›
›

Bài giảng Không gian véctơ con. Tổng và giao của các không gian véctơ con - TS. Lê Xuân Đại

pdf 49 trang phuongnguyen 2080
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Không gian véctơ con. Tổng và giao của các không gian véctơ con - TS. Lê Xuân Đại", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_khong_gian_vecto_con_tong_va_giao_cua_cac_khong_gi.pdf

Nội dung text: Bài giảng Không gian véctơ con. Tổng và giao của các không gian véctơ con - TS. Lê Xuân Đại

  1. KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM GIAN— 2013. VÉCTƠ 1 CON / 53
  2. Nội dung 1 Không gian véc-tơ con: bao tuyến tính, không gian nghiệm của hệ thuần nhất 2 Tổng và giao của các không gian véc-tơ con TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM GIAN— 2013. VÉCTƠ 2 CON / 53
  3. Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n. ∀ tập có số véctơ lớn hơn n 1 tập ĐLTT thì số véctơ n đều PTTT 6 ∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n 1 tập là tập sinh của E thì đều không là tập sinh của E. số véctơ > n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM GIAN— 2013. VÉCTƠ 3 CON / 53
  4. 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E. 1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E. M = {x1, x2, , xk } (k n) là tập sinh của E, xi là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ xi ta 0 được M = M\{xi } là tập sinh của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM GIAN— 2013. VÉCTƠ 4 CON / 53
  5. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Định nghĩa không gian véctơ con Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F ⊂ E. Ta nói F là một không gian véctơ con của E khi và chỉ khi 1 F =6 ∅ 2 ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F , λx ∈ F . Ký hiệu F là một K-kgvc của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM GIAN— 2013. VÉCTƠ 5 CON / 53
  6. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Định nghĩa không gian véctơ con Định lý Giả sử E là một K-kgv, F ⊂ E. Nếu F là một K-kgvc của E thì F là một K−kgv với luật 1 + : F × F → F (x, y) 7−→ x + y 2 • : K × F → F (λ, x) 7−→ λ.x cảm sinh bởi các luật của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM GIAN— 2013. VÉCTƠ 6 CON / 53
  7. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ F = R × {0} = {(x1, x2): x1 ∈ R, x2 = 0} là1 không gian véctơ con của R−kgv R2. Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F =6 ∅. Với mọi x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F thì x+y = (x1+y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F . Vậy F là không gian véctơ con của R2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM GIAN— 2013. VÉCTƠ 7 CON / 53
  8. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ 3 F = {(x1, x2, x3) ∈ R : 2x1 − 2x2 + x3 = 0} là1 không gian véctơ con của R−kgv R3. Ta có F ⊂ R3, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F =6 ∅. ∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F ⇒ 2x1 − 2x2 + x3 = 0 và 2y1 − 2y2 + y3 = 0. Từ đó, suy ra x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3), 2(x1 + y1) − 2(x2 + y2) + (x3 + y3) = (2x1−2x2+x3)+(2y1−2y2+y3) = 0 ⇒ x +y ∈ F , TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM GIAN— 2013. VÉCTƠ 8 CON / 53
  9. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ ∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx3), khi đó 2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = 0 ⇒ λx ∈ F . Vậy F là không gian véctơ con của R3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM GIAN— 2013. VÉCTƠ 9 CON / 53
  10. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ F = {(x1, x2, x3): x1, x2, x3 ∈ R, x1 +2x2 +x3 = 1} không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3. Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F thì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và (x1 + y1) + 2(x2 + y2) + (x3 + y3) = (x1 + 2x2 + x3) + (y1 + 2y2 + y3) = 1 + 1 = 2. Do đó x + y ∈/ F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 10 CON / 53
