Bài giảng bổ sung môn Giải tích A3: Tích phân Bội, Tích phân Đường, Tích phân Mặt

79 trang phuongnguyen 4260

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng bổ sung môn Giải tích A3: Tích phân Bội, Tích phân Đường, Tích phân Mặt", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_bo_sung_mon_giai_tich_a3_tich_phan_boi_tich_phan_d.pdf

Nội dung text: Bài giảng bổ sung môn Giải tích A3: Tích phân Bội, Tích phân Đường, Tích phân Mặt

Bài giảng bổ sung môn Giải tích A3: Tích phân Bội, Tích phân Đường, Tích phân Mặt Huỳnh Quang Vũ Current address: Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh. Email: hqvu@hcmus.edu.vn z S v r r0 t U y u ψ V x s
TÓM TẮT NỘI DUNG. Đây là tập bài giảng bổ sung cho môn Giải tích A3 (TTH024). Đây là môn bắt buộc cho tất cả các sinh viên Khoa Toán-Tin vào học kì thứ 3. Tập bài giảng này không thay thế giáo trình. Giáo trình chính tương đương với quyển sách của Stewart [Ste08]. Mục đích của tập bài giảng này là cung cấp tài liệu đọc thêm, sâu hơn, nhưng vẫn sát với nội dung môn học. Những phần có đánh dấu * là tương đối khó hơn. Đây là một bản thảo, sẽ được tiếp tục sửa chữa. Bản mới nhất có trên trang web ∼hqvu. Ngày 7 tháng 9 năm 2011
Mục lục Chương 1. Tích phân bội 1 1.1. Tích phân trên hình hộp 1 1.2. Sự khả tích 5 1.3. Định lí Fubini 12 1.4. Tích phân trên tập tổng quát 15 1.5. Công thức đổi biến 23 Chương 2. Tích phân đường 33 2.1. Tích phân đường 33 2.2. Định lí cơ bản của tích phân đường 42 2.3. Định lí Green 45 Chương 3. Tích phân mặt 49 3.1. Tích phân mặt 49 3.2. Định lí Stokes 56 3.3. Định lí Gauss-Ostrogradsky 59 3.4. * Định lí Stokes tổng quát 63 3.5. Ứng dụng của Định lí Stokes 69 Tài liệu tham khảo 73 Chỉ mục 75 iii
iv Mục lục Điều duy nhất tôi có thể nói là bạn phải làm việc gắng sức và đó là điều chúng ta thực hiện. Bạn làm việc và làm việc, suy nghĩ và suy nghĩ. Không có công thức nào khác. Mikhail Gromov, 2009.
Chương 1 Tích phân bội Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu tích phân Riemann trong không gian nhiều chiều. Trong môn học này, khi ta nói đến không gian Rn thì ta dùng chuẩn và khoảng n 2 2 2 1/2 cách Euclid, cụ thể nếu x = (x1, x2, , xn) ∈ R thì ||x|| = (x1 + x2 + ··· + xn) . 1.1. Tích phân trên hình hộp Tích phân trên không gian nhiều chiều là sự phát triển tương tự của tích phân một chiều. Do đó các ý chính đã quen thuộc và không khó. Người đọc có thể xem lại phần tích phân một chiều để dễ theo dõi hơn. 1.1.1. Chia nhỏ hình hộp. Một khoảng (interval) là một tập con của R có dạng [a, b] với a < b. n Một hình hộp n-chiều (rectangle) là một tập con của R có dạng [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [an, bn]. 1.1.1. Định nghĩa. Thể tích (volume) của hình hộp I = [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [an, bn] được định nghĩa là số thực |I| = (b1 − a1)(b2 − a2) ··· (bn − an). Khi số chiều n = 1 ta thường thay từ thể tích bằng chiều dài (length). Khi n = 2 ta thường dùng từ diện tích (area). Một phép chia (hay phân hoạch) (partition) của một khoảng [a, b] là một tập con hữu hạn của khoảng [a, b] mà chứa cả a và b. Ta thường đặt tên các phần tử của một phép chia là x0, x1, , xn với a = x0 < x1 < x2 < ··· < xn = b. Mỗi khoảng [xi−1, xi] là một khoảng con (subinterval) của khoảng [a, b] tương ứng với phép chia. n Một phép chia của hình hộp I = ∏i=1[ai, bi] là một tích của các phép chia của khoảng các khoảng [ai, bi]. Cụ thể nếu mỗi Pi là một phép chia của khoảng [ai, bi] n thì P = ∏i=1 Pi là một phép chia của hình hộp I. Một hình hộp con (subrectangle) là một tích các khoảng con của các cạnh của n hình hộp ban đầu. Cụ thể một hình hộp con của hình hộp I có dạng ∏i=1 Ti trong đó Ti là một khoảng con của khoảng [ai, bi] ứng với phép chia Pi. 1 1.1.2. Ví dụ. Tập P = {0, 2 , 1} là một phép chia của khoảng [0, 1]. Đối với hình 2 1 1 1 1 1 hộp [0, 1] thì Q = P × P = {(0, 0), (0, 2 ), (0, 1), ( 2 , 0), ( 2 , 2 ), ( 2 , 1)} là một phép 1 1 chia. Hình hộp [0, 2 ] × [ 2 , 1] là một hình hộp con ứng với phép chia Q. 1
2 1. Tích phân bội Cho P và P0 là hai phép chia của hình hộp I. Nếu P ⊂ P0 thì ta nói P0 là mịn hơn (finer) P. 1 1 1 1.1.3. Ví dụ. P = {0, 2 , 1} là một phép chia của khoảng [0, 1], và {0, 3 , 2 , 1} là một phép chia mịn hơn P. 1.1.2. Ý của tích phân trên hình hộp. Ý của tích phân Riemann đã quen thuộc, ta chỉ nhắc lại dưới đây. Cho I là một hình hộp, và f : I → R. Ta muốn tính tổng giá trị của hàm f trên hình hộp I. Ta sẽ chia nhỏ hình hộp I bằng những hình hộp con. Trên mỗi hình hộp con đó ta xấp xỉ giá trị của hàm f bằng một hàm hằng. Nếu như hàm f liên tục thì lượng biến thiên của giá trị của f sẽ nếu như kích thước của hình hộp con là “nhỏ”, do đó sự xấp xỉ bằng hàm hằng sẽ là “tốt”. Nếu ta cho số hình hộp con tăng lên vô hạn thì ta sẽ được giá trị đúng của tổng. Sau đây là một cách giải thích hình học. Giả sử thêm hàm f là không âm, ta muốn tìm "thể tích" của khối bên dưới đồ thị của hàm f bên trên hình hộp I. Ta sẽ xấp xỉ khối đó bằng những hình hộp với đáy là một hình hộp con của I và chiều cao là một giá trị của f trong hình hộp con đó. Khi ta cho số hình hộp tăng lên vô hạn thì sẽ được giá trị đúng của thể tích. Cụ thể hơn, với một phép chia P của I, thành lập tổng Riemann ∑ f (xR)|R| R ở đây tổng được lấy trên tất cả các hình hộp con R của P, và xR là một điểm bất kì trong R. “Giới hạn” của tổng Riemann khi phép chia “mịn hơn và mịn hơn” sẽ là tích R phân của hàm f trên I, kí hiệu là I f . R 1 Vậy I f là tổng giá trị của hàm f trên miền I. 1.1.3. Định nghĩa tích phân trên hình hộp. Để làm chính xác ý tưởng trên ta cần làm rõ quá trình giới hạn. Có thể làm được việc này, nhưng chúng ta sẽ không đi vào chi tiết hơn. Thay vào đó chúng ta sẽ dùng một cách trình bày khác của Jean Gaston Darboux. Ý tưởng của cách trình bày này có lẽ không dễ hiểu bằng cách của Riemann những nó có phần đơn giản hơn về kỹ thuật. Cho hình hộp I trong Rn. Cho hàm f : I → R bị chặn. 1Kí hiệu R do Gottfried Leibniz đặt ra. Nó đại diện cho chữ cái "s" trong chữ Latin "summa" (tổng).
1.1. Tích phân trên hình hộp 3 Cho phép chia P của hình hộp I. Gọi L( f , P) = ∑(inf f )|R|, R R trong đó tổng được lấy trên tất cả các hình hộp con ứng với phép chia P, là tổng dưới (lower sum), hay xấp xỉ dưới. Tương tự, U( f , P) = ∑(sup f )|R|, R R được gọi là tổng trên (upper sum), hay xấp xỉ trên. 1.1.4. Bổ đề. Nếu phép chia P0 là mịn hơn phép chia P thì L( f , P0) ≥ L( f , P), và U( f , P0) ≤ U( f , P). CHỨNG MINH. Mỗi hình hộp con R0 của P0 nằm trong một hình hộp con R của P. Ta có infR0 f ≥ infR f . Vì thế (inf f )|R0| ≥ (inf f )|R0| = inf f |R0| = (inf f )|R|. ∑ 0 ∑ R R ∑ R R0⊂R R R0⊂R R0⊂R Lấy tổng hai vế của bất đẳng thức trên theo tất cả hình hộp con R của P ta được 0 L( f , P ) ≥ L( f , P). n 0 n 0 n Nếu P = ∏i=1 Pi và P = ∏i=1 Pi là hai phép chia của hình hộp I = ∏i=1[ai, bi] n 0 0 thì ∏i=1(Pi ∪ Pi ) cũng là một phép chia của I, mịn hơn cả P và P , được gọi là mịn hóa chung (common refinement) của P và P0. 1.1.5. Bổ đề (Xấp xỉ dưới ≤ xấp xỉ trên). Nếu P và P0 là hai phép chia bất kì của cùng một hình hộp thì L( f , P) ≤ U( f , P0). CHỨNG MINH. Lấy phép chia mịn hóa chung P00 của P và P0. Khi đó L( f , P) ≤ 00 00 0 L( f , P ) ≤ U( f , P ) ≤ U( f , P ). Một hệ quả của kết quả trên là chặn trên nhỏ nhất của các xấp xỉ dưới supP L( f , P) và chặn dưới lớn nhất của các xấp xỉ trên infP U( f , P) tồn tại, và supP L( f , P) ≤ infP U( f , P). 1.1.6. Định nghĩa (Tích phân Riemann). Cho hình hộp I. Một hàm f : I → R là khả tích (integrable) nếu f bị chặn và supP L( f , P) = infP U( f , P). Nếu f khả tích thì tích phân (integral) của f được định nghĩa là số thực R supP L( f , P) = infP U( f , P), và được kí hiệu là I f . R 1.1.7. Ví dụ. Nếu c là hằng số thì I c = c|I|. Khi số chiều n = 1 ta có tích phân của hàm một biến quen thuộc từ trung học, R b thường được viết là a f (x) dx. Khi n = 2 ta có tích phân bội hai (double integral)
4 1. Tích phân bội RR thường được viết là I f (x, y) dA. Khi n = 3 ta có tích phân bội ba (triple integral), RRR thường được viết là I f (x, y, z) dV. Hiện giờ dx, dA và dV chỉ là kí hiệu để chỉ loại tích phân. 1.1.4. Tính chất của tích phân. Những tính chất quen thuộc sau có thể được chứng minh dễ dàng từ 1.2.1, giống như trường hợp hàm một biến. 1.1.8. Mệnh đề. Giả sử f và g khả tích trên hình hộp I, và c là một số thực, khi đó: R R R (1) f + g khả tích và I ( f + g) = I f + I g. R R (2) c f khả tích và I c f = c I f . R R (3) Nếu f ≤ g thì I f ≤ I g. Bài tập. R 1.1.9. Giả sử f liên tục trên hình hộp I và f (x) ≥ 0 trên I. Chứng minh rằng nếu I f = 0 thì f = 0 trên I. 1.1.10. Điều sau đây là đúng hay sai, giải thích: ZZ √ (x2 + y) sin(xy2) dA = 10. [0,1]×[1,4]
1.2. Sự khả tích 5 1.2. Sự khả tích 1.2.1. Mệnh đề. Cho f bị chặn trên hình hộp I. Khi đó f là khả tích trên I nếu và chỉ nếu với mọi e > 0 có phép chia P của I sao cho U( f , P) − L( f , P) = ∑R(supR f − infR f )|R| 0, có phép chia P và P0 sao cho Z L( f , P) > −e + f I và Z U( f , P0) 0 cho trước bất kì có phép chia P sao cho U( f , P) − L( f , P) 0. Do đó infP U( f , P) = supP L( f , P). Sau đây là một điều kiện đủ đơn giản quen thuộc cho sự khả tích, rất thường được dùng: 1.2.2. Định lí (liên tục thì khả tích). Một hàm liên tục trên một hình hộp thì khả tích trên đó. CHỨNG MINH. Ta sẽ dùng các kết quả sau trong Giải tích 2 (bạn đọc nên xem lại): (1) Một tập con của Rn là compắc khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn. (2) Một hàm thực (tức một hàm vào R) liên tục trên một tập con compắc của Rn thì bị chặn trên đó. (3) Một hàm thực liên tục trên một tập con compắc của Rn thì liên tục đều trên đó. Bây giờ cho f là một hàm liên tục trên hình chữ hộp I. Khi đó f liên tục đều trên I, do đó cho trước e > 0, có δ > 0 sao cho ||x − y|| < δ ⇒ f (x) − f (y) < e. Lấy một phép chia P của I sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong một hình hộp con của P là nhỏ hơn δ. Điều này không khó: nếu chiều dài cạnh lớn nhất trong tất cả các hình hộp con của P không quá δ thì chiều dài của một đường chéo √ của một hình hộp con không quá nδ. Với phép chia P, cho hai điểm x, y bất kỳ thuộc về một hình hộp con R thì f (x) − f (y) < e. Suy ra supR f − infR f ≤ e. Vì thế U( f , P) − L( f , P) = ∑(sup f − inf f )|R| ≤ e ∑|R| = e|I| R R R R Theo tiêu chuẩn 1.2.1 ta có kết quả.
6 1. Tích phân bội 1.2.3. Ví dụ. Cho f : [0, 1] → R,  0, x 6= 1 f (x) = 2 1 1, x = 2 Nếu ta lấy phép phân chia P của [0, 1] sao cho chiều dài của các khoảng con nhỏ hơn e thì sai khác giữa U( f , P) và L( f , P) nhỏ hơn e. Vì thế hàm f khả tích. 1 Chú ý rằng f không liên tục tại 2 . 1.2.4. Ví dụ. Cho f : [0, 1] → R,  1, x ∈ Q f (x) = 0, x ∈/ Q Với bất kì phép chia P nào của khoảng [0, 1] ta có L( f , P) = 0 and U( f , P) = 1. Do đó f không khả tích. Chú ý rằng f không liên tục tại bất kì điểm nào. 1.2.1. Tập có thể tích không. 1.2.5. Định nghĩa. Một tập con C của Rn được gọi là có thể tích không (of content zero) (còn gọi là không đáng kể - negligible) nếu với mọi số e > 0 có một họ các Sm m hình hộp {U1, U2, , Um} sao cho i=1 Ui ⊃ C và ∑i=1|Ui| 0, có một họ các hình hộp U phủ C và có tổng thể tích nhỏ hơn e. Mở rộng mỗi hình hộp thuộc U thành một hình hộp mới có kích thước lớn hơn, để được một họ mới các hình hộp 0 0 0 U phủ C với tổng thể tích nhỏ hơn 2e. Có thể giả sử mỗi hình hộp Ui thuộc U là 0 0 một tập con của I, bằng cách thay Ui bằng Ui ∩ I nếu cần. Gọi P là phép chia của I nhận được bằng cách lấy tọa độ đỉnh của các hình hộp thuộc U0 làm các điểm chia trên các cạnh của I. Chú ý rằng một hình hộp con của P mà không phải là tập con của một hình hộp thuộc U0 thì sẽ rời khỏi C. Gọi T là hội của các hình hộp con như vậy. Khi đó f liên tục trên T.
1.2. Sự khả tích 7 Bây giờ ta làm tương tự như ở 1.2.2. Vì T là compắc nên f liên tục đều trên T, do đó ta có thể lấy được một phép chia P0 mịn hơn P với kích thước các hình hộp con đủ nhỏ sao cho với bất kì hình hộp con R của P0 mà là tập con của T ta có 0 supR f − infR f 0 có một họ các hình hộp {U1, U2, , Un, } S∞ ∞ 2 sao cho i=1 Ui ⊃ C và ∑n=1|Un| 0, gcd(p, q) = 1 f (x) = q q 0, x ∈/ Q 2Chữ "độ đo" ở đây chỉ độ đo Lebesgue. Lí thuyết tích phân Lebesgue được phát triển sau lí thuyết tích phân Riemann.
