Bài giảng Bài 3: Đạo hàm và vi phân - Phần 2

Nội dung text: Bài giảng Bài 3: Đạo hàm và vi phân - Phần 2

1. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 2
2. Nội dung 1.Đạo hàm và vi phân hàm hợp. 2.Đạo hàm và vi phân hàm ẩn.
3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP Trường hợp cơ bản: hợp của hàm 2 biến và hàm 2 biến Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v). Nếu z, x, y khả vi: zxuu =+fxy , f yu zxv =+ffxy v y v dz=+ zuv du z dv dz=+ fxy dx f dy =fx ( x u du + x v dv ) + f y ( y u du + y v dv )
4. Trường hợp riêng 1 Cho z = f(x) và x = x(u, v) (hợp của 1 biến và 2 biến) zxuu = fx () , zvv = f ()x x dz=+ zuv du z dv dz= f ( x ) dx = f ( x )( xuv du + x dv )
5. Trường hợp riêng 2: z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) (hợp 2 biến và 1 biến) z ().().() t=+fxy x t f yt dz= z () t dt dz= fdxx + fdy y = f x .().() xtdt + f y ytdt
6. Trường hợp riêng 3: z = f(x, y), y = y(x) (hợp 2 biến và 1 biến) z ().() x=+ffxy y x dz= z () x dx Lưu ý: khi tính đạo hàm hàm hợp, luôn bắt đầu từ đạo hàm của f theo biến chính. Sau đó, tùy thuộc vào yêu cầu, nhân thêm đạo hàm của biến chính vào cạnh đạo hàm của f.
7. VÍ DỤ xy 2 1/ Cho: z= f(,),, x y = e x = u y = u + v tìm z’u, z’v , dz tại (u, v)= (1, 1). z’u = f’x. x’u + f’y.y’u z’v = f’x. x’v + f’y.y’v (u, v)= (1, 1) (x, y) = (1, 2) xy xy zu = ye .2u +xe .1 xy xy zv = ye .0 +xe .1
8. 2 2 2 z (1,1)= 2. e .2 + 1. e .1 = 5 e u 2 zev (1,1) = 22 dz(1,1)= zuv (1,1) du + z (1,1) dv = 5 e du + e dv
9. 2 u 2/ Cho:z= f( x ) = sin( x + x ), x = arctan v Tính z’u, z’v tại (0, 1) z’u = f’(x). x’u z’v = f’(x). x’v x(0, 1) = 0 2 11 zu = (1++ 2x )cos( x x ) v u2 1+ v 2 zu (0,1)= 1 2 −u 1 zv (0,1)= 0 z = (1++ 2x )cos( x x ) v vu22 1+ v 2
10. 3/ Cho: z== f( x , y ) sin( xy ), x==arctan( t) , y et Tính dz(t) tại t = 0 Cách 1: dz = z’(t)dt, với z’(t) = f’x. x’(t) + f’y.y’(t), 1 zt ()=ycos( xy ) +xcos( xy ) et 1+ t 2 t=0 x = 0, y = 1 =dz(0) dt
11. z== f( x , y ) sin( xy ), x==arctan( t) , y et Cách 2: dz=+ fxy dx f dy =+fxy .().() x t dt f y t dt dz=+ ycos( xy ) dx x cos( xy ) dy dt =+ycos( xy ) x cos( xy ) et dt 1+ t 2 =dz(0) dt