  11. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Bao tuyến tính Bao tuyến tính Định lý Cho S = {x1, x2, , xn} ⊂ E, E− là một K-kgv. Khi đó W = = {x ∈ E, x = n P λi xi , ∀λi ∈ K, i = 1, 2, , n} là một không i=1 gian véctơ con của E. Ta gọi W là một bao tuyến tính của tập {x1, x2, , xn}. Kí hiệu W = span(S) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 11 CON / 53
  12. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Bao tuyến tính Chứng minh 1 0 = 0.x1 + 0.x2 + + 0.xn ⇒ 0 ∈ W ⇒ W =6 ∅. n n P P 2 ∀x, y ∈ W ⇒ x + y = λi xi + γi xi = i=1 i=1 n P (λi + γi )xi ⇒ x + y ∈ W . i=1 n P 3 ∀λ ∈ K, ∀x ∈ W ⇒ λx = λ λi xi = i=1 n P (λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W . i=1 Vậy W là một không gian véctơ con của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 12 CON / 53
  13. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Trong R − kgv R3 cho M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định . Giải. = {x ∈ R3, x = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + λ3(0, 0, 1), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R3, x = (λ1, λ1 + λ2, λ1 + λ2 + λ3), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 13 CON / 53
  14. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Trong R − kgv P2(x) cho M = {(x − 2), (x − 2)2}. Xác định . Giải. 2 = {λ1(x −2)+λ2(x −2) , ∀λ1, λ2 ∈ R} = 2 {λ2x +(λ1 −4λ2)x +(−2λ1 +4λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 14 CON / 53
  15. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Hệ quả Cho E là một K-kgv, dim(E) = n, F là không gian véctơ con của E thì dim(F ) 6 n. Chứng minh. Do F ⊂ E nên mọi tập con độc lập tuyến tính của F đều có số phần tử 6 n. Gọi B = {x1, x2, , xk}(k 6 n) là 1 tập con độc lập tuyến tính của F có số phần tử lớn nhất. Để chứng minh B là cơ sở của F ta chỉ cần chứng minh B là tập sinh của F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 15 CON / 53
  16. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Chứng minh B là tập sinh của F . Phản chứng. Với mọi ∀x ∈ F B = {x1, x2, , xk} (k k. (trái với giả thiết k lớn nhất). Do đó, ∀x ∈ F đều là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B ⇒ B là tập sinh của F  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 16 CON / 53
  17. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho không gian con F = {p(x) ∈ P2(x): p(1) = 0, p(−1) = 0}. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con F . ∀p(x) = ax2 + bx + c ∈ F , ta có p(1) = a + b + c = 0 và p(−1) = a − b + c = 0. Giải hệ phương trình  a + b + c = 0  a = −c ⇔ a − b + c = 0 b = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 17 CON / 53
  18. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Vậy p(x) = c(−x2 + 1). Do đó {−x2 + 1} là tập sinh của F . −x2 + 1 =6 0 nên luôn độc lập tuyến tính. Như vậy, −x2 + 1 là 1 cơ sở của F và số chiều dim(F ) = 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 18 CON / 53
  19. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W của R3 cho bởi W = {(x1, x2, x3): x1 + x2 + x3 = 0} Để tìm cơ sở của W ta giải phương trình x1 + x2 + x3 = 0 ⇔ x1 = −x2 − x3. Nghiệm cơ sở là (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1). Ta sẽ chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là cơ sở của W . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 19 CON / 53
  20. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Hai véctơ (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) độc lập tuyến tính. Ta chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) sinh ra W . Thật vậy, ∀x = (x1, x2, x3) ∈ W thì x = x2(−1, 1, 0) + x3(−1, 0, 1). Như vậy, (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là 1 cơ sở của W và số chiều dim(W ) = 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 20 CON / 53
