›
›

Bài giảng Lý thuyết trường điện từ - Chương VIII: Các phương trình Poisson & Laplace - Nguyễn Công Phương

pdf 70 trang phuongnguyen 5630
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết trường điện từ - Chương VIII: Các phương trình Poisson & Laplace - Nguyễn Công Phương", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ly_thuyet_truong_dien_tu_chuong_viii_cac_phuong_tr.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết trường điện từ - Chương VIII: Các phương trình Poisson & Laplace - Nguyễn Công Phương

  1. Nguy ễn Công Ph ươ ng Lý thuyết tr ường điện t ừ Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace
  2. Nội dung I. Gi ới thi ệu II. Gi ải tích véct ơ III. Lu ật Coulomb & c ườ ng độ điện tr ườ ng IV. Dịch chuy ển điện, lu ật Gauss & đive V. Năng l ượ ng & điện th ế VI. Dòng điện & v ật d ẫn VII. Điện môi & điện dung VIII.Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace IX. Từ tr ườ ng d ừng X. Lực t ừ & điện c ảm XI. Tr ườ ng bi ến thiên & h ệ ph ươ ng trình Maxwell XII. Sóng ph ẳng XIII. Ph ản x ạ & tán x ạ sóng ph ẳng XIV.Dẫn sóng & b ức x ạ Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 2
  3. Các ph ương trình Laplace & Poisson 1. Ph ươ ng trình Poisson 2. Ph ươ ng trình Laplace 3. Đị nh lý nghi ệm duy nh ất 4. Gi ải ph ươ ng trình Laplace 5. Gi ải ph ươ ng trình Poisson 6. Nghi ệm tích của ph ươ ng trình Laplace 7. Ph ươ ng pháp sai phân hữu hạn 8. Ph ươ ng pháp ph ần tử hữu hạn Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 3
  4. Ph ương trình Poisson (1) ∇ = ρ Lu ật Gauss: .D v DE= ε →∇.D =∇ .()ε E =−∇ . ( ε ∇V ) = ρ 0 ρ v Gradient th ế: E = −∇V →∇∇. V =− v ε (Ph ươ ng trình Poisson) ∂V ∂ V ∂ V ∇=V a + a + a ∂xx ∂ y y ∂ z z ∂A ∂A ∂A ∇=.A x +y + z ∂x ∂ y ∂ z ∂ 2 2 2 ∂∂VV  ∂Vy  ∂ ∂  ∂∂∂V V V →∇∇=. V x  +  + z  =++ ∂∂xx  ∂∂ yy  ∂∂ zz  ∂ x2 ∂ y 2 ∂ z 2 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 4
  5. Ph ương trình Poisson (2) ρ ∇∇. V =− v ε 2 2 2 2 2 2 ∂V ∂ V ∂ V ρ ∂V ∂ V ∂ V ∇=2V + + =− v ∇∇=. V + + ∂2 ∂ 2 ∂ 2 ε ∂x2 ∂ y 2 ∂ z 2 x y z Đặ t ∇. ∇ = ∇2 (Hệ Descartes) 1∂∂V  1 ∂∂2 V 2 V ρ ρ  + + =− v (Hệ tr ụ) ρρ∂∂ ρρϕ  2 ∂∂ 2z 2 ε 1∂∂V 1 ∂∂  V  1 ∂ 2 V ρ r 2 + sin θ  + =− v rrrr2∂∂ 2 sinθθ ∂∂  θ  r 2 sin 2 θϕ ∂ 2 ε (Hệ c ầu) Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 5
  6. Ví dụ Ph ương trình Poisson (3) Tìm Laplacian của các tr ườ ng vô hướ ng sau: a) A= 2 xyz2 3 cos2 ϕ b) B = ρ 20sin θ c) C = r3 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 6
  7. Các ph ương trình Laplace & Poisson 1. Ph ươ ng trình Poisson 2. Ph ươ ng trình Laplace 3. Đị nh lý nghi ệm duy nh ất 4. Gi ải ph ươ ng trình Laplace 5. Gi ải ph ươ ng trình Poisson 6. Nghi ệm tích của ph ươ ng trình Laplace 7. Ph ươ ng pháp sai phân hữu hạn 8. Ph ươ ng pháp ph ần tử hữu hạn Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 7
  8. Ph ương trình Laplace ∂2V ∂ 2 V ∂ 2 V ρ Ph ươ ng trình Poisson: ∇=2V + + =− v ∂x2 ∂ y 2 ∂ z 2 ε ρ = v 0 ∂2V ∂ 2 V ∂ 2 V ∇=2V + + = 0 (Ph ươ ng trình Laplace, h ệ Descartes) ∂x2 ∂ y 2 ∂ z 2 1∂∂V  1 ∂∂2 V 2 V ρ  + + = 0 (Hệ tr ụ) ρ∂∂ ρ ρ  ρ2 ∂∂ ϕ 2z 2 1∂∂V 1 ∂∂  V  1 ∂ 2 V r 2 + sinθ  + = 0 rrrr2∂∂ 2 sinθ ∂∂ θ  θ  r 2 sin 2 θ ∂ ϕ 2 (Hệ c ầu) Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 8
  9. Các ph ương trình Laplace & Poisson 1. Ph ươ ng trình Poisson 2. Ph ươ ng trình Laplace 3. Đị nh lý nghi ệm duy nh ất 4. Gi ải ph ươ ng trình Laplace 5. Gi ải ph ươ ng trình Poisson 6. Nghi ệm tích của ph ươ ng trình Laplace 7. Ph ươ ng pháp sai phân hữu hạn 8. Ph ươ ng pháp ph ần tử hữu hạn Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 9
