›
›

Bài giảng Giải tích II (Phần 1)

pdf 63 trang phuongnguyen 3161
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích II (Phần 1)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_ii_phan_1.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích II (Phần 1)

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng GIẢI TÍCH II (lưu hành nội bộ) CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN,TÍCH PHÂN BỘI,TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ,TÍCH PHÂN ĐƯỜNG,TÍCH PHÂN MẶT,LÝ THUYẾT TRƯỜNG Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giải Hà Nội- 2009
  2. MỤC LỤC Mục lục 1 Chương 1 . Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học. . . . 5 1 Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọcphẳng . . . . . . 5 1.1 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong tại một điểm. 5 1.2 Độcongcủađườngcong. 6 1.3 Hìnhbaocủahọđườngcongphụthuôcmộtthamsố . . . . . . . . . . 7 2 Các ứng dụng của phép tínhvi phân trong hình họckhông gian . . 10 2.1 Hàmvéctơ 10 2.2 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng tham số 10 2.3 Phươngtrìnhpháptuyếnvàtiếpdiệncủamặtcong. . . . . . . . . . . 11 2.4 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng giao của hai mặt Chương2.Tíchphânbội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1 Tíchphânkép 15 1.1 Địnhnghĩa 15 1.2 TínhtíchphânképtronghệtoạđộDescartes . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Phépđổibiếnsốtrongtíchphânkép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Tíchphânbộiba 35 2.1 Địnhnghĩavàtínhchất 35 2.2 TínhtíchphânbộibatronghệtoạđộDescartes . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Phươngphápđổibiếnsốtrongtíchphânbộiba. . . . . . . . . . . . . 38 3 Cácứngdụngcủatíchphânbội 50 3.1 Tínhdiệntíchhìnhphẳng 50 3.2 Tínhthểtíchvậtthể 55 3.3 Tínhdiệntíchmặtcong 62 Chương3.Tíchphânphụthuộcthamsố . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1 Tíchphânxácđịnhphụthuộcthamsố. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.1 Giớithiệu 63 1
  3. 2 MỤC LỤC 1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . 63 1.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi. . . . 66 2 Tíchphânsuyrộngphụthuộcthamsố. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.1 Các tínhchấtcủatíchphânsuyrộngphụthuộcthamsố. . . . . . . . 67 2.2 Bàitập 68 3 TíchphânEuler 75 3.1 HàmGamma 75 3.2 HàmBeta 75 3.3 Bàitập 76 Chương4.Tíchphânđường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1 TíchphânđườngloạiI 79 1.1 Địnhnghĩa 79 1.2 CáccôngthứctínhtíchphânđườngloạiI . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1.3 Bàitập 80 2 TíchphânđườngloạiII 82 2.1 Địnhnghĩa 82 2.2 CáccôngthứctínhtíchphânđườngloạiII. . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.3 CôngthứcGreen. 85 2.4 ỨngdụngcủatíchphânđườngloạiII . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân. 92 Chương5.Tíchphânmặt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1 TíchphânmặtloạiI 95 1.1 Địnhnghĩa 95 1.2 CáccôngthứctínhtíchphânmặtloạiI . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.3 Bàitập 95 2 TíchphânmặtloạiII 98 2.1 Địnhhướngmặtcong 98 2.2 ĐịnhnghĩatíchphânmặtloạiII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.3 CáccôngthứctínhtíchphânmặtloạiII . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.4 CôngthứcOstrogradsky,Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.5 CôngthứcliênhệgiữatíchphânmặtloạiIvàloạiII . . . . . . . . . 105 Chương6.Lýthuyếttrường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 1 Trườngvôhướng 107 1.1 Địnhnghĩa 107 1.2 Đạohàmtheohướng 107 1.3 Gradient 108 1.4 Bàitập 109 2
  4. MỤC LỤC 3 2 Trườngvéctơ 111 2.1 Địnhnghĩa 111 2.2 Thônglượng,dive,trườngống. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.3 Hoànlưu,véctơxoáy 111 2.4 Trườngthế-hàmthếvị 112 2.5 Bàitập 112 3
  5. 4 MỤC LỤC 4
  6. CHƯƠNG 1 CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC §1. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 1.1 Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong tại một điểm. 1. Điểm chính quy. Cho đường cong (L) xác định bởi phương trình f (x, y) = 0. Điểm M (x , y ) • 0 0 được gọi là điểm chính quy của đường cong (L) nếu tồn tại các đạo hàm riêng 0 0 fx (M) , fy (M) không đồng thời bằng 0. x = x (t) Cho đường cong (L) xác định bởi phương trình tham số . Điểm • y = y (t)  M (x (t0) , y (t0)) được gọi là điểm chính quy của đường cong (L) nếu tồn tại các  đạo hàm x0 (t0) , y0 (t0) không đồng thời bằng 0. Một điểm không phải là điểm chính quy được gọi là điểm kì dị. • 2. Các công thức. Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong xác định bởi phương • trình tại điểm chính quy: 5
  7. 6 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc – Tiếp tuyến (d) : f 0 (M) . (x x ) + f 0 (M) . (y y ) = 0. x − 0 y − 0 – Pháp tuyến x x0 y y0 d0 : − = − . fx0 (M) fy0 (M)  Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho bởi phương trình y = f (x) thì phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M(x0, y0) chính quy là y y = f (x )(x x ). Đây là công thức mà học sinh đã biết trong chương − 0 0 0 − 0 trình phổ thông. Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong (L) xác định bởi phương • x = x (t) trình tham số tại điểm M (x (t0) , y (t0)) chính quy: y = y (t)  – Tiếp tuyến  x x (t ) y y (t ) (d) : − 0 = − 0 . x0 (t0) y0 (t0) – Pháp tuyến d0 : x0 (t ) . (x x (t )) + y0 (t ) . (y y (t )) = 0. 0 − 0 0 − 0  1.2 Độ cong của đường cong. 1. Định nghĩa. 2. Các công thức tính độ cong của đường cong tại một điểm. Nếu đường cong cho bởi phương trình y = f (x) thì: • y C (M) = | 00| 2 3/2 (1 + y0 ) x = x (t) Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số thì: • y = y (t)  x0 y0 x00 y00 C (M) = 3/2 (x 2 + y 2) 0 0 Nếu đường cong cho bởi phương trình trong toạ độ cực r = r (φ) thì: • 2 2 r + 2r0 rr00 C (M) = − 3/2 (r2 + r 2) 0 6
  8. 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 7 1.3 Hình bao của họ đường cong phụ thuôc một tham số 1. Định nghĩa: Cho họ đường cong (L) phụ thuộc vào một hay nhiều tham số. Nếu mỗi đường cong trong họ (L) đều tiếp xúc với đường cong (E) tại một điểm nào đó trên E và ngược lại, tại mỗi điểm thuộc (E) đều tồn tại một đường cong của họ (L) tiếp xúc với (E) tại điểm đó thì (E) được gọi là hình bao của họ đường cong (L). 2. Quy tắc tìm hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số. Định lý 1.1. Cho họ đường cong F (x, y, c) = 0 phụ thuộc một tham số c. Nếu họ đường cong trên không có điểm kì dị thì hình bao của nó được xác định bằng cách khử c từ hệ phương trình F (x, y, c) = 0 (1) F0 (x, y, c) = 0  c 3. Nếu họ đường cong đã cho có điểm kì dị thì hệ phương trình (1) bao gồm hình bao (E) và quỹ tích các điểm kì dị thuộc họ các đường cong đã cho. Bài tập 1.1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong: a) y = x3 + 2x2 4x 3 tại ( 2,5). − − − Phương trình tiếp tuyến y = 5 Lời giải. Phương trình pháp tuyến x = 2  − 1 x2  b) y = e − tại giao điểm của đường cong với đường thằng y = 1 . Phương trình tiếp tuyến 2x y + 3 = 0 Lời giải. – Tại M1 ( 1,1), − − Phương trình pháp tuyến x + 2y 1 = 0  − Phương trình tiếp tuyến 2x + y 3 = 0 – Tại M2 ( 1,1), − − Phương trình pháp tuyến x 2y + 1 = 0  −  x = 1+t c. t3 tại . 3 1 A(2,2) ( y = 2t3 + 2t Lời giải. – Phương trình tiếp tuyến y = x. – Phương trình pháp tuyến x + y 4 = 0. − 7