12. ln(y 2 + 1) 4/ Cho: z== f(,). x y x2 a/ Tính z’x tại (1,0). b/ Nếu y = ex, tính z’(x) tại x = 1 +zyln(2 1) ln(1) a/2 z = = f = − z (1,0) = − 2 = 0 xxx x3 x 1 b/ z’(x) = f’x + f’y.y’(x) ln(y 2 + 1) 2y = −2 + ex x3 (yx22+ 1)
13. ln(y 2 +1) 2y z')(x = −2 + ex x3 (yx22+ 1) x=1 y = e 2e2 ze (0) = − 2ln(2 + 1) + e2 +1
14. 5/ Cho: z=− f( x y , xy ), với f là hàm khả vi Tính z’x, z’y Đặt: u = x – y , v = xy z = f(u, v) (u, v là biến chính của f) zu x=+ffuv x v x =+fuv .1 f y zu y=+ffuv y v y =fuv .( − 1) + f x
15. x 6/ Cho: với f là hàm khả vi z= xf 2 y Chứng minh đẳng thức: 22xz xy+= yz z x Đặt : u = z = x.f(u) y 2 z =+ f().() u x f u x   x 1 =+f( u ) x . f ( u ). ux =+f( u ) x . f ( u ). y 2
16. x zy = x.() f u  z= xf 2 y y −2x ==xf ( u ). u x . f ( u ). y y 3 1 −2x 2xz + yz x f u x f u xy=+2 ( ) . ( ). 2 +yx. f ( u ). 3 y y = 2xf ( u ) = 2z
17. 22 7/ Cho: z=− f( x y, xy ) với f là hàm khả vi Tính dz theo dx, dy. Đặt: u = x2 – y , v = xy2 z = f(u, v) •Cách 1: dz = z’xdx + z’ydy với zu =+ff v 2 xuv x x =+fuv .2 x f . y zu y=+ffuv y v y =fuv .( − 1) + f .2 xy 2 dz=( fu .2 x + f v . y) dx +( − f u + f v .2 xy) dy
18. • Cách khác: dz = f’udu + f’vdv = f’u( u’xdx + u’ydy) + f’v ( v’xdx + v’ydy) 2 = f’u(2xdx – dy) + f’v(y dx + 2xydy) 2 = (2xf’u + y f’v)dx + (2xyf’v – f’u)dy
19. Đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm hợp Xét trường hợp cơ bản, các trường hợp khác tương tự. Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v) z =+ff x y uu( x uy u ) u =(fx ) x u + f x x uu +( f y ) y u + f y y uu u u z =+ff x y uv( x uy u ) v =(fx ) x u + f x x uv +( f y ) y u + f y y uv v v
20. z =+ff x y vv( x vy v ) v =(fx ) x u + f x x uv +( f y ) y u + f y y vv v v Các đhàm (f’x)’u, (f’x)’v, (f’y)’u, (f’y)’v phải tính theo hàm hợp. Vi phân cấp hai của hàm hợp: (u, v là biến độc lập) Để đơn giản, viết d2z theo du, dv 2 2 2 dz= zuu du +2 z uv dudv + zdv vv
21. Vi phân cấp 2 tính theo hàm hợp Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v) 2 dz= fx dx + f y dy d z = d() dz = d( f x dx + f y dy ) Với x, y là các hàm số thì dx và dy không phải là hằng 2 22 +d z= d( fx ) dx++ fx d x d(fyy )dy fy d Lưu ý: • d(f’x), d(f’y) tính theo vi phân cấp 1 của hàm hợp. • d2x, d2y tính theo vi phân cấp 2 của hàm thường.