  10. Đị nh lý nghi ệm duy nh ất (1) ∂2V ∂ 2 V ∂ 2 V ∇=2V + + = 0 ∂x2 ∂ y 2 ∂ z 2 Gi ả s ử ph ươ ng trình Laplace có 2 nghi ệm V1 & V2, : ∇2V = 0 1 →∇2 (V − V ) = 0 ∇2 = 1 2 V2 0 → = = Gi ả s ử ph ươ ng trình Laplace có điều ki ện b ờ Vb V1b V 2 b V b ∇.()V D = V ( ∇ .D ) + D. () ∇ V = − V V1 V 2 = ∇ − D (V1 V 2 ) →∇ −∇− = − ∇∇− + .[(VV1212 ) ( VV )] ( VV 12 )[ . ( VV 12 )] +∇ − ∇ − (VV12 )(. VV 12 ) Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 10
  11. Đị nh lý nghi ệm duy nh ất (2) ∇ −∇− =− ∇∇− +∇− ∇− .[(VVVV1212 )( )]( VV 12 )[ . ( VV 12 )]( VV 12 )( . VV 12 ) →∇−∇− = −∇∇− + .[(VV1212 )( VVdv )] ( VV 12 )[ . ( VVdv 12 )] ∫V ∫ V +∇ − ∇ − (V1 V 2 )(. V 12 Vdv ) ∫V Đị nh lý đive: DSD.d= ∇ . dv ∫S ∫ V →∇−∇− = −∇− .[(VV1212 ) ( VVdv )] [( VV 12b b ) ( VV 12 b b )] . d S ∫V ∫ S = = V1b V 2 b V b →∇ −∇− = .[(V1 V 2 )( V 1 V 2 )] dv 0 ∫V →= − ∇∇− +∇− ∇− 0(VV12 )[(. VVdv 12 )] ( VV 1212 )( . VVdv ) ∫V ∫ V Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 11
  12. Đị nh lý nghi ệm duy nh ất (3) − ∇∇− +∇−∇− = (VV12 )[(. VVdv 12 )] ( VV 1212 )( . VVdv )0 ∫V ∫ V ∇∇ − =∇2 − = . (VV12 ) ( VV 12 )0 →∇− ∇− = =[ ∇ − ]2 (V12 V )(. V 12 Vdv ) 0 (V1 V 2 ) dv ∫V ∫V [∇ −]2 ≥ (V1 V 2 ) 0 →∇[ −]2 = →∇ − = (V1 V 2 ) 0 (V1 V 2 ) 0 → − = ∂V ∂ V ∂ V V1 V 2 const ∇=V a + a + a ∂xx ∂ y y ∂ z z V1 = V2 Tại biên gi ới V1 = Vb1, V2 = Vb2 → const = V – V = 0 = = b1 b2 V1b V 2 b V b Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 12
  13. Các ph ương trình Laplace & Poisson 1. Ph ươ ng trình Poisson 2. Ph ươ ng trình Laplace 3. Đị nh lý nghi ệm duy nh ất 4. Gi ải ph ươ ng trình Laplace 5. Gi ải ph ươ ng trình Poisson 6. Nghi ệm tích của ph ươ ng trình Laplace 7. Ph ươ ng pháp sai phân hữu hạn 8. Ph ươ ng pháp ph ần tử hữu hạn Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 13
  14. Gi ải ph ương trình Laplace (1) Ví d ụ 1 ả ử Gi s V = V(x) d2 V ∂2V ∂ 2 V ∂ 2 V → = 0 →V = Ax + B ∇=2V + + = 0 dx 2 ∂x2 ∂ y 2 ∂ z 2 = V= V 1 x x 1 = V= V 2 x x 2  − = V1 V 2 A  x− x Vxx(− )( − Vxx − ) →  1 2 →V = 1 22 1 − −  Vx21 Vx 12 x1 x 2 V x B = →V = 0  x− x V = 0  1 2 x=0 d V= V x= d 0 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 14
  15. Gi ải ph ương trình Laplace (2) Ví d ụ 1 x V = V(x) V x Mặt d ẫn x = d V = 0 →V = 0 x=0 d V= V x= d 0 E = −∇V Mặt d ẫn x = 0 V0 →E = − a V0 x →D = − ε a d d x DE= ε V V V →D = D =− ε 0 a →D = − ε 0 →ρ =D =− ε 0 Sx=0 d x N d S N d −εV V S Q εS → =ρ = 0 = − ε 0 → = = QS dS dS C ∫S ∫ S d d V0 d Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 15
  16. Gi ải ph ương trình Laplace (3) Ví d ụ 2 Gi ả s ử V = V(ρ) (h ệ tr ụ) 1 ∂ ∂ V  2 2 →ρ = 2 1∂∂V  1 ∂∂ V V   0 ∇=V ρ  + += 0 ρ∂ ρ ∂ ρ  ρ∂∂ ρ ρ  ρ2 ∂∂ ϕ 2z 2 1 d dV  d dV  dV →ρ  = 0 →ρ  = 0 →ρ = A ρd ρ d ρ  dρ d ρ  dρ →V = Aln ρ + B  V = 0 ln(b /ρ ) = + = A →V = V Vρ = AaBVln 0  lna− ln b 0 a →  ln(b / a ) V= AbBln += 0 ( ba > ) Vln b ρ =b B = − 0  lna− ln b Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 16
  17. Gi ải ph ương trình Laplace (4) Ví d ụ 2 Gi ả s ử V = V(ρ) (h ệ tr ụ) ln(b /ρ ) 2 2 → = 2 1∂∂V  1 ∂∂ V V V V 0 ∇=V ρ  + += 0 ln(b / a ) ρ∂∂ ρ ρ  ρ2 ∂∂ ϕ 2z 2 V0 →E = −∇V = a ρ ρ ln(b / a ) ε V0 →D ρ= = = ρ N( a ) aln( b / a ) S εV2 π aL Qε2 π L →Q =ρ dS = 0 →C = = ∫S S aln( b / a ) V0 ln( b / a ) Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 17
  18. Gi ải ph ương trình Laplace (5) z Ví d ụ 3 Gi ả s ử V = V(φ) (h ệ tr ụ) Khe h ở 2 2 2 1∂∂V  1 ∂∂ V V ∇=V ρ  + += 0 ρρ∂∂ ρ  ρϕ2 ∂∂ 2z 2 1 ∂2V ∂2V → = 0 → = 0 →V = Aϕ + B α ρ2∂ ϕ 2 ∂ϕ 2 ϕ B = 0 →V = V V= B = 0  0 α ϕ =0 →  V =α + =  A = 0 Vϕ= α A BV 0  α V →E =−∇V =− 0 a αρ ϕ Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 18
  19. Gi ải ph ương trình Laplace (6) Ví d ụ 4 Gi ả s ử V = V(θ) (h ệ c ầu) 2 21∂∂ 2 V 1 ∂∂  V  1 ∂ V ∇=V r + sinθ  + = 0 rrrr2∂∂ 2sinθθ ∂∂  θ  r 222 sin θϕ ∂ 1 ∂ ∂ V  →sinθ  = 0 r 2 sin θ∂ θ ∂ θ  ∂ ∂ V  dV →sinθ  = 0 →sin θ = A ∂θ ∂ θ  dθ Gi ả s ử r ≠ 0; θ ≠ 0; θ ≠ π dθ dθ θ  →dV = A →V =∫ A + B =Aln tg  + B sin θ sin θ 2  Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 19
