 0), vector d¯ˆo´i cu’a x = (x , x , , xn) la` x = ( x , x , , xn). 1 2 − − 1 − 2 − D- a˘. c biˆe.t: Khi n = 1 thı` ba’n thˆan K cu˜ng la` mˆo.t K khˆong gian vector. . . . . − . . d. Tˆa.p ho. p ca´c sˆo´ thu. c R v´oi phe´p cˆo.ng sˆo´ thu. c v`a phe´p nhˆan sˆo´ thu. c v´oi . sˆo´ hu˜u ty’ la` mˆo.t Q khˆong gian vector. − . . . e. Tˆa.p K[x] ca´c d¯a thu´c mˆo.t biˆe´n hˆe. sˆo´ trˆen K v´oi phe´p cˆo.ng d¯a thu´c v`a . . . . . phe´p nhˆan mˆo.t phˆ`an tu’ thuˆo.c truo`ng K v´oi mˆo.t d¯a thu´c la` mˆo.t K khˆong − gian vector. Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
3.1. Kha´i niˆe.m v`ˆe khˆong gian vector 49 . 3.1.3 Mˆo. t sˆo´ tı´nh chˆa´t d¯on gia’n cu’a khˆong gian vector. Cho V la` mˆo.t K khˆong gian vector tu`y ´y. Khi d¯o´, ta luˆon co´: − Tı´nh chˆa´t 3.1 (Tı´nh duy nhˆa´t cu’a phˆ`an tu’. khˆong.). Chı’ c´o duy nhˆa´t mˆo. t vector 0 V sao cho ∈ x V : x + 0 = 0 + x = x. ∀ ∈ Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u θ cu˜ng la` mˆo.t vector khˆong cu’a V thı`: θ = θ + 0 = 0. Tı´nh chˆa´t 3.2 (Tı´nh duy nhˆa´t cu’a phˆ`an tu’. d¯ˆo´i.). V´o.i mˆo˜i x V , tˆ`on . ∈ ta.i duy nhˆa´t phˆ`an tu’ d¯ˆo´i cu’a x la` x sao cho: − x + ( x) = 0. − Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u x0 cu˜ng la` mˆo.t vector d¯ˆo´i cu’a x thı` : x = x + 0 = x + (x + x0) = ( x + x) + x0 = 0 + x0 = x0. − − − − . . . . Tı´nh chˆa´t 3.3. Luˆa. t gia’n uo´c c´o hiˆe. u lu. c trong V , tu´c la`: +) (x + z = y + z) (x = y), x, y, z V ; ⇒ ∀ ∈ +) (z + x = z + y) (x = y), x, y, z V. ⇒ ∀ ∈ Thˆa.t vˆa.y, (x + z = y + z) [(x + z) + ( z) = (y + z) + ( z)] ⇒ − − [x + (z z) = y + (z z)] (x + 0 = y + 0) (x = y). . . ⇒ . − − ⇒ ⇒ Tuong tu. cho phˆ`an co`n la. i. Tı´nh chˆa´t 3.4. x, y, z V, (x + y = z) (x = z y). ∀ ∈ ⇔ − Thˆa.t vˆa.y, (x + y = z) [(x + y) + ( y) = z + ( y)] [x + (y y) = z y] ⇔ − − ⇔ − − (x + 0 = z y) (x = z y). ⇔ − ⇔ − λ = 0 K Tı´nh chˆa´t 3.5. λ K, x V, λx = 0 ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ⇔ x = 0 V ∈ . . . Chu´ng minh. ( ) λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0 λ0 = 0 (theo luˆa.t gia’n uo´c); ⇐ ⇒ . . 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x 0x = 0 (theo luˆa.t gia’n uo´c). ⇒ . 1 ( ) Gia’ su’ λx = 0 v`a λ = 0. Khi d¯o´ λ− K v`a ta co´: ⇒ 1 6 1 ∃1 ∈ . x = 1x = (λ− λ)x = λ− (λx) = λ− 0 = 0, tu´c la` x = 0 V . ∈ Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
50 3. Khˆong gian vector Tı´nh chˆa´t 3.6. λ K, x V, (λx) = ( λ)x = λ( x). ∀ ∈ ∀ ∈ − − − Thˆa.t vˆa.y, λx + ( λ)x = [λ + ( λ)]x = 0x = 0 = λx + [ (λx)] ( λ)x = (λx); − − − ⇒ − − λx + λ( x) = λ[x + ( x)] = λ0 = 0 = λx + [ (λx)] λ( x) = (λx) − − − ⇒ − − Vˆay: (λx) = ( λ)x = λ( x). . − − − 3.2 Khˆong gian vector con. . . . D- .inh nghı˜a 3.2. Mˆo.t tˆa.p ho. p con W = cu’a K khˆong gian vector V d¯uo. c 6 ∅ − . go. i la` khˆong gian vector con cu’a V nˆe´u W oˆ’n d¯i.nh d¯ˆo´i v´oi phe´p toa´n cˆo.ng v`a . . phe´p nhˆan ngoa`i trˆen V . Tu´c la`, x + y W v`a λx W v´oi mo. i x, y W , ∈ ∈ ∈ mo. i λ K. ∈ . . D- uong nhiˆen khi W la` mˆo.t khˆong gian vector con cu’a V thı` W cu˜ng la` . . mˆo.t khˆong gian vector trˆen truo`ng K. Vı´ du . . (1) K Khˆong gian vector V la` mˆo.t khˆong gian con cu’a chı´nh no´ v`a d¯uo. c − . . . go. i la` khˆong gian con khˆong thu. c su. . Tˆa.p ho. p 0V chı’ gˆ`om mˆo.t vector { } . . khˆong cu˜ng la` mˆo.t khˆong gian vector con cu’a V v`a d¯uo. c go. i la` khˆong gian con tˆ`am thu.o`.ng cu’a V . . . Ta go. i khˆong gian con thu. c su. cu’a V