Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận - Ts. Đặng Văn Vinh

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận - Ts. Đặng Văn Vinh

1. Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn ứng dụng Chương 1: Ma trận • Giảng viên: Ts. Đặng Văn Vinh (9/2010) www.tanbachkhoa.edu.vn
2. NỘI DUNG I. Định nghĩa ma trận và ví dụ II. Các phép biến đổi sơ cấp III. Các phép toán đối với ma trận IV. Hạng của ma trận V. Ma trận nghịch đảo Sách tham khảo: 1/ David C. Lay. Linear algebra and its applications. 2/ Howard A. Elementary linear algebra, ninth edition
3. Giả sử một cơng ty kinh doanh 3 mặt hàng: áo, quần, kính. Cơng ty này cĩ hai cửa hàng A và B. Giả sử số lượng hàng bán được trong 1 tháng là: Cơ sở A: 100 áo, 120 quần, 300 kính. Cơ sở B: 125 áo, 100 quần, 250 kính. áo quần kính Sắp xếp dữ liệu A 100 120 300 ở dạng bảng: B 125 100 250 Viết gọn hơn:
4. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. Định nghĩa ma trận Ma trận cở mxn là bảng số (thực hoặc phức) hình chử nhật cĩ m hàng và n cột . Cột j Ma trận A cở mxn Hàng i
5. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. Ví dụ 1. Đây là ma trận thực cở 2x3. Ma trận A cĩ 2 hàng và 3 cột. Phần tử của A: Ví dụ 2
6. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. Ma trận A cĩ m hàng và n cột thường được ký hiệu bởi Tập hợp tất cả các ma trận cở mxn trên trường K được ký hiệu là Mmxn[K] Định nghĩa ma trận khơng Ma trận cĩ tất cả các phần tử là khơng được gọi là ma trận khơng, ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j).
7. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ Phần tử khác khơng đầu tiên của một hàng kể từ bên trái được gọi là phần tử cơ sở của hàng đĩ. Định nghĩa ma trận dạng bậc thang 1. Hàng khơng cĩ phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng 2. Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải (khơng cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên.
8. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. Ví dụ Khơng là ma trận bậc thang Khơng là ma trận bậc thang
9. I. Các khái niệm và ví dụ cơ bản. Ví dụ Là ma trận dạng bậc thang Là ma trận dạng bậc thang
10. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ Định nghĩa ma trận chuyển vị Chuyển vị của là ma trận cở nXm thu được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột. Ví dụ
11. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. Định nghĩa ma trận vuơng Nếu số hàng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A được gọi là ma trận vuơng cấp n. Tập hợp các ma trận vuơng cấp n trên trường số K được ký hiệu bởi
12. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. Các phần tử a11, a22, ,ann tạo nên đường chéo chính của ma trận vuơng A.
13. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. Định nghĩa ma trận tam giác trên Ma trận vuơng được gọi là ma trận tam giác trên nếu Định nghĩa ma trận tam giác dưới Ma trận vuơng được gọi là ma trận tam giác dưới nếu
14. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. Định nghĩa ma trận chéo Ma trận vuơng A được gọi là ma trận chéo nếu các phần tử nằm ngồi đường chéo đều bằng khơng, cĩ nghĩa là (aij = 0, i ≠ j). Định nghĩa ma trận đơn vị Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị, tức là (aij = 0, i ≠ j; và aii = 1 với mọi i).
15. II. Các phép biến đổi sơ cấp. Các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng 1. Nhân một hàng tùy ý với một số khác khơng 2. Cộng vào một hàng một hàng khác đã được nhân với một số tùy ý 3. Đổi chổ hai hàng tùy ý Tương tự cĩ ba phép biến đổi sơ cấp đối với cột. Chú ý: các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi cơ bản, thường dùng nhất!!!
16. II. Các phép biến đổi sơ cấp. Định lý 1 Mọi ma trận đều cĩ thể đưa về ma trận dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. Chú ý Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau
17. II. Các phép biến đổi sơ cấp. Ví dụ Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận sau đây về ma trận dạng bậc thang. Bước 1. Bắt đầu từ cột khác khơng đầu tiên từ bên trái. Chọn phần tử khác khơng tùy ý làm phần tử cơ sở.