  9. 8 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc 2 2 2 d. x 3 + y 3 = a 3 tại M(8,1). Lời giải. – Phương trình tiếp tuyến x + 2y 10 = 0. − – Phương trình pháp tuyến 2x y 15 = 0. − − Bài tập 1.2. Tính độ cong của: a. y = x3 tại điểm có hoành độ x = 1 . − 2 Lời giải. y 192 C (M) = | 00| = = 2 3/2 125 (1 + y0 ) x = a (t sin t) b. − (a > 0) tại điểm bất kì. y = a (t cos t) ( − Lời giải. x0 y0 x00 y00 1 1 C (M) = = = 3/2 (x 2 + y 2) 2a√2 √1 cos x 0 0 − 2 2 2 c. x 3 + y 3 = a 3 tại điểm bất kì (a > 0). x = a cos3 t Lời giải. Phương trình tham số: , nên 3 ( y = a sin t x0 y0 x00 y00 1 C (M) = = = 3/2 (x 2 + y 2) 3a sin t cos t 0 0 | | d. r = aebφ, (a, b > 0) Lời giải. 2 2 r + 2r0 rr00 1 C (M) = − = 3/2 bφ (r2 + r 2) ae √1 + b2 0 Bài tập 1.3. Tìm hình bao của họ đường cong sau: x 2 a. y = c + c 8
  10. 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 9 b. cx2 + c2y = 1 c. y = c2 (x c)2 − Lời giải. a. Đặt F (x, y, c) := y x c2 = 0. − c − Điều kiện: c = 0. 6 F (x, y, c) = 0 F (x, y, c) = 0 Xét hệ phương trình: x0 x0 , hệ phương trình vô ( Fy0 (x, y, c) = 0 ⇔ ( 1 = 0 nghiệm nên họ đường cong không có điểm kì dị. Ta có F (x, y, c) = 0 y x c2 = 0 x = 2c3 − c − F (x, y, c) = 0 ⇔ 2c + x = 0 ⇔ y = 3c2 ( c0 ( − c2 ( x 2 y 3 nên 2 3 = 0. Do điều kiện c = 0 nên x, y = 0. Vậy ta có hình bao của họ − 3 6 6 đường cong là đường x 2 y = 0 trừ điểm O (0,0).   2 − 3 b. Đặt F (x, y, c) := cx2 + c2y 1 = 0. Nếu c = 0 thì không thoả mãn phương trình đã − cho nên điều kiện: c = 0. 6 F (x, y, c) = 0 2cx = 0 Xét hệ phương trình: x0 , nhưng điểm kì 2 x = c = 0 ( Fy0 (x, y, c) = 0 ⇔ ( c = 0 ⇔ dị đó không thuộc họ đường cong đã cho nên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị. Ta có 2 2 2 F (x, y, c) = 0 cx + c y = 1 x = c = ⇔ 2 + = ⇔ = 1 ( Fc0 (x, y, c) 0 ( x 2cx 0 ( y −c2 4 Do đó x, y = 0 và ta có hình bao của họ đường cong là đường y = x trừ điểm O(0,0). 6 − 4 c. Đặt F (x, y, c) := c2 (x c)2 y = 0. − − F (x, y, c) = 0 F = 0 Xét hệ phương trình: x0 x0 , hệ phương trình vô nghiệm F (x, y, c) = 0 ⇔ 1 = 0 ( y0 ( − nên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị. Ta có F (x, y, c) = 0 c2 (x c)2 y = 0 (1) − − F (x, y, c) = 0 ⇔ 2c (x c) 2c2 (x c) = 0 (2) ( c0 ( − − − c = 0 4 (2) c = x , thế vào (1) ta được y = 0, y = x . ⇔  16 c = x  2  x4 Vậy hình bao của họ đường cong là y = 0, y = 16 . 9
  11. 10 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc §2. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 2.1 Hàm véctơ Giả sử I là một khoảng trong R. I Rn Ánh xạ → được gọi là hàm véctơ của biến số t xác định trên R. Nếu • t r−−→(t) Rn 7→ ∈ n = 3, ta viết r−−→(t) = x (t) .−→i + y (t) .−→j + z (t) .−→k . Đặt M (x (t) , y (t) , z (t)), quỹ tích M khi t biến thiên trong I được gọi là tốc đồ của hàm véctơ r−−→(t). Giới hạn: Người ta nói hàm véctơ có giới hạn là −→a khi t t0 nếu lim r−−→(t) −→a = • → t t0 − → −→0 , kí hiệu lim r−−→(t) = a . t t −→ → 0 Liên tục: Hàm véctơ r−−→(t) xác định trên I được gọi là liên tục tại t0 I nếu lim r−−→(t) = • ∈ t t0 → r−−→(t0). (tuơng đương với tính liên tục của các thành phần tương ứng x (t) , y (t) , z (t)) ∆ r r (t0+h) r (t0) Đạo hàm: Giới hạn, nếu có, của tỉ số lim −→ = lim −→ −−→ được gọi là đạo hàm • h 0 h h 0 h → → d−→r (t0) của hàm véctơ r−−→(t) tại t0, kí hiệu −→r 0 (t0) hay dt , khi đó ta nói hàm véctơ r−−→(t) khả vi tại t0. Nhận xét rằng nếu x (t) , y (t) , z (t) khả vi tại t0 thì r−−→(t) cũng khả vi tại t0 và −→r 0 (t0) = x0 (t0) .−→i + y0 (t0) .−→j + z0 (t0) .−→k . 2.2 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng tham số x = x(t) Cho đường cong y = y(t) và M(x , y , z ) là một điểm chính quy.  0 0 0  z = z(t)  Phương trình tiếp tuyến tại M •  x x (t ) y y (t ) z z (t ) (d) : − 0 = − 0 = − 0 . x0 (t0) y0 (t0) z0 (t0) Phương trình pháp diện tại M. • (P) : x0 (t ) . (x x (t )) + y0 (t ) . (y y (t )) + z0 (t ) . (z z (t )) = 0. 0 − 0 0 − 0 0 − 0 10
  12. 2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 11 2.3 Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong. Cho mặt cong S xác định bởi phương trình f (x, y, z) = 0 và M(x0, y0, z0) là một điểm chính quy của S. Phương trình pháp tuyến tại M • x x y y z z (d) : − 0 = − 0 = − 0 . fx0 (M) fy0 (M) fz0 (M) Phương trình tiếp diện tại M • (P) : f 0 (M) . (x x ) + f 0 (M) . (y y ) + f 0 (M) . (z z ) = 0. x − 0 y − 0 z − 0 Đặc biệt, nếu mặt cong cho bởi phương trình z = z (x, y) thì phương trình tiếp diện tại M là (P) : z z = z (M) . (x x ) + z (M) . (y y ). − 0 0x − 0 y0 − 0 2.4 Phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng giao của hai mặt cong f (x, y, z) = 0 Cho đường cong xác định bởi giao của hai mặt cong như sau . ( g (x, y, z) = 0 Đặt −→n f = fx0 (M) , fy0 (M) , fz0 (M) , là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt cong f (x, y, z) = 0 tại M.  Đặt −→ng = gx0 (M) , gy0 (M) , gz0 (M) , là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt cong g (x, y, z) = 0 tại M.  Khi đó n n là véctơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong đã cho tại M. Vậy phương −→f ∧ −→g trình tiếp tuyến là: f (M) . (x x ) + f (M) . (y y ) + f (M) . (z z ) = 0. PTTQ : x0 − 0 y0 − 0 z0 − 0  ( gx0 (M) . (x x0) + gy0 (M) . (y y0) + gz0 (M) . (z z0) = 0. x x − y y − −z z  PTCT : 0 = − 0 = 0  − −  fy0 (M) fz0 (M) fz0 (M) fx0 (M) fx0 (M) fy0 (M) g (M) g (M) g0 (M) g0 (M) g (M) g (M) y0 z0 z x x0 y0    Bài tập 1.4. Giả sử −→p (t) , −→q (t) , −→α (t) là các hàm véctơ khả vi. Chứng minh rằng: d d−→p (t) d−→q (t) a. dt −→p (t) + −→q (t) = dt + dt  11
