›
›

Bài giảng Định thức - TS. Lê Xuân Đại

pdf 67 trang phuongnguyen 1890
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Định thức - TS. Lê Xuân Đại", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dinh_thuc_ts_le_xuan_dai.pdf

Nội dung text: Bài giảng Định thức - TS. Lê Xuân Đại

  1. ĐỊNH THỨC Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 1 / 67
  2. Bài toán thực tế Bài toán thực tế - Tính diện tích tam giác 2, 511 1 −→ −→ 1 5 S = abs|[AB, AC]| = abs 321 = 2 2 4 131 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 2 / 67
  3. Bài toán thực tế Tính thể tích của hình lăng trụ −→ a = (a1, a2, a3); −→ −→ b = (b1, b2, b3); c = (c1, c2, c3) a1 a2 a3 −→ −→ −→ ⇒ V = abs([ a × b ], c ) = abs b1 b2 b3 c1 c2 c3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 3 / 67
  4. Bài toán thực tế Nội dung 1 Khái niệm và tính chất của định thức 2 Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 4 / 67
  5. Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn(K) là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A = (aij ) là một số, được ký hiệu là detA hoặc |A|. Vậy det : Mn(K) → K A → detA. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 5 / 67
  6. Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn(K) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi Mij là định thức con phụ của phần tử aij . Định thức Mij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A| TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 6 / 67
  7. Khái niệm định thức Định nghĩa định thức a11 a1(j−1) a1j a1(j+1) a1n . . . . . . . . . . . . a(i−1)1 a(i−1)(j−1) a(i−1)j a(i−1)(j+1) a(i−1)n |A| = ai1 ai(j−1) aij ai(j+1) ain a a a a a (i+1)1 (i+1)(j−1) (i+1)j (i+1)(j+1) (i+1)n . . . . . . . . . . . . an1 an)(j−1) anj an(j+1) ann n×n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 7 / 67
  8. Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Mij = a11 a1(j−1) a1(j+1) a1n . . . . . . . . a(i−1)1 a(i−1)(j−1) a(i−1)(j+1) a(i−1)n a(i+1)1 a(i+1)(j−1) a(i+1)(j+1) a(i+1)n . . . . . . . . . . a a a a n1 n(j−1) n(j+1) nn (n−1)×(n−1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 8 / 67
  9. Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn(K) là ma trận vuông cấp n. i+j Ta gọi Aij = (−1) Mij là phần bù đại số của phần tử aij . Định nghĩa (Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận vuông cấp n A = (aij ) là một số bằng n P a1j A1j = a11A11 + a12A12 + + a1nA1n. j=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 9 / 67
  10. Khái niệm định thức Định nghĩa định thức a11 a1j a1n . . . . . . . . n X detA = ai1 aij ain = a1j A1j = . . . . . . . . j=1 an1 anj ann n X 1+j = a1j .(−1) M1j . j=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 10 / 67
  11. Khái niệm định thức Định nghĩa định thức 1 n = 1, A = (a11) ⇒ |A| = a11.   a11 a12 2 n = 2, A = ⇒ |A| = a21 a22 1+1 1+2 (−1) a11M11 + (−1) a12M12 = a11a22 − a12a21.   a11 a12 a13 3 n = 3, A =  a21 a22 a23  ⇒ |A| = a31 a32 a33 1+1 1+2 1+3 (−1) a11M11 + (−1) a12M12 + (−1) a13M13 1+1 a22 a23 1+2 a21 a23 = (−1) a11 + (−1) a12 + a32 a33 a31 a33 1+3 a21 a22 (−1) a13 . a31 a32 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 11 / 67
  12. Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Ví dụ  1 2 3  Tính định thức detA với A =  4 2 1  3 1 5 Giải. Khai triển theo hàng 1: |A| = 1.A11 + 2.A12 + 3.A13. 1+1 2 1 A11 = (−1) = 2.5 − 1.1 = 9, 1 5 1+2 4 1 A12 = (−1) = −(4.5 − 1.3) = −17, 3 5 1+3 4 2 A13 = (−1) = 4.1 − 2.3 = −2. 3 1 Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 12 / 67
