›
›

Bài giảng Động học - Chương V: Động học điểm - Đặng Thanh Tân

ppt 71 trang phuongnguyen 80
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Động học - Chương V: Động học điểm - Đặng Thanh Tân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_dong_hoc_chuong_v_dong_hoc_diem_dang_thanh_tan.ppt

Nội dung text: Bài giảng Động học - Chương V: Động học điểm - Đặng Thanh Tân

  1. CƠ HỌC LÝ THUYẾT Phần II GVC-ThS ĐẶNG THANH TÂN 1
  2. ĐỘNG HỌC ĐIỂM Động học- Chương V 1– KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ◼ I- Phương trình chuyển động: r= r( t ) (5.1) z M ◼ II- Vận tốc của điểm: Vectô vaän toác töùc thôøi baèng ñaïo haøm cuûa baùn kính vectô cuûa ñieåm theo thôøi gian O r y dr vr==(5.2) dt x ◼ III- Gia tốc của điểm: Gia toác baèng ñaïo haøm baäc hai cuûa baùn kính vectô cuûa ñieåm theo thôøi gian . dr ar==(5.3) dt
  3. 2– KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ DESCARTES  Chú ý: r= xi + yj + zk (5 − 5) z x= x() t I- Phương trình chuyển động: y= y( t ) (5.6) M z= z() t r O II- Vaän toác cuûa ñieåm: y vx = x() t x v= r = xi + yj + zk vy = y( t ) (5.7) vz = z() t 2 2 2 2 2 2  giá trị: V= vx + v y + v z = x + y + z (5.8) v v v  Phương: cos = x ; cos  =y ; cos  =z (5.9) v vv
  4. III- Gia toác cuûa ñieåm a= a2 + a 2 + a 2 = x 2 + y 2 + z 2 (5.11) axx== v x() t x y z a== v y( t ) (5.10) yy a a a cos '==x ; cos  '=y ; cos  'z (5.12) azz== v z() t a aa 3– KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TƯ NHIÊN I- Heä toïa ñoä töï nhieân N  Trucï T laø truïc tieáp tuyeán n +  Trucï N laø truïc phaùp tuyeán chính M T  b  Trucï B laø truïc truøng phaùp tuyeán B Hệ trục có vectơ đơn vị O nb là hệ trục tọa độ tự nhiên
  5. II- Phương trình chuyển động: S= S( t ) (5.13) III- Độ cong quỉ đạo d  Độ cong của quĩ đạo tại điểm M: k = lim = s→0 s ds 1 ds  Bán kính cong của quĩ đạo tại điểm M: == kd IV –Đạo hàm theo thời gian vect ơ đơn vị của hệ qui chiếu động ()()oo  Cho Ro= ( Ox o y o ) là hệ trục cố định, vect ơ đơn vị trên các trục là: ee12, (1) (1)  Cho R1= ( Ox 1 y 1 ) là hệ trục động, vect ơ đơn vị trên các trục là: ee12, Từ hình vẽ , suy ra: (1) (0) (0) e1=+cos . e 1 sin . e 2 (5− 14) (1) (0) (0) e2= −sin . e 1 + cos . e 2 Đạo hàm các vectơ trên theo thời gian trong hệ qui chiếu cố định ta được:
  6. Ro (1) de1 (0) (0) (1) =( − sin .e1 + cos . e 2 ) = e 2 dt (5− 15) Ro de (1) 2 = −(cos .e(0) + sin . e (0) ) = − e (1) dt 1 2 1 V- Vận tốc của điểm: vs= (5.16) VI-Gia tốc của điểm M a Gia tốc tòan phần: a=+ a an (5.17) an ds - Gia tốc tiếp: a = = s a  dt v 2 - Gia tốc pháp: a = n
  7. 4–TỌA ĐỘ CỰC, TỌA ĐỘ TRỤ, TỌA ĐỘ CẦU A–Tọa độ cực ◼ I- Phương trình chuyển động: r== r( t ) , ( t ) (5.19) ◼ II- Vận tốc của điểm: v=+ r er r e (5.20) v = r2 + r 2 2 (5.21) 2 ◼ III- Gia tốc của điểm: a=( r − r ) er +( r + 2 r ) e (5.22) y M 2 2 2 r a=( r − r ) + ( r + 2 r ) (5.23) e er x O
  8. B–Tọa độ trụ 1-Phương trình chuyển động: z P = (t ); = ( t ); z = z ( t ) (5.24) 2- Vận tốc của điểm: O z y v= rerz + r e + ze (5.25) P’ x 3- Gia tốc của điểm: 2 a=( r − r ) erz + ( r + 2 r ) e + ze (5.26) 4- Mối quan hệ giữa các tọa đô: x= cos , y = s in , z = z (5 − 27)
  9. 5- KHẢO SÁT MỘT SỐ CHUYỂN ĐỘNG 1- Chuyển động đều v= const s = vt + so 2- Chuyển động thay đổi đều: a = const 1 s= a t2 + v t v = a t + v (5.30) 2 oo 22 adsvdv= v = voo +2 ass ( − ) (5.31)
  10. Chương VI CƠ SỞ ĐỘNG HỌC VẬT RẮN I- HAI ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CƠ BẢN CỦA ĐỘNG HỌC VẬT RẮN 1- Vận tốc góc vật rắn a- Định nghĩa: Xét vật B chuyển động trong hệ qui chiếu R (hình 6-1) Lấy c là vectơ tùy ý khác không thuộc vật rắn B. dc dc Do (c )2 = const c . = 0 là vectơ vuông góc với vectơ c dt dt Rdc Trên cơ sở đó suy ra : =RB c (6 − 1) dt b-Công thức tính vận tốc góc RB Cho e1,, e 2 e 3  là 3 vectơ đơn vị của hệ qui chiếu động gắn liền vào vật rắn B Thì vận tốc góc của vật rắn B xác định bởi công thức: RRR RB de21 de3 de  =e1 e 3 + e 2 e 1 + e 3 e 2 (6 − 2) dt dt dt
  11. 2- Gia tốc góc của vật rắn: RRB RB d  Gia tốc góc của vật rắn B đối với hệ qui chiếu R :  =−(6 3) dt II- BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH VẬN TỐC, GIA TỐC CỦA MỘT ĐIỂM BẤT KỲ THUỘC VẬT RẮN 1-Vận tốc một điểm bật kỳ thuộc vật rắn a- Định lý: Nếu vận tốc góc của vật rắn  và vận tốc của điểm A thuộc vật rắn B là v A thì vận tốc của điểm P bất kỳ thuộc vật rắn B bằng vP= v A + v PA = v A + u P (6 − 4) vPA Vận tốc của điểm P trong chuyển động quay của vật rắn quay quanh điểm A 2- Gia tốc một điểm bật kỳ thuộc vật rắn Nếu vận tốc góc gia tốc góc  của vật rắn B và gia tốc của một điểm A nào đó là a A thì gia tốc một điểm P bất kỳ thuộc vật rắn B được xác định aP= a A + u p +  (  u P ) (6 − 6)
