›
›

Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 6: Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc

pdf 51 trang phuongnguyen 6230 Free
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 6: Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ly_thuyet_dieu_khien_tu_dong_chuong_6_mo_ta_toan_h.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 6: Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc

  1. Môn học LÝLÝ THUYẾTTHUYẾT ĐIỀUĐIỀU KHIỂNKHIỂN TỰTỰ ĐỘNGĐỘNG Giảng viên: Huỳnh Thái Hoàng Bộ môn Điều Khiển Tự Động Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TP.HCM Email: hthoang@dee.hcmut.edu.vn 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 1
  2. Chương 6 MÔMÔ TẢTẢ TOÁNTOÁN HỌCHỌC HỆHỆ THỐNGTHỐNG ĐIỀUĐIỀU KHIỂNKHIỂN RỜIRỜI RẠCRẠC 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 2
  3. Nội dung chương 6 ‘ Khái niệm ‘ Phép biến đổi Z ‘ Hàm truyền ‘ Phương trình trạng thái 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 3
  4. KháiKhái niệmniệm 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 4
  5. Hệ thống điều khiển dùng máy tính số r(kT) u(kT) uR(t) c(t) Máy tính số D/A Đối tượng cht(kT) A/D Cảm biến ‘ “Máy tính số” = thiết bị tính toán dựa trên cơ sở kỹ thuật vi xử lý (vi xử lý, vi điều khiển, máy tính PC, DSP, ). ‘ Ưu điểm của hệ thống điều khiển số: Ž Linh hoạt Ž Dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp Ž Máy tính số có thể điều khiển nhiều đối tượng cùng một lúc 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 5
  6. Hệ thống điều khiển rời rạc r(kT) u(kT) uR(t) c(t) Xử lý rời rạc Khâu giữ Đối tượng cht(kT) Lấy mẫu Cảm biến ‘ Hệ thống điều khiển rời rạc là hệ thống điều khiển trong đó có tín hiệu tại một hoặc nhiều điểm là (các) chuỗi xung. 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 6
  7. Lấy mẫu dữ liệu ‘ Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian. x(t) x*(t) ‘ Biểu thức toán học mô tả quá T trình lấy mẫu: x(t) +∞ * −kTs X (s) = ∑ x(kT)e t k =0 0 ‘ Định lý Shannon x*(t) 1 t f = ≥ 2 fc T 0 ‘ Nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi A/D chính là các khâu lấy mẫu. 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 7
  8. Khâu giữ dữ liệu ‘ Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian * ‘ Khâu giữ bậc 0 (ZOH): giữ tín x (t) xR (t) ZOH hiệu bằng hằng số trong thời x*(t) gian giữa hai lần lấy mẫu. t 0 ‘ Hàm truyền khâu giữ bậc 0. xR(t) 1− e−Ts G (s) = ZOH s t 0 ‘ Nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu giữ bậc 0 (ZOH). 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 8
  9. PhépPhép biếnbiến đổiđổi ZZ 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 9
  10. Định nghĩa phép biến đổi Z ‘ Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc, biến đổi Z của x(k) là: +∞ X (z) = Z {}x(k) = ∑ x(k)z −k k =−∞ Trong đó: − z = eTs (s là biến Laplace) Z − X(z) : biến đổi Z của chuỗi x(k). Ký hiệu: x(k) ←→ X (z) ‘ Nếu x(k) = 0, ∀ k < 0: +∞ X (z) = Z {}x(k) = ∑ x(k)z −k k =0 ‘ Miền hội tụ (Region Of Convergence – ROC) ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn. 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 10