  20. Gi ải ph ương trình Laplace (7) Ví d ụ 4 θ  Gi ả s ử V = V(θ) (h ệ c ầu) →V = Aln tg  + B 2  α V = 0 V = V0 θ= π / 2 =α < π Khe h ở Vθ= α V 0 ( /2) θ  V = 0 ln tg  ∂ 2  1 V V0 →V = V →E =−∇V =− aθ =− a θ 0 α  r ∂θ α  ln tg  r sinθ ln tg  2  2  εV →ρ =D = ε E =− 0 S N α  r sinα ln tg  2  Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 20
  21. Gi ải ph ương trình Laplace (8) Ví d ụ 4 ε →ρ = − V0 Gi ả s ử V = V(θ) (h ệ c ầu) S α  α r sinα ln tg  εV 2  V = V0 →=Qρ dS =− 0 dS ∫SS ∫ S α  Khe h ở r sinα ln tg  2  dS= rsin α d ϕ dr V = 0 −εV ∞ 2π rsin α d ϕ dr −2πε V ∞ →Q = 0 ∫ ∫ = 0 ∫ dr α  0 0 r α  0 sinα ln tg  ln tg  2  2  Q 2πε r →C = ≐ 1 V α  0 ln cotg  2  Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 21
  22. Các ph ương trình Laplace & Poisson 1. Ph ươ ng trình Poisson 2. Ph ươ ng trình Laplace 3. Đị nh lý nghi ệm duy nh ất 4. Gi ải ph ươ ng trình Laplace 5. Gi ải ph ươ ng trình Poisson 6. Nghi ệm tích của ph ươ ng trình Laplace 7. Ph ươ ng pháp sai phân hữu hạn 8. Ph ươ ng pháp ph ần tử hữu hạn Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 22
  23. ρ v ρ Gi ải ph ương trình Poisson (1) v0 1 Vùng p Vùng n ρ= ρ x x 0,5 v2 v 0 sech th a a –5 –4 –3 –2 –1 x− x ρ 2 e− e v 1 2 3 4 5 ( sechx= ; th x = ) xx+− xx + − –0,5 x/ a ee ee ρ 2 v –1 Ph ươ ng trình Poisson : ∇V = − ε E ε x ρ dV2 2ρ xx –5 –4 –3 –2 –1 2 v0a → = − v0 sech th 2 ε E 1 2 3 4 5 dx a a x –0,5 x/ a dV2ρ a x → =v0 sech + C –1 dxε a 1 2ρ a x →=−Ev0 sech − C dV x ε 1 → = E = − a C1 0 x → → dx Khi x ± ∞ thì Ex 0 2ρ a x →E = − v0 sech x ε a Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 23
  24. ρ v ρ Gi ải ph ương trình Poisson (2) v0 1 Vùng p Vùng n ρ= ρ x x 0,5 v2 v 0 sech th a a ρ –5 –4 –3 –2 –1 ρ v 1 2 3 4 5 Ph ươ ng trình Poisson : ∇2V = − v ε –0,5 x/ a –1 2ρ a x ε →E = − v0 sech Ex x ρ ε a –5 –4 –3 –2 –1 2 v0a ρ 2 4 v0a x/ a E 1 2 3 4 5 →V =arctg e + C x –0,5 ε 2 x/ a –1 ρ 2 π πε = → =4 v0a + V Gi ả s ửV = 0 0 C2 ρ 2 0,5 x 0 ε 4 2 v0a 0,25 ρ 2 π –5 –4 –3 –2 –1 4 v0a x/ a  →V =arctg e −  V 1 2 3 4 5 ε 4  –0,25 x/ a –0,5 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 24
  25. ρ v ρ Gi ải ph ương trình Poisson (3) v0 1 x x Vùng p Vùng n ρ= ρ 0,5 v2 v 0 sech th a a ρ –5 –4 –3 –2 –1 2 v 1 2 3 4 5 4ρ a x/ a π  V=v0 arctg e −  –0,5 x/ a ε 4  –1 2πρ a2 V= V − V = v0 0 x→ ∞ x → −∞ ε ∞ ==ρρxx = ρ xx = ρ Q∫vv dv ∫20 sechth dv S ∫ 2 v 0 sechth dx 2 v 0 aS V V aa0 aa ρ ε → = 2 v0V 0 Q S ρ ε εS π →C = S v0 = π π dQdV dQ 2V0 2 a I= = C0 →= C dt dt dV 0 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 25
  26. Các ph ương trình Laplace & Poisson 1. Ph ươ ng trình Poisson 2. Ph ươ ng trình Laplace 3. Đị nh lý nghi ệm duy nh ất 4. Gi ải ph ươ ng trình Laplace 5. Gi ải ph ươ ng trình Poisson 6. Nghi ệm tích của ph ươ ng trình Laplace 7. Ph ươ ng pháp sai phân hữu hạn 8. Ph ươ ng pháp ph ần tử hữu hạn Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 26
  27. Nghi ệm tích c ủa ph ương trình Laplace (1) • Các ví d ụ tr ướ c gi ả thi ết r ằng V ch ỉ bi ến thiên theo/ph ụ thu ộc vào một t ọa độ • Ph ươ ng pháp nghi ệm tích áp d ụng cho V(x, y) ∂2V ∂ 2 V ∂ 2 V ∇=2V + + = 0 ∂2V ∂ 2 V ∂x2 ∂ y 2 ∂ z 2 → + = 0 ∂x2 ∂ y 2 V= Vxy( , ) • Gi ả s ử V = XY , X = X(x), Y = Y(y) ∂2X ∂ 2 Y dX2 dY 2 →Y + X = 0 →Y + X = 0 ∂x2 ∂ y 2 dx2 dy 2 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 27
  28. Nghi ệm tích c ủa ph ương trình Laplace (2) dX2 dY 2 1dX2 1 dY 2 1dX2 1 dY 2 Y+ X = 0 → + = 0 → = − dx2 dy 2 X dx2 Y dy 2 Xdx2 Ydy 2 1 d2 X ch ỉ ph ụ thu ộc x X dx 2 1 d2 Y − ch ỉ ph ụ thu ộc y Y dy 2  2 1 d X = α 2  2 →  X dx  2 −1 d Y = α 2  Y dy 2 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 28