  12. III - CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN 1 : Định nghĩa Chuyển động tịnh tiến là chuyển động của vật rắn trong đó bất kì đường thẳng nào thuộc vật đều chuyển động song song với chính nó. 2 -Tính chất của chuyển động tịnh tiến Trong chuyển động tịnh tiến của vật rắn, ở mổi thời điểm tất cả các điểm đều có có cùng vận tốc và gia tốc r=+ r BA AB A Để xác định vận tốc của các điểm A và B dr dr d() AB r BA= + VV = (6.8) A dt dt dt AB B Tiếp tục lấy đạo hàm theo thời gian rB dv dv AB= aa = (6.9) dt dt AB
  13. C– Tọa độ cầu 1-Phương trình chuyển động: z M r= r() t r = (t ) (5.28) O  = ()t y 2- Mối quan hệ giữa các tọa độ x xr= cos cos yr= cos sin (5.29) zr= sin
  14. IV– CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH A- KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT 1- Định nghĩa: Trên vật có ít nhất 2 điểm cố đinh, đường thẳng đi qua hai điểm đó gọi là trục quay  Hai điểm A, B cố định Z  Z là trục quay của vật rắn A 2-Phương trình chuyển động của vật – góc quay. B  Chọn hệ quy chiếu cố định Ox o y o z o với Ozo là trục quay của vật rắn  Chọn hệ trục Oxyz gắn liền vào vật rắn B và cùng quay với vật Phương trình chuyển động quay của vật rắn quay quanh trục cố định =−(t ) (6 10) Chú ý  gọi là góc quay – Đơn vị tính: radian (rad)  Mối quan hệ góc quay ( ) và vòng quay (N) : = 2 N
  15. 3- Vận tốc góc – Vectơ vận tốc góc: a- Vận tốc góc : Vaän toác goùc töùc thôøi cuûa vaät theå taïi thôøi ñieåm ñaõ cho coù trò soá baèng ñaïo haøm baäc nhaát cuûa goùc quay theo thôøi gian. d  == 6.12) dt Chú ý  Đơn vị vận tốc góc: rad/s nn2  Mối quan hệ vận tốc góc () rad và vận tốc vòng (n) vòng/phút : == (6.13) 60 30 z b-Vectơ vận tốc góc:  Phương nằm trên trục quay    Chiều theo chiều bàn tay phải  Trị số bằng trị số vận tốc góc
  16. 4- Gia tốc góc – Vectơ gia tốc góc: 1- Gia tốc góc: Gia toác goùc töùc thôøi cuûa vaät theå ôû thôøi ñieåm ñaõ cho coù trò soá baèng ñaïo haøm baäc nhaát cuûa vaän toác goùc hay ñaïo haøm baäc hai cuûa goùc quay cuûa noù theo thôøi gian. d 2  ==(6.16) dt 2 Chú ý  Đơn vị gia tốc góc: rad/s2  Vật rắn quay nhanh dần khi: nghĩa là  và  cùng dấu .0 Z 2-Vectơ gia tốc góc:   Phương nằm trên trục quay    Cùng chiều vectơ vận tốc góc khi chuyển động nhanh dần  Có độ dài bằng giá trị gia tốc góc
  17. 5- Khảo sát một số chuyển động 1 = tt2 +   =  +  (6.20) 2 oo 22 dd =    = oo +2  ( − ) (6.21) Chú ý:  Chuyển động quay đều: =const  Chuyển ñộng quay thay đổi ñều:  = const
  18. B- KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM THUỘC VẬT QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH 1- Quỹ đạo – Phương trình chuyển động của điểm : a- Quĩ đạo Xét một điểm P bất kỳ thuộc vật, nằm cách trục quay z một đoạn IP = r, Khi vật rắn quay quanh trục z cố định quĩ đạo của điểm P là đường tròn tâm I bán kính r nằm trong mặt phẳng đi qua I và vuông góc với trục quay b-Phương trình chuyển động s= Po P = r ( t ) (6 − 22) 2- Vận tốc của điểm : dr Theo định nghĩa ta có : v=P = u =(.)() e r e = r . e e = r e (623) − PPdt 3 1 3 1 2 vp = r e (6 − 24) Vận tốc của điểm là một vectơ nằm trên đường tiếp tuyến với quỹ đạo ở điểm P có trị số: vrP = Chú ý: Vận tốc các điểm của vật rắn quay quanh một trục cố định phân bố theo qui luật tam giác vuông đồng dạng
  19. 3- Gia tốc của điểm : Đạo hàm biểu thức vận tốc (6-23) trong hệ qui chiếu Ro theo t ta được dv a=p = r e − r 22 e = r e + r e (6 − 25) pndt 21 Trong đó :  ap =− r e (6 26) là thành phần gia tốc tiếp n 2 là thành phần gia tốc pháp apn=− r e (6 27) a  tg =p = =(6 − 28) n 2 2 ap   2n 2 2 4 ap=( a p ) + ( a p ) = r  + (6 − 29) Chú ý: n  a : n 2 p Hướng từ P về O, độ lớn arp =   Hướng từ P về O, độ lớn  a= r +  v =  r −  2 r
  20. V- CÔNG THỨC WILLIS Truyền các chuyển động quay giữa hai trục cố định song song nhau vận tốc góc và gia tốc góc của các bánh truyền với bán kính của chúng. 21R 2RR 2= 1 1 = (6.30) 12R  21R 2RR 2= 1 1 = (6.31) 12R Chú ý: Lấy dấu (-) khi bộ truyền ăn khớp ngoài và ngược lại