la` mˆo.t khˆong gian con kha´c 0V { } v`a kha´c V . (2) Nˆe´u coi C la` mˆo.t R khˆong gian vector thı` R C la` mˆo.t khˆong gian − ⊂ vector con cu’a C. Nˆe´u coi C la` mˆo.t C khˆong gian vector thı` R khˆong − . la` mˆo.t khˆong gian vector con cu’a C vı` R khˆong oˆ’ d¯i.nh v´oi phe´p nhˆan . . v´oi mˆo.t sˆo´ phu´c. x n . (3) Tˆa.p W = a0 + a1x + a2x + + anx ai K trong d¯o´ n la` mˆo.t sˆo´ tu. { · · · | ∈ } nhiˆen cho tru.o´.c, la` mˆot khˆong gian vector con cu’a K khˆong gian vector . − K[x]. D- inh ly´ 3.1. Cho W la` mˆo. t tˆa. p con kha´c rˆo˜ng cu’a K khˆong gian vector V . . − Khi d¯o´ W la` mˆo. t khˆong gian vector con cu’a V khi va` chı’ khi λx + µy W, x, y W, λ, µ K. ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ Chu´.ng minh. ( ) Gia’ su’. W la` khˆong gian con cu’a V . ⇒ Khi d¯o´, x, y W, λ, µ K do λx, µy W nˆen λx + µy W . ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ∈ ( ) Chon λ = µ = 1 thı` x, y W , ta d¯`ˆeu co´ x + y W ; ⇐ . ∀ ∈ ∈ Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. 3.3. Su. phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh v`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. 51 Cho. n λ = 1, µ = 0 thı` x W, y = x, ta d¯`ˆeu co´ λx + 0x = λx W. ∀ ∈ ∈ Do d¯o´ W la` mˆo.t khˆong gian vector con cu’a V . . 3.3 Su. phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh va` d¯ˆo.c laˆ. p tuyˆe´n t´ınh. . 3.3.1 Tˆo’ ho. p tuyˆe´n tı´nh v`a biˆe’u thi. tuyˆe´n tı´nh. D- .inh nghı˜a 3.3. Cho x1, x2, , xn la` n vector (n 1) cu’a K khˆong gian . . ≥ − vector V v`a λ1, λ2, , λn la` n vˆo huo´ng trong K. Vector n x = λ x + λ x + + λnxn = λixi 1 1 2 2 · · · i=1 X . . . . d¯uo. c go. i la` tˆo’ ho. p tuyˆe´n tı´nh cu’a hˆe. vector (x1, x2, , xn) = (xi)i=1,n v´oi ho. hˆe. sˆo´ (λ1, λ2, , λn) = (λi)i=1,n. . Khi vector x la` mˆo.t tˆo’ ho. p tuyˆe´n tı´nh cu’a hˆe. (xi)i=1,n thı` ta ba’o x biˆe’u . . thi. tuyˆe´n tı´nh d¯uo. c qua hˆe. (xi)i=1,n. Vı´ du. Cho x = (1, 2), x = (3, 1), x = (5, 3) R2. . →−1 − →−2 −→ − ∈ Ta co´ 2→−x1 + →−x2 = (5, 3) = →−x . . − . . Vˆa.y →−x la` tˆo’ ho. p tuyˆe´n tı´nh cu’a hˆe. (→−x1, →−x2), hay →−x biˆe’u thi. tuyˆe´n tı´nh d¯uo. c qua hˆe. (→−x1, →−x2). Nhˆa.n xe´t. n (1) Ca´ch biˆe’u di˜ˆen x = λixi no´i chung khˆong duy nhˆa´t. i=1 . 2 Vı´ du. Trong khˆong Pgian vector thuc R , xe´t 3 vector x1 = ( 1, 0), x2 = . . − (0, 1), x3 = (1, 1). Khi d¯o´ vector khˆong 0 = (0, 0) biˆe’u thi. tuyˆe´n tı´nh .−. d¯uo. c qua hˆe. (x1, x2, x3) b˘a`ng´ıt nhˆa´t hai ca´ch sau: 0 = 0x1 + 0x2 + 0x3; 0 = 1.x1 + 1.x2 + 1.x3. . . (2) Nˆe´u x = 0 V thı` v´oi mo. i hˆe. vector (xi)i=1,n V , x bao gi`o cu˜ng biˆe’u ∈ . . ⊂ thi. tuyˆe´n tı´nh d¯uo. c qua (xi)i=1,n. n . . . Vı´ du 0 = λixi, λi = 0, i = 1, n. Trong truo`ng ho. p na`y ta no´i i=1 ∀ . . 0 biˆe’u thi. tuyPˆe´n tı´nh tˆ`am thuo`ng qua hˆe. trˆen. Nˆe´u 0 co´ ´ıt nhˆa´t hai ca´ch biˆe’u thi. tuyˆe´n tı´nh qua hˆe. (xi)i=1,n thı` ta no´i 0 biˆe’u thi. tuyˆe´n tı´nh . . khˆong tˆ`am thuo`ng qua hˆe. (xi)i=1,n. Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