  13. 12 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc d d−→p (t) b. dt α (t) −→p (t) = α (t) dt + α0 (t) −→p (t) d  d−→q (t) d−→p (t) c. dt −→p (t) −→q (t) = −→p (t) dt + dt −→q (t)  d q (t) d p (t) d. d p (t) q (t) = p (t) −→ + −→ q (t) dt −→ ∧ −→ −→ ∧ dt dt ∧ −→  Lời giải. a. Giả sử −→p (t) = (p1 (t) , p2 (t) , p3 (t)) , −→q (t) = (q1 (t) , q2 (t) , q3 (t)), khi đó: d d p (t) + q (t) = (p (t) + q (t) , p (t) + q (t) , p (t) + q (t)) dt −→ −→ dt 1 1 2 2 3 3  = p10 (t) + q10 (t) , p20 (t) + q20 (t) , p30 (t) + q30 (t) = p10 (t) , p20 (t) , p30 (t) + q10 (t) , q20 (t) , q30 (t)  d p (t) d q (t) = −→ + −→   dt dt b. d α (t) p (t) dt −→ = [α (t) p1 (t)] 0 , [α (t) p2 (t)]0 , [α (t) p3 (t)]0 = α0 (t) p1 (t) + α (t) p10 (t) , α0 (t) p2 (t) + α(t) p20 (t) , α0 (t) p3 (t) + α (t) p30 (t) = α0 (t) p1 (t) , α0 (t) p2 (t) , α0 (t) p3 (t) + α (t) p10 (t) , α (t) p20 (t) , α (t) p30 (t)  d−→p (t)   = α (t) + α0 (t) p (t) dt −→ c. Chứng minh tương tự như câu b, sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp. d. d p (t) q (t) dt −→ ∧ −→ d p (t) p (t) p (t) p (t) p (t) p (t) = 2 3 , 3 1 , 1 2 dt q2 (t) q3 (t) q3 (t) q1 (t) q1 (t) q2 (t) ! = p (t) p (t) p (t) p (t) p (t) p (t) = 2 30 , 3 10 , 1 20 q2 (t) q0 (t) q3 (t) q0 (t) q1 (t) q0 (t) ! 3 1 2 p (t) p (t) p (t) p (t) p (t) p (t) + 20 3 , 30 1 , 10 2 q0 (t) q3 (t) q0 (t) q1 (t) q0 (t) q2 (t) ! 2 3 1 d q (t) d p (t) = p (t) −→ + −→ q (t) −→ ∧ dt dt ∧ −→ Bài tập 1.5. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường: 12
  14. 2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 13 x = a sin2 t a. tại điểm ứng với π > .  y = b sin t cos t t = 4 , (a, b, c 0)  z = c cos2 t  t  x = e sin t √2 b.  y = 1 tại điểm ứng với t = 2.  t  z = e cos t √2   x a y b z c − 2 − 2 − 2 Lời giải. a. – Phương trình tiếp tuyến: (d) : a = 0 = c − – Phương trình pháp diện: (P) : a x a c z c = 0. − 2 − − 2  √2  x y 1 z b. Phương trình tiếp tuyến: − − 2 – (d) : √2 = 0 = √2 . 2 2 – Phương trình pháp diện: (P) : √2 x + √2 z √2 = 0. 2 2 − 2   Bài tập 1.6. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong: a) x2 4y2 + 2z2 = 6 tại điểm (2,2,3). − b) z = 2x2 + 4y2 tại điểm (2,1,12). c) z = ln (2x + y) tại điểm ( 1,3,0) − x 2 y 2 z 3 Lời giải. a. – Phương trình pháp tuyến: (d) : −4 = −16 = 12− − – Phương trình tiếp diện: (P) :4 (x 2) 16 (y 2) + 12 (z 3) = 0 − − − − x 2 y 1 z 12 b. – Phương trình pháp tuyến: (d) : −8 = −8 = −1 − – Phương trình tiếp diện: (P) :8 (x 2) + 8 (y 1) (z 12) = 0. − − − − x+1 y 3 z c. – Phương trình pháp tuyến: (d) : 2 = −1 = 1 − – Phương trình tiếp diện: (P) :2 (x + 1) + (y 3) z = 0. − − Bài tập 1.7. Viêt phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường: x2 + y2 = 10 a. tại điểm 2 2 A (1,3,4) ( y + z = 25 2x2 + 3y2 + z2 = 47 b. tại điểm 2 2 B ( 2,6,1) ( x + 2y = z − 13
  15. 14 Chương1.Cácứngdụngcủaphéptínhviphântronghìnhhọc f (x, y, z) := x2 + y2 10 = 0 n = (2,6,0) Lời giải. a. Ta có − nên f . g (x, y, z) := y2 + z2 25 = 0 n = (0,6,8) ( − ( g Do đó n n = 2 (21, 8,3). Vậy: f ∧ g − x 1 y 3 z 4 – Phương trình tiếp tuyến (d) : 21− = −8 = −3 − – Phương trình pháp diện (P) : 21 (x 1) 8 (y 3) + 3 (z 4) = 0 − − − − n f = ( 8,6,12) b. Tương tự, − , n f ng = 2 (27,27,4) nên n = ( 4,4, 1) ∧ − ( g − − x+2 y 1 z 6 – Phương trình tiếp tuyến (d) : 27 = 27− = −4 – Phương trình pháp diện (P) : 27 (x + 2) + 27 (y 1) + 4 (z 6) = 0 − − 14
  16. CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN BỘI §1. TÍCH PHÂN KÉP 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1. Cho hàm số f (x, y) xác định trong một miền đóng, bị chặn D. Chia miền D một cách tuỳ ý thành n mảnh nhỏ. Gọi các mảnh đó và diện tích của chúng là ∆S1, ∆S2, , ∆Sn. Trong mỗi mảnh ∆Si lấy một điểm tuỳ ý M (xi, yi) và thành lập tổng tích n phân In = ∑ f (xi, yi) ∆Si. Nếu khi n ∞ sao cho max ∆Si 0 mà In tiến tới một giá i=1 → { → } trị hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm M (xi, yi) thì giới hạn ấy được gọi là tích phân kép của hàm số f (x, y) trong miền D, kí hiệu là f (x, y) dS ZZD Khi đó ta nói rằng hàm số f (x, y) khả tích trong miền D. Do tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D thành các mảnh nhỏ nên ta có thể chia D thành hai họ đường thẳng song song với các trục toạ độ, khi đó dS = dxdy và ta có thể viết f (x, y) dS = f (x, y) dxdy ZZD ZZD Tính chất cơ bản: Tính chất tuyến tính: • [ f (x, y) + g (x, y)] dxdy = f (x, y) dxdy + g (x, y) dxdy ZZD ZZD ZZD 15
  17. 16 Chương 2. Tích phân bội kf (x, y) dxdy = k f (x, y) dxdy ZZD ZZD Tính chất cộng tính: Nếu D = D D và D D = ∅ thì • 1 ∪ 2 1 ∩ 2 f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy + f (x, y) dxdy ZZ ZZ ZZ D D1 D2 1.2 Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes Để tính các tích phân hai lớp, ta cần phải đưa về tính các tích phân lặp. 1. Phác thảo hình dạng của miền D. 2. Nếu D là miền hình chữ nhật (D) : a 6 x 6 b, c 6 y 6 d thì ta có thể sử dụng một trong hai tích phân lặp b d d d f (x, y) dxdy = dx f (x, y) dy = dy f (x, y) dx ZZD Za Zc Zc Zc 3. Nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với Oy, (D) : a 6 x 6 b, ϕ (x) 6 y 6 ψ (x) thì dùng tích phân lặp với thứ tự dy trước, dx sau. b ψ(x) f (x, y) dxdy = dx f (x, y) dy ZZD Za ϕ(Zx) 4. Nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với Ox, (D) : c 6 y 6 d, ϕ (y) 6 x 6 ψ (y) thì dùng tích phân lặp với thứ tự dx trước, dy sau. d ψ(y) f (x, y) dxdy = dy f (x, y) dx ZZD Zc ϕ(Zy) 5. Nếu D là miền có hình dáng phức tạp, không có dạng 3,4 thì thông thường ta sẽ chia miền D thành một số hữu hạn miền có dạng 3 hoặc 4 rồi sử dụng tính chất cộng tính để đưa về việc tính toán những tích phân lặp trên miền có dạng 3, 4. Các dạng bài tập cơ bản 16
  18. 1. Tích phân kép 17 Dạng 1: Đổi thứ tự lấy tích phân. Trong phần trên, chúng ta biết rằng thứ tự lấy tích phân và hình dáng của miền D có liên quan chặt chẽ đến nhau. Nếu thứ tự dy trước, dx sau thì miền D có dạng hình thang cong song song với trục Oy, và có biểu diễn là (D) : a 6 x 6 b, ϕ (x) 6 y 6 ψ (x). Ngược lại, nếu thứ tự dx trước, dy sau thì miền D có dạng hình thang cong song song với trục Ox, và có biểu diễn là (D) : c 6 y 6 d, ϕ (y) 6 x 6 ψ (y). Do vậy việc đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân lặp chẳng qua là việc biểu diễn miền D từ dạng này sang dạng kia. 1. Từ biểu thức tích phân lặp, vẽ phác thảo miền D. 2. Nếu D là miền hình thang cong có các cạnh song song với Oy thì ta chia D thành các hình thang cong có các cạnh song song với Ox. Tìm biểu diễn giải tích của các miền con, ví dụ (Di) : ci 6 y 6 di, ϕi (y) 6 x 6 ψi (y), sau đó viết b y2(x) di ψi(y) dx f (x, y) dy = ∑ dy f (x, y) dx Z Z i Z Z a y1(x) ci ϕi(y) 3. Làm tương tự trong trường hợp D là hình thang cong có các cạnh song song với Ox. Bài tập 2.1. Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau: 1 √1 x2 − a) dx f (x, y) dy Z Z 0 √1 x2 − − y 1 D1 O 1 x D2 Hình 2.1 a) Chia miền D thành hai miền con D1, D2 như hình vẽ, 1 6 y 6 0 0 6 y 6 1 D1 : − , D2 :  1 y2 6 x 6 1 y2  1 y 6 x 6 1 y − − − − − − p p √1 y2 p √1 y p  0 −  1 − I = dy f (x, y) dx+ dy f (x, y) dx Z Z Z Z 1 √1 y2 0 √1 y − − − − − 17
