›
›

Bài giảng Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa - Bài 18: Chuỗi số

ppt 52 trang phuongnguyen 3250
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa - Bài 18: Chuỗi số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_chuong_5_chuoi_so_va_chuoi_luy_thua_bai_18_chuoi_s.ppt

Nội dung text: Bài giảng Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa - Bài 18: Chuỗi số

  1. Chương 5: CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA Phần 1: CHUỖI SỐ
  2. ĐỊNH NGHĨA Cho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới S= a + a + + a, n N nn12 {Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu:  an n=1 ( Nếu {an} bắt đầu từ a0 thì số hạng đầu của Sn là a0 ) • Sn : tổng riêng thứ n • an : số hạng tổng quát
  3. ĐỊNH NGHĨA {Sn} cĩ giới hạn hữu hạn khi n →  an hội tụ n=1 Ngược lại ta nĩi chuỗi phân kỳ. Đặt:  aSnn= lim : tổng chuỗi n=1 n→
  4. VÍ DỤ Khảo sát sự hội tụ và tính tổng nếu cĩ: 1 1/  n=1nn(1+ ) 1 1 1 Tổng riêng: S = + + + n 1.2 2.3nn (+ 1) 1 1 1 1 1 =1 − + − + + − 2 2 3nn (+ 1) 1 =−1 ⎯⎯⎯→n→ 1 (n + 1) 1 Vậy chuỗi hội tụ và  = 1 n=1nn(+ 1)
  5. 1 1 1 1 2/  Sn =1 + + + + n=1 n 23 n n =n → n Vậy chuỗi phân kỳ. n+1 1 1 1 1 (− 1) S = − + − +( − 1)n+1 3 /  n n 23 n n=1 2 2 2 2 2 1 n 1−− 1 1 = 2 → 2 1 3 1−− 2 Vậy chuỗi hội tụ và cĩ tổng là 1/3.
  6. TÍNH CHẤT 1/  an và  an cĩ cùng bản chất (ht/pk) n=1 n=p 2/  an , 0, và  an cĩ cùng bản chất n=1 n=1
  7. TÍNH CHẤT 3 /ann== A , b B nn==11  () ann +  b = A +  B n=1 • Tổng 2 chuỗi hội tụ là hội tụ • Tổng 1 chuỗi hội tụ và 1 chuỗi phân kỳ là phân kỳ
  8. Điều kiện cần của sự hội tụ Nếu chuỗi a hội tụ thì liman = 0  n n→ n=1 Áp dụng: Nếu liman 0 ( hoặc khơng tồn tại ) thì n→ khơng hội tụ.
  9. Ví dụ n phân kỳ vì 1/  n n=1(−− 1) nn n liman = lim = − 1 0 nn→ → (−− 1)n nn n n 32n + 2/  (− 1) n=1 21n − n 32n + n→ an = ⎯⎯⎯→+ 21n − chuỗi phân kỳ →an  0
  10. Ví dụ 3/ Ks sự hội tụ và tính tổng nếu cĩ:  xn n=1 ❖ khi x = 1: limxnn== lim 1 1 chuỗi pk nn→ → ❖ khi x = – 1: limxn =− lim( 1)n nn→ → khơng tồn tại chuỗi pk
  11. ❖ khi |x| > 1: lim xn = hoặc khơng tồn tại n→ chuỗi pk ❖ khi |x| < 1: limxn = 0 n→ n n kn12 1− x Sn = x = x + x + + x = x k=1 1− x x → 1− x x Chuỗi ht và cĩ tổng là 1− x
  12. CHUỖI KHƠNG ÂM. Cho an 0, khi đĩ dãy tổng riêng phần {Sn} là dãy tăng. Vậy {Sn} hội tụ {Sn} bị chận trên. Hay:  an hội tụ khi và chỉ khi {Sn} bị chận trên. n=1
  13. Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin - Cauchy Cho f(x) khơng âm, liên tục, giảm trên [1,+ ), khi đĩ f() x dx và  fn() cĩ cùng bản chất 1 n=1
  14. Chứng minh nn23 f()()()() x dx= f x dx + f x dx + + f x dx 1 1 2n− 1 n f( x ) dx f (1) + f (2) + + f ( n − 1) = Sn − f ( n ) 1 n f( x ) dx f (2) + + f ( n ) = Sn − f (1) 1
  15. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: 1 1/ 1  2 f( x )=2 , x [2, + ) n=2 nnln xxln f(x) dương, ltục và giảm nên 1 2 = fn() cùng bản chất với nn==22nnln dx + dt h tụ I== f() x dx 2 = xxln ln 2 t 2 22
  16. 1 2/  n=1n • 0 : chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần 1 • > 0 : xét hàm số fx()= x f(x) > 0, liên tục, giảm trên [1, + ) 1 dx cùng bản chất với  f() x dx = n=1n 11x chuỗi hội tụ khi và chỉ khi > 1.