22. VÍ DỤ 2 1/ Cho: z== f(,), x y x y x= u + v, y = u − v Tính z”uu, z”uv tại (u, v) =(1, 1) (x = 2, y = 0) 2 zu =2 xy x u + x y u =2xy 1 + x22 1 = 2 xy + x 2 zuu =+2 xy x =22(x y + xy ) + xx ( ) u u u u =2(y + x ) + 2 x = 4 x + 2 y z”uu(1, 1) = 8
23. 2 x= u + v, y = u − v zu =+2 xy x 2 zuv =+2 xy x =22(x y + xy ) + xx ( ) v v v v =2(y − x ) + 2 x = 2 y z”uv (1, 1) = 0
24. VÍ DỤ 2 1/ Cho: z== f(,), x y x y x= u + v, y = u2 Tính z”uutại (u, v) =(1, 1) (x = 2, y = 1) 2 2 zu =2 xy x u + x y u =2xy 1 + x 2 u 2 zuu =+2. xy u x ( ) u 2 =+2(xuu y xy ) +(x +u.2 x . xu ) 2 =2 (y + x .2 u ) + x + 2 ux .1 z”uu(1, 1) = 26
25. 2 2/ Cho: z== f(,), x y x y với x== t2, y ln t Tính d2z theo dt tại t = 1 d22 z= z () t dt (t là biến độc lập) 1 z ().().() t=+ f x t f y t =+2xy .2 t x2 . xy t =+4t33 .ln t t z ( t )= 12 t2 .ln t + 4 t 2 + 3 t 2 d22 z(1)= 7 dt
26. 2 3/ Cho: z=− f() x y với f là hàm khả vi cấp 2. Tính z”xx, z”xy, z”yy Đặt u = x2 - y z = f(u) z xx== f ( u ) u f ( u ).2 x , z y =− f( u ).( 1) z ==( z ) ( f ( u ).2 x) =+2 f ( u ) x( f ( u )) xx x xx x f u xf u u 2 =+2 ( ) ( ). x  =+2 f ( u ) 2 x f ( u )
27. zxy==( z x ) yy( f( u ).2 x) = 2xf ( u ). u = 2x( f ( u )) y y =−2xf ( u ) z y =− f( u ).( 1) z = z = − f () u yy( y ) y ( ) y=−f () u u y = fu()
28. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM ẨN Nhắc lại: giả sử hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình F(x, y) = 0. Để tính y’(x), lấy đạo hàm phương trình F = 0 theo x và giải tìm y’(x) (cách 1). Với cách là này ta xem y là hàm theo x khi lấy đạo hàm của F. Cách 2: Sử dụng hàm hợp cho hàm nhiều biến G = F(x, y) = 0, với y = y(x) G’(x) = F’x + F’y.y’(x) = 0
29. Đạo hàm của hàm ẩn 1 biến y = y(x) F yx ()=− x Xem x, y là 2 biến độc lập khi lấy đh của F. Fy Xét hàm ẩn 2 biến z = z(x, y) xác định từ phương trình: F(x, y, z) = 0 (1). F F x, y, z là các biến độc zz = −x , = − y xylập khi tính F’ , F’ , F’ . FFzz x y z
30. Chứng minh công thức đạo hàm hàm ẩn Đặt G = F(x, y, z), lấy đạo hàm (1) theo x: Fx G=0 Gx = F x .1 + F y .0 + F z . z x = 0 z x = − Fz Fy G=0 Gy = F x .0 + F y .1 + F z . z y = 0 z y = − Fz Hàm ẩn cho bởi pt (1) có đhr là
31. Cách tìm vi phân cấp 1: G=0 dG = dF = Fx . dx + F y . dy + F z . dz = 0 Giải pt tìm dz dz tìm bằng giải pt hoặc từ dz = z’xdx + z’ydy Đạo hàm và vi phân cấp 2 của hàm ẩn: 2 Cách 1: tính z”xx, z”xy, z”yy và d z từ z’x, z’y và dz Cách 2: giải các pt (a) G”xx = 0 tìm z”xx (b) G”xy = 0 tìm z”xy (c) G”xy = 0 tìm z”yy (d) d2G = d2F = 0 tìm d2z
32. VÍ DỤ Cho y = y(x) xác định từ pt: ey + xy − e = 0 (1) Tìm y’(0). Cách 1: học kỳ 1 Lấy đạo hàm pt đã cho: y ey + y + xy = 0 (2) x = 0, (1) y = 1, (2) ye (0)+ 1 + 0 = 0 ye (0) = − −1
