17 Chuyên đề đại số (Phần 2)

pdf

127 trang phuongnguyen 4020

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "17 Chuyên đề đại số (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

17_chuyen_de_dai_so_phan_2.pdf

Nội dung text: 17 Chuyên đề đại số (Phần 2)

Chuyên đề LT ĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuyeân ñeà 9: I S T H P I.KHAÙI NIEÄM VEÀ GIAI THÖØA : 1.Ñònh nghóa : Vôùi n ∈N vaø n > 1 Tích cuûa n soá töï nhieân lieân tieáp töø 1 ñeán n ñöôïc goïi laø n - giai thöøa. Kyù hieäu : n! Ta coù : n! = 1.2 n (1) * Quy öôùc : 0! = 1 vaø 1! = 1 2. Moät soá coâng thöùc : n! * n! = (n - 1)!.n * = (k+1)(k+2) n (n ≥ k) * k! n! =(n −+ k 1)(n −+ k 2) n (n− k)! II. CAÙC QUY TAÉC CÔ BAÛN VEÀ PHEÙP ÑEÁM : 1. QUY TAÉC COÄNG : 52
Chuyên đề LT ĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn NH NGH A (SGK NC) TNG QUÁT NH NGH A (SGK CB) 2. QUY TAÉC NHAÂN : Ví duï: An muoán ruû Bình ñeán chôi nhaø Cöôøng. Töø nhaø An ñeán nhaø Bình coù 4 con ñöôøng. Töø nhaø Bình ñeán nhaø Cöôøng coù 6 con ñöôøng ñi. Hoûi An coù bao nhieâu caùch ñi ñeán nhaø Cöôøng 53
Chuyên đề LT ĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn NH NGH A (SGK NC) TNG QUÁT NH NGH A (SGK CB) III. HOAÙN VÒ: Ví duï: Töø caùc chöõ soá 1;2;3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 3 chöõ soá khaùc nhau. 1.Ñònh nghóa : Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû (n ≥ 1). Moãi caùch saép thöù töï n phaàn töû cuûa taäp hôïp A ñöôïc goïi laø moät hoaùn vò cuûa n phaàn töû ñoù Hoaùn vò • Nhoùm coù thöù töï n phaàn töû • Ñuû maët n phaàn töû cuûa A NH NGH A (SGK NC) NH NGH A (SGK CB) 54
Chuyên đề LT ĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2.Ñònh lyù : Kyù hieän soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû laø P n , ta coù coâng thöùc: Pn = n! (2) IV.CHÆNH HÔÏP : Ví duï: Töø caùc chöõ soá 1;2;3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 2 chöõ soá khaùc nhau. 1.Ñònh nghóa : Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû . Moãi boä goàm k ( 1 ≤ k ≤ n) phaàn töû saép thöù töï cuûa taäp hôïp A ñöôïc goïi laø moät chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû cuûa A. Chænh hôïp • Nhoùm coù thöù töï n phaàn töû • Goàm k phaàn töû ñöôïc laáy töø n phaàn töû cuûa A NH NGH A (SGK NC) NH NGH A (SGK CB) 2.Ñònh lyù: 55
Chuyên đề LT ĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn k Kyù hieäu soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø An , ta coù coâng thöùc: n! Ak = (3) n (n− k)! V. TOÅ HÔÏP : Ví duï: Cho taäp hôïp A={ 3,2,1 }.Vieát taát caû caùc taäp con cuûa A goàm 2 phaàn töû 1.Ñònh nghóa : Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû . Moãi taäp con cuûa goàm k phaàn töû ( 1≤ k ≤ n ) cuûa A ñöôïc goïi laø moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñaõ cho. Toå hôïp • Nhoùm khoâng coù thöù töï n phaàn töû • Goàm k phaàn töû ñöôïc laáy töø n phaàn töû cuûa A NH NGH A (SGK NC) NH NGH A (SGK CB) 2. Ñònh lyù : k Kyù hieäu soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø Cn , ta coù coâng thöùc: n! Ck = (4) n k!(n− k)! 56
Chuyên đề LT ĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn LÖU YÙ QUAN TROÏNG : Caùc baøi toaùn veà giaûi tích toå hôïp thöôøng laø nhöõng baøi toùan veà nhöõng haønh ñoäng nhö : laäp caùc soá töø caùc soá ñaõ cho ,saép xeáp moät soá ngöôøi hay ñoà vaät vaøo nhöõng vò trí nhaát ñònh , laäp caùc nhoùm ngöôøi hay ñoà vaät thoûa maõn moät soá ñieàu kieän ñaõ cho v.v 1. Neáu nhöõng haønh ñoäng naøy goàm nhieàu giai ñoïan thì caàn tìm soá caùch choïn cho moãi giai ñoïan roài aùp duïng quy taéc nhaân. 2. Nhöõng baøi toaùn maø keát quaû thay ñoåi neáu ta thay ñoåi vò trí cuûa caùc phaàn töû , thì ñaây laø nhöõng baøi toaùn lieân quan ñeán hoaùn vò vaø chænh hôïp. 3. Ñoái vôùi nhöõng baøi toaùn maø keát quaû ñöôïc giöõ nguyeân khi ta thay ñoåi vò trí cuûa caùc phaàn töû thì ñaây laø nhöõng baøi toaùn veà toå hôïp. 57
Chuyên đề LT ĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BAØI TAÄP REØN LUYEÄN I. CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ PHEÙP ÑEÁM : Baøi 1 :Töø 7 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá chaün , moåi soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi. KQ: 1260 Baøi 2 : Moät toå goàm 8 nam vaø 6 nöõ . Caàn laáy moät nhoùm 5 ngöôøi trong ñoù coù 2 nöõ . Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn. KQ: 840 Baøi 3 : Cho hai ñöôøng thaúng song song (d 1) , (d 2) . Treân (d 1) laáy 17 ñieåm phaân bieät , treân (d 2) laáy 20 ñieåm phaân bieät . Tính soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 ñieåm trong soá 37 ñieåm ñaõ choïn treân (d 1) vaø (d 2) . KQ:5950 Baøi 4 : Töø moät taäp theå goàm 12 hoïc sinh öu tuù , ngöôøi ta caàn cöû moät ñoaøn ñi döï traïi heø quoác teá trong ñoù coù moät tröôûng ñoaøn , 1 phoù ñoaøn vaø 3 ñoaøn vieân . Hoûi coù bao nhieâu caùch cöû ? KQ: 15840 Baøi 5: Vôùi 6 chöõ soá phaân bieät 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù caùc chöõ soá phaân bieät trong ñoù moãi soá ñieàu phaûi coù maët soá 6. KQ: 1630 Baøi 6: Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi sao cho taát caû caùc chöû soá ñeàu khaùc khoâng vaø coù maët ñoàng thôøi caùc chöõ soá 2, 4, 5. KQ: 1800 Baøi 7: Moät hoäp ñöïng 4 vieân bi ñoû , 5 vieân bi traéng vaø 6 vieân bi vaøng . Ngöôøi ta choïn ra 4 vieân bi töø hoäp ñoù . Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå trong soá bi laáy ra khoâng ñuû caû 3 maøu. KQ:645 Baøi 8: Cho 8 chöõ soá 0,1,2,3,4,5,6,7 .Töø 8 chöõ soá soá treân coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá , moãi soá goàm 4 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau vaø moãi soá ñeàu khoâng chia heát cho 10. KQ: 1260 Baøi 9: Hoûi töø 10 chöõ soá 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau sao cho trong caùc chöõ soá ñoù coù maët soá 0 vaø soá 1. KQ:42000 Baøi 10: Coù bao nhieâu soá chaün goàm 6 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät trong ñoù coù chöõ soá ñaàu tieân laø soá leû? KQ: 42000 Baøi 11: Coù bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät trong ñoù coù ñuùng 3 chöõ soá leû vaø 3 chöõ soá chaün ( chöõ soá ñaàu tieân phaûi khaùc khoâng ). KQ:64800 Baøi 12: Coù 5 nhaø toaùn hoïc nam , 3 nhaø toaùn hoïc nöõ vaø 4 nhaø vaät lyù nam . Laäp moät ñoaøn coâng taùc 3 ngöôøi caàn coù caû nam vaø nöõ , caàn coù caû nhaø toaùn hoïc vaø nhaø vaät lyù . Hoûi coù bao nhieâu caùch. KQ:90 Baøi 13 : Cho taäp hôïp A = { 9;8;7;6;5;4;3;2;1 }. Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau sao cho caùc soá naøy chia heát cho 5 vaø coù ñuùng 3 chöõ soá leû? Baøi 14 : Cho taäp hôïp A = { 9;8;7;6;5;4;3;2;1;0 }. Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau sao cho luoân coù maët hai chöõ soá 0 vaø 3? Baøi 15 : Cho taäp hôïp A = { 9;8;7;6;5;4;3;2;1 }. Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau sao cho chöõ soá thöù ba chia heát cho 3 vaø chöõ soá cuoái chaün? Baøi 16 : Cho taäp hôïp A = { 9;8;7;6;5;4;3;2;1 }. Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau sao cho caùc soá naøy chia heát cho 2 vaø coù ñuùng 3 chöõ soá leû? Baøi 17 : Moät tröôøng trung hoïc coù 8 thaày daïy toaùn, 5 thaày daïy vaät lyù, vaø ba thaày daïy hoùa hoïc. Choïn töø ñoù ra moät ñoäi coù 4 thaày döï ñaïi hoäi. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå coù ñuû ba boä moân? Baøi 18 : Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá, chöõ soá 0 coù maët ñuùng 2 laàn, chöõ soá 1 coù maët ñuùng moät laàn, 58
Chuyên đề LT ĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn hai chöõ soá coøn laïi phaân bieät CÔNG TH C NH TH C NIU-TƠN Ví d : 59
Chuyên đề LT ĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI T P RÈN LUY N Bài 1 : Bài 2 : Bài 3 : Bài 4 : Bài 5 : Bài 6 : Bài 7 : Bài 8 : 60
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuyên đề 10 : XÁC SU ẤT KI ẾN TH ỨC C Ơ B ẢN 61
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 62
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 63
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 64
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI T ẬP RÈN LUY ỆN Bài 1 : (B-2012) Bài 2 : Bài 3 : Bài 4 : Tung 2 con xúc x c ng ch t. 1) Tìm xác xu t c a bi n c có t ng s ch m là 8. 2) Tìm xác xu t c a bi n c có t ng s ch m là s l ho c chia h t cho 3. 5 2 Kt qu : 1) 2) 36 3 Bài 5 : M t t h c sinh có 6 nam và 5 n . 1) Tìm xác su t l y ra 4 h c sinh i lao ng sao cho trong ó có 1 n . 2) Tìm xác su t l y ra 4 h c sinh i lao ng sao cho trong ó có không quá 3 n . 10 65 Kt qu : 1) 2) 33 66 Bài 6: M t n v v n t i có 10 xe ô tô, trong ó có 6 xe t t. iu m t cách ng u nhiên 3 xe i công tác. Tìm xác su t trong 3 xe ó có ít nh t m t xe t t. 29 Kt qu : 30 Bài 7 : M t t g m 9 h c sinh nam và 3 h c sinh n . C n ch n m t nhóm 4 ng ưi tr c nh t. 1) H i có bao nhiêu cách ch n khác nhau. 2) Tính xác su t khi ch n ng u nhiên m t nhóm 4 ng ưi ta ưc nhóm có úng 1 n . 28 Kt qu : 1) 495 2) 55 Bài 8 : M t t g m 9 h c sinh nam và 3 h c sinh n . C n chia t thành 3 nhóm, m i nhóm 4 ng ưi i làm 3 công vi c khác nhau. H i có bao nhiêu cách chia khác nhau ? Tính xác su t khi chia ng u nhiên ta ưc mi nhóm có úng 1 n . 16 Kt qu : 55 Bài 9 : M t h p bóng èn có 12 bóng, trong ó có 7 bóng t t. L y ng u nhiên 3 bóng. Tính xác su t l y ưc: 1) 3 bóng t t. 2) Ít nh t 2 bóng t t. 3) Ít nh t 1 bóng t t. 7 7 21 Kt qu : 1) 2) 3) 44 11 22 65
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 10 : Trong m t chi c h p kín có ch a 10 qu c u tr ng và 8 qu c u . Gi thi t r ng kích th ưc và tr ng l ưng c a t t c các qu các qu c u nói trên là y h t nhau. L y hú h a ra 5 qu c u. Tìm xác su t c a bi n c : trong 5 qu c u ưc l y ra có úng 3 qu c u . Kt qu : 5/17 Bài 11 : M t h p có 12 viên bi, trong ó có 4 viên màu và 8 viên màu xanh. L y ng u nhiên 3 viên bi. Tìm xác su t : 1) C 3 viên bi u màu xanh. 2) C ba viên bi u màu . 3) Có úng m t viên bi màu xanh. 4) Có ít nh t m t viên bi màu xanh. Kt qu : 1) 56/220 2) 4/220 3) 48/220 4) 216/220. Bài 12 : Hai x th cùng b n m t phát vào bia. Xác su t trúng ích c a ng ưi th nh t là 0,9, c a ng ưi th hai là 0,7. Tính các xác su t sau ây: 1) C hai phát u trúng. 2) Ít nh t m t phát trúng. 3) Ch m t phát trúng. Kt qu : 1) 0,63 2) 0,97 3) 0,34 . HẾT 66
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuyeân ñeà 11 : ÔN T ẬP HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG MAËT PHAÚNG PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ ÑIEÅM - TOÏA ÑOÄ VEÙC TÔ A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN y I. Heä truïc toaï ñoä ÑEÀ-CAÙC trong maët phaúng : j • x'Ox : truïc hoaønh i • y'Oy : truïc tung x x ' O • O : goác toaï ñoä • i, j : veùc tô ñôn vò ( ij= =1 vaø ij ⊥ ) y ' Quy öôùc : Maët phaúng maø treân ñoù coù choïn heä truïc toaï ñoä Ñeà-Caùc vuoâng goùc Oxy ñöôïc goïi laø maët phaúng Oxy vaø kyù hieäu laø : mp(Oxy) II. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô : 1. Ñònh nghóa 1 : Cho M∈ mp( Oxy ) . Khi ñoù veùc tô OM ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo y i, j bôûi heä thöùc coù daïng : OM= xi + yj vôùi x,y ∈ » . Q M j Caëp soá (x;y) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M. i x' x Kyù hieäu : M(x;y) ( x: hoaønh ñoä cuûa ñieåm M; y: tung ñoä cuûa ñieåm M ) O P ñ/ n y ' Mxy( ; ) ⇔ OM = xiyj + • YÙ nghóa hình hoïc : y Q M y x x' x O P x= OP vaø y=OQ y ' 2. Ñònh nghóa 2 : Cho a∈ mp( Oxy ) . Khi ñoù veùc tô a ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo » i, j bôûi heä thöùc coù daïng : a= ai12 + aj vôùi a 12 ,a ∈ . y a Caëp soá (a 1;a 2) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô a . e Kyù hieäu : a= ( a ; a ) 2 1 2 e x' 1 x O P ñ/ n a=(a ;a ) ⇔ aaiaj = + 12 12 y' 67
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn • YÙ nghóa hình hoïc : y B K B 2 A A 2 H aAB1= 11 vaø a 2 =A 22 B x' x O A B 1 1 y' III. Caùc coâng thöùc vaø ñònh lyù veà toaï ñoä ñieåm vaø toaï ñoä veùc tô : Ñònh lyù 1 : Neáu Axy(A ; A ) vaø B(xB ; y B ) thì B(xB ; y B ) AB=( xB − xy AB ; − y A ) A(x ; y ) A A Ñònh lyù 2 : Neáu a=( aa12 ; ) vaø b = ( bb 12 ; ) thì a a1= b 1 * a= b ⇔  a= b 2 2 b * ab+=( a + ba ; + b ) 1 12 2 * ab−=( a − ba ; − b ) 1 12 2 * k. a= ( ka1 ; ka 2 ) (k ∈ » ) IV. Söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô : Nhaéc laïi • Hai veùc tô cuøng phöông laø hai veùc tô naèm treân cuøng moät ñöôøng thaúng hoaëc naèm treân hai ñöôøng thaúng song song . • Ñònh lyù veà söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô : Ñònh lyù 3 : Cho hai veùc tô a vaø b vôùi b ≠ 0 a a cuøng phöông b ⇔∃∈ !k» sao cho akb = . b Neáu a ≠ 0 thì soá k trong tröôøng hôïp naøy ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: b k > 0 khi a cuøng höôùng b a b a k < 0 khi a ngöôïc höôùng b a k = 2 5 C b a= − b , b = - a 5 2 B A 68