  11. Ý nghĩa của phép biến đổi Z ‘ Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuổi rời rạc x(k) = x(kT). ‘ Biểu thức lấy mẫu tín hiệu x(t) +∞ X * (s) = ∑ x(kT)e−kTs k =0 ‘ Biểu thức biến đổi Z chuỗi x(k) = x(kT). +∞ X (z) = ∑ x(k)z −k k=0 Ts ‘ Do z = e nên vế phải của hai biểu thức lấy mẫu và biến đổi Z là như nhau, do đó bản chất của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là rời rạc hóa tín hiệu đó . 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 11
  12. Tính chất của phép biến đổi Z Cho x(k) và y(k) là hai chuỗi tín hiệu rời rạc có biến đổi Z là: Z {}x(k) = X (z) Z {y(k)}= Y (z) ‘ Tính tuyến tính: Z {ax(k) + by(k)}= aX (z) + bY (z) −k0 ‘ Tính dời trong miền thời gian: Z {x(k − k0 )}= z X (z) k −1 ‘ Tỉ lệ trong miền Z: Z {a x(k)}= X (a z) dX (z) ‘ Đạo hàm trong miền Z: Z {}kx(k) = −z dz ‘ Định lý giá trị đầu: x(0) = lim X (z) z→∞ −1 ‘ Định lý giá trị cuối: x(∞) = lim(1− z )X (z) z→1 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 12
  13. Biến đổi Z của các hàm cơ bản ‘ Hàm dirac: δ(k) 1 nếu k = 0 1 δ (k) =  0 nếu k ≠ 0 k 0 Z {}δ (k) = 1 ‘ Hàm nấc đơn vị: u(k) 1 nếu k ≥ 0 1 u(k) =  0 nếu k < 0 k 0 z Z {}u(k) = z −1 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 13
  14. Biến đổi Z của các hàm cơ bản r(k) ‘ Hàm dốc đơn vị: 1 kT nếu k ≥ 0 r(k) =  k 0 nếu k < 0  0 Tz Z {}u(k) = ()z −1 2 ‘ Hàm mũ: x(k) e-akT nếu k ≥ 0 1 x(k) =  0 nếu k < 0 k 0 z Z {}x(k) = z − e−aT 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 14
  15. HàmHàm truyềntruyền củacủa hệhệ rờirời rạcrạc 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 15
  16. Tính hàm truyền từ phương trình sai phân r(k) c(k) Hệ rời rạc ‘ Quan hệ vào ra của hệ rời rạc có thể mô tả bằng phương trình sai phân a0c(k + n) + a1c(k + n −1) + + an−1c(k +1) + anc(k) = b0r(k + m) + b1r(k + m −1) + + bm−1r(k +1) + bmr(k) trong đó n>m, n gọi là bậc của hệ thống rời rạc ‘ Biến đổi Z hai vế phương trình trên ta được: n n−1 a0z C(z) + a1z C(z) + + an−1zC(z) + anC(z) = m m−1 b0z R(z) + b1z R(z) + + bm−1zR(z) + bmR(z) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 16
  17. Tính hàm truyền từ phương trình sai phân ‘ Lập tỉ số C(z)/R(z) , ta được hàm truyền của hệ rời rạc: m m−1 C(z) b0z + b1z + + bm−1z + bm G(z) = = n n−1 R(z) a0z + a1z + + an−1z + an ‘ Hàm truyền trên có thể biến đổi tương đương về dạng: −(n−m) −1 −m+1 −m C(z) z [b0 + b1z + + bm−1z + bm z ] G(z) = = −1 −n+1 −n R(z) a0 + a1z + + an−1z + an z 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 17
  18. Tính hàm truyền từ phương trình sai phân - Thí dụ ‘ Tính hàm truyền của hệ rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân: c(k + 3) + 2c(k + 2) − 5c(k +1) + 3c(k) = 2r(k + 2) + r(k) ‘ Giải: Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân ta được: z3C(z) + 2z2C(z) − 5zC(z) + 3C(z) = 2z2R(z) + R(z) C(z) 2z2 +1 ⇒ G(z) = = R(z) z3 + 2z2 − 5z + 3 C(z) z−1(2 + z−2 ) ⇔ G(z) = = R(z) 1+ 2z−1 − 5z−2 + 3z−3 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 18
  19. Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối ‘ Cấu hình thường gặp của các hệ thống điều khiển rời rạc: R(s) C(s) + G (z) ZOH G(s) − T C H(s) C(z) G (z)G(z) ‘ Hàm truyền kín của hệ thống: G (z) = = C k R(z) 1+ G (z)GH (z) trong đó: C GC (z) : hàm truyền của bộ điều khiển, tính từ phương trình sai phân −1 G(s) −1 G(s)H (s) G(z) = (1− z )Z   GH (z) = (1− z )Z    s   s  11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 19