8 1. Tích phân bội Rõ ràng f không liên tục tại các số hữu tỉ. Mặt khác có thể chứng minh là f liên tục tại các số vô tỉ (Bài tập 1.2.20). Tập hợp các số hữu tỉ trong khoảng [0, 1] có độ đo không nhưng không có thể tích không (Bài tập 1.2.21). Hóa ra hàm f khả tích. Thực vậy, cho e > 0, gọi Ce là tập hợp các số hữu tỉ x p 1 1 trong [0, 1] sao cho nếu x = q ở dạng tối giản thì q ≥ e. Vì 0 ≤ p ≤ q ≤ e , nên tập Ce là hữu hạn. Ta phủ Ce bằng một họ U gồm hữu hạn các khoảng con rời nhau của khoảng [0, 1] có tổng chiều dài nhỏ hơn e. Các điểm đầu mút của các khoảng này sinh ra một phép chia P của khoảng [0, 1]. Ta có ∑R∈U(supR f )|R| ≤ ∑R∈U|R| < e. p 1 Trong khi đó nếu số x = q ở dạng tối giản không thuộc Ce thì q < e, do đó ∑R∈/U(supR f )|R| < e ∑R∈/U|R| ≤ e. Vậy U( f , P) < 2e. Từ đây ta kết luận f khả R tích, hơn nữa [0,1] f = 0. Định lí sau nói rằng giá trị của một hàm bị chặn trên một tập có thể tích không không ảnh hưởng đến tích phân. 1.2.12. Định lí. Giả sử f và g là hàm bị chặn trên một hình hộp I và f (x) = g(x) trên I trừ ra một tập con có thể tích không. Nếu f khả tích trên I thì g cũng khả R R tích trên I, và I f = I g. Để chứng minh định lí này chúng ta cần bổ đề sau đây: 1.2.13. Bổ đề. (1) Nếu một tập con của Rn có thể tích không thì bao đóng của nó cũng có thể tích không. (2) Hội của một tập con của Rn có độ đo không và một tập con của Rn có thể tích không là một tập có độ đo không. Có thể chứng minh bổ đề này một cách dễ dàng từ các định nghĩa. CHỨNG MINH 1.2.12. Gọi C là tập hợp các điểm tại đó f không liên tục. Theo giải thiết C có độ đo không. Gọi D là tập các điểm tại đó g(x) 6= f (x), thì D có thể tích không, do đó theo 1.2.13 bao đóng D của D cũng có thể tích không. Nếu một điểm x0 không thuộc D thì có một lân cận của x0 mà trên đó f (x) = g(x). Vì lí do này g liên tục tại x0 khi và chỉ khi f liên tục tại x0. Vậy tập hợp các điểm tại đó hàm g không liên tục là một tập con của tập C ∪ D. Theo 1.2.13 tập C ∪ D có độ đo không. Vậy g khả tích. R R Giờ ta chứng minh I f = I g. Đặt h = g − f thì h khả tích, và h(x) = 0 trừ ra R trên D. Ta chỉ cần chứng minh I h = 0. Lấy một phép chia P của I bất kì và xét một hình hộp con R của P bất kì. Vì D có thể tích không trong khi R có thể tích khác không nên D không thể chứa R. Do đó có điểm x trong R không thuộc D, và h(x) = 0. Từ quan sát trên ta suy ra L(h, P) ≤ 0 và U(h, P) ≥ 0. Vì h khả tích nên ta phải R có I h = 0. 1.2.3. * Chứng minh Định lí 1.2.10.
1.2. Sự khả tích 9 1.2.14. Bổ đề. Trong Định nghĩa 1.2.5 và 1.2.8, hình hộp đóng có thể được thay bằng hình hộp mở, chính xác hơn, giả thiết phủ bằng một họ các hình hộp có thể được thay bởi giả thiết phủ bằng một họ phần trong của các hình hộp. CHỨNG MINH. Cho e > 0. Ta cần chứng minh rằng nếu có một phủ của A ∞ bằng các hình hộp đóng U1, U2, sao cho ∑i=1|Ui| 0. Theo 1.2.14 có một phủ của A bởi một họ đếm được các phần trong của các hình hộp sao cho tổng thể tích của các hình hộp đó nhỏ hơn e. Vì A compắc nên từ phủ mở trên có một phủ con hữu hạn. Suy ra A có thể tích không. Cho f là một hàm bị chặn trên miền xác định là một tập con D của Rn, và cho x ∈ D. Định nghĩa dao động (oscillation) của f tại x là số thực o( f , x) = inf( sup f − inf f ) = lim( sup f − inf f ) > → δ 0 B(x,δ)∩D B(x,δ)∩ δ 0 B(x,δ)∩D B(x,δ)∩D 1.2.16. Bổ đề. Hàm f liên tục tại x khi và chỉ khi o( f , x) = 0. CHỨNG MINH. (⇒) Giả sử o( f , x) = 0. Cho trước e > 0, có δ > 0 sao cho supB(x,δ) f − infB(x,δ) f 0 sao cho | f (y) − f (x)| 0, tập {x ∈ D | o( f , x) ≥ e} là tập đóng trong D. CHỨNG MINH. Ta sẽ chứng minh rằng A = {x ∈ D | o( f , x) 0 sao cho supB(x,δ) f − infB(x,δ) f 0 sao cho B(y, δ ) ⊂ B(x, δ). Khi đó supB(y,δ0) f − infB(y,δ0) f < supB(x,δ) f − infB(x,δ) f < e. Điều này dẫn tới y ∈ A. CHỨNG MINH PHẦN ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỦA 1.2.10. Phần này được phát triển từ chứng minh của 1.2.7, dùng kĩ thuật trong 1.2.11.
10 1. Tích phân bội Giả sử | f (x)| ≤ M với mọi x trong hình hộp I. Gọi C là tập các điểm trong I tại đó f không liên tục. Giả sử C có độ đo không, ta sẽ chứng minh rằng f khả tích trên I bằng cách dùng 1.2.1. Cho trước e > 0. Đặt Ce = {x ∈ I | o( f , x) ≥ e}. Khi đó Ce là một tập compắc trong Rn và là tập con của C. Do 1.2.15 và 1.2.14có một họ U các hình hộp U1, U2, , Um (có thể giả sử mỗi hình hộp này là tập con của I) sao cho Ce được ◦ Sm m phủ bởi họ các phần trong của các Ui, nghĩa là C ⊂ i=1 Ui, và ∑i=1|Ui| 0. Với mỗi i có một họ hữu hạn các hình hộp {Ui,j | 1 ≤ j ≤ ni} phủ A và ni |U | < e . i ∑j=1 i,j 2i Bây giờ ta liệt kê các tập Ui,j theo thứ tự U1,1, U1,2, , U1,n1 , U2,1, U2,2, , U2,n2 , U3,1, Đây là một phủ đếm được của A có tổng diện tích nhỏ hơn ∞ e = e. Vậy A có ∑i=1 2i độ đo không. 1.2.19. Bổ đề. Biên của một hình hộp có thể tích không. CHỨNG MINH. Do 1.2.18 ta chỉ cần chứng minh mỗi mặt của một hình hộp n-chiều có thể tích không trong Rn. Mỗi mặt của hình hộp là một tập hợp D các
1.2. Sự khả tích 11 điểm có dạng (x1, x2, , xi, , xn) với aj ≤ xj ≤ bj cho j 6= i và xi = c. Cho trước e > 0. Lấy hình hộp R phủ D có cạnh ở chiều thứ i đủ bé, cụ thể R gồm các điểm có dạng (x1, x2, , xi, , xn) với aj ≤ xj ≤ bj cho j 6= i và c − δ ≤ xi ≤ c + δ. Khi đó |R| = δ ∏j6=i(bj − aj) 0. Vì f khả tích nên có phép chia P của I sao cho U( f , P) − L( f , P) (sup f − inf f )|R| ≥ |R|. ∑ R ∑ R∈S R R∈S m Vậy ta được ∑ |R| k sao cho qn < M. Dãy {qn } ∈Z+ bị chặn, nên có dãy con {qn } ∈Z+ hội tụ về một số nguyên c. k k k kl l 1.2.21. Tập hợp các số hữu tỉ trong khoảng [0, 1] có độ đo không nhưng không có thể tích không. Hướng dẫn: Tập hợp các số hữu tỉ là đếm được. Dùng 1.2.13. | | R ≤ R | | 1.2.22. Nếu f khả tích thì f khả tích và I f I f .
12 1. Tích phân bội 1.3. Định lí Fubini Định lí Fubini Theorem là công cụ chính để tính tích phân bội. Sau đây là một dạng thường dùng của định lí Fubini trong không gian hai chiều. 1.3.1. Định lí (Định lí Fubini trong không gian hai chiều). Cho f liên tục trên hình chữ nhật [a, b] × [c, d]. Khi đó ZZ Z Z Z Z f (x, y) dA = f (x, y) dy dx = f (x, y) dx dy [a,b]×[c,d] [a,b] [c,d] [c,d] [a,b] Các tích phân bên vế phải của đẳng thức trên được gọi là các tích phân lặp. R Ta có cách giải thích hình học như sau. Giả sử f > 0. Khi đó [a,b]×[c,d] f là "thể tích" của khối bên dưới mặt z = f (x, y) bên trên hình chữ nhật [a, b] × [c, d]. R Đặt I(x) = [c,d] f (x, y) dy. Khi đó I(x0) là diện tích của mặt cắt (cross-section) của khối bởi mặt phẳng x = x0. Vậy định lí Fubini nói rằng thể tích của khối bằng tổng diện tích các mặt cắt song song. Có thể giải tích điều này bằng cách xấp xỉ thể tích của khối như sau. Chia khoảng [a, b] thành những khoảng con. Ứng với những khoảng con này, khối được cắt thành những mảnh bởi những mặt cắt song song. Vì chiều dài mỗi khoảng con là nhỏ, ta có thể xấp xỉ thể tích của mỗi mảnh bởi diện tích một mặt cắt nhân với chiều dài của khoảng con. Có thể giải thích công thức Fubini theo cách định lượng như sau: tổng giá trị của hàm trên hình hộp bằng tổng giá trị trên các mặt cắt. Cũng có thể giải thích bằng xấp xỉ theo tổng Riemann như sau. Giả sử a = x0 < x1 < ··· < xm = b là một phân hoạch của khoảng [a, b] và c = y0 < y1 < ··· < yn = d là một phân hoạch của khoảng [c, d]. Khi đó ta có thể xấp xỉ như sau, ∗ ∗ ở đây xi là điểm đại diện bất kì thuộc khoảng con ∆xi và yi là điểm bất kì thuộc ∆yi: Z Z m Z f (x, y) dy dx ≈ ∑ f (x, y) dy |∆xi| [a,b] [c,d] i=1 [c,d] m n ∗ ∗ = ∑ ∑ f (xi , yj )|∆yj| |∆xi| i=1 j=1 ∗ ∗ = ∑ f (xi , yj )|∆xi||∆yj| i,j ZZ ≈ f (x, y) dA [a,b]×[c,d] Sau đây là một dạng tổng quát của định lí Fubini. 1.3.2. Định lí (Định lí Fubini). Cho A là một hình hộp trong Rm và B là một hình hộp trong Rn. Cho f khả tích trên hình hộp A × B trong Rm+n. Giả sử với mỗi
1.3. Định lí Fubini 13 R x ∈ A tích phân B f (x, y) dy tồn tại. Khi đó Z Z Z f = f (x, y) dy dx A×B A B Các giả thiết về hàm f sẽ được thỏa mãn nếu f liên tục, do đó ta có dạng thường dùng sau: 1.3.3. Hệ quả. Cho A là một hình hộp trong Rm và B là một hình hộp trong Rn. Cho f liên tục trên hình hộp A × B trong Rm+n. Khi đó Z Z Z Z Z f = f (x, y) dy dx = f (x, y) dx dy A×B A B B A Hệ quả trong trường hợp 3 chiều là: 1.3.4. Hệ quả. Cho f liên tục trên hình hộp [a, b] × [c, d] × [e, f ]. Khi đó ZZZ Z Z Z f (x, y, z) dV = f (x, y, z) dz dy dx [a,b]×[c,d]×[e, f ] [a,b] [c,d] [e, f ] Và tương tự cho năm trường hợp còn lại. CHỨNG MINH 1.3.2. Chứng minh này đơn giản là một cách viết chính xác cách giải thích bằng xấp xỉ với tổng Riemann ở trên. Gọi P là một phép chia bất kì của hình hộp A × B. Khi đó P là tích của một phép chia PA của A và một phép chia PB của B. Đối với tổng dưới, ta có: Z Z L( f (x, y) dy, PA) = ∑[ inf f (x, y) dy]|RA| B x∈RA B RA ≥ ∑( inf ∑[ inf f (x, y)]|RB|)|RA| x∈RA y∈RB RA RB ≥ ∑( inf ∑[ inf f (x, y)]|RB|)|RA| x∈RA RA×RB RA RB = ∑(∑[ inf f (x, y)]|RB|)|RA| RA×RB RA RB = ∑ inf f (x, y)|RA||RB| RA×RB RA×RB = ∑ inf f (x, y)|RA × RB| = L( f , P) RA×RB RA×RB R Tương tự, thay inf bởi sup ta được U( B f (x, y) dy, PA) ≤ U( f , P). Từ đây ta có ngay định lí. Bài tập. 2 2 R2 R ∂ f ∂ f 1.3.5. Cho f : → . Giả sử ∂x∂y (x, y) và ∂y∂x (x, y) liên tục. (a) Trên hình chữ nhật [a, b] × [c, d], dùng định lí Fubini, hãy chứng tỏ ZZ ∂2 f ZZ ∂2 f dA = dA. [a,b]×[c,d] ∂x∂y [a,b]×[c,d] ∂y∂x ∂2 f ∂2 f (b) Dùng phần (a), chứng tỏ ∂x∂y = ∂y∂x .
14 1. Tích phân bội Đây là một chứng minh dùng tích phân bội của một định lí quen thuộc trong Giải tích 2, đôi khi được gọi là Định lí Clairaut.
1.4. Tích phân trên tập tổng quát 15 1.4. Tích phân trên tập tổng quát Bây giờ ta phát triển lí thuyết tích phân trên tập tổng quát hơn hình hộp. Chúng ta chỉ xét các tập con của Rn. Để ngắn gọn hơn ta sẽ dùng từ miền (region) để chỉ một tập con của Rn. Hơn nữa chúng ta chỉ xét những miền bị chặn. Nhớ lại rằng trong Giải tích 1 để xét tích phân trên khoảng không bị chặn (hoặc tích phân của những hàm không bị chặn) ta đã phải dùng đến giới hạn và do đó có khái niệm tích phân suy rộng. Giả sử rằng D là một miền bị chặn, và f : D → R. Vì D bị chặn nên có hình hộp I chứa D. Mở rộng hàm f lên hình hộp I thành hàm F : I → R xác định bởi   f (x), x ∈ D F(x) = 0, x ∈/ D Ta định nghĩa một cách tự nhiên: 1.4.1. Định nghĩa. Tích phân của f trên D được định nghĩa là tích phân của F trên I. Ta nhận thấy ngay định nghĩa này không mâu thuẫn với định nghĩa đã có khi D là một hình hộp. Một điều kiện cần để tích phân của f trên D được định nghĩa là f phải bị chặn trên D. Định nghĩa tích phân của f trên D cần phải không phụ thuộc vào cách chọn hình hộp I. R 1.4.2. Bổ đề. Tích phân D f không phụ thuộc vào cách chọn hình hộp I. CHỨNG MINH. Giả sử F1 là mở rộng của f lên I1 ⊃ D, bằng không ngoài D và F2 là mở rộng của f lên I2 ⊃ D, bằng không ngoài D. Ta cần chứng minh điều sau: R R nếu F khả tích trên I thì F2 khả tích trên I2, và khi đó F = F2. 1 1 I1 1 I2 Đặt I3 = I1 ∩ I2, ta chứng minh điều sau là đủ: F1 khả tích trên I1 khi và chỉ R R khi F3 khả tích trên I3, và khi đó F = F3. I1 1 I3 0 0 Đặt F1 xác định trên I1 sao cho F1 trùng với F1 trừ ra trên biên của I3, nơi mà 0 0 F1 được định nghĩa là bằng không. Vì F1 chỉ khác F1 trên một tập có thể tích không nên theo 1.2.12 F0 khả tích khi và chỉ khi F khả tích, và khi đó R F0 = R F . 1 1 I1 1 I1 1 0 Một phép chia bất kì P của I3 sinh ra một phép chia P của I1 bằng cách thêm vào tọa độ các đỉnh của I1. Bất kì một hình hộp con nào của P cũng là một hình 0 0 0 0 0 hộp con của P , từ đó U(F3, P) = U(F1, P ) và L(F3, P) = L(F1, P ) (ở chỗ này có 0 dùng giả thiết F1 bằng không trên biên của I3). Do tiêu chuẩn 1.2.1 ta kết luận nếu 0 R 0 R F3 khả tích thì F khả tích, và khi đó F = F3. 1 I1 1 I3 0 00 Mặt khác, một phép chia bất kì cho trước P của I1 sinh ra một phép chia P 0 00 của I1 mịn hơn P bằng cách thêm vào tọa độ các đỉnh của I3. Hạn chế P lên I3 ta 0 00 được một phép chia P của I3. Giống như đoạn vừa rồi ta có U(F3, P) = U(F1, P ) 0 00 0 và L(F3, P) = L(F1, P ). Do đó nếu F1 khả tích thì F3 khả tích và khi đó tích phân của chúng bằng nhau.