  21. ĐỘNG HỌC – CHƯƠNG 7 HỢP CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM VÀ VẬT RẮN I.KHÁI NIỆM VỀ CHUYỂN ĐỘNG TUYÊT ĐỐI, TƯƠNG ĐỐI ,KÉO THEO 1.Chuyển động tuyệt đối, tương đối, kéo theo của vật rắn Vật rắn B chuyển động đối với hệ qui chiếu động R1, hệ trục động R1 lại chuyển động đối với hệ qui chiếu cố định Ro (Hình 7-1) . Chuyển động của vật rắn B đối với hệ qui chiếu cố định Ro được gọi là chuyển động tuyệt đối. Chuyển động của vật rắn B đối với hệ qui chiếu động R1 được gọi là chuyển động tương đối  Chuyển động của hệ qui chiếu động R1 đối với hệ qui chiếu cố định Ro được gọi là chuyển động kéo theo. Biểu diễn vectơ vận tốc và gia tốc trong hệ trục tọa độ RRooBBRR11 a= ,,  r =   e =  RRooBBRR11 a= ,,  r =   A = 
  22. 2- Chuyển động tuyệt đối, tương đối, kéo theo của điểm Vận tốc, gia tốc điểm P trong hệ qui chiếu cố định Ro được gọi là vận tốc tuyệt đối, gia tốc tuyệt đối. ký hiệu: vaaa, Ro drp v = a dt (7− 1) Ro 2 drp a = a dt 2  Vận tốc , gia tốc của điểm P của vật rắn B trong hệ qui chiếu động R1 được gọi là vận tốc tương đối, gia tốc tương đối. ký hiệu varr,  Vận tốc góc, gia tốc góc của hệ qui chiếu động R1 xác định trong hệ qui chiếu cố định Ro được gọi là vận tốc góc kéo theo, gia tốc góc kéo theo. ký hiệu :ee,
  23. * Một điểm P thuộc hệ tọa động R1 mà ở thời điểm khảo sát trùng với P được gọi là trùng điểm P tại thời điểm đó. Vận tốc, gia tốc của trùng điểm một điểm thuộc hệ qui chiếu R1 Xác định trong hệ qui chiếu cố định Ro được gọi vận tốc theo, gia tốc theo của điểm P. Ký hiệu: vaee, R1 dup vP()= r dt (7− 2) R1 2 dup aP()= r dt 2 II- ĐỊNH LÝ CỘNG VẬN TỐC VÀ ĐỊNH LÝ CỘNG GIA TỐC CỦA ĐIỂM: 1- Định lý cộng vận tốc điểm : Ở mỗi thời điểm, vận tốc tuyệt đối của P bằng tổng hình học học vận tốc tương đối và vận tốc kéo theo của nó va= v r + v e (7 − 4)  Va - Vân tốc tuyệt đối  Vr - Vận tốc tương đối  Ve - Vận tốc kéo theo
  24. 2- Định lý cộng gia tốc điểm : Gia tốc tuyệt đối của điểm chuyển động phức hợp bằng tổng hình học gia tốc tương đối, gia tốc kéo theo và gia tốc Coriolis của nó. aa= a r + a e + a c (7.8)  aa – Gia tốc tuyệt đối  ar - Gia tốc tương đối  ae - Gia tốc kéo theo  ac – Gia tốc coriolis avc=2( e  r ) (7 − 9)
  25. 3- Xác định gia tốc Coriolis: avc=2( e r )  vr : Vectơ vận tốc tương đối  e: Vectơ vận tốc góc kéo theo Chú ý: + aC= 0 Khi: e=0 Nghĩa là hệ trục động chuyển động tịnh tiến Nghĩa là vectơ vận tốc kéo theo song song với *//erv vectơ vận tốc tương đối + aC # 0 Thì: e e vr e vr ac ac V 'r av= 2. cr avcr= 2 . sin
  26. III- ĐỊNH LÝ CỘNG VẬN TỐC GÓC VÀ CỘNG GIA TỐC GÓC VẬT RẮN 1- Đạo hàm của vectơ trong hai hệ qui chiếu khác nhau zo a Ro R1 da da z1 = +Ro R1 a dt dt R1 y1 Ro O1 2- Định lý cộng vận tốc góc của vật rắn O x1 yo Ở mỗi thời điểm, vận tốc góc tuyệt đối của vật rắn B xo bằng tổng hình học vận tốc góc tương đối và vận tốc góc kéo theo của nó. zo c z1 B RRooBBRR11 =  +  a =  e +  r (7.19) R1 y1 O1 O x1 yo xo
  27. Chú ý: Đối với n+1 hệ qui chiếu ta được: RRRRRoBB= o RRR1 + 1  2 + + n−1  n + n  (7.20) zn c zo B Rn yn O1 O xn yo xo 3- Định lý cộng gia tốc góc của vật rắn Ở mỗi thời điểm, gia tốc góc tuyệt đối của vật rắn B bằng tổng hình học gia tốc góc tương đối , gia tốc góc kéo theo và gia tốc góc phụ(hoặc gia tốc Resal) p=  e  r a=  e +  r +  e  r (7.22) Chú ý: Khi ertừ (7-22) suy ra: a=  e +  r (7 − 23)
  28. Chương 8 ĐỘNG HỌC VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG I- KHÁI NIỆM: Chuyển động của vật rắn được gọi là chuyển động song phẳng khi mỗi điểm thuộc vật luôn luôn di chuyển trong một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định được chọn trước Thực chất của chuyển động song phẳng: B Bo B’ Ao A  Tịnh tiến cùng với cực A Là thực hiện đồng thời 2 chuyển động  Quay quanh cực A
  29. II- KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN PHẲNG 1-Định lý: Chuyển động song phẳng của vật rắn phẳng là sự thực hiện đồng thời hai chuyển động cơ bản : tịnh tiến cùng với điểm A nào đó thuộc vật và chuyển động quay quanh điểm A đó. Chuyển động của (S) hoàn toàn được xác định bằng chuyển động của hệ O và chuyểnĐộng của hệ này có thể phân ra làm hai chuyển động  Chuyển động của O đối với hệ trục Ox’y’là chuyển động tương đối. Đó là chuyển động quay quanh cực A.  Chuyển động của hệ trục động Ox’y’ đối với hệ cố định Oxy – Chuyển động kéo theo là chuyển động tịnh tiến 2-Phương trình chuyển động Góc quay - để xác định vị trí của hệ A đối với hệ động Ox’y’ Các tọa độ xA,yA – để xác định vị trí của hệ động Ax’y’ đối với hệ cố định Oxy.