52 3. Khˆong gian vector 3.3.2 D- oˆ.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu. thuˆo. c tuyˆe´n t´ınh. - D.inh nghı˜a 3.4. Hˆe. n vector (n 1) (xi)i=1,n trong K khˆong gian vector . . ≥ − V d¯uo. c go. i la` d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n tı´nh nˆe´u vector khˆong chı’ co´ duy nhˆa´t mˆo.t ca´ch . . . biˆe’u thi. tuyˆe´n tı´nh qua hˆe. d¯o´ b˘a`ng tˆo’ ho. p tuyˆe´n tı´nh tˆ`am thuo`ng. Hˆe. khˆong d¯ˆo.c la. p tuyˆe´n tı´nh go. i la` hˆe. phu. thuˆo. c tuyˆe´n tı´nh. . Nhu vˆa.y, hˆe. (xi)i=1,n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh khi v`a chı’ khi n λixi = 0 V (λ = λ = = λn = 0 K). ∈ ⇒ 1 2 · · · ∈ i=1 X Co`n hˆe. (xi)i=1,n phu. thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh nˆe´u v`a chı’ nˆe´u co´ ´ıt nhˆa´t mˆo.t ho. vˆo n . . . huo´ng (λi)i=1,n khˆong d¯ˆ`ong th`oi b˘a`ng khˆong sao cho λixi = 0 V . i=1 ∈ P Vı´ du. . (1) Cho V = R3 la` mˆo.t R khˆong gian vector. Xe´t hˆe. − x = (1, 1, 1), x = (1, 1, 0), x = (1, 0, 0) . { 1 2 3 } Gia’ su’. tˆ`on tai λ , λ , λ R sao cho: . 1 2 3 ∈ λ x + λ x + λ x = 0 (λ + λ + λ , λ + λ , λ ) = 0 1 1 2 2 3 3 ⇔ 1 2 3 1 2 1 λ1 + λ2 + λ3 = 0 λ1 = 0 λ + λ = 0 λ = 0 ⇔  1 2 ⇔  2   λ1 = 0 λ3 = 0 Vˆa.y hˆe. d¯a˜ cho d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh trong R3.   (2) Cho V = R2 la` mˆo.t R khˆong gian vector. Xe´t hˆe. 3 vector : − x = (1, 2), x = (1, 4), x = (3, 5) . { 1 − 2 3 } Gia’ su’. co´ λ , λ , λ R sao cho: 1 2 3 ∈ λ x + λ x + λ x = 0 (λ + λ + 3λ , 2λ + 4λ + 5λ ) = 0 1 1 2 2 3 3 ⇔ 1 2 3 − 1 2 3 7 λ + λ + 3λ = 0 λ + λ = 3λ λ1 = λ3 1 2 3 1 2 − 3 −6 ⇔ 2λ + 4λ + 5λ = 0 ⇔ 2λ + 4λ = 5λ ⇔  11 ( 1 2 3 ( 1 2 3 λ2 = λ3 − − −  − 6 . . . . Tu` d¯ˆay ta co´ thˆe’ cho. n ra rˆa´t nhi`ˆeu ho. vˆo huo´ng (λi)i=1,3 khˆong d¯ˆ`ong th`oi 3  b˘a`ng khˆong sao cho λixi = 0 i=1 Vˆa.y hˆe. d¯a˜ cho phu. thPuˆo.c tuyˆe´n tı´nh. Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. 3.3. Su. phu. thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh v`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. 53 . . . Quy uo´c. Hˆe. la` hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh. Vector 0 V la` tˆo’ ho. p tuyˆe´n tı´nh . . ∅ ∈ tˆ`am thuo`ng cu’a hˆe. v`a la` vector duy nhˆa´t biˆe’u thi. tuyˆe´n tı´nh qua hˆe. . ∅ ∅ Nhˆa.n xe´t. (1) →−0 la` hˆe. phu. thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh. { } . (2) Nˆe´u hˆe. (→−xi )i=1,n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh trong V thı` v´oi mo. i →−x V , →−x co´ ’ ∈ khˆong qua´ mˆo.t ca´ch biˆeu thi. tuyˆe´n tı´nh qua hˆe. (→−xi )i=1,n. ’ (3) Cho hˆe. (→−xi )i=1,n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh trong V v`a →−x V , nˆe´u →−x biˆeu thi. . . ’ ˜ ∈ tuyˆe´n tı´nh d¯uo. c qua hˆe. (→−xi )i=1,n thı` ca´ch biˆeu diˆen d¯o´ la` duy nhˆa´t. . . ’ . . . Chu´ng minh. Gia’ su’ →−x biˆeu thi. tuyˆe´n tı´nh d¯uo. c qua hˆe. (→−xi )i=1,n tu´c la` tˆ`on tai ca´c λi K sao cho . ∈ x = λ x + λ x + + λnxn. →− 1→−1 2→−2 · · · −→ Nˆe´u ngoa`i ca´c λi trˆen co`n tˆ`on ta. i ca´c µi K sao cho ∈ x = µ x + µ x + + µnxn. →− 1→−1 2→−2 · · · →− Thı` ta co´: λ x + λ x + + λnxn = µ x + µ x + + µnxn 1→−1 2→−2 · · · →− 1→−1 2→−2 · · · −→ (λ1 µ1)x1 + (λ2 µ2)x2 + + (λn µn)xn = →−0 ⇔ − →− − →− · · · − λ µ = 0 1 − 1 λ2 µ2 = 0  − (do hˆe. (→−xi )i=1,n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh) ⇒  · · · λn µn = 0  − . λi = µi, i = 1, n. Vˆa.y su. biˆe’u thi. tuyˆe´n tı´nh cu’a x qua hˆe. (xi )i=1,n ⇔  ∀ →− →− la` duy nhˆa´t. 3.3.3 V`ai t´ınh chˆa´t v`ˆe hˆe. phu. thuˆo. c tuyˆe´n t´ınh v`a hˆe. d¯ˆo. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh. Tı´nh chˆa´t 3.7. (i) Hˆe. gˆ`om mˆo. t vector x d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n tı´nh khi va` chı’ {→− } khi x = →−0 . →− 6 . (ii) Mo.i hˆe. vector chu´a →−0 d¯`ˆeu phu. thuˆo. c tuyˆe´n tı´nh. . . . Tı´nh chˆa´t na`y kha´ d¯on gia’n, ba. n d¯o. c tu. chu´ng minh. Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