  29. Nghi ệm tích c ủa ph ương trình Laplace (3) V= V(,)ρϕ = R ()() ρ Φ ϕ ρ ∂ ∂R  1 ∂2 Φ 1∂∂V  1 ∂∂2 V 2 V →ρ  + = 0 ρ  + + = 0 R ∂ρ ∂ ρ  Φ∂ ϕ 2 ρ∂∂ ρ ρ  ρ2 ∂∂ ϕ 2z 2  ρ d dR   ρ  = α 2  R dρ d ρ  →  2Φ −1 d = α 2  Φ dϕ 2 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 29
  30. Nghi ệm tích c ủa ph ương trình Laplace (4) V= V(,)ρθ = R ()() ρ Θ θ ∂∂ ∂∂ ∂ 2 12 V 1  V  1 V r + sinθ  + = 0 rrrr2∂∂ 2sinθ ∂∂ θ  θ  r 222 sin θ ∂ ϕ ρ∂2R2 ρ ∂ R  1 ∂ 2 Θ 1 ∂Θ  → +++   = 0 R2∂ρ 2 R ∂ ρ  Θ∂ θ 2 Θ∂tg θθ   ρ∂2R2 ρ ∂ R  + =n( n + 1) R2∂ρ 2 R ∂ ρ →  1∂2 Θ 1 ∂Θ  + =−+n( n 1) Θ∂θ2 Θtg θ ∂ θ Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 30
  31. Nghi ệm tích c ủa ph ương trình Laplace (5) Ví d ụ Kh ảo sát điện th ế & điện tr ườ ng ở lân c ận một v ật hình tr ụ tròn dài vô h ạn nằm trong một điện tr ườ ng đề u E0. Điện môi c ủa môi tr ườ ng & c ủa v ật lần l ượ t là ε1 & ε2. Điện tr ườ ng vuông góc v ới tr ục c ủa v ật.  ρ d dR   ρ  = α 2  R dρ d ρ  V= V(,)ρϕ = R ()() ρ Φ ϕ →  2Φ −1 d = α 2  Φ dϕ 2 Φ=ϕ ϕ + ϕ =± α §Æt ( )∑Ap cos p ∑ B p sin pp , V()ϕ=− V (); ϕ V () ϕ =− V ( πϕ − ) →Φ=ϕ ϕ α = ()A1 cos, 1 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 31
  32. Nghi ệm tích c ủa ph ương trình Laplace (6) Ví d ụ Kh ảo sát điện th ế & điện tr ườ ng ở lân c ận một v ật hình tr ụ tròn dài vô h ạn nằm trong một điện tr ườ ng đề u E0. Điện môi c ủa môi tr ườ ng & c ủa v ật lần l ượ t là ε1 & ε2. Điện tr ườ ng vuông góc v ới tr ục c ủa v ật.  2Φ −1 d = α 2 →Φ=ϕ ϕ α =  ( )A1 cos , 1  Φ dϕ 2  ρ d dR   ρ= α 2 ρ 2 ρ k   d dR  k B 2 R dρ d ρ →ρ =k = α → = ±    ρ ρ  ρ k k 1 k Rd d  B §Æt R(ρ ) = B ρ k k α =1 →ρ =+ ρ + − ρ − 1 R( ) B1 B 1 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 32
  33. Nghi ệm tích c ủa ph ương trình Laplace (7) Ví d ụ Kh ảo sát điện th ế & điện tr ườ ng ở lân c ận một v ật hình tr ụ tròn dài vô h ạn nằm trong một điện tr ườ ng đề u E0. Điện môi c ủa môi tr ườ ng & c ủa v ật lần l ượ t là ε1 & ε2. Điện tr ườ ng vuông góc v ới tr ục c ủa v ật.  1 d 2Φ − =α2 →Φ( ϕ ) = A cos ϕ  Φ dϕ 2 1  ρ    dρ dR =→ α2 ρ =+ ρρ + − − 1   R( ) B1 B 1 R dρ d ρ  V= V(,)ρϕ = R ()() ρ Φ ϕ → =+ρϕ + − ρ − 1 ϕ =+ρ ϕ + − ρ − 1 ϕ VAB11cos AB 11 cos CCcos cos Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 33
  34. Nghi ệm tích c ủa ph ương trình Laplace (8) Ví d ụ Kh ảo sát điện th ế & điện tr ườ ng ở lân c ận một v ật hình tr ụ tròn dài vô h ạn nằm trong một điện tr ườ ng đề u E0. Điện môi c ủa môi tr ườ ng & c ủa v ật lần l ượ t là ε1 & ε2. Điện tr ườ ng vuông góc v ới tr ục c ủa v ật. =+ρϕ + − ρ − 1 ϕ y Ngoµi: VCC1 1cos 1 cos E0 =+ρϕ + − ρ − 1 ϕ Trong: VCC2 2cos 2 cos ε1 V= E x ρ −∞0 x →−∞ →+ = − ε = = − + C1 E 0 2 θ VV−∞1θ = π ρ →−∞ Cx 1 , x→−∞ x C − V= V =2 → ∞ gèc täa ®é 2 ρ→0 ρ →C− = 0 ρ→0 2 Ở g ốc t ọa độ điện tr ườ ng v ẫn h ữu h ạn Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 34
  35. Nghi ệm tích c ủa ph ương trình Laplace (9) Ví d ụ Kh ảo sát điện th ế & điện tr ườ ng ở lân c ận một v ật hình tr ụ tròn dài vô h ạn nằm trong một điện tr ườ ng đề u E0. Điện môi c ủa môi tr ườ ng & c ủa v ật lần l ượ t là ε1 & ε2. Điện tr ườ ng vuông góc v ới tr ục c ủa v ật. =+ρϕ + − ρ − 1 ϕ y Ngoµi: VCC1 1cos 1 cos E0 Trong: VCC=+ρϕcos + − ρ − 1 cos ϕ 2 2 2 ε += − − = 1 ρ CEC1 0, 2 0 ε2 θ − − VEC= −ρcos ϕ + ρ1 cos ϕ x →  1 0 1 = + ρ ϕ VC2 2 cos Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 35
  36. Nghi ệm tích c ủa ph ương trình Laplace (10) Ví d ụ Kh ảo sát điện th ế & điện tr ườ ng ở lân c ận một v ật hình tr ụ tròn dài vô h ạn nằm trong một điện tr ườ ng đề u E0. Điện môi c ủa môi tr ườ ng & c ủa v ật lần l ượ t là ε1 & ε2. Điện tr ườ ng vuông góc v ới tr ục c ủa v ật. = −ρϕ + − ρ − 1 ϕ y VEC1 0cos 1 cos E0 = + ρ ϕ VC2 2 cos ε1 V= V ρ 1ρ=a 2 ρ = a ε2 →−+(EaCa− −1 )cosϕ = Ca + cos ϕ θ 0 1 2 x ∂V ∂ V a ε1= ε 2 1∂ρ 2 ∂ ρ ρ=a ρ = a →−−ε− −2 ϕ = ε + ϕ 101(ECa ) cos 22 Ca cos Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 36