16 1. Tích phân bội 1.4.1. Thể tích của miền tổng quát. Ta định nghĩa thể tích thông qua tích phân. 1.4.3. Định nghĩa. Cho D là một tập con bị chặn của Rn. Thể tích( n chiều) của D R được định nghĩa là giá trị của tích phân D 1. Ta thường thay từ thể tích (volume) bằng từ diện tích (area) khi số chiều n = 2 và bằng từ chiều dài (length) khi n = 1. Ta thường kí hiệu thể tích của D bằng |D|. Từ ý của tích phân, ta có thể thấy ý của thể tích, đó là xấp xỉ trong và xấp xỉ ngoài miền đã cho bằng hội của những hình hộp thích hợp. HÌNH 1.4.1. Xấp xỉ ngoài và xấp xỉ trong diện tích của một hình tròn. 1.4.4. Định lí. Một tập con bị chặn của Rn có thể tích khi và chỉ khi biên của nó có thể tích không. Để chứng minh định lí này ta cần bổ đề sau: 1.4.5. Bổ đề. Biên của một tập con bị chặn của Rn có độ đo không khi và chỉ khi nó có thể tích không. CHỨNG MINH. Biên của một tập con của Rn luôn là một tập đóng. Vì tập đã cho là bị chặn nên biên của nó cũng bị chặn, và do đó biên là compắc. Theo 1.2.15 ta có kết quả. Giờ ta có thể chứng minh định lí. CHỨNG MINH 1.4.4. Cho D là miền bị chặn trong Rn, lấy một hình hộp I chứa D và lấy hàm F bằng 1 trên D và bằng 0 ngoài D. Tập hợp các điểm không liên tục của F là chính tập biên của D. Vậy F khả tích khi và chỉ khi biên của D có độ đo không, và điều này xảy ra khi và chỉ khi nó có thể tích không. 1.4.2. Sự khả tích. R R Tích phân D f tồn tại nếu và chỉ nếu tích phân I F tồn tại. R Theo 1.2.10 ta biết tích phân I F tồn tại khi và chỉ khi F liên tục hầu khắp trên I. Tập điểm tại đó F không liên tục gồm những điểm trên D mà f không liên tục và có thể một số điểm khác trên biên của D.
1.4. Tích phân trên tập tổng quát 17 1.4.6. Định lí. Cho D là tập con bị chặn của Rn với biên ∂D có thể tích không. Khi đó f khả tích trên D khi và chỉ khi f bị chặn và liên tục hầu khắp trên D. CHỨNG MINH. Cho C là tập những điểm tại đó f không liên tục. Cho I là một hình hộp chứa D và cho F là mở rộng của f lên I, bằng không ngoài D. Gọi E là tập điểm tại đó F không liên tục. Như đã nói ở trên, ta có C ⊂ E ⊂ (C ∪ ∂D). Nếu C có độ đo không thì C ∪ ∂D có độ đo không, vì theo giả thiết ∂D có thể tích không. Điều này dẫn đến E có độ đo không, do đó F khả tích. Ngược lại, nếu F khả tích thì E có độ đo không, do đó C có độ đo không. Từ kết quả về điều kiện khả tích ta có nhu cầu biết thêm ví dụ tập có thể tích không. Dưới đây là một kết quả đơn giản nhưng được dùng rất thường xuyên trong môn này. 1.4.7. Mệnh đề. Đồ thị của một hàm liên tục trên một miền đóng bị chặn trên Rn có thể tích không trên Rn+1. CHỨNG MINH. Cho f liên tục trên miền đóng, bị chặn D ⊂ Rn. Đặt D vào bên trong một hình hộp I rồi phân hoạch I. Gọi S là họ các hình hộp con của I mà có phần giao khác rỗng với D. Vì D compắc nên f liên tục đều trên D, do đó cho trước e > 0 ta có thể phân hoạch sao cho trên mỗi hình hộp con R thuộc họ S thì supR f − infR f < e. a b HÌNH 1.4.2. Đồ thị của hàm liên tục có thể tích không: Minh họa cho trường hợp hàm xác định trên khoảng đóng. Khi đó đồ thị {(x, f (x)) | x ∈ D} ⊂ Rn+1 được phủ bằng họ các hình hộp có dạng R × [infR f , supR f ] với R ∈ S. Tổng thể tích của các hình hộp này nhỏ hơn e|I|. 1.4.8. Ví dụ. Do kết quả này và 1.2.18, trên mặt phẳng một đoạn thẳng có diện tích không, một đường tròn có diện tích không (và do đó hình tròn có diện tích), biên của một hình bình hành có diện tích không Trong không gian ba chiều thì mặt cầu có thể tích không (và do đó quả cầu có thể tích).
18 1. Tích phân bội 1.4.3. Tính chất của tích phân. Một số kết quả trong phần này đòi hỏi những điều kiện về sự khả tích. Người đọc có thể giả sử mọi thứ trong các công thức đều được xác định để có phát biểu đơn giản hơn. Tương tự như kết quả cho hình hộp 1.2.12, ta có: 1.4.9. Định lí. Cho D là tập bị chặn trong Rn. Giả sử f và g bị chặn trên D, và f (x) = g(x) trừ ra một tập có thể tích không. Nếu f khả tích thì g cũng khả tích và R R khi đó D f = D g. CHỨNG MINH. Lấy một hình hộp I chứa D. Gọi F và G là các mở rộng của f và g lên I, bằng không ngoài D. Khi đó F(x) = G(x) trên I trừ ra một tập có thể tích không. Nếu f khả tích trên D thì theo định nghĩa F khả tích trên I. Theo 1.2.12 ta có kết quả. n 1.4.10. Định lí. Cho D1 và D2 là hai tập con bị chặn của R . Giả sử D1 ∩ D2 có thể tích không. Nếu f khả tích trên D1 và trên D2 thì f khả tích trên D1 ∪ D2 , và khi đó Z Z Z f = f + f D1∪D2 D1 D2 Định lí này cho phép ta tính tích phân trên một miền bằng cách chia miền đó thành những miền đơn giản hơn. 1.4.11. Ví dụ. Trong định lí trên lấy f = 1, ta có kết quả: Nếu biên của D1 và biên của D2 có thể tích không, và D1 ∩ D2 có thể tích không, thì |D1 ∪ D2| = |D1| + |D2|. Chẳng hạn khi tính diện tích một hình ta vẫn thường chia hình đó thành những hình đơn giản hơn bằng những đoạn thẳng hay đoạn cong, rồi cộng các diện tích lại. CHỨNG MINH. Đặt f1 xác định trên D = D1 ∪ D2 sao cho f1 = f trên D1 và f1 = 0 trên D \ D1. Tương tự, đặt f2 xác định trên D sao cho f2 = f trên D2 và f2 = 0 trên D \ D2. Có thể kiểm dễ dàng là f1 và f2 khả tích trên D. Ta có f1 + f2 = f trên D \ (D1 ∩ D2). Do 1.4.9 ta có f khả tích trên D và Z Z Z Z Z Z f = ( f1 + f2) = f1 + f2 = f + f . D D D D D1 D2 1.4.4. Định lí Fubini cho miền phẳng đơn giản. Phương pháp cơ bản để tính tích phân trên miền tổng quát cũng là dùng định lí Fubini. Việc áp dụng định lí Fubini sẽ dễ dàng hơn đối với những miền "đơn giản". Một tập con của R2 được gọi là một miền đơn theo chiều đứng (vertically simple region) nếu nó có dạng {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)}. Đây là miền bao bởi hai đường thẳng đứng và hai đồ thị, một trong hai luôn nằm trên cái còn lại. Một đường thẳng đứng nếu cắt miền thì phần giao là một đoạn thẳng. Một tập con của R2 được gọi là một miền đơn theo chiều ngang (vertically simple region) nếu nó có dạng {(x, y) ∈ R2 | a ≤ y ≤ b, f (y) ≤ x ≤ g(y)}.
1.4. Tích phân trên tập tổng quát 19 1.4.12. Định lí (Định lí Fubini cho miền phẳng đơn giản). Cho miền đơn giản theo chiều đứng D = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x)}. Giả sử g và h bị chặn trên [a, b]. Giả sử f khả tích trên D, và giả sử với mỗi x ∈ [a, b] tích phân R h(x) ( ) g(x) f x, y dy tồn tại. Khi đó ZZ Z b Z h(x) f (x, y) dA = f (x, y) dy dx D a g(x) Lưu ý rằng tất cả những giả thiết của định lí về sự khả tích sẽ được thỏa mãn nếu f , g và h liên tục. CHỨNG MINH. Lấy một hình chữ nhật I = [a, b] × [c, d] chứa D. Gọi F là mở rộng của f bằng không ngoài D. Theo định nghĩa f khả tích trên D nếu và chỉ nếu R R F khả tích trên I, và khi đó D f = I F. R h(x) ( ) = R ( ) Theo giả thiết, g(x) f x, y dy {x}×[c,d] F x, y dy tồn tại. Áp dụng Định lí Fubini 1.3.2 cho F, ta có Z Z b Z d Z b Z h(x) F = F(x, y) dy dx = f (x, y) dy dx I a c a g(x) 1.4.5. Định lí Fubini cho miền đơn giản ba chiều. Hoàn toàn tương tự trường hợp hai chiều ta có thể nói về miền đơn giản ba chiều. Để đơn giản dưới đây ta chỉ phát biểu kết quả cho trường hợp miền bên dưới một đồ thị (tức một khối đơn giản theo chiều trục z). 1.4.13. Định lí. Cho z = g(x, y) là một hàm bị chặn, không âm, xác định trên miền phẳng bị chặn D. Gọi E là miền dưới đồ thị của g bên trên mặt phẳng Oxy, tức E = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ g(x, y)}. R g(x,y) Giả sử f khả tích trên E. Giả sử với mỗi (x, y) ∈ D tích phân 0 f (x, y, z) dz tồn tại. Khi đó ZZZ ZZ Z g(x,y) f (x, y, z) dV = f (x, y, z) dz dA E D 0 CHỨNG MINH. Đặt D trong một hình chữ nhật I. Vì g bị chặn trên D nên có một khoảng [0, a] sao cho hình hộp I × [0, a] chứa E. Bây giờ ta làm giống như trong trường hợp miền đơn giản phẳng. Lấy mở rộng F của f lên I × [0, a] sao cho F bằng không ngoài E. Nếu điểm (x, y) ∈/ D thì hàm F có giá trị 0 trên khoảng {(x, y)} × [0, a]. Ngược lại nếu (x, y) ∈ D thì R R g(x,y) {(x,y)}×I F(x, y, z) dz = 0 f (x, y, z) dz. Áp dụng định lí Fubini cho F ta có ZZZ ZZ Z F(x, y, z) dV = F(x, y, z) dz dA I×[0,a] I [0,a] ZZ Z = F(x, y, z) dz dA D [0,a] ZZ Z g(x,y) = f (x, y, z) dz dA D 0
20 1. Tích phân bội 1.4.14. Mệnh đề. Các giả thiết của Định lí 1.4.13 được thỏa nếu f và g liên tục, miền D đóng với biên có diện tích không. CHỨNG MINH. Ta chỉ cần kiểm là biên của E có thể tích không trong R3. Biên của E là hội của đồ thị của hàm g, miền D, và mặt bên hông của E. Mặt bên hông của E là một tập con của tập ∂D × [0, a], trong đó ∂D là biên của D, và [0, a] là một khoảng sao cho hình hộp D × [0, a] chứa E, như trong chứng minh của 1.4.13. Vì ∂D có diện tích không trong R2 ta có thể phủ nó bằng hữu hạn hình chữ nhật với tổng diện tích nhỏ hơn e > 0. Lấy tích của mỗi hình chữ nhật đó với khoảng [0, a] ta được một phủ của ∂D × [0, a] bởi các hình hộp có tổng thể tích nhỏ hơn ea. Vậy mặt bên hông của E có thể tích không trong R3. Theo 1.4.7 đồ thị của g có thể tích không trong R3. Miền phẳng bị chặn D có thể tích không trong R3. Hệ quả sau đây là một kết quả mà ta đã chờ đợi, thường được dùng trong tính toán cụ thể: 1.4.15. Hệ quả. Cho z = g(x, y) là một hàm bị chặn, không âm, xác định trên miền phẳng bị chặn D. Gọi E là miền dưới đồ thị của g bên trên mặt phẳng Oxy. Nếu g khả tích trên D và miền E có thể tích thì thể tích đó bằng tích phân của g trên D: ZZZ ZZ |E| = 1 dV = g(x, y) dA E D Công thức trên sẽ đúng nếu g liên tục và D là miền đóng với biên có diện tích không. Đây là trường hợp thường gặp. Bài tập. 1.4.16. Tính diện tích miền bao bởi các đường cong x = y2, y − x = 3, y = −3, y = 2. 1.4.17. Tính tích phân ZZ √ ( x − y2) dA R trong đó R là miền bao bởi các đường cong y = x2, x = y4. 1.4.18. Tính thể tích của khối bao bởi mặt z = 4 − x2 − y2 và mặt phẳng xOy. 1.4.19. Tính tích phân ZZ q x2 + y2 R trong đó R là miền bao bởi hai đường cong x2 + y2 = 4 and x2 + y2 = 9. 1.4.20. Cho tích phân lặp Z 1 Z 1 ex/y dy dx. 0 x (a) Viết lại tích phân trên dưới dạng một tích phân bội. (b) Tính tích phân trên bằng cách đổi thứ tự tích phân lặp. RR 1.4.21. Tính tích phân D y dA trong đó D là miền trong góc phần tư thứ nhất, nằm bên trên đường hyperbola xy = 1, bên trên đường thẳng y = x, bên dưới đường thẳng y = 2.
1.4. Tích phân trên tập tổng quát 21 1.4.22. Gọi E là khối được bao bởi các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 2y + z = 4. Hãy tích tính phân ZZZ y dV. E 1.4.23. Tính tích phân ZZZ y dV E trong đó E là khối tứ diện với 4 đỉnh (0, 0, 0), (1, 0, 0), (2, 1, 0) và (0, 0, 1). 1.4.24. Gọi E là khối được bao phía trên bởi mặt cầu x2 + y2 + z2 = 2 và được bao phía dưới bởi mặt paraboloid z = x2 + y2. (a) Chứng tỏ phần giao của hai mặt trên là một đường tròn. (b) Tính thể tích của khối E. 1.4.25. Tìm thể tích của khối bị chặn trên bởi mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4 và bị chặn dưới bởi mặt nón z2 = 3x2 + 3y2. 1.4.26. Một tập con bị chặn của Rn có thể tích không (of content zero) khi và chỉ khi nó có thể tích và thể tích đó bằng không. Như vậy thể tích không chính là có thể tích bằng không! 1.4.27. Kết quả 1.4.7 có còn đúng không nếu bỏ đi yêu cầu miền xác định của hàm là tập đóng? 1.4.28. Nếu f : [a, b] → R khả tích thì đồ thị của f có diện tích không. Điều ngược lại có đúng không? 1.4.29. Tích phân của một hàm bị chặn trên một tập có thể tích không thì bằng không. Hướng dẫn: Dùng 1.2.12. 1.4.30. Cho D và E là hai tập con của Rn, trong đó E có thể tích không. Giả sử f bị chặn trên D và E, và f khả tích trên D. Khi đó f khả tích trên D ∪ E và Z Z f = f D∪E D Kết quả này nói rằng thêm một tập có thể tích không thì tích phân không thay đổi. Hướng dẫn: Dùng 1.4.10 và 1.4.29. 1.4.31. (a) Chứng tỏ rằng thể tích của khối bao bởi mặt x2 + (y − z − 3)2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1 bằng với thể tích của khối bao bởi mặt x2 + y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1. 1 0.8 0.6 -3 -2 0.4 -1 0.2 0 1 0 -1 0 1 2 2 3 4 5 3 HÌNH 1.4.3. Mặt x2 + y2 = 1 (trái) và mặt x2 + (y − z − 3)2 = 1 (phải).
22 1. Tích phân bội (b) Chứng minh nguyên lí Cavalieri: Nếu hai khối ba chiều có thể tích, và hai lát cắt với bởi một mặt phẳng nằm ngang bất kì có cùng diện tích, thì hai khối đó có cùng thể tích. 3 3Bonaventura Francesco Cavalieri là một nhà toán học Ý sống vào đầu thế kỉ 17, bạn của Galileo.
