Bài giảng Bài 8: Nhận dạng mặt bậc 2

Nội dung text: Bài giảng Bài 8: Nhận dạng mặt bậc 2

1. NHẬN DẠNG MẶT BẬC 2
2. Nhận dạng mặt bậc 2 Phương trình tổng quát của mặt bậc 2: Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + ax + by + cz + d = 0 trong đó ít nhất 1 số hạng bậc 2 phải khác 0.
3. Phương trình chính tắc của mặt bậc 2 x2 y 2 z 2 + + =1 Ellipsoid a2 b 2 c 2 (+++) x2+ y 2 + z 2 = R 2 Mặt cầu x2 y 2 z 2 + − =1 Hyperboloid 1 tầng. abc2 2 2 (+ + −,0C ) x2 y 2 z 2 + − = −1 Hyperboloid 2 tầng. abc2 2 2
4. x2 y 2 z 2 + − = 0 Nón abc2 2 2 (+ + −,0C = ) xy22 z2 =+ (Dạng thường gặp của nón) ab22 xy22 cz+ d = + Paraboloid elliptic (++) ab22 xy22 cz+ d = − Paraboloid hyperbolic(+−) ab22
5. xy22 +=1 Trụ elliptic ab22 xy22 −=1 Trụ hyperbolic ab22 y2 = 2 px Trụ parabolic 2 biến
6. Hình ảnh các mặt cơ bản z Ellipsoid y x x2 y 2 z 2 + + =1 a2 b 2 c 2
7. Mặt cầu x2+ y 2 + z 2 = R 2
8. Hyperboloid Hai tầng Một tầng z z x2 y2 z = − a2 b2 x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 + − = −1 + − =1 abc2 2 2 abc2 2 2
9. Nón z y x z2 x 2 y 2 =+ c2 a 2 b 2
10. Vẽ nón
11. Vẽ nón
12. Paraboloid elliptic 22 xy 22 z =+ z=2 − x − y ab22
13. Vẽ paraboloid elliptic xy22 z =+ ab22
14. Vẽ paraboloid elliptic xy22 z =+ ab22
15. Parapoloid hyperbolic xy22 z =− ab22
16. Trụ elliptic Cách vẽ các mặt trụ: z 1.Vẽ đường chuẩn ( là đường cong bậc 2 trong phương trình mặt) 2.Cho đường bậc 2 di y chuyển dọc theo trục không chứa biến xuất x hiện trong phương trình x2 y2 mặt + = 1 a2 b2
17. Vẽ trụ xy22 +=1 ab22
18. Vẽ trụ xy22 +=1 ab22
19. Trụ hyperbolic z x y xy22 −=1 ab22
20. Trụ parabolic z z y2 = 2 px y x x y 2 y= 2 px y2 = 2 pz
21. Cách phân loại mặt bậc 2: • Đưa dạng toàn phương trong phương trình tổng quát về chính tắc. • Khử các số hạng bậc nhất (nếu có số hạng bậc 2 đi chung) để đưa pt về dạng chính tắc và nhận dạng. Trong chương trình chỉ vẽ những mặt chính tắc.
22. Ví dụ x22− xy + z + x = 0 2 2 yy2 x − − + z + x = 0 24 Y 2 Y =X 2 −++ Z 2 + X 0 4 2 2 11112 2 = X +− −(Y −1) + Z + 0 24 4 4
23. x2+2 xy + 2 y 2 + z 2 = 9 (x + y)2 + y22 + z = 9 z= x22 +4 xy − y z =( x +25 y)2 − y2 z= x22 −44 xy + y z =( x − 2 y)2
24. 2x2+ 2 y 2 − 5 z 2 + 2 xy − 2 x − 4 y − 4 z + 2 = 0 2 y 3 22 2 x + + y − 5 z − 2 x − 4 y − 4 z + 2 = 0 22 23 2 2 Y 2XYZXYZ + − 5 − 2 − − 4 − 4 + 2 = 0 22 22 1 32 2 2 XYZ − +( − 1) − 5 + 2 2 5 1 3 4 4 = −2 + + − = − 2 2 5 5
25. 2x22− y − 2 yz − 8 x − 2 z + 9 = 0 2x22 −( y + z)2 + z − 8 x − 2 z + 9 = 0 2XYZXZ2 − 2 + 2 − 8 − 2 + 9 = 0 2( XYZ − 2)22 −2 +( − 1) = 0
26. Ví dụ Tìm pt chính tắc và phân loại các mặt bậc 2: 2 2 2 1/ 4x+ 4 y − 8 z − 10 xy + 4 xz + 4 yz (1) − 16x − 16 y − 8 z + 72 = 0 Đưa dạng toàn phương (các số hạng bậc 2) về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao: Qxyz(,,)4= x2 + 4 y 2 − 8 z 2 − 10 xy + 4 xz + 4 yz
27. Qxyz(,,)4= x2 + 4 y 2 − 8 z 2 − 10 xy + 4 xz + 4 yz =−99xy 22 xx 1 2 1 3 2 2 3 Phép biến yy =−1 2 1 3 2 2 3 đổi zz 0− 4 3 2 1 3 x y 22 z − x y z xy= + +, = + + 2 3 233 2 3 2 −4yz z =+ 32 3
28. 4x2+ 4 y 2 − 8 z 2 − 10 xyxzyz + 4 + 4 − 16168720 x − yz − + = x y 2 z x = + + , -16 2 3 2 3 −x y 2 z y = + + -16 2 3 2 3 4yz z = − + -8 32 3 Phương trình (1) viết lại 99xy 22− −+24z 72 = 0 x 22 y z − = −1 Paraboloid hyperbolic 8 8 3
29. x 22 y z − = −1 8 8 3
30. 2 / 6x2+ 5 y 2 + 7 z 2 − 4 xy + 4 xz (2) + 4x + 4 y + 16 z − 8 = 0 Đưa dạng toàn phương về chính tắc 6x2+ 5 y 2 + 7 z 2 − 4 xy + 4 xz = 3 x 2 + 6 y 2 + 9 z 2 Phép biến đổi: xx 2 3− 1 3 2 3 yy =− 2 3 2 3 1 3 zz −1 3 2 3 2 3
31. Phương trình (2) viết lại 3x 2+ 6 y 2 + 9 z 2 + 12 y + 12 z − 8 = 0 3x 22 + 6( y + 1) + 9( z + 2 3)2 − 18 = 0 3x 2 + 6 y 2 + 9 z 2 = 18 x 2 y 2 z 2 + + =1 Elippsoid 6 3 2
32. 3/z= xy Dùng phép biến đổi Lagrange x= x + y ,, y = x − y z = z z =− x 22 y Parapoloid hyperbolic
33. Các mặt phẳng song song các mặt tọa độ z z z y x y x x y y = a x = a z = a
34. Một số mặt phẳng z z y x x x + y = 1 x + z = 1
35. Một số mặt phẳng z x y z y = x + + =1 a b c