  30. Nên phương trình chuyển động của (S) sẽ là: xAA= x() t yAA=− y( t ) (8 1) = ()t 3-Vận tốc góc và gia tốc góc của vật rắn phẳng: Vận tốc góc và gia tốc góc của hình phẳng S chuyển động là một vectơ nằm trên trục Oz vuông góc với mặt phẳng S và được xác định bởi hệ thức: zz== ,  III- XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ, VẬN TỐC, GIA TỐC CÁC ĐIỂM CỦA VẬT RẮN BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 1- Quan hệ vận tốc hai điểm của vật rắn phẳng a- Quan hệ vận tốc hai điểm Từ hình vẽ ta có công thức rPA=+ r AP (8.15) y Đạo hàm theo thời gian công thức (8.15) P drPA dr d() AP A =+ rp dt dt dt r v = v + AP = v + v (8.16) A P A A PA O x
  31. vPA có thể xác định theo qui tắc hình học như sau: Chú ý: Vectơ vPA =  AP  có phương vuông góc với AP  Có chiều theo chiều quay của   Có trị số vPA = . AP b- Định lý hình chiếu vận tốc: Hình chieáu vaän toác cuûa hai ñieåm ñoù thuoäc hình phaúng leân ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm ñoù thì baèng nhau VB AB = VA AB c- Tâm vận tốc tức thời: c1- Định nghĩa Mỗi thời điểm ta có thể tìm được một điểm có vận tốc tuyệt đối bằng không, điểm đó được gọi là tâm vận tốc tức thời Gọi P là tâm vận tốc tức thời, ta có: vP = 0
  32. vA c2 - Cách xác định tâm vận tốc tức thời :  Tại thời điểm khảo sát, trên mặt phẳng có chuyển động quay với vận tốc gốc là  với điểm A (bất kỳ) có vận tốc là quay vectơ vA theo chiều  một góc /2 v  Trên đoạn thẳng AN lấy một điểm P sao cho PA = A  Điểm P chính là tâm vận tốc tức thời của hình phẳng N P Chú ý: Sang thời điểm khác vận tốc của điểm A VA thay đổi do đó tâm vận tốc tức thời của A hình phẳng cũng thay đổi.  Tại thời điểm khảo sát hình phẳng có chuyển động tuyệt đối quay quanh tâm vận tốc tức thời Trong trường hợp không tồn tại tâm vận tốc tức v thời (có nghĩa là  = 0 ) khí đó PA =A →  vM= v0 + v MO = v 0 +  OM v M = v 0 Mọi điểm thuộc hình phẳng có vận tốc bằng nhau, tại thời điểm này với chuyển động tịnh tiến.
  33. c3- Cách xác định tâm vận tốc tức thời:  Vật lăn không trượt trên bề mặt cố định Vật lăn không trượt trên bề mặt cố định thì tại điểm tiếp xúc P của vật và mặt Phẳng có vận tốc tiếp xúc bằng không vP = 0 O P là tâm vận tốc tức thời P  Biết phương vận tốc tại hai điểm thuộc vật VA Từ A và B kẽ hai đường vuông góc với phương của vvAB, giao điểm hai đường này là tâm vận tốc tức thời P B A VB v PB =B  P vA PA
  34. ◼ Biết vận tốc tại hai điểm song song nhau P VA VA A A B VB P  P  VB B vvAB−  = vv+ AB  = AB AB ◼ Biết vận tốc tại hai điểm song song nhau, có giá trị bằng nhau V vvAB= B B A VA  = 0. Vật tức thời chuyển động tịnh tiến
  35. e- Đường lăn - đường căn cứ : Đường lăn là quỉ đạo của điểm P (tâm vận tốc tức thời ) trên hình phẳng (Hệ qui chiếu động ) - Đường lăn được gọi là tâm tích động Đường căn cứ là quỉ đạo của điểm P nằm trong hệ qui chiếu cố định O1x1y1 -Đường căn cứ được gọi là tâm tích cố định. 3- Quan hệ gia tốc hai điểm của vật rắn phẳng a- Quan hê gia tốc hai điểm Gia tốc của điểm P bất kỳ trên hình phẳng bằng gia tốc của điểm cực A cộng với gia tốc điểm P quay quanh cực A đó  n ap= a A + a PA = a A + a PA + a PA (8 − 18)  Trong đó: a = AP;; an = 2 AP a = AP  4 +  2 tg = PA PA PA  2  Chú ý: 2  Từ (8-18) aPAA=+ + =+ − a r (  r) a  r  . r (8 − 21)