  19. 18 Chương 2. Tích phân bội 1+√1 y2 1 − b) dy f (x, y) dx y Z0 2Zy − 2 1 O 1 2 x Hình 2.1 b) 1 6 x 6 2 Lời giải. Ta có: D : nên: 2 x 6 y 6 √2x x2  − − 2 √2x x2  − I = dx f (x, y) dy Z1 2Zx − 2 √2x y c) dx f (x, y) dx Z Z 2 0 √2x x2 − 1 O 1 2 x Hình 2.1 c) Lời giải. Chia D thành 3 miền như hình vẽ, 0 6 y 6 1 0 6 y 6 1 1 6 y 6 2 D1 : 2 , D2 : , D3 : 2  y 6 x 6 1 1 y2 1 + 1 y2 6 x 6 2  y 6 x 6 2  2 − −  −  2 p p Vậy:    1 √1 y2 1 − − 1 2 2 2 I = dy f (x, y) dx+ dy f (x, y) dx + dy f (x, y) dx Z Z Z Z Z Z 0 y2 0 1+√1 y2 1 y2 2 − 2 18
  20. 1. Tích phân kép 19 √ y √4 y2 2 2 − d) dy f (x, y) dx+ dy f (x, y) dx Z Z Z Z 0 0 √2 0 y √2 x O √2 Lời giải. Hình 2.1 d) 0 6 x 6 √2 D : x 6 y 6 √4 x2  − nên:  √2 √4 x2 − I = dx f (x, y) dy Z0 Zx Một câu hỏi rất tự nhiên đặt ra là việc đổi thứ tự lấy tích phân trong các bài toán tích phân kép có ý nghĩa như thế nào? Hãy xét bài toán sau đây: 1 1 2 Bài tập 2.2. Tính I = dx xey dy. Z0 xZ2 y 2 x O 1 Hình 2.2 2 Lời giải. Chúng ta biết rằng hàm số f (x, y) = xey liên tục trên miền D nên chắc chắn khả tích trên D. Tuy nhiên các bạn có thể thấy rằng nếu tính tích phân trên mà làm theo 19
  21. 20 Chương 2. Tích phân bội 2 thứ tự dy trước thì không thể tính được, vì hàm số ey không có nguyên hàm sơ cấp! Còn nếu đổi thứ tự lấy tích phân thì: 1 √y 1 1 2 2 2 x x=√y 1 2 1 2 1 I = dy xey dx = ey dy = ey .ydy = ey 1 = (e 1) 2 x=0 2 4 |0 4 − Z0 Z0 Z0 Z0 Dạng 2: Tính các tích phân kép thông thường. Bài tập 2.3. Tính các tích phân sau: R2 6 6 π 6 6 π a) x sin (x + y) dxdy, D = (x, y) :0 y 2 ,0 x 2 ZZ ∈ D  Lời giải. π π π π 2 2 2 2 π π I = dx x sin (x + y) dy = = hoặc I = dy x sin (x + y) dx = = 2 2 Z0 Z0 Z0 Z0 b) I = x2 (y x) dxdy, D giới hạn bởi y = x2&x = y2 − ZZD y y = x2 x = y2 1 O 1 x Hình 2.3 Lời giải. 1 √x 1 I = dx x2y x3 dy = = − −504 Z0 xZ2   20
  22. 1. Tích phân kép 21 Dạng 3: Tính các tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Mục đích của chúng ta là phá bỏ được dấu giá trị tuyệt đối trong các bài toán tính tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ, để tính các tích phân kép dạng f (x, y) dxdy. Khảo sát dấu của hàm f (x, y), do tính liên tục của hàm f (x, y) nên | | ZZD + + đường cong f (x, y) = 0 sẽ chia miền D thành hai miền, D , D−. Trên D , f (x, y) > 0, và trên D−, f (x, y) 6 0. Ta có công thức: f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy f (x, y) dxdy (1) (1) | | − ZZ ZZ+ ZZ D D D− Các bước để làm bài toán tính tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1. Vẽ đường cong f (x, y) = 0 để tìm đường cong phân chia miền D. 2. Giả sử đường cong tìm được chia miền D thành hai miền. Đề xác định xem miền nào + là D , miền nào là D−, ta xét một điểm (x0, y0) bất kì, sau đó tính giá trị f (x0, y0). + Nếu f (x0, y0) > 0 thì miền chứa (x0, y0) là D và ngược lại. + 3. Sau khi xác định được các miền D , D−, chúng ta sử dụng công thức (1) để tính tích phân. Bài tập 2.4. Tính x + y dxdy, D : (x, y) R2 x 6 1 , y 6 1 | | ∈ || | | | ZZD  y 1 D+ x O 1 D − Hình 2.4 Lời giải. Ta có: D+ = D x + y > 0 = 1 6 x 6 1, x 6 y 6 1 ∩ { } {− − } D− = D x + y 6 0 = 1 6 x 6 1, 1 6 y 6 x ∩ { } {− − − } 21
  23. 22 Chương 2. Tích phân bội nên: 8 I = (x + y) dxdy (x + y) dxdy = = − 3 ZZ+ ZZ D D− Bài tập 2.5. Tính y x2 dxdy, D : (x, y) R2 x 6 1,0 6 y 6 1 ZZ | − | ∈ || | D p  y 1 D+ D − x O 1 Hình 2.5 Lời giải. D+ = D (x, y) y x2 > 0 = 1 6 x 6 1, x2 6 y 6 1 ∩ − − n o n o 2 D− = D (x, y) y x 6 0 = 1 6 x 6 1,0 6 y 6 x ∩ − {− } n o I = y x2dxdy + x2 ydxdy = I + I − − 1 2 ZZ+ ZZ D q D− q trong đó π 1 1 1 3 2 2 2 x=sin t 4 π I = dx y x2dy = 1 x2 dx = cos4 tdt = = 1 − 3 − 3 4 Z1 xZ2 q Z1 Z0 − −   1 x2 1 1 2 4 1 I = dx x2 ydy = x 3dx = x3dx = 2 − 3 | | 3 3 Z1 Z0 q Z1 Z0 − − π 1 Vậy I = 4 + 3 22
  24. 1. Tích phân kép 23 Dạng 4: Tính các tích phân kép trong trường hợp miền lấy tích phân là miền đối xứng. Định lý 2.2. Nếu miền D là miền đối xứng qua trục Ox (hoặc tương ứng Oy) và hàm là hàm lẻ đối với y (hoặc tương ứng đối với x) thì f (x, y) dxdy = 0 ZZD Định lý 2.3. Nếu miền D là miền đối xứng qua trục Ox (hoặc tương ứng Oy) và hàm là hàm chẵn đối với y (hoặc tương ứng đối với x) thì f (x, y) dxdy = 2 f (x, y) dxdy ZZ ZZ D D0 trong đó D0 là phần nằm bên phải trục Ox của D (hoặc tương ứng phía trên của trục Oy tương ứng) Định lý 2.4. Nếu miền D là miền đối xứng qua trục gốc toạ độ O và hàm f (x, y) thoả mãn f ( x, y) = f (x, y) thì − − − f (x, y) dxdy = 0 ZZD Bài tập 2.6. Tính x + y dxdy. | | | | x +ZZy 61 | | | | y 1 D1 x O 1 Hình 2.6 Lời giải. Do D đối xứng qua cả Ox và Oy, f (x, y) = x + y là hàm chẵn với x, y nên | | | | 1 1 x − 4 I = 4 f (x, y) dxdy = 4 dx (x + y)dy = 3 ZZD1 Z0 Z0 23
  25. 24 Chương 2. Tích phân bội 1.3 Phép đổi biến số trong tích phân kép Phép đổi biến số tổng quát Phép đổi biến số tống quát thường được sử dụng trong trường hợp miền D là giao của hai họ đường cong. Xét tích phân kép: I = f (x, y) dxdy, trong đó f (x, y) liên tục trên D. ZZD Thực hiện phép đổi biến số x = x (u, v) , y = y (u, v) (1)thoả mãn: x = x (u, v) , y = y (u, v) là các hàm số liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong • miền đóng Duv của mặt phẳng O0uv. Các công thức (1) xác định song ánh từ D D. • uv → x0 x0 Định thức Jacobi J = D(x,y) = u v = 0 • D(u,v) y0 y0 6 u v Khi đó ta có công thức: I = f (x, y) dxdy = f (x (u, v) , y (u, v)) J dudv | | ZZD DZZuv Chú ý: Mục đích của phép đổi biến số là đưa việc tính tích phân từ miền D có hình dáng • phức tạp về tính tích phân trên miền Duv đơn giản hơn như là hình thang cong hoặc hình chữ nhật. Trong nhiều trường hợp, phép đổi biến số còn có tác dụng làm đơn giản biểu thức tính tích phân f (x, y). Một điều hết sức chú ý trong việc xác định miền D đó là phép dổi biến số tống quát • uv sẽ biến biên của miền D thành biến của miền Duv, biến miền D bị chặn thành miền Duv bị chặn. u0 u0 Có thể tính thông qua 1 D(u,v) x y . J J− = ( ) = • D x,y v0 v0 x y Bài tập 2.7. Chuyển tích phân sau sang hai biến u , v: 1 x u = x + y a) dx f (x, y) dxdy, nếu đặt v = x y Z0 Zx −  − b) Áp dụng tính với f (x, y) = (2 x y)2. − − 24
  26. 1. Tích phân kép 25 v 2 y 1 D x u O 1 O0 2 Hình 2.7 Lời giải. u = x + y x = u+v D (x, y) 1 1 2 , J = = = 2 v = x y ⇒ y = u v | | D (u, v) 1 1 −   −2 − − hơn nữa   0 6 x 6 1 0 6 u 6 2 D Duv  x 6 y 6 x ↔ 0 6 v 6 2 u −  − nên  2 2 u  1 − u + v u v I = du f , − dv 2 2 2 Z0 Z0   1 6 xy 6 4 Bài tập 2.8. Tính I = 4x2 2y2 dxdy, trong đó D :  ZZ − x 6 y 6 4x D    y y = 4x y = x 1 xy = 4 xy = 1 O 1 x Hình 2.8 25