  13. Khái niệm định thức Tính chất của định thức Tính chất của định thức Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo1 hàng bất kỳ. a11 a1j a1n . . . . . . . . n X detA = ai1 aij ain = aij Aij . . . . . . . . j=1 an1 anj ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 13 / 67
  14. Khái niệm định thức Tính chất của định thức Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo1 cột bất kỳ. a11 a1j a1n . . . . . . . . n X detA = ai1 aij ain = aij Aij . . . . . . . . i=1 an1 anj ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 14 / 67
  15. Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt.  1 2 3  Tính định thức detA với A =  0 2 0  3 1 5 Giải. Khai triển theo hàng 2: 2+2 1 3 |A| = 0.A21 + 2.A22 + 0.A23 = 2.(−1) 3 5 = 2(1.5 − 3.3) = −8. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 15 / 67
  16. Khái niệm định thức Tính chất của định thức  1 2 3  Tính định thức detA với A =  2 1 0  3 1 0 Giải. Khai triển theo cột 3 ta được |A| = 3.A13 + 0.A23 + 0.A33 = 2 1 3.(−1)1+3 = 3(2.1 − 1.3) = −3. 3 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 16 / 67
  17. Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Khai triển định thức theo cột 1 ta được a a a a a a 11 12 1n 22 23 2n 0 a a 0 a a 22 2n 1+1 33 3n . . . = a11.(−1) . . . . = . . . . . . . . 0 0 ann 0 0 ann = = a11.a22 ann. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 17 / 67
  18. Khái niệm định thức Tính chất của định thức Khai triển định thức theo hàng 1 ta được a 0 0 0 a 0 0 0 11 22 a a 0 a a 0 21 22 1+1 32 33 . . . = a11.(−1) . . . . = . . . . . . . . an1 am2 ann an2 an3 ann = = a11.a22 ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 18 / 67
  19. Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A bằng định thức của ma trận A: detAT = detA. Ví dụ  1 3 5   1 2 2  Cho A =  2 4 6  ⇒ AT =  3 4 1  . Khi 2 1 8 5 6 8 đó detAT = detA = −16 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 19 / 67
  20. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức hi ↔hj (ci ↔cj ) 1 Nếu A −−−−−−−→ B thì detB = −detA . hi →λhi (ci →λci ) 2 Nếu A −−−−−−−−−→ B thì detB = λdetA với λ =6 0. hi →hi +λ.hj (ci →ci +λcj ) 3 Nếu A −−−−−−−−−−−−−→ B thì detB = detA, ∀λ ∈ K TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 20 / 67
  21. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Hệ quả 1 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do h ↔h (c ↔c ) A −−−−−−−→i j i j A trong đó i, j là 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detA = −detA ⇒ detA = 0. 2 Nếu định thức có 2 hàng hoặc 2 cột tỷ lệ với nhau thì định thức của nó bằng 0. Thật vậy, do h →λh (c →λc ) A −−−−−−−−→i i i i B với λ 6= 0 là tỉ số đồng dạng, nên detB = λdetA. Lúc này ma trận B thu được là ma trận có 2 hàng hoặc 2 cột giống nhau nên detB = 0 ⇒ detA = 0. 3 Định thức của ma trận sơ cấp khác không. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 21 / 67
  22. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ 2 3 −4 5 3 −5 2 4 Tính định thức 5 4 3 −2 −4 2 5 3 2 3 −4 5 2 3 −4 5 3 −5 2 4 h2→h2−h1 1 −8 6 −1 h1→h1−2h2 === === 5 4 3 −2 h4→h4+2h1 5 4 3 −2 h3→h3−5h2 −4 2 5 3 0 8 −3 13 0 19 −16 7 19 −16 7 1 −8 6 −1 Khai triển theo cột 1 2+1 === 1.(−1) . 44 −27 3 = 0 44 −27 3 8 −3 13 0 8 −3 13 = −2858. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 22 / 67
  23. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ x a a a a x a a Tính định thức a a x a a a a x x a a a x + 3a a a a a x a a c1→c1+c2+c3+c4 x + 3a x a a cột 1 === === a a x a x + 3a a x a a a a x x + 3a a a x 1 a a a h2→h2−h1 1 a a a h3→h3−h1 1 x a a h4→h4−h1 0 x − a 0 0 (x+3a) === (x+3a) = 1 a x a 0 0 x − a 0 1 a a x 0 0 0 x − a = (x + 3a)(x − a)3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 23 / 67