  20. Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 1 ‘ Tính hàm truyền kín của hệ thống: R(s) C(s) + ZOH G(s) − T = 0.5 3 G(s) = s + 2 −1 G(s) −1  3  Giải: G(z) = (1− z )Z   = (1− z )Z    s  s(s + 2) 3 z(1− e−2×0.5 ) = (1− z−1) 2 (z −1)(z − e−2×0.5 ) 0.948 −aT ⇒ G(z) =  a  z(1− e ) z − 0.368 Z   = −aT s(s + a) (z −1)(z − e ) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 20
  21. Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 1 ‘ Hàm truyền kín của hệ thống: 0.948 G(z) G (z) = = z − 0.368 k 0.948 1+ G(z) 1+ z − 0.368 0.948 ⇒ G (z) = k z + 0.580 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 21
  22. Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 2 ‘ Tính hàm truyền kín của hệ thống: R(s) C(s) + ZOH G(s) − T = 0.5 H(s) 3e−s 1 Biết rằng: G(s) = H (s) = s + 3 s +1 ‘ Giải: Hàm truyền kín của hệ thống: G(z) G (z) = k 1+ GH (z) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 22
  23. Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 2 −s −1 G(s) 3e • G(z) = (1− z )Z   G(s) =  s  (s + 3) −s −1  3e  = (1− z )Z   s(s + 3) z(1− e−3×0.5 ) = (1− z−1)z−2 (z −1)(z − e−3×0.5 ) 0.777 ⇒ G(z) = z2 (z − 0.223)  a  z(1− e−aT ) Z   = −aT s(s + a) (z −1)(z − e ) z = eTs = e0.5s 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 23
  24. Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 2 −s −1 G(s)H (s) 3e • GH (z) = (1− z )Z   G(s) =  s  (s + 3) −s −1  3e  1 = (1− z )Z   H (s) = s(s + 3)(s +1) (s +1) z(Az + B) = 3(1− z−1)z−2 (z −1)(z − e−3×0.5 )(z − e−1×0.5 ) (1− e−3×0.5 ) − 3(1− e−0.5 ) A = = 0.0673 3(1− 3)  1  z(Az + B) Z   = s(s + a)(s + b) (z −1)(z − e−aT )(z − e−bT ) 3e−3×0.5 (1− e−0.5 ) − e−0.5 (1− e−3×0.5 )  B = b(1− e−=aT0).−0346a(1− e−bT ) 3(1− 3) A = ab(b − a) 0.202z + 0.104 ⇒ ae−aT (1− e−bT ) − be−bT (1− e−aT ) GH (z) = 2 B = z (z − 0.223)(z − 0.607) ab(b − a) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 24
  25. Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 2 ‘ Hàm truyền kín của hệ thống: 0.777 G(z) z2 (z − 0.223) G (z) = = k 1+ GH (z) 0.202z + 0.104 1+ z2 (z − 0.223)(z − 0.607) 0.777(z − 0.607) ⇒ G (z) = k z4 − 0.83z3 + 0.135z2 + 0.202z + 0.104 0.777 G(z) = z2 (z − 0.223) 0.202z + 0.104 GH (z) = z2 (z − 0.223)(z − 0.607) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 25
  26. Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 3 ‘ Tính hàm truyền kín của hệ thống: R(s) e(k) u(k) C(s) + G (z) ZOH G(s) − T=0.2 C H(s) 5e−0.2s Biết rằng: G(s) = H (s) = 0.1 s2 Bộ điều khiển Gc(z) có quan hệ vào – ra mô tả bởi phương trình: u(k) =10e(k) − 2e(k −1) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 26
  27. Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 3 ‘ Giải: Hàm truyền kín của hệ thống: GC (z)G(z) Gk (z) = 1+ GC (z)GH (z) Ta có: u(k) =10e(k) − 2e(k −1) ⇒ U (z) =10E(z) − 2z−1E(z) U (z) ⇒ G (z) = =10 − 2z−1 C E(z) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 27
  28. Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 3 −1 G(s) 5e−0.2s • G(z) = (1− z )Z   G(s) =  s  s2 −0.2s 2 −1 5e  −1 −1 (0.2) z(z +1) = (1− z )Z  3  = 5(1− z )z 3  s  2(z −1) 0.1(z +1) ⇒ G(z) = z(z −1)2 −1 G(s)H (s) • GH (z) = (1− z )Z   H (s) = 0.1  s  −1 G(s) = 0.1(1− z )Z   1 T 2z(z +1) s     Z  3  = 3 0.01(z +1) s  2(z −1) ⇒ GH(z) = Ts 0.2s z(z −1)2 z = e = e 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 28
