Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Chương 6: Bài toán đường đi ngắn nhất

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Chương 6: Bài toán đường đi ngắn nhất

1. Chương 6 Bài toán đường đi ngắn nhất
2. Các khái niệm mở đầu n Bài toán: Cho G = là đồ thị có trọng số. s và t là 2 đỉnh của đồ thị. Hãy tìm đường đi có tổng trọng số nhỏ nhất từ s đến t. 20 n VD: 5 15 15 3 9 9 5 5 n Đường đi ngắn nhất từ Etna đến Oldtown là: Etna – Bangor – Orono – OldTown n Đường đi ngắn nhất từ Hermae đến Etna là: Hermae – Hampdea – Bangor - Etna Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 2
3. Các khái niệm mở đầu (tt) 1 10 2 5 7 20 9 - 6 9 4 3 4 5 n Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 3 đến đỉnh 5 u Trả lời: 3 – 4 – 2 – 5 ??? Độ dài 11 là ngắn nhất ??? u Đường đi này thì sao? Độ dài là bao nhiêu? 3 – 4 – 2 – 5 – 2 – 5 u Đường đi trên đã ngắn nhất chưa??? Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 3
4. Các khái niệm mở đầu (tt) n Điều kiện để bài toán có lời giải: u Phải tồn tại đường đi từ s đến t: l Đồ thị vô hướng liên thông l Đồ thị có hướng liên thông mạnh l Đồ thị vô hướng, s và t nằm trong cùng một thành phần liên thông l Đồ thị có hướng, có tồn tại đường đi từ s đến t u Trong đồ thị không tồn tại chu trình âm l Đồ thị có hướng: không tồn tại chu trình âm. l Đồ thị vô hướng: không tồn tại cạnh âm. 1 5 2 7 3 - 3 6 2 8 4 1 5 6 Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 4
5. Đường đi ngắn nhất xuất phát từ 1 đỉnh n Nhận xét: u Nếu v là đỉnh trung gian trên đường đi ngắn nhất từ s đến t thì đường đi từ s đến v phải là ngắn nhất và đường đi từ v đến t cũng phải là ngắn nhất. s v t X u Do đó, để tối ưu, người ta mở rộng bài toán tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh đến tất cả các đỉnh còn lại của đồ thị. Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 5
6. Đường đi ngắn nhất xuất phát từ 1 đỉnh (tt) n Ý tưởng chung của các thuật toán tìm đường đi ngắn nhất. u Dò tìm bằng cách thử đi qua các đỉnh trung gian u Nếu phát hiện đường đi qua đỉnh trung gian ngắn hơn đường đi hiện tại thì sẽ cập nhật đường đi mới, đồng thời chỉnh sửa các thông tin liên quan. u Sử dụng hai mảng để lưu trữ tạm thời: l Mảng d[v]: Lưu trữ độ dài đường đi ngắn nhất hiện tại từ s đến v. l Mảng T[v]: Lưu trữ đỉnh nằm trước v trên đường đi ngắn nhất hiện tại. Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 6
7. Đường đi ngắn nhất xuất phát từ 1 đỉnh (tt) n Ý tưởng chung của các thuật toán tìm đường đi ngắn nhất (tt): Truoc[v] d[v] s X v c[u,v] d[u] u if d[v] > d[u] + c[u,v] then { d[v] = d[u] + c[u,v]; Truoc[v] = u; } Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 7
8. Thuật toán Ford-Bellman (* Khởi tạo *) for v V do Begin d[v]:=c[s,v]; Truoc[v]:=s; End; (* Bắt đầu *) d[s]:=0; k 1 2 3 4 5 for k:=1 to n-2 do for v V\{ s} do 0,1 1,1 ¥ ,1 ¥ ,1 3,1 for u V do if d[v] > d[u] +a[u,v] then 1 0,1 1,1 4,2 4,2 -1,3 Begin 2 0,1 1,1 4,2 3,5 -1,3 d[v]:=d[u]+c[u,v]; Truoc[v]:=u; 3 0,1 1,1 4,2 3,5 -1,3 End; Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 8
9. Thuật toán Ford-Bellman (tt) n Cây kết quả: 1 2 3 k 1 2 3 4 5 5 0,1 1,1 ¥ ,1 ¥ ,1 3,1 1 0,1 1,1 4,2 4,2 -1,3 4 2 0,1 1,1 4,2 3,5 -1,3 3 0,1 1,1 4,2 3,5 -1,3 Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 9