  37. Nghi ệm tích c ủa ph ương trình Laplace (11) Ví d ụ Kh ảo sát điện th ế & điện tr ườ ng ở lân c ận một v ật hình tr ụ tròn dài vô h ạn nằm trong một điện tr ườ ng đề u E0. Điện môi c ủa môi tr ườ ng & c ủa v ật lần l ượ t là ε1 & ε2. Điện tr ườ ng vuông góc v ới tr ục c ủa v ật. = −ρϕ + − ρ − 1 ϕ V1 E 0cos C 1 cos = + ρ ϕ V2 C 2 cos − −1 + (−EaCa + )cosϕ = Ca cos ϕ −ε− ε + 2 ε 0 1 2 →=−C E1 2 aC2 , =− E 1 ε− −− −2 ϕε = + ϕ 10εε+ 20 εε + 101(ECa )cos 22 Ca cos 12 12  ε− ε 2  =−−1 2 a ρ ϕ ρ ≥ V1 E 0 1  cos , víi a  ε+ ε ρ 2  →  1 2  2ε V= − E1 ρcos ϕvíi ρ ≤ a  2 0 ε+ ε  1 2 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 37
  38. Nghi ệm tích c ủa ph ương trình Laplace (12) Ví d ụ Kh ảo sát điện th ế & điện tr ườ ng ở lân c ận một v ật hình tr ụ tròn dài vô h ạn nằm trong một điện tr ườ ng đề u E0. Điện môi c ủa môi tr ườ ng & c ủa v ật lần l ượ t là ε1 & ε2. Điện tr ườ ng vuông góc v ới tr ục c ủa v ật.  ε− ε 2  =−−1 2 a ρ ϕ ρ ≥ V1 E 0 1  cos, víi a  ε+ ε ρ 2   1 2  2ε V= − E1 ρcos ϕvíi ρ ≤ a  2 0 ε+ ε  1 2 ∂−V εεa2 ∂−V  εε a 2 EE=−=−11 1 2 cosϕ , EE =−=−−1 1 1 2 sin ϕ 1ρ ∂+ρ 0  εερ2 1ϕ ∂+ ϕ 0  εερ 2 1 2 1 2 ∂V2ε ∂ V 2 ε EE=−=21cosϕ , E =−=− 21 E sin ϕ 20ρ ∂+ρεε 2ϕ ∂+ ϕεε 0 1 2 1 2 2ε →E = E = E 1 2 2z 0 ε+ ε 1 2 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 38
  39. Các ph ương trình Laplace & Poisson 1. Ph ươ ng trình Poisson 2. Ph ươ ng trình Laplace 3. Đị nh lý nghi ệm duy nh ất 4. Gi ải ph ươ ng trình Laplace 5. Gi ải ph ươ ng trình Poisson 6. Nghi ệm tích của ph ươ ng trình Laplace 7. Ph ươ ng pháp sai phân hữu hạn 8. Ph ươ ng pháp ph ần tử hữu hạn Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 39
  40. Ph ương pháp sai phân hữu hạn (1) • Dùng để gi ải ph ươ ng trình Laplace khi V = V(x, y) • Là ph ươ ng pháp s ố, có th ể đạ t độ chính xác tùy ý Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 40
  41. y Ph ương pháp sai phân hữu hạn (2) x ∂2V ∂ 2 V ∂ 2 V ∇=2V + + = 0 ∂2 ∂ 2 ∂ 2 x y z V2 = V Vxy( , ) b V V ∂2V ∂ 2 V 3 0 V1 → + = 0 c a ∂ V− V ∂x2 ∂ y 2 h d V ≈ 1 0 ∂x h V a h 4 ∂ V− V V ≈ 0 3 ∂ xc h ∂V ∂ V ∂2 V− V − V + V − →V ≈ 1 0 0 3 ∂2 ∂ ∂ ∂ 2 2 V ≈ xa x c x h ∂x2 h Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 41
  42. y Ph ương pháp sai phân hữu hạn (3) x ∂2V ∂ 2 V + = 0 ∂x2 ∂ y 2 V2 ∂2V V− V − V + V ≈ 1 0 0 3 V3 V0 V1 ∂x2 h 2 ∂2 − − + h V ≈ V2 V 0 V 0 V 4 ∂ 2 2 V y h h 4 ∂2V ∂ 2 V VVVV+ + + − 4 V →+≈1234 0 = 0 ∂x2 ∂ y 2 h 1 → V≈() VVVV +++ 04 1234 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 42
  43. Ph ương pháp sai phân hữu hạn (4) Ví d ụ 1 1 Khe h ở V = 100 Khe h ở V=() VVVV +++ 04 1234 1 43,8 53,2 43,8 ()0+ 100 ++ 0 0 = 25 4 1 18,8 25 18,8 ()100+ 50 ++ 0 25 = 43,8 V = 0 V = 0 4 6,2 9,4 6,2 1 ()0+ 25 ++ 0 0 = 6,2 4 1 ()43,8+ 100 + 43,8 + 25 = 53,2 V = 0 4 1 1 Bướ c 1 ()25+ 43,8 ++ 0 6,2 = 18,8 ()6,2+ 25 + 6,2 + 0 = 9,4 4 4 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 43
  44. Ph ương pháp sai phân hữu hạn (5) Ví d ụ 1 1 Khe h ở V = 100 Khe h ở V=() VVVV +++ 04 1234 4352,8 43 1 43,8 53,2 43,8 ()100+ 50 ++ 0 25 = 43,8 4 18,6 18,6 1 18,8 25 18,8 ()53,2+ 100 ++ 0 18,8 = 43 V = 0 V = 0 4 6,2 9,4 6,2 1 ()43,8+ 100 + 43,8 + 25 = 53,2 4 1 ()43+ 100 ++ 43 25 = 52,8 V = 0 4 1 1 Bướ c 2 ()25+ 43,8 ++ 0 6,2 = 18,8 ()25+ 43 ++ 0 6,2 = 18,6 4 4 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 44
  45. Ph ương pháp sai phân hữu hạn (6) Ví d ụ 1 1 Khe h ở V = 100 Khe h ở V=() VVVV +++ 04 1234 4352,8 43 1 43,8 53,2 43,8 ()0+ 100 ++ 0 0 = 25 4 18,624,9 18,6 1 18,8 25 18,8 ()18,6+ 52,8 + 18,6 + 9,4 = 24,9 V = 0 V = 0 4 7,09,8 7,0 6,2 9,4 6,2 1 ()0+ 25 ++ 0 0 = 6,2 4 1 ()9,4+ 18,6 ++ 0 0 = 7,0 V = 0 4 1 1 Bướ c 2 ()6,2+ 25 + 6,2 + 0 = 9,4 ()7,0+ 25 + 7,0 + 0 = 9,8 4 4 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 45