  29. Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối. Thí dụ 3 ‘ Hàm truyền kín của hệ thống: 10z − 2 0.1(z +1) .    2  GC (z)G(z)  z   z(z −1)  Gk (z) = = 1+ GC (z)GH (z) 10z − 2 0.01(z +1) 1+ .    2   z   z(z −1)  2 ⇒ z + 0.8z − 0.2 Gk (z) = z4 − 2z3 +1.1z2 + 0.08z − 0.02 −1 GC (z) =10 − 2z 0.1(z +1) G(z) = z(z −1)2 0.01(z +1) GH (z) = z(z −1)2 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 29
  30. PhươngPhương trìnhtrình trạngtrạng tháithái 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 30
  31. Khái niệm ‘ Phương trình trạng thái (PTTT) của hệ rời rạc là hệ phương trình sai phân bậc 1 có dạng: x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k)  c(k) = Cd x(k) trong đó:  x1(k) a11 a12 K a1n  b1    x (k) a a a b   2   21 22 K 2n   2  x(k) = Ad = Bd =  M   M M M   M        xn (k) an1 an2 K ann  bn  Cd = [c1 c2 K cn ] 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 31
  32. Thành lập PTTT từ phương trình sai phân (PTSP) ‘ Trường hợp 1: Vế phải của PTSP không chứa sai phân của tín hiệu vào a0c(k + n) + a1c(k + n −1) + + an−1c(k +1) + anc(k) = b0r(k) ‘ Đặt biến trạng thái theo qui tắc: Ž Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra: x1(k) = c(k) Ž Biến thứ i (i=2 n) đặt bằng cách làm x2 (k) = x1(k +1) sớm biến thứ i−1 một chu kỳ lấy mẫu x3(k) = x2 (k +1) M xn (k) = xn−1(k +1) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 32
  33. Thành lập PTTT từ PTSP Trường hợp 1 (tt) x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) ‘ Phương trình trạng thái:  c(k) = Cd x(k) trong đó:  0 1 0 K 0   0     x1(k) 0 0 1 0  0   K    x (k)  2  A =  M M M M  B =  M  x(k) = d   d    M  0 0 0 1 0    K    an an−1 an−2 a1 b0 xn (k) − − − K −     a0 a0 a0 a0  a0  Cd = [1 0 K 0 0] 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 33
  34. Thành lập PTTT từ PTSP Thí dụ trường hợp 1 ‘ Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTSP sau: 2c(k + 3) + c(k + 2) + 5c(k +1) + 4c(k) = 3r(k) x1(k) = c(k)  ‘ Đặt các biến trạng thái: x2 (k) = x1(k +1)  x3(k) = x2 (k +1) x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) ‘ Phương trình trạng thái:  c(k) = Cd x(k) trong đó:    0   0        Bd = 0 = 0  0 1 0   0 1 0  b         0  1.5 Ad = 0 0 1 = 0 0 1 a   a a a     0  − 3 − 2 − 1  − 2 − 2.5 − 0.5 a a a  0 0 0  Cd = [1 0 0] 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 34
  35. Thành lập PTTT từ PTSP ‘ Trường hợp 2: Vế phải của PTSP có chứa sai phân của tín hiệu vào a0c(k + n) + a1c(k + n −1) + + an−1c(k +1) + anc(k) = b0r(k + n −1) + b1r(k + n − 2) + + bn−2r(k +1) + bn−1r(k) ‘ Đặt biến trạng thái theo qui tắc: Ž Biến đầu tiên đặt bằng tín x1(k) = c(k) hiệu ra x2 (k) = x1(k +1) − β1r(k) Ž Biến thứ i (i=2 n) đặt bằng cách làm sớm biến thứ i−1 x3(k) = x2 (k +1) − β2r(k) một chu kỳ lấy mẫu và trừ 1 M lượng tỉ lệ với tính hiệu vào xn (k) = xn−1(k +1) − βn−1r(k) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 35
  36. Thành lập PTTT từ PTSP Trường hợp 2 (tt) x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) ‘ Phương trình trạng thái:  c(k) = Cd x(k) trong đó:  0 1 0 K 0  β    1   x1(k) 0 0 1 0  K   β  x (k)  2  x(k) =  2  A =  M M M M  B =     d   d M M 0 0 0 K 1     βn−1   an an−1 an−2 a1   xn (k) − − − K −     βn   a0 a0 a0 a0  Cd = [1 0 K 0 0] 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 36