10. Thuật toán Ford – Bellman (tt) k 1 2 3 4 5 6 0,1 1,1 ¥ ,1 ¥ ,1 ¥,1 ¥,1 1 0,1 1,1 6 ,2 3 ,2 7,4 7,3 2 0,1 1,1 4 ,4 3 ,2 7,4 5,3 3 0,1 1,1 4 ,4 3 ,2 6,6 5,3 S = 1 4 0,1 1,1 4 ,4 3 ,2 6,6 5,3 Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 10
11. Ford-Bellman (tt) n Cây kết quả 1 2 4 k 1 2 3 4 5 6 0,1 1,1 ¥ ,1 ¥ ,1 ¥,1 ¥,1 3 1 0,1 1,1 6 ,2 3 ,2 7,4 7,3 6 2 0,1 1,1 4 ,4 3 ,2 7,4 5,3 4 3 5 3 0,1 1,1 ,4 ,2 6,6 5,3 4 0,1 1,1 4 ,4 3 ,2 6,6 5,3 Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 11
12. Thuật toán Ford-Bellman (tt) n Nhận xét: u Áp dụng được cho mọi trường hợp u Chi phí tính toán lớn do dùng 3 vòng lặp lồng nhau u Thường lãng phí một số bước sau cùng n Cải tiến: u Không thể cải tiến tốt hơn cho trường hợp tổng quát u Chỉ có thể làm tốt hơn cho một số trường hợp riêng Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 12
13. Thuật toán Dijsktra (tt) n Nhận xét về FordBell man: k 1 2 3 4 5 6 0,1 1,1 ¥ ,1 ¥ ,1 ¥,1 ¥,1 1 0,1 1,1 6 ,2 3 ,2 7,4 7,3 2 0,1 1,1 4 ,4 3 ,2 7,4 5,3 3 0,1 1,1 4 ,4 3 ,2 6,6 5,3 4 0,1 1,1 4 ,4 3 ,2 6,6 5,3 u Kết quả của bảng đã ổn định từ sớm u Trên một dòng, giá trị d nhỏ nhất không thay đổi về sau nếu trọng số các cạnh là không âm Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 13
14. Thuật toán Dijkstra n Chú ý: thuật toán này chỉ dùng cho đồ thị không có cạnh âm. n Ý tưởng: u Do không có cạnh âm nên tại mỗi bước, sẽ có một đỉnh mà thông tin về nó sẽ không thay đổi về sau u Tại mỗi bước, ta không cần phải kiểm tra qua tất cả các đỉnh trung gian, mà chỉ thực hiện như sau: l Chọn một đỉnh u có giá trị d[u] nhỏ nhất l Chọn u làm đỉnh trung gian để xác định các bước kế tiếp Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 14
15. Thuật toán Dijsktra (tt) (* Khởi tạo *) for v V do Begin d[v]:=a[s,v]; Truoc[v]:=s; End; d[s]:=0; T:=V\{s} ; (* T là tập các đỉnh chưa cố định *) (* Bước lặp *) while T d[u]+a[u,v] then ,4 ,2 Begin 3 7,4 5,3* d[v]:=d[u]+a[u,v]; Truoc[v]:=u; 4 6,6* End; End; Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 15
16. Thuật toán Dijsktra (tt) 1 2 k 1 2 3 4 5 6 4 0,1 1,1* ¥ ,1 ¥ ,1 ¥,1 ¥,1 3 1 6 ,2 3 ,2* ¥,1 8,2 2 4 ,4* 7,4 8,2 6 3 7,4 5,3* 5 4 6,6* Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 16
17. Đường đi ngắn nhất giữa tất cả cặp đỉnh n Thuật toán Floyd: u Đầu vào: Ma trận kề trọng số A u Đầu ra: l Ma trận đường đi ngắn nhất: d l Ma trận lưu đỉnh trước đó trên đường đi: p Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 17
18. Thuật toán Floyd (tt) // Khởi tạo 1 10 2 For i:=1 to n do 3 For j:=1 to n do 2 6 5 { d[i,j] := a[i,j]; p[i,j] := i; 1 4 3 } // Bước lặp For k:=1 to n do For i:=1 to n do For j:=1 to n do If (d[i,j] > d[i,k] + d[k,j]) { d[i,j] := d[i,k] + d[k,j]; p[i,j] := p[k,j]; Ma trận d Ma trận p } Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 18
19. Thuật toán Floyd (tt) 1 10 2 3 Khởi 2 6 5 tạo 1 4 3 Ma trận d Ma trận p k=1 k=3 k=2 k=4 Lý thuyết đồ thị 19
20. Thuật toán Floyd (tt) 1 10 2 3 2 6 5 1 4 3 n Đọc đường đi: u Từ 1 đến 3: l Trước 3 là p[1,3] = 4. Vậy 4 là đỉnh nằm trước 3 trên đường đi này. l Trước 4 là p[1,4] = 1. Vậy 1 là đỉnh nằm trước 4 trên đường đi này. l Dừng. Đường đi là: 1 – 4 – 3 với độ dài là d[1,3] = 3 u Tương tự, đường đi ngắn nhất từ 3 đến 2 là: 3 – 4 – 2 với độ dài là p[3,2] = 4 Lý thuyết đồ thị 6/14/2021 20