Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức - Ts. Đặng Văn Vinh

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức - Ts. Đặng Văn Vinh

1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 2: Định thức Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2010) www.tanbachkhoa.edu.vn
2. NỘI DUNG I – Định nghĩa định thức và ví dụ. II – Tính chất của định thức. III – Dùng định thức tìm ma trận nghịch đảo. Tài liệu tham khảo: Anton Howard. Elementary linear algebra with applications. Ninth edition.
3. I. Định nghĩa và ví dụ Cho là ma trận vuông cấp n. Định thức của A là một số ký hiệu bởi det Ký hiệu là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A; Định nghĩa bù đại số của phần tử aij Bù đại số của phần tử aij là đại lượng
4. I. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa định thức bằng qui nạp a) k =1: b) k =2: c) k =3: d) k =n:
5. I. Định nghĩa và ví dụ Ví dụ Tính det (A), với Giải
6. II. Tính chất của định thức 1. Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ hàng hoặc cột tùy ý nào đó
7. II. Tính chất của định thức Ví dụ Tính định thức det (A), với Giải. Khai triển theo hàng thứ 3
8. II. Tính chất của định thức Ví dụ Tính định thức det (A), với
9. II. Tính chất của định thức Giải Khai triển theo cột thứ hai
10. II. Tính chất của định thức Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo. Ví dụ
11. II. Tính chất của định thức Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức 1.Nếu thì 2.Nếu thì 3. Nếu thì
12. II. Tính chất của định thức Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp Bước 1. Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý; Bước 2. Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột) ở bước 1. Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác. Bước 3. Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn.
13. II. Tính chất của định thức Ví dụ Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức
14. II. Tính chất của định thức Giải Khai triển theo cột đầu tiên
15. II. Tính chất của định thức Ví dụ Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức
16. II. Tính chất của định thức Giải Khai triển theo cột số 4
17. II. Tính chất của định thức det (AT) = det (A) det(AB) = det(A) det(B) Ma trận có một hàng (cột) bằng không, thì det (A) = 0 Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0 Chú ý: det(A+B) det(A) + det(B).
18. II. Tính chất của định thức Định lý Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 0. Chứng minh Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn. Khi đó tồn tại ma trận khả nghịch A-1, sao cho AA-1 = I. Suy ra det(AA-1) = det (I) det(A).det(A-1) = 1 det(A) 0 Giả sử det(A) 0. Khi đó , với
19. II. Tính chất của định thức
20. II. Tính chất của định thức Tính chất của ma trận nghịch đảo 1. 2. Nếu A khả nghịch, thì Chứng minh.
21. II. Tính chất của định thức Công thức tính ma trận nghịch đảo A-1 Cho A là ma trận khả nghịch. Khi đó , với
22. II. Tính chất của định thức Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của Giải. A khả nghịch Tính 9 bù đại số của các phần tử
23. Ví dụ. Viết ptrình đường thẳng qua hai điểm Giả sử phương trình đường thẳng (d): A, B thuộc đường thẳng: a, b, c không đồng thời Ta có hệ: bằng 0, hệ có khác không. Định thức của ma trận hệ số bằng 0: Tính định thức, ta có phương trình đường thẳng.
24. Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2,3), B(-1,4). Định thức của ma trận hệ số bằng 0: Phương trình đường thẳng: x + 3y – 11 = 0. Vdụ. Viết ptrình đường tròn qua 3 điểm Giả sử ptrình đường tròn: Lập luận tương tự ví dụ trên ta có:
25. Vdụ. Viết ptrình đường tròn qua 3 điểm Ta có định thức Tính định thức ta có: Phương trình đường tròn:
26. Vdụ. Phương trình tổng quát của đường cônic Bằng cách chia cho một hệ số, ta có ptrình phụ thuộc 5 hệ số. Cần xác định 5 ẩn, suy ra cần biết 5 điểm trong mặt phẳng. Lập luận tương tự, ta có phương trình:
27. Vdụ. Nhà du hành vũ trụ muốn xác định quỹ đạo của tiểu hành tinh của hệ mặt trời. Xét hệ trục toạ độ Đề các với gốc toạ độ là mặt trời. Một đơn vị thiên văn = khoảng cách từ trái đất đến mặt trời = = 149,637 triệu km. Theo định luật thứ nhất của Kepler: Quỹ đạo cần tìm phải là ellipse. Để tìm quỹ đạo, nhà du hành vũ trụ cần xác định 5 vị trí của mình tại 5 thời điểm khác nhau và tính khoảng cách từ đó đến mặt trời. Giả sử có bảng số liệu: (8.025,8.310); (10.170,6.355); (11.202,3.212) (10.736,0.375); (9.092,-2.267)
28. mặt trời
29. Vdụ. Phương trình mặt cầu Có phương trình: Vdụ. Phương trình mặt cầu (0,3,2), (1,-1,1), (2,1,0), (5,1,3).
30. Ví dụ 3 Khẳng định nào sau đây đúng? a) Bậc của f(x) là 5. b) Bậc của f(x) là 4. c) Bậc của f(x) là 3. d) Các câu khác đều sai.
31. Ví dụ 6 Giải phương trình, với a, b, c là các số thực.
32. Ví dụ 7 Giải phương trình
33. Ví dụ Tính định thức
34. Giải ví dụ Khai triển theo hàng 1, ta có
35. Ví dụ Cho 1) Tính det (4AB)-1. 2) Tính det (PAB).
36. II. Tính chất của định thức Tính định thức bằng bù đại số cần n! phép toán. Nếu một máy tính siêu tốc độ có thể tính tỉ tỉ phép toán trong một giây thì để tính một định thức cấp 25 cần 500.000 25 năm (cần 25! , khoảng 1.5x10 phép toán). Phần lớn các máy tính sử dụng biến đổi sơ cấp để tính det (A). Các phép biến đổi sơ cấp cần (n3+2n-3)/3 phép nhân và chia. Bất kể máy tính nào cũng có thể tính định thức cấp 25 trong vòng phần của 1 giây, chỉ cần khoảng 5300 phép toán.