Bài giảng Chương 2: Tích phân bội - Bài 9: Tích phân kép

Nội dung text: Bài giảng Chương 2: Tích phân bội - Bài 9: Tích phân kép

1. Chương 2: TÍCH PHÂN BỘI Phần 1: TÍCH PHÂN KÉP
2. BÀI TỐN THỂ TÍCH Xét vật thể hình trụ  được giới hạn trên bởi mặt cong z = f(x, y) > 0, mặt dưới là Oxy, bao xung quanh là mặt trụ cĩ đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên của miền D đĩng và bị D chận trong Oxy. Tìm thể tích .
3. z z = f(x, y) D y x
4. Xấp xỉ  bằng các hình trụ con
5. Thể tích xấp xỉ của hình trụ con Vij S()(,) D ij f x ij y ij VV()= ij ij, Dij
6. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền D đĩng và bị chận. D
7. Phân hoạch D thành các miền con D1, D2, , Dn Sk là diện tích Dk của miền con Dk. d(Dk) = đường kính Dk = khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm trong Dk. d= max{ d ( Dk )} Đường kính phân hoạch kn=1,
8. Mk được chọn tùy ý trong Dk f(Mk) Sk = S(Dk ) D Mk n Sn=  f() M k S k Tổng tích phân của f k =1
9. n Sn=  f() M k S k k =1 f khả tích nếu: lim Sn d→0 với phân hoạch tùy ý của D Tích phân kép của f trên D là giới hạn nếu cĩ của Sn f( x , y ) ds= lim Sn D d→0
10. Phân hoạch D theo các đường // ox, oy Dij
11. Khi f khả tích, việc tính tích phân khơng phụ thuộc vào phân hoạch. Do đĩ cĩ thể phân hoạch D theo các đường song song Ox, Oy. Dk là hình chữ nhật với các cạnh x, y Sk = x. y Thay cách viết tp kép f(,)(,) x y dxdy= f x y ds DD
12. Nhận dạng hàm khả tích • Đường cong (C) : y = y(x) trơn tại M(x0,y0) (C) nếu y’(x) liên tục tại x0. • (C) trơn từng khúc nếu (C) được chia thành hữu hạn các đoạn trơn. Nếu f(x,y) liên tục trên miền D đĩng, bị chận và cĩ biên trơn từng khúc thì f khả tích trên D.
13. Tính chất hàm khả tích Cho D là miền đĩng và bị chận 1/S( D )= 1 dxdy (Diện tích D) D 2 / c . f ( x , y ) dxdy= c . f ( x , y ) dxdy DD ()f+ g dxdy = fdxdy + gdxdy DDD 3 /DDDDD= 1 2 , 1 và 2 không dẫm nhau (tối đa chỉ dính biên) fdxdy=+ fdxdy fdxdy DDDD1 2 1 2
14. Định lý giá trị trung bình D là miền liên thơng nếu 2 điểm tùy ý trong D cĩ thể nối nhau bởi 1đường cong liên tục trong D. Cho f liên tục trên tập đĩng, bị chận, liên thơng D. Khi đĩ tồn tại M0(x0, y0) D sao cho 1 f()(,) M0 = f x y dxdy SD()D 1 f(,) x y dxdy gọi là giá trị trung SD()D bình của f trên D.
15. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP y= y2() x a xb D : y12() x y y ()x D b yx2 () f(,) x y dy dx y= y1() x a yx1() a b b y2 ()x Cách viết: f( x,) y dxdy= dx f(, x y) dy D a y1()x
16. d x= x2 () y c yd D D : x12() y x x ()y c d xy2 () fx(,)y dx dy x= x1() y c xy1() d x2 ()y Cách viết: f( x,) y dxdy= dy f(, x y) dx D c x1()y
17. VÍ DỤ 1/ Tính I= xydxdy D với D là tam giác OAB,O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1) 01 x CÁCH 1 D : 0 yx B 1 x 1 x 1 y 2 I= dx xydy = x dx 2 0 0 0 0 A 1 x3 1 O 1 ==dx 28 0
18. I= xydxdy B 1 D 1 1 A = dy xydx O 1 0 y 1 1 CÁCH 2 x2 = y dy 01 y 2 D : 0 y yx 1 1 11− y 2 ==y dy 28 0
19. 2/ Tính I=+ () x y dxdy D với D: x2 + y2 1, y 0 2 yx=−1 1 1−x2 I= dx ()x+ y dy −1 0 1 1−x2 y 2 1 = xy + dx -1 2 −1 0 −11 x 1 D : 2 2 2 12− x 01 yx − = x1 − x + dx = 23 −1
20. 2 yx=−1 I=+ () x y dxdy D 11−y 2 I=+ dy() x y dx 0 2 -1 1 1−y 1 01 y 2 D : =−21y y dy 22 −11 −y x − y 0 2 = 3
21. 3/ Tính I=+ ( x 1) dxdy D với D giới hạn bởi các đường y = x, y = x2 1 x y = x2 I=+ dx( x 1) dy 0 x2 1 = (x + 1)( x − x2 ) dx 0 1 1 01 x =()x − x3 dx = D : 2 0 4 x y x
22. 4/ Tính I=+ ( x 1) dxdy D với D giới hạn bởi các đường y2 + 8x = 16, y2 – 24x = 48 yy22 −22 x − D : 48 8 −24 y 24 y2 – 24x = 48 y2 + 8x = 16
23. 5/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường y=(2 − x ) x , y = x2 − 2 x Hồnh độ giao điểm (2−x ) x = x2 − 2 x xx =0, = 2 x 0 02 x D : 2 x−2 x y (2 − x ) x 2 (2−xx ) S() D= dxdy = dx dy D 0 xx2 −2
24. xe2y 6/ Tính dxdy 4 − y D miền D giới hạn bởi các đường: y = 0, y= 4 – x2, x 0, 24−x2 xe2y Khĩ lấy 4 nguyên yx=−4 2 I= dx dy 4 − y hàm 00 Đổi thứ tự 44−y xe2y I= dy dx 2 4 − y 00
25. 44−y xe2y I= dy dx 4 − y 00 4 4−y ex22y = dy 42− y 0 0 4 e2y e8 1 = dy =− 2 44 0
26. 7/ Tính x− y dxdy D miền D giới hạn bởi các đường: y = 0, y= 2 – x2 2 D2 D1 − 2 2 − 2 1 2
27. 6/ Tính x− y dxdy D miền D giới hạn bởi các đường: y = 0, y= 2 – x2 2 I=− () y x dxdy D1 D1 D +− ()x y dxdy 2 D2 − 2 1 2
28. 7/ Vẽ miền lấy tích phân và đổi thứ tự lấy tp trong các VD sau 12−y 1/I= dy f ( x , y ) dx 0 y 44y 2 /I= dy f ( x , y ) dx 0 y 22−y 3 /I= dy f ( x , y ) dx 1 −−2 y
29. 12−y 1/I= dy f ( x , y ) dx 0 y xy=
30. 12−y 1/I= dy f ( x , y ) dx 0 y xy= xy=−2
31. 12−y 1/I= dy f ( x , y ) dx 0 y xy= xy=−2 yy⎯⎯→x −2 01⎯⎯→y
32. 12−y 1/I= dy f ( x , y ) dx 0 y xy= xy=−2 y 2 y 0 ⎯⎯→ x 02⎯⎯→ − x x yyx⎯⎯→ −2 x 01⎯⎯→ 12⎯⎯→ 01⎯⎯→y