›
›

Bài giảng Hệ phương trình tuyến tính - TS. Lê Xuân Đại

pdf 60 trang phuongnguyen 2070
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Hệ phương trình tuyến tính - TS. Lê Xuân Đại", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_he_phuong_trinh_tuyen_tinh_ts_le_xuan_dai.pdf

Nội dung text: Bài giảng Hệ phương trình tuyến tính - TS. Lê Xuân Đại

  1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 1 / 60
  2. Nội dung 1 Hệ phương trình không thuần nhất - Phương pháp giải 2 Hệ phương trình thuần nhất - Phương pháp giải TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 2 / 60
  3. Khái niệm tổng quát Định nghĩa hệ phương trình Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn là hệ có dạng:  a x + a x + + a x + + a x = b  11 1 12 2 1j j 1n n 1   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = bi    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = bm (1) với aij là hệ số của hệ, bi là hệ số tự do của hệ, i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n; x1, x2, , xn là các biến số. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 3 / 60
  4. Khái niệm tổng quát Định nghĩa hệ phương trình Định nghĩa Ma trận A = (aij ) ∈ Mm×n(K) được gọi là ma trận hệ số của hệ (1). Ma trận   a a a a b 11 12 1j 1n 1       AB =  ai1 ai2 aij ain bi      am1 am2 amj amn bm m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 4 / 60
  5. Khái niệm tổng quát Định nghĩa hệ phương trình     x1 b1      x2   b2  Nếu đặt X =  .  và B =  .  thì hệ (1)  .   .  xn bm được viết dưới dạng ma trận Am×nXn×1 = Bm×1. Định nghĩa Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B =6 0. T Hệ thuần nhất luôn có nghiệm 0 0 0  và được gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 5 / 60
  6. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Một hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất có tính chất: Hoặc là vô nghiệm Hoặc là có nghiệm duy nhất Hoặc là vô số nghiệm TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 6 / 60
  7. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định nghĩa   α1    α2  Véctơ α =  . , αi ∈ K, i = 1, 2, , n được  .  αn gọi là 1 nghiệm của hệ (1) nếu Aα = B. Có nghĩa là khi thay x1 = α1, x2 = α2, , xn = αn vào hệ (1) ta thu được đồng nhất thức. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 7 / 60
  8. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định nghĩa Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm. Định nghĩa Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 8 / 60
  9. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định nghĩa Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương trình bằng nhau và ma trận hệ số là không suy biến. Tức là hệ có dạng  a x + a x + + a x + + a x = b  11 1 12 2 1i i 1n n 1   ai1x1 + ai2x2 + + aii xi + + ainxn = bi    an1x1 + an2x2 + + ani xi + + annxn = bn (2) trong đó A = (aij ) ∈ Mn(K) và detA 6= 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 9 / 60
  10. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer Định lý Cramer Định lý Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất detA x = i , i = 1, 2, , n trong đó ma trận A i detA i nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột T hệ số tự do B = b1 b2 bn a11 a12 a1i a1n a11 a12 b1 a1n |A| = ai1 ai2 aii ain ⇒ |Ai | = ai1 ai2 bi ain an1 an2 ani ann an1 an2 bn ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 10 / 60
  11. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer Chứng minh. Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A−1B T PA hay X = (x1 x2 xi xn) = .B =  detA A A A A   11 21 i1 n1 b   1    b  1  A A A A   2  |A|  1i 2i ii ni   .        bn A1n A2n Ain Ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 11 / 60
  12. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer 1 n hay x = P A b = i |A| ki k k=1 a a b a 11 12 1 1n 1 |A | i . ai1 ai2 bi ain = |A| |A| an1 an2 bn ann với i = 1, 2, , n Chú ý. Nếu B = 0, detA =6 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất X = 0. Nếu B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có vô số nghiệm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 12 / 60