  36. b- Tâm gia tốc tức thời: b1 Định nghĩa Taâm gia toác töùc thôøi laø moät ñieåm thuoäc hình phaúng maø taïi thôøi ñieåm khaûo saùt coù gia toác baèng khoâng. b2 - Chú ý: Cũng như tâm vận tốc tức thời, tại mỗi thời điểm chỉ tồn tại duy nhất một tâm gia tốc tức thời Khi hình phẳng có tâm gia tốc tức thời thì sự phân bố gia tốc cụm các điểm thuộc hình phẳng giống như sư phân bổ gia tốc của các điểm khi hình phẳng quay quanh tâm gia tốc tức thời. Tâm gia tốc tức thời của hình phẳng nói chung không trùng với tâm vận tốc tức thời b3 - Xác định tâm gia tốc tức thời: Q N   Kẻ đoạn thẳng AN tạo a một góc theo chiều  sao cho: tg = A  2 a  Trên AN lấy một điểm Q sao cho: AQ = A 24+  A Q là tâm gia tốc tức thời aA
  37. IV-KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN TRUYỀN 1- Phương trình chuyển động Tọa độ điểm M trong các hệ tọa độ động Oxy và hệ tọa độ Oo x o y o cố định được liên hệ với nhau qua các hệ thức sau xo = u + acos − b sin (8− 23) yo = v + asin − b cos Biểu diễn biểu thức (8-23) dưới dạng ma trận: xo a y=− T b (8 24) o 1 1 c − s u Trong đó: T=− s c v (8 25) 0 0 1 Gọi là ma trận truyền
  38. Chú ý:  Biếu thức (8-23) có thể được viết dưới dạng ma trận ro =− Tr (8 26) rT =  x y 1 oo0 Ở đó: rT =  a b 1 TTTT= uv 1 0u 1 0 0 c − s 0 T= 0 1 0 , T = 0 1 v , T = s c 0 uv 0 0 1 0 0 1 0 0 1  Tu Tv =: Tv Tu 2. Biểu thức vận tốc vả gia tốc của điểm Từ (8-26) nhận được các biểu thức, tính vận tốc, gia tốc của điểm M trong hệ tọa độ nền (tọa độ cố định Oo x o y o '' v= TTTru v u + TTTr u v v + TTTr u v (8 − 27) a= TTTr' + TTTr ' + TTTr + TTTr '' +2 TTTr ' ' + 2 TTTr ' ' (8 − 28) uvuuvvuv uv 2 uvu uvv
  39. Trong đó:  v, a tương ứng là ma trận vận tốc, gia tốc của điểm M trong hệ tọa độ nền: T ()()()() o o T o o v== xMMMM y0 ; a x y 0 TTT ruv= aubuu;, r = avbvv r =  a b  TTT ruv= aubuu;, r = avbvv r =  a b  rTTT= aubuu ;; r = avbvv r = a 2 b 2 2 uv     2 '''  Các ma trận TTT uv ,, được xác định theo qui tắc lấy đạo hàm các ma trận TTTuv,, 0 0 1 0 0 0 −s − c 0 − c s 0 T'= 000; T ' = 001; T ' = c − s 0; T '' = − s − c 0. uv 000 000 000 000
  40. 3- Phương pháp giải bài toán chuyển động phẳng bằng phương pháp ma trận. a- Phân loại chuổi Đầu tiên cần chú ý đến cấu trúc của cơ cấu do các chuổi cấu thành bao gồm: Dạng chuổi mở, chuổi đóng, chuổi nửa đóng, a1- Chuổi mở : Chuổi gồm các khâu nối tiếp, khâu đầu nối bản lề với hệ tọa độ nền, khâu cuối không có điểm tiếp xúc (tức là tự do) đối với hệ tọa độ nền . Đối với loại chuỗi này áp dụng trực tiếp công thức a2 - Chuổi đóng : Chuổi có khâu đầu và khâu cuối nối bản lề với hệ tọa độ nền. Đối với loại chuỗi này áp dụng trực tiếp công thức, nhưng chú ý tính các thông số phụ theo thông số độc lập a3- Chuỗi nửa đóng :Chuỗi có khâu cuối cùng có điểm tiếp xúc với hệ tọa độ nền theo một quĩ đạo đã biết, Đối với loại chuỗi này áp dụng trực tiếp công thức, nhưng chú ý tính các thông số phụ theo thông số độc lập b- Trình tự giải bài toán động học một số chuổi cơ bản b1- Xác định loại chuổi (mở, đóng, nửa đóng) và sử dụng phương pháp tương ứng. Xác định số khâu và đánh số các khâu liên tiếp tiếp theo thứ tự 1, 2, 3, Khâu nền ứng với “0”.
  41.  b2- Đặt các hệ tọa độ : Các hệ tọa độ được ký hiệu theo khâu, ví dụ hệ tọa độ vật của khâu thứ i có ký hiệu: Ai x i y i điểm góc Ai đặt tại điểm đầu của khâu, trục x hướng dọc khâu, trục y vẽ vuông góc với trục x quay góc trục theo chiều ngược kim đồng hồ. Góc định vị của khâu là góc quay từ khâu trước đến khâu đó theo chiều ngược chiều kim đồng hồ (được qui ước chiều dương) với góc bé nhất, chúng được ký hiệu cùng số hiệu của khâu, thí dụ khâu thứ i thì góc quay được ký hiệu là i Để đơn giản, thường hệ trục toa độ được ký hiệu bằng vectơ đặt tại góc hệ trục ( Tức là điểm đầu của khâu), hướng theo chiều dương của trục x, có cùng ký hiệu với khâu, thí dụ hệ tọa độ được ký hiệu qua vectơ x i đặt tại Ai .Chiều dài của khâu thứ i được ký hiệu qua Li b3- Viết các phương trình (8-26), (8-27), (8-28) và giải chúng.