54 3. Khˆong gian vector . . Tı´nh chˆa´t 3.8. V´oi hˆe. vector (xi)i I tuy` ´y (I la` mˆo. t tˆa. p ho. p bˆa´t ky` kha´c ∈ rˆo˜ng), hˆe. (xi)i J go.i la` hˆe. con cu’a hˆe. (xi)i I nˆe´u J I. Khi d¯o´: ∈ ∈ ⊂ (i) Nˆe´u hˆe. (xi)i=1,n d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n tı´nh thı` mo.i hˆe. con cu’a no´ cu˜ng d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n tı´nh. (ii) Nˆe´u c´o ´ıt nhˆa´t mˆo. t hˆe. con phu. thuˆo. c tuyˆe´n tı´nh thı` hˆe. (xi)i=1,n cu˜ng phu. thuˆo. c tuyˆe´n tı´nh. . . Chu´ng minh. Gia’ su’ (xi)i=1,n la` hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh v`a (xj)j J la` mˆo.t hˆe. . . ∈ con tuy` ´y cu’a no´, tu´c la` J I = 1, 2, , n . Ta cˆ`an chu´ng to’ (xj)j J d¯ˆo.c ⊂ { } ∈ lˆa.p tuyˆe´n tı´nh. . Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u λjxj = 0 la` mˆo.t tˆo’ ho. p tuyˆe´n tı´nh b˘a`ng 0 cu’a hˆe. (xj)j J j J ∈ ∈ . thı` 0 = λjxj +P 0.xi la` mˆo.t tˆo’ ho. p tuyˆe´n tı´nh b˘a`ng 0 cu’a hˆe. (xi)i=1,n. j J i I J ∈ ∈ \ . Ma` hˆe. (xPi)i=1,n la` hˆeP. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh, suy ra λj = 0, j J, tu´c la` (xj)j J ∀ ∈ ∈ d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n. Vı` kha´i niˆe.m hˆe. phu. thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh la` phu’ d¯i.nh cu’a kha´i niˆe.m hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p . . . . tuyˆe´n tı´nh nˆen hai kh˘a’ ng d¯i.nh trong tı´nh chˆa´t na`y la` tuong d¯uong nhau. . D- .inh ly´ 3.2 (D- .inh ly´ d¯˘a.c trung cu’a hˆe. phu. thuˆo. c tuyˆe´n tı´nh). Hˆe. n vector (n 2) (xi)i=1,n phu. thuˆo. c tuyˆe´n tı´nh khi va` chı’ khi c´o (ı´t nhˆa´t) mˆo. t ≥ . . vector cu’a hˆe. biˆe’u thi. tuyˆe´n tı´nh d¯uo. c qua c´ac vector c`no la.i. . . Chu´ng minh. ( ) Gia’ su’ hˆe. (xi)i=1,n phu. thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh. Lu´c d¯o´ co´ ´ıt nhˆa´t ⇒ n . . . mˆo.t ho. vˆo huo´ng (λi)i=1,n khˆong d¯ˆ`ong th`oi triˆe.t tiˆeu sao cho 0 = λixi. i . =1 Gia’ su’ λj = 0 K (1 j n). Khi d¯o´ P 6 ∈ ≤ ≤ n λi λixi λjxj = λixi xj = − xi; ⇒ − ⇒ λj i=1 i=j i=j X X6 X6 . . . tu´c la` xj biˆe’u thi. tuyˆe´n tı´nh d¯uo. c qua hˆe. ca´c vector co`n la. i (xi)i 1,2, ,n j . . . . ∈{ }\{ } ( ) Nguo. c la. i, gia’ su’ co´ mˆo.t vector cu’a hˆe. ch˘a’ ng ha. n xj (1 j n), ⇐ . . . ≤ ≤. . biˆe’u thi. tuyˆe´n tı´nh d¯uo. c qua hˆe. ca´c vector co`n la. i, tu´c la` co´ ca´c vˆo huo´ng λi, i 1, 2, , n j sao cho xj = λixi. Khi d¯o´ ∈ { }\{ } i=j 6 P xj = λixi 0 = λixi + ( 1)xj ⇒ − i=j i=j X6 X6 - . . . Dayˆ la` mˆo.t tˆo’ ho. p tuyˆe´n tı´nh khˆong tˆ`am thuo`ng b˘a`ng 0 cu’a hˆe. (xi)i=1,n. Vˆa.y hˆe. (xi)i=1,n phu. thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh. Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
3.4. Ha.ng cu˙’a mˆo. t hˆe. vector. 55 3.4 Ha.ng cu˙’a mˆo. t hˆe. vector. 3.4.1 Hˆe. con d¯ˆo. c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh tˆo´i d¯a.i. . . . D- inh nghı˜a 3.5. Gia’ su’ I la` mˆo.t tˆa.p ho. p hu˜u ha. n v`a J I. Cho hˆe. vector . ⊂ (xi)i I tu`y ´y trong mˆo.t K khˆong gian vector na`o d¯o´. Hˆe. (xj)j J go. i la` hˆe. ∈ − ∈ con d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a.i cu’a hˆe. d¯a˜ cho nˆe´u no´ d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh v`a . . nˆe´u thˆem bˆa´t ky` vector xi na`o, i I J, v`oa hˆe. con d¯o´ ta d¯`ˆeu nhˆa.n d¯uo. c mˆo.t ∈ \ hˆe. phu. thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh. Vı´ du. Trong R3 cho hˆe 3 vector x = (1, 2, 3), x = (2, 4, 6), x = (3, 6, 9) . . . { 1 2 3 } Khi d¯o´ mˆo˜i hˆe. 1 vector x1 , x2 , x3 d¯`ˆeu la` hˆe. con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh { } { } { } 3 cu’a hˆe d¯a˜ cho. Ho.n nu˜.a, x = 3x , x = 2x , x = x nˆen ca´c hˆe con . 