  13. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer Ví dụ Giải hệ phương trình  2x − 2x − x = −1  1 2 3 x2 + x3 = 1  −x1 + x2 + x3 = −1 Giải. Ta có 2 −2 −1 |A| = 0 1 1 = 1 =6 0; −1 1 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 13 / 60
  14. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer −1 −2 −1 2 −1 −1 |A1| = 1 1 1 ; |A2| = 0 1 1 ; −1 1 1 −1 −1 1 2 −2 −1 |A3| = 0 1 1 ; −1 1 −1 Vậy |A | |A | |A | x = 1 = 2, x = 2 = 4, x = 3 = −3 1 |A| 2 |A| 3 |A| TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 14 / 60
  15. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn  a x + a x + + a x + + a x = b  11 1 12 2 1j j 1n n 1   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = bi    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = bm TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 15 / 60
  16. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Hệ phương trình tương đương Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1): 1 Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj ) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn. 2 Nhân vào một phương trình của hệ một số λ =6 0(hi → λhi ). 3 Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj ) thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 16 / 60
  17. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Kronecker-Capelli Định lý Kronecker-Capelli Định lý Luôn có r(AB) > r(A). Khi r(A) = r(AB) thì hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn (1) có nghiệm   a a a a b 11 12 1r 1n 1     trên hàng    ar1 ar2 arr ain br  −−−−−−→     am1 am2 amr amn bm TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 17 / 60
  18. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Kronecker-Capelli   c c c c d 11 12 1r 1n 1  0 c c c d   22 2r 2n 2         0 0 crr crn dr     0 0 0 0 dr+1      0 0 0 0 0 với cii =6 0, i = 1, 2, , r. Nếu dr+1 =6 0 thì hệ (1) vô nghiệm và r(AB) = r + 1 > r(A) = r. Nếu dr+1 = 0 thì hệ (1) có nghiệm và r(AB) = r(A) = r TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 18 / 60
  19. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss 1 Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ (1). 2 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến đổi ma trận mở rộng về ma trận có dạng bậc thang. 3 Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang. 4 Nếu r(AB) > r(A) thì hệ (1) vô nghiệm. 5 Nếu r(AB) = r(A) = r thì hệ có nghiệm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 19 / 60
  20. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss Nếu r = n (số biến) thì ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm biến xn sau đó xn−1, , x1 ta được 1 nghiệm duy nhất. Nếu r < n thì hệ có vô số nghiệm. Ta xác định: 1 r biến cơ sở - là các biến ứng với các cột chứa r phần tử cơ sở của ma trận bậc thang. 2 (n − r) biến tự do- là các biến ứng với các cột không chứa r phần tử cơ sở của ma trận bậc thang Cho (n − r) biến tự do những giá trị bất kỳ và giải hệ tìm các biến cơ sở. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 20 / 60
  21. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình   x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7   2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 6  3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 7   4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 18   1 2 3 4 7 h2→h2−2h1 h →h −3h   3 3 1  2 1 2 3 6  h4→h4−4h1 Giải.   −−−−−−→  3 2 1 2 7  4 3 2 1 18 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 21 / 60
  22. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss   1 2 3 4 7    0 −3 −4 −5 −8  h2→h2−h3   −−−−−→  0 −4 −8 −10 −14  0 −5 −10 −15 −10   1 2 3 4 7 h →h +4h   3 3 2  0 1 4 5 6  h4→h4+5h2   −−−−−−→  0 −4 −8 −10 −14  0 −5 −10 −15 −10 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 22 / 60
  23. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss  1 2 3 4 7  h3↔h4 h → 1 h  0 1 4 5 6  3 10 3   −−−−→  0 0 8 10 10  0 0 10 10 20     1 2 3 4 7 1 2 3 4 7  0 1 4 5 6  h4→h4−8h3  0 1 4 5 6    −−−−−−→   .  0 0 1 1 2   0 0 1 1 2  0 0 8 10 10 0 0 0 2 −6 ⇒ r(AB ) = r(A) =4 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 23 / 60