1.5. Công thức đổi biến 23 1.5. Công thức đổi biến 1.5.1. Nhắc lại về đạo hàm. Người đọc có thể xem lại nội dung này trong môn Giải tích 2. Cho D là một tập con của Rn, f : D → Rm, và x là một điểm trong của D. Hàm f được gọi là khả vi (differentiable) tại x nếu có một hàm tuyến tính f 0(x) : Rn → Rm, gọi là đạo hàm (derivative) của f tại x, sao cho có một quả cầu B(x, e) ⊂ D và một hàm r : B(x, e) → Rm thỏa mãn: f (x + h) = f (x) + f 0(x)(h) + r(h), ∀h ∈ B(x, e) và r(h) lim = 0. h→0 |h| Vậy đạo hàm cho một xấp xỉ tuyến tính của hàm: f (x + ∆x) ≈ f (x) + f 0(x)(∆x). Đặc biệt khi m = n = 1, không giống như trong Giải tích 1, bây giờ ta coi đạo hàm tại một điểm không phải là một số thực mà là một ánh xạ tuyến tính. Nếu tất cả các đạo hàm riêng của f tồn tại và liên tục tại x thì ta nói f khả vi liên tục (continuously differentiable) hay trơn (smooth) tại x. Trong Giải tích 2 ta biết nếu f khả vi liên tục tại x thì f có đạo hàm tại x, và ánh xạ tuyến tính f 0(x) có thể biểu diễn trong cơ sở chuẩn tắc của Rn và Rm bởi ma trận các đạo hàm riêng của f tại x, một m × n-ma trận gọi là ma trận Jacobi của f tại x, kí hiệu là ∂ fi Jf (x) = (x) . ∂xj 1≤i≤m, 1≤j≤n 1.5.1. Ví dụ. Khi m = 1 ma trận Jacobi Jf (x) chính là vectơ gradient ∂ f ∂ f ∇ f (x) = (x), , (x) . ∂x1 ∂xn Cho A và B là hai tập mở trong Rn. Một ánh xạ f : A → B được gọi là một phép vi đồng phôi (diffeomorphism) nếu f là song ánh, khả vi liên tục, và ánh xạ ngược f −1 cũng khả vi liên tục. Nếu có một phép vi đồng phôi từ A lên B thì ta nói A vi đồng phôi (diffeo- morphic) với B. 1.5.2. Ví dụ. Hai quả cầu mở bất kì trong Rn vi đồng phôi với nhau. Quan sát điều sau đây: Nếu f là một phép vi đồng phôi thì f −1 ◦ f (x) = x với mọi x. Lấy đạo hàm hai vế, theo qui tắc đạo hàm của hàm hợp ta có ( f −1)0( f (x)) ◦ f 0(x) = id. Tương tự ta có f 0( f −1(x)) ◦ ( f −1)0(x) = id, với mọi x. Từ đây suy ra f 0(x) là một ánh xạ tuyến tính khả nghịch (song ánh). Điều ngược lại là nội dung của một định lí rất quan trọng: 1.5.3. Định lí (Định lí hàm ngược). Cho D ⊂ Rn và f : D → Rn khả vi liên tục tại x. Nếu f 0(x) khả nghịch thì x có một lân cận mà trên đó f là một vi đồng phôi.
24 1. Tích phân bội Nói cách khác, nếu det(Jf (x)) 6= 0 thì có một lân cận mở U của x và một lân cận mở V của f (x) sao cho f : U → V là song ánh và f −1 : V → U là khả vi liên tục . Định lí này nói nôm na là nếu đạo hàm không suy biến thì hàm là vi đồng phôi địa phương. Một hệ quả mà ta sẽ dùng trong phần tiếp theo là: 1.5.4. Hệ quả. Giả sử U và V là các tập mở của Rn, và f : U → V là một song ánh khả vi liên tục. Nếu det Jf (x) luôn khác không thì f là một vi đồng phôi. 1.5.2. Công thức đổi biến. Một phép vi đồng phôi cũng được gọi là một phép đổi biến. 1.5.5. Định lí (Công thức đổi biến). Cho A và B là hai tập mở của Rn và ϕ : A → B là một vi đồng phôi. Cho f : B → R khả tích. Khi đó Z Z f = ( f ◦ ϕ)|det ϕ0|. B A Do 1.5.4, ta có một dạng tương đương của công thức này, thuận tiện hơn trong tính toán ([Spi65, tr. 67]): 1.5.6. Định lí. Nếu A là tập mở trong Rn, ϕ : A → Rn là một song ánh khả vi liên tục sao cho det Jϕ(x) 6= 0 với mọi x ∈ A, và f : ϕ(A) → R khả tích, thì Z Z (1.5.1) f = ( f ◦ ϕ)| det Jϕ|. ϕ(A) A ϕ 1.5.7. Ghi chú. Trong trường hợp 2 chiều, với phép đổi biến (u, v) 7→ (x, y) người ta thường dùng kí hiệu ! ∂(x, y) ∂x ∂x = det J = det ∂u ∂v . ∂(u, v) ϕ ∂y ∂y ∂u ∂v 1.5.8. Ví dụ. Khi n = 1 Công thức đổi biến cho phương pháp đổi biến tích phân quen thuộc trong Giải tích 1. Thực vậy, cho x = ϕ(t) với t ∈ [a, b], ở đây ϕ liên tục và ϕ : (a, b) → ϕ((a, b)) là một vi đồng phôi. Cho f khả tích trên ϕ([a, b]). Theo Công thức đổi biến: Z Z f (x) dx = f (ϕ(t))|ϕ0(t)| dt ϕ((a,b)) (a,b) Do ϕ0(t) 6= 0, ∀t ∈ (a, b) hoặc ϕ0(t) > 0, ∀t ∈ (a, b) hoặc ϕ0(t) < 0, ∀t ∈ (a, b). Vì vậy hoặc ϕ là hàm tăng hoặc ϕ là hàm giảm trên [a, b].
1.5. Công thức đổi biến 25 Nếu ϕ là hàm tăng thì ϕ([a, b]) = [ϕ(a), ϕ(b)]. Do đó Z b Z Z f (ϕ(t))ϕ0(t) dt = f (ϕ(t))ϕ0(t) dt = f (ϕ(t))ϕ0(t) dt a [a,b] (a,b) Z Z = f (x) dx = f (x) dx (ϕ(a),ϕ(b)) [ϕ(a),ϕ(b)] Z ϕ(b) = f (x) dx ϕ(a) Nếu ϕ là hàm giảm thì ϕ([a, b]) = [ϕ(b), ϕ(a)] và |ϕ0(t)| = −ϕ0(t). Do đó Z b Z f (ϕ(t))ϕ0(t) dt = − f (ϕ(t))|ϕ0(t)| dt a (a,b) Z = − f (x) dx (ϕ(b),ϕ(a)) Z ϕ(a) Z ϕ(b) = − f (x) dx = f (x) dx ϕ(b) ϕ(a) Trong cả hai trường hợp ta được công thức đổi biến cho tích phân hàm một biến: Z b Z ϕ(b) f (ϕ(t))ϕ0(t) dt = f (x) dx a ϕ(a) Nếu ta giả sử hàm f liên tục thì công thức trên được chứng minh trong Giải tích 1 bằng cách dụng Định lí cơ bản của Vi Tích phân (Newton-Leibniz) và Qui tắc đạo hàm hàm hợp. Thực ra trong trường hợp này ta chỉ cần hàm ϕ trơn là đủ. 1.5.9. Ví dụ. Giả sử n = 2, f ≡ 1, và A = [0, 1] × [0, 1]. Viết e1 = (1, 0), e2 = (0, 1). 2 Gọi ϕ là ánh xạ tuyến tính trên R với ϕ(e1) = v1 = (v1,1, v1,2) và ϕ(e2) = v2 = (v2,1, v2,2). Nếu (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] thì ϕ(x, y) = ϕ(xe1 + ye2) = xϕ(e1) + yϕ(e2) = xv1 + yv2. Vì thế ϕ(A) là một hình bình hành (parallelogram) với hai cạnh là hai vectơ v1 và v2. Trong trường hợp này Jacobi của ϕ tại điểm bất kì chính là ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính ϕ trong cơ sở chuẩn tắc, tức là ma trận tạo bởi các vectơ cột v1 và v2. Công thức đổi biến cho: Z ! v1,1 v2,1 |ϕ(A)| = |det(v1, v2)| = |det(v1, v2)| = |det | 2 [0,1] v1,2 v2,2 Như vậy trong trường hợp này công thức đổi biến nói rằng diện tích của hình bình hành sinh bởi hai vectơ trong R2 chính là giá trị tuyệt đối của định thức của ma trận tạo bởi các tọa độ của hai vectơ. Xem Hình 1.5.1.
26 1. Tích phân bội e2 ϕ v2 α e1 v1 HÌNH 1.5.1. Diện tích của hình bình hành sinh bởi v1 và v2 là |det(v1, v2)|. Có thể chứng minh trực tiếp kết quả trên một cách dễ dàng bằng cách sơ cấp. Diện tích của hình bình hành sinh bởi v1 và v2 là q q 2 2 2 2 2 2 |v1||v2| sin α = |v1| |v2| (1 − cos α) = |v1| |v2| − hv1, v2i q 2 2 2 2 2 = (v1,1 + v1,2)(v2,1 + v2,2) − (v1,1v2,1 + v1,2v2,2) q 2 = (v1,1v2,2 − v2,1v1,2) = |det(v1, v2)| Lí luận trên áp dụng cho số chiều bất kì cho ta một kết quả đáng chú ý, giải thích ý nghĩa hình học của định thức: Giá trị tuyệt đối của định thức của một ma trận là thể tích của hình bình hành sinh bởi các vectơ cột của ma trận. Bản thân dấu của định thức cũng có thể được giải thích, nhưng ta tạm gác việc này lại. 1.5.3. Giải thích Công thức đổi biến. Chúng ta sẽ không chứng minh Công thức đổi biến vì một chứng minh sẽ khó và dài. Các quyển sách [Lan97], [Rud76], [Spi65], [Mun91] có chứng minh công thức này. Một dạng tổng quát hơn của công thức này sẽ được chứng minh trong môn học Độ đo và Tích phân, thông qua tích phân Lebesgue. Dưới đây chúng ta đưa ra một giải thích, tuy chưa phải là một chứng minh, nhưng sẽ giúp ta hiểu rõ hơn công thức. Xem thêm [Ste08, tr. 1012–1017]. Để cho đơn giản, xét trường hợp A là một hình chữ nhật. Ánh xạ ϕ mang miền A trên mặt phẳng (x, y) sang miền ϕ(A) trên mặt phẳng (u, v). Xét một phép chia A thành những hình chữ nhật con. Ta xem tác động của ϕ lên một hình chữ nhật con đại diện (x0, x0 + ∆x) × (y0, y0 + ∆y), có diện tích ∆x∆y. Hàm trơn ϕ mang mỗi cạnh của hình chữ nhật này thành một đoạn cong trên mặt phẳng (u, v), do đó ta được một "hình chữ nhật cong" trên mặt phẳng (u, v) với một đỉnh là điểm ϕ(x0, y0). Bây giờ ta tính diện tích hình chữ nhật cong này bằng cách xấp xỉ tuyến tính. Đoạn cong ϕ(x0, x0 + ∆x) sẽ được xấp xỉ tuyến tính bằng đoạn thẳng tiếp tuyến tại ∂ϕ ϕ(x0, y0). Vì vectơ tiếp tuyến chính là ∂x (x0, y0) nên đoạn tiếp tuyến này cho bởi ∂ϕ vectơ ∂x (x0, y0)∆x. Tương tự, đoạn cong ϕ(y0, y0 + ∆y) được xấp xỉ bởi vectơ tiếp
1.5. Công thức đổi biến 27 y v ϕ(A) A ϕ xu HÌNH 1.5.2. Minh họa công thức đổi biến. ∂ϕ xúc ∂y (x0, y0)∆y. Vậy hình chữ nhật cong được xấp xỉ bởi hình bình hành sinh bởi hai vectơ tiếp xúc trên. Diện tích của hình bình hành này là trị tuyệt đối của định thức của ma trận các tọa độ của hai vectơ này, ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ |det (x , y )∆x, (x , y )∆y | = |det (x , y ), (x , y ) |∆x∆y ∂x 0 0 ∂y 0 0 ∂x 0 0 ∂y 0 0 = |det Jϕ(x0, y0)|∆x∆y Đây là lí do của sự xuất hiện của đại lượng trị tuyệt đối của Jacobi của phép đổi tọa độ trong công thức đổi biến. 1.5.4. Tọa độ cực. Một điểm P = (x, y) trên mặt phẳng R2 trừ điểm gốc tọa độ (0, 0) có thể được miêu tả một cách duy nhất bằng hai số thực (r, θ), với r = p −→ x2 + y2 > 0 và 0 ≤ θ 0, vì vậy ϕ là một phép vi đồng phôi. 1.5.10. Ví dụ. Gọi D là hình tròn x2 + y2 ≤ R2. Để áp dụng công thức đổi biến ta dùng phép vi đồng phôi ϕ từ hình chữ nhật mở (0, R) × (0, 2π) sang miền D0 là D bỏ đi đường tròn biên và tia Ox. Giả sử f khả tích trên D0. Tập bị bỏ đi có diện tích không, do đó nó không ảnh hưởng đến tích phân, theo 1.4.30, nên: ZZ ZZ ZZ f (x, y) dA = f (x, y) dA = f (r cos θ, r sin θ)r dA D D0 (0,R)×(0,2π) ZZ = f (r cos θ, r sin θ)r dA [0,R]×[0,2π] RR x−2y 1.5.11. Ví dụ. Tính R 3x−y dA trong đó R là hình bình hành bao bởi các đường thẳng x − 2y = 0, x − 2y = 4, 3x − y = 1, và 3x − y = 8.
28 1. Tích phân bội Đặt u = x − 2y và v = 3x − y, và gọi biến đổi (x, y) 7→ (u, v) là ϕ−1. Miền bao bởi các đường thẳng u = 0, u = 4, v = 1, và v = 8 là hình chữ nhật [0, 4] × [1, 8] trong mặt phẳng (u, v), gọi là D. Như ta đã thấy, có thể kiểm tra dễ dàng rằng ánh xạ tuyến tính ϕ−1 mang hình bình hành R thành hình chữ nhật D. Tổng quát hơn ta có một sự kiện hữu ích trong các tính toán ở phần này: một ánh xạ tuyến tính mang một đa giác lồi thành một đa giác lồi với đỉnh là ảnh của các đỉnh của đa giác ban đầu. y 1 ϕ− v ϕ x D R u Vì ϕ−1 là một ánh xạ tuyến tính, đạo hàm của nó là chính nó, được biễu diễn bởi ma trận ∂u ∂u ! ! ∂x ∂y 1 −2 − ( ) = = Jϕ 1 x, y ∂v ∂v ∂x ∂y 3 −1 −1 Vì det Jϕ−1 (x, y) = 5 6= 0 nên ϕ khả nghịch. Gọi ϕ là ánh xạ ngược. Khi đó ϕ là phép đổi tọa độ mang miền D thành miền R. Chính xác hơn, ϕ là phép vi đồng phôi từ phần trong của D sang phần trong của R. Biên của D và R không ảnh hưởng đến tích phân vì chúng có diện tích không và ta đang lấy tích phân hàm liên tục. Ta không cần phải tìm công thức của ϕ để thực hiện các tính toán tiếp theo. −1 −1 Vì ϕ ◦ ϕ = id nên ta có Jϕ(u, v) = Jϕ−1 (x, y) . Vì vậy: 1 1 det Jϕ(u, v) = = det Jϕ−1 (x, y) 5 Cuối cùng công thức đổi biến cho ta: ZZ x − 2y ZZ u dA = |det Jϕ(u, v)| dA R 3x − y D v 1 ZZ u 1 Z 4 Z 8 u 8 = dA = dv du = ln 8. 5 D v 5 0 1 v 5 1.5.5. Ứng dụng: Tính R ∞ −x2 . −∞ e dx Đặt B(R) là quả cầu tâm 0 bán kính R, tức B(R) = {(x, y) | x2 + y2 ≤ R2}. Gọi I(R) là hình vuông tâm 0 với chiều dài cạnh 2R, tức I(R) = [−R, R] × [−R, R]. Ta có ZZ 2 2 ZZ 2 2 e−(x +y ) dA = re−r dA = π(1 − e−R ) B(R) [0,R]×[0,2π]
1.5. Công thức đổi biến 29 Vì vậy ZZ 2 2 lim e−(x +y ) dA = π R→∞ B(R) Mặt khác ZZ 2 2 Z R 2 Z R 2 Z R 2 2 e−(x +y ) dA = e−x dx · e−y dy = e−x dx I(R) −R −R −R Vì vậy ZZ 2 2 Z 2 2 Z ∞ 2 2 lim e−(x +y ) dA = lim e−x dx = e−x dx R→∞ I(R) R→∞ −∞ √ 3 Vì B(R) ⊂ I(R) ⊂ B( 2 R) nên ZZ ZZ ZZ −(x2+y2) −(x2+y2) −(x2+y2) e dA ≤ e dA ≤ √ e dA 3 B(R) I(R) B( 2 R) Do đó ZZ 2 2 ZZ 2 2 lim e−(x +y ) dA = lim e−(x +y ) dA = π R→∞ I(R) R→∞ B(R) Cuối cùng ta được công thức nổi tiếng: Z ∞ 2 √ e−x dx = π. −∞ Công thức này được dùng rộng rãi trong môn Xác suất. Bài tập. 1.5.12. Tính tích phân ZZ x2 dA D trong đó D là miền bao bởi ellipse 3x2 + 4y2 = 8. 1.5.13. Tính diện tích miền bao bởi đường cong hình trái tim (cardioid) r = 1 + cos(θ). 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1.0 −1.2 1.5.14. Tính tích phân Z 1 Z 1 sin x dx dy. 0 y x 1.5.15. Tính tích phân √ Z 1 Z 1−x2 x2(x2 + y2)2dy dx. 0 0
30 1. Tích phân bội 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5.16. Tính diện tích của miền được bao bởi đường cong r = sin(4θ). 1.5.17. Tính tích phân ZZ (x2 + 2xy) dA R trong đó R là hình bình hành bao bởi các đường thẳng y = 2x + 3, y = 2x + 1, y = 5 − x, y = 2 − x. 1.5.18. Tính tích phân ZZ (x + y)2 dA R trong đó R là hình bình hành bao bởi các đường thẳng y = −x, y = −x + 1, y = 2x, y = 2x − 3. 1.5.19. Tính tích phân ZZZ cos(x2 + y2 + z2)3/2 dV E trong đó E là quả cầu đơn vị x2 + y2 + z2 ≤ 1. 1.5.20. Tìm thể tích của khối E bị chặn bởi nón z2 = x2 + y2, chặn dưới bởi mặt phẳng xOy, và chặn trên bởi mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4. 1.5.21. Tính tích phân ZZ (x2 + y2)3/2 dA D trong đó D là miền trong góc phần tư thứ nhất bao bởi đường tròn x2 + y2 = 9, đường √ thẳng y = 0 và y = 3x. 1.5.22. Tìm thể tích của khối bị chặn trên bởi mặt cầu x2 + y2 + z2 = 9 và bị chặn dưới bởi mặt nón z2 = 3x2 + 3y2. 1.5.23 (Tọa độ cầu). Gọi B0n(R) là quả cầu đóng trong Rn tâm ở 0 với bán kính R, B0n(R) = n 2 2 2 2 {(x1, x2, , xn) ∈ R | x1 + x2 + ··· + xn ≤ R }.