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Ñònh lyù 4 : A, B , C thaúng haøng ⇔ AB cuøng phöông AC (Ñieàu kieän 3 ñieåm thaúng haøng ) Ñònh lyù 5 : Cho hai veùc tô a=( aa12 ; ) vaø b = ( bb 12 ; ) ta coù : a cuøng phöông b ⇔ a12 . bab − 21 . = 0 (Ñieàu kieän cuøng phöông cuûa 2 veùc tô a a a a = ( 1; 2 ) = )2;1( VD : b b b b = )4;2( = ( 1 ; 2 ) V. Tích voâ höôùng cuûa hai veùc tô : Nhaéc laïi: y B ab.= ab . .cos(,) ab b b b 2 2 a= a O ϕ x A x' a O a a ab⊥ ⇔ ab . = 0 = = Ñònh lyù 6: Cho hai veùc tô a( aa12 ; ) vaø b ( bb 12 ; ) ta coù : y' ab. = ab11 + ab 22 (Coâng thöùc tính tích voâ höôùng theo toïa ñoä) Ñònh lyù 7: Cho hai veùc tô a= ( a1 ; a 2 ) ta coù : 2 2 a= a1 + a 2 (Coâng thöùc tính ñoä daøi veùc tô ) A(x ; y ) B(x ; y ) A A B B Ñònh lyù 8: Neáu Axy(A ; A ) vaø B(xB ; y B ) thì 2 2 AB=( xxBA − )( +− yy BA ) (Coâng thöùc tính khoaûng caùch 2 ñieåm) Ñònh lyù 9: Cho hai veùc tô a=( aa12 ; ) vaø b = ( bb 12 ; ) ta coù : ab⊥ ⇔ a11 bab + 22 = 0 (Ñieàu kieän vuoâng goùc cuûa 2 veùc tô) Ñònh lyù 10: Cho hai veùc tô a=( aa12 ; ) vaø b = ( bb 12 ; ) ta coù a. b ab+ ab cos(a , b ) = = 11 22 (Coâng thöùc tính goùc cuûa 2 veùc tô) a b 2 2 2 2 . a1+ a 2. b 1 + b 2 69
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn VI. Ñieåm chia ñoaïn thaúng theo tyû soá k : Ñònh nghóa : Ñieåm M ñöôïc goïi laø chia ñoaïn AB theo tyû soá k ( k ≠ 1 ) neáu nhö : MA= k. MB A M B • • • Ñònh lyù 11 : Neáu Axy(A ; A ) , B(xB ; y B ) vaø MA= k. MB ( k ≠ 1 ) thì  xA− k. x B xM =  1− k  y− k. y y = A B  M 1− k  xA+ x B xM =  2 Ñaëc bieät : M laø trung ñieåm cuûa AB ⇔  y+ y y = A B  M 2 VII. Moät soá ñieàu kieän xaùc ñònh ñieåm trong tam giaùc : A  x A + xB + xC x G =  3 G .1 G laø troïng taâm tam giaùc ABC ⇔ GA + GB + GC = 0 ⇔  y + y + y C y = A B C B  G 3 A AH⊥ BC  AH. BC = 0 2. H laø tröïc taâm tam giaùc ABC ⇔  ⇔  H A ⊥  = C BH AC  BH. AC 0 B  ' ' AA⊥ BC 3. A laø chaân ñöôøng cao keû töø A ⇔  C BA' cuøng phöông BC B A' A IA=IB 4. I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC ⇔  IA=IC I AB C 5. D laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc A cuûa ∆ ABC ⇔ DB =− . DC B AC AB A 6. D' laø chaân ñöôøng phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc A cuûa ∆ ABC ⇔ DB' = . DC ' AC AB A 7. J laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ∆ ABC ⇔ JA =− . JD C BD B D J VIII. Kieán thöùc cô baûn thöôøng söû duïng khaùc : Coâng thöùc tính dieän tích tam giaùc theo toaï ñoä ba ñænh : C B D Ñònh lyù 12 : Cho tam giaùc ABC . Ñaët AB=( aa12 ; ) vaø AC = ( bb 12 ; ) ta coù : 70
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 1 A S=. abab − ∆ABC 2 12 21 B C ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ 71
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN I. Caùc ñònh nghóa veà VTCP vaø VTPT (PVT) cuûa ñöôøng thaúng : ñn a ≠ 0 a laø VTCP cuûa ñöôøng thaúng ( ∆ ) ⇔  a coù giaù song song hoaëc truøng vôùi ( ∆) ñn n ≠ 0 n laø VTPT cuûa ñöôøng thaúng ( ∆ ) ⇔  n coù giaù vuoâng goùc vôùi (∆ ) a n a (∆) (∆) * Chuù y ù: • Neáu ñöôøng thaúng ( ∆ ) coù VTCP a= ( a ; a ) thì coù VTPT laø n=( − a ; a ) 1 2 2 1 • Neáu ñöôøng thaúng ( ∆ ) coù VTPT n= ( A ; B ) thì coù VTCP laø a=( − B ; A ) n a (∆) II. Phöông trình ñöôøng thaúng : 1. Phöông trình tham soá vaø phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng : a. Ñònh lyù : Trong maët phaúng (Oxy). Ñöôøng thaúng ( ∆ ) qua M 0(x 0;y 0) vaø nhaän a= ( a1 ; a 2 ) laøm VTCP seõ coù : y x= x0 + ta. 1 a Phöông trình tham soá laø : ():∆ (t ∈ » ) M (x; y) y= y0 + ta. 2 x O M (x ; y ) 0 0 0 xx− yy − Phöông trình chính taéc laø : (∆ ) : 0 = 0 a1 a 2 2. Phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng : a. Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua moät ñieåm M 0(x 0;y 0) vaø coù VTPT n= ( A ; B ) la ø: y n M (x; y) 72
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn x O M x y 0 ( 0 ; 0 ) 2 2 ():(∆Ax −+ x0 ) By ( −= y 0 )0 ( A+ B ≠ 0 ) b. Phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng : Ñònh lyù : Trong maët phaúng (Oxy). Phöông trình ñöôøng thaúng ( ∆ ) coù daïng : n A B y = ( ; ) M x y 2+ 2 ≠ 0 ( 0 ; 0 ) Ax + By + C = 0 vôùi A B 0 x O a = (−B; A) a = (B;− A) Chuù yù: Töø phöông trình ( ∆ ):Ax + By + C = 0 ta luoân suy ra ñöôïc : 1. VTPT cuûa ( ∆ ) laø n= ( A ; B ) 2. VTCP cuûa ( ∆ ) laø a=−( BA ; ) hay a =− ( BA ; ) 3. Mxy000(;)()∈∆⇔ Ax 00 + ByC += 0 Meänh ñeà (3) ñöôïc hieåu laø : Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå moät ñieåm naèm treân ñöôøng thaúng laø toïa ñoä ñieåm ñoù nghieäm ñuùng phöông trình cuûa ñöôøng thaúng . 3. Caùc daïng khaùc cuûa phöông trình ñöôøng thaúng : a. Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A(x A;y A) vaø B(x B;y B) : xx−A yy − A (AB ) : = (AB ) : x= x A (AB ) : y= y A xB− x A y B − y A y y y A(x A ; y A ) B(x B ; y B ) M (x; y) B(x B ; y B ) y A A(x A ; y A ) x x y A y B x A B x O x A(x ; y ) A A y B(x ; y ) B B B b. Ph ươ ng trình đường th ẳng theo đoạn ch ắn: Định lý : Trong mp(Oxy) ph ươ ng trình đường th ẳng ( ∆ ) c ắt tr ục hoàng t ại điểm A(a;0) và tr ục tung t ại x y điểm B(0;b) v ới a, b ≠ 0 có d ạng: + = 1 a b c. Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua moät ñieåm M 0(x 0;y 0) vaø coù heä soá goùc k : 73
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Ñònh nghóa : Trong mp(Oxy) cho ñöôøng thaúng ∆ . Goïi α =(Ox , ∆ ) thì k= tg α ñöôïc goïi laø heä soá goùc y cuûa ñöôøng thaúng ∆ α x O Ñònh lyù 1 : Phöông trình ñöôøng thaúng ∆ qua M0( x 0 ; y 0 ) coù heä soá goùc k laø : y y M (x; y) 0 y-y =k(x-x ) (1) x 0 0 O x 0 Chuù yù 1 : Phöông trình (1) khoâng coù chöùa phöông trình cuûa ñöôøng thaúng ñi qua M 0 vaø vuoâng goùc Ox neân khi söû duïng ta caàn ñeå yù xeùt theâm ñöôøng thaúng ñi qua M 0 vaø vuoâng goùc Ox laø x = x 0 Chuù yù 2 : Neáu ñöôøng thaúng ∆ coù phöông trình y= ax + b thì heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng laø k= a Ñònh lyù 2 : Goïi k 1, k 2 laàn löôït laø heä soá goùc cuûa hai ñöôøng thaúng ∆1, ∆ 2 ta coù : k • ∆∆12// ⇔ k 12 = k • ∆⊥∆1 2 ⇔ k. 12 =− 1 c. Phöông trình ñt ñi qua moät ñieåm vaø song song hoaëc vuoâng goùc vôùi moät ñt cho tröôùc : i. Phöông trinh ñöôøng thaúng (∆1 ) //( ∆ ): Ax+B y+C=0 coù daïng: Ax+By+m1 =0 ii. Phöông trinh ñöôøng thaúng (∆1 ) ⊥ ( ∆ ): Ax+By+ C=0 coù daïng: Bx-Ay+m2 =0 Chuù y ù: m1; m 2 ñöôïc xaùc ñònh bôûi moät ñieåm coù toïa ñoä ñaõ bieát naèm treân ∆1; ∆ 2 y Ax By m ∆ 1 : + + 1 = 0 y ∆ :Bx −Ay +m =0 ∆ : Ax + By + C = 0 1 2 1 x O x M 0 x 1 O x M 0 1 Ax By C ∆: + + 1 =0 III. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng : y y y ∆ 1 ∆ 2 ∆ 1 x x x O O O ∆ 1 74 ∆ 2 ∆ 2 ∆ // ∆ ∆ caét ∆ ∆ ≡ ∆