18. II. Các phép biến đổi sơ cấp. Bước 2. Dùng bđsc đối với hàng, khử tất cả các phần tử cịn lại của cột. Bước . Che tất cả các hàng từ hàng chứa phần tử cơ sở và những hàng trên nĩ. Áp dụng bước 1 và 2 cho ma trận cịn lại
19. Ví dụ: Xác định dịng điện I1, I2, và I3 trong mạng lưới điện dưới đây:
20. • Áp dụng định luật Kirchhoff cho nút A, ta cĩ: I1 = I2 + I3 nút B: I2 + I3 = I1 • Áp dụng định luật Kirchhoff cho vịng 1 và vòng 2: 7I1 +3I3 -30 = 0 11I2 -3I3 -50 = 0 Ta có hệ:
21. Ma trận của hệ thống là: Dùng bđsc đối với hàng, đưa về ma trận bậc thang: Cuới cùng ta có giá trị của dòng điện:
22. III. Các phép tốn đối với ma trận Sự bằng nhau của hai ma trận Hai ma trận bằng nhau nếu: 1) cùng cở; 2) các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau (aij = bij với mọi i và j). Phép cộng hai ma trận Cùng cở Tổng A + B: Các phần tử tương ứng cộng lại Ví dụ
23. III. Các phép tốn đối với ma trận Phép nhân ma trận với một số. Nhân ma trận với một số, ta lấy số đĩ nhân với tất cả các phần tử của ma trận. Ví dụ Tính chất: a) A + B = B + A; b) (A + B) + C = A + ( B + C); c) A + 0 = A; d) k(A + B) = kA + kB; e) k (mA) = (km) A; f) (k + m)A = kA + mA;
24. III. Các phép tốn đối với ma trận Phép nhân hai ma trận với nhau với Để tìm phần tử c2,3 ở ma trận tích: lấy hàng 2 của A nhân với cột 3 của B (coi như nhân tích vơ hướng hai véctơ với nhau)
25. III. Các phép tốn đối với ma trận Ví dụ Tính AB
26. III. Các phép tốn đối với ma trận Tính chất của phép nhân hai ma trận a. A(BC) = (AB)C; b. A(B + C) = AB + AC; c. (B + C)A = BA + CA; d. ImA = A = AIm e. k (AB) = (kA)B = A(kB). Chú ý: 1. Nĩi chung 2. 3.
27. III. Các phép tốn đối với ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa.
28. III. Các phép tốn đối với ma trận Ví dụ Tính f(A).
29. Ví dụ Xét lại bài tốn bán hàng. Giả sử tháng thứ hai bán được: Khi đĩ lượng hàng bán trong 2 tháng: G/sử lời trong tháng 1: áo 15 ngàn, quần 30 ngàn, kính 10 ngàn. Ghi ở dạng ma trận
30. Lợi nhuận trong tháng 1 của từng cơ sở: G/sử lời trong tháng 2: áo 25 ngàn, quần 35 ngàn, kính 17 ngàn. Lời trong 2 tháng ở dạng ma trận: Lời trong 2 tháng trên từng sản phẩm của cơ sở A:
31. Ví dụ Khảo sát sự chuyển đợng dân cư của mợt thành phớ. G/sử năm 1990, dân cư của tp A và vùng ngoại ơ là: và Đặt biểu thị cho cư dân tp và ngoại ơ của năm 1990. là cư dân tp và ngoại ơ các năm 91,92, G/sử theo nghiên cứu thấy mỡi năm có khoảng 5% dân tp chuyển ra ngoại ơ và 3% dân ngoại ơ chuyển vào tp. Sau mợt năm, cư dân của tp được phân bớ: cư dân của ngoại ơ được phân bớ:
32. Cư dân của tp và ngoại ơ năm 1991 là: Ghi ở dạng vécto: G/sử sự di chuyển dân sớ là ởn định. Khi đó, cư dân của tp và ngoại năm 1992: Nói chung ta có cơng thức:
33. Ví dụ Theo ví dụ trên. Biết năm 1990, dân cư của tp A và vùng ngoại ơ: Cư dân của tp A và ngoại ơ năm 1991: Cư dân của tp A và ngoại ơ năm 1992:
34. Ví dụ Sử dụng ĐSTT trong xử lý ảnh. Xét chữ với toạ độ các điểm được lưu trong ma trận Đỉnh Hồnh độ Tung độ Xét ma trận
35. Tương ứng với chữ: Xét ma trận Tính , tương ứng với chữ
36. IV. Hạng của ma trận Định nghĩa hạng của ma trận Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang E. Khi đĩ ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng khác khơng của ma trận bậc thang r(A) = số hàng khác khơng của ma trận bậc thang E