1.5. Công thức đổi biến 31 Tọa đồ cầu trong Rn được cho bởi: x1 =r cos ϕ1, 0 < r < R, 0 < ϕ1 < π x2 =r sin ϕ1 cos ϕ2, 0 < ϕ2 < π . . xi =r sin ϕ1 sin ϕ2 ··· sin ϕi−1 cos ϕi, 0 < ϕi < π . . xn−1 =r sin ϕ1 sin ϕ2 ··· sin ϕn−2 cos ϕn−1, 0 < ϕn−1 < 2π xn =r sin ϕ1 sin ϕ2 ··· sin ϕn−2 sin ϕn−1. Hãy dùng tọa độ cầu để kiểm công thức sau cho thể tích của quả cầu:  2(2π)(n−1)/2  Rn, nếu n lẻ vol(B0n(R)) = 1 · 3 ··· n (2π)n/2  Rn, nếu n chẳn. 2 · 4 ··· n Một cách khác để tính thể tích quả cầu có trong [Áng97]. 1.5.24. Mặt xuyến (torus) có thể được miêu tả như là mặt tròn xoay nhận được bằng cách xoay quanh trục z một đường tròn trên mặt phẳng Oyz không cắt trục z. HÌNH 1.5.3. Mặt xuyến. Có thể tìm được phương trình dạng ẩn của mặt xuyến: q ( x2 + y2 − b)2 + z2 = a2, 0 < a < b. và ở dạng tham số: ((b + a cos θ) cos φ, (b + a cos θ) sin φ, a sin θ), 0 ≤ φ, θ ≤ 2π. Hãy tính thể tích của khối bao bởi mặt xuyến. 1.5.25 (Phép dời hình bảo toàn thể tích). Một phép dời hình, còn gọi là một phép đẳng cấu hình học (isometry) trong Rn được định nghĩa là một song ánh ϕ từ Rn vào chính nó bảo toàn khoảng cách, tức |ϕ(x) − ϕ(y)| = |x − y| với mọi x, y ∈ Rn. Ví dụ, trong mặt phẳng một phép dời hình bất kì là một hợp của các phép tịnh tiến, phép quay, và phép lấy đối xứng ([Sti92, tr. 13]). Có thể chứng minh rằng ([Rat94, tr. 13]) bất kì một phép dời hình nào cũng có dạng: ϕ(x) = A · x + b
32 1. Tích phân bội trong đó A là một ma trận n × n trực giao (orthogonal), và b ∈ Rn. Một ma trận n × n là trực giao nếu các vectơ cột của nó tạo thành một cơ sở trực chuẩn của Rn. Nói cách khác ma trận A là trực giao nếu AT A = I trong đó AT là ma trận chuyển vị của A. Dùng công thức đổi biến, hãy chứng tỏ thể tích của một hình không thay đổi qua một phép dời hình. 1.5.26. 4 Vẽ mặt cầu mấp mô cho bởi phương trình trong tọa độ cầu ρ = 1 + sin2(3θ) sin4(5φ). Tính thể tích của khối bao bởi mặt này. 4Một số bài tập có thể cần tới máy tính. Có thể dùng phần mềm miễn phí Maxima ( để làm.
Chương 2 Tích phân đường Trong chương trước chúng ta đã khảo sát độ đo của miền n-chiều trong không gian n-chiều và tích phân trên những miền đó. Tuy nhiên những câu hỏi chẳng hạn như về chu vi của đường tròn, diện tích của mặt cầu, hay nói chung là độ đo của một miền k-chiều trong không gian n-chiều với k < n thì chúng ta chưa có câu trả lời. Chương tích phân đường và chương tích phân mặt sẽ trả lời những câu hỏi này cho trường hợp đường và mặt. 2.1. Tích phân đường Đường. Khi nói tới một "đường" ta thường nghĩ tới một "con đường", tức là một tập hợp điểm, ví dụ một đường thẳng hay một đường tròn. Mục đích của chúng ta trong chương này là thực hiện các đo đạc trên đường, chẳng hạn như đo chiều dài của đường. Các đo đạc đó sẽ được thực hiện qua một chuyến đi trên con đường. Tuy nhiên ta có thể đi trên một con đường theo nhiều cách khác nhau, và ta chưa có căn cứ để cho rằng hai cách đi khác nhau trên cùng một con đường sẽ cho ra cùng một số đo. Do đó trước mắt chúng ta sẽ làm việc với từng cách đi cụ thể trên con đường. Một đường đi (path) là một ánh xạ từ một khoảng đóng [a, b] vào Rn (tương ứng mỗi thời điểm với một vị trí). Tập hợp các điểm mà đường đi đã đi qua được gọi là vết của đường đi (trace) (đây là "con đường" như đã bàn ở trên). Với đường đi r : [a, b] → Rn thì vết của r tập ảnh r([a, b]). Đường đi r : [a, b] → Rn được gọi là: • đóng (closed) nếu r(a) = r(b), tức là điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. • đơn (simple) nếu nó không đi qua điểm nào hai lần (không có điểm tự cắt). Chính xác hơn, nếu r không phải là đường đóng thì nó được gọi là đơn nếu r là đơn ánh trên [a, b]; nếu r là đường đóng thì nó được gọi là đơn nếu r là đơn ánh trên [a, b). • liên tục nếu r là hàm liên tục trên [a, b]. 2.1.1. Định nghĩa (Trơn). Trong tài liệu này chúng ta sẽ nói đến tính trơn của hàm tại những điểm không phải là điểm trong của miền xác định của hàm. Nếu x ∈ D là một điểm biên của miền xác định D ⊂ Rn của hàm f thì ta nói f trơn tại x nếu có một lân cận mở của x trong Rn trên đó f có thể được mở rộng thành một hàm trơn. 33
34 2. Tích phân đường Có thể chứng minh được rằng f trơn trên D đồng nghĩa với việc f có thể được mở rộng thành một hàm trơn trên một tập mở chứa D. 1 Tất nhiên định nghĩa này trùng với định nghĩa đã biết nếu D vốn là tập mở. 2.1.2. Ghi chú. Có thể thấy rằng trong trường hợp D là bao đóng của một tập mở (chẳng hạn nếu D là một miền đơn giản) nếu f trơn trên D thì các đạo hàm riêng của f được xác định và liên tục trên biên của D. Chẳng hạn f : [a, b] → R là trơn nếu f là một hàm trơn trên một khoảng (c, d) chứa [a, b], điều này đồng nghĩa với việc f có các đạo hàm trái tại a và các đạo hàm phải tại b. Đường đi r : [a, b] → Rn được gọi là: • trơn (smooth) nếu r là hàm trơn trên [a, b]. • chính qui (regular) nếu r trơn trên [a, b] và vận tốc r0(t) luôn khác không. 2.1.3. Ghi chú. Trong quyển sách của Stewart [Ste08, tr. 1034] thuật ngữ đường trơn thực ra chính là thuật ngữ đường chính qui của chúng ta. Nếu r là một đường đi trơn thì đạo hàm r0(t) có ý nghĩa vật lí là vận tốc chuyển động (velocity) tại thời điểm t. Vận tốc luôn "tiếp xúc" với đường. Độ lớn của vận tốc |r0(t)| là tốc độ chuyển động (speed) tại thời điểm t. Chiều dài của đường đi. Cho đường đi r : [a, b] → Rn. Xét một phân hoạch a = t0 < t1 < ··· < tn = b của [a, b]. Trên mỗi khoảng con [ti−1, ti], 1 ≤ i ≤ n, ta xấp 0 xỉ tuyến tính đường đi: r(t) ≈ r (ti−1)(t − ti−1). Nói cách khác, ta xấp xỉ chuyển 0 động bằng một chuyển động đều với vận tốc không đổi r (ti−1). Quãng đường 0 đi được trong khoảng thời gian từ ti−1 tới ti được xấp xỉ bởi vectơ r (ti−1)∆ti, với 0 chiều dài là |r (ti−1)∆ti|. Như vậy "chiều dài" của đường đi được xấp xỉ bởi n 0 ∑|r (ti−1)|∆ti. i=1 Đây chính là tổng Riemann của hàm |r0(t)| trên khoảng [a, b]. Vậy ta đưa ra định nghĩa sau: 2.1.4. Định nghĩa. Chiều dài của đường đi r : [a, b] → Rn được định nghĩa là Z b |r0(t)| dt. a Định nghĩa này chứa công thức đã quen biết: quãng đường đi được = tốc độ × thời gian. 2.1.5. Ví dụ. Giả sử một vật di chuyển trên một đường với tốc độ hằng v, trong khoảng thời gian từ a tới b. Khi đó quãng đường vật đã đi được có chiều dài là R b a v dt = v(b − a), đúng như ta chờ đợi. 1Dùng "phân hoạch đơn vị".
2.1. Tích phân đường 35 Tích phân đường loại một. Cho đường đi r : [a, b] → Rn. Giả sử f là một hàm thực xác định trên vết của đường, tức f : r([a, b]) → R. Ta muốn tính ”tổng giá trị” của f , tức ”tích phân” của f . Ta tiến hành một cách tương tự như đã làm khi định nghĩa chiều dài đường đi. Xét một phân hoạch a = t0 < t1 < ··· < tn = b. Trên khoảng con [ti−1, ti] ta xấp xỉ đường đi bởi đường đi với vận tốc không đổi (tức xấp xỉ tuyến tính) 0 r(t) ≈ r (ti−1)(t − ti−1), và xấp xỉ hàm f bởi hàm hằng. Do đó tổng giá trị của f 0 trên phần đường từ r(ti−1) đến r(ti) được xấp xỉ bằng f (r(ti−1))|r (ti−1)|∆ti. Vậy tổng giá trị của f trên đường được xấp xỉ bằng n 0 ∑ f (r(ti−1))|r (ti−1)|∆ti. i=1 Vậy ta định nghĩa: 2.1.6. Định nghĩa. Cho f là một hàm xác định trên vết của đường r : [a, b] → Rn. R Tích phân của f trên r được kí hiệu là r f ds và được định nghĩa là: Z Z b f ds = f (r(t))|r0(t)| dt. r a R R b 0 2.1.7. Ví dụ. Nếu f ≡ 1 thì r 1 ds = a |r (t)| dt là chiều dài của đường đi r. Nếu r chỉ khả vi từng khúc, tức là có các số a = t0 < t1 < t2 < ··· < tn = b sao cho trên mỗi khoảng [ti−1, ti] ánh xạ r là khả vi, thì gọi ri là hạn chế của đường r lên khoảng [ti−1, ti], ta định nghĩa. Z n Z f ds = ∑ f ds. r i=1 ri Tích phân đường loại hai. Cho đường đi r : [a, b] → Rn. Giả sử F là một trường vectơ xác định trên vết của r. Ta sẽ tính tổng thành phần tiếp tuyến của F dọc theo r. 2.1.8. Ví dụ. Nếu một vật di chuyển theo một đường dưới tác động của một trường lực thì tổng thành phần cùng phương chuyển động, tức thành phần tiếp tuyến, được gọi là công (work) của trường lực. Xét một phân hoạch a = t0 < t1 < ··· < tn = b của [a, b]. Trên mỗi khoảng con [ti−1, ti], 1 ≤ i ≤ n, ta xấp xỉ đường bằng xấp xỉ tuyến tính: r(t) ≈ 0 r (ti−1)(t − ti−1). Trên đó trường F có thể được xấp xỉ bằng trường hằng, đại diện bởi vectơ F(r(ti−1)). Tổng của thành phần tiếp tuyến của trường F trên phần 0 đường từ r(ti−1) đến r(ti) được xấp xỉ bằng hF(r(ti−1)), r (ti−1)∆tii. Vậy tổng thành phần tiếp tuyến của F dọc theo r được xấp xỉ bằng n 0 ∑hF(r(ti−1)), r (ti−1)i∆ti. i=1 Vậy ta định nghĩa:
36 2. Tích phân đường 2.1.9. Định nghĩa. Cho F là một trường vectơ trên vết của một đường đi r : [a, b] → n R R . Tích phân của F trên r được kí hiệu là r F · dr và được định nghĩa là: Z Z b F · dr = F(r(t)) · r0(t) dt. r a Định nghĩa này được mở rộng cho đường khả vi từng khúc theo cách như tích phân đường loại một. 2.1.10. Ghi chú. Có một số cách kí hiệu khác cho tích phân đường loại hai, chẳng R R R ~ hạn r F · d~r, r F · d~s, r F · dl. 2.1.11. Ví dụ. Xét trường hơp hai chiều, n = 2. Viết F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) và r(t) = (x(t), y(t)). Khi đó Z Z b q f ds = f ((x(t), y(t)) x0(t)2 + y0(t)2 dt. r a Z Z b F · dr = [P(x(t), y(t))x0(t) + Q(x(t), y(t))y0(t)] dt. r a Vì công thức trên mà ta đưa ra hai tích phân mới: Z Z b P(x, y) dx = P(x(t), y(t))x0(t) dt. r a Z Z b Q(x, y) dy = Q(x(t), y(t))y0(t) dt. r a Bây giờ ta có thể viết Z Z Z F · dr = P(x, y) dx + Q(x, y) dy. r r r Đổi biến và sự phụ thuộc vào đường đi. Như đã bàn ở đầu chương, ta rất quan tâm tới việc các kết quả đo đạc có thay đổi hay không nếu ta đi theo những đường đi khác nhau trên cùng một con đường. 1 2.1.12. Ví dụ. Hai đường đi α(t) = t, t ∈ [0, 1] và β(t) = 2t, t ∈ [0, 2 ] có cùng vết là khoảng [0, 1]. Chiều dài của hai đường này có bằng nhau? Cho ϕ : [c, d] → [a, b] là một phép vi đồng phôi. Ta cũng gọi một phép vi đồng phôi như vậy là một phép đổi biến. Nếu ϕ0(t) > 0 với mọi t ∈ [c, d] ta nói ϕ là một vi đồng phôi bảo toàn định hướng (orientation-preserving diffeomorphism) . Nếu ϕ0(t) < 0 với mọi t ∈ [c, d] ta nói ϕ là một vi đồng phôi đảo ngược định hướng (orientation-reversing diffeo- morphism) Ta có kết quả đơn giản sau đây về sự bất biến của tích phân đường qua một phép đổi biến. 2.1.13. Định lí (Đổi biến). Cho f là một hàm thực và F là một trường vectơ xác định trên vết của đường r : [a, b] → Rn. Cho ϕ : [c, d] → [a, b] là một phép đổi biến.
