Bài giảng Chương 3: Tích phân đường - Bài 14: Tích phân đường loại 1

Nội dung text: Bài giảng Chương 3: Tích phân đường - Bài 14: Tích phân đường loại 1

1. Chương 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Phần 1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1
2. NỘI DUNG 1.Tham số hóa đường cong 2.Định nghĩa tích phân đường loại 1 3.Tính chất tích phân đường loại 1 4.Cách tính tích phân đường loại 1
3. THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG Tổng quát: (C) viết dạng tham số: x = x(t), y = y(t) VD: 1/ Đoạn thẳng nối A(a1,a2) và B(b1,b2) x= a1 + t() b 1 − a 1 ,0 t 1 y= a2 + t() b 2 − a 2 xt= 2/ Đường cong y = f(x): y= f() t
4. THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG 3/ Đường tròn: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 x=+ a Rcos t ,0 t 2 y=+ b Rsin t xy22 4/ Ellipse: +=1 ab22 x= acos t ,0 t 2 y= bsin t
5. THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG PHẲNG 5/ Đường cong trong tọa độ cực: r = r( ) xr= ( )cos yr= ( )sin VD: đường tròn : r = 2sin có dạng tham số x = 2sin cos ,0 2 y = 2sin Lưu ý: hướng ngược chiều Kim đồng hồ là tham số tăng
6. THAM SỐ HÓA ĐC TRONG KHÔNG GIAN B1: Chiếu đường cong lên mặt phẳng thích hợp B2: Tham số hóa cho đường cong hình chiếu (trong mặt phẳng) B3: Tham số hóa cho biến còn lại
7. Ví dụ 1/ Tham số hóa cho giao tuyến của mặt trụ x2 + y2 = 4 và mặt phẳng z = 3 Hình chiếu gtuyến lên mp Oxy là đtròn: x2 + y2 = 4 Vậy dạng tham số là: x=2cos t , y = 2sin t , z = 3
8. 2/ Tham số hóa cho giao tuyến của mặt cầu x2 + y2 + z2 = 6z và mặt phẳng z = 3 – x Hình chiếu gtuyến của 2 mặt lên mp Oxy là : x2 + y2 + (3 – x)2 = 6(3 – x) 2x2 + y2 =9 3 3 x==cos t , y 3sin t , zt=−3 cos 2 2
9. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1 Cho AB là đường cong hữu hạn trong mặt phẳng Oxy, f(x,y) xác định trên đường cong. B Phân hoạch cung AB thành những cung Ck, trên mỗi cung A Ck lấy Mk, lk là độ dài cung Ck, tính tổng tích phân n Sn=  f() M k l k k =1
10. n Sn=  f() M k l k k =1 f( x , y ) dl= lim Sn : tp đường loại 1 của f n→ AB trên AB Trong R3, tp đường loại 1 cũng định nghĩa tương tự.
11. TÍNH CHẤT TP ĐƯỜNG LOẠI 1 1/ Tp đường loại 1 không phụ thuộc chiều đường đi 2/L= 1 dl = độ dài cung AB AB 3 / c . fdl= c fdl AB AB ()f+ g dl = fdl + gdl AB AB AB 5/C= C12  C fdl = fdl + fdl CCC12
12. CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI 1 TH1: (C) viết dạng tham số: x = x(t), y = y(t), t1 t t2 t2 fxydl(,)=+ fxtyt ((),()) xt ()22 yt () dt Ct1 TH2: (C) viết dạng y = y(x), a x b b f(,) x y dl=+ f (,())1 x y x y () x2 dx Ca
13. CÁCH TÍNH TP ĐƯỜNG LOẠI 1 TH3: (C) viết dạng r = r( ),   f( x , y ) dl=+ f ( r cos , r sin ) r22 r d C
14. (C) là đường cong trong không gian (C) viết dạng tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 t t2 t2 fxyzdl(,,)= fxtytzt ((),(),()) xt ()2 + yt () 2 +  zt () 2 dt Ct1
15. Lưu ý: nếu C = C1  C2 (trong R2 )đối xứng qua Oy • f lẻ theo x: f( x , y ) dl = 0 C • f chẵn theo x: f( x , y ) dl= 2 f ( x , y ) dl CC1 * Trên R3, xét tính đối xứng qua các mặt tọa độ.
16. Ví dụ 1/ Tính I=+ () x y dl C là biên tam C giác OAB, với O(0, 0), A(1, 1), B(2, 0) A 1 O B 1 2 I= ()()() x + y dl + x + y dl + x + y dl OA AB OB
17. A OA: y = x, 0 x 1 1 1 +y 2 = 1 + 1 = 2 O B 1 2 1 (x+ y ) dl = ( x + x ) 2 dx OA 0 AB: y = 2 – x , 1 x 2 1 +y 2 = 1 + 1 = 2 2 (x+ y ) dl = ( x + 2 − x ) 2 dx AB 1
18. OB: y = 0 , 0 x 2 1 +y 2 = 1 + 0 = 1 2 (x+ y ) dl = ( x + 0).1 dx OB 0 7 I =22 + 3
19. 2/ Tính I= xydl với C : x2 + y2 = 2x, y 0 C Hai cách tham số hóa cho C: C1: (x – 1)2 + y2 = 1, y 0 • 1 2 x=1 + cos t , y = sint 0 t I= (1 + cos t )sin t sin22 t + cos tdt 0 = (sint + sin t cos t ) dt = 2 0
20. C2: x= rcos , y= rsin x2+y2 =2x r = 2cos , cos 0 y r sin 0 xy==2cos sin , 2sin2 C viết lại: 0 / 2 2 I=+ 2cos2 2cos sin r 2 r 2 d 0 2 =+4 cos3 sin 4cos 2 4sin 2 d 0
21. 3/ Tính I=+ 2 x22 z dl , C là giao tuyến của C mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1 và mp y = x Hình chiếu của C lên mp Oxz là ellipse: 2x2 + z2 =1 C có dạng tham số là: 11 x=cos t , z = sin t , y = x = cos t 22 02 t
22. 1 x==cos t , z sin t , 2 1 y== xcos t 2 02 t 11 x ( t )2+ y ( t ) 2 + z ( t ) 2 = sin2 t + sin 2 t + cos 2 t = 1 22 2 I= 2 x22 + z dl = 1.1 dt = 2 C 0
23. 4/ Tính I= xzdl với C là phần giao tuyến của C mặt cầu x2 + y2 + z2 = 2 và mặt nón z2 = x2 + y2, x, z 0. Tham số hóa của C: x=cos t , y = sin t , z = 1 z=1, x22 + y = 1 xz,0 − t 22= 2 2 I= xzdl =cos t .1 sin22 t + cos t + 0 dt C − 2
24. 5/ Tính I= x2 dl với C là phần giao tuyến của C mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4 và mp x + y + z = 0 Việc tham số hóa cho C rất phức tạp. Nhận xét: vai trò của x, y, z như nhau trên đường cong C. 1 I= xdl2 = ydl 2 = zdl 2 = x 2 + y 2 + zdl 2 3 ( ) CCCC
25. (x2++ y 2 z 2 ) dl == 44dl L C C với L là độ dài cung C. Vì mp đi qua tâm của mặt cầu, nên C là đường tròn có bán kính là bán kính mặt cầu. 16 Vậy: LI=2 2 = 4 = 3