  24. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Định lý Giả sử     A1∗ A1∗  A2∗   A2∗   .   .   .   .   .   .  A =   =    Ai∗   λBi∗ + µCi∗   .   .   .   .  An∗ An∗ thì     A1∗ A1∗  A2∗   A2∗   .   .   .   .   .   .  detA = λ.det   + µ.det    Bi∗   Ci∗   .   .   .   .  An∗ An∗ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 24 / 67
  25. Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Ví dụ a + x x x Tính định thức x b + x x x x c + x a + x x x x x x a 0 0 x b + x x = x b + x x + x b + x x x x c + x x x c + x x x c + x x x x x x x a 0 0 = x x x + 0 b 0 + x b + x x = x x c + x x x c + x x x c + x x x x a 0 0 0 b 0 + x b + x x = x x c + x x x c + x bcx + a(bc + bx + cx) = abc + (ab + bc + ca)x. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 25 / 67
  26. Khái niệm định thức Định lý Laplace Định lý Laplace Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn(K). Chọn k hàng và k cột tùy ý trong ma trận A i1, i2, , ik và j1, j2, , jk. Định thức của ma trận thu được từ A bởi các phần tử nằm ở phần giao của k hàng và k cột (1 k n) được ký hiệu là mj1j2 jk và được gọi 6 6 i1i2 ik là định thức con cấp k của A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 26 / 67
  27. Khái niệm định thức Định lý Laplace Ví dụ   1 2 3 0 2  4 2 3 1 1      Cho ma trận vuông cấp 5 A =  2 0 5 0 3  .    4 1 7 2 0  8 0 4 1 6 Lấy 2 hàng gồm hàng thứ 2 và hàng thứ 4, lấy 2 cột gồm cột thứ nhất và cột thứ 4. Lúc này 1,4 4 1 m = 2,4 4 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 27 / 67
  28. Khái niệm định thức Định lý Laplace Định nghĩa Định thức con cấp (n − k) của A nhận được bằng việc xóa đi k hàng và k cột của A được gọi là định thức con bù của mj1j2 jk và được ký hiệu là i1i2 ik Mj1j2 jk . i1i2 ik 2 3 2 1,4 Theo ví dụ trên thì M = 0 5 3 = 36 2,4 0 4 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 28 / 67
  29. Khái niệm định thức Định lý Laplace Định nghĩa j j j j j j Số A 1 2 k = (−1)i1+i2+ +ik +j1+j2+ +jk M 1 2 k i1i2 ik i1i2 ik được gọi là bù đại số của mj1j2 jk i1i2 ik Theo ví dụ trên thì 2 3 2 1,4 A = (−1)2+4+1+4 0 5 3 = −36 2,4 0 4 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 29 / 67
  30. Khái niệm định thức Định lý Laplace Định lý Laplace Định thức của ma trận A bằng tổng các tích mọi định thức con rút ra từ k hàng (khai triển theo k hàng) (hoặc k cột - khai triển theo k cột) với bù đại số tương ứng của nó. k Cn X j j j j j j detA = m 1 2 k .A 1 2 k i1i2 ik i1i2 ik 1 Chú ý. Khi tính định thức ta nên khai triển định thức theo k hàng hoặc k cột nào đó có càng nhiều số 0 càng tốt. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 30 / 67
  31. Khái niệm định thức Định lý Laplace Cách áp dụng khai triển Laplace để tính định thức 1 Chọn k hànghoặc k cột nào đó có càng nhiều số 0 càng tốt để khai triển. 2 Tính tất cả các định thức con cấp k thu được k từ k hàng đã chọn. Tổng cộng có Cn định thức con theo k hàng đã chọn này. 3 Tìm tất cả các bù đại số tương ứng của các định thức con cấp k ở bước 2. 4 Định thức của ma trận A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k với bù đại số tương ứng của chúng. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 31 / 67
  32. Khái niệm định thức Định lý Laplace Ví dụ 2 1 3 5 0 2 0 4 Tính định thức D = 3 1 5 0 6 3 0 6 Lấy 2 hàng gồm hàng thứ 2 và hàng thứ 4. Lấy 2 cột gồm cột thứ nhất và cột thứ 2.Lúc này 1,2 0 2 1,2 3 5 m = , A = (−1)2+4+1+2 2,4 6 3 2,4 5 0 Lấy 2 cột gồm cột thứ nhất và cột thứ 3. Lúc này 0 0 1 5 m1,3 = , A1,3 = (−1)2+4+1+3 2,4 6 0 2,4 1 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 32 / 67
  33. Khái niệm định thức Định lý Laplace Làm tương tự ta được 1,4 0 4 1,4 1 3 m = , A = (−1)2+4+1+4 , 2,4 6 6 2,4 1 5 2,3 2 0 2,3 2 5 m = , A = (−1)2+4+2+3 , 2,4 3 0 2,4 3 0 2,4 2 4 2,4 2 3 m = , A = (−1)2+4+2+4 , 2,4 3 6 2,4 3 5 3,4 0 4 3,4 2 1 m = , A = (−1)2+4+3+4 2,4 0 6 2,4 3 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 33 / 67
