Bài giảng Không gian Véctơ - TS. Lê Xuân Đại

121 trang phuongnguyen 3850

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Không gian Véctơ - TS. Lê Xuân Đại", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_khong_gian_vecto_ts_le_xuan_dai.pdf

Nội dung text: Bài giảng Không gian Véctơ - TS. Lê Xuân Đại

KHÔNG GIAN VÉCTƠ Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 1 / 112
Nội dung 1 Định nghĩa không gian véc-tơ 2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính 3 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ 4 Hạng của một hệ véc tơ 5 Tọa độ của véctơ, ma trận chuyển cơ sở TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 2 / 112
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực Đa thức có bậc không lớn hơn n 1 + : R × R → R 1 + : Pn(x) × Pn(x) → Pn(x) (x, y) → x + y (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) 2 • : R → R 2 • : R × Pn(x) → Pn(x) (λ, x) → λ.x (λ, p(x)) → λ.p(x) Số phức 1 + : C × C → C (x, y) → x + y 2 • : C → C KHÔNG GIAN VÉCTƠ (λ, x) → λ.x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 3 / 112
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Véc-tơ trong mặt phẳng 1 + : R2 × R2 → R2 (−→x , −→y ) → −→x + −→y −−→ −−→ −−→ −−→ (OM , ON ) → OM + ON 2 • : R × R2 → R2 (λ, −→x ) → λ.−→x −−→ −−→ (λ, OM ) → λ.OM Véc-tơ trong không gian 1 + : R3 × R3 → R3 (−→x , −→y ) → −→x + −→y −−→ −−→ −−→ −−→ (OM , ON ) → OM + ON KHÔNG GIAN VÉCTƠ 2 • : R × R3 → R3 (λ, −→x ) → λ.−→x −−→ −−→ (λ, OM ) → λ.OM TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 4 / 112
Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E 6= ∅ và trường K (R hoặc C) với 2 phép toán 1 + : E × E → E 2 • : K × E → E (x, y) 7−→ x + y (λ, x) 7−→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: ∀x, y, z ∈ E, ∀λ, µ ∈ K 1 x + y = y + x 5 (λ + µ)x = λx + µx 2 x+(y+z) = (x+y)+z 6 λ(x + y) = λx + λy 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = x 7 λ(µx) = (λ.µ)x 4 ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = 0 8 1.x = x thì E được gọi là một K-không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 5 / 112
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ Ví dụ không gian véctơ Rn = {x = (x1, , xn), xi ∈ R, i = 1, n} + : Rn × Rn → Rn, (x, y) → x + y = (x1 + y1, , xn + yn) • : R × Rn → Rn (λ, x) → (λx1, . . . , λxn) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 6 / 112
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ Cn = {x = (x1, , xn), xi ∈ C, i = 1, n} + : Cn × Cn → Cn, (x, y) → x + y = (x1 + y1, , xn + yn) • : C × Cn → Cn (λ, x) → (λx1, . . . , λxn) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 7 / 112
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ X =6 ∅, E − K − kgv, E X = {f : X → E} + : E X × E X → E X , (f , g) → (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ X • : K × E X → E X (λ, f ) → (λf )(x) = λf (x), ∀x ∈ X Mm×n(K) + : Mm×n(K) × Mm×n(K) → Mm×n(K), (A, B) → A + B = (aij + bij ) • : K × Mm×n(K) → Mm×n(K) (λ, A) → λA = (λaij ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 8 / 112
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g) → f + g = f (x) + g(x) • : K × C[a,b] → C[a,b] (λ, f ) → λf = λf (x) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 9 / 112
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ E = R2, + : E × E → E, • : R × E → E λ λ ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) λ(x1, x2) → (x1 , x2 ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E. Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x1y1, x2y2) = y + x, ∀x, y ∈ E. 2 x + (y + z) = (x1y1z1, x2y2z2) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ E. 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1, x2) = x, ∀x ∈ E 1 1 4 ∀x ∈ E, ∃(−x) = ( , ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) x1 x2 λ+µ λ+µ 5 (λ + µ)x = (x1 , x2 ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. λ λ 6 λ(x + y) = ((x1y1) , (x2y2) ) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E. λµ λµ 7 λ(µx) = (x1 , x2 ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E. 8 1 1 1.x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 10 / 112
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ VÍ DỤ TẬP HỢP KHÔNG PHẢI LÀ KGVT Đa thức có bậc đúng bằng n > 0 + : Pfn(x) × Pfn(x) → Pfn(x), (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) • : R × Pfn(x) → Pfn(x) (λ, p(x)) → λ.p(x). Tuy nhiên, ∀p(x) ∈ Pfn(x) thì 0.p(x) = 0 ∈/ Pfn(x). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 11 / 112
Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ E = R2, + : E × E → E, ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) • : R × E → E λ(x1, x2) → (λx1, λx2). Tuy nhiên, λ(x + y) = λ(x1y1, x2y2) = (λx1y1, λx2y2) =6 (λx1.λy1, λx2.λ.y2) = λx + λy với λ =6 0 và λ =6 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 12 / 112
