Bài giảng Giải tích các hàm nhiều biến: Chuỗi Fourier và tích phân Fourier

Nội dung text: Bài giảng Giải tích các hàm nhiều biến: Chuỗi Fourier và tích phân Fourier

1. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier
2. Chương 8 Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 8.1. Chuỗi Fourier 275 8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier 276 8.1.2. Tính đầy đủ của các hệ đa thức 279 8.1.3. Tính chất của các hệ số Fourier 282 8.1.4. Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier 284 8.1.5. Dạng phức của chuỗi Fourier 288 8.1.6. Thí dụ 289 8.2. Tích phân Fourier 290 8.2.1. Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier 290 8.2.2. Dạng khác của công thức Fourier 293 8.3. Biến đổi Fourier 295 8.3.1. Định nghĩa 295 8.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 296 8.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier 297 8.3.4. Tích chập và biến đổi Fourier 299 8.4. Một số ví dụ về ứng dụng 301 8.4.1. Bộ lọc điện 301 8.4.2. Sự truyền nhiệt trong thanh kim loại 302 8.1. Chuỗi Fourier Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đã được làm quen với khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội tụ của nó. Đây là một lĩnh vực quan trọng của toán học và có nhiều ứng dụng thiết thực trong: Vật lý, Cơ học, Kỹ thuật, Công nghệ, cho nên đã được quan tâm nghiên cứu rất nhiều. Các kết quả về lĩnh vực này vô cùng phong phú, đa dạng, và những gì chúng ta đã biết trong giáo trình giải tích nói trên mới chỉ là những kiến thức ban đầu.
3. 276 Giải tích các hàm nhiều biến Toàn bộ chương này chúng ta dành để tiếp tục công việc tìm hiểu lĩnh vực thú vị đó. 8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier Trước hết ta nhắc lại rằng chuỗi Fourier của một hàm f khả tích tuần hoàn trên đoạn [,]−ππ là chuỗi lượng giác a ∞ 0 ++[cosanxbnx sin] , 2 ∑ nn n=1 trong đó các hệ số được tính bởi các công thức sau đây π afxnxdxn==1 ( )cos , 0,1,2,3, n π ∫ −π π bfxnxdxn==1 ( )sin , 1,2,3, . n π ∫ −π Tổng riêng của chuỗi này là a n Sx()=+0 [ a cos kxb + sin] kx = nkk2 ∑ k=1 π n =+1 [1 2 (coskt cos kx + sin kt .sin kx )] f ( t ) dt = 2π ∫ ∑ −π k=1 π n =+1 [1 2 coskt (− x )] f ( tdt ) . 2π ∫ ∑ −π k=1 n sin[(2nu+ 1) / 2] Để ý rằng 12+= cosku khi um≠ 2 π , m ∈ ] , ta suy ra ∑ sin(u / 2) k=1 π Sx()= 1 Dt (− xftdt ) () , nn2π ∫ −π sin 21n + u ()2 trong đó Dun ()= , có tên gọi là nhân Dirichlet, còn tích phân ở vế sin u ()2 phải của biểu thức trên có tên gọi là tích phân Dirichlet. Dễ thấy rằng nhân Dirichlet là một hàm chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π và π 1 Dudu()= 1. π ∫ n 0 Thiết lập các trung bình cộng của các tổng riêng và của các nhân Dirichlet
4. Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 277 Sx()+++ Sx () Sx () σ = 01 n , n n +1 D ()xDx+++ () Dx () Φ ()x = 01 n , n n +1 và gọi Φn ()x là nhân Fejer, còn σn (x ) là tổng Fejer, và từ các công thức tích phân Dirichlet ta có π σΦ()x =+1 ()ufx ( udu ) . nn2π ∫ −π Bổ đề. Nhân Fejer Φn ()x có những tính chất sau đây: (i) Nhân Fejer Φn ()x là chẵn, liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π ; (ii) Φn ()x ≥∀ 0, x ; π (iii) 1 Φ ()xdx= 1; 2π ∫ n −π (iv) Với mỗi δπ∈ (0, ) ta có lim maxΦn (x )= 0 . n→∞ δπ≤≤||x Chứng minh. Từ định nghĩa ta có nn (1)()nxDx+=Φ () =1 sin[(21)/2] kx += nk∑∑sin(x / 2) kk==00 nn =+=112sin[(2kx 1) / 2]sin( x / 2) [cos kxkx− cos(+ 1) ] 22∑∑ 2sin (xx /2)kk==00 2sin ( /2) 1cos(1)2.sin[(1)/2]− nx++2 nx == . 2sin22 (xx /2) 2sin ( /2) Từ đây suy ra sin2 [(nx+ 1) / 2] Φn ()x = . (1)sin(/2)nx+ 2 Đẳng thức trên đúng với mọi x khác 0. Nhưng do vế phải là hàm liên tục và vế trái có giới hạn là n+1 khi x tiến tới 0, cho nên ta suy ra Φn (0)=+n 1. Từ công thức trên ta suy ra các tính chất (i)-(ii). Tính chất (iii) có ngay từ công thức tích phân nhân Dirichlet (bằng 1 với mọi n) và tính chẵn của nhân Fejer. Tính chất (iv) suy ra từ nhận xét sau đây:
5. 278 Giải tích các hàm nhiều biến 11sin2 [(nx+ 1) / 2] maxΦn (x )= max ≤ . δπ≤≤||xxn +1 δπ ≤≤ || sin(/2)22xn (+ 1)sin(/2)δ Bổ đề đã được chứng minh xong. Định lý. (Fejer) Nếu hàm số f là liên tục trên đoạn [,]−π π và f ()−ππ= f () thì tổng Fejer σn ()x hội tụ đều tới hàm f trên đoạn đó khi n →∞. Chứng minh. Do các điều kiện của định lý, ta có thể thác triển hàm f thành một hàm liên tục, tuần hoàn trên toàn bộ trục số (với chu kỳ 2π). Từ bổ đề trên ta suy ra ππ |()f x−σΦΦ ()| x= f (). x11 () udu− ()( u f x+= udu ) nnn22ππ∫∫ −−ππ ππ = 11ΦΦ()[()ufxfxudu− (+ )]≤− ()|() ufxfxudu (+ )| . 22ππ∫∫nn −−ππ Do hàm f là liên tục và tuần hoàn cho nên nó liên tục đều trên toàn trục số. Suy ra, với mỗi số ε > 0 cho trước, tồn tại số δ > 0 sao cho ϖδ(;ffxfy ):= max| ()−≤ ()| ε /3. ||xy−≤δ Từ công thức trên, bằng cách tách tích phân vế phải thành 3 tích phân trên 3 đoạn, ta có −δ δπ |()fx−≤σ ()| x 111++. n 222πππ∫ ∫∫ −−π δδ Đối với tích phân ở giữa ta có đánh giá δδ 11ΦϖδΦ()|()u f x− f ( x+ u )| du≤≤ (; f ) () u du 22ππ∫∫nn −−δδ π ≤ ϖδ(;fudu )1 Φ ()< ε . 23π ∫ n −π Dễ thấy rằng hàm f bị chặn bởi một số M nào đó cho nên, từ tính chất (iv) trong bổ đề trên, ta suy ra tồn tại số tự nhiên nε đủ lớn sao cho với nn≥ ε thì 2 tích phân còn lại đều nhỏ hơn ε /3, và tổng hợp lại ta có |()f xx−≤σεn ()| , ∀≥ nnε . Định lý đã được chứng minh xong. Nhận xét. Ta đã biết rằng chuỗi Fourier của một hàm liên tục không nhất thiết hội tụ tại mỗi điểm, và do đó khả năng thiết lập lại hàm số từ chuỗi Fourier của nó là rất mỏng manh. Tuy nhiên, định lý trên đây đã đưa ra một phương pháp mới, thiết
6. Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 279 lập lại hàm số không phải trực tiếp từ tổng riêng của chuỗi Fourier, mà từ các trung bình cộng của chúng (tức là các tổng Fejer). Phương pháp này ưu việt ở chỗ nó không chỉ đem lại tính hội tụ, mà còn hội tụ đều, tới chính hàm f. Như vậy, việc nghiên cứu các chuỗi phân kỳ cũng có lúc đem lại hiệu quả bất ngờ. Phương pháp nghiên cứu các chuỗi bất kỳ (không nhất thiết là chuỗi lượng giác) bằng cách thiết lập các trung bình cộng của các tổng riêng và khảo sát tính hội tụ của chúng được gọi là phương pháp lấy trung bình cộng. 8.1.2. Tính đầy đủ của các hệ đa thức Ta đã biết thế nào là đa thức đại số bậc n. Bây giờ ta có thêm khái niệm đa thức lượng giác bậc n, đó là các hàm có dạng n 22 AAkxBkxAB0 ++∑ kkcos sin , nn +≠ 0 . k=1 Định lý. (Weierstrass I) Nếu hàm f liên tục trên đoạn [,]−π π và f ()−ππ= f () thì, với mỗi ε > 0 , tồn tại đa thức lượng giác Tx() sao cho |()fx− Tx ()| 0 , tồn tại đa thức đại số P()x sao cho |()f xPx− ()| 0 , ta tìm được đa thức lượng giác Tx() thỏa mãn điều kiện |ftTt *()− ()|< ε /2,∀∈− t [ππ , ]. Vì đa thức lượng giác là hàm giải tích, khai triển được dưới dạng chuỗi lũy thừa (hội tụ đều trên toàn trục số), cho nên tồn tại số tự nhiên nε sao cho với mọi nn≥ ε đa thức Taylor bậc n của Tx(), ký hiệu là Pn ()t , thỏa mãn điều kiện |()Tt− Pn ()| t< ε /2,∀∈− t [ππ ,]. Lấy đa thức P()tPt= () ta có nε
7. 280 Giải tích các hàm nhiều biến |ft *()−≤ Pt ()| | ftTtTtPt *() − ()|+ | ()− ()| , tồn tại hữu hạn các hàm ϕi và các số λi (ik= 1,2, , ) sao cho |f (xx )− [λϕ11 ( )++ λkk ϕ ]| < ε ,∀∈ xab [ , ] . Từ các định lý trên ta có các mệnh đề sau. Mệnh đề. Hệ các hàm lượng giác 1, cosx , sinxxx , cos2 , sin 2 , ,cos nxnx ,sin , là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ đều đối với tập các hàm liên tục trên đoạn [,]−ππ và nhận giá trị như nhau ở 2 đầu mút của đoạn này. Chứng minh. Suy ra từ định lý Weierstrass I. Mệnh đề. Hệ các hàm lũy thừa 1,xx ,2 , , xn , là đầy đủ đối với tập các hàm liên tục trên đoạn bất kỳ (theo nghĩa xấp xỉ đều). Chứng minh. Suy ra từ định lý Weierstrass II. Chú ý. Hệ các hàm lượng giác không thể là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ đều đối với họ các hàm liên tục trên đoạn [−π ,π ] (bởi vì nếu không thì từ tính chất TT()−ππ= () của các đa thức lượng giác sẽ kéo theo f (−π )= f (π ) với mọi hàm liên tục f ).
8. Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 281 Người ta coi độ lệch toàn phương trung bình giữa 2 hàm f và g xác định trên đoạn [a,b] là đại lượng b ∫ [()f xgxdx− ()]2 . a Đại lượng này còn có tên gọi là độ lệch toàn phương trung bình của f so với g (hay là của g so với f ). Định nghĩa. Một hệ các hàm số ϕϕ12, , , ϕn , xác định trên đoạn [a,b] được gọi là đầy đủ đối với họ các hàm số ℜ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình nếu như, với mỗi hàm f ∈ ℜ và với mọi số ε > 0 , tồn tại một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm trong hệ nói trên có độ lệch toàn phương trung bình so với hàm f nhỏ hơn ε. Mệnh đề. Hệ các hàm lượng giác 1, cosx , sinxxx , cos2 , sin 2 , ,cos nxnx ,sin , là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình đối với tập các hàm liên tục trên đoạn [,]−ππ và nhận giá trị như nhau ở 2 đầu mút của đoạn này. Chứng minh. Từ tính đầy đủ của hệ các hàm lượng giác theo nghĩa xấp xỉ đều ta suy ra, với mỗi số ε > 0 , tồn tại đa thức lượng giác Tx ( ) sao cho |()fx− Tx ()|/2,< ε πππ∀∈− x [ ,] . Từ đây ta suy ra ππ ∫∫[()f x− T ()] x2 dx<=ε dx ε . −−ππ2π Mệnh đề đã được chứng minh xong. Nhận xét. Trong chứng minh trên, vì để sử dụng được tính đầy đủ của hệ các hàm lượng giác theo nghĩa xấp xỉ đều mà ta phải giả thiết các hàm liên tục nhận giá trị như nhau tại 2 đầu mút của đoạn. Sau này ta sẽ thấy rằng, theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình, hệ các hàm lượng giác không những là đầy đủ trong lớp hàm liên tục nói chung (nhận các giá trị bất kỳ tại 2 đầu mút cuối của đoạn), mà còn là đầy đủ trong lớp hàm rộng hơn hẳn: lớp các hàm với bình phương khả tích. Và trong lớp hàm này, với cách xấp xỉ theo nghĩa toàn phương trung bình, các tổng riêng Fourier sẽ thể hiện được đầy đủ các ưu thế của mình, chứ không bị “yếu thế” (so với tổng riêng Fejer) trong phép xấp xỉ đều như đã thấy trước đây. Lớp của những hàm này thường được ký hiệu là L2[,]−π π . Mệnh đề. Hệ các hàm lũy thừa 1,xx ,2 , , xn , là đầy đủ đối với tập các hàm liên tục trên đoạn bất kỳ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình. Chứng minh. Tương tự như mệnh đề trên.