  27. 26 Chương 2. Tích phân bội Lời giải. Thực hiện phép đổi biến u = xy x = u 1 6 u 6 4 y x y √uv v , D : , J 1 = = 2 = 2 = 2v y uv − y 1 u v = ⇒ y = √uv 1 6 v 6 4 −2 x  x  p  x x v p    khi đó 4 4 4 4 4 u 1 2u 3 45 I = du 4 2uv . dv = du u dv = udu = v − 2v v2 − −2 − 4 Z1 Z1   Z1 Z1   Z1 Phép đổi biến số trong toạ độ cực Trong rất nhiều trường hợp, việc tính toán tích phân kép trong toạ độ cực đơn giản hơn rất nhiều so với việc tính tích phân trong toạ độ Descartes, đặc biệt là khi miền D có dạng hình tròn, quạt tròn, cardioids,. . . và hàm dưới dấu tích phân có những biểu thức r = OM−−→ x2 + y2 . Toạ độ cực của điểm M (x, y) là bộ (r, ϕ), trong đó .  \ ϕ = OM−−→, Ox   x = r cos ϕ Công thức đổi biến: , trong đó miền biến thiên của r, ϕ phụ thuộc vào hình y = r sin ϕ  dạng của miền D. Khi đó J = D(x,y) = r , và I = f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ  D(r,ϕ) DZZrϕ ϕ1 6 ϕ 6 ϕ2 Đặc biệt, nếu D : , thì r (ϕ) 6 r 6 r (ϕ)  1 2  ϕ2 r2(ϕ) I = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr Z Z ϕ1 r1(ϕ) Bài tập 2.9. Tìm cận lấy tích phân trong toạ độ cực I = f (x, y) dxdy, trong đó D là ZZD miền xác định như sau: a) a2 6 x2 + y2 6 b2 26
  28. 1. Tích phân kép 27 y b a b O a x Hình 2.9a Lời giải. 2π b 0 6 ϕ 6 2π D : I = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr a 6 r 6 b ⇒  Z0 Za  b) x2 + y2 > 4x, x2 + y2 6 8x, y > x, y 6 2x y O 2 4 8 x Hình 2.9b Lời giải. Ta có: π 3 8cos ϕ π 6 ϕ 6 π D : 4 3 I = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr  ⇒ 4 cos ϕ 6 r 6 8 cos ϕ Zπ Z  4 4cos ϕ  Bài tập 2.10. Dùng phép đổi biến số trong toạ độ cực, hãy tính các tích phân sau: R √R2 x2 − a) dx ln 1 + x2 + y2 dy (R > 0). Z Z 0 0  27
  29. 28 Chương 2. Tích phân bội y O R x Hình 2.10 a 0 6 x 6 R Từ biểu thức tính tích phân ta suy ra biểu thức giải tích của miền D là: 0 6 y 6 √R2 x2  − x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 π nên chuyển sang toạ độ cực, đặt: thì 2  y = r sin ϕ 0 6 r 6 R   π   2 R R π I = dϕ ln 1 + r2 rdr = ln 1 + r2 d 1 + r2 4 Z0 Z0   Z0     π = R2 + 1 ln R2 + 1 R2 4 − h    i x2 + (y 1)2 = 1 b) Tính xy2dxdy, D giới hạn bởi − . x2 + y2 4y = 0 ZZD  −  y 4 2 O x Hình 2.10 b x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 π Đặt y = r sin ϕ ⇒ 2sin ϕ 6 r 6 4sin ϕ    28 
  30. 1. Tích phân kép 29 π 4sin ϕ I = dϕ r cos ϕ. (r sin ϕ)2 rdr Z0 2sinZ ϕ = 0 Cách 2: Vì D đối xứng qua Oy và xy2 là hàm số lẻ đối với x nên I = 0. Bài tập 2.11. Tính các tích phân sau: 2 2 dxdy 4y 6 x + y 6 8y a) 2 , trong đó D : (x2+y2) x 6 y 6 x√3 ZZD   y 8 y = x√3 y = x 4 O x Hình 2.11a Lời giải. x = r cos ϕ π 6 ϕ 6 π Đặt 4 3 y = r sin ϕ ⇒ 4sin ϕ 6 r 6 8sin ϕ     π π 3 8sin ϕ 3 1 1 1 1 3 1 I = dϕ rdr = dϕ = 1 r4 −2 64 sin2 ϕ − 16 sin2 ϕ 128 − √3 Zπ Z Zπ     4 4sin ϕ 4 1 x2 y2 b) − − trong đó 2 + 2 6 1+x2+y2 dxdy D : x y 1 ZZD r 29
  31. 30 Chương 2. Tích phân bội y 1 O 1 x Hình 2.11b x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Đặt y = r sin ϕ ⇒ 0 6 r 6 1   Ta có:   2π 1 1 1 r2 u=r2 1 1 u I = dϕ − rdr = 2π − du s1 + r2 2 1 + u Z0 Z0 Z0 r Đặt 4t 1 u du = 2 dt t = − − (1+t2) 1 + u ⇒  6 6 r 0 t 1  1 1 1 4t 4dt dt I = π t 2 dt = π 2 + 4π 2 −(1 + t2) ! − 1 + t (1 + t2) Z0 Z0 Z0 1 t 1 = 4π arctg t 1 + 4π + arctg t 1 − 0 2 t2 + 1 2 0   π2 = 2 x2 + y2 6 12 x2 + y2 > 2x c) xy trong đó 2+ 2 dxdy D :  x y x2 + y2 > 2√3y ZZD  x > 0, y > 0     30
  32. 1. Tích phân kép 31 y 2√3 D2 D1 O 2 2√3 x Hình 2.11c Lời giải. Chia miền D thành hai miền như hình vẽ, 6 6 π π 6 6 π 0 ϕ 6 6 ϕ 2 D = D1 D2, D1 = , D2 = ∪ 2 cos ϕ 6 r 6 2√3 2√3sin ϕ 6 r 6 2√3   Vậy I = I1 + I2, trong đó   π π 6 2√3 6 r2 cos ϕ sin ϕ 1 17 I = dϕ rdr = cos ϕ sin ϕ 12 4cos2 ϕ dϕ = = 1 r2 2 − 32 Z0 2cosZ ϕ Z0   π π 2 2√3 2 r2 cos ϕ sin ϕ 1 27 I = dϕ rdr = cos ϕ sin ϕ 12 12 sin2 ϕ dϕ = = 2 r2 2 − 32 Zπ Z Zπ 6 2√3sin ϕ 6   11 nên I = 8 Phép đổi biến số trong toạ độ cực suy rộng. Phép đổi biến trong toạ độ cực suy rộng được sử dụng khi miền D có hình dạng ellipse hoặc hình tròn có tâm không nằm trên các trục toạ độ. Khi sử dụng phép biến đổi này, bắt buộc phải tính lại các Jacobian của phép biến đổi. 2 2 x = ar cos ϕ 1. Nếu x y , thực hiện phép đổi biến D : a2 + b2 = 1 , J = abr y = br sin ϕ   x = a + r cos ϕ 2. Nếu D : (x a)2 + (y b)2 = R2, thực hiện phép đổi biến , J = r − − y = b + r sin ϕ  3. Xác định miền biến thiên của r, ϕ trong phép đổi biến trong hệ toạ độ cực suy rộng. 31
  33. 32 Chương 2. Tích phân bội 4. Thay vào công thức đổi biến tổng quát và hoàn tất quá trình đổi biến. 2 2 2 x2 y 6 Bài tập 2.12. Tính 9x 4y dxdy, trong đó D : 4 + 9 1. ZZ − D y 3 O 2 x Hình 2.12 Lời giải. x = 2r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Đặt J = 6r, y = 3r sin ϕ ⇒ 0 6 r 6 1   Ta có:   2π 1 I = 6 36r2 cos2 ϕ 36r2 sin2 ϕ rdrdϕ = 6.36 cos 2ϕ dϕ r3dr = = 216 ZZ − Z | | Z Drϕ 0 0 R √R2 x2 − Bài tập 2.13. Tính dx Rx x2 y2dy, (R > 0) Z Z − − 0 √R2 x2 p − − y O R x Hình 2.13 Lời giải. Từ biểu thức tính tích phân suy ra biểu thức giải tích của D là: 0 6 x 6 R R 2 R2 D : x + y2 6  √Rx x2 6 y 6 √Rx x2 ⇔ − 2 4 − − −    32
  34. 1. Tích phân kép 33 x = R + rcosϕ 0 6 ϕ 6 2π Đặt 2 J = r, y = r sin ϕ ⇒ | | 0 6 r 6 R   2 Vậy R  R  2π 2 2 R2 1 R2 R2 πR3 I = dϕ r2rdr = 2π.− r2d r2 = 4 − 2 4 − 4 − 12 Z0 Z0 r Z0 r   Bài tập 2.14. Tính xydxdy, với ZZD a) D là mặt tròn (x 2)2 + y2 6 1 − y O 1 3 x Hình 2.14a Lời giải. x = 2 + r cos ϕ 0 6 r 6 1 Đặt y = r sin ϕ ⇒ 0 6 ϕ 6 2π   nên 2π 1  I = dϕ (2 + r cos ϕ) r sin ϕ.rdr = 0 Z0 Z0 Cách 2. Nhận xét: Do D là miền đối xứng qua Ox, f (x, y) = xy là hàm lẻ đối với y nên I = 0. b) D là nửa mặt tròn (x 2)2 + y2 6 1, y > 0 − y O 1 3 x Hình 2.14b 33
  35. 34 Chương 2. Tích phân bội Lời giải. x = 2 + r cos ϕ 0 6 r 6 1 Đặt y = r sin ϕ ⇒ 0 6 ϕ 6 π   nên π 1  4 I = dϕ (2 + r cos ϕ) r sin ϕ.rdr = 3 Z0 Z0 34
  36. 2. Tích phân bội ba 35 §2. TÍCH PHÂN BỘI BA 2.1 Định nghĩa và tính chất Định nghĩa 2.2. Cho hàm số f (x, y, z) xác định trong một miền đóng, bị chặn V của không gian Oxyz. Chia miền V một cách tuỳ ý thành n miền nhỏ. Gọi các miền đó và thể tích của chúng là ∆V1, ∆V2, , ∆Vn. Trong mỗi miền ∆i lấy một điểm tuỳ ý M(xi, yi, zi) và thành n lập tổng tích phân In = ∑ f (xi, yi, zi) ∆Vi. Nếu khi n +∞ sao cho max ∆Vi 0 mà In i=1 → { → } tiến tới một giá trị hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn điểm M(xi, yi, zi) thì giới hạn ấy được gọi là tích phân bội ba của hàm số f (x, y, z) trong miền V, kí hiệu là f (x, y, z) dV. ZZZV Khi đó ta nói rằng hàm số f (x, y, z) khả tích trong miền V. Do tích phân bội ba không phụ thuộc vào cách chia miền V thành các miền nhỏ nên ta có thể chia V bởi ba họ mặt thẳng song song với các mặt phẳng toạ độ, khi đó dV = dxdydz và ta có thể viết f (x, y, z) dV = f (x, y, z) dxdydz ZZZV ZZZV Các tính chất cơ bản Tính chất tuyến tính • [ f (x, y, z) + g (x, y, z)] dxdydz = f (x, y, z) dxdydz + g (x, y, z) dxdydz ZZZV ZZZV ZZZV kf (x, y, z) dxdydz = k f (x, y, z) dxdydz ZZZV ZZZV Tính chất cộng tính: Nếu V = V V và V V = ∅ thì: • 1 ∪ 2 1 ∩ 2 f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z) dxdydz + f (x, y, z) dxdydz ZZZ ZZZ ZZZ V V1 V2 2.2 Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes Cũng giống như việc tính toán tích phân kép, ta cần phải đưa tích phân ba lớp về tích phân lặp. Việc chuyển đổi này sẽ được thực hiện qua trung gian là tích phân kép. Tích phân ba lớp Tích phân hai lớp Tích phân lặp ⇒ ⇒ 35