  34. Khái niệm định thức Định lý Laplace 1,2 1,2 1,3 1,3 Như vậy, ta được detA = m2,4.A2,4 + m2,4.A2,4 + 1,4 1,4 2,3 2,3 2,4 2,4 3,4 3,4 m2,4.A2,4 + m2,4.A2,4 + m2,4.A2,4 + m2,4.A2,4 = −12.25 + (−24).(−2) + 0.1 = −252. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 34 / 67
  35. Khái niệm định thức Định lý Laplace Ví dụ 1 0 1 0 1 0 2 3 1 1 0 1 3 0 2 0 2 0 Tính định thức D = 4 0 2 0 1 0 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 1 Ta thấy hàng 1, 3, 4 có nhiều số 0 nên khai triển định thức theo 3 hàng này. Tồn tại C 3 định thức con cấp 3 từ 3 hàng này nhưng chỉ có 6 1 1 1 1,3,5 1 định thức con cấp 3 khác không m = 3 2 2 = 1. 1,3,4 4 2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 35 / 67
  36. Khái niệm định thức Định lý Laplace Khai triển theo hàng 1, 3, 4 Do đó D === 1 1 1 3 1 1 3 2 2 .(−1)1+3+4+1+3+5. 2 3 2 = 6 4 2 1 1 3 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 36 / 67
  37. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Định thức của tích 2 ma trận vuông Định lý Cho A, B ∈ Mn(K) thì khi đó det(AB) = detA.detB. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 37 / 67
  38. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Ví dụ  1 2 3   7 8 9  A =  4 −2 6  , B =  4 −3 6  2 8 9 −1 2 3  12 8 30  AB =  14 50 42  37 10 93 Ta có det(A).det(B) = (−6).(−246) = det(AB) = 1476 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 38 / 67
  39. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Hệ quả Cho A, B ∈ Mn(K) k k 1 det(A ) = (detA) . Thật vậy, det(Ak) = det(A.A A) = | {z } k lần detA.detA detA = (detA)k. | {z } k lần n 2 det(αAB) = α .detA.detB. Thật vậy, det(αAB) = det(αA).detB = α.α . . . α detA.detB | {z } n lần TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 39 / 67
  40. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Ví dụ Tính định thức của ma trận X thỏa mãn  1 2 1   1 1 1   0 1 4  X =  1 2 −1  0 0 1 3 5 2 1 2 1 1 1 1 Ta có 0 1 4 .detX = 1 2 −1 ⇒ 0 0 1 3 5 2 1.detX = 3 ⇒ detX = 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 40 / 67
  41. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Ví dụ  −1 0 0  Cho A =  2 1 0  . Tính det(A2011). 4 3 1 Ta có det(A2011) = (detA)2011 = (−1)2011 = −1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 41 / 67
  42. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Ví dụ  3 −2 6   0 0 −1  Cho A =  0 1 4  , B =  0 2 5  . 0 0 1 1 −2 7 Tính det(2AB). Ta có det(2AB) = 23.detA.detB = 8.3.(−2) = −48. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 42 / 67
  43. Khái niệm định thức Định thức của tích 2 ma trận vuông Ví dụ  1 2 1   2 3 −1  Cho A =  0 2 −1  , B =  0 3 1  . 0 0 3 0 0 −1 Tính det(A + B).  3 5 0  Ta có A + B =  0 5 0  ⇒ det(A + B) = 30. 0 0 2 Chú ý. Nói chung det(A + B) =6 detA + detB. Vì detA = 6, detB = −6 ⇒ detA + detB = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 43 / 67
  44. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Ma trận phụ hợp Ma trận phụ hợp Định nghĩa Cho A = (aij ) ∈ Mn(K), Aij là bù đại số của aij . Khi đó ta gọi ma trận  T   A11 A1j A1n A11 Ai1 An1 . . . . . . . . . .  . . .   . . .   . . .   . . .      PA =  Ai1 Aij Ain  =  A1j Aij Anj   . . . . .   . . . . .   . . .   . . .  An1 Anj Ann A1n Ain Ann là ma trận phụ hợp của ma trận A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 44 / 67
  45. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Ma trận phụ hợp Ví dụ  2 3 1  Cho ma trận A =  3 4 2  . Tìm PA. 5 3 −1 1+1 4 2 1+2 3 2 A11 = (−1) , A12 = (−1) , 3 −1 5 −1 1+3 3 4 2+1 3 1 A13 = (−1) , A21 = (−1) , 5 3 3 −1 2+2 2 1 2+3 2 3 A22 = (−1) , A23 = (−1) , 5 −1 5 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 45 / 67