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn ():∆Ax + By += C 0 Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng : 11 1 1 ():∆2Ax 2 + By 2 += C 2 0 Vò trí töông ñoái cuûa (∆1 ) vaø ( ∆ 2 ) phuï thuoäc vaøo soá nghieäm cuûa heä phöông trình : Ax+ By + C = 0 Ax+ By = − C  1 1 1 hay  1 1 1 (1) Ax2+ By 2 + C 2 = 0 Ax2+ By 2 = − C 2 Chuù yù: Nghieäm duy nhaát (x;y) cuûa heä (1) chính laø toïa ñoä giao ñieåm M cuûa (∆1 ) vaø ( ∆ 2 ) Ñònh lyù 1 : i. Heä (1) voâ nghieäm ⇔ ( ∆1 )//( ∆ 2 ) ii . Heä (1) coù nghieäm duy nhaát ⇔ ( ∆1 ) c aét ( ∆ 2 ) iii . Heä (1) coù voâ soá nghieäm ⇔ ( ∆1) ≡∆ ( 2 ) Ñònh lyù 2 : Neáu A2; B 2 ; C 2 khaùc 0 thì A1B 1 i. (∆1 ) caét ( ∆ 2 ) ⇔ ≠ A2B 2 A1B 1 C 1 ii . (∆∆1 ) // ( 2 ) ⇔ =≠ A2B 2 C 2 A1B 1 C 1 iii . (∆≡∆1 ) ( 2 ) ⇔ == A2B 2 C 2 IV. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng 1. Định ngh ĩa: Hai đường th ẳng a, b c ắt nhau t ạo thành 4 góc. S ố đo nh ỏ nh ất trong các s ố đo c ủa b ốn góc đó được g ọi là góc gi a hai ưng th ng a và b (hay góc h p b i hai ưng th ng a và b ). Góc gi ữa hai đường th ẳng a và b đước kí hi ệu là (a,b ) Khi a và b song song ho ặc trùng nhau, ta nói r ằng góc c ủa chúng b ằng 00 75
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2. Công th ức tính góc gi ữa hai đường th ẳng theo VTCP và VTPT a) N ếu hai đường th ẳng có VTCP l ần l ượt là u và v thì u.v cos() a,b= cos() u,v = u . v b) N ếu hai đường th ẳng có VTPT l ần l ượt là n và n ' thì n.n ' cos() a,b= cos() n,n' = n .n' ():∆Ax + By += C 0 Ñònh lyù : Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng : 11 1 1 ():∆2Ax 2 + By 2 += C 2 0 0 0 Goïi ϕ ( 0≤ϕ ≤ 90 ) laø goùc giöõa (∆1 ) vaø ( ∆ 2 ) ta coù : y AA12+ BB 12 ∆ ϕ cos ϕ = 1 A2+ B 2. A 2 + B 2 1 1 2 2 x O Heä quaû: ∆ 2 ()()∆⊥∆⇔1 2 A 1212A + B B = 0 V. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng : Ñònh lyù 1 : Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng ():∆Ax + By += C 0 vaø ñieåm M0( x 0 ; y 0 ) Khoaûng caùch töø M 0 ñeán ñöôøng thaúng (∆ ) ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: M 0 y H Ax0+ By 0 + C d( M 0 ;∆ ) = 2 2 x A+ B O (∆) ():∆Ax + By += C 0 Ñònh lyù 2 : Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng : 11 1 1 ∆ y ():∆2Ax 2 + By 2 += C 2 0 1 Phöông trình phaân giaùc cuûa goùc taïo bôûi (∆1 ) vaø ( ∆ 2 ) laø : x Ax++ ByC Ax ++ ByC O 111= ± 2 2 2 22 22 AB11+ AB 22 + ∆ 2 Ax By C Ñònh lyù 3 : Cho ñöôøng thaúng (∆1 :) + + = 0 vaø hai ñieåm M(x M;y M), N(x N;y N) khoâng naèm N treân ( ∆ ). Khi ñoù: M • Hai ñieåm M , N naèm cuøng phía ñoái vôùi ( ∆ ) khi vaø chæ khi ∆ (Ax + By + C)( Ax + By + C) > 0 M M N N N • Hai ñieåm M , N naèm khaùc phía ñoái vôùi ( ∆ ) khi vaø chæ khi M ∆ 76 N
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn (Ax M + By M + C)( Ax N + By N + C) < 0 BÀI T ẬP RÈN LUY ỆN Bài 1: (A-2012) Bài 2: (D-2012) Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: 77
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: Bài 16: Bài 17: Bài 18: Bài 19: ÑÖÔØNG TROØN TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ 78
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN I. Phöông trình ñöôøng troøn : 1. Phöông trình chính taéc : Ñònh lyù : Trong mp(Oxy). Phöông trình cuûa ñöôøng troøn (C) taâm I(a;b), baùn kính R laø : y I (a;b) b ():(Cxa− )2 +− ( yb ) 2 = R 2 (1) R M (x; y) x O a Phöông trình (1) ñöôïc goïi laø phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng troøn Ñaëc bieät : Khi I ≡ O thì (Cx ) : 2+ y 2 = R 2 2. Phöông trình toång quaùt : Ñònh lyù : Trong mp(Oxy). Phöông trình : x2+− y 2 2 ax − 2 byc += 0 vôùi a2+ b 2 − c > 0 laø phöông trình cuûa ñöôøng troøn (C) coù taâm I(a;b), baùn kính R= a2 + b 2 − c II. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn : Ñònh lyù : Trong mp(Oxy). Phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn 2 2 ():C x+− y 22 ax − byc += 0 taïi ñieåm Mxy(0 ; 0 )∈ () C laø : M x y 0 ( 0 ; 0 ) ():∆xxyyaxx00 +−+−++= ( 0 )( byy 0 ) c 0 (C) (∆) I(a;b) VI. Caùc vaán ñeà coù lieân quan : 1. Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn : (C) (C) (C) I I R I R H M R H M ≡ H M Ñònh lyù: (∆ )∩ (C ) =∅ ⇔ d(I; ∆ ) > R (∆ ) tieáp xuùc (C) ⇔ d(I; ∆ ) = R (∆ ) caét (C) ⇔ d(I; ∆ ) < R 79
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Lưu ý: Cho đường tròn ():C x2+− y 2 22 ax − byc += 0 và đường th ẳng (∆) :Ax + By += C 0 . T ọa độ giao điềm (n ếu có) c ủa (C) và ( ∆ ) là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình: x2+ y 2 −2 ax − 2 byc += 0  Ax+ By + C = 0 2. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng troøn : C C 1 C 1 C C 1 1 2 C C 2 R R 2 I 1 2 R R 1 I I 1 2 I R R I 2 1 1 1 2 I 1 I I 2 2 2 C 2 (C1 ) vaø (C 2 ) khoâng caét nhau ⇔ I12 I > R 1 + R 2 (C ) vaø (C ) caét nhau ⇔ R −R < I I < R + R 1 2 1 2 12 1 2 (C1 ) vaø (C 2 ) tieáp xuùc ngoaøi nhau ⇔ I12 I = R 1 + R 2 (C1 ) vaø (C 2 ) tieáp xuùc trong nhau ⇔ I12 I = R 1 − R 2 Lưu ý: Cho đường tròn ():C x2+− y 2 22 ax − byc += 0 và đường tròn (C':) x2+− y 2 2'2' ax − byc += '0 . Tọa độ giao điềm (n ếu có) c ủa (C) và (C’) là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình: x2+ y 2 −2 ax − 2 byc += 0  x2+− y 2 2' ax − 2' byc += '0 BÀI T ẬP RÈN LUY ỆN Bài 1: (B-2012) 80
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 2: (D-2012) Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: 81
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: 82
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn ÑÖÔØNG ELÍP TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN I.Ñònh nghóa : Elíp (E) laø taäp hôïp caùc ñieåm M coù toång khoaûng caùch ñeán hai ñieåm coá ñònh F 1; F 2 baèng haèng soá * Hai ñieåm coá ñònh F 1; F 2 ñöôïc goïi laø caùc tieâu ñieåm (E) * F 1F2 = 2c ( c > 0 ) ñöôïc goïi laø tieâu cöï M F 2c F 1 2 (E)={ M/MF1 + MF 2 = 2a } ( a>0 : haèng soá vaø a>c ) II. Phöông trình chính taéc cuûa Elíp vaø caùc yeáu toá: 1. Phöông trình chính taéc : x2 y 2 (E):+ = 1 vôùi b2= a 2 − c 2 ( a > b) (1) a2 b 2 y (E) B Q 2 P M r 1 r 2 -a -c c a x A F O F A 1 1 2 2 R B S 1 2. Caùc yeáu toá cuûa Elíp : * Elíp xaùc ñònh bôûi phöông trình (1) coù caùc ñaëc ñieåm: - Taâm ñoái xöùng O, truïc ñoái xöùng Ox; Oy - Tieâu ñieåm F 1(-c;0); F 2(c;0) - Tieâu cöï F 1F2 = 2c - Truïc lôùn naèm treân Ox; ñoä daøi truïc lôùn 2a ( = A 1A2 ) - Truïc nhoû naèm treân Oy; ñoä daøi truïc lôùn 2b ( = B 1B2 ) - Ñænh treân truïc lôùn : A 1(-a;0); A 2(a;0) - Ñænh treân truïc nhoû :B 1(0;-b); B 2(0;b) - Baùn kính qua tieâu ñieåm: 83