  37. 36 Chương 2. Tích phân bội Sơ đồ trên cho thấy việc tính tích phân ba lớp được chuyển về tính tích phân kép (việc tính tích phân kép đã được nghiên cứu ở bài trước). Đương nhiên việc chuyển đổi này phụ thuộc chặt chẽ vào hình dáng của miền V. Một lần nữa, kĩ năng vẽ hình là rất quan trọng. Nếu miền V được giới hạn bởi các mặt z = z1 (x, y) , z = z2 (x, y), trong đó z1 (x, y) , z2 (x, y) là các hàm số liên tục trên miền D, D là hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy thì ta có: z2(x,y) I = f (x, y, z) dxdydz = dxdy f (x, y, z) dz (2.1) ZZZ ZZ Z V D z1(x,y) Thuật toán chuyển tích phân ba lớp về tích phân hai lớp 1. Xác định hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy. 2. Xác định biên dưới z = z1 (x, y) và biên trên z = z2 (x, y) của V. 3. Sử dụng công thức 2.1 để hoàn tất việc chuyển đổi. Đến đây mọi việc chỉ mới xong một nửa, vấn đề còn lại bây giờ là: Xác định D và các biên z = z1 (x, y) , z = z2 (x, y) như thế nào? Có hai cách đề xác định: Dùng hình học hoặc là dựa vào biểu thức giải tích của miền V. Mỗi cách đều có những ưu và nhược điểm riêng. Cách dùng hình học tuy khó thực hiện hơn nhưng có ưu điểm là rất trực quan, dễ hiểu. Cách dùng biểu thức giải tích của V tuy có thể áp dụng cho nhiều bài nhưng thường khó hiểu và phức tạp. Chúng tôi khuyên các em sinh viên hãy cố gắng thử cách vẽ hình trước. Muốn làm được điều này, đòi hỏi các bạn sinh viên phải có kĩ năng vẽ các mặt cong cơ bản trong không gian như mặt phẳng, mặt trụ, mặt nón, mặt cầu, ellipsoit, paraboloit, hyperboloit 1 tầng, hyperboloit 2 tầng, hơn nữa các bạn cần có trí tưởng tượng tốt đề hình dung ra sự giao cắt của các mặt. Chú ý: Cũng giống như khi tính tích phân kép, việc nhận xét được tính đối xứng của miền V và tính chẵn lẻ của hàm lấy tích phân f (x, y, z) đôi khi giúp sinh viên giảm được khối lượng tính toán đáng kể. Định lý 2.5. Nếu V là miền đối xứng qua mặt phẳng z = 0(Oxy) và f (x, y, z) là hàm số lẻ đối với z thì f (x, y, z) dxdydz = 0. ZZZV Định lý 2.6. Nếu V là miền đối xứng qua mặt phẳng z = 0(Oxy) và f (x, y, z) là hàm số chẵn đối với z thì f (x, y, z) dxdydz = 2 f (x, y, z) dxdydz, trong đó V+ là phần phía ZZZV ZZZV+ trên mặt phẳng z = 0 của V. 36
  38. 2. Tích phân bội ba 37 Tất nhiên chúng ta có thể thay đổi vai trò của z trong hai định lý trên bằng x hoặc y. Hai định lý trên có thể được chứng minh dễ dàng bằng phương pháp đổi biến số. 1 0 6 x 6 4  Bài tập 2.15. Tính zdxdydz trong đó miền V được xác định bởi:  x 6 y 6 2x  ZZZV  0 6 z 6 1 x2 y2  − −  q Lời giải.  1 2 2 1 1 4 2x √1 x y 4 2x 4 − − 1 1 10 43 I = dx dy zdz = dx 1 x2 y2 dy = x x3 dx = 2 − − 2 − 3 3072 Z0 Zx Z0 Z0 Zx   Z0   x2 + y2 + z2 = 1 Bài tập 2.16. Tính x2 + y2 dxdydz trong đó V: . ( x2 + y2 z2 = 0 ZZZV −  z z = 1 x2 y2 − − p z = x2 + y2 p y O D x Hình 2.16 37
  39. 38 Chương 2. Tích phân bội 2 2 2 2 Lời giải. Do tính chất đối xứng, x + y dxdydz = 2 x + y dxdydz = 2I1, trong ZZZ ZZZ V  V1  2 2 2 2 V1 : x + y 6 z 6 1 x y đó V là nửa phía trên mặt phẳng Oxy của V. Ta có − − , 1  q 1 q  D : x2 + y2 6 ,  2 với D là hình chiếu của V1 lên Oxy. Ta có  √1 x2 y2 − − I = x2 + y2dxdy dz = x2 + y2 1 x2 y2 x2 + y2 dxdy 1 − − − ZZ Z ZZ   D √x2+y2 D   q q 6 6 x = r cos ϕ 0 ϕ 2π Đặt J = r,  1 nên ( y = r sin ϕ ⇒ 0 6 r 6  √2 1  1 √2 2π √2 2π 8 5√2 I = r3 1 r2 r dr dϕ = 2π r3 1 r2 r dr = (r= cos α) = . − 1 − − − − 5 12 Z0 p  Z0 Z0 p  Vậy 4π 8 5√2 I = . − 5 12 2.3 Phương pháp đổi biến số trong tích phân bội ba Phép đổi biến số tổng quát Phép đổi biến số tổng quát thường được sử dụng trong trường hợp miền V là giao của ba họ mặt cong. Giả sử cần tính I = f (x, y, z) dxdydz trong đó f (x, y, z) liên tục trên V. ZZZV Thực hiện phép đổi biến số x = x (u, v, w)  y = y (u, v, w) (2.2)   z = z (u, v, w)  thoả mãn  x, y, z cùng với các đạo hàm riêng của nó là các hàm số liên tục trên miền đóng V • uvw của mặt phẳng O0uvw. Công thức 2.2 xác định song ánh V w V. • uv → 38
  40. 2. Tích phân bội ba 39 J = D(x,y,z) = 0 trong V . Khi đó • D(u,v,w) 6 uvw I = f (x, y, z) dxdydz = f [x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)] J dudvdw | | ZZZV VZZZuvw Cũng giống như phép đổi biến trong tích phân kép, phép đổi biến trong tích phân bội ba cũng biến biên của miền V thành biên của miền Vuvw, biến miền V bị chặn thành miền Vuvw bị chặn. x + y + z = 3 ± Bài tập 2.17. Tính thể tích miền V giới hạn bởi  x + 2y z = 1 biết V = dxdydz.  − ± ZZZ  x + 4y + z = 2 V ±   u = x + y + z Lời giải. Thực hiện phép đổi biến  v = x + 2y z . Vì phép đổi biến biến biên của V  −  w = x + 4y + z  u = 3  ± thành biên của Vuvw nên Vuvw giới hạn bởi:  v = 1  ±  w = 2 ±   11 1 1 D (u, v, w) 1 1 1 J− = = 1 2 1 = 6 J = V = dudvdw = .6.2.4 = 8 D (x y z) , , − ⇒ 6 ⇒ 6 ZZZ 6 14 1 Vuvw Phép đổi biến số trong toạ độ trụ Khi miền V có biên là các mặt như mặt paraboloit, mặt nón, mặt trụ, và có hình chiếu D lên Oxy là hình tròn, hoặc hàm lấy tích phân f (x, y, z) có chứa biểu thức (x2 + y2) thì ta hay sử dụng công thức đổi biến trong hệ toạ độ trụ. Toạ độ trụ của điểm M(x, y, z) là bộ ba (r, ϕ, z), trong đó (r, ϕ) chính là toạ độ cực của điểm M0 là hình chiếu của điểm M lên Oxy. x = r cos ϕ Công thức đổi biến . Định thức Jacobian của phép biến đổi là D(x,y,z) ,  y = r sin ϕ J = D(r,ϕ,z) = r   z = z ta có:   I = f (x, y, z) dxdydz = f (rcosϕ, r sin ϕ, z) rdrdϕdz ZZZV ZZZVrϕz 39
  41. 40 Chương 2. Tích phân bội (x, y) D ϕ1 6 ϕ 6 ϕ2 Nếu miền V : ∈ , trong đó D : thì: ( z1 (x, y) 6 z 6 z2 (x, y) ( r1 (ϕ) 6 r 6 r2 (ϕ) ϕ2 r2(ϕ) z2(r cos ϕ,r sin ϕ) I = dϕ rdr f (r cos ϕ, r sin ϕ, z) dz Z Z Z ϕ1 r1(ϕ) z1(r cos ϕ,r sin ϕ) x2 + y2 6 1 Bài tập 2.18. Tính x2 + y2 dxdydz, trong đó V : . ZZZ ( 1 6 z 6 2 V  z 2 V 1 y O x Hình 2.18 x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Lời giải. Đặt  y = r sin ϕ thì  0 6 r 6 1 . Ta có    z = z  1 6 z 6 2    2π 1 2 3π I = dϕ r2dr zdz = = 4 Z0 Z0 Z1 Bài tập 2.19. Tính z x2 + y2dxdydz, trong đó: ZZZ V p a) V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x2 + y2 = 2x và các mặt phẳng z = 0, z = a (a > 0). b) V là nửa của hình cầu x2 + y2 + z2 6 a2, z > 0 (a > 0) 40