33. Cách 2: F(x, y) = ey + xy – e (1) F(x, y) = 0 F y x yx()=− =− y Fy ex+ 1 ye (0) = − = − −1 e + 0
34. Ví dụ 1/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F( x , y , z )= z − yexz/ = 0 (1) Tìm z’x, z’y tại (x, y) = (0, 1). từ (1) ta có: (x, y) = (0, 1) z = 1 y xz/ F − e −1 z = −x = − z z (0,1) = − = 1 x yx x Fz 1+ exz/ 10+ z2
35. F( x , y , z )= z − yexz/ = 0 F −exz/ z = −y = − y yx Fz 1+ exz/ z2 −1 z (0,1) = − = 1 y 10+
36. Ví dụ 2/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: Fxyz( , , )= xy − shx ( + y − z ) = 0 (1) Tìm z’’xx, z’’xy tại (x, y) = (1, 0). (x , y )= (1,0) z = 1 F y− ch() x + y − z z = −x = − x Fz ch() x+− y z z x (1,0)= 1, z (1,0)= 0 Fy x− ch() x + y − z y z y = − = − Fz ch() x+− y z
37. Fx y− ch() x + y − z z x = − = − Fz ch() x+− y z y− ch() x + y − z zzxx=( x ) x = − ch() x+− y z x y−c h (.) . ch (.) − ch (.) . y − ch (.) =− xx ch2(.) −(1 −z ) sh (.) ch (.) − y − ch (.) (1 − z ) sh (.) =− xx ch2() x+− y z
38. −(1 −z xx ) sh (.) ch (.) − y − ch (.) (1 − z ) sh (.) z xx =− ch2() x+− y z z x (1,0)= 1, zy (1,0)= 0 −(1 − 1).0.1 − (0 − 1)(1 − 1).0 z (1,0) = − = 0 xx 1
39. F y− ch() x + y − z z (1,0)= 1, z = −x = − x x F ch() x+− y z z zy (1,0)= 0 y− ch() x + y − z zzxy=( x ) y = − ch() x+− y z y 1− (1 −z ) sh (.) ch (.) − y − ch (.) (1 − z ) sh (.) =− yy ch2() x+− y z 1− (1 − 0).0 .1 − (0 − 1)(1 − 0).0 z (1,0) = − = − 1 xy 1
40. Ví dụ 3/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F( x , y , z )= z32 − 4 xz + y − 4 = 0 (1) Tìm dz(1, -2), d2z(1, -2) nếu z(1, -2) = 2 ❖ Lấy vi phân pt (1): dF=3 z2 dz − 4 zdx − 4 xdz + 2 ydy = 0 (2) Thay x = 1, y = - 2, z = 2 vào (2): 12dz (1,− 2) − 8 dx − 4 dz (1, − 2) − 4 dy = 0 1 dz(1, − 2) = dx + dy 2
41. ❖ Lấy vi phân pt (2): d22 F= d(3 z dz − 4 zdx − 4 xdz + 2 ydy ) = 0 d2 F=+32( zdz 2 z 2 d 2 z) −4dzdx 2 2 −+4(dxdz xd z) +2dy = 0 (3) (Vì x, y là biến độc lập nên dx = dy = hằng) Thay x = 1, y =-2, z = 2, dz = dz(1, -2) = dx + 1/2dy vào (3) 15 d2 z(1,− 2) = − dx 2 − dxdy − dy 2 28
42. Ví dụ 4/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F= f( x + z , y ) = 0 (1) với f là hàm khả vi cấp 2. Tìm z’x, z’y, z”xx, z”yy Đặt u = x+ z, v = y F(x, y, z) = f(u, v) = 0 Fx = f u , u x + f v v x = f u Fy = f u u y + f v v y = f v Fz = f u u z + f v v z = f u fu fv z = 0 zz xy= − = −1, = − xx ffuu
43. fv z y =− u = x+ z, v = y fu f z =− v yy fu y f u+ f v f − f u + f v f ( vu y vv y) yy u( uu y uv y) v =− 2 (fu ) (fvu z y+ f vv ) f u −( f uu z y + f uv ) f v =− 2 (fu )
44. f z + f f − f z + f f ( vu y vv) u( uu y uv) v zyy =− 2 (fu ) fv z y =− fu ff f −vv + f f − f − + f f vu ff vv u uu uv v uu zyy =− 2 (fu )