Cấu trúc không gian véctơ Định lý Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ Định lý Giả sử E làm một K − kgv, ∀λ, µ ∈ K, ∀x, y ∈ E ta có 1 λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0. 2 (λ − µ)x = λx − µx. 3 λ(x − y) = λx − λy 4 phần tử 0 ∈ E là duy nhất. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 13 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa ∗ Cho E là 1 K-kgv, n ∈ N , x1, x2, , xn ∈ E, λ1, λ2, . . . , λn ∈ K. Ta gọi n P x = λi xi = λ1x1 + λ2x2 + + λnxn là tổ hợp i=1 tuyến tính của x1, x2, , xn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 14 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn hay không? Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + + λnxn với ẩn λ1, . . . , λn ∈ R. Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vô số) thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn. Nếu hệ vô nghiệm thì thì x không là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 15 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) hay không? Giải. λ1x1 + λ2x2 + λ3x3 = x ⇔ (2λ1, λ1, λ1) + (−λ2, λ2, −λ2) + (λ3, λ3, −2λ3) = (1, 4, −3)  2λ − λ + λ = 1  1 2 3 ⇔ λ1 + λ2 + λ3 = 4  λ1 − λ2 − 2λ3 = −3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 16 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ       2 −1 1 λ1 1 ⇔  1 1 1   λ2  =  4  1 −1 −2 λ3 −3  λ = 1  1 ⇔ λ2 = 2  λ3 = 1 Vậy véctơ x = (1, 4, −3) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) và x = x1 + 2x2 + x3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 17 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 18 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ .   1 1 −2 4 h2→h2−2h1 h3→h3−5h1  2 3 3 3  −−−−−−→ 5 7 4 5   1 1 −2 4 h3→h3−2h1  0 1 7 −5  −−−−−−→ 0 2 14 −15   1 1 −2 4  0 1 7 −5  Hệ tương ứng vô nghiệm. Vậy 0 0 0 −5 véctơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 19 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 20 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ   1 1 −2 4 h2→h2−2h1 h3→h3−5h1 Giải.  2 3 3 3  −−−−−−→ 5 7 4 10   1 1 −2 4 h3→h3−2h1 h1→h1−h2  0 1 7 −5  −−−−−−→ 0 2 14 −10   1 0 −9 9  0 1 7 −5  0 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 21 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Hệ tương ứng có vô số nghiệm (λ1, λ2, λ3) = (9 + 9t, −5 − 7t, t), t ∈ R. Vậy véctơ x = (4, 3, 10) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) và x = (9 + 9t)x1 + (−5 − 7t)x2 + tx3, t ∈ R. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 22 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính ∃λ1, λ2, . . . , λm ∈ K {x1, x2, , xm} không đồng thời bằng 0 m là phụ thuộc P sao cho λi xi = λ1x1 + tuyến tính i=1 λ2x2 + + λmxm = 0 m P λi xi = i=1 {x1, x2, , xm} λ1x1 + λ2x2 + + là độc lập tuyến λmxm = 0 ⇒ λ1 = tính λ2 = = λm = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 23 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Véctơ ĐLTT, PTTT trong mặt phẳng, trong không gian Trong R2, cho 2 véc tơ x, y cùng phương: x = k.y ⇐⇒ 1.x − k.y = 0. Suy ra x, y PTTT. Ngược lại x, y ĐLTT khi và chỉ khi x, y không cùng phương. Tương tự trong R3, 3 véctơ x, y, z PTTT khi và chỉ khi chúng đồng phẳng. Ngược lại, 3 véctơ ĐLTT khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 24 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Thuật toán Kiểm tra các véctơ x1, x2, , xm độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải phương trình λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0 với những ẩn số λ1, λ2, . . . , λm ∈ R (Phương trình này tương đương với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m ẩn trên R). Khi đó Nếu hệ này có nghiệm duy nhất λ1 = λ2 = = λm = 0 thì các véctơ x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu hệ có vô số nghiệm thì các véctơ x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 25 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Thuật toán Trường hợp x1, x2, , xm ∈ Rn T T T Đặt A = x1 x2 xm và xác định r(A). Nếu r(A) = m thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu r(A) < m thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. Chú ý. m là số véc tơ trong Rn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 26 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Thuật toán Trường hợp đặc biệt m = n Ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Nếu det(A) =6 0 thì x1, x2, , xm độc lập tuyến tính. Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 27 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (2, 1, 2), x2 = (3, 2, 1), x3 = (1, 1, 4) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải.  2 3 1  T T T Đặt A = x1 x2 x3 =  1 2 1  . 2 1 4 Ta thấy det(A) = 5 =6 0 nên x1, x2, x3 độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 28 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 2, 3), x2 = (4, 5, 6), x3 = (7, 8, 9) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Đặt  1 4 7  T T T A = x1 x2 x3 =  2 5 8  . 