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn  c r1= MF 1 =+ a x =+ aex  a Vôùi M(x;y) ∈ (E) thì  c r= MF =− a x =− aex  2 2 a c - Taâm sai : e= (0 < e < 1) a a - Ñöôøng chuaån : x = ± e 84
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn ÑÖÔØNG HYPEBOL TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN I. Ñònh nghóa : M (H)={ M/MF1 − MF 2 = 2a } ( a > 0 : haèng soá vaø a 0 ⇒  1 1 r2= MF 2 =−+ a ex 85
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn r= MF =− (a + ex) Vôùi x 1) a a - Ñöôøng chuaån : x = ± e 86
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn ÑÖÔØNG PARABOL TRONG MAËT PHAÚNG TOÏA ÑOÄ A.KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN I. Ñònh nghóa : (P)={ M/MF = d(M, ∆ } K M * F laø ñieåm coá ñònh goïi laø tieâu ñieåm * ( ∆ ) laø ñöôøng thaúng coá ñònh goïi laø ñöôøng chuaån * HF = p > 0 goïi laø tham soá tieâu H p F II. Phöông trình chính taéc cuûa parabol : ∆ 2 2 1) Daïng 1 : Ptct: y = 2px 2) Daïng 2 : Ptct: y = -2px y y M -p/2 x F( -p/2;0) p/2 x O F(p/2;0) M (∆ :) x = p 2/ ( ): x=-p/2 2 2 3) Daïng 3 : Ptct: x = 2py 4) Daïng 4 : Ptct : x = -2py y y p/2 ( ) : y = p/2 O M F(0;p/2) x F(0;-p/2) x M O -p/2 :y = -p/2 87
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: (A-2012) Bài 2: (B-2012) Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Heát 88
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn Chuyeân ñeà 12: HÌNH H C KHÔNG GIAN ÔN T P 1 . KI N TH C C BN HÌNH HC LP 9 - 10 1. H th c l ưng trong tam giác vuông : Cho ∆ABC vuông A ta có : a) nh lý Pitago : BC2= AB 2 + AC 2 A b) BA 2 = BH .BC ; CA 2 = CH .CB c) AB. AC = BC. AH c b 1 1 1 d) = + AH 2 AB 2 AC 2 H M B C e) BC = 2AM a b c b c sinB= , cB os = ,tan B = ,cot B = f) a a c b b b g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a = = , sinB cos C b = c. tanB = c.cot C 2.H th c l ưng trong tam giác th ưng : * nh lý hàm s Côsin : a2 = b 2 + c 2 - 2bc.cosA b2+ c 2 − a 2 cos A = 2bc a b c * nh lý hàm s Sin : = = = 2R sinA sin B sin C 3. Các công th c tính di n tích : a/ Công th c tính di n tích tam giác : 1 1a . b . c a+ b + c S = a.h = ab.sin C= == pr . ppapbpc .( −−− )( )( ) vi p = 2 a 2 4 R 2 1 c bi t : ∆ABC vuông A : S= ABAC. 2 b/ Di n tích hình vuông : S = c nh x c nh c/ Di n tích hình ch nh t : S = dài x r ng 1 d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ng n) 2 1 d/ Di n tích hình thang : S = (áy l n + áy nh ) x chi u cao 2 e/ Di n tích hình bình hành : S = áy x chi u cao 2 f/ Di n tích hình tròn : S= π . R 89
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn 4. Các h th c quan tr ng trong tam giác u: ÔN T P 2 KI N TH C C BN HÌNH HC LP 11 A.QUAN H SONG SONG §1. ƯNG TH NG VÀ M T PH NG SONG SONG I. nh ngha: ưng th ng và m t a ph ng g i là song song a/ /(P)⇔ a ∩ (P) =∅ vi nhau n u chúng (P) không có im nào chung. II.Các nh lý : L1: Nu ưng th ng d d không n m trên mp(P) và  song song v i ng d⊄ (P) ư  a th ng a n m trên mp(P) d//a⇒ d//(P) (P) thì ưng th ng d song  a⊂ (P) song v i mp(P) L2: N u ưng th ng a a / /(P) (Q) song song v i mp(P) thì  a ⊂ ⇒ mi mp(Q) ch a a mà c t a (Q) d / /a d mp(P) thì c t theo giao  (P)∩ (Q) = d tuy n song song v i a. (P) L3: N u hai m t ph ng ct nhau cùng song song d v i m t ng th ng thì (P)∩ (Q) = d ư  giao tuy n c a chúng (P)//a⇒ d//a a song song v i ưng  Q (Q)/ /a P th ng ó.  90
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn L4: Cho hai ưng + L y im M tùy ý trên b th ng chéo nhau. Qua + D ng qua M ưng ưng th ng này ta d ng th ng a’ song song a ưc m t và ch m t m t + Khi ó: α = mp( a'; b ) ph ng song song v i ưng th ng kia. là m t ph ng ch a b và song song a. §2.HAI M T PH NG SONG SONG I. nh ngh a: Hai m t ph ng ưc g i là song song v i nhau n u (P)/ /(Q)⇔ (P) ∩ (Q) =∅ P chúng không có im nào Q chung. II.Các nh lý: L1: N u mp(P) ch a a,b⊂ (P) hai ưng th ng a, b c t  a ∩ = ⇒ nhau và cùng song song a b I (P)//(Q) P b I  vi m t ph ng (Q) th ì a / /(Q),b / /(Q) Q (P) và (Q) song song v i nhau. L2: N u m t ưng a th ng n m m t trong hai (P) / /(Q) P mt ph ng song song thì  ⇒ a / /(Q) a⊂ (P) song song v i m t ph ng Q kia. L3: N u hai m t ph ng R (P) và (Q) song song thì  mi m t ph ng (R) ã c t (P) / /(Q)  P a (P) thì ph i c t (Q) và (R)∩ (P) = a⇒ a//b  Q b các giao tuy n c a chúng (R)∩ (Q) = b song song.  B.QUAN H VUÔNG GÓC §1. ƯNG TH NG VUÔNG GÓC V I M T PH NG I. nh ngh a: Mt ưng th ng ưc a⊥ mp(P) ⇔⊥∀⊂ a b, b (P) a gi là vuông góc v i m t H qu : m t ph ng n u nó vuông a⊥ mp(P) góc v i m i ưng th ng ⇒ ⊥  a b c nm trên m t ph ng ó. b⊂ mp(P) P 91
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn II. Các nh lý: L1: N u ưng th ng d d vuông góc v i hai ưng d⊥ a,d ⊥ b th ng c t nhau a và b  ⇒ cùng n m trong mp(P) thì a,b⊂ mp(P) d⊥ mp(P) ưng th ng d vuông góc  b a,b caét nhau P a vi mp(P). L2: (Ba ưng vuông góc) Cho ưng th ng a không vuông góc v i mp(P) và ưng th ng b a⊥ mp(P),b⊂ mp(P) a n m trong (P). Khi ó, iu ki n c n và b b ⊥ a ⇔b ⊥ a ' vuông góc v i a là b b a' vuông góc v i hình chi u P a’ c a a trên (P). §2 .HAI M T PH NG VUÔNG GÓC I. nh ngh a: Hai m t ph ng ưc g i là vuông góc v i nhau n u góc gi a chúng b ng 90 0. II. Các nh lý: L1: Nu m t m t Q ph ng ch a m t ưng a th ng vuông góc v i m t a⊥ mp(P) mt ph ng khác thì hai  ⇒mp(Q)⊥ mp(P) a⊂ mp(Q) mt ph ng ó vuông góc  P vi nhau. L2: Nu hai m t ph ng P (P) và (Q) vuông góc v i (P)⊥ (Q) nhau thì b t c ưng  a ⇒ th ng a nào n m trong (P)∩ (Q) = d a⊥ (Q)  (P), vuông góc v i giao a⊂ (P),a ⊥ d tuy n c a (P) và (Q) u d Q vuông góc v i m t ph ng (Q). L3: N u hai m t ph ng P (P) và (Q) vuông góc v i (P)⊥ (Q) nhau và A là m t im  a A∈ (P) A trong (P) thì ưng  ⇒ a⊂ (P) th ng a i qua im A và A∈ a vuông góc v i (Q) s Q a⊥ (Q) nm trong (P)  92