  21. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Không gian nghiệm của hệ thuần nhất Định lý Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm m phương trình và n ẩn Am×nXn×1 = 0m×1. Khi đó các nghiệm của hệ phương trình này tạo thành không gian véctơ con của không gian K n. Định lý Không gian véctơ nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tổng quát có số chiều bằng n − r trong đó r = rank(A) và n là số ẩn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 21 CON / 53
  22. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Giải hệ tìm nghiệm của không gian nghiệm  x + 2x − x + x = 0  1 2 3 4 2x1 + 4x2 − 3x3 = 0  x1 + 2x2 + x3 + 5x4 = 0     1 2 −1 1 h2→h2−2h1 1 2 −1 1 h3→h3−h1  2 4 −3 0  −−−−−−→  0 0 −1 −2  1 2 1 5 0 0 2 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 22 CON / 53
  23. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ  1 2 −1 1  h3→h3+2h2 −−−−−−→  0 0 −1 −2  ⇒ x1, x3 là biến cơ 0 0 0 0 sở, x2, x4 là biến tự do. Đặt x2 = α, x4 = β         x1 −2α − 3β −2 −3  x2   α   1   0    =   = α   + β    x3   −2β   0   −2  x4 β 0 1 T T Vậy X1 = (−2, 1, 0, 0) và X2 = (−3, 0, −2, 1) là cơ sở của không gian nghiệm. Số chiều của không gian nghiệm của hệ này là2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 23 CON / 53
  24. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính Số chiều của bao tuyến tính và hạng của hệ véctơ Định lý Giả sử M = {x1, x2, , xp} ⊂ E có hạng r và W = là không gian véctơ con sinh bởi M. Khi đó dim(W ) = r. Chứng minh. Giả sử Mr = {xi1, xi2, xir } là 1 tập con độc lập tuyến tính tối đại của M. Chứng minh Mr sinh ra W . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 24 CON / 53
  25. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính Vì Mr độc lập tuyến tính tối đại nên mỗi véctơ thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr ⇒ mọi véctơ của W là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của M thì cũng là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của Mr . Có nghĩa là W = ⇒ W = . Mr độc lập tuyến tính. Mr là tập sinh của W . ⇒ Mr là cơ sở của W ⇒ dim(W ) = r = rank(M). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 25 CON / 53
  26. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính Tìm cơ sở và số chiều của không gian con M của kgv E sinh bởi m véctơ x1, x2, , xm : M = 1 Lấy một cơ sở B = {e1, e2, , en} bất kỳ của E. Tìm [x1]B, [x2]B, , [xm]B 2 Xét không gian hàng của ma trận T A = ([x1]B, [x2]B, , [xm]B) 3 Biến đổi A về dạng bậc thang từ đó xác định r(A) và cơ sở của M, số chiều của M bằng r(A). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 26 CON / 53
  27. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho p1(x) = 2 2 x + 2x + 1, p2(x) = 2x + x − 1, p3(x) = 4x + 4. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi 3 véctơ trên. 2 Xét cơ sở chính tắc x , x, 1 của P2(x), vậy ma  1 2 1  trận các cột A là A =  2 1 −1  0 4 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 27 CON / 53
  28. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ  1 2 1  h2→h2−2h1 h3→h3−4/3h2 A −−−−−−→  0 −3 −3  −−−−−−−→ 0 4 4  1 2 1   0 −3 −3  = B. Ma trận B có hàng 1 và 0 0 0 hàng 2 độc lập tuyến tính và là cơ sở của không gian con sinh bởi 3 véctơ p1(x), p2(x), p3(x). Vậy p1(x), p2(x) là cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi 3 véctơ trên là2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 28 CON / 53
  29. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Hạng của ma trận phụ hợp Hạng của ma trận phụ hợp Định lý Cho A ∈ Mn(K). Khi đó 1 Nếu r(A) = n thì r(PA) = n 2 Nếu r(A) = n − 1 thì r(PA) = 1 3 Nếu r(A) < n − 1 thì r(PA) = 0. 1. r(A) = n ⇒ det(A) =6 0. det(PA) = n−1 (det(A)) ⇒ det(PA) =6 0 ⇒ r(PA) = n. 3. r(A) < n − 1 ⇒ mọi định thức con cấp n − 1 đều bằng 0 ⇒ PA = 0 ⇒ r(PA) = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 29 CON / 53