3 6 9 Ta thấy det(A) = 0 nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 29 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xác định tập hợp các véctơ x1 = (1, 1, 2, 3), x2 = (2, 3, 3, 1), x3 = (1, 2, 1, −2) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Đặt   1 2 1 h2→h2−h1 h3→h3−2h1  1 3 2  h →h −3h T T T   4 4 1 A = x1 x2 x3 =   −−−−−−→  2 3 1  3 1 −2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 30 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ     1 2 1 1 2 1   h3→h3+h2    0 1 1  h4→h4+5h2  0 1 1    −−−−−−→    0 −1 −1   0 0 0  0 −5 −5 0 0 0 ⇒ r(A) = 2 < 3 = m. Nên x1, x2, x3 phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 31 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ 2 Xác định tập hợp các véctơ p1(x) = x + x + 1, 2 2 p2(x) = x + 3x + 2, p3(x) = 2x + x + 1 ∈ P2(x) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) = 0 2 ⇔ (λ1 + λ2 + 2λ3)x + (λ1 + 3λ2 + λ3)x + (λ1 + 2λ2 + λ3) = 0, ∀x ∈ R TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 32 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ  λ + λ + 2λ = 0  λ = 0  1 2 3  1 ⇔ λ1 + 3λ2 + λ3 = 0 ⇔ λ2 = 0  λ1 + 2λ2 + λ3 = 0  λ3 = 0 Vậy p1(x), p2(x), p3(x) độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 33 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ 2 Xác định tập hợp các véctơ p1(x) = 3x + 2x + 2, 2 2 p2(x) = x + x + 1, p3(x) = 2x + x + 1 ∈ P2(x) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải. Xét phương trình λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) = 0 2 ⇔ (3λ1 + λ2 + 2λ3)x + (2λ1 + λ2 + λ3)x + (2λ1 + λ2 + λ3) = 0, ∀x ∈ R TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 34 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ  3λ + λ + 2λ = 0  λ = −t  1 2 3  1 ⇔ 2λ1 + λ2 + λ3 = 0 ⇔ λ2 = t , t ∈ R  2λ1 + λ2 + λ3 = 0  λ3 = t Hệ này có vô số nghiệm nên p1(x), p2(x), p3(x) phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 35 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Trong không gian R − C2, xác định tập hợp các véctơ x = (1 + i, i), y = (−1 + i, −1) là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Xét phương trình λ1x + λ2y = 0 ⇔ λ1(1 + i, i) + λ2(−1 + i, −1) = 0 λ + λ .i − λ + λ .i = 0 + 0.i ⇔ 1 1 2 2 λ1.i − λ2 = 0 + 0.i TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 36 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ  λ − λ = 0  1 2  λ + λ = 0 λ = 0 ⇔ 1 2 ⇔ 1  λ1 = 0 λ2 = 0   −λ2 = 0 Vậy hai véctơ x, y độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 37 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Tính chất của tập độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Định lý Trong không gian tuyến tính E 1 Khi thêm 1 véctơ vào tập phụ thuộc tuyến tính ta được tập phụ thuộc tuyến tính. 2 Khi bớt 1 véctơ từ một tập độc lập tuyến tính ta được tập độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 38 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất {x , x , , x } 1 2 m {x , x , , x , x } phụ phụ thuộc tuyến 1 2 m 0 thuộc tuyến tính??? tính ∃λ1, λ2, . . . , λm ∃λ1, λ2, . . . , λm, 0 không đồng thời không đồng thời bằng bằng 0 sao cho 0 sao cho λ1x1 + λ2x2 + + λ1x1 + λ2x2 + + λmxm = 0 λmxm + 0.x0 = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 39 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử khi bớt 1 véctơ x0 từ một tập độc lập tuyến tính M ta được tập phụ thuộc tuyến tính M0. 0 Khi đó ta thêm véctơ x0 vào tập M thì theo phần chứng minh trên ta được tập M phụ thuộc tuyến tính. Điều này trái với giả thiết M độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 40 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Định lý 1 Mọi tập con của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. 2 Tập {x1, x2, , xm} phụ thuộc tuyến tính ⇔ có 1 véctơ của tập này là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 41 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất M = N = {x1, x2, , xm} {xi1, xi2, , xin} ⊂ M độc lập tuyến tính độc lập tuyến tính??? ⇒ λ1xi1 + λ2xi2 + +λnxin +0.xin+1 + λ1xi1 + λ2xi2 + + + 0.xim = 0 λnxin = 0 ⇒ λ1 = λ2 = = λn = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 42 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất ∃λj =6 0 sao cho λ1x1 + + λj xj + + {x1, x2, , xm} λmxm = 0 ⇒ xj = phụ thuộc tuyến 1 tính − (λ1x1+ +λj−1xj−1+ λj λj+1xj+1 + + λmxm) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 43 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất λ1x1 + + λj−1xj−1 − 1.xj + xj = λ1x1 + + λj+1xj+1 + + λj−1xj−1+λj+1xj+1+ λmxm = 0 + λmxm ⇒ {x1, x2, , xm} PTTT. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 44 / 112
Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tính chất Hệ quả Tập chứa véctơ 0 thì phụ thuộc tuyến tính. Vì 1.0 + 0.x1 + + 0.xn = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 45 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Tập sinh Tập sinh Định nghĩa Cho E là K-kgv, M ⊂ E được gọi là tập sinh của E nếu ∀x ∈ E, ∃λi ∈ K, i = 1, 2, , p : p X x = λi xi = λ1x1 +λ2x2 + +λpxp, xi ∈ M i=1 Ta cũng nói E sinh bởi M và ký hiệu E = Span(M) = . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 46 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R2 xét tập M = {(1, 0); (0, 1)}. Ta thấy, với mọi x = (x1, x2) ∈ R2 luôn có x = (x1, x2) = x1(1, 0) + x2(0, 1) nên M là tập sinh của R2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 47 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R2 xét tập M = {(1, 2); (1, 1)}. Ta thấy, với mọi x = (x1, x2) ∈ R2, ta tìm a, b ∈ R sao cho x = (x1, x2) = a(1, 2) + b(1, 1) = (a + b, 2a + b) a + b = x ⇔ 1 2a + b = x2 1 1 Hệ này luôn có nghiệm vì = −1 =6 0. Do 2 1 đó M là tập sinh của R2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 48 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ Trong không gian R3 tập M = {(1, 1, 1); (1, 0, 2)} không là tập sinh của R3. Để M là tập sinh của R3 thì hệ phương trình α(1, 1, 1) + β(1, 0, 2) = (x1, x2, x3)  α + β = x  α + β = x  1  1 α = x2 ⇔ 0α − β = x2 − x1  α + 2β = x3  0α + 0β = x3 + x2 − 2x1 phải có nghiệm với mọi x1, x2, x3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 49 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Hệ này có thể vô nghiệm hoặc có thể có nghiệm tùy thuộc vào x1, x2, x3. Chọn (x1, x2, x3) = (1, 1, 2) ta thấy hệ này vô nghiệm. Như vậy (1, 1, 2) không là tổ hợp tuyến tính của các véctơ trong M.  1 1  Chú ý. A =  1 0  . ⇒ rank(A) = 2 < 3 (số 1 2 tọa độ) nên M không là tập sinh. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 50 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x), cho tập M = {1+x+x2; 1−2x+x2; 2+3x−x2; 4+2x+x2}. Chứng minh rằng M sinh ra P2(x). 2 Thật vậy, ∀p(x) = ax + bx + c ∈ P2(x) ta có 2 2 p(x) = λ1(1 + x + x ) + λ2(1 − 2x + x )+ 2 2 +λ3(2 + 3x − x ) + λ4(4 + 2x + x )  λ + λ − λ + λ = a  1 2 3 4 ⇔ λ1 − 2λ2 + 3λ3 + 2λ4 = b  λ1 + λ2 + 2λ3 + 4λ4 = c TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 51 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Hệ phương trình này có rank(A) = rank(AB) = 3 < 4 (số ẩn) nên có vô số nghiệm. Nên M là tập sinh của P2(x). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 52 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x), cho tập M = {2 + x + x2; 3 − 2x + x2; 1 + 3x − x2}. Chứng minh rằng M sinh ra P2(x). 2 Thật vậy, ∀p(x) = ax + bx + c ∈ P2(x) ta có 2 2 p(x) = λ1(2 + x + x ) + λ2(3 − 2x + x )+ 2 +λ3(1 + 3x − x )  λ + λ − λ = a  1 2 3 ⇔ λ1 − 2λ2 + 3λ3 = b  2λ1 + 3λ2 + λ3 = c TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 53 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ  1 1 −1  Với A =  1 −2 3  . 2 3 1 Hệ phương trình này có det(A) = −13 =6 0 nên có nghiệm duy nhất. Nên M là tập sinh của P2(x). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 54 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Trường hợp x1, x2, , xm ∈ Rn T T T Đặt A = x1 x2 xm và xác định r(A). Nếu r(A) = n thì x1, x2, , xm là tập sinh của Rn. Nếu r(A) < n thì x1, x2, , xm không là tập sinh của Rn. Chú ý. n là số tọa độ của véc tơ xi trong Rn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 55 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Trường hợp đặc biệt m = n Ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Nếu det(A) =6 0 thì x1, x2, , xm là tập sinh của Rn. Nếu det(A) = 0 thì x1, x2, , xm không là tập sinh của Rn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 56 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Cơ sở, số chiều Cơ sở, số chiều Định nghĩa Cho E là một K-kgv. B = {x1, x2, , xn} ⊂ E B là tập sinh + B ĐLTT = B là cơ sở của E Số chiều của E được ký hiệu là dim(E): dim(E) = số véctơ của cơ sở. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 57 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ B = {i, j, k} ⊂ R3 với i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) là 1 cơ sở của không gian R3. Thật vậy, ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3 thì x = x1.i + x2.j + x3.k ⇒ B là tập sinh của R3. Xét α.i + β.j + γ.k = 0 ⇔ (α, β, γ) = (0, 0, 0) ⇔ α = β = γ = 0 ⇒ B độc lập tuyến tính. Vậy B là cơ sở của R3 ⇒ dim(R3) = 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 58 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ Trong không gian Rn có cơ sở chính tắc T e1 = (1, 0, , 0) T e2 = (0, 1, , 0) T en = (0, 0, , 1) nên dim(Rn) = n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 59 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ 2 n B = {1, x, x , , x } ⊂ Pn(x) với Pn(x) là R−kgv các đa thức có bậc không lớn hơn n, là1 cơ sở của Pn(x). n ∀p(x) = a0 + a1x + + anx ∈ Pn(x) thì n p(x) = a0.1 + a1.x + + an.x ⇒ B là tập sinh của Pn(x). n Xét k0.1 + k1.x + + kn.x = 0, ∀x ∈ R ⇔ k0 = k1 = = kn = 0 ⇒ B ĐLTT. Vậy B là cơ sở của Pn(x) ⇒ dim(Pn(x)) = n + 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 60 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ 1 0 0 1 B = e = , e = , 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 e = , e = ⊂ M ( ), là1 3 1 0 4 0 1 2 R cơ sở của M2(R). a1 a2 Thật vậy, ∀A = ∈ M2(R) thì a3 a4 A = a1.e1 + a2.e2 + a3.e3 + a4.e4 ⇒ B là tập sinh của M2(R). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 61 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Xét α1.e1 + α2.e2 + α3.e3 + α4.e4 = 0 α α 0 0 ⇔ 1 2 = α3 α4 0 0 ⇔ α1 = α2 = α3 = α4 = 0 ⇒ B độc lập tuyến tính. Vậy B là cơ sở của M2(R) ⇒ dim(M2(R)) = 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 62 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Trong không gian các ma trận M2×3 có cơ sở gồm 6 ma trận 1 0 0 0 1 0 A = , A = , 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 A = A = , 3 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A = , A = 5 0 1 0 6 0 0 1 nên dim(M2×3) = 2 × 3 = 6. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 63 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ 2 B = {1 + x; −1 + x; 2 + x } là 1 cơ sở của P2(x). 2 Thật vậy, ∀p(x) = ax + bx + c ∈ P2(x) ta tìm λ1, λ2, λ3 sao cho p(x) = 2 λ1(1 + x) + λ2(−1 + x) + λ3(2 + x ), ∀x ∈ R.  λ − λ + 2λ = c  1 2 3 ⇔ λ1 + λ2 = b  λ3 = a TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 64 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Hệ này có nghiệm duy nhất b+c−2a 2a−c+b λ1 = 2 , λ2 = 2 , λ3 = a. Vậy B là tập sinh của P2(x) Xét 2 λ1(1+x)+λ2(−1+x)+λ3(2+x ) = 0, ∀x ∈ R  λ − λ + 2λ = 0  1 2 3 ⇔ λ1 + λ2 = 0 ⇔ λ1 = λ2 = λ3 = 0.  λ3 = 0 Vậy B độc lập tuyến tính. Do đó, B là cơ sở của P2(x). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 65 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Tìm số chiều của C−kgv C2. Xét tập B = {(1, 0); (0, 1)} ∈ C2. ∀(a + bi, c + di) ∈ C2 thì từ đẳng thức λ1(1, 0) + λ2(0, 1) = (a + bi, c + di) ⇒ λ1 = a + bi, λ2 = c + di ⇒ B là tập sinh của C2. Xét λ1(1, 0) + λ2(0, 1) = 0 ⇔ (λ1, λ2) = (0, 0) ⇔ λ1 = λ2 = 0 ⇒ B độc lập tuyến tính. Vậy B là cơ sở của C−kgv C2 do đó dim(C2) = 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 66 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Tìm số chiều của R−kgv C2. Xét tập B = {(1, 0); (i, 0); (0, 1); (0, i)} ∈ C2. ∀(a + bi, c + di) ∈ C2 thì từ đẳng thức λ1(1, 0) + λ2(i, 0) + λ3(0, 1) + λ4(0, i) = (a + bi, c + di) ⇒ λ1 = a, λ2 = b; λ3 = c, λ4 = d ⇒ B là tập sinh của C2. Xét λ1(1, 0) + λ2(i, 0) + λ3(0, 1) + λ4(0, i) = 0 ⇔ λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0 ⇒ B ĐLTT. Vậy B là cơ sở của R−kgv C2 do đó dim(C2) = 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 67 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Tính chất của cơ sở Bổ đề cơ bản. y1, y2, , ym là các tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xk y , y , , y phụ thuộc m > k 1 2 m tuyến tính TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 68 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Tính chất của cơ sở ∃λ , λ , . . . , λ ∈ K {y , y , , y } 1 2 m 1 2 m không đồng thời bằng 0 là phụ thuộc sao cho λ y + λ y + tuyến tính??? 1 1 2 2 + λmym = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 69 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Tính chất của cơ sở Nếu y1, y2, , ym là các tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1, x2, , xk thì y1 = a11x1 + a12x2 + + a1j xj + + a1kxk y2 = a21x1 + a22x2 + + a2j xj + + a2kxk ym = am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amkxk Xét hệ thức λ1.y1 + λ2y2 + + λmym = 0, Ta cần chứng minh ∃λ1, λ2, . . . , λm ∈ K không đồng thời bằng 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 70 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Tính chất của cơ sở Tức là λ1(a11x1+a12x2+ +a1k xk )+λ2(a21x1+a22x2+ +a2k xk )+ + + λm(am1x1 + am2x2 + + amk xk ) = 0 ⇔ (a11λ1 +a21λ2 + +am1λm)x1 +(a12λ1 +a22λ2 + + +am2λm)x2 + + (a1k λ1 + a2k λ2 + + amk λm)xk = 0(∗) Câu hỏi: Có tồn tại hay không λ1, λ2, . . . , λm ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho luôn có (*)???. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 71 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Tính chất của cơ sở Nếu   a11λ1 + a21λ2 + + am1λm = 0   a12λ1 + a22λ2 + + am2λm = 0    a1kλ1 + a2kλ2 + + amkλm = 0 thì ta sẽ có (*). Hệ thuần nhất này có k phương trình mà k < m (m - số ẩn) nên hệ có nghiệm không tầm thường, điều này có nghĩa là tồn tại λ1, λ2, . . . , λm không đồng thời bằng 0 sao cho luôn có (*). Vậy các véctơ y1, y2, , ym phụ thuộc tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 72 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Tính chất của cơ sở y1, y2, , ym là các tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xk y , y , , y phụ thuộc m > k 1 2 m tuyến tính y , y , , y độc lập 1 2 m m k tuyến tính 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 73 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ Trong không gian véc tơ E, tập N = {2x + y, x + y, 3x − 2y} ĐLTT hay PTTT? Các véc tơ của N là THTT của M = {x, y} và số véc tơ của N lớn hơn số véc tơ của M nên N PTTT. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 74 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Định lý Cho E là một K-kgv hữu hạn chiều, số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau. Chứng minh. Giả sử E có 2 cơ sở với số véctơ khác nhau S = {x1, x2, , xn}; H = {y1, y2, , ym}. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 75 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ y1, y2, , ym là các tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xn y , y , , y độc lập 1 2 m m n tuyến tính 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 76 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ x1, x2, , xn là các tổ hợp tuyến tính của y1, y2, , ym x , x , , x độc lập 1 2 n n m tuyến tính 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 77 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản NHỮNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 78 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản E là K-kgv, dim(E) = n. ∀ tập có số véctơ lớn hơn n 1 tập ĐLTT thì số véctơ n đều PTTT 6 ∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n 1 tập là tập sinh của E thì đều không là tập sinh của E. số véctơ > n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 79 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản E là K-kgv, dim(E) = n. 