3 1 2 1 3 2 2 . x1, x2 , x1, x3 , x2, x3 d¯`ˆeu phu. thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh. Vˆa.y x1 , x2 , x3 la` { } { } { } { } { } { } ca´c hˆe. con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a. i cu’a hˆe. x1, x2, x3 d¯a˜ cho. { } Tı´nh chˆa´t 3.9. Nˆe´u hˆe. con (xi)i=1,n cu’a hˆe. (xi)i I ( 1, 2, , n I) la` mˆo. t ∈ { } ⊂ hˆe. con d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a.i thı` mo.i vector xi, i I d¯`ˆeu biˆe’u thi. tuyˆe´n . . ∈ tı´nh d¯uo. c qua hˆe. con d¯o´ va` c´ach biˆe’u thi. la` duy nhˆa´t. . Tı´nh chˆa´t na`y la` hˆe. qua’ tru. c tiˆe´p cu’a D- .inh nghı˜a 3.5 v`a D- .inh ly´ 3.2. . . Bˆo’ d¯`ˆe 3.1 (Bˆo’ d¯`ˆe co ba’n v`ˆe su. phu. thuˆo. c tuyˆe´n tı´nh). Cho (x1, x2, , xm) va` (y1, y2, , yn) la` hai hˆe. vector trong khˆong gian vector V . . Gia’ su’ hˆe. (xi)i=1,m d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n tı´nh va` mˆo˜i xi (i = 1, m) d¯`ˆeu biˆe’u thi. tuyˆe´n . . tı´nh d¯uo. c qua hˆe. (yj)j=1,n. Khi d¯o´ m n. ≤ . D- .inh ly´ 3.3. Mo.i hˆe. con d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a.i cu’a mˆo. t hˆe. hu˜u ha.n vector trong mˆo. t K khˆong gian vector tu`y ´y d¯`ˆeu c´o sˆo´ vector b˘a`ng nhau. − . . . . Chu´ng minh. Gia’ su’ (xi)i I la` mˆo.t hˆe. vector hu˜u ha. n. Nˆe´u xi = 0 v´oi mo. i ∈ i I thı` (xi)i I chı’ co´ mˆo.t hˆe. d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a. i duy nhˆa´t la` v`a ∈ ∈ ∅ kh˘a’ ng d¯i.nh cu’a d¯i.nh ly´ la` hiˆe’n nhiˆen. . . Gia’ su’ hˆe. (xi)i I co´ chu´a vector kha´c khˆong. Khi d¯o´ ca´c hˆe. con d¯ˆo.c lˆa.p ∈ . tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a. i cu’a (xi)i I co´ ´ıt nhˆa´t mˆo.t vector. Gia’ su’ (xj)j J1 v`a (xj)j J2 ∈ ∈ . ∈ la` hai hˆe. con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a. i cu’a (xi)i I (J1 I, J2 I) v´oi sˆo´ . . ∈ ⊂ ⊂ vector lˆ`an luo. t la` m v`a n (m, n 1). Vı` (xj)j J2 d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a. i ’ ≥ ∈. . nˆen mo. i xj, j J1 d¯`ˆeu biˆeu thi. tuyˆe´n tı´nh d¯uo. c qua (xj)j J2. Ma` (xj)j J1 ∈ ∈ ∈ d¯ˆoc lˆap tuyˆe´n tı´nh, do d¯o´ theo Bˆo’ d¯`ˆe 3.1, ta co´ m n. Tu.o.ng tu. cu˜ng co´ . . ≤ . n m. Vˆa.y n = m. ≤ Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
56 3. Khˆong gian vector 3.4.2 Ha.ng cu˙’a mˆo. t hˆe. vector. D- .inh nghı˜a 3.6. Cho V la` mˆo.t K khˆong gian vector, (xi)i I la` mˆo.t hˆe. − ∈ vector bˆa´t ky` trong V . Nˆe´u hˆe. con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a. i cu’a (xi)i I co´ . . . . ∈ sˆo´ phˆ`an tu’ hu˜u ha. n b˘a`ng r thı` r d¯uo. c go. i la` ha.ng cu’a hˆe. (xi)i I . ∈ Kı´ hiˆe.u: rank((xi)i I) = r. ∈ Vı´ du. . Xe´t la. i hˆe. vector x1 = (1, 2, 3), x2 = (2, 4, 6), x3 = (3, 6, 9) cu’a 3 { } R . Vı` x1 la` mˆo.t hˆe. con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh tˆo´i d¯a. i cu’a hˆe. x1, x2, x3 nˆen { } { } rank(x1, x2, x3) = 1. Nhˆa.n xe´t. Khi cho (s) = (xi)i=1,n la` mˆo.t hˆe. vector trong V v`a r =rank(s) thı`: (i) r n, ≤ (ii) Nˆe´u (s) = (xi)i=1,n d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh thı` rank(s) = r = n. n 3.4.3 C´ac hˆe. vector trong K . Trong khˆong gian Kn xe´t m vector sau: a1 = (a11, a12, , a1n) a2 = (a21, a22, , a2n) am = (am1, am2, , amn) Go. i A = (aij)m n la` ma trˆa.n