2.1. Tích phân đường 37 (1) Tích phân đường loại một không thay đổi qua phép đổi biến: Z Z f ds = f ds. r r◦ϕ (2) Tích phân đường loại hai không thay đổi qua phép đổi biến bảo toàn định hướng : Z Z F · dr = F · dr. r r◦ϕ (3) Tích phân đường loại hai đổi dấu qua phép đổi biến đảo ngược định hướng : Z Z F · dr = − F · dr. r r◦ϕ CHỨNG MINH. Xét trường hợp ϕ đảo ngược định hướng. Khi đó ϕ(c) = b and ϕ(d) = a. Theo Công thức đổi biến của tích phân, ta có: Z Z b Z c f ds = f (r(t))|r0(t)| dt = f (r(ϕ(t)))|r0(ϕ(t))|ϕ0(t) dt r a d Z c = − f (r(ϕ(t)))|r0(ϕ(t))ϕ0(t)| dt d Z d = f (r(ϕ(t)))|r(ϕ(t))0| dt c Z = f ds. r◦ϕ Trong khi đó Z Z b Z c F · dr = F(r(t)) · r0(t) dt = [F(r(ϕ(t))) · r0(ϕ(t))]ϕ0(t) dt r a d Z c = [F(r(ϕ(t))) · r(ϕ(t))0 dt d Z d = − [F(r(ϕ(t))) · r(ϕ(t))0 dt c Z = − F · dr. r◦ϕ Trường hợp phép đổi biến bảo toàn định hướng là tương tự. 2.1.14. Ví dụ. Cả hai loại tích phân đường không thay đổi dưới một phép tịnh tiến của biến thời gian t 7→ t + a với a ∈ R. 2.1.15. Ví dụ. Với đường đi r(t), t ∈ [a, b] thì đường r(a + b − t), t ∈ [a, b], khởi đầu ở r(b) và kết thúc ở r(a), được gọi là đường nghịch đảo (inverse) của đường r, được kí hiệu là −r. Ta nói đường −r có định hướng trái với định hướng của đường r. Định lí 2.1.13 nói tích phân đường loại một không thay đổi nếu đảo ngược định hướng của đường, trong khi đó tích phân đường loại hai bị đổi dấu. 2.1.16. Định lí. Giả sử α : [a, b] → Rn và β : [c, d] → Rn là hai đường đi đơn chính qui với cùng vết. (a) Nếu α và β không đóng thì β−1 ◦ α : (a, b) → (c, d) là một vi đồng phôi.
38 2. Tích phân đường (b) Nếu α và β đóng, đặt α(a) = α(b) = β(t1) và β(c) = β(d) = α(s1), thì −1 β ◦ α : (a, b) \ {s1} → (c, d) \ {t1} là một vi đồng phôi. Nếu có thêm giả thiết α và β có cùng điểm đầu và điểm cuối, tức α(a) = α(b) = β(c) = β(d), thì β−1 ◦ α là một vi đồng phôi từ (a, b) lên (c, d).2 C a α β d β−1 ◦ α b c Chú ý rằng α = β ◦ (β−1 ◦ α), ta thấy hai đường đi đơn chính qui với cùng vết khác biệt bởi một vi đồng phôi, tức một phép đổi biến. 2.1.17. Định nghĩa (Định hướng). Ta nói hai đường đi đơn chính qui có cùng vết α và β là có cùng định hướng nếu phép vi đồng phôi β−1 ◦ α trong Định lí 2.1.16 có đạo hàm luôn dương. Ngược lại nếu β−1 ◦ α có đạo hàm luôn âm thì ta nói α và β là trái định hướng. Cho C là vết của một đường đi đơn chính qui α(t). Tập hợp tất cả các đường đi đơn chính qui trên C được chia thành hai lớp: lớp gồm những đường cùng định hướng với α và lớp gồm những đường trái định hướng với α. Ta gọi mỗi lớp là một hướng của C, và nói C được định hướng nếu một lớp được chọn để ứng với C. Sau đây là kết quả quan trọng nhất của phần này. 2.1.18. Định lí (Tích phân trên đường cong). (1) Tích phân đường loại một dọc theo hai đường đi đơn chính qui có cùng vết thì bằng nhau. (2) Tích phân đường loại hai dọc theo hai đường đi đơn chính qui có cùng vết và cùng định hướng thì bằng nhau. (3) Tích phân đường loại hai dọc theo hai đường đi đơn chính qui có cùng vết nhưng trái định hướng thì đối nhau. Định lí 2.1.16 sẽ lập tức cho ta Định lí 2.1.18, nhờ kết quả về bất biến của tích phân đường qua sự đổi biến, Định lí 2.1.13. Như vậy ta có thể nói đến tích phân đường loại một (chẳng hạn chiều dài) trên một tập điểm, ví dụ như một đường tròn, một đồ thị, . . . nếu tập điểm ấy là vết của một đường đi đơn chính qui nào đó. Trong trường hợp này ta nói vết đó là một đường cong (curve). Để tính tích phân trên một đường cong ta có thể chọn một đường đi đơn chính qui bất kì để thực hiện tính toán. Đối với tích phân đường 2Ngoài ra nếu α là đường đơn không đóng liên tục và β là đường liên tục có cùng vết với α thì β cũng phải là đường không đóng. Điều này đưa về việc một đường tròn thì không thể đồng phôi với một đoạn thẳng, một kết quả trong môn Tôpô.
2.1. Tích phân đường 39 loại hai thì ta được cho thêm một "định hướng" trên đường cong và ta có thể chọn một đường đi đơn chính qui có cùng định hướng bất kì để tính. 2.1.19. Ví dụ. Giải sử hàm thực f xác định trên khoảng [a, b]. Gọi γ là một đường chính qui bất kì đi từ a tới b. Vì khoảng [a, b] cũng là vết của đường α(t) = t với t ∈ [a, b] nên Z Z Z b Z b f ds = f ds = f (α(t))α0(t) dt = f (t) dt. γ α a a Đây chính là tích phân của hàm f trên khoảng [a, b]. Vậy tích phân của hàm thực trên khoảng là một trường hợp riêng của tích phân đường loại một. * Chứng minh Định lí 2.1.16. Chứng minh của Định lí 2.1.16 chứa những kĩ thuật rất hữu ích. Ta sẽ cần một bổ đề nhỏ về tôpô: 2.1.20. Bổ đề. Giả sử γ : [a, b] → Rn là một đường đơn liên tục và gọi C = γ([a, b]) là vết của nó. Khi đó γ mang một tập mở trên khoảng (a, b) thành một tập mở trên C. CHỨNG MINH. Giả sử V là một tập con mở của (a, b). Khi đó V cũng mở trên [a, b]. Vì [a, b] \ V là một tập con đóng của không gian compắc [a, b] nên nó cũng compắc. Suy ra tập ảnh γ([a, b] \ V) cũng compắc, do γ liên tục. Vì thế γ([a, b] \ V) đóng trong Rn, và do đó đóng trong C. Vì đường γ là đơn nên γ hạn chế lại trên (a, b) là một song ánh, từ đó có thể kiểm ra được γ([a, b] \ V) = C \ γ(V). Suy ra γ(V) là tập con mở của C. 2.1.21. Ghi chú. Nếu thêm giả thiết γ không đóng thì ta thấy ngay chứng minh trên vẫn đúng cho mọi tập mở trên [a, b]. Khi đó kết quả trên có thể được hiểu theo cách là ánh xạ ngược γ−1 cũng liên tục. Khi đó ta nói γ là một phép đồng phôi (homeomorphism). Vậy vết của một đường đi đơn không đóng liên tục thì đồng phôi với một khoảng đóng. CHỨNG MINH 2.1.16. Trong cả hai trường hợp của định lí β−1 ◦ α đã là một song ánh liên tục (xem thêm 2.1.25). Vì vai trò của hai đường đi là như nhau, nên ta chỉ cần chứng minh β−1 ◦ α là hàm trơn. −1 Cho s0 ∈ (a, b) và s0 6= s1 trong trường hợp đường đóng. Đặt t0 = β (α(s0)) ∈ 0 0 0 0 (c, d). Ta viết β(t) = (x1(t), x2(t), , xn(t)). Theo giả thiết β (t0) = (x1(t0), x2(t0), , xn(t0)) 6= 0 0. Do đó có chỉ số i sao cho xi(t0) 6= 0. Áp dụng Định lí hàm ngược cho hàm xi, có một lân cận mở V của t0 trên đó xi là một vi đồng phôi. Do đó xi có hàm ngược trơn ϕ : xi(V) → V sao cho ϕ(xi) = t. Suy ra với t ∈ V thì β(t) = (x1(ϕ(xi)), , xi−1(ϕ(xi)), xi, xi+1(ϕ(xi)), , xn(ϕ(xi))). Như vậy β(V) là đồ thị của một hàm theo biến xi. Trên β(V) thì ánh xạ ngược β−1 trùng với ánh xạ hợp
40 2. Tích phân đường Rn xi β(V) C ϕ c β V d ϕ β(V) → xi(V) → V (x1, x2, , xn) 7→ xi 7→ t. Bản thân ánh xạ này là hạn chế của ánh xạ cho bởi cùng công thức xác định trên n tập mở R × · · · × R × xi(V) × R · · · × R ⊂ R , một ánh xạ trơn. Theo Bổ đề 2.1.20, β(V) là một lân cận mở của β(t0) trên C = α([a, b]) = β([c, d]). Chọn U là khoảng mở của R của s0 sao cho α(U) ⊂ β(V). Suy ra ánh xạ −1 −1 β ◦ α trên U là hợp của những ánh xạ trơn, do đó β ◦ α trơn tại s0. Liên hệ giữa hai loại tích phân đường. Nếu α và β là hai đường đi đơn chính qui cùng định hướng ứng với đường cong C thì theo 2.1.16 ta có α(t) = β(ϕ(t)) trong đó ϕ0(t) > 0 với a < t < b (trong trường hợp đường đóng ta giả sử hai đường có cùng điểm đầu và điểm cuối). Vì α0(t) = β0(ϕ(t))ϕ0(t) nên hai vectơ α0(t) và β0(ϕ(t)) luôn cùng phương cùng hướng. Từ đó ta đưa ra định nghĩa hướng tiếp tuyến của đường cong được định hướng C, vết của một đường đi đơn chính qui r(t), a ≤ t ≤ b, tại điểm p = r(t), a < t < b, là hướng của vectơ vận tốc r0(t). Hướng tiếp tuyến tại một điểm trên đường cong được định hướng không phụ thuộc vào cách chọn đường đi đơn chính qui trên đó. Tại điểm p = r(t) vectơ tiếp tuyến cùng chiều đơn vị được định nghĩa, đó là 0 ( ) = r (t) T p |r0(t)| , không phụ thuộc vào cách chọn đường đi r theo định hướng của C. Giả sử F là một trường vectơ định nghĩa trên C. Ta có Z Z b Z b 0 0 r (t) 0 F · dr = F(r(t)) · r (t) dt = F(r(t)) · 0 |r (t)| dt C a a |r (t)| Z b Z = [F(r(t)) · T(r(t))] |r0(t)| dt = F · T ds. a C Vậy trong trường hợp này tích phân đường loại hai có thể được biểu diễn qua tích phân đường loại một. Bài tập. √ 2.1.22. Tính chiều dài của đường r(t) = (2 2t, e−2t, e2t), 0 ≤ t ≤ 1.
2.1. Tích phân đường 41 2.1.23. (a) Một vật di chuyển dọc theo một đường. Hỏi công của lực ma sát tác động lên vật là âm, bằng không, hay dương? (b) Một vật di chuyển trong trường trọng lực của Quả đất từ một điểm có cao độ 100 mét đến một điểm có cao độ 200 mét. Hỏi công của trọng lực là âm, bằng không, hay dương? R (c) Cho C là một đường và n là vectơ pháp tuyến. Hỏi C n · d~r là âm, bằng không, hay dương? 2.1.24. Cho đường đi chính qui r : [a, b] → Rn. Đặt Z t s(t) = |r0(u)| du. a Hàm s được gọi là hàm chiều dài (arc-length function) của r. Đặt chiều dài của r là l = s(b). (a) Chứng tỏ hàm s(t) có hàm ngược trơn. Gọi hàm đó là t(s), 0 ≤ s ≤ l. (b) Kiểm tra rằng đường α(s) = r(t(s)) có cùng vết với đường r. Chứng tỏ tốc độ của α luôn là 1. Việc thay r bởi α được gọi là tham số hóa lại theo chiều dài (reparametrization by ds 0 arc-length). Chú ý rằng dt (t) = |r (t)|. Điều này thường được viết dưới dạng kí hiệu là ds = |r0(t)|dt. 2.1.25. Liên quan tới phần chứng minh của 2.1.16: Chứng minh rằng nếu ψ : [a, b] → [c, d] là một song ánh liên tục thì ψ(a) = c và ψ(b) = d, hoặc ψ(a) = d và ψ(b) = c. Suy ra nếu α và β là hai đường đi đơn không đóng có cùng vết, thì chúng có cùng tập điểm đầu và điểm cuối, tức là {α(a), α(b)} = {β(c), β(d)}. 2.1.26. (a) Vẽ đường cong hình sao (astroid) 2 2 2 x 3 + y 3 = 2 3 . (b) Tính diện tích của miền bao bởi đường cong trên bằng cách dùng tích phân bội. (c) Tính diện tích miền này bằng cách dùng tích phân đường, dùng tham số hóa của đường astroid: x = 2 cos3 θ, y = 2 sin3 θ.
42 2. Tích phân đường 2.2. Định lí cơ bản của tích phân đường 2.2.1. Định lí (Định lí cơ bản của tích phân đường (Newton-Leibniz)). Giả sử r là một đường đi trơn bắt đầu ở A và kết thúc ở B. Cho f là một hàm thực trơn trên một tập mở chứa vết của r. Khi đó: Z ∇ f · dr = f (B) − f (A). r CHỨNG MINH. Giả sử r : [a, b] → Rn, r(a) = A và r(b) = B. Khi đó theo công thức Newton-Leibniz của hàm một biến: Z Z b Z b d ∇ f · dr = ∇ f (r(t)) · r0(t) dt = ( f ◦ r)(t) dt = f ◦ r(b) − f ◦ r(a). r a a dt R Định lí trên có một hệ quả là tích phân r ∇ f · dr không phụ thuộc vào sự lựa chọn đường đi r từ điểm A tới điểm B. Ta nói tích phân này là độc lập với đường đi. Vectơ ∇ f (x) đại diện cho đạo hàm f 0(x), vì thế công thức trên có thể được hiểu như: Z B f 0 = f (B) − f (A). A Ở dạng này công thức trên là dạng tổng quát hóa của công thức Newton-Leibniz của hàm một biến. Nó nói rằng tích phân là quá trình ngược của vi phân. 2.2.2. Định nghĩa. Một trường vectơ F được gọi là bảo toàn (conservative) nếu có hàm thực f , gọi là hàm thế (potential function) của F, sao cho ∇ f = F. Ta có thể hiểu là f 0 = F: hàm thế f chính là một "nguyên hàm" (antiderivative) của trường F. 2.2.3. Ví dụ (Trường trọng lực). Giả sử một vật có khối lượng M nằm ở gốc tọa độ, và một vật có khối lượng m nằm ở điểm~r = (x, y, z). Theo cơ học Newton, vật có khối lượng m sẽ chịu tác động của lực hấp dẫn từ vật có khối lượng M bằng mMG F(~r) = − ~r. |~r|3 (~) = mMG Có thể kiểm tra trực tiếp là trường F có một hàm thế là f r |~r| . Vậy trường trọng lực là một trường bảo toàn. Định lí cơ bản của tích phân đường nói tích phân đường của trường bảo toàn chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường đi. 2.2.4. Mệnh đề. Tích phân đường chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường đi đồng nghĩa với tích phân đường dọc theo một đường đi đóng thì bằng không. Mệnh đề trên có thể được chứng minh dễ dàng nhờ 2.1.18. Những kết quả trong phần trên có thể được mở rộng cho các đường trơn từng khúc.
2.2. Định lí cơ bản của tích phân đường 43 Ý nghĩa vật lí của khái niệm trường bảo toàn. Giả sử một vật di chuyển dưới tác dụng của tổng lực F. Giả sử trường F là bảo toàn với f là một hàm thế. Giả sử vị trí của vật ở thời điểm t là r(t). Giả sử r(t0) = x0 và r(t1) = x1. Tương tự trường hợp trường trọng lực, ta nói: Động năng (kinetic energy) (năng lượng từ chuyển động) của vật là K(t) = 1 0 2 2 m|r (t)| . Thế năng (potential energy) (năng lượng từ vị trí) của vật là U(x) = − f (x). Theo định lí cơ bản của tích phân đường: Z x1 F · dr = U(x0) − U(x1). x0 Công thức này nói rằng công của trường khi vật đi từ vị trí này đến vị trí khác chính bằng đối của biến thiên thế năng. Mặt khác theo cơ học Newton: F = ma = mr00. Do đó: Z x1 Z t Z t F · dr = F(r(t)) · r0(t) dt = mr00(t) · r0(t) dt x0 t0 t0 Chú ý hệ thức (r0 · r0)0 = r00 · r0 + r0 · r00 = 2r00 · r0, ta được Z t 1 00 0 U(x0) − U(x1) = mr (t) · r (t) dt t0 Z t1 1 = m (|r0(t)|2)0 dt t0 2 1 1 = m|r0(t )|2 − m|r0(t )|2 = K(t ) − K(t ). 2 1 2 0 1 0 Ta thấy K(t) + U(r(t)) không đổi. Vậy tổng động năng và thế năng, tức năng lượng cơ học, là không đổi trong quá trình chuyển động. Một điều kiện cần để trường vectơ là bảo toàn. Trong phần này ta xét trường hợp hai chiều, n = 2. 2.2.5. Định lí. Nếu trường F = (P, Q) trơn và bảo toàn trên một tập mở chứa tập D ⊂ R2 thì trên D ta có ∂P ∂Q = . ∂y ∂x ∂ f ∂ f CHỨNG MINH. Giả sử f là hàm thế của F. Khi đó ∂x = P và ∂y = Q. Hơn nữa ∂P ∂2 f ∂Q ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂y = ∂y∂x và ∂x = ∂x∂y . Vì ∂x∂y và ∂y∂x tồn tại và liên tục nên chúng bằng nhau, và ta có kết quả. 2.2.6. Ví dụ. Xét trường ! −y x ~F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) = , . x2 + y2 x2 + y2 ∂P ∂Q Ta có = trên mặt phẳng bỏ đi điểm (0, 0). Mặt khác, tính toán trực tiếp cho ∂y ∂x thấy nếu C là đường tròn bán kính đơn vị tâm tại (0, 0) ngược chiều kim đồng hồ R ~ ~ thì C F · d~r = 2π khác 0. Vậy F không phải là một trường vectơ bảo toàn.