  42. 2. Tích phân bội ba 41 z O y x Hình 2.19a π π x = r cos ϕ 6 ϕ 6 − 2 2 Lời giải. a) Đặt  y = r sin ϕ . Từ x2 + y2 = 2x suy ra r = 2 cos ϕ. Do đó:  .  0 6 r 6 2 cos ϕ    z = z  0 6 z 6 a Vậy    π  2 2cos ϕ a  16a2 I = dϕ r2dr zdz = = 9 Zπ Z0 Z0 − 2 z O y x Hình 2.19b 41
  43. 42 Chương 2. Tích phân bội x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Lời giải. b) Đặt  y = r sin ϕ , ta có  0 6 r 6 a . Vậy    z = z  0 6 z 6 a2 r2 −   p  2π a √a2 r2 a − a2 r2 2πa5 I = dϕ r2dr zdz = 2π r2. − dr = 2 15 Z0 Z0 Z0 Z0 y = z2 + x2 Bài tập 2.20. Tính I = ydxdydz, trong đó V giới hạn bởi: . ( y = hp ZZZV z O h y x Hình 2.20 x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Lời giải. Đặt  y = r sin ϕ , ta có  0 6 r 6 h . Vậy    z = z  r 6 y 6 h    2π h  h h h2 r2 πh4 I = dϕ rdr ydy = 2π r. − dr = 2 4 Z0 Z0 Zr Z0 x2 + y2 = z2 Bài tập 2.21. Tính I = x2 + y2dxdydz trong đó V giới hạn bởi: . ZZZ ( z = 1 V p 42
  44. 2. Tích phân bội ba 43 z y O x Hình 2.21 x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Lời giải. Đặt  y = r sin ϕ , ta có  0 6 r 6 1 . Vậy    z = z  r 6 z 6 1     2π 1 1 1 π I = dϕ r2dr dz = 2π r2 (1 r) dr = − 6 Z0 Z0 Zr Z0 x2 + y2 = 1 dxdydz ≤ Bài tập 2.22. Tính 2 , trong đó V : . √x2+y2+(z 2) ( z 1 ZZZV − | |≤ 43
  45. 44 Chương 2. Tích phân bội z O y x Hình 2.22 x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Lời giải. Đặt  y = r sin ϕ J = r, V :  0 6 r 6 1 , ta có ⇒ | | rϕz    z0 = z 2  3 6 z0 6 1 − − −    2π 1 1  − dz I = dϕ rdr 0 √r2 + z 2 Z0 Z0 Z3 0 − 1 2 2 z0= 1 = π r.ln z0 + r + z0 z =−3 dr 0 − Z0   p 1 1 = 2π r ln r2 + 1 1 dr r ln r2 + 9 3 dr  − − −  Z0 p  Z0 p  = 2π (I I )  1 − 2 2 2 Vì lim r ln √r + 1 1 = lim r ln √r + 9 3 = 0 nên thực chất I1, I2 là các tích phân r 0 − r 0 − xác→ định.   →   Đặt √r2 + 1 = t rdr = tdt, ta có ⇒ r ln r2 + 1 1 dr − Z p  = t ln (t 1) dt Z − t2 1 t2 = ln (t 1) dt 2 − − 2 t 1 Z − t2 1 t2 t = − ln (t 1) + C 2 − − 4 − 2 44
  46. 2. Tích phân bội ba 45 nên 2 2 t 1 t t √ 1 1 1 I = − ln (t 1) 2 = ln √2 1 √2 1 1 2 − − 4 − 2 |1 2 − − 4 − 2 −   2 2     Tương tự, I = t 9 ln (t 3) t 3t + C nên 2 −2 − − 4 − 2 2 2 t 9 t 3t √ 1 1 3 I = − ln (t 3) 10 = ln √10 3 √10 3 2 2 − − 4 − 2 |3 2 − − 4 − 2 −       Vậy √2 1 I = 2π (I1 I2) = π ln − + 3√10 8 √2 − √10 3 − − ! − Phép đổi biến trong toạ độ cầu Trong trường hợp miền V có dạng hình cầu, chỏm cầu, múi cầu,. . . và khi hàm lấy tích phân f (x, y, z) có chứa biểu thức x2 + y2 + z2 thì ta hay sử dụng phép đổi biến trong toạ độ cầu.  Toạ độ cầu của điểm M(x, y, z) trong không gian là bộ ba (r, θ, ϕ), trong đó: r = OM−−→ \   θ = OM−−→ , Oz    \  ϕ = OM−−→0, Ox      x= r sin θ cos ϕ Công thức của phép đổi biến là:  y = r sin θ sin ϕ .   z = r cos θ Định thức Jacobian J = D(x,y,z) = r2 sin θ, ta có: D(r,θ,ϕ) − f (x, y, z) dxdydz = f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) r2 sin θdrdθdϕ ZZZ ZZZ V Vrθϕ ϕ 6 ϕ 6 ϕ , (ϕ ϕ 6 2π) 1 2 2 − 1 Đặc biệt, nếu Vrθϕ :  θ1 (ϕ) 6 θ 6 θ2 (ϕ) thì   r1 (θ, ϕ) 6 r 6 r2 (θ, ϕ)  ϕ2 θ2(ϕ) r2(θ,ϕ) I = dϕ sin θdθ f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)r2dr Z Z Z ϕ1 θ1(ϕ) r1(θ,ϕ) 45
  47. 46 Chương 2. Tích phân bội 1 6 x2 + y2 + z2 6 4 Bài tập 2.23. Tính x2 + y2 + z2 dxdydz, trong đó V : 2 2 2 ZZZ ( x + y 6 z V  z V1 y O x Hình 2.23 x = r sin θ cos ϕ Lời giải. Đặt  y = r sin θ sin ϕ . Do 1 6 x2 + y2 + z2 6 4 nên 1 r 2; trên mặt nón có ≤ ≤   z = r cos θ π phương trình x2 + y2 = z2 nên θ = . Vậy  4 0 6 ϕ 6 2π π  0 6 θ 6  4   1 6 r 6 2   nên  π 2π 4 2 π 5 √ 2 2 4 r 2 4.31π 2 I = 2 dϕ sin θdθ r .r dr = 2.2π. ( cos θ) 0 . 1 = 1 − 5 5 − 2 ! Z0 Z0 Z1 Bài tập 2.24. Tính x2 + y2 + z2dxdydz trong đó V : x2 + y2 + z2 6 z. ZZZ V p 46
  48. 2. Tích phân bội ba 47 z y O x Hình 2.24 x = r sin θ cos ϕ 6 6 6 6 π Lời giải. Đặt  y = r sin θ sin ϕ . Nhìn hình vẽ ta thấy 0 ϕ 2π,0 θ 2 .   z = r cos θ 2 2 2 Do x + y + z6 z nên 0 6 r 6 cos θ. Vậy  π π 2π 2 cos θ 2 1 π I = dϕ sin θdθ r.r2dr = 2π. sin θ. cos4 θdθ = 4 10 Z0 Z0 Z0 Z0 Phép đổi biến trong toạ độ cầu suy rộng. Tương tự như khi tính tích phân kép, khi miền V có dạng hình ellipsoit hoặc hình cầu có tâm không nằm trên các trục toạ độ thì ta sẽ sử dụng phép đổi biến số trong toạ độ cầu suy rộng. Khi đó ta phải tính lại Jacobian của phép biến đổi. 1. Nếu miền V có dạng hình ellipsoit hoặc hình cầu có tâm không nằm trên các trục toạ độ nên nghĩ tới phép đổi biến số trong toạ độ cầu suy rộng. 2 2. Nếu x2 y z2 thì thực hiện phép đổi biến – V : a2 + b2 + c2 = 1 x = ar sin θ cos ϕ  y = br sin θ sin ϕ , J = abcr2 sin θ −   z = cr cos θ   47
  49. 48 Chương 2. Tích phân bội – Nếu V : (x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = R2 thì thực hiện phép đổi biến − − − x = a + r sin θ cos ϕ  y = b + r sin θ sin ϕ , J = r2 sin θ −   z = c + r cos θ   3. Xác định miền biến thiên của ϕ, θ, r. 4. Dùng công thức đổi biến tổng quát để hoàn tất việc đổi biến. 2 2 Tính 2 2 , trong đó là nửa của khối ellipsoit x +y z2 6 Bài tập 2.25. z x + y dxdydz V a2 + b2 ZZZ V p 1, z > 0, (a, b > 0) Lời giải. Cách 1: Sử dụng phép đổi biến trong toạ độ trụ suy rộng. Đặt z = bz0 D (x, y, z) 2 2  x = ar cos ϕ J = = a br, V = 0 6 ϕ 6 2π,0 6 r 6 1,0 6 z0 6 1 r ⇒ D (r, ϕ, z) rϕz0 −   y = ar sin θ n p o  Vậy 2π 1 √1 r2 1 − 2 3 2 2 3 2 2 1 r 2πa b I = dϕ dr bz0.ar.a brdz0 = 2a b π r . − dr = 2 15 Z0 Z0 Z0 Z0 Cách 2: Sử dụng phép đổi biến trong toạ độ cầu suy rộng. Đặt x = ar sin θ cos ϕ D (x, y, z) π  y = ar sin θ sin ϕ J = = a2br2 sin θ, V = 0 6 ϕ 6 2π,0 6 θ 6 ,0 6 r 6 1 ⇒ D (r, θ, ϕ) rϕz0 2   z = br cos θ n o  Vậy π 2π 2 1 2π 1 2πa3b2 I = dϕ dθ br cos θ.ar sin θ.a2b sin θ = 2a3b2π cos θ sin2 πdθ r4dr = 15 Z0 Z0 Z0 Z0 Z0 2 2 Tính x2 y z2 ,ởđó x2 y z2 6 > . Bài tập 2.26. a2 + b2 + c2 dxdydz V : a2 + b2 + c2 1, (a, b, c 0) ZZZV   48
  50. 2. Tích phân bội ba 49 Lời giải. Đặt x = ar sin θ cos ϕ D (x, y, z)  y = br sin θ sin ϕ J = = abcr2 sin θ, V = 0 6 ϕ 6 2π,0 6 θ 6 π,0 6 r 6 1 ⇒ D (r, θ, ϕ) rϕz0  { }  z = cr cos θ  Vậy 2π π 1 4π I = abc dϕ dθ r2.r2 sin θ = abc 5 Z0 Z0 Z0 49
  51. 50 Chương 2. Tích phân bội §3. CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 3.1 Tính diện tích hình phẳng Công thức tổng quát: S = dxdy ZZD y = 2x x Bài tập 2.27. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi:  y = 2− .   y = 4   y x x y = 2− y = 2 4 1 O x Hình 2.27 Lời giải. Nhận xét: 2 6 x 6 0 0 6 x 6 2 D = D D , D − , D 1 2 1 x 2 x ∪ ( 2− 6 y 6 4 ( 2 6 y 6 4 nên 3 S = dxdy = dxdy + dxdy = 2 dxdy = = 2 8 ZZ ZZ ZZ ZZ − ln2 D D1 D2 D1   50