  30. Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Hạng của ma trận phụ hợp 2. Ta có A.PA = det(A). Nếu r(A) = n − 1 thì det(A) = 0. Do đó A.PA = 0, từ đó suy ra các véc tơ cột của ma trận PA là nghiệm của hệ phương trình AX = 0. Suy ra rank(PA) = hạng các véc tơ cột của ma trận PA nhỏ hơn hoặc bằng số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất AX = 0 ⇒ r(PA) 6 n − r(A) = 1. Mặt khác, do r(A) = n − 1 nên A có ít nhất 1 định thức con cấp n − 1 khác không hay PA =6 0. Suy ra r(PA) > 1. Vậy r(PA) = 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 30 CON / 53
  31. Tổng và giao các không gian con Định nghĩa Định lý Giả sử E là một K-kgv; (Fi )i∈I là một họ các T không gian véctơ con của E, thế thì giao Fi là i∈I một không gian véctơ con của E. T Chứng minh. Đặt F = Fi i∈I 1 F =6 ∅ vì ∀i ∈ I , 0 ∈ Fi ⇒ 0 ∈ F . 2 ∀x, y ∈ F ⇒ ∀i ∈ I , x, y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ Fi ⇒ x + y ∈ F 3 ∀i ∈ I , x ∈ Fi ⇒ ∀λ ∈ K, λx ∈ Fi ⇒ λx ∈ F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 31 CON / 53
  32. Tổng và giao các không gian con Định nghĩa Định nghĩa Giả sử E là một K−kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta ký hiệu F = F1 + F2 = = {x ∈ E, ∃(x1, x2) ∈ F1 × F2, x = x1 + x2} được gọi là tổng của F1 và F2. Định lý Tổng F = F1 + F2 là một không gian véctơ con của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 32 CON / 53
  33. Tổng và giao các không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Giả sử E là một K-kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E. Ta nói rằng, F1, F2 có tổng trực T tiếp khi và chỉ khi F1 F2 = {0}. Khi đó ta ký hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2. Ví dụ K = R, E = R3, các không gian véctơ con F1 = R × {0} × {0}, F2 = {0} × R × {0} có T F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R × {0} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 33 CON / 53
  34. Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con Định nghĩa Hai không gian véctơ con F1, F2 của K-kgv E được gọi là bù nhau trong E  F1 + F2 = E ⇔ T ⇔ F1 ⊕ F2 = E. F1 F2 = {0} Ví dụ K = R, E = R2, các không gian véctơ con T F1 = R × {0}, F2 = {0} × R có F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R = R2 = E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 34 CON / 53
  35. Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con Số chiều của phần bù của không gian con Định lý Giả sử E là một K-kgv hữu hạn chiều, dim(E) = n, F là một không gian véctơ con của E, dim(F ) = p(p 6 n). Khi đó 1 F có ít nhất một phần bù trong E 2 Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 35 CON / 53
  36. Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con Hệ quả Giả sử E là một K-kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó dim(F ⊕ G) = dim(F ) + dim(G). Ta có F và G là 2 không gian véctơ con của E nên H = F ⊕ G cũng là không gian véctơ con của E ⇒ dim(H) = p 6 n. Mặt khác H = F ⊕ G nên G là phần bù của F trong H ⇒ dim(G) = p − dim(F ), ⇒ dim(F ) + dim(G) = p = dim(F ⊕ G). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 36 CON / 53
  37. Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con Hệ quả Giả sử E là một K-kgv hữu hạn chiều, F1, F2, , Fm là những không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp. Khi đó m X dim(F1 ⊕ F2 ⊕ ⊕ Fm) = dim(Fi ). i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 37 CON / 53
  38. Tổng và giao các không gian con Phần bù của không gian con Hệ quả Giả sử E là một K-kgv hữu hạn chiều, F và G là 2 không gian véctơ con của E. Nếu  F ⊂ G ⇒ F = G. dim(F ) = dim(G) Vì F ⊂ G nên F có ít nhất 1 phần bù H trong G và dim(H) = dim(G) − dim(F ) ⇒ dim(H) = 0 ⇒ H = {0}. Vậy G = F + H = F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 38 CON / 53