  37. Thành lập PTTT từ PTSP Trường hợp 2 (tt) Các hệ số β trong vector Bd xác định như sau: b0 β1 = a0 b1 − a1β1 β2 = a0 b2 − a1β2 − a2β1 β3 = a0 M bn−1 − a1βn−1 − a2βn−2 −K− an−1β1 βn = a0 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 37
  38. Thành lập PTTT từ PTSP Thí dụ trường hợp 2 ‘ Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTSP sau: 2c(k + 3) + c(k + 2) + 5c(k +1) + 4c(k) = r(k + 2) + 3r(k) x1(k) = c(k)  ‘ Đặt các biến trạng thái: x2 (k) = x1(k +1) − β1r(k)  x3(k) = x2 (k +1) − β2r(k) x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) ‘ Phương trình trạng thái:  c(k) = Cd x(k) trong đó: β    1 0 1 0 0 1 0 B = β      d  2      Ad = 0 0 1 = 0 0 1 β3   a a a    − 3 − 2 − 1  − 2 − 2.5 − 0.5 a a a  0 0 0  Cd = [1 0 0] 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 38
  39. Thành lập PTTT từ PTSP Thí dụ trường hợp 2 (tt) ‘ Các hệ số của vector Bd xác định như sau:  b 1 β = 0 = = 0.5  1 2  a0  b1 − a1β1 0 −1× 0.5 β2 = = = −0.25  a0 2 b − a β − a β 3 −1× (−0.25) − 5× 0.5 β = 2 1 2 2 1 = = 0.375  3  a0 2  0.5  ⇒ B = − 0.25 d   0.375 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 39
  40. Thành lập PTTT từ PTSP dùng phương pháp tọa độ pha ‘ Xét hệ rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân a0c(k + n) + a1c(k + n −1) + + an−1c(k +1) + anc(k) = b0r(k + m) + b1r(k + m −1) + + bm−1r(k +1) + bmr(k) ‘ Đặt biến trạng thái theo qui tắc: Ž Biến trạng thái đầu tiên là nghiệm của phương trình: a1 an−1 an x1(k + n) + x1(k + n −1) +L + x1(k +1) + x1(k) = r(k) a0 a0 a0 Ž Biến thứ i (i=2 n) đặt bằng cách làm sớm biến thứ i−1 một chu kỳ lấy mẫu: x2 (k) = x1(k +1) x3(k) = x2 (k +1) M xn (k) = xn−1(k +1) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 40
  41. Thành lập PTTT từ PTSP dùng phương pháp tọa độ pha x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k) ‘ Phương trình trạng thái:  c(k) = Cd x(k) trong đó:  0 1 0 K 0  0 x (k)    1  0 0 1 0 0    K    x2 (k)   x(k) =   A = M M M M Bd = M d      M  0 0 0 1 0    K     an an−1 an−2 a1  xn (k) − − − K − 1  a0 a0 a0 a0  bm bm−1 b0  Cd =  K 0 K 0  a0 a0 a0  11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 41
  42. Thí dụ thành lập PTTT từ PTSP dùng PP tọa độ pha ‘ Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTSP sau: 2c(k + 3) + c(k + 2) + 5c(k +1) + 4c(k) = r(k + 2) + 3r(k) ‘ Đặt biến trạng thái theo phương pháp tọa độ pha, ta được phương trình trạng thái: x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k)  c(k) = Cd x(k) trong đó:    0 1 0   0 1 0  0   A =  0 0 1  = 0 0 1 B = 0 d     d   a3 a2 a1 − − −  − 2 − 2.5 − 0.5 1  a0 a0 a0  b2 b1 b0  Cd =   = []1.5 0 0.5 a0 a0 a0  11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 42
  43. Thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục ‘ Thành lập PTTT mô tả hệ rời rạc có sơ đồ khối: r(t) e(t) e(kT) eR(t) c(t) + ZOH G(s) − T ‘ Bước 1: Thành lập PTTT mô tả hệ liên tục (hở): eR(t) c(t) x&(t) = Ax(t) + BeR (t) G(s)  c(t) = Cx(t) ‘ Bước 2: Tính ma trận quá độ Φ(t) = L −1[Φ(s)] với Φ(s) = (sI − A)-1 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 43