  17. 1 3 /  n n=12 1 f( x )= , x [1, + ) dương, ltục và giảm nên 2 x 1 cùng bản chất với dx  n I== f() x dx n=1 2 x 112
  18. dx2 tdt I ==t 2 x 2 11 1 Chọn: gt()= , khi đĩ g() t dt hội tụ. t 2 1 Đồng thời: 2tt 1 2 3 lim :== lim 0 tt→+ 22ttt 2 →+ Theo tiêu chuẩn so sánh của tp suy rộng thì I hội tụ, do đĩ chuỗi đã cho hội tụ.
  19. Tiêu chuẩn so sánh Dạng 1: an, bn 0, an Kbn, n N0  bn hội tụ  an hội tụ n=1 n=1 phân kỳ phân kỳ
  20. an Dạng 2: an, bn > 0, K = lim n→ bn • 0 < K < : hai chuỗi cùng bản chất • K = 0  bn hội tụ  an hội tụ n=1 n=1 • K =  bn phân kỳ  an phân kỳ n=1 n=1
  21. Chuỗi cơ bản Chuỗi cấp số nhân:  xn hội tụ |x| 1 n=1n
  22. Ví dụ en −1 1/  2 n=1ne+ n eenn−1 1 1 22 = nn(− 1) ,1 n n+ enn e e en n 11 n = là chuỗi CSN hội tụ. nn==11e e Theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi đã cho ht.
  23. Ví dụ 1 2 /  n 1c− os =  an n=1 n n=1 1 1 1 1 an n = khi n → 22n2 n a 1 hay n ⎯⎯⎯→n→ = K 1/n 2 Chuỗi đã cho cùng bản chất với chuỗi điều hịa 1  nên phân kỳ. n=1n
  24. 13 n + 2/  ln =  an n=3 n n − 2 n=1 15 1 5 5 an =+ln 1 n n − 2 n n − 2 n3/2 khi n → a hay n ⎯⎯⎯→n→ =5 K 1/n3/2 Chuỗi đã cho cùng bản chất với chuỗi điều hịa 1 nên hội tụ  3/2 n=3 n
  25. 1 3/  n=2 ln(n !) 1 1 1 = ln(n !)ln(nn ) n ln( n ) 1 dx dt  cùng bản chất với = n=2 nnln( ) xln x t 2 ln 2 nên phân kỳ. Theo tiêu chuẩn ss 1, chuỗi đã cho phân kỳ.
  26. 11 4 /  n − sin n=2 nn 1 1 1 1 1 1 1 11 −sin = − + + o n n n n 6 nn33 6 n3 1 1 1 1 n − sin nn6 n3− 1 chuỗi đã cho cùng bản chất với  3− n=1n 11 Vậy  n − sin hội tụ 3 – > 1 n=2 nn < 2
  27. 22 n.ln n .sin n 2 5/  n n=2 2 2 n−+ e−n n 1 6 / 3 ln n=2 n −1 n 1 7/  n n=13 + n
  28. Tiêu chuẩn D’Alembert Xét chuỗi số dương:  an n=1 Đặt : •  q 1 : phân kỳ nn→ → an • D = 1 : khơng cĩ kết luận 11 Xét 2 chuỗi:  & 2 nn==11n n
  29. Tiêu chuẩn Cauchy Xét chuỗi số khơng âm:  an n=2 Đặt : •  q 1 : phân kỳ nn→ → • C = 1 : khơng cĩ kết luận 11 Xét 2 chuỗi:  & 2 nn==11n n
  30. Tiêu chuẩn Rapb (sử dụng khi D = 1 và Dn 1 : hội tụ n a n • R < 1 : phân kỳ RR= lim n n→ • R = 1 : khơng cĩ kết luận
  31. Ví dụ-Khảo sát sự hội tụ + 2n a 1/ D = n+1  n! n a n=0 n 2n+1 (n + 1)! 2 = = 2n n +1 n! 2 D =lim = 0 1 n→ n +1 Vậy chuỗi ht theo tc D’A.