  46. Ph ương pháp sai phân hữu hạn (7) Ví d ụ 1 Khe h ở V = 100 Khe h ở =1 () +++ V0 VVVV 1234 4 42,9 52,7 42,9 4352,8 43 1 43,8 53,2 43,8 ()52,8+ 100 ++ 0 18,6 = 42,9 4 18,725,0 18,7 18,624,9 18,6 18,8 25 18,8 1 V = 0 V = 0 ()42,9++ 100 42,9 + 24,9 = 52,7 7,19,8 7,1 4 7,09,8 7,0 6,2 9,4 6,2 1 ()24,9+ 42,9 ++ 0 7,0 = 18,7 4 1 ()18,7+ 52,7 + 18,7 + 9,8 = 25,0 V = 0 4 1 1 Bướ c 3 ()9,8+ 18,7 ++ 0 0 = 7,1 ()7,1+ 25 + 7,1 + 0 = 9,8 4 4 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 46
  47. Ph ương pháp sai phân hữu hạn (8) • Dùng để gi ải ph ươ ng trình Laplace khi V = V(x, y) • Là ph ươ ng pháp s ố, có th ể đạ t độ chính xác tùy ý •Lặp cho đế n khi đạ t độ chính xác cho tr ướ c Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 47
  48. Ph ương pháp sai phân hữu hạn (9) Ví d ụ 2 10 V (0)= (0) == (0) = V1 V 2 V 10 0 1 2 3 1 (1)= (0) +++ (0) = 0 V 4 5 6 V1() V 210 0 V 4 2,5000V 4 20 V 1 7 8 V(1)=() V (0) +++10 VV (1) (0) = 3,1250 V 24 3 15 0 V 9 10 0 V (1)=1 (0) +++ (1) ( 0) = V7() VV 850 V 9 0,2344V 4 0 V 1 V(1)=()20 + V (1) + V (1) += 0 6,7358V 104 8 9 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 48
  49. Ph ương pháp sai phân hữu hạn (10) Ví d ụ 2 10 V k 0 1 23 24 (k ) 2,5000 5,6429 5,6429 V1 (V) 0 1 2 3 (k ) 3,1250 9,1735 9,1735 0 V V2 (V) 0 4 5 6 V (k ) (V) 0 8,2813 13,1111 13,1111 20 V 3 7 8 (k ) 0 0,6250 3,3957 3,3957 V4 (V) 0 V 9 10 V (k ) (V) 0 0,9375 7,9405 7,9405 5 0 V (k ) 13,2710 V6 (V) 0 7,3047 13,2710 0 V (k ) 0,2344 5,9219 5,9219 V7 (V) 0 (k ) 6,8848 13,0324 13,0324 V8 (V) 0 (k ) 0 0,0586 3,7147 3,7147 V9 (V) (k ) 0 6,7358 8,9368 8,9368 V10 (V) Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 49
  50. Ph ương pháp sai phân hữu hạn (11) • Dùng để gi ải ph ươ ng trình Laplace khi V = V(x, y) • Là ph ươ ng pháp s ố, có th ể đạ t độ chính xác tùy ý •Lặp cho đế n khi đạ t độ chính xác cho tr ướ c • Có th ể đặ t các giá tr ị đầ u c ủa các điện áp c ủa các nút t ự do b ằng zero Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 50
  51. Các ph ương trình Laplace & Poisson 1. Ph ươ ng trình Poisson 2. Ph ươ ng trình Laplace 3. Đị nh lý nghi ệm duy nh ất 4. Gi ải ph ươ ng trình Laplace 5. Gi ải ph ươ ng trình Poisson 6. Nghi ệm tích của ph ươ ng trình Laplace 7. Ph ươ ng pháp sai phân hữu hạn 8. Ph ươ ng pháp ph ần tử hữu hạn Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 51
  52. Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (1) V( x , y ) ∇2 = 1 V 0 V3 V( x , y ) V 2 V4 ww.cosy.sbg.ac.at/~held/projects/mesh/mesh.html Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 52
  53. Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (2) V( x , y ) ∇2 = 1 V 0 V3 V( x , y ) V 2 V4 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 53
  54. Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (3) V( x , y ) ∇2 = 1 V 0 V3 V( x , y ) V 2 V4 • Chia vùng nghi ệm thành một số lượng hữu hạn các ph ần tử, • Xây dựng các ph ương trình cho một ph ần tử, •Kết hợp các ph ần tử, & • Gi ải hệ ph ương trình thu được. Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 54
  55. Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (4) N = Vxy(,)∑ Vxye (,) e=1 V = + + y e3 Ve ( xy , ) a bx cy 3 (x3 , y 3 ) Ve11 xya 1 1  =  Ve21 xyb 2 2 1   V V1 xyc  e1 2 e3 3 3 (x , y ) −1 1 1 Ve2 a1 xy1 1  V e 1   (x2 , y 2 ) →b = 1 xy V 2 2 e 2 x   c1 xy3 3  V e 3 − − − −1 (xy23 xy 32 )( xyxy 31 13 )( xy 12 xy 21 )   V e 1  1     →=V[]1 xy ()()() yy −−− yy yy V e 1 x y  23 31 12 e 2  1 1  − − −     (xx32 ) () xx 13 ( xx 21 )   V e 3  1 x2 y 2 1 x3 y 3 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 55