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn L4: N u hai m t ph ng c t nhau và cùng vuông P Q (P)∩ (Q) = a a góc v i m t ph ng th  (P)⊥ (R)⇒ a⊥ (R) ba thì giao tuy n c a  chúng vuông góc v i  (Q)⊥ (R) R mt ph ng th ba.  §3 .KHO NG CÁCH 1. Kho ng cách t 1 im t i 1 ưng th ng , O n 1 m t ph ng : Kho ng cách t im M n ưng th ng a H (ho c n m t ph ng (P)) là kho ng cách gi a a hai im M và H, trong ó H là hình chi u c a im M trên ưng th ng a ( ho c trên mp(P)) O d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Hai bài toán quan tr ng v kho ng cách: Bài 1 : H P Cho m t ph ng α . M t ưng th ng AB c t α ti im O sao cho O là trung im c a on AB. Ch ng minh A và B cách u α . Bài 2 : Cho m t ph ng α . M t ưng th ng a không vuông góc v i α c t α ti O, trên ưng th ng a l y hai im A, B n m cùng phía v i α sao cho OA= 4 OB . Hãy so sánh d( A ,α ) và d( B ,α ) . OA= OB⇒ d(,) Aα= d (,) B α OA= 4 OB⇒ d (,)4(,) Aα= d B α 2. Kho ng cách gi a ưng th ng và m t ph ng song song : Kho ng cách gi a ưng th ng a và mp(P) a O song song v i a là kho ng cách t m t im nào ó c a a n mp(P). H P d(a;(P)) = OH 93
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn 3. Kho ng cách gi a hai m t ph ng song O song : P là kho ng cách t m t im b t k trên m t ph ng này n m t ph ng kia. H Q d((P);(Q)) = OH 4. Kho ng cách gi a hai ưng th ng chéo A a nhau : là dài on vuông góc chung ca hai ưng th ng ó. b d(a;b) = AB B a) Kho ng cách gi a hai ưng th ng chéo nhau b ng kho ng cách gi a m t trong hai ưng th ng ó và m t ph ng song song v i nó, ch a ưng th ng còn l i. b) Kho ng cách gi a hai ưng th ng chéo nhau b ng kho ng cách gi a hai m t ph ng song song l n l ưt ch a hai ưng th ng ó. §4.GÓC 1. Góc gi a hai ưng th ng a và b a a' là góc gi a hai ưng th ng a’ và b’ cùng i qua m t im và l n l ưt cùng b' b ph ươ ng v i a và b. 2. Góc gi a ưng th ng a không a vuông góc vi m t ph ng (P) là góc gi a a và hình chi u a’ c a nó trên mp(P). c bi t: N u a vuông góc v i m t a' ph ng (P) thì ta nói r ng góc gi a ng P ư th ng a và mp(P) là 90 0. 3. Góc gi a hai m t ph ng là góc gi a hai ưng th ng l n l ưt vuông góc v i hai m t ph ng ó. b Ho c là góc gi a 2 ưng th ng n m a b a trong 2 m t ph ng cùng vuông góc v i P Q giao tuy n t i 1 im. P Q 94
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn 4. Di n tích hình chi u: G i S là di n S tích c a a giác (H) trong mp(P) và S’ là di n tích hình chi u (H’) c a (H) trên mp(P’) thì S'= Scos ϕ C trong ó ϕlà góc gi a hai m t ph ng A ϕϕϕ (P),(P’). B C. CÁC HÌNH A DI N §1. Hình chóp 1. Hình chóp : Cho a giác A 1A2 A n và m t im S nm ngoài m t ph ng ch a a giác ó. Ni S v i các nh A 1, A 2, ,A n ưc n tam giác: SA 1A2, SA 2A3, ,SA nA1. Hình g m n tam giác ó và a giác A1A2 A n g i là hình chóp và ưc ký hi u là S.A A A . 1 2 n 2. Hình chóp u: • Mt hình chóp ưc g i là hình chóp u n u áy c a nó là a giác u và các c nh bên b ng nhau. • Mt hình chóp ưc g i là hình chóp u n u áy c a nó là a giác u và có chân ưng cao trùng v i tâm c a a giác áy. Hình chóp t giác u + Trong m t hình chóp u thì - Các c nh bên t o v i áy các góc b ng nhau. - Các m t bên t o v i áy các góc b ng nhau. Hình chóp tam giác u 95
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn §2. Hình l ng tr 1. Hình l ng tr : Hình h p b i các hình bình hành A1A2A' 2A' 1, A 2A3A' 3A' 2, ,A nA1A' 1A' 2 và hai a giác A 1A2 A n, A' 1A' 2 A' n g i là hình l ng tr ho c l ng tr , và ký hi u là A 1A2 A n.A' 1A' 2 A' n. + Trong m t hình l ng tr thì - Các c nh bên b ng nhau; - Các m t bên là các hình bình hành; - Hai áy là hai a giác b ng nhau. 2. Hình h p: là hình l ng tr có áy là hình bình hành . + Trong m t hình h p thì - Các m t bên là các hình bình hành; - Các ưng chéo c a hình h p c t nhau ti trung im m i ưng. 3. Hình l ng tr ng : là hình l ng tr có c nh bên vuông góc v i m t áy. + Trong hình l ng tr ng thì - dài c nh bên là chi u cao; - Các m t bên là các hình ch nh t. 4. Hình l ng tr u: là hình l ng tr ng có áy là a giác u. + Trong hình l ng tr u thì - dài c nh bên là chi u cao; - Các m t bên là các hình ch nh t b ng nhau. 96
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn 5. Hình h p ng : là hình l ng tr ng có áy là hình bình hành . 6. Hình h p ch nh t: là hình h p ng có áy là hình ch nh t. 7. Hình l p ph ư ng : là hình h p ch nh t có t t c các c nh b ng nhau 97
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn TH TÍCH C A KH I A DI N Th tích c a m t kh i a di n hi u theo ngh a thông th ưng là s o l n ph n không gian mà có chi m ch . T xa x ưa con ng ưi ã tìm cách o th tích c a các kh i v t ch t trong t nhiên. i v i nh ng v t th lng, nh ư kh i n ưc trong m t b ch a, ng ưi ta có th dùng nh ng cái thùng có kích th ưc nh h ơn ong. i v i nh ng v t r n có kích th ưc nh ng ưi ta có th th chúng vào m t cái thùng y n ưc r i o l ưng n ưc trào ra Tuy nhiên trong th c t có th có nhi u v t th không th o ưc b ng nh ng cách trên. Ch ng h n o th tích c a kim t tháp Ai C p ta không th nhúng nó vào n ưc hay chia nh nó ra ưc. Vì v y ng ưi ta tìm cách thi t l p các công th c tính th tích c a m t s kh i a di n ơn gi n khi bi t kích th ưc c a chúng, r i t ó tìm cách tính th tích c a các kh i a di n ph c t p h ơn. A. TÓM T T GIÁO KHOA I. Th tích c a kh i chóp 1) Công th c tính th tích kh i chóp : • nh lý : Th tích c a kh i chóp có di n tích áy B và chi u cao h là: 1 V= .B.h 3 • Mt s v n có liên quan n th tích kh i chóp nh lí 1 : Th tích kh i chóp s không thay i n u nh c a nó di chuy n trên m t ưng th ng song song v i m t ph ng ch a áy. 98
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn nh lý 2 : Cho kh i chóp tam giác S. ABC . Trên ba ưng th ng SA, SB , SC ln l ưt l y ba im A', B ', C ' khác v i S . G i V và V ' ln l ưt là th tích c a các kh i chóp S. ABC và S.' A B ' C ' . Ta luôn có: VV SA SB SC =S. ABC = . . V' VS.' A B ' C ' SA ''' SB SC 2) Các bài toán luy n t p n gi n: Bài 1 : Bài 2 : Bài 3 : Bài 4 : Bài 5 : 3) Các bài toán luy n t p nâng cao : Bài 1 : (D-2012) Bài 2: (B-2012) Bài 3: (A-2012) 99
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10 : Bài 11 : 100
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn II. Th tích c a kh i l ng tr 1) Công th c tính th tích kh i lng tr : • nh lý : Th tích kh i l ng tr có di n tích áy B và chi u cao h là: V= B.h 1) Các bài toán luy n t p n gi n: Bài 1 Bài 2 Bài 3 Cho l ng tr ABC.A’B’C’ có c nh bên b ng a, áy ABC là tam giác u, hình chi u c a A trên (A’B’C’) trùng v i tr ng tâm G c a ∆ A’B’C’. M t ph ng (BB’C’C) t o v i (A’B’C’) góc 60 0 . Tính th tích l ng tr ABC.A’B’C’ theo a. Bài 4 Cho kh i l ng tr u ABC.A’B’C’,có AA’ >AB và A’B = 2a. Kho ng cách t A n m t ph ng (A’BC) a 15 bng . Tính th tích kh i l ng tr ABC.A’B’C’ theo a. 5 2) Các bài toán luy n t p nâng cao : Bài 1 Bài 2 101
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn Bài 3 Bài 4 Bài 5 102