  32. + enn ! 2/  nn n=0 enn+1(+ 1)! a (n + 1)n+1 e D n+1 = n = = n n an en! n +1 nn n e → =1 Khơng KL e n 1 ee 1 + → D 1 pk n n
  33. 2 nnn.2 3 /  2 n=0 (1n + )n nn2 n n .2 Ca= n nn= 2 (n + 1)n nn.2 2 = n = n (n + 1) 1 1+ n 2 limCn = 1 chuỗi ht n→ e
  34. (2n − 1)!! 1 4/  n=1 (2nn )!! 2+ 1 (2n + 1)!! 1  an(2nn++ 2)!! 2 3 (2+ 1)2 D =n+1 = = n (2n − 1)!! 1 an  (2 n++ 2).(2 n 3) (2nn )!! 2+ 1 DDnn =1& lim 1 khơng dùng tc D’A được n→ (2n + 1)2 Rnn= n(11 − D) = n − (2nn++ 2)(2 3)
  35. (2n + 1)2 Rnn= n(11 − D) = n − (2nn++ 2)(2 3) 65n + = n (2nn++ 2)(2 3) 3 limRn = 1 n→ 2 chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb
  36. 21n− 31n − 5/  n=0 2n + 5 21n− 21n− n n 31n − 31n − n Cann= = = 25n + 25n + 2 3 limCn = 1 chuỗi pk n→ 2 Nên dùng điều kiện cần để cĩ kết quả nhanh hơn(đối với VD này)
  37. 6 /  a−ln n , a 0 n=1 −ln n n −lnn n 0 Cn = a = a → a = 1 1 a−+ln(n 1) ln 1− D= = alnnn−+ ln( 1) = a n+1 → a 0 =1 n a−ln n (khơng dùng được tiêu chuẩn C, D’A) −lnn − ln n ln a − ln a Biến đổi a== e n 1 Chuỗi đã cho là chuỗi điều hịa  ln a n=1n
  38. Chuỗi đan dấu – Tiêu chuẩn Leibnitz n Chuỗi đan dấu cĩ dạng  (− 1) an với an 0 n=1 Tiêu chuẩn Leibnitz: {}an giảm Nếu n thì  (− 1) an hội tụ liman = 0 n→ n=1 Đặt: n Sa=− ( 1) n 0 Sa 1 n=1 Chuỗi hội tụ theo tc trên gọi là chuỗi Leibnitz
  39. Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ (− 1)n 1/  n=1 n 1 a = đơn điệu giảm về 0 n n (− 1)n  là chuỗi Leibnitz (hội tụ) n=1 n
  40. n−1 n (−1) (−1) 1 2/ =  an = n=2 ln nn− n=2 nn− ln ln nn− Xét hàm số: f( x) =− xln x 1 f ( x) =1 − 0,  x 2 fx( ) x a liman = 0 n đồng thời n→ Chuỗi ht theo tc Leibnitz
  41. n n +1 n +1 3 /  (− 1) an = n=1 (nn+ 1) + 1 − 1 (nn+ 1) + 1 − 1 x2 Xét hàm số: f( x )= , x 2 x3 −1 −−xx4 2 f ( x )= 0 f ( x )  (x32− 1) Vậy {an} đơn điệu giảm và liman = 0 n→ Chuỗi ht theo tc Leibnitz
  42. n (− 1) Mẫu số thay đổi dấu 4/  n n=2 (−+ 1)n 1 khơng phải chuỗi đan dấu n nn (− 1) (− 1) ( − 1)n − 1 n = nn==22(−+ 1)n 1 (−− 1)22n n 1 n −−( 1)n =  n=2 n −1 n (− 1)n =− n=2 nn−−11
  43. n  là chuỗi dương pk vì cùng n −1 n=2 1 bản chất với  n=2 n (− 1)n  là chuỗi đan dấu ht theo tc L. n=2 n −1 n (− 1)n − phân kỳ (ht + pk = pk) n=2 nn−−11
  44. CHUỖI CĨ DẤU TÙY Ý Sự hội tụ tuyệt đối Nếu aann hội tụ thì hội tụ nn==11 aann nn==11 Chiều ngược lại khơng đúng: aann phân kỳ  phân kỳ nn==11
  45. Tiêu chuẩn Cauchy và D’Alembert Nếu  an hội tụ hay phân kỳ theo tc n=1 Cauchy hoặc D’Alembert thì  an cũng vậy n=1 Ghi nhớ: Nếu phân kỳ theo tc so sánh thì khơng cĩ kết luận gì cho
  46. Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ n n 21n + 1/  (− 1) n=1 32n + n n 21n + thay đổi dấu an =−( 1) 32n + n 21n + an = 32n + 21n + 2 Ca= n = → 1 chuỗi ht tuyệt đối nn32n + 3
  47. n n2.sin 2/ 2  n n=0 3 n n2 sin 2 an = thay đổi dấu 3n 2 n n sin 2 2 n abnn= = 33nn Áp dụng tc D’A cho bn n=1
  48. n2 b = n n nn==113 (n + 1)2 1 1 D = → 1 n n2 33 bn hội tụ n =1 an hội tụ tuyệt đối n=1
  49. Bài tập Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: n−1 n (−1) (−1) 1) 2)   1 n=1 21n − n=1 n + cos n nn 1 3)  n−1 4) n ,a − 1 n=1 (21n − ) n=1 1+ a
  50. 1 an 5)  n 6)  2n n=1 (lna ) n=1 1+ a n (−1) n 1 7) 8)  42  3 n=1 an+ n=2 ( n− n) n 22kk−1 9)an , a2 k− 1==kk , a 2 k n=1 33
  51. 2 7n .(n !) 2nn− 1 − 2 + 1 10)  2n 11)  n=1 n n=1 n arctan cosn 1 ( ) 13) 12)  n  2 nn n=1 nn(1+ ) n=1 −n2 n+1 ne− 1 n+1 21+ 14) sin 15)− 1  3 ( ) n n=2 n −1 n n=1 2
  52. 1 1 1 16)− arctan ln 1 + , 0  33 n=1 nn n n 1.4.7 ( 3n − 2) 17)(− 1) n=1 3.5.7 ( 2n + 1) n (−1) 18) n n=2 n +−( 1)