  44. Thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục ‘ Bước 3: Rời rạc hóa PTTT mô tả hệ liên tục (hở): e(kT) c(kT) ZOH G(s) Ad = Φ(T ) T x[(k +1)T] = Ad x(kT) + Bd eR (kT)   với Bd = ∫Φ(τ )Bdτ c(kT) = Dd x(kT)  0 Cd = C ‘ Bước 4: Viết PTTT mô tả hệ rời rạc kín (với tín hiệu vào là r(kT)) x[(k +1)T ] = [Ad − Bd Cd ]x(kT ) + Bd r(kT )  c(kT ) = Cd x(kT ) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 44
  45. Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục ‘ Thành lập PTTT mô tả hệ rời rạc có sơ đồ khối: r(t) e(t) e(kT) eR(t) 1 x2 1 x1 c(t) + ZOH K − T s + a s Với a = 2, T = 0.5, K = 10 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 45
  46. Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục ‘ Giải: eR(t) 1 x2 1 x1 c(t) ‘ Bước 1: 10 s + 2 s X (s) X (s) = 2 ⇒ sX (s) =X (s) ⇒ x (t) =x (t) 1 s 1 2 &1 2 E R(s) X 2 (s) = ⇒ (s + a)X 2 (s) =E R(s) ⇒ x&2 (t) = −2x2 (t) +eR (t) s + 2  x&1(t) 0 1  x1(t) 0   =    +  eR (t) x&2 (t) 0 − 2x2 (t) 1 142 43 { ⇒ A B  x1(t) c(t) =10x1(t) = []10 0   123x2 (t) C 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 46
  47. Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục ‘ Bước 2: Tính ma trận quá độ −1 −1  1 0 0 1   s −1  -1     Φ(s) = ()sI − A =  s  −   =     0 1 0 − 2  0 s + 2 1 1  1 s + 2 1 s s(s + 2) = =   s(s + 2)  0 s 1   0   s + 2  1 1   −11 −1 1    L   L   −1 −1 s s(s + 2)  s s(s + 2) Φ(t) = L [Φ(s)] = L   =    1 1 0   −1    0 L     s + 2   s + 2   1  1 (1− e−2t ) ⇒ Φ(t) =  2   −2t  0 e  11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 47
  48. Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục ‘ Bước 3: Rời rạc hóa x[(k +1)T] = Ad x(kT) + Bd eR (kT)  PTTT của hệ liên tục c(kT) = Cd x(kT)  1 −2t   1 −2×0.5  1 0.316 1 (1− e ) 1 (1− e )   Ad = Φ(T) = 2 = 2 =    −2t   −2×0.5  0 0.368 0 e t=T 0 e  T T  1 −2τ  0  T 1 −2τ   1 (1− e )    (1− e )  Bd = ∫Φ(τ )Bdτ = ∫  2  dτ  = ∫  2 dτ  0 0  −2τ 1 0  −2τ  0 e    e   T τ e−2τ   0.5 e−2×0.5 1   +   + −   2   2 2  0.092  2 2   2 2 2    =   =   =    e−2τ   e−2×0.5 1  0.316  −   − +   2 0  2 2  Cd = C = []10 0 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 48
  49. Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục ‘ Bước 4: PTTT rời rạc mô tả hệ kín x[(k +1)T ] = [Ad − Bd Cd ]x(kT) + Bd r(kT)  c(kT) = Cd x(kT) 1 0.316 0.092  0.080 0.316 với []Ad − Bd Cd =   −   []10 0 =   0 0.368 0.316 − 3.160 0.368 ‘ Vậy phương trình trạng thái của hệ rời rạc cần tìm là:  x1(k +1)  0.080 0.316 x1(k) 0.092   =    +  r(k) x2 (k +1) − 3.160 0.368x2 (k) 0.316 x1(k) c(k) = []10 0 .  x2 (k) 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 49
  50. Tính hàm truyền từ PTTT ‘ Cho hệ rời rạc mô tả bởi PTTT x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k)  c(k) = Cd x(k) ‘ Hàm truyền của hệ rời rạc là: C(z) G(z) = = C (zI − A )−1 B R(z) d d d 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 50
  51. Thí dụ tính hàm truyền từ PTTT ‘ Tính hàm truyền của hệ rời rạc mô tả bởi PTTT x(k +1) = Ad x(k) + Bd r(k)  c(k) = Cd x(k)  0 1 0 C = [1 0] Ad =   Bd =   d − 0.7 − 0.1 2 ‘ Giải: Hàm truyền cần tìm là −1 G(z) = Cd (zI − Ad ) Bd −1  1 0  0 1 0   = []1 0  z  −      0 1 − 0.7 − 0.1 2 2 ⇒ G(z) = z 2 + 0.1z + 0.7 11 April 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 51