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn MT C U Trong i s ng h ng ngày chúng ta th ưng th y hình nh c a m t c u thông qua hình nh b m t c a qu bóng bàn, c a viên bi, c a mô hình qu a c u, c a qu bóng chuy n A. TÓM T T GIÁO KHOA I. M t c u và các khái ni m liên qua n m t c u 1. M t c u • Tp h p nh ng im M trong không gian cách im O c nh m t kho ng không i b ng R (R>0) ưc g i là m t c u tâm O bán kính R. Ký hi u: S( O;R) ) SO;R)( ) ={ M|OM = R } • Nu hai im C, D n m trên m t c u S( O;R) ) thì on th ng CD ưc g i là dây cung ca m t c u ó. • Dây cung AB i qua tâm O ưc g i là ưng kính c a m t c u. Khi ó dài ưng kính b ng 2R. • Mt m t c u ưc xác nh n u bi t tâm và bán kính c a nó ho c bi t m t ưng kính c a m t c u ó. 2. im n m trong và n m ngoài m t c u. Cho m t c u tâm O bán kính R và A là m t im b t k trong không gian. • Nu OA= R thì ta nói im A nm trên m t c u S( O;R) ) • Nu OA R thì ta nói im A nm ngoài m t c u S( O;R) ) 103
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn Kh i c u: T p h p các im thu c m t c u S( O;R) ) cùng v i các im n m trong m t c u ó ưc g i là kh i c u ho c hình c u tâm O bán kính R. 3. Công th c tính di n tích m t c u và th tích kh i c u • Mt c u có bán kính R có di n tích là: 2 S =4 π R • Kh i c u bán kính R có bán kính là: 4 V = π R3 3 4. M t c u ngo i ti p hình a di n nh ngh a: M t c u i qua m i nh ca hình a di n g i là mt c u ngo i ti p hình a di n và hình a di n g i là n i ti p m t c u ó. Mt s ki n th c c b n có liên quan AMB = 90 0 AB  ⇒ MI = I la trung diem AB 2 M: im nhìn on AB d ưi m t góc vuông 104
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn M∈∆⇔ MA = MB ∆ : ưng th ng trung tr c c a on th ng AB. M∈α⇔ MA = MB α : m t ph ng trung tr c c a on th ng AB M∈∆⇔ MA = MB = MC ∆ : tr c c a tam giác ABC. ưng th ng vuông góc v i m t ph ng ch a a giác t i tâm ưng tròn ngo i ti p a giác ưc g i là tr c c a a giác . 105
Chuyên LT H Hu nh Chí Hào – boxmath.vn Xác nh tâm mt c u ngo i ti p hình Xác nh tâm mt c u ngo i ti p hình chóp t chóp tam giác u ? giác u ? II. Các bài toán luy n t p Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 Bài 5 Bài 6 Ht 106
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuyeân ñeà 13: HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH TRONG KHOÂNG GIAN A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN PHÖÔNG PHAÙP TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN TOÏA ÑOÄ ÑIEÅM - TOÏA ÑOÄ VEÙC TÔ z I. Heä truïc toaï ñoä ÑEÀ-CAÙC trong khoâng gian x' • x'Ox : truïc hoaønh • y'Oy : truïc tung ' k • z Oz : truïc cao y' y • O : goác toaï ñoä O j • i, j , k : veùc tô ñôn vò i x (hay i; j;k : veùc tô ñôn vò ) z' Quy öôùc : Khoâng gian maø trong ñoù coù choïn heä truïc toaï ñoä Ñeà-Caùc vuoâng goùc Oxyz ñöôïc goïi laø khoâng gian Oxyz vaø kyù hieäu laø : kg(Oxyz) II. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô : 1. Ñònh nghóa 1 : Cho M∈ kg( Oxyz ) . Khi ñoù veùc tô OM ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo z i, j , k bôûi heä thöùc coù daïng : OM= xi + yj+ y k vôùi x,y,z ∈ » . M Boä soá (x;y;z) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M. y Kyù hieäu: M(x;y;z) O ( x: hoaønh ñoä cuûa ñieåm M; y: tung ñoä cuûa ñieåm M, z: cao ñoä cuûa ñieåm M ) x ñ/ n Mxyz( ; ; ) ⇔ OM =++ xiyjzk • YÙ nghóa hình hoïc : z M R 2 M z M 3 O y y x= OP ; y= OQ ; z = OR Q x p M x 1 107
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2. Ñònh nghóa 2 : Cho a∈ kg( Oxyz ) . Khi ñoù veùc tô a ñöôïc bieåu dieån moät caùch duy nhaát theo i, j , k bôûi heä thöùc coù daïng : a= aiaj + + a k vôùi a ,a ,a ∈ » . 12 3 123 Boä soá (a 1;a 2;a 3) trong heä thöùc treân ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô a . Kyù hieäu : a= (; aaa1 2 ; 3 ) ñ/ n a=(a123 ;a ;a ) ⇔ aaiajak =+ 123 + II. Caùc coâng thöùc vaø ñònh lyù veà toaï ñoä ñieåm vaø toaï ñoä veùc tô : Ñònh lyù 1 : Neáu Axyz(AAA ; ; ) vaø B(xB ; yz BB ; ) thì AB=−( xB xy AB ; − yz AB ; − z A ) Ñònh lyù 2 : Neáu a=( aaa123 ; ; ) vaø b = ( bbb 123 ; ; ) thì a = b  1 1 * ab= ⇔  ab2 = 2  a= b 3 3 * ab+=+( a ba ; + ba ; + b ) 1 12 23 3 * ab−=−( a ba ; − ba ; − b ) 1 12 23 3 * k. a= (; ka1 ka 2 ; ka 3 ) (k ∈ » ) III. Söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô : 108
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Nhaéc laïi • Hai veùc tô cuøng phöông laø hai veùc tô naèm treân cuøng moät ñöôøng thaúng hoaëc naèm treân hai ñöôøng thaúng song song . • Ñònh lyù veà söï cuøng phöông cuûa hai veùc tô : Ñònh lyù 3 : Cho hai veùc tô a vaø b vôùi b ≠ 0 a cuøng phöông b ⇔∃∈ !k» sao cho akb = . Neáu a ≠ 0 thì soá k trong tröôøng hôïp naøy ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: k > 0 khi a cuøng höôùng b k < 0 khi a ngöôïc höôùng b a k = b Ñònh lyù 4 : A, B , C thaúng haøng ⇔ AB cuøng phöông AC Ñònh lyù 5 : Cho hai veùc tô a=( aaa123 ; ; ) vaø b = ( bbb 123 ; ; ) ta coù : a = kb  1 1 a cuøng phöông b ⇔=⇔  akb2 2 a: 123123 aabbb : = : :  a3= kb 3 IV. Tích voâ höôùng cuûa hai veùc tô : Nhaéc laïi : ab.= ab . .cos(,) ab 2 2 a= a ab⊥ ⇔ ab . = 0 Ñònh lyù 6 : Cho hai veùc tô a=( aaa122 ; ; ) vaø b = ( bbb 123 ; ; ) ta coù : ab. = ab11 + ab 22 + ab 33 Ñònh lyù 7 : Cho hai veùc tô a= ( aaa1 ; 2 ; 3 ) ta coù : 109
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2 2 2 a= a1 + a 2 + a 3 Ñònh lyù 8 : Neáu Axyz(AAA ; ; ) vaø B(xB ; yz BB ; ) thì 2 2 2 AB=( xxBA − )( +− yy BA )( +− zz BA ) Ñònh lyù 9 : Cho hai veùc tô a=( aaa123 ; ; ) vaø b = ( bbb 123 ; ; ) ta coù : ab⊥⇔ a11 babab + 22 + 33 = 0 Ñònh lyù 10 : Cho hai veùc tô a=( aaa123 ; ; ) vaø b = ( bbb 123 ; ; ) ta coù : a. b ab+ ab + ab cos(a , b ) = = 11 22 33 a b 2 2 2 2 2 2 . aa1++ 2 a 3. bb 1 ++ 2 b 3 V. Ñieåm chia ñoaïn thaúng theo tyû soá k : Ñònh nghóa : Ñieåm M ñöôïc goïi laø chia ñoaïn AB theo tyû soá k ( k ≠ 1 ) neáu nhö : MA= k. MB • • • A M B Ñònh lyù 11 : Neáu Axyz(AAA ; ; ) , B(x;B yz BB ; ) vaø MA= k. MB ( k ≠ 1 ) thì  xA− k. x B xM =  1− k  yA− k. y B yM =  1− k  zA− k. z B zM =  1− k  xA+ x B xM =  2  yA+ y B Ñaëc bieät : M laø trung ñieåm cuûa AB ⇔ yM =  2  zA+ z B zM =  2 Định lý 12 : Cho tam giác ABC bi t Axyz(AAA ; ; ) , B(x;B yz BB ; ), C(x; C yz CC ; ) 110