  42. V- XÁC ĐỊNH VẬN TỐC GÓC, GIA TỐC GÓC CỦA VẬT RẮN PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP WILLIS (TÍNH CHO CƠ CẤU HÀNH TINH VÀ VI SAI) Trong công thức xác định vận tốc góc tuyệt đối của vật rắn a=  e +  r (8 − 29) Trong trường hợp vật rắn chuyển động với các trục song song nhau (8− 29) a =  e +  r  r =  a −  e (8 − 30) Tỷ số truyền động tương đối giữa hai bánh răng là  − rz 1r =1 o = 2 = 2 (8 − 31) 2ro  2−  rz 1 1 Chú ý:  Chọn tay quay làm hệ trục động  Công thức (8-31) lấy dấu trừ khi bộ truyền ăn khớp ngoài
  43. Chương 9 ĐỘNG HỌC VẬT RẮN KHÔNG GIAN I- MA TRẬN COSIN CHỈ HƯỚNG: 1- Định nghĩa ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn Cho vật rắn B và hệ quy chiếu cố định với các vectơ đơn vị ()()()o o o Ro = e1 , e 2 , e 3 , Gắn chặt vào vật B một hệ quy chiếu động với các vectơ đơn vị R= e1,, e 2 e 3 z’o a- Định nghĩa z1 z y Ma trận cosin chỉ hướng vật rắn B đối với hệ quy chiếu Ro B e3 e2 ()()()o o o ()o y’o e1 e 1 e 1 e 2 e 1 e 3 e3 ()o A e2 e ()()()o o o O 1 e e e e e e (9.1) yo 2 1 2 2 2 3 x e ()o ()()()o o o 1 e3 e 1 e 3 e 2 e 3 e 3 x’o xo ()()oo Nếu đưa vào ký hiệu: aij= e i. e j = cos( e i . e j ) ( i , j = 1,2,3) (9.2)
  44. a11 a 12 a 13  Thì ma trận (1.1) có dạng: A= a a a (9.3) 21 22 23 a31 a 31 a 31  Từ định nghĩa trên trong hệ qui chiếu Ro ta có hệ thức liên hệ: ()()()o o o e1= a 11 e 1 + a 21 e 2 + a 31 e 3  ()()()o o o e2= a 12 e 1 + a 22 e 2 + a 32 e 3  (9.4) ()()()o o o e3= a 13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3   Nếu ký hiệu e là ma trận cột gồm các phần tử của vecto trong hệ qui chiếu R i ei o a11 a 12 a 13 e= a , e = a , e = a (9.5) 1 21 2 22 3 23 a31 a 32 a 33  Thì ma trận cosin chỉ hướng (1.3) có dạng: A=  e1, e 2 , e 3  (9.6) Ma trận cosin chỉ hướng A còn gọi là ma trận quay của vật rắn
  45. z b- Các ma trận quay cơ bản  Quy ước hướng quay dương là hướng quay ngược kim đồng hồ  y  Ma trận quay của phép quay quanh trục x một góc o x zo ()()()o o o e e e e e e 1 0 0 z 1 1 1 2 1 3 y ()()()o o o Axo ( )= e2 e 1 e 2 e 2 e 2 e 3 = 0 cos − sin (9.7) ()o e3 e e()()()o e e o e e o e 0 sin cos 2 3 1 3 2 3 3 e3 yo O ()o e2  Ma trận quay của phép quay quanh trục yo một góc  zo cos 0 sin z A ( )= 0 1 0 (9.8) yo e ()o −sin 0 cos 1 xo O  e1 y
  46.  Ma trận quay của phép quay quanh trục zo một góc  yo cos− sin 0 y x A ( )= sin  cos  0 (9.9) yo ()o e2 e 0 0 1 1 e2  xo O ()o e1 2- Ý nghĩa ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn z1 y  Hệ qui chiếu R Ox y z hệ cố định z o o o o ()o P e3 r  Hệ qui chiếu ROxyz gắn liền với vật p e3 e2 O yo ()o ()o e e2 1 e1 x xo  Tọa độ điểm P trong hệ động xp,yp, zp ()()()o o o  Tọa độ điểm P trong hệ cố định xp,, y p z p
  47. ()()()()()()o o o o o o rp= x p e1 + y p e 2 + z p e 3 (9.10)  Ta có hệ thức sau: rp= x p e1 + y p e 2 + z p e 3 (9.11)  Thay(9.4) vào (9.11) ()()()()()()o o o o o o rxaep= p()()11 1 + ae 21 2 + ae 31 3 + yae p 12 1 + ae 22 2 + ae 32 3 ()()()o o o +zp () a13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3  Hay: ()()oo rp=()() ax11 p + ay 12 p + aze 13 p 1 + ax 21 p + ay 22 p + aze 23 p 2 ()o +(a31 xp + a 32 y p + a 33 z p ) e 3 (9.12)  So sánh (1.10) và (1.12) suy ra hệ phương trình ()o xp= a11 x p + a 12 y p + a 13 z p ()o yp= a21 x p + a 22 y p + a 23 z p ()o zp= a31 x p + a 32 y p + a 33 z p
  48.  Hệ phương trình trên có thể viết lại: ()o xpp a11 a 12 a 13 x y()o = a a a y (9.13) pp 21 22 23 ()o zpp a31 a 31 a 31 z ()o  Phương trình (9.13) có thể viết gọn lại: rpp= Ar (9.14) Ma trận cosin chỉ hướng A biến đổi các tọa độ của điểm P bất kỳ thuộc vật rắn trong hệ qui chiếu động sang các tọa độ của điểm P đó trong hệ qui chiếu cố định
  49. II- ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH 1- Định nghĩa: Vật rắn chuyển động mà có một điểm thuộc vật cố định Chú ý: Nếu điểm nằm ngoài vật thì khoảng cách từ điểm đó đến hai điểm thuộc vật không đổi 2- Định lý Euler về chuyển động quay của vật rắn có một điểm cố định: zo Xét chuyển động của vật rắn B và một điểm O cố định z1 y1  Hệ qui chiếu R Ox y z hệ cố định o o o o R1  Hệ qui chiếu R1 Ox1y1z1 gắn liền với vật là hệ động B O yo Ta có thể quay hệ qui chiếu Ro sang hệ qui chiếu R1bằng phương Pháp quay hữu hạn quanh trục là hướng của vecto riêng u ứng với trị riêng =1 của ma tận cosin chỉ hướng A xo x1 Chú ý: 1- Do định lý Euler, nên ma trận cosin chỉ hướng A của hệ qui chiếu R1 đối với hệ Qui chiếu Ro,còn được gọi là ma trận quay hệ qui chiếu Ro sang hệ qui chiếu R1
  50. 2- Các chuyển động quay hữu hạn không có tính giao hoán nghĩa là hai chuyển động Quay theo thứ tự khác nhau, ta được vị trí cuối cùng khác nhau  Quay quanh trục x một góc 90o, sau đó quay quanh trục y một góc 90o ta được: z z z B C A y y y x C x x Quay quanh trục y một góc 90o, sau đó quay quanh trục x một góc 90o ta được: z z z C’ A’ B’ y y y x x x
  51. 3- Các góc Euler và ma trận quay Euler Vị trí của vật rắn B quay quanh điểm O cố định được xác định bởi vị trí của  Hệ qui chiếu R Ox y z hệ cố định o o o o zo  Hệ qui chiếu ROxyz gắn liền với vật rắn B z y   Giao của mặt phẳng Oxoyo và mặt phẳng Oxy là trục OK ( Đường nút ) O Ta có ký hiệu sau yo  Góc giữa trục Oxo và OK là  (góc tiến động) xo K Góc giữa trục Ozo và Oz là  (góc trương động) x Góc giữa trục OK và Ox là (góc quay riêng) Ba góc ,,  được gọi là các góc Euler. Phương trình chuyển động của vật rắn quay quanh điểm cố định có dạng: = (t ),  =  ( t ), = ( t ) (9.15) Vật rắn quay quanh điểm cố định có 3 bậc tự do.