cˆa´p m n trˆen K ma` ca´c do`ng chı´nh la` × × a1, a2, , am. Khi d¯o´ ta co´ ca´c kh˘a’ ng d¯i.nh sau d¯ˆay: . . . . D- .inh ly´ 3.4. V´oi hˆe. (a1, a2, , am) va` ma trˆa. n A d¯uo. c d¯i.nh nghı˜a nhu trˆen, ta c´o: n (1) Hˆe. (a1, a2, , am) d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n tı´nh trong K rank(A) = m. ⇔ n (2) Hˆe. (a1, a2, , am) phu. thuˆo. c tuyˆe´n tı´nh trong K rank(A) = m. ⇔ D- .inh ly´ 3.5. Ha.ng cu’a mˆo. t ma trˆa. n cˆa´p m n trˆen K b˘a`ng ha.ng cu’a hˆe. . . . m× . . . n vector cˆo. t (tuong u´ng, do`ng) cu’a no´ trong K (tuong u´ng, K ). . Tu` 2 d¯i.nh ly´ trˆen ta suy ra mˆo.t ca´ch d¯ˆe’ xe´t tı´nh d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh hay . n phu. thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh cu˜ng nhu tı`m ha. ng cu’a mˆo.t hˆe. vector trong K la` d¯i . . . tı`m ha. ng cu’a ma trˆa.n d¯uo. c ta. o nˆen bo’ i ca´c vector d¯o´. Vı´ du. . Xe´t tı´nh d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh hay phu. thuˆo.c tuyˆe´n tı´nh v`a tı`m ha. ng cu’a ca´c hˆe. vector sau: Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. . 3.5. Co so˙’ - Sˆo´ chi`ˆeu - To.a d¯ˆo. cu˙’a khˆong gian vector. 57 3 (1) (u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1)) trong R . 1 1 0 Vı` 0 1 1 = 2 = 0 nˆen (u , u , u ) d¯ˆoc lˆap tuyˆe´n tı´nh v`a 6 1 2 3 . . 1 0 1 rank( u , u ,u ) = 3. 1 2 3 4 (2) (v1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (2, 3, 1, 0)) trong R . . . . Lˆa.p ma trˆa.n nhˆa.n v1, v2, v3 la` ca´c do`ng rˆ`oi biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p ta d¯uo. c: 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 d3 d3 2d1 d3 d3 d2 V = 0 1 1 0 → − 0 1 1 0 → − 0 1 1 0   −−−−−−→   −−−−−−→   2 3 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 .       Nhu vˆa.y rank(V ) = 2 < 3 (sˆo´ vector cu’a hˆe.), do d¯o´ (v1, v2, v3) phu. thuˆo.c 4 tuyˆe´n tı´nh trong R v`a rank(v1, v2, v3) = 2. . . 3.5 Co so˙’ - Sˆo´ chi`ˆeu - To.a d¯ˆo. cu˙’a khˆong gian vector. 3.5.1 Co. so˙’. cu˙’a khˆong gian vector. D- .inh nghı˜a 3.7. Cho K khˆong gian vector V . Hˆe. vector = (e1, e2, , en) . . −. . = trong V d¯uo. c go. i la` mˆo.t co so’ cu’a V nˆe´u d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh v`a mo. i vector = cu’a V d¯`ˆeu biˆe’u thi. tuyˆe´n tı´nh qua . = Nhˆa.n xe´t. . . . . (1) V´oi mˆo.t khˆong gian vector bˆa´t ky` bao gi`o cu˜ng tˆ`on ta. i mˆo.t co so’ cu’a no´. . . (2) Co so’ cu’a mˆo.t khˆong gian vector la` khˆong duy nhˆa´t. V`ia vı´ du. . (1) Trong K khˆong gian vector K3 cho hˆe. gˆ`om 3 vector : − (e) = e = (1, 0, 0), e = (0, 1, 0), e = (0, 0, 1) . {→−1 −→2 −→3 } D˜ˆe thˆa´y (e) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n tı´nh. M˘a.t kha´c: 3 →−x = (x1, x2, x3) K ta co´ →−x = x1→−e1 + x2→−e2 + x3→−e3 . ∀ .∈ . 3 Vˆa.y (e) la` mˆo.t co so’ cu’a K . (2) Trong K khˆong gian vector K3 cho hˆe. gˆ`om 3 vector : − (u) = u = (1, 1, 1), u = (1, 1, 0), u = (1, 0, 0) . {→−1 →−2 −→3 } Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