44 2. Tích phân đường Bài tập. 2.2.7. Tìm một hàm f (x, y, z) sao cho f (0, 0, 0) = 6 và ∇ f (x, y, z) = (2y, 2x, ez). 2.2.8. Cho C là đường y = x3 từ điểm (0, 0) tới điểm (1, 1). R (a) Tính C 3y dx + 2x dy. R x x y (b) Dùng câu (a), tính C(3y + ye ) dx + (2x + e + e ) dy. 2.2.9. Tính công của trường lực F(x, y, z) = (2, 3y, 4z2) khi mang điểm (1, 1, 1) tới điểm (1, 0, 0) dọc theo một đường cong.
2.3. Định lí Green 45 2.3. Định lí Green Trong phần này ta chỉ làm việc trên trên không gian hai chiều Rn với n = 2. Định lí Green cho miền đơn giản. Giả sử D là một miền đơn giản có biên trơn từng khúc trên R2. Cụ thể, như là một miền đơn giản theo chiều thẳng đứng, D có dạng D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)} trong đó f (x) và g(x) là hàm trơn, trong khi đó theo chiều nằm ngang thì D = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, h(y) ≤ x ≤ k(y)} trong đó h(y) và k(y) là hàm trơn. Biên của miền D được định hướng dương như sau. Một cách trực quan, biên được định hướng sao cho với một đường đi trên biên theo hướng đã chọn thì miền D nằm bên tay trái của đường đi. Một cách chính xác, ∂D được định hướng cùng chiều với định hướng của các đường đi sau trên biên: γ1(x) = (x, f (x)), a ≤ x ≤ b; γ2(y) = (b, y), f (b) ≤ y ≤ g(b); −γ3 với γ3(x) = (x, g(x)), a ≤ x ≤ b; và −γ4 với γ4(y) = (a, y), f (b) ≤ y ≤ g(b). 2.3.1. Định lí (Định lí Green cho miền đơn giản). Cho D là một miền đơn giản với biên được định hướng dương. Giả sử (P, Q) là một trường vectơ trơn trên D. Khi đó: Z ZZ ∂Q ∂P P dx + Q dy = − dA. ∂D D ∂x ∂y CHỨNG MINH. Ta có: Z Z Z Z Z P dx = P dx + P dx − P dx − P dx ∂D γ1 γ2 γ3 γ4 Z b Z b = P(x, f (x)) dx − P(x, g(x)) dx. a a Xem D là miền đơn giản theo chiều thẳng đứng, do các đạo hàm riêng của trường là liên tục trên D nên ta có ZZ ∂P Z b Z g(x) ∂P − dA = − dy dx D ∂y a f (x) ∂y Z b = [P(x, f (x)) − P(x, g(x))] dx. a Vậy Z ZZ ∂P P dx = − dA. ∂D D ∂y Tương tự, xem D là miền đơn giản theo chiều nằm ngang, ta được Z ZZ ∂Q Q dy = dA. ∂D D ∂x Do đó ta có kết quả. Một điều kiện đủ để trường vectơ là bảo toàn. Một tập D ⊂ R2 được gọi là một miền hình sao (star-shaped region) nếu có một điểm p0 ∈ D sao cho với mọi điểm p ∈ D đoạn thẳng nối p0 và p được chứa trong D.
46 2. Tích phân đường 2.3.2. Ví dụ. Mặt phẳng là một miền hình sao. Một tập con lồi của mặt phẳng là một miền hình sao. Mặt phẳng trừ đi một điểm không là miền hình sao. 2.3.3. Định lí (Bổ đề Poincaré). Giả sử F = (P, Q) là một trường vectơ trơn trên 2 ∂P ∂Q miền mở hình sao D ⊂ R . Nếu ∂y = ∂x trên D thì F là bảo toàn. R p CHỨNG MINH. Để gợi ý, ở đây ta dùng kí hiệu F · dr để chỉ tích phân của F p0 trên đoạn thẳng p0 + t(p − p0), 0 ≤ t ≤ 1, nối điểm p0 với điểm p. Ta định nghĩa Z p f (p) = F · dr. p0 p p + h~i p0 HÌNH 2.3.1. Miền hình sao. ∂ f ∂ f Đây chính là hàm thế của F. Ta sẽ kiểm tra rằng ∂x = P, chứng minh ∂y = Q là tương tự. Theo định nghĩa của đạo hàm, với~i = (1, 0), ta có: " # ∂ f 1 Z p+h~i Z p (p) = lim F · dr − F·dr . ∂x h→0 h p0 p0 Chú ý do D mở nên nếu h đủ nhỏ thì điểm p + h~i sẽ nằm trong D. Nếu ba ~ điểm p0, p và p + hi không cùng nằm trên một đường thẳng thì chúng tạo thành một tam giác. Tam giác này là một miền đơn giản, ta có thể áp dụng Định lí Green cho miền này và được tích phân đường trên biên bằng 0, tức là Z p+h~i Z p Z p+h~i F · dr − F · dr = F · dr. p0 p0 p Công thức này cũng đúng nếu ba điểm là thẳng hàng. Viết p = (x, y), ta lại có Z p+h~i Z x+h F · dr = P(u, y) du. p x Do đó ∂ f 1 Z x+h (p) = lim P(u, y) du = P(x, y). ∂x h→0 h x ∂P ∂Q 2.3.4. Ghi chú. Nếu có một trường (P, Q) mà ∂y = ∂x nhưng lại không bảo toàn thì Bổ đề Poincaré cho biết miền xác định của trường không phải là một miền hình sao. Như vậy một giả thiết giải tích đã đưa đến một kết luận hình học. Kết luận của Bổ đề Poincaré vẫn đúng nếu thay miền hình sao bởi miền tổng quát hơn gọi
2.3. Định lí Green 47 là miền đơn liên (simply connected), nhưng chúng ta không trình bày điều này ở đây. 2.3.5. Định lí. Giả sử F = (P, Q) là một trường vectơ trơn trên miền mở liên thông đường D ⊂ R2. Nếu tích phân đường của F trên D chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường đi thì F là bảo toàn. CHỨNG MINH. Ta thấy chứng minh của bổ đề Poincaré vẫn đúng nếu luôn tồn tại đường đi từ điểm p0 tới điểm p, không nhất thiết phải là đường thẳng, và tích phân R p F · dr chỉ phụ thuộc vào điểm đầu p và điểm cuối p. p0 0 Dạng tổng quát của định lí Green. Đối với một miền không đơn giản nhưng có thể được phân chia thành một hội của hữu hạn những miền đơn giản với những phần chung chỉ nằm trên biên, ta có thể áp dụng định lí Green cho từng miền đơn giản rồi cộng lại. Có những phát biểu tổng quát hơn của định lí Green nhưng chứng minh của chúng cũng phức tạp hơn. Một chứng minh sơ cấp của định lí Green cho miền tổng quát hơn miền đơn giản có trong quyển sách của Kellogg [Kel29, tr. 119] xuất bản năm 1929. Ở đó định lí được chứng minh cho một miền không đơn giản bằng cách xấp xỉ miền đó bằng những miền mà là hội của hữu hạn miền đơn giản, sau đó qua giới hạn. Ngày nay định lí Green thường được xét như là một trường hợp riêng của định lí Stokes tổng quát cho không gian n-chiều, và được chứng minh bằng cách dùng những lí thuyết cao cấp hơn, trong môn Giải tích trên đa tạp (Analysis on manifolds) hoặc môn Lí thuyết độ đo hình học (Geometric measure theory). Bài tập. 2.3.6. Tính tích phân của trường F(x, y, z) = (x4, sin y2, x + z) dọc theo đường tròn cùng chiều kim đồng hồ r(t) = (cos(−t), sin(−t), 5), 0 ≤ t ≤ 2π. 2.3.7. Cho C là biên của hình vuông [0, 1]2 ⊂ R2 định hướng theo chiều kim đồng hồ. Tính R 3 tích phân C x dx + (x + sin(2y)) dy. −→ −→ 2.3.8. Cho F(x, y) = 2xy i + x2 j . Gọi T là tam giác với các đỉnh (0, 0), (0, 1), (1, 1), định R −→ hướng ngược chiều kim đồng hồ. Giải thích tại sao T F · d r = 0 bằng 3 cách. 2.3.9. Cho C : [a, b] → R2 là một đường đi đơn chính qui từng khúc. Khi đó vết của C có diện tích không. 2.3.10. Cho ~F = (P, Q) là trường vectơ xác định trên mặt phẳng trừ điểm O, không xoay ∂P ∂Q (nghĩa là ∂y = ∂x tại mọi điểm). R ~ R ~ ~ Giả sử a F · d~r = 1 và b F · d~r = 2. Hãy tính tích phân của F trên c, d, và e. 2.3.11. Trên mặt phẳng Oxy, gọi θ như thường lệ là góc từ tia Ox tới tia đi từ O tới điểm (x, y). Xét trường ! −y x ~F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) = , . x2 + y2 x2 + y2
48 2. Tích phân đường a O b d c e y ∂θ ∂θ (a) Kiểm tra rằng nếu x, y > 0 thì θ = arctan x , hơn nữa ∂x = P và ∂y = Q, nói cách khác ∇θ = F. (b) Ta thường viết −y x dθ = dx + dy. x2 + y2 x2 + y2 1 R (c) Tích phân 2π C dθ được gọi số vòng (winding number), tính theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, của đường đi C quanh điểm O. Chứng tỏ số vòng của đường đi (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2nπ đúng bằng n. (d) Tại sao θ không phải là một hàm thế của F?
Chương 3 Tích phân mặt 3.1. Tích phân mặt Mặt. Giống như đường, đối với chúng ta một mặt (surface) là một ánh xạ r từ một tập con D của R2 vào R3. Tập ảnh r(D) được gọi là vết của mặt. p 3.1.1. Ví dụ. Nửa trên của mặt cầu là vết của mặt (x, y, z = 1 − x2 − y2) với x2 + y2 ≤ 1 (tọa độ Euclid). Đó cũng là vết của mặt (sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ) với 0 ≤ θ ≤ 2π và 0 ≤ φ ≤ π (tọa độ cầu). Mặt r : D → R3 được gọi là: • đơn (simple) nếu r là đơn ánh. • trơn (smooth) nếu r là ánh xạ trơn. ∂r ∂r • chính qui (regular) nếu hai vectơ ru(u, v) = ∂u (u, v) và rv(u, v) = ∂v (u, v) xác định và luôn không cùng phương trên D. Việc này cũng đồng nghĩa với việc vectơ ru(u, v) × rv(u, v) luôn khác 0 trên D. 3.1.2. Ví dụ. Cho hàm thực f trơn trên một tập mở chứa D. Xét mặt r(x, y) = (x, y, f (x, y)) với (x, y) ∈ D. Vết của r là mặt đồ thị z = f (x, y). Ta có rx = (1, 0, fx) và ry = (0, 1, fy), do đó rx × ry = (− fx, − fy, 1) 6= 0. Vậy r là một mặt chính qui. Diện tích mặt. Ý của định nghĩa này là như sau. Cho mặt r : D → R3. Với một phép chia của D ta có một phép chia của mặt thành những mảnh nhỏ. Một hình chữ nhật con với kích thước ∆u × ∆v sẽ được mang thành một mảnh trên mặt được xấp xỉ tuyến tính bằng hình bình hành xác định bởi các vectơ ru(u, v)∆u và rv(u, v)∆v. Diện tích của hình bình hành này là |ru(u, v) × rv(u, v)|∆u∆v. Từ đó ta đưa ra định nghĩa: 3.1.3. Định nghĩa. Diện tích của mặt r : D → R3 là ZZ |ru × rv| dA. D 3.1.4. Ghi chú. Trong tính toán ta có thể dùng công thức q |u × v| = |u|2|v|2 − hu, vi2. 3.1.5. Ví dụ. Giả sử f : D → R là một hàm trơn trên một tập mở chứa D. Xét mặt r(x, y) = (x, y, f (x, y)) có vết là đồ thị của hàm f . Diện tích của mặt này là ZZ q 2 2 1 + fx + fy dA. D 49
50 3. Tích phân mặt Tích phân mặt loại một. Cho mặt r : D → R3 với vết S = r(D). Cho f là một hàm thực trên S.Ta muốn tính tổng giá trị của f trên S. Lí luận như trong phần diện tích mặt, trên mỗi mảnh con trên mặt ta xấp xỉ tuyến tính diện tích của mảnh con bằng diện tích của một hình bình hành, bằng |ru(u, v) × rv(u, v)|∆u∆v, và xấp xỉ giá trị của hàm f bằng giá trị của nó tại một điểm r(u, v). Từ đó ta đưa ra định nghĩa: 3.1.6. Định nghĩa. Cho mặt r : D → R3 với vết S = r(D). Cho f : S → R. Tích phân mặt loại một của f trên r là ZZ ZZ f dS = f (r(u, v))|ru(u, v) × rv(u, v)| dA. r D RR 3.1.7. Ví dụ. Nếu f ≡ 1 và thì r 1 dS chính là diện tích của mặt r được định nghĩa ở trên. 3.1.8. Ví dụ. Giả sử f : D → R là một hàm trơn trên một tập mở chứa D. Xét mặt r(x, y) = (x, y, f (x, y)) có vết là đồ thị S của hàm f . Giả sử g : S → R. Khi đó tích phân của g trên r là ZZ ZZ q 2 2 g dS = g(x, y, f (x, y)) 1 + fx + fy dA. r D 3.1.9. Ghi chú. Trong các tài liệu khác tích phân mặt loại 1 còn được kí hiệu bằng R R S f dσ, S f dΣ. Tích phân mặt loại hai. Cho mặt r : D → R3 với vết S = r(D). Cho F là một trường vectơ trên S, tức F : S → R3. Ta muốn tính tổng của thành phần pháp tuyến của trường F trên S. Như trong tích phân mặt loại một, diện tích của một mảnh con của mặt được xấp xỉ bởi diện tích hình bình hành |ru(u, v) × rv(u, v)|∆u∆v. Trên mảnh con trường F được xấp xỉ bằng giá trị của nó tại điểm r(u, v). Đặt r (u, v) × r (u, v) n(u, v) = u v |ru(u, v) × rv(u, v)| là vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt tại điểm r(u, v). Thành phần pháp tuyến của vectơ F(r(u, v)) là số thực F(r(u, v)) · n(u, v). Tổng thành phần pháp tuyến của F trên mảnh con đó được xấp xỉ bằng ru(u, v) × rv(u, v) F(r(u, v)) · |ru(u, v) × rv(u, v)|∆u∆v. |ru(u, v) × rv(u, v)| Từ đó ta đưa ra định nghĩa: 3.1.10. Định nghĩa. Cho mặt r : D → R3 với vết S = r(D). Cho F là một trường vectơ trên S, tức F : S → R3. Tích phân mặt loại hai của của F trên r là ZZ ZZ F · d~S = F(r(u, v)) · (ru(u, v) × rv(u, v)) dA. r D 3.1.11. Ghi chú. Trong tính toán ta có thể dùng công thức a · (b × c) = det(a, b, c).