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E. 1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E. M = {x1, x2, , xk } (k < n) ĐLTT, x không là THTT của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT Có thể bổ sung thêm n − k véctơ vào 1 tập gồm k(k < n) véctơ độc lập tuyến tính để tạo nên 1 cơ sở của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 80 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản E là K-kgv, dim(E) = n. Nếu M = {x1, x2, , xm} (m > n) là tập sinh của E, xi là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ xi ta 0 được M = M\{xi } là tập sinh của E. Nếu M = {x1, x2, , xm} là tập sinh của E thì M chứa một cơ sở của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 81 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản CHỨNG MINH NHỮNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 82 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản Mọi tập có số véctơ lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến tính. Cơ sở của E là e1, e2, , en. M = {y1, y2, , ym} là các tổ hợp tuyến tính của e1, e2, , en y , y , , y phụ thuộc m > n 1 2 m tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 83 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản Mọi tập có số véctơ nhỏ hơn n đều không là tập sinh của E. Cơ sở của E là e1, e2, , en. Phản chứng: Giả sử M là tập sinh của E e1, e2, , en là các tổ hợp tuyến tính của M = {y1, y2, , ym} e , e , , e phụ thuộc n > m 1 2 n tuyến tính. VÔ LÝ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 84 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản Một tập của E gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E. M = {y1, y2, , yn} là tập sinh của E. ∀x ∈ E đều biểu diễn tuyến tính qua y1, y2, , yn λ1y1 + λ2y2 + + λnyn + λn+1x = 0 ⇒ λn+1 6= 0. y1, y2, , yn, x có số véctơ >n nên phụ thuộc tuyến tính ⇒ ∃λi ∈ K, i = 1, n + 1 không đồng thời bằng 0 sao cho λ1y1 + λ2y2 + + λnyn + λn+1x = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 85 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản Một tập của E gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E. M = {y1, y2, , yn} độc lập tuyến tính. PHẢN CHỨNG: Giả sử M phụ thuộc tuyến tính yn biểu diễn tuyến tính qua y1, y2, , yn−1 ∀x ∈ E đều biểu diễn tuyến tính qua y1, y2, , yn ⇒ ∀x ∈ E đều biểu diễn tuyến tính qua y1, y2, , yn−1 y1, y2, , yn−1 là tập sinh của E ⇒ VÔ LÝ vì n − 1 < n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 86 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản M = {x1, x2, , xk } (k < n) ĐLTT, x không là THTT của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT M ∪ {x} = {x1, x2, , xk , x} ĐLTT. λ1x1 + λ2x2 + + λk xk + λk+1x = 0 λk+1 = 0, vì nếu ngược lại, x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xk . λ1x1 + λ2x2 + + λk xk = 0 mà x1, x2, , xk ĐLTT nên λ1 = λ2 = = λk = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 87 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản Có thể bổ sung thêm n − k véctơ vào 1 tập gồm k(k k 1 2 n tuyến tính. VÔ LÝ ⇒ ∃ei không là THTT của k véctơ của M TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 88 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản M = {x1, x2, , xk} (k < n) ĐLTT, ei không là 0 THTT của k véctơ của M khi đó M = M ∪ {ei } ĐLTT 0 Nếu k + 1 = n thì M là cơ sở của E . Nếu k + 1 < n thì lặp lại quá trình đó đối với M0 để có M00 gồm k + 2 véctơ ĐLTT. Quá trình này diễn ra đến khi có được n véc-tơ là cơ sở của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 89 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản Nếu M = {x1, x2, , xm} (m > n) là tập sinh của E, xi là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ xi ta 0 được M = M\{xi } là tập sinh của E. ∀x ∈ E đều biểu diễn tuyến tính qua x1, x2, , xi−1, xi , xi+1, , xm xi biểu diễn tuyến tính qua x1, x2, , xi−1, xi+1, , xm ⇒ ∀x ∈ E đều biểu diễn tuyến tính qua x1, x2, , xi−1, xi+1, , xm TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 90 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Những định lý cơ bản Nếu M = {x1, x2, , xm} là tập sinh của E thì M chứa một cơ sở của E. Nếu M độc lập tuyến tính thì nó là cơ sở. Nếu M PTTT thì có 1 véctơ là THTT của những véctơ 0 còn lại. Giả sử đó là x1 ⇒ M = M\{x1} vẫn là tập sinh của E. Nếu M0 ĐLTT thì nó là cơ sở. Nếu M0 PTTT thì ta lặp lại quá trình trên cho đến khi nhận được n véc-tơ là cơ sở của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 91 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ Hệ M = {(1, 1, 1), (1, 1, 5)} có là cơ sở của R3 không? Không. Vì hệ M có số véctơ bằng 2<n=3 nên M không là tập sinh của R3 ⇒ M không là cơ sở của R3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 92 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ Hệ M = {(1, 1, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 1)} có là cơ sở của R3 không? 