58 3. Khˆong gian vector Ta co´ λ1→−u1 + λ2→−u2 + λ3→−u3 = →−0 λ1 + λ2 + λ3 = 0 λ1 = 0 (λ1 + λ2 + λ3, λ1 + λ2, λ1) = →−0 λ + λ = 0 λ = 0 ⇔ ⇔  1 2 ⇔  2   λ1 = 0 λ3 = 0 u ´ Hay ( ) d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆen tı´nh.   x = (x , x , x ) K3, x = λ u + λu + λ u  ∀→− 1 2 3 ∈ →− 1→−1 2→−2 3→−3 λ1 + λ2 + λ3 = x1 λ1 = x3 λ + λ = x λ = x x ⇔  1 2 2 ⇔  2 2 − 3 λ = x λ = x x 1 3 3 1 − 2 - ` . ’ K3 ’ ´ . . Diˆeu na`y chu´ng to →−x , →−x biˆeu thi. tuyˆen tı´nh d¯uo. c qua (u). Vˆa.y  . . ∀ 3∈  (u) la` mˆo.t co’ so’ cu’a K . n (3) Trong K khˆong gian vector K , hˆe. vector − (e) = e = (1, 0, 0, , 0, 0), e = (0, 1, 0, , 0, 0), , en = (0, 0, 0, , 0, 1) { 1 2 } . . . . . . . . n la` mˆo.t co’ so’ v`a co so’ na`y co`n d¯uo. c go. i la` co’ so’ chuˆa’n t˘a´c cu’a K . (4) Trong K khˆong gian vector K[x], hˆe. vector (e) = 1, x, x2, x3, la` mˆo.t − { } co. so’ 3.5.2 Hˆe. sinh cu˙’a mˆo.t khˆong gian vector. D- .inh nghı˜a 3.8. Cho V la` mˆo.t K khˆong gian vector, (S) la` mˆo.t hˆe. vector . . − trong V . (S) d¯uo. c go. i la` hˆe. sinh cu’a khˆong gian vector V nˆe´u mo. i x V , x . . . ∈ bao gi`o cu˜ng biˆe’u thi. tuyˆe´n tı´nh d¯uo. c qua hˆe. (S) d¯o´. Nhˆa.n xe´t. . . . . . (1) Mˆo.t co so’ cu’a K khˆong gian vector V la` mˆo.t hˆe. sinh nhung d¯i`ˆeu nguo. c − la. i khˆong d¯u´ng. . . (2) Trong K khˆong gian vector V , mˆo.t hˆe. vector la` mˆo.t co so’ cu’a V khi v`a − chı’ khi hˆe. d¯o´ d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n v`a la` mˆo.t hˆe. sinh . . D- .inh ly´ 3.6. Trong K khˆong gian vector V cho mˆo. t hˆe. gˆ`om hu˜u ha.n c´ac − . . = vector ( c´o thˆe’ rˆo˜ng). Khi d¯o´ tˆa. p ho. p tˆa´t ca’ c´ac tˆo’ ho. p tuyˆe´n tı´nh cu’a hˆe. = la` mˆot khˆong gian cu’a V va` d¯u.o.c goi la` khˆong gian con sinh bo’.i hˆe , kı´ = . . . . = hiˆe. u la` . = Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
. . 3.5. Co so˙’ - Sˆo´ chi`ˆeu - To.a d¯ˆo. cu˙’a khˆong gian vector. 59 . . . Chu´ng minh. D- a˘.t W la` tˆa.p ho. p tˆa´t ca’ ca´c tˆo’ ho. p tuyˆe´n tı´nh cu’a hˆe. . . . . . = * Khi = , theo quy uo´c W = 0 , do d¯o´ d¯uong nhiˆen W la` mˆo.t khˆong = ∅ { } gian con cu’a V . . * Khi = v`a = (s1, s2, , sm) gˆ`om m vector (m 1). Khi d¯o´, v´oi = 6 ∅ = ≥ m mo. i x, y W , d¯`ˆeu tˆ`on ta. i λ1, λ2, , λm; µ1, µ2, , µm K d¯ˆe’ x = λisi v`a ∈ ∈ i=1 m m m m P y = µisi. Do d¯o´ x + y = λisi + µisi = (λi + µi)si W . i=1 i=1 i=1 i=1 ∈ m m P. P P P Co`n v´oi mo. i λ K cu˜ng co´ λx = λ λisi = (λλi)si W . ∈ i=1 i=1 ∈ . . . D- uong nhiˆen, 0V W , tu´c la` W = P. Vˆa.y WPla` mˆo.t khˆong gian con cu’a ∈ 6 ∅ V . 3 . Vı´ du. . Trong R tı`m khˆong gian con sinh bo’ i hˆe. vector sau: (u) = u = (1, 1, 1), u = (2, 3, 4), u = (4, 5, 6) . { 1 2 3 } . Gia’i. Lˆa.p ma trˆa.n tu` ba do`ng u1, u2, u3 1 1 1 A = 2 3 4 .   4 5 6   . Biˆe´n d¯ˆo’i so cˆa´p trˆen ca´c do`ng cu’a ma trˆa.n A, ta co´: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d2 d2 2d1 d3 d3 d2 2 3 4 → − 0 1 2 → − 0 1 2 .   −d−3 −−d3−−4→d1   −−−−−−→   4 5 6 → − 0 1 2 0 0 0       Suy ra = = x (1, 1, 1) + x (0, 1, 2) x , x R = (x , x + x , x + 2x ) x , x R . { 1 2 \ 1 2 ∈ } { 1 1 2 1 2 \ 1 2 ∈ } . 3.5.3 Sˆo´ chi`ˆeu. Khˆong gian hu˜u ha.n v`a vˆo ha.n chi`ˆeu. D- inh nghı˜a 3.9. Cho V la` mˆot K khˆong gian vector v`a n la` mˆot sˆo´ tu`y ´y. . . − . . . (1) Ta ba’o V la` mˆo.t khˆong gian n chi`ˆeu (n 1) nˆe´u hˆe. vector co so’ cu’a V . ≥ co´ sˆo´ phˆ`an tu’ b˘a`ng n. Ta cu˜ng ba’o sˆo´ chi`ˆeu cu’a V la` n v`a kı´ hiˆe.u dim V = n. . . Khˆong gian khˆong (chı’ gˆ`om mˆo.t vector khˆong) d¯uo. c xem la` co´ sˆo´ chi`ˆeu . . b˘a`ng 0. Ca´c khˆong gian n chi`ˆeu (n N tu`y ´y) d¯uo. c go. i chung la` ca´c . ∈ khˆong gian hu˜u ha.n chi`ˆeu. Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