  46. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Ma trận phụ hợp 3+1 3 1 3+2 2 1 A31 = (−1) , A32 = (−1) , 4 2 3 2 3+3 2 3 A33 = (−1) . 3 4 Vậy T  −10 13 −11   −10 6 2  PA =  6 −7 9  =  13 −7 −1  . 2 −1 −1 −11 9 −1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 46 / 67
  47. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo Định lý Cho A là ma trận vuông. det(A) =6 0 ⇔ A khả nghịch và 1 A−1 = .P . detA A 1 .PA.A = detA     A11 Ai1 An1 a11 a1j a1n . . . . . .  . . .   . . .      1 .  A A A   a a a  detA  1j ij nj   i1 ij in   . . .   . . .   . . . . .   . . . . .  A1n Ain Ann an1 anj ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 47 / 67
  48. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo Xét ma trận tích thu được tại hàng thứ nhất. A11a11 + + Ai1ai1 + + An1an1 = det(A) A a + + A a + + A a = 0 vì 11 12 i1 i2 n1 n2 a a a a 12 12 1j 1n a a a a 22 22 2j 2n . . . . . . . . = 0 ai2 ai2 aij ain . . . . . . . . . an2 an2 anj ann Xét tương tự tại những hàng còn lại của ma trận tích thu được. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 48 / 67
  49. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo 1 Vậy .PA.A = detA  detA 0 0  . . .  1     .  0 detA 0  = detA  . . .   . . . . .  0 0 detA   1 0 0  . . .      =  0 1 0   . . .   . . . . .  0 0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 49 / 67
  50. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo Các bước tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định thức 1 Bước 1. Tính detA : kiểm tra tính khả nghịch. 2 Bước 2. Tìm ma trận phụ hợp   A11 A21 A31 PA =  A12 A22 A32 , A13 A23 A33 i+j với Aij = (−1) Mij . −1 1 3 Bước 3. A = P detA A TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 50 / 67
  51. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo Ví dụ  2 5 7  Tìm ma trận nghịch đảo của A =  6 3 4  5 −2 −3 Ta có detA = −1 =6 0 nên A khả nghịch. Ma trận phụ hợp của ma trận A là T  −1 38 −27   −1 1 −1  PA =  1 −41 29  =  38 −41 34  . −1 34 −24 −27 29 −24 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 51 / 67
  52. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo Vậy  −1 1 −1  1 A−1 = .P = (−1). 38 −41 34 = detA A   −27 29 −24  1 −1 1  =  −38 41 −34  27 −29 24 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 52 / 67
  53. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Tính chất của ma trận khả nghịch Định lý Nếu ma trận A khả nghịch có nghĩa là tồn tại B sao cho BA = I thì AB = I Nếu BA = I thì det(B)det(A) = 1 ⇒ det(B) =6 0 nên tồn tại B−1. Vì BA = I ⇒ B−1.BA.B = B−1.I .B = = (B−1.I ).B = B−1.B = I . Mặt khác B−1.BA.B = (B−1.B)A.B = AB Vậy AB = I TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 53 / 67
  54. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Tính chất của ma trận khả nghịch Định lý Nếu ma trận A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo là duy nhất. Giả sử A có 2 ma trận nghịch đảo B, C. Khi đó BAC = (BA)C = IC = C BAC = B(AC) = BI = B TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 54 / 67
  55. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Tính chất của ma trận khả nghịch −1 1 1 det(A ) = . Thật vậy, detA A.A−1 = I ⇒ detA.det(A−1) = 1. n−1 2 det(PA) = (detA) . Thật vậy, −1 (detA).A = PA ⇒ det(PA) = (detA)n.det(A−1) = (detA)n−1. −1 T 3 Nếu A không suy biến thì A , A cũng không suy biến và (A−1)−1 = A, (AT )−1 = (A−1)T . Thật vậy, A−1.A = I và A.A−1 = I . Đối với ma trận chuyển vị (A−1)T .AT = (A.A−1)T = I T = I và AT .(A−1)T = (A−1.A)T = I T = I . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 55 / 67