  52. Khi xác định vị trí của vật rắn bằng các góc Euler, ta có thể quay hệ qui chiếu cố đinh Oxoyozo sang hệ qui chiếu động Oxyz bằng ba phép quay Euler như sau:  Quay hệ qui chiếu RoOxoyozo quanh trục Ozo môt góc  để trục Oxo chuyển tới đường nút OK. Với phép quay này, hệ Oxoyozo chuyển sang hệ Ox1y1z1 với Ozo Oz1 zoz1 cos− sin 0  y1 A ( )= sin  cos  0 (9.16) zo 0 0 1 O yo  Quay hệ qui chiếu R1Ox1y1z1 quanh trục Ox1 OK môt xo góc  để trục Oz  Oz chuyển tới trục Oz  Oz như thế K o 1 2 x1K z z hệ Ox1y1z1 chuyển sang hệ Ox2y2z2 với Ox1 Ox2 OK 1 o z2z y  2 1 0 0 y1 A ( )== 0 cos  − sin  (9.17) K O 0 sin cos  K x1 x2 OK
  53.  Quay hệ qui chiếu R2Ox2y2z2 quanh trục Oz2 Oz môt góc để trục Ox2 OK chuyển tới trục Ox.như thế hệ Ox2y2z2 chuyển sang hệ Oxyz với Oz2 Oz  z2 z y cos − sin 0   y A ( )= sin cos 0 (9.18) 2 z 0 0 1 O Chú ý : Trong phép chuyển ngược sẽ sử dụng các ma trận tương ứng sau : x x2 cos sin 0 T ( )=− sin  cos  0 (9.16 ) zo 0 0 1 1 0 0 cos sin 0 T ( )= 0 cos  sin  (9.17 ) T z ( )=− sin cos 0 (9.18 ) K 0 0 1 0− sin cos
  54. Bây giờ ta xác định ma trận quay hệ qui chiếu sang hệ qui chiếu Oxyz (cũng là ma trận cosin chỉ hướng của hệ qui chiếu Oxo y o z o ) ()o xxpp ()o Ta lấy P là một điểm bất kỳ của vật rắn B và ký hiệu AE y= A y (9.19) là ma trận quay. Theo công thức (9.14) ta có hệ thức sau: p E p ()o zzpp ()()()i i i  Ta ký hiệu . x p ,, y p z p Là tọa độ điểm P trong hệ qui chiếu Ri  Oxiyizi (i=1.2). Theo công thức (1.14) ta có hệ thức sau: (2) (1) (2) xp x p x p x p (2) (1) (2) yp == A z(  ) y p , y p A k ( ) y p (9.20) (2) (1) (2) zp z p z p z p (o ) (1) xxpp (o ) (1) yp = A zo( ) y p (9.21) (o ) (1) zzpp
  55.  Thế (9.20) vào phương trình (9.21) ta được: ()o xxpp ()o yp = A zo( ) A k (  ) A z ( ) y p (9.22) ()o zzpp  So sánh các biểu thức (9.22) và (9.19) ta suy ra biểu thức ma trận cosin chỉ hướng: AAAAE= zo( ) k (  ) z ( ) (9.23)  Tính toán chi tiết ta được cos−− sin  0 1 0 0 cos sin 0 A =− sin cos  0 0 cos  sin  sin cos 0 E 0 0 1 0 sin cos 0 0 1 c c−s  c s − c  s − s  c c s  s A= s c + c  c s − s  s + c  c c − c  s (9.24) E s s s cc  Ma trận cosin chỉ hướng (9.24) được gọi là ma trận quay Euler
  56. 4- vận tốc góc và gia tốc góc của vật rắn quay quanh một điểm cố định a- vận tốc góc và phương trình động học Euler Áp dụng định lý cộng vận tốc góc ta có vận tốc góc của vật rắn B ()o =  +   +  = ez +  e k + e z (9.25) Dưới dạng ma trận cột, các vecto vận tốc góc   ,,    có dạng 0  sin  sin z ()()o== 0 , A T  o  sin  cos o  E  z y  cos    0 sin  sin   == 0 , ()o A  cos  sin  O E y  o cos    xo cos  cos  K ()o x == sin ,   sin  oo
  57.  Chiếu đẳng thức vectơ (9.25) lên các trục xo,yo và zo ta được: ()o x =+ sin  sin   cos  ()o y = − sin  cos  +  sin  (9.26) ()o z =+ cos   Chiếu đẳng thức vectơ (2.25) lên hệ qui chiếu động: x =+ sin  sin  cos y =+ sin  cos  sin (9.27) z =+ cos  Phương trình (9.26) hoặc (9.27) được gọi là phương trình động học Euler
  58. d c- Gia tốc góc vật rắn:  = (9.28) dt 5- Xác định vận tốc , gia tốc của điểm thuộc vật rắn quay quanh một điểm cố định vp= v po = OP = r p (9.29) ap= a po = OP +  v p =  r p +  (  r p ) (9.30) zo A 6- Chuyển động quay tiến động đều z a- Định nghĩa  a- Nếu độ lớn các vận tốc của hai chuyển động quay thành phần là   hằng số và góc giữa hai trục quay không đổi thì chuyển động của vật rắn khi đó được gọi là chuyển động quay tiến động đều O Nghĩa là: =const,  = 0, = const
  59. b- Vận tốc và gia tốc góc của vật rắn quay tiến động đều Từ dịnh lý công vận tốc góc và gia tốc góc (,)  er ==    suy ra ()o = e +  r = ee z + z (9.31) d = =   (9.32) dt er III-CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ CẤU HÀNH TINH, VI SAI NÓN Trong cơ cấu hành tinh, cơ cấu vi sai nón các trục giao nhau tại điểm O (Hình 9-13 ). Theo hợp chuyển động quay, ta có công thức cộng vận tốc góc và gia tốc góc như sau: Áp dụng công thức WILIS, chọn tay quay làm hệ trục động, công thức truyền động có dạng:  − rz 1r =1 o = 2 = 2 (9 − 33) 2ro  2−  rz 1 1
