Bài giảng Bài 4: Đạo hàm và vi phân - Phần 3

Nội dung text: Bài giảng Bài 4: Đạo hàm và vi phân - Phần 3

1. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 3
2. Đạo hàm theo hướng Định nghĩa: Cho hàm f xác định trong lân cận M0 và một hướng cho bởi vector a . Đạo hàm của f theo hướng a tại M0: f( M) f (M +t. a) − f( M ) 0= lim 0 0 a t→0 t fM ( 0 ) chỉ tốc độ thay đổi của f theo hướng a a
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng Xét đường cong L: z( t) =+ f( M0 ta) f( M) f( M +t. a) − f( M ) 0= lim 0 0 a t→0 t zt( ) − z(0) ==limz ( 0) t→0 t là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong L tại M0.
4. Sơ đồ Matlab để vẽ tiếp tuyến Sz:,,,,,== fxyMxy( ) 0( 0 0) a( aa 1 2 ) 1. Vẽ mặt cong S khu vực xung quanh M0 và M0. 2. Vẽ đường cong L: z( t) =+ f( M0 ta) x= x0 + tay 1,,, = y 0 + taz 2 = fx( 0 + tay 1 0 + ta 2 ) 3. Vẽ tiếp tuyến với L tại M0. Lưu ý: tiếp tuyến đi qua M0 và nhận u = ( a 12 , a , z ( 0 ) ) làm vector chỉ phương.
5. Định lý (cách tính đạo hàm theo hướng) Nếu hàm f khả vi tại M0, e = ( e 12 , e ) là vector đơn vị, đạo hàm theo hướng e tại M0 tồn tại, khi đó: f( M)  f( M ) fM( ) 0 =+00ee e xy1 2 Hàm 3 biến cũng được tính tương tự.
6. Công thức tổng quát a là vector tùy ý: f( M)  f( M) aa  f( M ) 00=+0 1 2 aa xy  a (hàm 2 biến) f( M)  f( M) aa  f (M)  f( M ) a 0= 012 + 0 + 0 3 a xy a  a z a (hàm 3 biến)
7. Ví dụ 1. Tìm đạo hàm theo hướng dương của trục Ox tại điểm (-2,1) của hàm số f( x , y )=− xy22 2 x y Vector đơn vị theo hướng dương của Ox là: e = (1,0) −f ( 2,1) =ff ( −2,1) .1 +( − 2,1) .0 e xy = 9 .1 −12 .0 = 9
8. 2. Tìm đạo hàm theo hướng a =− ( 1,1, 1 ) tại 2 2 3 M = (2,1,2) của f( x, y , z) = x + 2 xz − 3 y z a 1 =(1,1, − 1) = (e1 , e 2 , e 3 ) a 3 fM( ) =f ( M) e + f ( M) e + f ( M) e a x1 y 2 z 3 1 1 1 15 =0. + 6. +( − 9) . − = 3 3 3 3
9. Vector Gradient Gọi i,, j( k ) là các vector đơn vị trên các trục tọa độ, f có các đạo hàm riêng tại M0( x 0, y 0 ). Gradient của f tại M0 là: fM( 0) = gradM( 0) = ( fMxy ( 0), fM( 0 )) =+fxy ( M00) ij f( M )
10. Liên hệ f( M0)  f( M 0)  f( M 0 ) =e12 + e =( fM( 0 ), e ) e xy  fM( ) 0 = f( M) e cos = fM( ) .cos e 00 là góc giữa gradf( M0 ) & e fM( 0 ) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi: e cos = 1 = 0
11. Tổng quát Hướng của vector gradient là hướng mà hàm f tăng nhanh nhất. fM( 0 ) a = fM( 0 ), aa
12. Ví dụ −f (2, 3,0) 1/ Tìm grad f (2,− 3,0), a Với: f( x, y , z) = x . eyz , a = (2, − 3,0) yz yz yz fxyz( ,,,,,,) =( ffx y f z ) = ( e xze xye ) f (2, − 3,0) =( 1,0, − 6) −f (2, 3,0) a (2,− 3,0) = f (2, − 3,0). =−(1,0, 6) . a a 13
13. KHAI TRIỂN TAYLOR Cho f(x, y) khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận (x0, y0), khi đó trong lân cận này ta có: n k d f(,) x00 y f(,)(,) x y= f x00 y + + Rn k=1 k! Cụ thể: k n 1  fxyfxy(,)(,)(,)=0 0 + x + yfxyR 0 0 + n k=1k!  x y 1 n+1 R= d(,) x + x y + y Phần dư Lagrange n (n + 1)! 00
14. n Có thể thay Rn bởi o( ) (Peano) (là VCB bậc cao hơn n khi → 0), = x22 + y,() o n Khai triển trong lân cận (0, 0) gọi là kt Maclaurin 1. Thông thường chỉ sử dụng pd Peano. 2. Sử dụng khai triển Maclaurin cơ bản của hàm 1 biến trong kt Taylor hàm nhiều biến. 3. Viết kt trong lân cận của (x0, y0) là viết kt theo lũy thừa của x = (x – x0), y = (y – y0)