  56. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Tính chất của ma trận khả nghịch 1 Nếu A, B không suy biến thì tích AB cũng không suy biến và (AB)−1 = B−1A−1. Thật vậy, (AB).(B−1A−1) = A(B.B−1)A−1 = A.A−1 = I (B−1A−1).(AB) = B−1(A−1.A)B = B−1B = I 2 Nếu A, B không suy biến thì PAB = PB .PA. Thật vậy, P P P (AB)−1 = B−1A−1 ⇒ AB = B . A . detAB detB detA −1 1 −1 3 Nếu A không suy biến, α 6= 0 thì (αA) = A . α  1   1  Thật vậy, (αA). A−1 = I = A−1 .(αA) α α TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 56 / 67
  57. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Phương trình ở dạng ma trận Phương trình ở dạng ma trận 1 Cho A ∈ Mn(K), detA =6 0 và B ∈ Mn×p(K). Khi đó phương trình AX = B có nghiệm duy nhất X = A−1B. 2 Cho A ∈ Mn(K), detA =6 0 và B ∈ Mp×n(K). Khi đó phương trình XA = B có nghiệm duy nhất X = BA−1. 3 A ∈ Mn(K), detA =6 0, B ∈ Mm(K), detB =6 0 và C ∈ Mn×m(K). Khi đó phương trình AXB = C có nghiệm duy nhất X = A−1CB−1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 57 / 67
  58. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Phương trình ở dạng ma trận Hệ quả 1 Nếu AB = 0 và detA =6 0 thì B = 0. 2 Nếu AB = 0 và detB =6 0 thì A = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 58 / 67
  59. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ Giải phương trình ma trận  0 −8 3   −25 23 −30   1 −5 9  X =  −36 −2 −26  2 3 8 −16 −26 7 −1  0 −8 3   −25 23 −30  X =  1 −5 9  .  −36 −2 −26  = 2 3 8 −16 −26 7  1 5 7  =  2 −4 3  −3 −3 −2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 59 / 67
  60. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ Giải phương trình ma trận  3 −2   −1 2  X . = 5 −4 −5 6 Giải. −1  −1 2   3 −2   3 −2  X = . = −5 6 5 −4 5 −4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 60 / 67
  61. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức Phương trình ở dạng ma trận Ví dụ Giải phương trình ma trận  3 −1   5 6   14 16  .X . = 5 −2 7 8 9 10 Giải. −1 −1  3 −1   14 16   5 6  X = . . = 5 −2 9 10 7 8  1 2  = 3 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 61 / 67
  62. Thực hành MatLab Các lệnh cơ bản Thực hành MatLab Tính định thức: det(A) Ma trận nghịch đảo: Aˆ(−1) hoặc inv(A) Chia phải: A/B ⇔ A.inv(B) Chia trái: A\B ⇔ inv(A).B TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 62 / 67
  63. Thực hành MatLab Truy xuất các phần tử của ma trận Truy xuất các phần tử của ma trận 1 Truy xuất phần tử tại dòng i, cột j của ma trận A: A(i, j) 2 Truy xuất đường chéo chính của ma trận vuông A: diag(A) 3 Truy xuất tất cả các phần tử tại dòng i của ma trận A: A(i, :) 4 Truy xuất tất cả các phần tử tại cột j của ma trận A: A(:, j) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 63 / 67
  64. Thực hành MatLab Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp Nhập vào ma trận A và ma trận đơn vị I     1 2 3 4 1 0 0 0      2 5 4 7   0 1 0 0  A =   , I =    3 7 8 12   0 0 1 0  4 8 14 19 0 0 0 1 >> B = [AI ] TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 64 / 67
  65. Thực hành MatLab Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp   1 2 3 4 1 0 0 0    2 5 4 7 0 1 0 0  B =    3 7 8 12 0 0 1 0  4 8 14 19 0 0 0 1 >> C =rref(B) ⇒   1 0 0 0 10 7 −9 1    0 1 0 0 −2 −3 4 −1     0 0 1 0 1 −3 3 −1  0 0 0 1 −2 2 −2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 65 / 67
  66. Thực hành MatLab Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp >> [C(:, 5) C(:, 6) C(:, 7) C(:, 8)]   10 7 −9 1    −2 −3 4 −1  ⇒    1 −3 3 −1  −2 2 −2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 66 / 67
  67. Thực hành MatLab Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2013. 67 / 67