  60. IV – ĐỘNG HỌC VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG KHÔNG GIAN TỔNG QUÁT 1-Xác định vị trí của vật rắn trong không gian ba chiều z y Lấy A là một điểm bất kỳ của vật rắn B. Như đã biết chuyển động của vật rắn B trong hệ qui chiếu Ro được zo A phân thành hai chuyển động thành phần : B  Chuyển động của điểm A đối với hệ qui chiếu Ro R  Chuyển động của vật rắn B quay quanh vật rắn A o (Hình 9-13) O (Hình 9-13) yo Vị trí của điểm A được xác định bởi phương trình xo ()()()()()()o o o o o o rA= x A e x + y A e y + z A e z (9 − 34)
  61. ()()()o o o e1 e 1 e 1 e 2 e 1 e 3 a 11 a 12 a 13 e()()()o e e o e e o e== A a a a (9.35) 2 1 2 2 2 3 21 22 23 ()()()o o o e3 e 1 e 3 e 2 e 3 e 3 a 31 a 31 a 31 2-Xác định vận tốc góc, gia tốc góc của vật rắn, a.Vận tốc góc vật rắn Người ta thường sử dụng các phương pháp chính sau đây b-Gia tốc góc vật rắn :
  62. 3- Xác định vận tốc, gia tốc các điểm của vật rắn v= v + v (9 − 36) Theo chương 6 ta có công thức: P A PA aP= a A + a PA (9 − 37) a- Chọn hệ qui chiếu động là hệ tọa chuyển động tịnh tiến đối với hệ qui chiếu cố định
  63. b- Chọn hệ trục động là hệ tọa độ chuyển động tùy ý đối với hệ qui chiếu cố định Công thức tính vận tốc, gia tốc điểm P có dạng như sau e r r vP= v A + v PA = v A + v PA + v PA = v A + e u P + v PA (9 − 42) e r c aP= a A + a PA = a A + a PA + a PA + a PA r ' =aA + u P +  e (  e u P ) + a PA + 2  v P (9 − 43) V- ĐỘNG HỌC RÔ BỐT CÔNG NGHIỆP 1-Tính toán động học rô bốt công nghiệp bằng phương pháp ma trận thuần nhất a - Ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất
  64. Xét vật rắn B chuyển động trong hệ qui chiếu cố định Oxo y o z o Lấy một điểm A nào đó của vật rắn B và gắn chặt vào vật rắn hệ qui chiếu Axyz (hình 9-18) Lấy P là một điểm bất kỳ thuộc vật rắn B Phương trình (9-45) có thể viết dưới dạng ma trận sau ()()oo xp x A a11 a 12 a 13 x p y()()oo=+ y a a a y (9.46) p A 21 22 23 p ()()oo zp z A a31 a 31 a 31 z p Trong đó : A là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B  xp,, y p z p là tọa độ điểm P trong hệ qui chiếu Axyz. Phương trình (9.46) có thể được viết lại dưới dạng ma trận thuần nhất ()()oo xp a11 a 12 a 13 x A x p y()()oo a a a y y p = 21 22 23 A p (9.47) z()()oo a a a z z p 31 31 31 A p 1 0 0 0 1 1
  65. Định nghĩa : Ma trận ()o a11 a 12 a 13 xA a a a y()()oo A r T == 21 22 23 AA(9.48) ()oT a31 a 31 a 31 zA 01 0 0 0 1 Được gọi là ma trận chuyển tọa độ thuần nhất của điểm P từ hệ tọa độ Axyz sang hệ tọa độ Oxo y o z o (Hay gọi tắt là ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất) Như thế ma trận T cho biết vị trí của vật rắn B trong hệ tọa độ b- Các ma trận quay cơ bản thuần nhất và ma trận tịnh tiến thuần nhất . Các ma trận cơ bản (9-7), (9-6) và (9-9) trong mục ma trận cosin chỉ hướng mở rộng ra trong hệ tọa độ thuần nhất bốn chiều có dạng sau: 1 0 0 0 cos 0 sin 0 0 cos − sin 0 0 1 0 0 T( )== Rot ( x , ) (9.49) T( )= Rot ( y , ) (9.50) Rx 0 sin cos 0 Ry −sin 0 cos 0 0 0 0 1 0 0 0 1
  66. cos− sin 0 0 sin cos 0 0 T( )= rot ( z , ) (9.51) Rz 0 0 1 0 0 0 0 1  Ma trận tịnh tiến thuần nhất có dạng 100a 1000 1000 0100 010b 0100 TTT= , = , = (9.51) 1x 0010 1 y 0010 1 z 001 c 0001 0001 0001 Trong đó ta thực hiện chuyển động tịnh tiến theo trục tọa độ x một đoạn là a, theo trục tọa độ y một đoạn là b, theo trục tọa độ z một đoạn là c. 2-Tính toán động học rô bốt công nghiệp bằng phương pháp ma trận Denavit-Hartenberg a- Các tham số động học Denavit-Hartenberg Trong đoạn này ta chỉ xét hệ các vật rắn nối ghép với nhau bằng các khớp quay và khớp tịnh tiến. Khi đó quan hệ vị trí giữa hai khâu kế tiếp nhau có thể được xác định bởi hai tham số khớp (Hình 9-19)
  67. Trên hình 9-19 khâu i-1 nối với khâu i bằng khớp i. Trục zi-1 được chọn là trục khớp của khớp thứ i . Tham số thứ nhất i được gọi là góc khớp, là góc quay ' trục xi-1 quanh trục zi-1 đến trục xxii//.
  68. b- Ma trận Denavit - Hartenberg
  69. Định nghĩa 3. Phương trình xác định vị trí khâu thao tác (bàn kẹp) của rô bốt Áp dụng liên tiếp các phép biến đổi (9-52) đối với rô bốt n khâu thu được phương trình xác định vị trí khâu thao tác (bàn kẹp) của Rô bốt