37. IV. Hạng của ma trận Ví dụ Tìm hạng của ma trận sau Giải.
38. IV. Hạng của ma trận Tính chất của hạng ma trận 1. r (A) = 0 A = 0 2. A = (aij)mxn r(A) min{m, n} 3. Nếu A BĐSC B, thì r (B) = r (A)
39. V. Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận nghịch đảo Ma trận vuơng A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận I sao cho AB = I =BA. Khi đĩ B được gọi là nghịch đảo của A và ký hiệu là A-1. Giả sử
40. V. Ma trận nghịch đảo Chú ý Khơng phải bất kỳ ma trận vuơng A nào cũng khả nghịch. Cĩ rất nhiều ma trận vuơng khơng khả nghịch. Định nghĩa Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận khơng suy biến Ma trận khơng khả nghịch được gọi là ma trận suy biến
41. V. Ma trận nghịch đảo Sự tồn tại của ma trận khả nghịch. Cho ma trận vuơng A, các mệnh đề sau đây tương đương 1. Tồn tại A-1 (A khơng suy biến) 2. r(A) = n 3. AX = 0 suy ra X = 0. Tương đương hàng 4. A I
42. V. Ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận sơ cấp Ma trận thu được từ I bằng đúng 1 phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp. Ví dụ
43. V. Ma trận nghịch đảo Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A đồng nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương ứng. Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A đồng nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương ứng.
44. V. Ma trận nghịch đảo
45. V. Ma trận nghịch đảo
46. V. Ma trận nghịch đảo Cách tìm A-1 Bđsc đối với hàng -1 [ A|I ] [ I|A ] Ví dụ Tìm nghịch đảo (nếu cĩ) của ma trận
47. V. Ma trận nghịch đảo
48. V. Ma trận nghịch đảo Tính chất của ma trận nghịch đảo Đối với hai ma trận khả nghịch A và B, các khẳng định sau đây đúng. (A-1)-1 = A Tích AB là hai ma trận khả nghịch. (AB)-1 = B-1A-1 (AT)-1 = (A-1)T
49. Ví dụ Giả sử ta muớn mã hoá câu: “STUDY LINEAR ALGEBRA”. Kí hiệu theo thứ tự bảng chữ cái: A = 1, B = 2, C = 3, Có dãy sớ: 19 20 21 4 25 12 9 14 5 1 18 1 12 7 5 2 18 1. Chia dãy thành các ma trận nhỏ cở 3 x 1: 19 20 21 4 25 12 9 14 5 1 18 1 12 7 5 2 18 1. Chọn mợt ma trận tuỳ
50. Nhân A với các ta có dãy sớ Ghi lại kết quả ở dạng dãy và gởi cho người nhận: 19 0 -18 38 -34 -17 23 -14 -18 25 -34 -18 9 3 -14 35 -33 -19 Người nhận muớn biết được ý nghĩa phải nhân và tra ngược bảng qui ước để có được câu ban đầu.
51. VI. Kết luận Ma trận là gì? Ma trận vuơng ? Ma trận bậc thang Ma trận khơng? Ma trận chéo? Ma trận chuyển vị? Ma trận đơn vị? Ma trận đối xứng? Các phép tốn đối với ma trận: Sự bằng nhau Phép cộng Nhân ma trận với một số Nhân hai ma trận với nhau Nâng lên lũy thừa Hạng của ma trận là gì? Làm thế nào để tìm hạng của một ma trận cho trước? Ma trận khả nghịch là gì? Nghịch đảo của ma trận A là gì? Làm thế nào để tìm nghịch đảo của một ma trận cho trước?