  52. 3. Các ứng dụng của tích phân bội 51 y2 = x, y2 = 2x Bài tập 2.28. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi: ( x2 = y, x2 = 2y y y = x2 x2 = 2y 2x = y2 x = y2 O x Hình 2.28 Lời giải. Ta có S = dxdy. Thực hiện phép đổi biến ZZD y2 u = x 1 6 u 6 2  Duv : , x2 ⇒ 6 6  v = ( 1 v 2  y   thì y2 2y 1 D (u, v) x2 x J− = = −2x x2 = 3 D (x, y) 2 − y − y Vậy 1 1 S = dudv = ZZ 3 3 Duv y = 0, y2 = 4ax Bài tập 2.29. Tính diện tích miền D giới hạn bởi . ( x + y = 3a, y 6 0 (a > 0) 51
  53. 52 Chương 2. Tích phân bội y 3a 3a O x 6a − Hình 2.29 6a 6 y 6 0 − Lời giải. Nhìn hình vẽ ta thấy D :  y2 nên  6 x 6 3a y  4a − 0  3a y 0  − y2 S = dxdy = dy dx = 3a y dy = 18a2 − − 4a ZZD Z6a yZ2 Z6a   − 4a − x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x Bài tập 2.30. Tính diện tích miền D giới hạn bởi . ( x = y, y = 0 y y = x O 2 4 x Hình 2.30 π x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 Lời giải. Ta có S = dxdy, đặt thì D : 4 nên ( y = r sin ϕ  6 6 ZZD  2 cos ϕ r 4 cos ϕ π π 4 4cos ϕ 4 1  3π 3 S = dϕ rdr = 12 cos2 ϕdϕ = + 2 4 2 Z0 2cosZ ϕ Z0 52
  54. 3. Các ứng dụng của tích phân bội 53 Bài tập 2.31. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường tròn r = 1, r = 2 cos ϕ. √3 Chú ý: r = a là phương trình đường tròn tâm O(0,0), bán kính a. • r = a cos ϕ là phương trình đường tròn tâm (a,0), bán kính a. • y O x Hình 2.31 Lời giải. Giao tại giao điểm của 2 đường tròn: 2 π r = 1 = cos ϕ ϕ = √3 ⇔ ± 6 nên π 2 cos ϕ π 6 √3 6 1 4 √3 π S = 2 dϕ rdr = 2. cos2 ϕ 1 dϕ = 2 3 − 6 − 18 Z0 Z1 Z0   2 Bài tập 2.32. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường x2 + y2 = 2a2xy (a > 0) (đường )  y r = a sin2ϕ p O x Hình 2.32 53
  55. 54 Chương 2. Tích phân bội x = r cos ϕ Lời giải. Tham số hoá đường cong đã cho, đặt , phương trình đường cong ( y = r sin ϕ tương đương với r2 = a2 sin2ϕ. Khảo sát và vẽ đường cong đã cho trong hệ toạ độ cực (xem hình vẽ 2.32). Ta có π 3π 0 6 ϕ 6 , π 6 ϕ 6 D : 2 2   0 6 r 6 a sin2ϕ Do tính đối xứng của hình vẽ nên p π π 2 a√sin2ϕ 2 S = 2 dϕ rdr = a2 sin2ϕdϕ = a2 Z0 Z0 Z0 Bài tập 2.33. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường x3 + y3 = axy (a > 0) (Lá Descartes) y 1 2 1 O 2 x Hình 2.33 TCX: y = x 1 − − 3 x = r cos ϕ Tham số hoá đường cong đã cho, đặt , phương trình đường cong tương đương ( y = r sin ϕ với a sin ϕ cos ϕ r = sin3 ϕ + cos3 ϕ Khảo sát và vẽ đường cong đã cho trong hệ toạ độ cực (xem hình vẽ 2.33). Ta có π 0 6 ϕ 6 2 D :  a sin ϕ cos ϕ  0 6 r 6  sin3 ϕ + cos3 ϕ   54
  56. 3. Các ứng dụng của tích phân bội 55 nên a sin ϕ cos ϕ π 3 3 π 2 sin ϕ+cos ϕ 2 +∞ a2 sin2 ϕ cos2 ϕ t=tgϕ a2 1 d t3 + 1 a2 S = dϕ rdr = dϕ = . = 2 3 3 2 2 3 (t3 + 1)2 6 Z0 Z0 Z0 sin ϕ + cos ϕ Z0   Bài tập 2.34. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường r = a (1 + cos ϕ) (a > 0), (đường Cardioids hay đường hình tim) y a O 2a x a − Hình 2.34 Lời giải. Ta có D = 0 6 ϕ 6 2π,0 6 r 6 a (1 + cos ϕ) { } nên π a(1+cos ϕ) π 3πa2 S = 2 dϕ rdr = a2 (1 + cos ϕ)2 dϕ = = 2 Z0 Z0 Z0 3.2 Tính thể tích vật thể Công thức tổng quát: V = dxdydz ZZZV Các trường hợp đặc biệt 1. Vật thể hình trụ, mặt xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, đáy là miền D trong mặt phẳng Oxy, phía trên giới hạn bởi mặt cong z = f (x, y) , f (x, y) > 0 và liên tục trên D thì V = f (x, y) dxdy. (Xem hình vẽ dưới ZZD đây). 55
  57. 56 Chương 2. Tích phân bội z = f (x, y) z O y D x 2. Vật thể là khối trụ, giới hạn bởi các đường sinh song song với trục Oz, hai mặt z = z1 (x, y) , z = z2 (x, y). Chiếu các mặt này lên mặt phẳng Oxy ta được miền D, z1 (x, y) , z2 (x, y) là các hàm liên tục, có đạo hàm riêng liên tục trên D. Khi đó: V = z (x, y) z (x, y) dxdy | 1 − 2 | ZZD z = f (x, y) z Ω z = g(x, y) O y D x 3x + y > 1 Bài tập 2.35. Tính diện tích miền giới hạn bởi  3x + 2y 6 2 .   y > 0,0 6 z 6 1 x y − −   56
  58. 3. Các ứng dụng của tích phân bội 57 z O y x Hình 2.35 Lời giải. 2 2y 1 −3 1 1 1 V = f (x, y) dxdy = dy (1 x y) dx = 1 2y + y2 dy = − − 6 − 18 ZZD Z0 1Zy Z0 −3   z = 4 x2 y2 Bài tập 2.36. Tính thể tích của miền V giới hạn bởi − − . ( 2z = 2 + x2 + y2 z 2z = 2 + x2 + y2 z = 4 x2 y2 O − − y x Hình 2.36 57
  59. 58 Chương 2. Tích phân bội x2 + y2 = 2 Lời giải. Giao tuyến của hai mặt cong: , nên hình chiếu của V lên mặt phẳng ( z = 2 2 2 Oxy là D : x2 + y2 2. Hơn nữa trên D thì 4 x2 y2 > 2+x +y nên ta có: ≤ − − 2 2 + x2 + y2 V = 4 x2 y2 dxdy − − − 2 ZZD   x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Đặt thì , do đó ( y = r sin ϕ ( 0 6 r 6 √2 2π √2 3 V = dϕ 3 r2 rdr = = 3π − 2 Z0 Z0   0 6 z 6 1 x2 y2 Bài tập 2.37. Tính thể tích của V : − − . ( y > x, y 6 √3x z 1 O 1 y Hình 2.37 x Lời giải. Do x y √3x nên x, y 0. Ta có ≤ ≤ ≥ V = 1 x2 y2 dxdy − − ZZD   58
  60. 3. Các ứng dụng của tích phân bội 59 π π x = r cos ϕ 6 ϕ 6 Đặt thì 4 3 . Vậy ( y = r sin ϕ  6 6  0 r 1  π 3 1 π V = dϕ 1 r2 rdr = = − 48 Zπ Z 4 0   x2 + y2 + z2 6 4a2 Bài tập 2.38. Tính thể tích V : . ( x2 + y2 2ay 6 0 − z 2a O 2a 2a x y Hình 2.38 Lời giải. Do tính chất đối xứng của miền V nên V = 4 4a2 x2 y2dxdy, − − ZZD q π x2 + y2 2ay 6 0 x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 trong đó D là nửa hình tròn D : − . Đặt 2 ( x > 0 ( y = r sin ϕ ⇒  6 6  0 r 2a sin ϕ 59 
  61. 60 Chương 2. Tích phân bội Vậy π 2 2a sin ϕ V = 4 dϕ 4a2 r2rdr − Z0 Z0 p π 2 3 1 2 2 r= a ϕ = 4.− 4a2 r2 2 sin dϕ 2 3 − r=0 Z0   π 2 4 = 8a3 8a3 cos3 ϕ dϕ 3 − Z0   32a3 π 2 = 3 2 − 3   z = 0  x2 y2 z = + Bài tập 2.39. Tính thể tích của miền V giới hạn bởi  2 2 .  a b  x2 y2 2x + = a2 b2 a  z   x2 y2 z = a2 + b2 1 O a x Hình 2.39 2 2 Lời giải. Ta có hình chiếu của lên mặt phẳng là miền x y 2x . Do tính chất V Oxy D : a2 + b2 = a đối xứng của miền V nên: x2 y2 V = 2 + dxdy, a2 b2 ZZD+   60
  62. 3. Các ứng dụng của tích phân bội 61 2 trong đó + là nửa ellipse + x2 y 2x > D D : a2 + b2 = a , y 0 π x = ar cos ϕ 0 6 ϕ 6 Đặt thì J = abr, 2 . Vậy ( y = br sin ϕ | |  6 6  0 r 2 cos ϕ π  2 2cos ϕ 3π V = 2 dϕ r2rdr = = 2 Z0 Z0 az = x2 + y2 Bài tập 2.40. Tính thể tích của miền V : .  z = x2 + y2  z q  a a O a y − Hình 2.40 Lời giải. Giao tuyến của hai đường cong: x2 + y2 x2 + y2 = a2 z = x2 + y2 = a ⇔ z = a q ( Vậy hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy là D : x2 + y2 = a2 Nhận xét rằng, ở trong miền D thì mặt nón ở phía trên mặt paraboloit nên: x2 + y2 V = x2 + y2 dxdy − a ZZD q  61
  63. 62 Chương 2. Tích phân bội x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π Đặt thì . Vậy ( y = r sin ϕ ( 0 6 r 6 a 2π a r2 πa3 V = dϕ r rdr = = − a 6 Z0 Z0   3.3 Tính diện tích mặt cong Mặt z = f (x, y) giới hạn bởi một đường cong kín, hình chiếu của mặt cong lên mặt phẳng Oxy là D. f (x, y) là hàm số liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trên D. Khi đó: 2 2 σ = 1 + p + q dxdy, p = fx0 , q = fy0 ZZD q z = f (x, y) z O y D x 62