  56. Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (5) − − − −1 (xy23 xy 32 )( xy 3113 xy )( xy 12 xy 21 )   V e 1  1     V=[]1 xy ()()() yy −−− yy yy V e 1 x y  23 31 12 e 2  1 1  − − −     (xx32 ) () xx 13 ( xx 21 )   V e 3  1 x2 y 2 1 x3 y 3 3 = α Ve∑ i( xyV , ) ei i=1 1 α =[(xy − xy )( +−+− y yx )( x xy )], 12A 2332 23 32 1 α =[(xy − xy )( +−+− y yx )( x xy )], 22A 3113 31 13 1 α =[(xy − xy )( +−+− y yx )( x xy )], 32A 1221 12 21 1 A=[( xxyy − )( −−− )( xxyy )( − )] 2 2131 3121 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 56
  57. Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (6) ∇2V = 0 ax+ b = 0 1 2 = ε 2 d ax  We∫ E e dS + + = 2 S bx c  0 dx 2  E = −∇ V → =1 ε ∇ 2 We∫ VdS e 2 S 3 = α Ve∑ i( xyV , ) ei i=1 3 →∇ = ∇ α Ve∑ V ei i i=1 1 3 3 →=Wε V( ∇∇ α )( α ) dSV  e∑∑ ei∫S i j  ej 2 i=1 j = 1 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 57
  58. Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (7) 3 3 =1 ε ∇ α ∇ α  We V ei( i )( j ) dSV ej ∑∑ ∫S  2 i=1 j = 1 (e ) = ∇α ∇ α Cij( i )( j ) dS ∫S Ve1  [] =   Ve V e 2    Ve3  C()e C () e C () e  11 12 13  ()e  = () e () e () e C   C21 C 22 C 23  ()e () e () e  C31 C 32 C 33  1 T → = ε [][](e )  We VCV e  e 2 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 58
  59. Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (8) (e ) = ∇α ∇ α Cij( i )( j ) dS ∫S (e ) = ∇α ∇ α C12( 1 )( 2 ) dS ∫S 1 α =[(xy − xy )( +−+− y yx )( x xy )], 12A 2332 23 32 1 α =[(xy − xy )( +−+− y yx )( x xy )], 22A 3113 31 13 1 A=[( xxyy − )( −−− ) ( xxyy )( − )] 2 2131 3121 1 →=C(e ) [( yyyy − )( −+− )( xxxx )( − )] 124A 2331 3213 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 59
  60. Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (9) 1 C(e ) =[( yyyy − )( −+− ) ( xxxx )( − )] 124A 2331 3213 1 C(e ) =[( yyyy − )( −+− )( xxxx )( − )] 134A 2312 3221 1 C(e ) =[( yyyy − )( −+− ) ( xxxx )( − )] 234A 3112 1321 1 C()e =[( yy − ) 2 +− ( xx ) 2 ] 11 23 32 1 4A →C(e ) =( PPQQ + ) 1 ij4A i j i j C()e =[( yy − ) 2 +− ( xx ) 2 ] 22 3 1 1 3 PQ− PQ 4A A = 23 32 1 2 C()e =[( yy − ) 2 +− ( xx ) 2 ] 334A 12 21 ()e= () e () e = () e ()e= () e C21 C 12, C 31 C 13 , C 32 C23 =− =− =− Py1 232 yP, y 313 yPyy , 12 =− =− =− QxxQ1 322, xxQ 133 , xx 21 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 60
  61. Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (3) V( x , y ) ∇2 = 1 V 0 V3 V( x , y ) V 2 V4 • Chia vùng nghi ệm thành một số lượng hữu hạn các ph ần tử, • Xây dựng các ph ương trình cho một ph ần tử, • Kết hợp các ph ần tử, & • Gi ải hệ ph ương trình thu được. Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 61
  62. Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (10) 1 T = ε [][](e )  We VCV e  e 2 N 1 T = = ε [ ] [ ][ ] W∑ We VCV e=1 2 V1    V2  []V=  V  3  ⋮    Vn  Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 62
  63. Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (11) 1 T 2 4 5 W= ε [ VCV ] [ ][ ] 2 3 2 3 2 3 C11 C 12 C 13 C 14 C 15  1 3   C21 C 22 C 23 C 24 C 25  2 []C=  C C C C C  1 1 31 32 33 34 35  1 2 C41 C 42 C 43 C 44 C 45  1 3   C51 C 52 C 53 C 54 C 55  =(1) + 2 C11 C 11 C 11  (1)+ (2) (1) (2) (1) + (2)  CCC11 11 13 C 12 CC 12 13 0 = (1)   C22 C 33 C(1) C (1)0 C (1) 0  31 33 32  (1) (2) (3) (2) (2) (3) (2) (3) (3) C= C + C + C []C =  C0 CC+ CC + C  44 22 33 33  21 22 11 23 13 12  (1)+ (2) (1) (2) + (3) (1) ++ (2) (3) (3) = =(1) + (2) CCCCCCCCC21 31 23 32 31 22 33 33 32  C14 C 41 C 12 C 13  (3) (3) (3)   0 0 C21 C 23 C 22  = = C23 C 32 0 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 63
  64. Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (3) V( x , y ) ∇2 = 1 V 0 V3 V( x , y ) V 2 V4 • Chia vùng nghi ệm thành một số lượng hữu hạn các ph ần tử, • Xây dựng các ph ương trình cho một ph ần tử, •Kết hợp các ph ần tử, & • Gi ải hệ ph ương trình thu được. Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 64
