Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Chương 7: Bài toán luồng cực đại trong mạng

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Chương 7: Bài toán luồng cực đại trong mạng

1. Chương 7 Bài toán luồng cực đại trong mạng
2. Khái niệm mạng n Định nghĩa. Mạng là một đồ thị có hướng G = , trong đó: u Có duy nhất một đỉnh s không có cạnh đi vào, gọi là điểm phát. u Có duy nhất một đỉnh t không có cung đi ra, gọi là điểm thu. u Mỗi cạnh của đồ thị được gán với một con số không âm gọi là khả năng thông qua (băng thông) của cạnh đó. 1 3 2 4 3 s 1 2 t 3 4 3 3 4 Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 2
3. Luồng trên mạng n Định nghĩa. Xét mạng G = . Ta gọi luồng f trong mạng là ánh xạ f: E R+, gán cho mỗi cạnh e = (u,v) một số thực không âm f(e), gọi là luồng trên cung e, thỏa mãn các điều kiện sau: u Luồng trên mỗi cung không đượt vượt quá khả năng thông qua của nó: f(e) c(e). u Tại mỗi đỉnh, tổng luồng đi vào phải bằng tổng luồng đi ra (trừ tại s và t). n Giá trị của mỗi luồng f được tính bằng tổng luồng đi ra tại s (cũng chính là tổng luồng đi vào tại t). Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 3
4. Luồng trên mạng (tt) (2) 1 3 2 n VD: (1) 4 3(3) (1)2 s (1)1 t Val(f) = 4 (1) 4 (3)3 (1) 3 3 4 n Ký hiệu u Điều kiện cân bằng luồng: u Giá trị của luồng f: Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 4
5. Lát cắt n Một lát cắt (X,X*) là một cách phân hoạch tập đỉnh V của mạng thành hai tập X và X* = V\X, trong đó s X và t X*. n Khả năng thông qua của lát cắt (X,X*) là số: n Lát cắt với khả năng thông qua nhỏ nhất được gọi là lát cắt hẹp nhất Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 5
6. Lát cắt (tt) n VD: 1 3 2 4 3 s 1 2 t 3 4 3 3 4 n Xét lát cắt (X,X*) với X = {s, 3, 4}, X* = {t, 1, 2} n Ta có c(X, X*) = 4 + 1 + 2 + 4 = 11 n Lát cắt nhỏ nhất??? n Lát cắt nhỏ nhất là: X = {s, 1}, X* = {t, 2, 3, 4} Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 6
7. Lát cắt (tt) n Bổ đề: Giá trị của luồng f trong mạng luôn nhỏ hơn hay bằng khả năng thông qua của lát cắt bất kỳ. n Bổ đề: Giá trị luồng cực đại trong mạng không vượt quá khả năng thông qua của lát cắt hẹp nhất trong mạng. Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 7
8. Đồ thị tăng luồng n Xét mạng G với luồng f như sau: Cung nghịch (2) 2 Cung thuận 1 3 2 1 2 (1) 1 1 4 3(3) 3 3 1 s (1)1 (1)2 t s 1 t (1) 1 4 3 (3)3 (1) 3 3 2 1 3 4 3 4 1 Mạng G và luồng f Đồ thị tăng luồng Gf Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 8
9. Đồ thị tăng luồng (tt) n Xét P = (s = v0 v1 v2 vk = t) là một đường đi trên đồ thị tăng luồng. n Gọi  là giá trị trọng số nhỏ nhất của một cạnh trên cung này. n Ta xây dựng luồng f’ trên mạng G theo quy tắc như sau: , nếu (u,v) P là cung thuận , nếu (u,v) P là cung nghịch , nếu (u,v) P n f’ được gọi là đường tăng luồng dọc theo P Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 9
10. Đồ thị tăng luồng (tt) n VD: 2 (2) 1 2 1 3 2 1 1 (2)(1) 3 4 3(3) 3 1 = 1 (1) s 1 t s (1)(0)1 2 t 1 (2)(1) 3 4 3 (3)3 (2)(1) 2 1 3 3 4 3 4 1 Đồ thị tăng luồng Gf Mạng G và luồng mới f’ Val(f’) = 5 Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 10
11. Đường tăng luồng n Định nghĩa: Đường tăng luồng f là một đường đi bất kỳ từ s đến t trong đồ thị Gf. n Định lý: Các điều sau là tương đương: u f là luồng cực đại trong mạng u Không tồn tại đường tăng luồng f u val(f) = c(X,X*) với một lát cắt (X,X*) nào đó Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 11
12. Thuật toán tìm luồng cực đại n Ý tưởng thuật toán u Bắt đầu từ một luồng f bất kỳ - có thể là luồng 0 u Xây dựng đồ thị tăng luồng Gf. u Từ Gf, tìm đường tăng luồng P l Nếu không có đường tăng luồng nào thì kết thúc. l Nếu có đường tăng luồng P thì xây dựng luồng mới f’ và lặp lại quá trình trên cho đến khi không tìm thêm được đường tăng luồng mới. Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 12
13. Một số kết quả lý thuyết n Định lý: Luồng cực đại trong mạng bằng khả năng thông qua của lát cắt hẹp nhất. n Định lý: Nếu tất cả các khả năng thông qua là các con số nguyên thì luôn tìm được luồng cực đại với luồng trên các cung là các số nguyên Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 13
14. Một số bài toán luồng tổng quát n Tự đọc thêm trong tài liệu (Chương 7) n Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành. Toán Rời Rạc. NXB Giáo Dục, 1999 Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 14
15. Một số ứng dụng trong tổ hợp n Tự đọc thêm trong tài liệu (chương 7): u Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành. Toán Rời Rạc. NXB Giáo Dục, 1999 Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 15