3.1. Tích phân mặt 51 3.1.12. Ghi chú. Ta tính được ngay ∂(y, z) ∂(z, x) ∂(x, y) r (u, v) × r (u, v)) = ~i + ~j + ~k. u v ∂(u, v) ∂(u, v) ∂(u, v) Từ đó, viết F = P~i + Q~j + R~k , trong một số tài liệu người ta dùng thêm các tích phân mặt: ZZ ZZ ZZ ∂(y, z) P(x, y, z) dydz = P~i · d~S = P(r(u, v)) dA, r r r ∂(u, v) ZZ ZZ ZZ ∂(z, x) Q(x, y, z) dzdx = Q~j · d~S = Q(r(u, v)) dA, r r r ∂(u, v) ZZ ZZ ZZ ∂(x, y) R(x, y, z) dxdy = R~k · d~S = R(r(u, v)) dA. r r r ∂(u, v) Với các kí hiệu này thì ZZ ZZ F · d~S = (P dydz + Q dzdx + R dxdy). r r 3.1.13. Ví dụ. Giả sử f : D → R là một hàm trơn trên một tập mở chứa D. Xét mặt r(x, y) = (x, y, f (x, y)) có vết là đồ thị S của hàm f . Giả sử F = (P, Q, R) : S → R3. Khi đó ZZ ZZ F · d~S = F(x, y, f (x, y)) · ( fx, fy, −1) dA r D ZZ = [P(x, y, f (x, y)) fx(x, y) + Q(x, y, f (x, y)) fy(x, y) − D −R(x, y, f (x, y))] dA. Mặt như là tập điểm. Định hướng. 3.1.14. Ví dụ. Một bài toán tiêu biểu trong nhiều giáo trình là như sau: Hãy tính tích phân của một trường cho trước qua mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1. Chú ý rằng ta không được cho một tham số hóa của mặt cầu. Hơn nữa, một qui tắc về định hướng đã được mặc định: đối với mặt đóng thì chọn định hướng ra ngoài. Tương tự như đã xảy ra với đường, trong nhiều ứng dụng ta muốn xem mặt như là một tập điểm chứ không phải là một ánh xạ. Bây giờ ta xây dựng quan điểm này. Cho D và D0 là hai tập con mở của R2 và giả sử có một vi đồng phôi ϕ từ D lên D0. Một vi đồng phôi như vậy còn được gọi là một phép đổi biến. Những phép đổi biến như vậy chúng ta đã nghiên cứu trong phần công thức đổi biến của tích phân bội. Nếu det dϕ(p) luôn dương trên D thì ϕ được gọi là một vi đồng phôi bảo toàn định hướng (orientation-preserving diffeomorphism). Nếu det dϕ(p) luôn âm thì ϕ được gọi là một vi đồng phôi đảo ngược định hướng (orientation-reversing diffeomorphism). 3.1.15. Định lí (Bất biến của tích phân mặt qua phép đổi biến). Giả sử D và D0 là hai tập con mở bị chặn của R2 và ϕ : D0 → D là một phép đổi biến. Cho mặt trơn r : D → R3. Khi đó:
52 3. Tích phân mặt (1) Tích phân mặt loại một không thay đổi qua phép đổi biến: ZZ ZZ f dS = f dS. r r◦ϕ (2) Tích phân mặt loại hai không thay đổi qua phép đổi biến bảo toàn định hướng : ZZ ZZ F · d~S = F · d~S. r r◦ϕ (3) Tích phân mặt loại hai đổi dấu qua phép đổi biến đảo ngược định hướng : ZZ ZZ F · d~S = − F · d~S. r r◦ϕ CHỨNG MINH. Theo qui tắc đạo hàm của hàm hợp: Jr◦ϕ(s, t) = Jr(u, v)Jϕ(s, t). Cụ thể hơn: ∂(r ◦ ϕ) ∂r ∂u ∂r ∂v = · + · , ∂s ∂u ∂s ∂v ∂s ∂(r ◦ ϕ) ∂r ∂u ∂r ∂v = · + · . ∂t ∂u ∂t ∂v ∂t Nhân hai vectơ này, và đơn giản hóa, ta được ∂(r ◦ ϕ) ∂(r ◦ ϕ) ∂r ∂r ∂u ∂v ∂u ∂v × = × · · − · ∂s ∂t ∂s ∂t ∂s ∂t ∂t ∂s ∂r ∂r ∂(u, v) = × · . ∂s ∂t ∂(s, t) Viết cách khác (3.1.1) (r ◦ ϕ)s × (r ◦ ϕ)t = (ru × rv) det Jϕ(s, t). Bây giờ dùng Công thức đổi biến của tích phân bội 1.5.5, lưu ý giả thiết det Jϕ > 0, ta được kết quả. 3.1.16. Định lí. Cho D và D0 là tập con đóng, bị chặn của R2 với biên có diện tích không. Cho r : D → R và r0 : D0 → R3 là hai mặt đơn chính qui có cùng vết S. Khi ◦ ◦ đó r(∂D) = r0(∂D0), và r0−1 ◦ r : D → D0 là một vi đồng phôi. Đặt ∂S = r(∂D) = r0(∂D0), ta gọi tập hợp đó là biên của mặt cong S. Ta nói r và r0 có cùng định hướng nếu r0−1 ◦ r bảo toàn định hướng và trái định hướng nếu r0−1 ◦ r đảo ngược định hướng. Tập hợp các tham số hóa đơn chính qui của S được chia thành hai lớp tương đương, mỗi lớp được gọi là một định hướng của mặt cong S. 3.1.17. Ví dụ. Xét nửa mặt cầu trên x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0. Tập điểm này có thể p được tham số hóa như là một mặt đồ thị: (x, y, z = 1 − x2 − y2), x2 + y2 ≤ 1. Một cách khác để tham số hóa tập này là bằng cách dùng tọa độ cầu: x = sin φ cos θ,
3.1. Tích phân mặt 53 y = sin φ sin θ, z = cos φ, với 0 ≤ φ ≤ π/2, 0 ≤ θ ≤ 2π. Với thứ tự (φ, θ) của tọa ( ) 7→ ( ) ∂(x,y) > độ cầu, phép biến đổi φ, θ x, y có ∂(φ,θ) 0, do đó bảo toàn định hướng. Kết quả chính của phần này là một hệ quả của 3.1.16, 3.1.15, và 1.4.9: 3.1.18. Định lí (Tích phân trên mặt cong). Cho D và D0 là tập con đóng, bị chặn của R2 với biên có diện tích không. Cho r : D → R và r0 : D0 → R3 là hai mặt đơn chính qui có cùng vết S. Khi đó: (1) Tích phân mặt loại một là như nhau. (2) Nếu hai mặt cùng định hướng thì tích phân mặt loại hai là như nhau. (3) Nếu hai mặt trái định hướng thì tích phân mặt loại hai là đối nhau. Như vậy ta có thể nói tới tích phân mặt loại một trên một tập điểm (một mặt cong) nếu tập điểm đó là vết của một mặt đơn chính qui xác định trên một tập đóng. Để tính tích phân ta có thể lấy một tham số hóa đơn chính qui xác định trên một tập đóng bất kì. Đối với tích phân mặt loại hai ta cần lấy tham số hóa có RR cùng định hướng với mặt cong. Với ý nghĩa đó ta có thể dùng kí hiệu S f dS và RR ~ S F · dS. * Chứng minh 3.1.16. Tương tự kết quả cho đường 2.1.20 ta có: 3.1.19. Bổ đề. Nếu D ⊂ R2 đóng và bị chặn, và r : D → R là một mặt đơn liên tục với vết S = r(D) thì r là một đồng phôi lên S. CHỨNG MINH 3.1.16 . Do bổ đề, ta có r0−1 ◦ r : D → D0 là một đồng phôi. Suy ◦ ra r0−1 ◦ r hạn chế lại trên D là một đồng phôi lên ảnh của nó. Theo một định lí trong môn Tôpô gọi là Định lí bất biến miền ([Mun00, tr. 381]), thì một tập con của ◦ R2 mà đồng phôi với một tập mở của R2 thì phải là một tập mở. Do đó (r0−1 ◦ r)(D) là một tập mở của R2. Như vậy r0−1 ◦ r mang điểm trong của D thành điểm trong của D0. Tương tự r−1 ◦ r0 mang điểm trong của D0 thành điểm trong của D, tức ◦ ◦ r(D) = r0(D0). Từ đó ta cũng có r(∂D) = r0(∂D0). Tiếp theo, tiến hành tương tự chứng minh của kết quả cho tích phân đường ◦ 2.1.16, ta sẽ chứng minh ánh xạ r0−1 ◦ r là trơn trên D . ◦ 0−1 Giả sử p = r(u0, v0), trong đó (u0, v0) ∈ D. Đặt (s0, t0) = r (p), thì (s0, t0) ∈ ◦ 0 0 0 0 D . Viết r (s, t) = (x, y, z). Vì rs(s0, t0) × rt(s0, t0) 6= 0 nên một trong các số ∂(x, y) ∂(y, z) ∂(z, x) (s , t ), (s , t ), (s , t ) ∂(s, t) 0 0 ∂(s, t) 0 0 ∂(s, t) 0 0 ∂(x, y) phải khác 0. Giả sử (s , t ) 6= 0. Theo Định lí hàm ngược, có một lân cận ∂(s, t) 0 0 mở V của (s0, t0) sao cho trên V ánh xạ ψ : (s, t) → (x, y) là một vi đồng phôi lên ψ(V). Khi đó những điểm trên r0(V) có dạng (x, y, z(ψ−1(x, y))), nói cách khác r0(V) là đồ thị của một hàm theo hai biến x và y. Trên r0(V) thì ánh xạ r0−1 là hợp của ánh xạ chiếu r0(V) → ψ(V) và ánh xạ ψ−1: (x, y, z) 7→ (x, y) 7→ (s, t).
54 3. Tích phân mặt Đây là hạn chế của ánh xạ trơn cho bởi cùng công thức xác định trên tập mở ψ(U) × R của R3. z S v r r0 t U y u ψ V x s Theo bổ đề trên, r0(V) là một lân cận mở của p trên S. Do đó có tập mở U của 2 0 0−1 R chứa điểm (u0, v0) sao cho r(U) ⊂ r (V). Suy ra ánh xạ hợp r ◦ r là ánh xạ trơn tại điểm (u0, v0). Liên hệ giữa hai loại tích phân mặt. Dưới các giả thiết của Định lí 3.1.16, giả ◦ ◦ sử p = r(u, v) = r0(s, t) với (u, v) ∈ D và (s, t) ∈ D0. Theo phương trình 3.1.1 tại p 0 0 hai vectơ ru × rv và rs × rt có cùng phương cùng chiều. Vậy tại p vectơ pháp tuyến đơn vị r (u, v) × r (u, v) n(p) = u v |ru(u, v) × rv(u, v)| được định nghĩa không phụ thuộc vào cách chọn tham số hóa (nhưng phụ thuộc vào định hướng của S). Ta có ZZ ZZ ru(u, v) × rv(u, v) F · n dS = F(r(u, v)) · |ru(u, v) × rv(u, v)| dA S D |ru(u, v) × rv(u, v)| ZZ = F(r(u, v)) · (ru(u, v) × rv(u, v)) dA D ZZ = F · d~S. S Điều này khẳng định lại một lần nữa tích phân mặt loại hai là tổng thành phần pháp tuyến của trường. Bài tập. 3.1.20. Tính diện tích phần mặt nón z2 = x2 + y2, 3 ≤ z ≤ 5. 3.1.21 (Diện tích mặt tròn xoay). Giả sử f (x) trơn trên [a, b]. Hãy tính diện tích của mặt tròn xoay nhận được bằng cách xoay đường y = f (x) quanh trục x. Ứng dụng, tính diện 2 x2 + y = tích mặt ellipsoid a2 b2 1. 3.1.22. Trên bề mặt Quả đất, tọa độ kinh tuyến và vĩ tuyến có liên hệ chặt chẽ với tọa độ cầu. Đặt hệ trục tọa độ Oxyz với O ở tâm Quả đất, trục Oz đi qua Cực Bắc, và phần tư đường
3.1. Tích phân mặt 55 tròn từ tia Oz sang tia Ox đi qua Greenwich, nước Anh. Giả sử một điểm có tọa độ là ϕ◦ vĩ độ Bắc và λ◦ kinh độ Đông, khi đó tọa độ cầu của điểm đó là φ = (90 − ϕ)◦ và θ = λ◦ (tuy nhiên nhớ là trong tọa độ cầu góc cần được đo bằng radian). Thành phố Hồ Chí Minh nằm trong vùng từ 10◦100 tới 10◦380 vĩ độ Bắc và 106◦220 tới 106◦540 kinh độ Đông (10 = 1/60◦). Tính diện tích của vùng này. Bán kính của Quả đất là 6378 km. 3.1.23. Cho mặt elliptic paraboloid !2 !2 x y z = + , z ≤ 5. 3 4 (a) Bằng cách đổi biến x y = r cos(θ), = r sin(θ) 3 4 đưa ra một phương trình tham số của mặt. (b) Tính xấp xỉ diện tích của mặt này. 3.1.24. Cho S là mặt z = xy với 0 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ 3. Tính tích phân mặt ZZ xyz dS S ra số thập phân.
56 3. Tích phân mặt 3.2. Định lí Stokes Toán tử curl. 3.2.1. Định nghĩa. Cho trường F = (P, Q, R) trên R3. Ta định nghĩa ! ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P curl F = − , − , − . ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂x Ta có thể viết dưới dạng kí hiệu: ! ∂ ∂ ∂ ∇ = , , , ∂x ∂y ∂z và curl F = ∇ × F. Trường curl F còn được gọi là trường xoáy của trường F. 3.2.2. Mệnh đề( curl ∇ = 0). Nếu f là hàm thực có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục thì curl ∇ f = 0. Mệnh đề này có thể được chứng minh trực tiếp. 3.2.3. Hệ quả. Nếu F là trường trơn bảo toàn thì curl F = 0. Chú ý rằng chiều ngược lại không đúng một cách tổng quát. Ta có thể dùng kết quả này để chứng tỏ một trường là không bảo toàn, bằng cách chỉ ra rằng curl của nó khác 0. Định lí Stokes. Định lí Stokes là dạng tổng quát hóa của Định lí Green lên không gian ba chiều. Chúng ta sẽ phát biểu Định lí Stokes cho mặt S là đồ thị của hàm f : D → R trong đó D là một miền phẳng trên đó Định lí Green có thể được áp dụng. Đặc biệt, định hướng dương của biên của D sẽ sinh ra định hướng dương tương ứng trên biên của S qua tham số hóa (x, y, f (x, y)). 3.2.4. Định lí (Định lí Stokes). Cho trường F trơn trên một tập mở chứa mặt S là đồ thị của hàm f : D → R trong đó D là một miền phẳng trên đó Định lí Green có thể được áp dụng. Giả sử biên của S là đường ∂S được định hướng dương. Khi đó: Z ZZ ZZ F dr = (curl F) · n dS = curl F · d~S. ∂S S S 3.2.5. Ví dụ. Giả sử hai mặt đồ thị S1 và S2 có cùng miền xác định là miền phẳng D và định hướng lên trên thì RR curl F · d~S = RR curl F · d~S. S1 S2 RR ~ Một hệ quả là nếu S là mặt cầu thì S curl F · dS = 0. CHỨNG MINH. Chứng minh dưới đây tuy chứa những biểu thức dài dòng nhưng chỉ gồm những tính toán trực tiếp và việc áp dụng Định lí Green.
3.2. Định lí Stokes 57 Viết F = (P, Q, R). Giả sử (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b là một tham số hóa theo định hướng dương của ∂D. Khi đó ∂S có tham số hóa (x(t), y(t), f (x(t), y(t)). Trong vài biểu thức dưới đây biến được lược bỏ cho gọn hơn: Z Z b 0 0 0 F dr = F(x(t), y(t), f (x(t), y(t)) · (x (t), y (t), fx(x(t), y(t))x (t) + ∂S a 0 + fy(x(t), y(t))y (t)) dt Z b = P(x, y, f (x, y))x0 + Q(x, y, f (x, y))y0+ a 0 0 + R(x(, y, f (x, y))( fx(x, y)x + fy(x, y)y ) dt Z b 0 0 = (P + R fx)x + (Q + R fy) y dt a Z = (P + R fx) dx + (Q + R fy) dy. ∂D Bây giờ áp dụng Định lí Green cho biểu thức trên, ta được tích phân trên bằng ZZ ∂ ∂ Q + R fy − (P + R fx) dA. D ∂x ∂y Tính các đạo hàm hàm hợp, ta được tích phân trên bằng ZZ (Qx + Qz fx + Rx fy + Rz fx fy + R fxy) − D − (Py + Pz fy + Ry fx + Rz fy fx + R fyx) dA ZZ = Qx + Qz fx + Rx fy − Py − Pz fy − Ry fx dA D ZZ = −(Ry − Qz) fx − (Px − Rx) fy + (Qx − Py) dA. D Để ý rằng với S pháp tuyến tương ứng là hướng lên, cho bởi (− fx, − fy, 1). Ta lập tức nhận ra biểu thức trên chính là Z Z curl(P, Q, R) · (− fx, − fy, 1) dA = curl F · d~S. D S Ta được điều phải chứng minh. Định lí Green về lưu lượng. Cho D là miền phẳng và F là một trường trên D sao cho ta có thể áp dụng Công thức Green. Mở rộng F thành một trường vectơ ba chiều bằng cách cho thành phần thứ ba luôn bằng 0. Đặt k = (0, 0, 1). Khi đó ta có thể viết lại Công thức Green như sau: Z ZZ F · dr = (curl F) · k dA. ∂D D Đây rõ ràng là một trường hợp riêng của Định lí Stokes. R Tích phân C F · dr là tổng thành phần tiếp tuyến của F dọc theo ∂D được định hướng dương. Nếu F là một trường vectơ vận tốc thì tích phân này thể hiện lưu lượng (circulation) dọc theo ∂D.