15. Ví dụ 1/ Khai triển Taylor đến cấp 2 trong lân cận (1, 1), cho z = f(x, y) = xy yy−1 fxy == yx, f x ln x df(1,1)= x + 0. y y−2 yy−−11 fxx =− y( y 1) x , fxy =+ x yxln x , y 2 fyy = xln x d2 f(1,1)= 0. x 2 + 2. x y + 0. y 2
16. df(1,1)= x + 0. y d2 f(1,1)= 0. x 2 + 2. x y + 0. y 2 df(1,1) d 2 f (1,1) zf=(,)()x y =f (1,1) + + + o 2 1! 2! x2 x y zo=1 + + + ( 2 ) 1! 2! =1 + (x − 1) + ( x − 1)( y − 1) + o ( 2 )
17. Ví dụ 2/ Viết kt Maclaurin đến cấp 2 cho 1 z== f(,) x y 1+x + y − xy Đặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2 1 z= =1 − u + u22 + o ( u ) 1+ u =1 − (x + y − xy ) + ( x + y − xy )22 + o ( u ) =1 −x − y + x2 + 3 xy + y 2 + o ( 2 )
18. Ví dụ 3/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (0,1) cho 2 z== f(,) x y ex+ xy Đặt X = x, Y = y – 1, 2 ze= X++ X XY =1 +X + X2 + XY ()()X+ X2 + XY 2 X + X 2 + XY 3 + + + o() 3 26
19. z=1 + X + X2 + XY ()()X+ X2 + XY 2 X + X 2 + XY 3 + + + o() 3 26 37 =1 +X + X2 + XY + X 3 + X 2 Y + o ( 3 ) 26 37 z=1 + x + x2 + x ( y − 1) + x 3 + x 2 ( y − 1) + o ( 3 ) 26
20. Ví dụ 4/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (1,2) cho z= f( x , y ) = x sin( y − 2). Suy ra f”xy(1, 2) Đặt X = x – 1, Y = y – 2, z trở thành 3 Y 3 z=+( X 1)sin Y =(X + 1) Y − + o ( Y ) 6 Y 3 =Y + XY − + o() 3 6 (y − 2)3 =(y − 2) + ( x − 1)( y − 2) − + o ( 3 ) 6
21. (y − 2)3 f(,)( x y= y − 2)(1)( + x − y − 2) − + o () 3 6 df2 (1,2) = (xy−− 1)( 2) = xy = dxdy 2! f (1,2) x22 + 2 f (1,2) x y + f (1,2) y xx xy yy = xy 2 f”xy(1, 2) = 1
22. PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG. Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0) S •L là đường cong trong S đi qua M. n Tiếp tuyến của L tại M gọi là tiếp tuyến của S tại M. •Các tiếp tuyến này cùng thuộc 1 mặt phẳng gọi là tiếp diện của S tại M.
23. PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG Giả sử L  S có pt: x = x(t), y = y(t), z = z(t) M = (x(t0), y(t0), z(t0)) L Vector chỉ phương của tiếp tuyến tại M là : u= ( x ( t0 ), y ( t 0 ), z ( t 0 )) M S: F(x,y,z) = 0, ta có: FMxtx ()() 0+ FMyt y ()() 0 + FMzt z ()()0 0 =
24. FMxtx ()() 0+ FMyt y ()() 0 + FMzt z ()()0 0 = (xtytzt (),(),()0 0 0 ) ⊥ ( FMFMFMx (), y (), z ()) u⊥ gradF( M ) (với mọi đường cong trong S và qua M) grad F(M) là pháp vector của tiếp diện của S tại M. • Pháp vector của tiếp diện còn gọi là pháp vector của mặt cong S.
25. Phương trình pháp tuyến SM:,,,F( x, y , z) = 0 = (xMMM y z) S x− x y − y z − z MMM== FMFMFMx ( ) y ( ) z ( ) SM:,,z = fx( , y) = (xMMMyS, z ) x− x y − y z − z MMM== fxy ( M) f( M ) −1
26. Phương trình tiếp diện SM:,,,F( x, y , z) = 0 = (xMMM y z) S FMxxx ( )( − M) + FMyy y ( )( − M) + FM z ( ) +( zz − M ) = 0 SM:,,z = fx( , y) = (xMMMyS, z ) z− zM = f x ( M)( x − x M) + f y( M)( y − y M )
27. Ví dụ 1/ Tìm phương trình tiếp diện của mặt cầu: x2+ y 2 + z 2 = 4 aM.= ( 0,0,2) bM.= ( 1, 3,0) F( x, y , z) = x2 + y 2 + z 2 − 4 = 0 gradF( x, y , z) = ( 2 x ,2 y ,2 z)
28. a. gradF ( 0,0,2) = ( 0,0,4) (T):( x− 0.0) +( y − 0.0) +( z − 2.40) = =z 2
29. a. gradF ( 1,3,0) = ( 2,23,0) (T):( x− 1) .2 +( y − 3) .2 3 +( z − 0) .0 = 0 xy +3 − 4 = 0