9. 282 Giải tích các hàm nhiều biến 8.1.3. Tính chất của các hệ số Fourier Trong phần này, ta luôn hiểu tích phân theo nghĩa tích phân suy rộng. Khi ấy tính khả tích của một hàm số không kéo theo tính khả tích của bình phương của nó (và ngược lại). Thí dụ, hàm f ()xx= 1/| | là khả tích trên đoạn [1,1]− , còn bình phương của nó thì không. Tuy nhiên, nếu hàm f chỉ có một số hữu hạn các điểm đặc biệt (điểm không xác định) và là khả tích Riemann trên mọi đoạn bất kỳ không chứa các điểm này thì từ tính khả tích của f 2 suy ra tính khả tích của f , vì ta luôn có ||(1)/2ff≤ + 2 . Đối tượng chính mà chúng ta nghiên cứu trong phần này sẽ là những hàm khả tích cùng với bình phương của nó trên đoạn [−π ,π ] , và ta gọi chúng một cách ngắn gọn là hàm với bình phương khả tích. Kết quả sau đây cho chúng ta thấy rằng tổng Fourier bậc n là xấp xỉ toàn phương trung bình tốt nhất trong số các xấp xỉ bởi đa thức lượng giác bậc n của hàm bình phương khả tích. Định lý. Cho f là hàm số với bình phương khả tích trên đoạn [,]−ππ . Nếu Sxn () là tổng Fourier bậc n của f thì ππ 22 ∫∫[f ()x− Sxdxnn ()]= min[ fxTxdx ()− ()] , Txn () −−ππ trong đó minimum ở vế phải lấy theo mọi đa thức lượng giác Txcón () bậc không quá n. Nếu aab011, , , , abnn , , là các hệ số Fourier của f thì ta có bất đẳng thức Bessel sau đây: π a2 ∞ 0 ++()ab22≤ 1 fxdx 2 (). 2 ∑ nn π ∫ n=1 −π A n Chứng minh. Với Tx()=+0 A cos() kxB + sin() kx, sử dụng tính vuông nkk2 ∑ k=1 góc của hệ các hàm lượng giác, ta có π 2 n 222 A0  [()]Txnkk dx=+π A + B ∫  2 ∑  −π k=1 cho nên π π 2 n 2 222 A0  [()f xTxdx− n ()] = fxdx() ++π Akk + B− ∫ ∫  2 ∑  −π −π k=1
10. Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 283 ππ π A n −20 f (xdx )++= A f ( x )cos( kxdx ) B f ( x )sin( kxdx ) 2 ∫∫∑ kk ∫ −−ππk=1 − π π 2 n  n  222 A0  aA00  = fxdx() ++π Akk + B− 2π ++=aAkk bB kk ∫  2 ∑   2 ∑  −π k=1  k=1  π ()Aa− 22nn a =+fxdx22222()ππ00 + ( A− a )+ ( B−− b ) 0++ ( a b ). ∫ 22∑∑()kk kk kk −π kk==11 π 2 Từ đây suy ra ∫ [()f xTxdx− n ()] đạt giá trị cực tiểu khi đa thức Txn () trùng với −π tổng riêng Fourier Sxn ( ) (bậc n) của f , tức là phần thứ nhất của định lý đã được chứng minh. Phần thứ 2 là hiển nhiên, vì rằng từ công thức trên ta suy ra ππ a2 n 11fxdx2222()− 0 ++= ( a b ) [ fxSxdx ()−≥ ()] 0, ππ∫∫2 ∑ nn n −−ππn=1 và cho n tiến ra vô cùng ta có ngay điều phải chứng minh. Nhận xét. Bất đẳng thức Bessel cho thấy rằng đối với hàm có bình phương khả tích thì chuỗi a2 ∞ 0 ++()ab22 2 ∑ nn n=1 là hội tụ. Định lý. Nếu f là hàm liên tục trên đoạn [,]−π π và nhận cùng một giá trị ở 2 đầu mút của đoạn thì các hệ số Fourier aab011, , , , abnn , , của f thỏa mãn đẳng thức Parseval sau đây: π a2 ∞ 1 f 222()xdx=+0 ( a + b ). π ∫ 2 ∑ kk −π k=1 Chứng minh. Ta biết rằng hệ các hàm lượng giác là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình đối với tập các hàm liên tục trên đoạn [−π ,π ] có giá trị tại 2 đầu mút bằng nhau, cho nên, với mỗi0ε > , tồn tại đa thức lượng giác Tx ( ) thỏa mãn π 1 [()fx− Tx ()]2 dx< ε . π ∫ −π
11. 284 Giải tích các hàm nhiều biến ππ Theo định lý trên ta có 11[()fx−≤− S ()] x22 dx [() fx Tx ()] dx< ε , và ππ∫∫n −−ππ áp dụng đẳng thức (*) đối với Sn suy ra ππ aa22∞ n 11f222222() x dx− 00++ ( a b )≤− f () x dx ++= ( a b ) ππ∫∫22∑∑kk  kk −−ππkk==11  ππ = 11[()fx−≤− S ()] x22 dx [() fx Tx ()] dx< ε . ππ∫∫n −−ππ Do ε là số dương nhỏ bao nhiêu tuỳ ý mà vế trái luôn luôn không âm (theo bất đẳng thức Bessel), nên nó phải bằng 0 . Định lý được chứng minh. Hệ quả. Với các giả thiết của định lý, chúng ta có π 2 lim [fx ()− Sn ()] x dx= 0. n→∞ ∫ −π Chứng minh. Suy ra từ chứng minh của định lý trên. 8.1.4. Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier Lưu ý rằng không phải khi nào chuỗi Fourier của một hàm cũng hội tụ đến chính hàm đó, cho nên ta sẽ dùng biểu thức a ∞ f ()xanxbnx≈ 0 ++ ( cos sin) 2 ∑ nn n=1 để biểu thị rằng hàm f có khai triển Fourier là chuỗi ở vế phải. Mệnh đề. Cho hàm f liên tục trên đoạn [,]−π π với f ()−π = f ()π và có khai triển Fourier là a ∞ f ()xanxbnx≈ 0 ++ ( cos sin) . 2 ∑ nn n=1 Nếu hàm f là khả vi từng khúc trên đoạn [,]−π π thì chuỗi Fourier của f ' bằng chuỗi của đạo hàm các số hạng trong chuỗi Fourier hàm f , nghĩa là ∞ f '(xnanxnbnx )≈−∑ (nn sin+ cos ) . n=1 Chứng minh. Giả sử hàm f ' có chuỗi Fourier là α ∞ f '(xnxnx )≈ 0 ++ (αβ cos sin ) 2 ∑ nn n=1
12. Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 285 trong đó, theo định nghĩa, ta có π αππ==11ftdt'( ) [ f ( )−− f ( )]= 0 ; 0 ππ∫ −π π π α ==+=+=1 f '(tntdtftnt ).cos( ) ( )cos( )n ftntdtnbnb ( )sin( ) 0 . . ; n ππ∫∫−π nn −π π π β ==1 f '(tntdtftnt ).sin( ) ( )sin( )− n ftntdtnana ( )cos( )= 0− .= − . . n ππ∫∫−π nn −π Mệnh đề đã được chứng minh. Bổ đề. Cho hàm f là khả vi liên tục đến cấp (1)k − và khả vi từng khúc ở cấp k (1)k ≥ , ngoài ra ff()ii()−ππ= () (), với ik=1, ,− 1. Khi đó các hệ số Fourier của f thỏa mãn εnnε |abnnn |≤≤ , | | ,= 1, 2, , nnkk ∞ 2 với các εn > 0 sao cho ∑εn < ∞ . n=1 Chứng minh. Sử dụng mệnh đề trên k lần liên tiếp ta thu được ∞ ()k f ()xnxnx≈ ∑ (αβnn cos+ sin), n=1 kk trong đó, phụ thuộc vào k chẵn hay lẻ, ta có hoặc là αβnnnn=±na, =± nb , kk 22 hoặc là αβnnnn=±nb , =± na . Đặt εnnn=+αβ và áp dụng bất đẳng thức ∞ ()k 2 Bessel cho hàm f ()x ta suy ra chuỗi ∑εn là hội tụ. Ngoài ra n=1 kkk22 ||||/annn= ααβε≤ nnn+= / nn / và tương tự như vậy đối với bn . Bổ đề đã được chứng minh. Định lý. Cho hàm f là khả vi liên tục đến cấp (1)k − và khả vi từng khúc ở cấp k (1)k ≥ , ngoài ra ff()ii()−π = () ()π , với ik=1, ,− 1. Khi đó chuỗi Fourier của f hội tụ đều đến hàm f trên đoạn [,]−π π , và ngoài ra ηn |()fx−≤ Sn (;)| xf , nk−1/2
13. 286 Giải tích các hàm nhiều biến trong đó ηn là dãy số hội tụ đến 0 và Sxfn (; ) là tổng riêng Fourier bậc n của hàm f. Chứng minh. Giả sử a ∞ f ()xamxbmx≈ 0 ++ ( cos sin ), 2 ∑ mm m=1 a n Sxf(; )=+0 ( a cos mxb + sin mx ). nmm2 ∑ m=1 εε ∞ Theo bổ đề ta có |abm |≤≤mm , | | ,= 1, 2, , và chuỗi 2 là hội mmkk ∑ εm mm m=1 tụ. Ta đánh giá phần dư của chuỗi so với tổng Fourier như sau ∞∞∞ε |()|rx=+ ( a cos mxb sin) mx≤ (||| a+ b |)2≤ m = A. nmmmmn∑∑∑k mn=+111 mn =+ mn =+m Từ bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovski ta dễ dàng suy ra ∞∞∞ A = 2.211≤ 2 . nm∑∑∑εεkk m2 mn=+111mm mn =+ mn =+ ∞ 2 Để ý rằng γnm= ∑ ε tiến tới 0 khi n tiến ra vô cùng, và mn=+1 ∞∞m ∞ ∑∑11≤≤dx dx = , 22221kkkk∫∫ − − kn=+11mxxkn mn =+mn−1 (2 1). 2 cho nên với ηγnn= ta có limηn = 0 và 21k − n→∞  ηn  1  |rxn ( ) |≤ ==ο  , n 1, 2, . nnkk−−1/2 1/2  Với các điều kiện của định lý, chuỗi Fourier hội tụ (điểm) đến hàm f , cho nên rxn () cũng chính là độ lệch của hàm f so với tổng riêng Fourier Sxfn (; ). Các đánh giá trên cho thấy tính hội tụ đều và mọi khẳng định của định lý đã được chứng minh. Nhận xét. Định lý trên cho thấy rằng hàm càng trơn (có đạo hàm bậc càng cao) thì chuỗi Fourier của nó hội tụ (đến hàm đó) càng nhanh, và do đó việc xấp xỉ nó bởi đa thức Fourier càng tỏ ra chính xác. Trong trường hợp riêng, khi hàm liên tục tuần hoàn với chu kỳ 2π là trơn từng khúc thì chuỗi Fourier của nó hội tụ đều đến chính nó. Định lý. Nếu f là hàm liên tục trên đoạn [,]−π π có khai triển Fourier là
14. Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 287 a ∞ f ()xanxbnx≈ 0 ++ ( cos sin) 2 ∑ nn n=1 thì, với mỗi t ∈−[,]ππ , ta có tt t adx ∞ f ()xdx=+0 ( a cos nx + b sin) nxdx = ∫∫2 ∑ ∫nn 00n=1 0 at∞  a b  =0 ++ nnsinnt (1− cos nt ) 2 ∑  nn  n=1   và chuỗi ở vế phải là hội tụ đều. Chứng minh. Xét hàm số t  a  F()tfxdx=  ( )− 0  . ∫  2  0   Ta nhận thấy rằng nó là hàm khả vi liên tục trên đoạn [−π ,π ] và thỏa mãn điều kiện(FF−ππ )= (), cho nên theo nhận xét từ định lý trên ta suy ra chuỗi Fourier của F hội tụ đều tới F, nghĩa là A ∞ F()tAntBnt=+0 ( cos + sin ) , 2 ∑ nn n=1 trong đó, với n =1,2, , ta có ππ sin(nt ) π A ==111F().cos( t nt ) dt F () t− F '()sin( t nt ) dt = n πππ∫∫nn−π −−ππ π ab = 0()sin()−−1 ft0 ntdt= − n , nnπ ∫ 2 −π  a và tương tự B = n . n n Riêng A0 được tính nhờ công thức khai triển với nhận xét rằngF (0)= 0 , và do đó ∞∞b AA= − = n . 0 ∑∑n n nn==11 Như vậy ∞∞ba b ∞ a b F(tntntntnt )=+nn sin− n cos=+ n sin n (1− cos ) , ∑∑nn n ∑ n n nn==11 n = 1 và từ đây ta dễ dàng suy ra điều cần chứng minh.
15. 288 Giải tích các hàm nhiều biến Nhận xét. Việc xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kỳ 2l (tuỳ ý) được quy về việc xét chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π nhờ phép đổi biến txl= π / , chuyển đoạn [,]−ll thành đoạn[,]−π π . 8.1.5. Dạng phức của chuỗi Fourier Sử dụng công thức biểu diễn hàm lượng giác thông qua số phức cos nx=+1 enxi e− nxi và sin nx= i e−nxi− e nxi 2() 2() ta có thể viết lại khai triển Fourier dưới dạng ∞ a 11nxi− nxi  f() x≈ 0 +  ( a− bie )++ ( a bie )  . 22∑ nn 2 nn n=1   a Đặt ccabiccabi==0 ,(),()11− == + ta có 0 22nnnnnnn− 2 ∞ inx f ()xce≈ ∑ n . n=−∞ Lưu ý rằng cosαα±=ie sin ±iα , ta có ππ c= 11( a− b t )= f ()(cos x nx− i sin) nx dx= 1 f () x e−inx dx ; nnn22ππ∫∫ 2 −−ππ ππ cabtfxnxinxdxfxedx=+=11( ) ()(cos + sin) = 1 ()inx . −nnn22ππ∫∫ 2 −−ππ Do vậy, công thức trên có thể viết lại thành ∞ π f ()xefseds≈ 1 inx ()− ins . 2π ∑ ∫ n=−∞ −π Công thức này được gọi là dạng phức của chuỗi Fourier. Lưu ý. Trong công thức trên, cũng như các công thức sau này, ta hiểu tích phân của một hàm nhận giá trị phức()wx=+ ux () ivx (), với u, v là các hàm số thực, được ππ π định nghĩa một cách tự nhiên là ∫∫∫wxdx ()=+ uxdx () i vxdx () . Nếu u,v là −−ππ − π những hàm khả tích tuyệt đối (có nghĩa ||,||uv là khả tích) thì ta nói w là khả tích tuyệt đối. Tích phân suy rộng (của hàm phức với biến số thực) được định nghĩa hoàn toàn tương tự.
16. Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 289 8.1.6. Thí dụ Trong phần này ta chỉ nghiên cứu một ví dụ đơn giản để nắm vững thêm về lý thuyết chuỗi Fourier. Phần thực hành tính toán trên máy sẽ cho phép chúng ta đề cập đến những hàm phức tạp và đa dạng hơn về chủng loại. Tìm chuỗi Fourier của hàm f ()xx= trên khoảng (−π,π). Sau khi cho hàm số nhận giá trị 0 tại 2 đầu mút của khoảng, ta thác triển nó một cách tuần hoàn và thu được −π 0 π x hàm xác định trên toàn trục số, có đồ thị như sau: Hình 8.1 Vì f ()xx= là hàm lẻ nên không cần tính ta cũng có thể khẳng định được rằng π π afxdx= 1 () = 0 , afxnxdx= 1 ()cos = 0. 0 π ∫ n π ∫ −π −π π (1)− n+1 Tìm b theo công thức bfxnxdx= 1 ()sin = 2 . Như vậy chuỗi n n π ∫ n −π Fourier của f ()xx= trên khoảng (−π,π) là như sau ∞ (1)− n x = −2sinnx . ∑ n n=1 Để thấy được khả năng xấp xỉ của các tổng riêng của chuỗi Fourier đối với hàm số f ()xx= trên khoảng bằng chu kỳ, ta quan sát đồ thị hàm số cùng với các tổng riêng này (các đồ thị được vẽ bằng máy, như đã trình bày trong các chương trước, và sẽ được đề cập lại trong phần tính toán thực hành của chương này). 4 (1)− n Đồ thị hàm f (xx ) = và tổng riêng Snx= −2sin là như sau: 4 ∑ n n=1
17. 290 Giải tích các hàm nhiều biến Hình 8.2 12 (1)− n Đồ thị hàm f (xx ) = và tổng riêng thứ 12, Snx= −2sin, được mô tả 12 ∑ n n=1 trong hình vẽ sau Hình 8.3. Một điều dễ nhận thấy rằng các tổng riêng của chuỗi Fourier chỉ xấp xỉ tốt trên khoảng hở (vì tại các điểm đầu mút hàm số f là gián đoạn). 8.2. Tích phân Fourier 8.2.1. Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier Cho hàm số f khả tích tuyệt đối trên trục số thực. Nếu, một cách hình thức, ta thay việc tính tổng các số hạng theo chỉ số n bằng việc lấy tích phân theo một tham số y, thì chuỗi Fourier sẽ được thay bằng tích phân sau đây (gọi là tích phân Fourier của hàm f ) ∞ ∫ []a()cos() y yx+ b ()sin() y yx dy , 0 ∞ ∞ trong đó ay()= 1 ft ()cos() ytdt, by()= 1 ft ()sin() ytdt. π ∫ π ∫ −∞ −∞ Dễ dàng thấy rằng ∞ ∫ []ay()cos() yx+= by ()sin() yxdy 0 ∞∞ ∞∞ = 11dy f( t )[cos( ty )cos( xy )− sin( ty )sin( xy )] dt= dy f ( t )cos[ y ( x− t )] dt . ππ∫∫ ∫∫ 00−∞ −∞
18. Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 291 Tương tự như đã thấy rằng tổng chuỗi Fourier của một hàm sẽ cho giá trị của chính hàm số (trong một số điều kiện nhất định), chúng ta sẽ chứng minh rằng tích phân Fourier của một hàm số cũng cho một biểu diễn của chính hàm số đó. Trước hết ta cần kết quả bổ trợ sau Bổ đề. Nếu hàm f là khả tích tuyệt đối trên khoảng (a,b), hữu hạn hoặc vô hạn, thì bb limfx ()cos()νν xdx== lim fx ()sin() xdx 0 . νν→∞∫∫ →∞ aa Chứng minh. Tương tự như chứng minh hệ số Fourier của một hàm khả tích thì tiến đến 0 khi n tiến ra vô cùng (xem giáo trình Giải tích một biến). Định lý. Cho hàm số f liên tục từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn và khả tích tuyệt đối trên toàn trục số. Nếu tại điểm x hàm số có đạo hàm phải f '()+ x và đạo hàm trái f '()− x thì ta có ∞∞ fx(0)(0)++ fx− = 1 dy f()cos[( t y x− t )] dt , 2 π ∫∫ 0 −∞ trong đó fx(0)+ , fx(0)− , theo thứ tự, là các giới hạn phải, giới hạn trái của f tại x. Chứng minh. Với số η> 0 , ta xét tích phân η ∞ Sdyftyxtdt()η = 1 ()cos[(− )] . π ∫∫ 0 −∞ Rõ ràng tích phân Fourier của hàm f đúng bằng limS (η ) . Với mỗi số ξ > 0 , η→∞ theo định lý về tích phân của tích phân phụ thuộc tham số, ta có ηξ ξ η ξ sin[η (xt− )] dy ft()cos[( yx− t )] dt= ftdt () cos[( yx− t )] dy= ft () dt . ∫∫ ∫ ∫ ∫ xt− 00−−ξξ − ξ (*) (Bởi vì, do tính liên tục từng khúc của f , ta có thể phân chia hình hộp−≤≤ξξt , 0 ≤≤y η thành một số hữu hạn các hộp nhỏ (bởi các đường song song với trục Oy) sao cho trên mỗi hộp con hàm là liên tục theo cả 2 biến đến tận biên, nếu tại biên ta lấy các giá trị giới hạn phải hoặc giới hạn trái của hàm). Lưu ý rằng |f (tyxtft )cos[ (−≤ )]| | ( ) | , cho nên do tính khả tích tuyệt đối của hàm f ta suy ra tính hội tụ đều theo tham số y trên đoạn [0,η ]của tích phân sau
19. 292 Giải tích các hàm nhiều biến ∞ F()yftyxtdt= ∫ ()cos[(− )] . −∞ Như vậy, hàm số ξ F(,)yftyxtdtξ = ∫ ()cos[(− )] −ξ hội tụ đều (trên đoạn[0,η ]) đến hàm F()y khi ξ →∞. Dễ dàng chứng minh rằng hàm F(,)y ξ là liên tục theo y cho nên từ công thức (*), bằng cách cho qua giới hạn dưới dấu tích phân ở vế trái, ta thu được ∞ sin[η (xt− )] Sftdt()η = 1 () . π ∫ xt− −∞ Đặt utx= − , ta có ∞ sin(ηu ) Sfuxdu()η =+1 ( ) . π ∫ u −∞ ∞∞0 Bằng cách tách tích phân thành 2 khúc ∫ =+∫∫và trong khúc thức nhất −∞ −∞ 0 ta làm phép đổi biến ut= − thì ta sẽ thu được ∞ sin(ηt ) Sfxtfxtdt()η =++1 [ ( ) (− )] . π ∫ t 0 ∞ sin(ηt ) Trong mục nói về tích phân Dirichlet (Chương 5) ta đã biết rằng dt = π , ∫ t 2 0 với mọi η> 0 , cho nên fx(0)(0)++ fx− S()η − = 2 ∞∞ sin(ηtfxfx ) (++ 0) (− 0) sin ηt =++1 [(f xt ) fxt (−− )] dt dt ππ∫∫tt 00 ∞∞ fx()(0)+ t− fx+ fx ()(0)−− t fx − =+11sin(ηηtdt ) sin( tdt ) . ππ∫∫tt 00 Rõ ràng định lý sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra rằng cả 2 tích phân ở vế phải đều tiến tới 0 khi η →∞. Điều này được suy ra từ các nhận xét sau đây (chứng minh chi tiết xin dành cho người đọc).
20. Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 293 Do sự tồn tại của các đạo hàm phải của hàm f tại điểm x mà hàm fx()(0)+ t− fx+ liên tục từng khúc (theo biến t) tại điểm 0 và do đó nó là khả t tích (tuyệt đối) trên đoạn[0,1] . Do bổ đề ta có 1 fx()(0)+ t− fx+ lim sin(ηtdt )= 0 . η→∞ ∫ t 0 Trên miền t ≥1 hàm số f ()/xtt+ bị chặn bởi hàm khả tích |f (xt+ ) | cho nên nó cũng khả tích, và do đó cũng theo bổ đề ta có ∞ fx()+ t lim sin(ηtdt )= 0 . η→∞ ∫ t 1 ∞ ∞∞ fx(0)+ Vì sin x dx hội tụ nên lim sin(ηtdt )=+ f ( x 0) limsinu du = 0 . ∫ x ηη→∞∫∫tu →∞ 0 1 η Kết hợp lại ta suy ra điều cần chứng minh. Nhận xét. Với các điều kiện của định lý, nếu hàm số f là liên tục tại x thì tích phân Fourier tại điểm x cho giá trị của chính hàm f. 8.2.2. Dạng khác của công thức Fourier Để việc trình bày được đơn giản hơn, trong phần còn lại ta luôn giả thiết rằng f là hàm liên tục và thỏa mãn các điều kiện của định lý trên. Khi ấy, theo nhận xét đã nêu, ta có công thức Fourier sau đây: ∞∞ f ()xdyftyxtdt= 1 ()cos[(− )] (*) π ∫∫ 0 −∞ và do biểu thức dưới dấu tích phân theo dy là hàm chẵn theo y nên ∞∞ f ()xdyftyxtdt= 1 ()cos[(− )] . 2π ∫∫ −∞ −∞ Lưu ý rằng |()sin[(f tyxtft−≤ )]||()| cho nên, theo dấu hiệu Weierstrass, tích phân ∞ ∫ f ()sin[(tyxtdt− )] −∞ là hội tụ đều (theo y trên toàn trục số) và là hàm liên tục theo biến y. Vì vậy, với0η> , tích phân
21. 294 Giải tích các hàm nhiều biến η ∞ ∫∫dy f()sin[( t y x− t )] dt −−∞η tồn tại và, do hàm dưới dấu tích phân là lẻ theo y, tích phân này bằng 0. Tuy nhiên, điều này không đảm bảo cho sự tồn tại của tích phân suy rộng ∞∞ ∫∫dy f()sin[( t y x− t )] dt , −∞ −∞ (vì nó không định nghĩa như giới hạn của tích phân với các cận đối xứng qua gốc, mà là với các cận tuỳ ý). Chính vì lẽ này, người ta đưa ra khái niệm giá trị chính của tích phân ∞ ∫ ϕ()x dx (với ϕ là hàm khả tích trên các đoạn hữu hạn bất kỳ) định nghĩa như −∞ sau ∞∞η   vp ϕϕϕ () xdx :== vp  () xdx : lim () xdx. ∫∫  η→∞ ∫ −∞ −∞ −η Một cách tương tự, người ta định nghĩa được giá trị chính của tích phân suy rộng tại một điểm nào đó (chứ không nhất thiết tại ∞ như trên). Rõ ràng, nếu tích phân hội tụ thì giá trị chính của tích phân và bản thân tích phân là bằng nhau. ∞ 1 Thí dụ. Các tích phân suy rộng xdx và dx là không hội tụ, nhưng giá trị ∫ ∫ x −∞ −1 chính của chúng vẫn tồn tại và bằng 0. Trở lại với tích phân Fourier ta có ∞∞ vp ∫∫ dy f ()sin[( t yx− t )] dt = 0. −∞ −∞ Nhân tích phân này với i và cộng với (*) ta suy ra 2π ∞∞ f ()xvpdyftedt= 1 ()iy() x− t . 2π ∫∫ −∞ −∞ Đây chính là một dạng khác của công thức tích phân Fourier.
22. Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 295 8.3. Biến đổi Fourier 8.3.1. Định nghĩa Nếu ta đặt ∞ Φ()yftedt= 1 ∫ ()−iyt , 2π −∞ thì dạng nói trên của công thức tích phân Fourier trở thành ∞ f ()xvp= 1 ∫ Φ () yedyixy . 2π −∞ Người ta gọi phép ứng mỗi hàm f với hàm số ∞ fˆ():yyvpftedt==Φ () 1 ∫ ()−iyt 2π −∞ là phép biến đổi Fourier và thường được ký hiệu là F. Nghĩa là fFfˆ ==[] Φ . Như vậy, phép biến đổi Fourier được xác định với mọi hàm khả tích tuyệt đối. Trong định nghĩa này, f có thể là một hàm (với biến số thực) nhận giá trị phức, và ảnh của nó F[]f nói chung là hàm nhận giá trị phức ngay cả khi f là hàm nhận giá trị thực. Tương tự như trên người ta định nghĩa phép biến đổi Fourier ngược là phép ứng mỗi hàm f với hàm số ∞ Ψ()yvp= 1 ∫ ftedt ()iyt , 2π −∞ và thường ký hiệu nó là F−1 . Như vậy Ff−1[]= Ψ . Tên gọi như trên được bắt nguồn từ mệnh đề sau. Mệnh đề. Nếu hàm f là liên tục, khả tích tuyệt đối trên toàn trục số, và có đạo hàm từng phía tại mỗi điểm, thì F−−11Ff[]== FF [] f f. [ ]   Chứng minh. Công thức F−1[Ff[]]= f cũng chính là công thức tích phân Fourier dưới dạng khác. Ta chỉ còn phải chứng minh rằng F Ff−1[] = f. Vì hàm   cosin là chẵn cho nên trong công thức tích phân Fourier (dạng thông thường) có thể đổi vị trí giữa t và x , nghĩa là ∞∞ f ()xdyftytxdt= 1 ()cos[(− )] . 2π ∫∫ −∞ −∞
23. 296 Giải tích các hàm nhiều biến Mặt khác, do tính lẻ của hàm sin , ∞∞ vp ∫∫ dy f ()sin[( t yt− x )] dt = 0. −∞ −∞ Cho nên, tích phân Fourier có thêm một dạng nữa ∞∞ f ()xvpdyftedt= 1 ()iy() t− x , 2π ∫∫ −∞ −∞ hay là ∞∞  11iyt− ixy f ()xvp=  ftedtedy () , 22ππ∫∫ −∞ −∞  đây chính là công thức cần chứng minh. 8.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier Mệnh đề. Phép biến đổi Fourier (và ngược của nó) là tuyến tính, nghĩa là, F[][][]λλ11f+= 2 f 2 λ 1 Ff 1 + λ 2 Ff 2 và −−−111 F [][][]λλ11ff+= 2 2 λ 1 FfFf 1 + λ 2 2 ; (các công thức trên được hiểu theo nghĩa: nếu vế phải tồn tại thì vế trái tồn tại và có đẳng thức xảy ra). Chứng minh. Suy ngay từ định nghĩa. Mệnh đề. Phép biến đổi Fourier (cũng như ngược của nó) là phép ứng 1-1. Chứng minh. Thật vậy, −−11 F[]fFf12= [ ]⇒ FFfFFf[ [] 1]= [ [] 2] ⇒ ff 12= (theo mệnh đề trong phần trên). Mệnh đề. Biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối (trên toàn trục số) là một hàm bị chặn (trên toàn trục số), và ngoài ra ∞ |fˆ (yfxdx )|≤ 1 ∫ | ( )| . 2π −∞ Chứng minh. Suy ngay từ định nghĩa với lưu ý rằng |e−ixy |= 1 . Hệ quả. Nếu hàm khả tích tuyệt đối f và dãy hàm khả tích tuyệt đối {}fn thỏa mãn điều kiện
24. Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 297 ∞ lim |fxn ()− fxdx ()|= 0, n→∞ ∫ −∞ ˆ ˆ thì dãy hàm {}fn ()y hội tụ đều đến hàm f ()y trên toàn trục số thực. Chứng minh. Suy ngay từ bất đẳng thức của mệnh đề trên. Mệnh đề. Biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối trên toàn trục số thực là một hàm liên tục và tiến tới 0 khi biến số tiến ra −∞ hoặc +∞ . Chứng minh. Ta biết rằng với một hàm ϕ khả tích tuyệt đối thì tìm được dãy các hàm bậc thang ϕn thỏa mãn ∞ lim |ϕϕn (xxdx )− ( ) |= 0 , n→∞ ∫ −∞ cho nên từ hệ quả trên ta thấy chỉ cần chứng minh mệnh đề cho lớp các hàm bậc thang. Mặt khác, ta lại biết rằng một hàm bậc thang bất kỳ là tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của các hàm bậc thang đơn (nhận giá trị 1 trên một nửa khoảng [a,b) nào đó và bằng 0 trên miền còn lại). Từ tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier ta suy ra chỉ cần chứng minh mệnh đề cho lớp các hàm bậc thang đơn. Giả sử ϖ là một hàm bậc thang đơn, nghĩa là 1 khi axb≤ < ϖ()x =  . 0 khix < abx hay ≥ Khi ấy ta có bb ϖˆ ()yedxxyixydx==11∫∫−ixy (cos− sin) = 22ππaa  [(sinby− sin ay )+ i (cos by−≠ cos ay )]/( y 2π )khi y 0 =  .  ()/2ba− π khi y= 0 Dễ dàng kiểm tra rằng đây là hàm liên tục và tiến tới 0 khi y tiến ra vô cùng (về cả hai phía). Mệnh đề đã được chứng minh xong. 8.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier Mệnh đề. Nếu hàm khả tích tuyệt đối f có các đạo hàm đến cấp n là liên tục và khả tích tuyệt đối trên toàn trục số thì F[]()[],fiyFfkn()kk== 0,1, , ,
25. 298 Giải tích các hàm nhiều biến và tồn tại số M > 0 sao cho |[]|Ff ≤ M . ||yn Chứng minh. Ta có x f ()xf=+ (0)∫ ftdt '() , 0 nên, do tính khả tích của f ' trên toàn trục số, các giới hạn limf (x ) tồn tại và x→±∞ bằng 0 (do tính khả tích của bản thân hàm f trên toàn trục số). Sử dụng công thức tích phân từng phần đối với tích phân Fourier ta suy ra +∞ +∞ +∞ iy F[f ']==+=11∫∫ f '() xe−−ixy dx f () xe ixy f () xe − ixy dx iyFf [ ] 222πππ−∞−∞ −∞ . Như vậy mệnh đề đã được chứng minh với k = 1. Trường hợp tổng quát được chứng minh dễ dàng bằng phương pháp quy nạp toán học. Lưu ý rằng hàm Ff[]()n là bị chặn trên toàn trục số (theo mệnh đề ở phần trên), cho nên tồn tại số hữu hạn MFf= sup [()n ], vì vậy công thức thứ 2 của −∞<<y ∞ mệnh đề có ngay từ công thức thứ nhất với k = n. Mệnh đề đã được chứng minh. Nhận xét. Như vậy, hàm càng trơn thì biến đổi Fourier của nó càng nhanh tiến tới 0 khi biến số tiến ra vô cùng. Một điều dễ nhận thấy rằng mệnh đề vẫn đúng khi hàm f nhận giá trị phức. Với một chứng minh phức tạp hơn một chút, ta có thể chỉ ra rằng mệnh đề còn đúng trong trường hợp đạo hàm bậc n của f có hữu hạn điểm gián đoạn loại 1. Mệnh đề. Nếu hàm f ()x là liên tục và các hàm f (xxfx ), ( ), , xfxn ( ) là khả tích tuyệt đối trên toàn trục số, thì biến đổi Fourier của f là khả vi đến bậc n và iFkk()[ f ]== Fx [ k f ] , k 0,1, , n . Chứng minh. Lấy đạo hàm theo tham số của tích phân +∞ F[]ffxedx= 1 ∫ ()−ixy , 2π −∞ với lưu ý rằng |()xfxe−ixy |= |()| xfx , ta thu được tích phân hội tụ tuyệt đối và ∞ đều trên toàn trục số và bằng −ixfxedx∫ ( ) −ixy . Cho nên việc lấy đạo hàm dưới −∞ dấu tích phân là hợp lệ. Từ công thức lấy đạo hàm này ta suy ra iF '[ f ]= F [ xf ], và mệnh đề đã được chứng minh cho trường hợp k = 1. Trường hợp tổng quát được chứng minh dễ dàng bằng quy nạp.
26. Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 299 Nhận xét. Dễ dàng suy ra rằng mệnh đề còn đúng khi hàm f nhận giá trị phức. Hệ quả. Trong giả thiết của mệnh đề, các đạo hàm F ()k [fk ] ,= 0,1, , n là liên tục và tiến tới 0 khi biến số tiến ra vô cùng (về cả hai phía). Chứng minh. Suy ra từ mệnh đề trên và mệnh đề cuối cùng của mục trên. 8.3.4. Tích chập và biến đổi Fourier Người ta định nghĩa tích chập của 2 hàm số ϕ, ψ (xác định trên toàn trục số thực) là một hàm số, ký hiệu là ϕ∗ ψ , xác định như sau ∞ ()()()()ϕψ∗ x = ∫ ϕtxtdt ψ − . −∞ Để cho đơn giản, trong phần này ta chỉ xét các hàm nhận giá trị thực. Tích phân trên tồn tại nếu các hàm ϕψ , là bị chặn và khả tích tuyệt đối. Khi ấy ta cũng có ∞ ∫ |()(ϕψtxtdt− )| −∞ là tích phân hội tụ đều trên toàn trục số (theo dấu hiệu Weierstrass và |()(ϕψtxtMt−≤ )| |()| ϕ với M là hằng số chặn hàm ψ trên toàn trục số). Rõ ràng tích chập cũng là một hàm bị chặn, bởi hằng số ∞ M ∫ |()|ϕ tdt. −∞ Như vậy, tích chập của 2 hàm liên tục, bị chặn và khả tích tuyệt đối trên toàn trục số sẽ là một hàm liên tục và bị chặn (trên toàn trục số). Hơn thế, nó cũng là một hàm khả tích tuyệt đối trên toàn trục số, bởi vì ta có (do tính hội tụ đều, phép đổi chỗ các dấu tích phân trong công thức sau đây là hợp lệ) ∞∞∞ ∫∫∫|(ϕψ * )(x )|dx≤− dx | ϕ ( t ) ψ ( x t )| dt = −∞ −∞ −∞ ∞∞ ∞∞ = ∫∫|ϕψ (tdt )| | ( xtdx− )|= ∫∫ | ϕψ ( tdt )| | ( sds )| . −∞ −∞ −∞ −∞ Nghĩa là, phép tích chập biến 2 hàm trong lớp các hàm liên tục, bị chặn và khả tích tuyệt đối (trên toàn trục số) thành một hàm trong chính lớp này, và vì vậy ta có thể áp dụng tích chập nhiều lần liên tiếp, và cũng có thể áp dụng biến đổi Fourier cho tích chập của 2 hàm. Trong phần còn lại ta luôn hiểu ngầm là phép tích chập xác định cho lớp các hàm liên tục, bị chặn và khả tích tuyệt đối (trên toàn trục số). Mệnh đề. Tích chập có tính giao hoán và kết hợp. Chứng minh. Bằng cách đổi biến x −ts= , ta có
27. 300 Giải tích các hàm nhiều biến ∞∞ ϕψ*()()()()*= ∫∫ ϕtxtdt ψ− = ϕ xssds− ψ= ψϕ , −∞ −∞ nghĩa là tích chập có tính giao hoán. Bằng cách đổi biến ty= −ξ , đổi thứ tự lấy tích phân (bạn đọc tự kiểm tra tính hợp lệ của phép đảo thứ tự này), rồi lại làm phép đổi biến xy− +=ξη, ta có ∞∞ (*)*ϕψ χ= ∫∫ χ (yxdxt−− ) ϕ ()( ψ xtdt ) = −∞ −∞ ∞∞ = ∫∫χϕξψξξ()yxdx−−− ()( y xy+= ) d −∞ −∞ ∞∞ =()∫∫ϕξξψyd−− ( xy+ ξχ )() yxdx− = −∞ −∞ ∞∞ = ∫∫ϕξξψηχξηηψχϕ()yd−− ()() d= (*)*. −∞ −∞ Từ tính giao hoán đã chứng minh trên, ta suy ra tính kết hợp của phép lấy tích chập. Mệnh đề. Biến đổi Fourier của tích chập 2 hàm là tích của các biến đổi Fourier của chúng. Nghĩa là FFF[*]ϕψ= [].[] ϕ ψ . Chứng minh. Bằng cách đổi thứ tự lấy tích phân, ta có ∞∞ ∞∞ F[*]ϕψ= 11e−−ixy dx ϕ ()( t ψ x− t ) dt= ϕ () t dt ψ ( x− t ) e ixy dx . 22ππ∫∫ ∫∫ −∞ −∞ −∞ −∞ Bằng phép đổi biến x =+ts ta thu được ∞∞ FtedtsedsFF[*]ϕψ==11∫∫ ϕ ()−−ity ψ () isy [].[] ϕ ψ. 22ππ−∞ −∞ Mệnh đề đã được chứng minh. Nhận xét. Tích phân Fourier, biến đổi Fourier, và tích chập là những tích phân suy rộng phụ thuộc tham số cho nên, cũng như các hàm Beta, hàm Gamma, chúng thường không biểu diễn được qua các hàm số quen biết, và vì vậy việc tính toán chúng chỉ có thể tiến hành với sự hỗ trợ của máy tính. Phần thực hành tính toán trên máy ở cuối chương sẽ cho chúng ta đi sâu về lĩnh vực này.
28. Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 301 8.4. Một số ví dụ về ứng dụng 8.4.1. Bộ lọc điện + R Xét mạng điện RC như trong hình vẽ, trong đó R là điện trở và C là điện dung. Giả sử vt0 () là v(t) điện thế cung cấp, It( ) là dòng điện trong mạng v0 (t) I(t) C và vt( ) là điện thế cho ra của bộ lọc. Bài toán đặt ra là hãy tính vt ( ) khi biết vt0 (). − Công thức liên hệ giữa dòng điện It( ) và điện Hình 8.1 thế cung cấp vt0 () là t 1  vt()=+ RIt () I ()ττ d + Q (1) 00C ∫ 0 trong đó Q0 là điện tích ban đầu của điện dung C. Công thức liên hệ giữa dòng điện It( ) và điện thế vt() là t 1  vt()=+ I ()ττ d Q . (2) C ∫ 0 0 Từ (1) và (2) ta có phương trình tính vt ( ) RC v += v v0 (3) Điều kiện khởi đầu của điện thế ra là vQC(0)= 0 / . Giả thiết vt0 () là một dãy điện xung tuần hoàn với chu kỳ T như hình vẽ. Để xác định vt() chúng ta viết vt0 () dưới dạng chuỗi Fourier ∞ itωk vt0 ()= ∑ Cek , trong đó ωπk = 2/kT, (4) k=−∞ Nghiệm của phương trình vi phân (3) là tổng của nghiệm phương trình thuần nhất −tRC/ RC v += v v0 , tức là αe với α là hằng a số và nghiệm riêng của (3). 0 Vì v0 tuần hoàn, chúng ta có thể tìm ∞ T δ * itωk nghiệm riêng tuần hoàn dạng ∑ Cek . Hình 8.2 k=−∞ ∞ −tRC/*itωk Như vậy nghiệm của (3) có dạng vt()=+α e∑ Cek . Từ đây và công k=−∞
29. 302 Giải tích các hàm nhiều biến * Ck thức (4) suy ra Ck = , trong đó hệ số Fourier Ck của hàm vt0 () được 1+ iRCωk vv00τ sin(ωτkk / 2) sin( ωτ / 2) tính theo công thức Ck ==2 . TT(/2)ωτkk ω Nghiệm phương trình thuần nhất được gọi là hiệu ứng tạm thời vì nó tắt dần khi t →∞. Nghiệm riêng tuần hoàn được gọi là hiệu ứng thường xuyên. Như vậy điện thế ra của bộ lọc hoàn toàn được xác định và được xấp xỉ bởi hiệu ứng thường xuyên khi t đủ lớn. 8.4.2. Sự truyền nhiệt trong thanh kim loại Giả sử trên trục tọa độ Ox ta đặt một thanh sắt, một đầu tại gốc O và đầu kia rất xa (xem như là ∞). Gọi uxt( , ) là nhiệt độ của điểm x ≥ 0 trên thanh sắt tại thời điểm t ≥ 0 . Giả thiết rằng nhiệt độ khởi đầu tại mọi điểm đã biết trước là ux(,0)= f () x. Hãy xác định uxt(,) với x và t ≥ 0 bất kỳ, biết rằng nhiệt độ được truyền theo phương trình ∂∂uxt(,)2 uxt (,) = k , (*) ∂t ∂x2 trong đó k là hệ số truyền nhiệt. Phương trình truyền nhiệt (*) biểu diễn qua các đạo hàm riêng của hàm u nên còn gọi là phương trình đạo hàm riêng. Trong chương sau chúng ta sẽ khảo sát những phương trình như thế này kỹ hơn, nhưng trong mục này chúng ta có một cách giải đơn giản nhờ áp dụng biến đổi Fourier. Dùng công thức tính biến đổi Fourier cho đẳng thức (*) ta thu được ∞∞2 extdxkextdt−−ixωω∂∂uu(,)= ix (,) . ∫∫∂t ∂ 2 −∞ −∞ x Ký hiệu Ut(,)ω là biến đổi Fourier của uxt(,) (ở đây t là tham số). Khi ấy ∂Ut(,)ω ==()ikUtω 22 (,)ωωω− kUt (,). ∂t 2 Lấy tích phân hai vế theo t ta thu đượcUtce(,)ωω= ()−ω kt , trong đó c()ω là hằng số lấy tích phân. Hằng số này được xác định nhờ điều kiện khởi đầu và công thức tính U : ∞∞ Uc(,0)ωω== ()∫∫ uxedxfxedx (,0)−−ixωω = () ix . −∞ −∞ Nghiệm uxt( , ) sẽ là biến đổi Fourier ngược của(,)Utω . Thí dụ, nếu f được cho bởi công thức
30. Chương 8. Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 303  ux0 khi ≤1 fx()=  ,  01khi x > 1 2 thì cuedxu()ω ==−ixω 2 sin ω ,Ut(,)ω = 2 usin ω e−ω kt . Nghiệm uxt( , ) 00∫ ω 0 ω −1 tính theo công thức ∞ u 2 uxt(,)= 0 sin ω e−ωωkt e i x dx. πω∫ −∞ Trên đây là những ứng dụng đơn giản (nhưng không tầm thường chút nào) của chuỗi Fourier và tích phân Fourier trong việc giải quyết các bài toán nảy sinh trong kỹ thuật. Những ứng dụng phức tạp hơn và sâu sắc hơn có thể tìm thấy rất nhiều trong các ngành xử lý tín hiệu, điều khiển tự động,