  65. Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (12) ∇2V = 0 ax+ b = 0 2 1 T d ax  W= ε [ V ] [ CV ][ ] +bx + c  = 0 2 dx 2  ∂∂WWWW ∂ ∂ = ==⋯ =↔0 = 0,k = 1,2, , n ∂∂ ∂ ∂ VV1 2 Vn V k n → = − 1 Vk∑ V i C ki Ckk i=1, i ≠ k Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 65
  66. VD Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (13) Nút 1 2 3 4 y 4 x 0,5 3,1 5,0 2,8 y 1,0 0,4 1,7 2,0 3 − (e ) =1 + = PQ23 PQ 32 Cij( PPQQ ij ij ), A 4A 2 1 V =100 =− =− =− Py1 232 yP, y 313 yPyy , 12 =− =− =− V = 0 Q1322 xxQ, xxQ 133 , xx 21 2 Ph ần tử 1: x =−=− =−= =−= P10, 4 2,0 1,6; P 2 2,0 1,0 1,0; P 3 1,0 0, 4 0,6 =−=− =−=− =−= 4 4 Q12,8 3,1 0,3; Q 2 0,5 2,8 2,3; Q 3 3,1 0,5 2, 6 1,0.2,6− 0, 6( − 2,3) A = = 1,99 3 3 3 2 2 PP+ QQ (− 1,6)1,0 +− ( 0,3)( − 2,3) 2 C (1) =12 12 = =− 0,1143 1 12 4.1,99 4.1,99 1 0,3329− 0,1143 − 0,2186  1 2 1   C(1)  = −0,1143 0, 7902 − 0,6759     2 2 −0,2186 − 0, 6759 0,8945  Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 66
  67. VD Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (14) Nút 1 2 3 4 y 4 x 0,5 3,1 5,0 2,8 y 1,0 0,4 1,7 2,0 3 − (e ) =1 + = PQ23 PQ 32 Cij( PPQQ ij ij ), A 4A 2 1 V =100 =− =− =− Py1 232 yP, y 313 yPyy , 12 =− =− =− V = 0 Q1322 xxQ, xxQ 133 , xx 21 2 Ph ần tử 2: x =−=− =−= =−=− P11,7 2,0 0,3; P 2 2, 0 0,4 1,6; P 3 0, 4 1,7 1,3 =−=− =−= =−= 4 4 Q12,8 5 2, 2; Q 2 3,1 2,8 0,3; Q 3 5,0 3,1 1,9 1,6.1,9− ( − 1,3)0,3 A = = 1,715 3 3 3 2 2 PP+ QQ 1,6.1,6+ 0,3.0,3 2 C (2) =22 22 = = 0,3863 1 22 4.1,715 4.1,715 1 0, 7187− 0,1662 − 0,5525  1 2 1   C( 2)  = −0,1662 0,3863 − 0, 2201     2 2 −0,5525 − 0, 2201 0, 7726  Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 67
  68. VD Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (15) 0,3329− 0,1143 − 0,2186  y 4   C(1)  = −0,1143 0, 7902 − 0,6759 3 3     2 3 −0,2186 − 0, 6759 0,8945  1 0, 7187− 0,1662 − 0,5525  1 V =100   2 1 C( 2)  = −0,1662 0,3863 − 0, 2201     V = 0 −0,5525 − 0, 2201 0, 7726  2 x (1) (1) (1)  − − C11 C 120 C 13 0,3329 0,1143 0 0, 2186      C(1) CC (1)+ (2) C (2) CC (1) + (2) −0,1143 1,5089 − 0,1662 − 1,2284 []C = 21 22 11 12 23 13  =   0 C(2) C (2) C (2)  0− 0,1662 0,3863 − 0,2201  21 22 23    (1) (1)+ (2) (2) (1) + (2) − − − C31 CC 32 31 C 32 CC 33 33  0, 2186 1,2284 0,2201 1,6671  Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 68
  69. VD Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (16) 0,3329− 0,1143 0 − 0,2186  y 4   −0,1143 1,5089 − 0,1662 − 1,2284 3 []C =   3 3 0− 0,1662 0,3863 − 0, 2201  2   −0,2186 − 1,2284 − 0, 2201 1,6671 1   1 V =100 1 1 n 2 V= − VC k∑ iki V = 0 Ckk i=1, i ≠ k 2 x  =−1 + + V2( VC 112 VC 332 VC 442 )  C →  22 1 V=−( VC + VC + VC )  4 114 224 334  C44  + 1 V (k 1) =−[(0( − 0,1143) +− 100( 0,1662) +−V()k ( 1,2284)] = 11,0146 + 0,8141 V (k )  2 1,5089 4 4 →  + 1 VV(k 1) =−[0( − 0, 2186) +−()k ( 1,2284) +− 100( 0,2201)] = 13, 2026 + 0, 7368 V (k )  4 1,6671 2 2 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 69
  70. VD Ph ương pháp ph ần t ử h ữu h ạn (17) y 4 + V(k 1)=11,0146 + 0,8141 V (k ) 3  2 4 3 3 (k+ 1)= + (k ) 2 V4 13, 2026 0,7368 V 2 1 + 1 = (0)= (0) =0 100 = V 100 V2 V 4 50 2 1 2 = V 0 2 x V(1)=11,0146 + 0,8141 V (0) = 11,0146 +×= 0,8141 50 51,7196  2 4 (1)= + (0) = +×= V413, 2026 0,7368 V 2 13, 2026 0, 7368 50 50, 0426 V( 2)=+11,0146 0,8141 V (1) =+× 11,0146 0,8141 50,0426 = 51,7543  2 4 ( 2)= + (1) = +× = V413, 2026 0,7368 V 2 13,2026 0,7368 51,7196 51,3096 V(3)=+11,0146 0,8141 V (2) =+× 11,0146 0,8141 51,3096 = 52, 7857  2 4 (3)=+ ( 2) =+×= V413, 2026 0,7368 V 2 13, 2026 0,7368 51,7543 51,3352 Các ph ươ ng trình Poisson & Laplace - sites.google.com/site/ncpdhbkhn 70