  24. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau   x + 2x + 3x + 4x = 7 x = 2  1 2 3 4  1  x + 4x + 5x = 6  x = 1 2 3 4 ⇔ 2  x3 + x4 = 2  x3 = 5    2x4 = −6  x4 = −3 Suy ra hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất T T (x1, x2, x3, x4) = (2, 1, 5, −3) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 24 / 60
  25. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình   x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1   x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1  3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 5   2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 4   1 2 −3 5 1 h2→h2−h1 h →h −3h   3 3 1  1 3 −13 22 −1  h4→h4−2h1 Giải.   −−−−−−→  3 5 1 −2 5  2 3 4 −7 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 25 / 60
  26. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss   1 2 −3 5 1    0 1 −10 17 −2     0 −1 10 −17 2  0 −1 10 −17 2   12 −3 5 1 h →h +h 3 3 2   h4→h4+h2  01 −10 17 −2  −−−−−→   .  0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 Hệ có vô số nghiệm vì r(AB) = r(A) =2 < 4. Biến cơ sở x1, x2. Biến tự do x3, x4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 26 / 60
  27. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1 x2 − 10x3 + 17x4 = −2 Chọn x3 = α, x4 = β, với α, β là các giá trị tùy ý, ta tính được  x2 = −2 + 10x3 − 17x4 = −2 + 10α − 17β x1 = 1 − 2x2 + 3x3 − 5x4 = 5 − 17α + 29β T Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm (x1, x2, x3, x4) = (5 − 17α + 29β, −2 + 10α − 17β, α, β)T , với α, β ∈ R tùy ý. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 27 / 60
  28. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình   x1 −2x2 +3x3 −4x4 = 2   3x1 +3x2 −5x3 +x4 = −3  −2x1 +x2 +2x3 −3x4 = 5   3x1 +3x3 −10x4 = 8 Giải. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 28 / 60
  29. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss   1 −2 3 −4 2 h2→h2−3h1 h →h +2h   3 3 1  3 3 −5 1 −3  h4→h4−3h1   −−−−−−→  −2 1 2 −3 5  3 0 3 −10 8   1 −2 3 −4 2    0 9 −14 13 −9  h2↔h3   −−−→  0 −3 8 −11 9  0 6 −6 2 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 29 / 60
  30.  Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss 1 −2 3 4 2 h →h +3h   3 3 2  0 −3 8 −11 9  h4→h4+2h2   −−−−−−→  0 9 −14 13 −9  0 6 −6 2 2   1 −2 3 4 2    0 −3 8 −11 9  h4→h4−h3   −−−−−→  0 0 10 −20 18  0 0 10 −20 20   1 −2 3 4 2  0 −3 8 −11 9    ⇒ r(AB ) = 4 > r(A) = 3  0 0 10 −20 18  0 0 0 0 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 30 / 60
  31. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau   x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 2   −3x2 + 8x3 − 11x4 = 9 10x − 20x = 18  3 4  0 = 2 Hệ này vô nghiệm nên hệ đã cho cũng vô nghiệm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 31 / 60
  32. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss Ví dụ Giải và biện luận hệ phương trình   x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1   x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2  x1 − x2 + 4x3 − x4 = m  2  4x1 + 3x2 − x3 + mx4 = m − 6m + 4 Giải. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 32 / 60
  33. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss   1 1 −1 2 1 h2→h2−h1 h →h −h   3 3 1  1 2 −3 4 2  h4→h4−4h1   −−−−−−→  1 −1 4 −1 m  2 4 3 −1 m m − 6m + 4   1 1 −1 2 1 h →h +2h   3 3 2  0 1 −2 2 1  h4→h4+h2   −−−−−−→  0 −2 5 −3 m − 1  2 0 −1 3 m − 8 m − 6m TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 33 / 60
  34. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss   1 1 −1 2 1    0 1 −2 2 1  h4→h4−h3   −−−−−→  0 0 1 1 m + 1  2 0 0 1 m − 6 m − 6m + 1   1 1 −1 2 1    0 1 −2 2 1     0 0 1 1 m + 1  2 0 0 0 m − 7 m − 7m TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 34 / 60
  35. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau   x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1   x2 − 2x3 + 2x4 = 1  x3 + x4 = m + 1  2  (m − 7)x4 = m − 7m TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 35 / 60