60 3. Khˆong gian vector . (2) V go. i la` khˆong gian vˆo ha.n chi`ˆeu, kı´ hiˆe.u dim V = , nˆe´u no´ khˆong hu˜u . . . ∞ . ha. n chi`ˆeu, tu´c hˆe. vector co so’ cu’a V co´ vˆo ha. n phˆ`an tu’ . Vı´ du. . (1) K khˆong gian vector K3 nhˆa.n hˆe. vector gˆ`om 3 vector : − (e) = e = (1, 0, 0), e = (0, 1, 0), e = (0, 0, 1) . {→−1 −→2 −→3 } . . . la`m co so’ nˆen dimV = 3. D- ayˆ la` mˆo.t khˆong gian hu˜u ha. n chi`ˆeu. (2) K khˆong gian vector K[x] nhˆa.n hˆe. vector (e) = 1, x, x2, x3, la` mˆo.t . .− { } co so’ . D- ayˆ la` mˆo.t khˆong gian vˆo ha. n chi`ˆeu. D- inh ly´ 3.7. Cho V la` mˆo. t K khˆong gian vector n chi`ˆeu. Khi d¯o´: . − . . (+) Mo.i hˆe. d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n tı´nh trong V d¯`ˆeu c´o sˆo´ phˆ`an tu’ nho’ hon ho˘a. c b˘a`ng n. . . . (+) Mo.i hˆe. vector la` hˆe. sinh d¯`ˆeu c´o sˆo´ phˆ`an tu’ l´on hon ho˘a. c b˘a`ng n. . . (+) Mˆo. t hˆe. n vector d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n tı´nh trong V la` mˆo. t co so’ cu’a V . . . (+) Mˆo. t hˆe. sinh cu’a V gˆ`om n vector la` mˆo. t co so’ cu’a V . . (+) Mo.i hˆe. d¯ˆo. c lˆa. p tuyˆe´n tı´nh gˆ`om m (m < n) vector bao gi`o cu˜ng bˆo’ sung . . . . . . d¯uo. c va`o hˆe. d¯o´ d¯ˆe’ thu d¯uo. c mˆo. t co so’ cu’a V . 3.5.4 To. a d¯ˆo. cu˙’a mˆo. t vector trong khˆong gian n chi`ˆeu. a. D- .inh nghı˜a. D- .inh nghı˜a 3.10. Cho V la` mˆo.t K khˆong gian vector n chi`ˆeu v`a hˆe. (e) = . . −. . e1 , e2 , , en la` mˆo.t co so’ cu’a V . V´oi mo. i x V bao gi`o cu˜ng tˆ`on ta. i duy {→− →− −→} →− ∈ nhˆa´t mˆot bˆo sˆo´ x , x , , xn K sao cho x biˆe’u thi dang . . 1 2 ∈ →− . . x = x e + x e + + xnen. →− 1→−1 2→−2 · · · →− n . . . . Lu´c d¯o´ bˆo. sˆo´ (x1, x2, , xn) K d¯uo. c go. i la` to. a d¯ˆo. cu’a vector x d¯ˆo´i v´oi co ∈ →− so’. (e). x1 x2 Kı´ hiˆe.u: →−x /(e) = (x1, x2, , xn) hay [→−x ]/(e) =   · · · x   n  Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh  
. . 3.5. Co so˙’ - Sˆo´ chi`ˆeu - To.a d¯ˆo. cu˙’a khˆong gian vector. 61 . . Nhˆan xe´t. Nˆe´u (e) = e1 , e2 , , en la` mˆo.t co so’ cu’a V thı` ei /(e) = . {→− →− −→} →− (0, , 0, 1, 0, , 0) trong d¯o´ tha`nh phˆ`an thu´. i b˘a`ng 1 co`n ca´c tha`nh phˆ`an kha´c b˘a`ng 0. . . b. Ma trˆa.n chuyˆe’n co so’ . D- inh nghı˜a 3.11. Cho V la` mˆo.t K khˆong gian vector n chi`ˆeu, (e) = . − . . ’ →−e1 , →−e2 , , −→en v`a (e0) = →−e10 , →−e20 , , −→en0 la` hai co so’ cu’a V . Ma trˆa.n chuyˆen { . . . } { } . . co so’ tu` (e) sang (e0) la` mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n v´oi cˆo.t thu´ j la` to. a d¯ˆo. cu’a . . . vector →−ej0 d¯ˆo´i v´oi co so’ (e). Vı´ du. Trong K khˆong gian vector K3: . − (e) = e = (1, 0, 0), e = (0, 1, 0), e = (0, 0, 1) {→−1 −→2 −→3 } (e0) = →−e0 = (1, 1, 1), −→e0 = (1, 1, 0), −→e0 = (1, 0, 0) { 1 2 3 } . . la` hai co so’ . →−e10 /(e) = (1, 1, 1), −→e20 /(e) = (1, 1, 0), −→e30 /(e) = (1, 0, 0). . Do d¯o´ ma trˆa.n chuyˆe’n tu` (e) sang (e0) la` 1 1 1 C = 1 1 0 .   1 0 0 .   c. Cˆong thu´c d¯ˆo’i to. a d¯ˆo. . - D.inh ly´ 3.8. Cho V la` mˆo. t K khˆong gian vector n chi`ˆeu, (e) = →−e1 , →−e2 , , −→en − . . { } va` (e0) = →−e10 , −→e20 , , −→en0 la` hai co so’ cu’a V . Cho x la` mˆo. t vector thuˆo. c V . { } →− Nˆe´u →−x /(e) = (x1, x2, , xn) va` →−x /(e0) = (x10 , x20 , , xn0 ) thı` lu´c d¯o´ [→−x ]/(e) = C.[→−x ]/(e0) . . . trong d¯o´ C la` ma trˆa. n chuyˆe’n co so’ tu` (e) sang (e0). a11 a12 . . . a1n . . . Chu´.ng minh. Gia’ su’. C = . . . . . .   an1 an2 . . . ann n   Lu´c d¯o´ →−ej0 = aij→−ei , j = 1, n. i=1 nP n n n n n Ta co´ →−x = xi→−ei = xj0 →−ej0 = xj0 ( aij→−ei ) = ( aijxj0 )→−ei . i=1 j=1 j=1 i=1 i=1 j=1 Pn P P P P P Suy ra xi = aijxj0 , i = 1, n. j=1 Ba`i gia’ng D- a.i sˆo´ tuyPˆe´n tı´nh