  39. Tổng và giao các không gian con Cơ sở và số chiều của tổng các không gian con Mối liên hệ giữa số chiều của tổng và giao của các không gian con Định lý Giả sử E là một K-kgv hữu hạn chiều, F và G là những không gian véctơ con của E. Khi đó dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 39 CON / 53
  40. Tổng và giao các không gian con Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R4 cho các véctơ u1 = (1, 2, 1, 1), u2 = (3, 6, 5, 7), u3 = (4, 8, 6, 8), u4 = (8, 16, 12, 16) và v1 = (1, 3, 3, 3), v2 = (2, 5, 5, 6), v3 = (3, 8, 8, 9), v4 = (6, 16, 16, 18). Đặt U = và V = . Tìm cơ sở và chiều của không gian U + V và U ∩ V . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 40 CON / 53
  41. Tổng và giao các không gian con Ví dụ Tìm cơ sở của U     1 2 1 1 1 2 1 1      3 6 5 7   0 0 2 4    →    4 8 6 8   0 0 0 0  8 16 12 16 0 0 0 0 Vậy dim(U) = 2 và 1 cơ sở của U là {(1, 2, 1, 1), (0, 0, 2, 4)} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 41 CON / 53
  42. Tổng và giao các không gian con Ví dụ Tìm cơ sở của V     1 3 3 3 1 3 3 3      2 5 8 6   0 −1 −1 0    →    3 8 8 9   0 0 0 0  6 16 16 18 0 0 0 0 Vậy dim(V ) = 2 và 1 cơ sở của V là {(1, 3, 3, 3), (0, −1, −1, 0)} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 42 CON / 53
  43. Tổng và giao các không gian con Ví dụ Không gian U + V là không gian sinh bởi các véctơ {(1, 2, 1, 1), (0, 0, 2, 4), (1, 3, 3, 3), (0, −1, −1, 0)}. Tìm cơ sở của U + V     1 2 1 1 1 2 1 1      0 0 2 4   0 1 2 2  A =   →    1 3 3 3   0 0 2 4  0 −1 −1 0 0 0 0 0 ⇒ r(A) = 3. Vậy dim(U + V ) = 3 và 1 cơ sở của U + V là {(1, 2, 1, 1), (0, 1, 2, 2), (0, 0, 2, 4)}. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 43 CON / 53
  44. Tổng và giao các không gian con Ví dụ Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V . u ∈ U ∩ V ⇔  u = α (1, 2, 1, 1) + α (0, 0, 2, 4) 1 2 ⇔ u = u = α3(1, 3, 3, 3) + α4(0, −1, −1, 0) α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4), và α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4) = α3(1, 3, 3, 3)+α4(0, −1, −1, 0) ⇔  u = α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4) α1 = α3 = α4 = 2α2 ⇒ u = α2(2, 4, 4, 6). Vậy dim(U ∩ V ) = 1 và 1 cơ sở của U ∩ V là (2, 4, 4, 6) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 44 CON / 53
  45. Tổng và giao các không gian con Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R4 cho U = {(x1, x2, x3, x4): x1 + x2 − 2x3 = 0 ∧ x1 − x2 − 2x4 = 0} và V = {(x1, x2, x3, x4): x1 = x2 = x3}. Tìm cơ sở và chiều của không gian U + V và U ∩ V . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 45 CON / 53
  46. Tổng và giao các không gian con Ví dụ Tìm cơ sở của U  1 1 −2 0   1 1 −2 0  → 1 −1 0 −2 0 −2 2 −2 Vậy dim(U) = 2 và 1 cơ sở của U là {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1)} Tìm cơ sở của V . Với ∀v ∈ V ⇒ v = α(1, 1, 1, 0) + β(0, 0, 0, 1) Vậy dim(V ) = 2 và 1 cơ sở của V là {(1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 46 CON / 53
  47. Tổng và giao các không gian con Ví dụ Không gian U + V là không gian sinh bởi các véctơ {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)}. Tìm cơ sở của U + V  1 1 1 0   1 1 1 0  A =  1 −1 0 1  →  0 −2 −1 1  0 0 0 1 0 0 0 1 ⇒ r(A) = 3. Vậy dim(U + V ) = 3 và 1 cơ sở của U + V là {(1, 1, 1, 0), (0, −2, −1, 1), (0, 0, 0, 1)}. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 47 CON / 53
  48. Tổng và giao các không gian con Ví dụ Tìm cơ sở và số chiều của U ∩ V . x ∈ U ∩ V ⇔  x1 + x2 − 2x3 = 0   x1 = x2 = x3 = α x1 − x2 − 2x4 = 0 ⇔ x4 = 0  x1 = x2 = x3 ⇒ x = α(1, 1, 1, 0). Vậy dim(U ∩ V ) = 1 và 1 cơ sở của U ∩ V là (1, 1, 1, 0) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 48 CON / 53
  49. Tổng và giao các không gian con Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP. KHÔNG HCM — GIAN 2013. VÉCTƠ 49 CON / 53