  36. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss 1 Nếu m − 7 =6 0 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất   x4 = m   x3 = m + 1 − x4 = 1  x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 3 − 2m   x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −1 2 Nếu m = 7 thì hệ đã cho tương đương với hệ  x + x − x + 2x = 1  1 2 3 4 x2 − 2x3 + 2x4 = 1  x3 + x4 = 8 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 36 / 60
  37. Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss Biến cơ sở x1, x2, x3. Biến tự do x4. Chọn x4 = t ta được   x4 = t   x3 = 8 − x4 = 8 − t  x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 17 − 4t   x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −8 + t Vậy khi m = 7 hệ đã cho có vô số nghiệm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 37 / 60
  38. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  a x + a x + + a x + + a x = 0  11 1 12 2 1j j 1n n   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = 0    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = 0 (3) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 38 / 60
  39. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Định nghĩa 1 Nghiệm tầm thường là nghiệm T X = 0 0 0  . 2 Nghiệm không tầm thường là nghiệm T X =6 0 0 0  . Hệ thuần nhất có tính chất: 1 hoặc là có nghiệm tầm thường 2 hoặc là có nghiệm không tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 39 / 60
  40. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Định nghĩa Định lý Hệ (3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A) < n, n− số biến. Thật vậy, nếu r(A) = n thì hệ chỉ có 1 nghiệm duy nhất là X = 0. Nếu r(A) < n thì hệ (3) có vô số nghiệm, đương nhiên trong đó có nghiệm không tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 40 / 60
  41. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Định nghĩa Hệ quả Nếu hệ (3) có số phương trình bằng số biến (m = n) thì hệ (3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi detA = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 41 / 60
  42. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản Hệ nghiệm cơ bản Nếu r(A) = r < n thì hệ (3) có nghiệm tổng quát là  x = ϕ (t , t , , t )  1 1 1 2 n−r  x = ϕ (t , t , , t )  2 2 1 2 n−r   xr = ϕr (t1, t2, , tn−r ) (4)   xr+1 = t1     xn = tn−r với t1, , tn−r tùy ý. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 42 / 60
  43. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản Trong (4) cho giá trị lần lượt t1 = 1, t2 = 0, , tn−r = 0 → X1, t1 = 0, t2 = 1, , tn−r = 0 → X2, t1 = 0, t2 = 0, , tn−r = 1 → Xn−r . n − r nghiệm X1, X2, , Xn−r được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất. Khi đó nghiệm tổng quát của hệ (3) là n−r P X = tkXk, tk là hằng số tùy ý. k=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 43 / 60
  44. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản Ví dụ Giải hệ phương trình   x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0   x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 7x5 = 0  2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 + 5x5 = 0   x1 + 5x2 + 7x3 + 6x4 + 10x5 = 0   1 3 3 2 4 h2→h2−h1   h3→h3−2h1  1 4 5 3 7  h4→h4−h1 Giải.   −−−−−−→  2 5 4 1 5  1 5 7 6 10 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 44 / 60
  45. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản   1 3 3 2 4   h3→h3+h2  0 1 2 1 3  h4→h4−2h2   −−−−−−→  0 −1 −2 −3 −3  0 2 4 4 6   1 3 3 2 4  13324   0 1 2 1 3  h →h +h   −−−−−→4 4 3  01213     0 0 0 −20   0 0 0 −2 0    0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 Biến cơ sở x1, x2, x4. Biến tự do x3, x5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 45 / 60
  46. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x + 3x + 3x + 2x + 4x = 0  1 2 3 4 5 x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0  −2x4 = 0  x = −2x − 3x  2 3 5 ⇔ x1 = 3x3 + 5x5  x4 = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 46 / 60