1 1 2 Hệ M độc lập tuyến tính vì 1 3 1 = −1 =6 0. 1 2 1 Vậy hệ M có 3 véctơ độc lập tuyến tính nên là cơ sở của R3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 93 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ Hệ M = {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)} có là cơ sở của R3 không? 1 4 7 Hệ M phụ thuộc tuyến tính vì 2 5 8 = 0. 3 6 9 Vậy hệ M có 3 véctơ phụ thuộc tuyến tính nên là không là cơ sở của R3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 94 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ Hệ M = {(1, 2, 3), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)} có là cơ sở của R3 không? Hệ M có 4 véctơ > 3 (số chiều) nên M phụ thuộc tuyến tính. Do đó M không là cơ sở của R3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 95 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ Tìm tất cả m để M = {x2 + x + 1, 2x + 1, x2 + 2x + m} là cơ sở của P2(x)? Số chiều dim(P2(x)) = 3 nên để M là cơ sở của P2(x) thì M phải độc lập tuyến tính. 1 0 1 3 ⇒ 1 2 2 =6 0 ⇔ 2m − 3 =6 0 ⇔ m =6 2 1 1 m TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 96 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Ví dụ Cho M = {(1, 1, 1, 1), (−1, 0, 2, −3), (3, 3, 1, 0)}; N = {(−2, 4, 1, 1), (0, 0, 0, 0), (3, 1, 7, 3)}; P = {(1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2), (3, 2, 0, 1)}. Có thể bổ sung thêm 1 véctơ vào hệ nào để được cơ sở của R−kgv R4? Để có thể bổ sung thêm véctơ vào hệ để được cơ sở thì hệ đó phải độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 97 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Xét hệ M. Lập AM = ((1, 1, 1, 1)T , (−1, 0, 2, −3)T , (3, 3, 1, 0)T ) ⇒ r(AM) = 3 ⇒ M độc lập tuyến tính ⇒ Có thể bổ sung thêm 1 véctơ vào hệ M để được cơ sở của R−kgv R4. Xét hệ N. Hệ này có 1 véctơ bằng (0, 0, 0, 0) nên phụ thuộc tuyến tính ⇒ Không thể bổ sung thêm 1 véctơ vào hệ N để được cơ sở của R−kgv R4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 98 / 112
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ Ví dụ Xét hệ P. Ta thấy (2, 2, 2, 2) = 2.(1, 1, 1, 1) + 0.(3, 2, 0, 1) ⇒ P phụ thuộc tuyến tính ⇒ Không thể bổ sung thêm 1 véctơ vào hệ M để được cơ sở của R−kgv R4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 99 / 112
Hạng của một hệ véctơ Định nghĩa Định nghĩa Cho tập M = {x1, x2, , xp} ⊂ E. Tập N = {xi1, xi2, , xir } được gọi là tập con độc lập tuyến tính tối đại của M nếu và chỉ nếu N độc lập tuyến tính và mọi véctơ của M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của N. Định nghĩa Hạng của một hệ véctơ của một K-kgv E là số véctơ độc lập tuyến tính tối đại của nó. Kí hiệu r(M). Nếu M = {0} thì coi hạng của M bằng 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 100 / 112
Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P3(x) cho hệ 2 H = {p1(x) = 5x, p2(x) = x + 3x , p3(x) = 2 2 4x − 5x , p4(x) = x + 6x}. Tìm hạng của H. p1(x), p2(x) độc lập tuyến tính. Vì từ λ1p1(x) + λ2p2(x) = 0 2 ⇒ 3λ2x + (5λ1 + λ2)x = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 0. p1(x), p2(x), p3(x), p4(x) đều là tổ hợp tuyến tính của p1(x), p2(x) Nên hạng của H bằng2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 101 / 112
Hạng của một hệ véctơ Hệ các véctơ cột và hệ các véctơ hàng Hạng của hệ các véctơ cột và hệ các véctơ hàng Định lý Cho ma trận A ∈ Mm×n(K). Khi đó nếu gọi rh và rc tương ứng là hạng của các véctơ hàng và các véctơ cột tương ứng của A thì rank(A) = rh = rc. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 102 / 112
Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R4 tìm hạng của hệ các véctơ sau: x1 = (1, 2, 4, 0), x2 = (3, 2, 1, 2), x3 = (2, 0, −1, 4), x4 = (1, −2, −5, 4), x5 = (5, 2, 0, 6)  1 2 4 0   1 2 4 0   3 2 1 2   0 −4 −11 2    BĐSC hàng    2 0 −1 4  −−−−−−−−→  0 0 2 2  ⇒      1 −2 −5 4   0 0 0 0  5 2 0 6 0 0 0 0 rA = 3 nên hạng của hệ các véctơ cũng bằng3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 103 / 112
Hạng của một hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Cho A ∈ M5×6(R). Gọi M là họ các véc tơ hàng của A; N là họ các véc tơ cột của A. Biết hạng của A bằng 5. Khẳng định nào sau đây luôn đúng? 1 M độc lập tuyến tính, N phụ thuộc tuyến tính. 2 M, N đều độc lập tuyến tính. 3 M, N đều phụ thuộc tuyến tính. 4 Các câu kia đều sai. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 104 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ Định nghĩa Cho K-kgv E, dim(E) = n. B = {e1, e2, , en} là một cơ sở có sắp xếp thứ tự của E. Như vậy n P ∀x ∈ E, ∃x1, x2, , xn ∈ K : x = xi ei . Các số i=1 xi , (i = 1, 2, , n) được xác định duy nhất và được gọi là tọa độ của véctơ x trong cơ sở B. Kí   x1    x2  hiệu [x]B =  .   .  xn TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 105 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ Định lý Với mọi ∀x ∈ E, B là một cơ sở của E thì 1 Tọa độ [x]B là duy nhất. 2 [αx]B = α[x]B, ∀α ∈ K. 3 [x + y]B = [x]B + [y]B, ∀x, y ∈ E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 106 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Ví dụ Tìm tọa độ của véctơ x = (6, 5, 4) trong cơ sở B của R3: e1 = (1, 1, 0), e2 = (2, 1, 3), e3 = (1, 0, 2) Tìm x1, x2, x3 để x = (6, 5, 4) = x1(1, 1, 0) + x2(2, 1, 3) + x3(1, 0, 2)  x + 2x + x = 6  x = 3  1 2 3  1 ⇔ x1 + x2 = 5 ⇔ x2 = 2  3x2 + 2x3 = 4  x3 = −1 T Vậy [x]B = (3, 2, −1) . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 107 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho cơ sở 2 p1(x) = 1 + x, p2(x) = 1 − x, p3(x) = x + x. Tìm tọa độ của véctơ p(x) = x2 + 7x − 2 p(x) = λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) 2 2 ⇔ x +7x −2 = λ1(1+x)+λ2(1−x)+λ3(x +x)  λ = 1  λ = 2  3  1 ⇔ λ1 − λ2 + λ3 = 7 ⇔ λ2 = −4  λ1 + λ2 = −2  λ3 = 1 T Vậy [p(x)]B = (2, −4, 1) . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 108 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ma trận chuyển cơ sở Ma trận chuyển cơ sở Cho K-kgv E, B = {e1, e2, , en} và 0 0 0 0 B = {e1, e2, , en} là 2 cơ sở của E. Giả sử giữa B và B0 có mối liên hệ n 0 X ei = ski ek = s1i e1+s2i e2+ +sni en, i = 1, 2, n. k=1  e0 = s e + s e + + s e  1 11 1 21 2 n1 n ⇔  0 en = s1ne1 + s2ne2 + + snnen TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 109 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ma trận chuyển cơ sở Định nghĩa   s11 s1i s1n    s21 s2i s2n  Ta gọi ma trận S =     sn1 sni snn được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở B sang B0. Ký hiệu S = Pass(B, B0). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 110 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau Cho K-kgv E, B = {e1, e2, , en} và 0 0 0 0 B = {e1, e2, , en} là 2 cơ sở của E. Giả sử x ∈ E, khi đó n P T x = xkek hay [x]B = (x1, x2, , xn) và k=1 n P 0 0 0 0 0 T x = xi ei hay [x]B0 = (x1, x2, , xn) i=1 Hãy tìm mối liên hệ giữa [x]B và [x]B0? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 111 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau n X 0 0 x = xi ei i=1 0 0 0 0 0 0 = x1e1 + x2e2 + + xnen 0 0 = x1(s11e1 +s21e2 + +sn1en)+ x2(s12e1 +s22e2 + 0 + sn2en)+ + xn(s1ne1 + s2ne2 + + snnen) 0 0 0 0 0 = (s11x1 + s12x2 + + s1nxn)e1 + (s21x1 + s22x2 + 0 0 0 0 + s2nxn)e2 + + (sn1x1 + sn2x2 + + snnxn)en n X = xkek = x1e1 + x2e2 + + xnen k=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 112 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Mối liên hệ giữa tọa độ của véctơ trong 2 cơ sở khác nhau  0 0 0  x1 = s11x1 + s12x2 + + s1nxn  0 0 0  x2 = s21x1 + s22x2 + + s2nxn   0 0 0  xn = sn1x1 + sn2x2 + + snnxn      0  x1 s11 s12 s1n x1      0   x2   s21 s22 s2n   x2   .  =    .   .     .  0 xn sn1 sn2 snn xn −1 ⇒ [x]B = S[x]B0, [x]B0 = S [x]B. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 113 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho 2 cơ sở B = {2x2 + x, x2 + 3, 1}, B0 = {x2 + 1, x − 2, x + 3} và véctơ p(x) = 8x2 − 4x + 6. 1 Tìm ma trận chuyển cơ sở S từ cơ sở B sang B0. 0 2 Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B, B . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 114 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ 0 2 0 0 Ta có e1 = x + 1, e2 = x − 2, e3 = x + 3 và 2 2 e1 = 2x + x, e2 = x + 3, e3 = 1. Ta sẽ tìm tọa 0 0 0 độ của e1, e2, e3 theo cơ sở B tức là  0 e1 = s11e1 + s21e2 + s31e3  0 ⇔ e2 = s12e1 + s22e2 + s32e3  0 e3 = s13e1 + s23e2 + s33e3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 115 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ 0 e1 = s11e1 + s21e2 + s31e3 2 2 2 ⇔ s11(2x + x) + s21(x + 3) + s31.1 = x + 1  2s + s = 1  11 21 ⇔ s11 = 0  3s21 + s31 = 1 ⇔ s11 = 0, s21 = 1, s31 = −2.       2 1 0 s11 1 Dạng ma trận  1 0 0   s21  =  0  0 3 1 s31 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 116 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ 0 e2 = s12e1 + s22e2 + s32e3 2 2 ⇔ s12(2x + x) + s22(x + 3) + s32.1 = x − 2  2s + s = 0  12 22 ⇔ s12 = 1  3s22 + s32 = −2 ⇔ s12 = 1, s22 = −2, s32 = 4.       2 1 0 s12 0 Dạng ma trận  1 0 0   s22  =  1  0 3 1 s32 −2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 117 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ 0 e3 = s13e1 + s23e2 + s33e3 2 2 ⇔ s13(2x + x) + s23(x + 3) + s33.1 = x + 3  2s + s = 0  13 23 ⇔ s13 = 1  3s23 + s33 = 3 ⇔ s13 = 1, s23 = −2, s33 = 9.       2 1 0 s13 0 Dạng ma trận  1 0 0   s23  =  1  0 3 1 s33 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 118 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ Vậy ma trận chuyển cơ sở S từ cơ sở B sang B0 là  0 1 1  S =  1 −2 −2  −2 4 9  2 1 0   1 0 0  Chú ý.  1 0 0  .S =  0 1 1  0 3 1 1 −2 3 −1  2 1 0   1 0 0  ⇒ S =  1 0 0  .  0 1 1  0 3 1 1 −2 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 119 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ 2. Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B, B0. Tọa độ của p(x) trong cơ sở B là λ1, λ2, λ3 thỏa p(x) = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3 2 2 2 ⇔ λ1(2x + x) + λ2(x + 3) + λ3.1 = 8x − 4x + 6  2λ + λ = 8  1 2 ⇔ λ1 = −4  3λ2 + λ3 = 6 ⇔ λ1 = −4, λ2 = 16, λ3 = −42. T ⇒ [p(x)]B = (−4, 16, −42) . Tọa độ của p(x) trong cơ sở B0 là −1 T [p(x)]B0 = S .[p(x)]B = (8, −2, −2) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 120 / 112
Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 121 / 112