  47. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản Chọn x = t , x = t . Ta có nghiệm tổng quát 3 1 5 2  3t1 + 5t2  −2t − 3t   1 2    X (t1, t2) =  t1     0  t2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 47 / 60
  48. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản Hệ nghiệm cơ bản của hệ     3 5  −2   −3          X1 = X (1, 0) =  1  , X2 = X (0, 1) =  0  .      0   0  0 1 Nghiệm tổng quát được biểu diễn qua các nghiệm cơ bản X (t1, t2) = t1X1 + t2X2, ∀t1, t2 ∈ R TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 48 / 60
  49. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản   3t1 + 5t2  −2t − 3t   1 2    X (t1, t2) =  t1  =    0  t2     3 5  −2   −3          = t1.  1  + t2.  0  .      0   0  0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 49 / 60
  50. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản Ví dụ Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương đương  x + 2y + 5z = 0  x + 3y + 7z = 0 (1)  x + 4y + 9z = 0  3x + 8y + 19z = 0  2x + 5y + 12z = 0 (2)  3x + 9y + mz = 0 Giải. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 50 / 60
  51. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản Xét hệ (1)     1 2 5 h2→h2−h1 1 2 5 h3→h3−h1 h3→h3−2h2  1 3 7  −−−−−→  0 1 2  −−−−−−→ 1 4 9 0 2 4  1 2 5   0 1 2  0 0 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x + 2y + 5z = 0 y + 2z = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 51 / 60
  52. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản  x = −α  Đặt z = α ⇒ y = −2α  z = α TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 52 / 60
  53. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản Xét hệ (2)     3 8 19 1 3 7 h2→h2−2h1 h1→h1−h2 h3→h3−3h1  2 5 12  −−−−−→  2 5 12  −−−−−−→ 3 9 m 3 9 m  1 3 7   0 −1 −2  0 0 m − 21 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x + 3y + 7z = 0  y + 2z = 0  (m − 21)z = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 53 / 60
  54. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản Nếu m − 21 =6 0 thì hệ (2) có nghiệm tầm thường (x, y, z) = (0, 0, 0). Mà hệ (1) có vô số nghiệm nên sẽ có nghiệm khác 0. Suy ra 2 hệ đã cho không tương đương. Nếu m − 21 = 0 thì đặt  x = −β  z = β ⇒ y = −2β Do α, β là những số tùy  z = β ý nên ta thấy hệ (1) và hệ (2) có tập hợp nghiệm giống nhau và nghiệm của hệ (1) cũng chính là nghiệm của hệ (2) và ngược lại nên 2 hệ đã cho tương đương. Kết luận. m = 21. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 54 / 60
  55. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản Ví dụ Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương đương  x + 2y + 5z = 0  x + 3y + 7z = 0 (1)  x + 4y + 9z = 0  x + 4y + 9z = 0  x + 2y + 7z = 0 (2)  3x + 10y + mz = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 55 / 60
  56. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản Giải. Xét hệ (1)     1 2 5 h2→h2−h1 1 2 5 h3→h3−h1 h3→h3−2h2  1 3 7  −−−−−→  0 1 2  −−−−−−→ 1 4 9 0 2 4  1 2 5   0 1 2  0 0 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x + 2y + 5z = 0 y + 2z = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 56 / 60
  57. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản  x = −α  Đặt z = α ⇒ y = −2α  z = α Thay nghiệm của hệ (1) vào phương trình thứ 2 của hệ (2) ta thấy −α + 2(−2α) + 7α = 0 ⇔ 2α = 0. Vì α là số tùy ý nên chọn α =6 0 thì ta thấy nghiệm của hệ (1) không là nghiệm của hệ (2) nên 2 hệ trên không tương đương. Kết luận. Vậy không tồn tại m để 2 hệ đã cho tương đương. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 57 / 60
  58. Thực hành MatLab Thực hành MatLab Giải hệ Cramer X = inv(A) ∗ B Giải hệ phương trình bằng cách đưa ma trận mở rộng về dạng bậc thang rút gọn rref ([AB]) Tìm nghiệm của hệ thuần nhất AX = 0 bằng lệnh null(A, 0r 0) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 58 / 60
  59. Thực hành MatLab   1 3 3 2 4    1 4 5 3 7  A =    2 5 4 1 5  1 5 7 6 10 >> null(A, 0r 0)   3 5  −2 −3      ans =  1 0     0 0  0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 59 / 60
  60. Thực hành MatLab THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 60 / 60