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn  xA+ x B + x C xG =  3  yA+ y B + y C G là tr ng tâm tam giác ABC ⇔ yG =  3  zA+ z B + z C zG =  3 Ví duï 1 : Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Tìm ñieåm D sao cho töù giaùc ABCD laø hình bình haønh Ví duï 2 : Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) a. Chöùng minh raèng tam giaùc ABC vuoâng . b. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC c. Tính ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán keû töø A VI. Tích coù höôùng cuûa hai veùc tô : 1. Ñònh nghóa : Tích coù höôùng cuûa hai veùc tô a=( aaa ; ; ) vaø b = ( bbb ; ; ) laø moät veùc tô ñöôïc 123 123   kyù hieäu : a; b  coù toïa ñoä laø : 1 2 3 a a a a a a  a= ( aaa ; ; ) a; b  = 2 3 ; 3 1 ; 1 2  Caùch nhôù: 1 2 3   b b b b b b 2 3 3 1 1 2  b= (; bbb1 2 ; 3 ) 2. Tính chaát :   • ab;⊥ a vaø  ab ; ⊥ b A 1 • S= . AB ; AC  ∆ABC 2   B C D C D' • S=  AB; AD  C' ABCD   A' A B' B D   ' • V'' ' ' =  AB; AD  . AA C ABCD. A B C D D A B 1 • V= . ABACAD ;  . C ABCD 6   A   B • a cuøng phöông b ⇔  ab ;  = 0   • abc, , ñoàng phaúng ⇔  abc ,  . = 0   • A, B, C, D ng ph ng ⇔ AB,AC,AD ng ph ng ⇔AB,AC  .AD = 0 BAØI TAÄP ÖÙNG DUÏNG : 111
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Baøi 1: Cho boán ñieåm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) a. Chöùng minh raèng boán ñieåm A,B,C,D khoâng ñoàng phaúng b. Tính dieän tích tam giaùc ABC c. Tính theå tích töù dieän ABCD Baøi 2 : Tính theå tích töù dieän ABCD bieát A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Bài 3 : Bài 4 : Bài 5 : Bài 6 : Bài 7 : Cho t di n ABCD v i A(2;− 1;6),B( −−− 3; 1; 4),C(5; − 1;0),D(1;2;1) . Ch ng minh tam giác ABC vuông. Tính bán kính ưng tròn ngo i ti p tam giác ABC và th tích t di n ABCD. ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN 112
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN I. Caùc ñònh nghóa : 1. Veùc tô chæ phöông (VTCP) cuûa ñöôøng thaúng : ñn a ≠ 0 a laø VTCP cuûa ñöôøng thaúng ( ∆ ) ⇔  a coù giaù song song hoaëc truøng vôùi ( ∆) a a (∆) Chuù y ù: • Moät ñöôøng thaúng coù voâ soá VTCP, caùc veùc tô naøy cuøng phöông vôùi nhau. • Moät ñöôøng thaúng ( ∆ ) hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát moät ñieåm thuoäc noù vaø moät VTCP cuûa noù. 2. Caëp VTCP cuûa maët phaúng : a b a α b Cho maët phaúng α xaùc ñònh bôûi hai ñöôøng thaúng caét nhau a vaø b . Goïi a laø VTCP cuûa ñöôøng thaúng a vaø b laø VTVP cuûa ñöôøng thaúng b. Khi ñoù : Caëp (a , b ) ñöôïc goïi laø caëp VTCP cuûa maët phaúng α Chuù yù : • Moät maët phaúng α hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát moät ñieåm thuoäc noù vaø moät caëp VTCP cuûa noù. 3. Veùc tô phaùp tuyeán ( VTPT) cuûa maët phaúng : n α ñn n ≠ 0 n laø VTPT cuûa maët phaúng α ⇔  n coù giaù vuoâng goùc vôùi mp α Chuù y ù: • Moät maët phaúng coù voâ soá VTPT, caùc veùc tô naøy cuøng phöông vôùi nhau. • Moät maët phaúng hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi bieát moät ñieåm thuoäc noù vaø moät caëp VTPT cuûa noù. 4. Caùch tìm toïa ñoä moät VTPT cuûa maët phaúng khi bieát caëp VTCP cuûa noù: 113
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn a= (; aaa ; ) Ñònh lyù: Giaû söû maët phaúng α coù caëp VTCP laø :  1 2 3 thì mp α coù moät VTPT laø : b= (; bbb1 2 ; 3 ) a a a a a a    2 3 3 1 1 2 n= a; b  =  ; ;  b2 b 3 b 3 b 1 b1 b 2  n = [a,b ] a b α Ví duï: Tìm moät VTPT cuûa maët phaúng α bieát α ñi qua ba ñieåm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) II. Phöông trình cuûa maët phaúng : Ñònh lyù 1 : Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình maët phaúng α ñi qua ñieåm M( x ; y ; z ) vaø coù moät 0 0 0 0 VTPT n= (; ABC ; ) laø: n = ( A; B;C) M( x;y;z ) • A(x −+x0 )(B y −+ y 0 )(C z −=z 0 )0 M x y z 0 ( 0 ; 0 ; 0 ) α n A B C z = ( ; ; ) α Ñònh lyù 2 : Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình daïng : M 0 y Ax+ B y + C zD + = 0 vôùi A2+ B 2 + C 2 ≠ 0 laø phöông trình toång quaùt cuûa moät maët phaúng . x Chuù yù : • Neáu ():α Ax+B y +Cz +D = 0 thì (α ) coù moät VTPT laø n= (; ABC ; ) (Oyz ) z • Mxyz0(;;)(): 0 0 0 ∈α AxByCzD +++=⇔ 0 Ax0 +++= ByCzD 0 0 0 Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät : 1. Phöông trình caùc maët phaúng toïa ñoä: y • (Oxy):z = 0 O Oxz • ( ) (Oyz):x = 0 x • (Oxz):y = 0 2. Phöông trình maët phaúng theo ñoaïn chaén : A( a ;0;0) (Oxy )  • Phöông trình maët phaúng caét caùc truïc Ox, Oy, Oz taïi B(0; b ;0) (a,b,c≠ 0)  C(0;0; c ) C 114 c
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn x y z laø: + + = 1 a b c Ví duï 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba ñieåm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Vieát phöông trình maët phaúng (ABC) Ví duï 2: Trong Kg(Oxyz) cho A(1;2;3) , B ( 2;− 3;1 ) . Vi t ph ươ ng trình m t ph ng (P) i qua A và vuông góc v i ưng th ng AB. Ví duï 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai m t ph ng (Px) :+ 2 y + 3 z += 40 và (R) :3 x+ 2 yz −−= 10 . Vi t ph ươ ng trình m t ph ng (R) i qua A(1;1;1 ) ng th i vuông góc v i c (P) và (Q) . Ví duï 4: Vi t ph ươ ng trình m t ph ng i qua im M(9;1;1) , c t các tia Ox, Oy, Oz ln l ưt ti A, B, C sao cho th tích t di n OABC có giá tr nh nh t. III. Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng : 1. Moät soá quy öôùc vaø kyù hieäu : a1= tb 1  a= tb (a , a , , a )  2 2 Hai boä n soá :  1 2 n ñöôïc goïi laø tyû leä vôùi nhau neáu coù soá t ≠ 0 sao cho . (b1 , b 2 , , b n )  . an= tb n a1 a 2 an Kyù hieäu : aa12: : : abbn= 12 : : : b n hoaëc = = = b1 b 2 b n 2. Vò trí töông ñoái cuûa hai maët phaúng : Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai maët phaúng α, β xaùc ñònh bôûi phöông trình : ():α AxByCzD+++= 0 coù VTPT n = ( ABC ; ; ) 1111 1111 ():β AxByCzD+++= 0 coù VTPT n = (; ABC ; ) 2222 2222 n 1 n 2 n n 2 n 1 1 α n 2 β α α β β 115
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn A11B BC 11 CA 11 ()α caét () β ⇔≠ A:111B : C A 22 : B : C 2 (hay: ≠≠≠ hoaëc hoaëc ) A22B BC 22 CA 22 A B C D (α ) // ( β ) ⇔ 1 == 1 1 ≠ 1 A2B 2 C 2 D 2 A B C D (α ) ≡ ( β ) ⇔ 1 === 1 1 1 A2B 2 C 2 D 2 Ñaëc bieät : α⊥⇔ β A12A + BB 12 + CC 12 = 0 ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN I. Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng : 1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng : Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (∆ ) ñi qua ñieåm M( x ; y ; z ) 0 0 0 0 vaø nhaän a= (; aaa1 2 ; 3 ) laøm VTCP laø : z a x= x + ta  0 1 ( ∆ ) ():∆y =+ y0 ta 2 (t ∈ » )  M z= z + ta 0 M (x, y, z) y 0 3 O x 2. Phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng : Ñònh ly ù: Trong Kg(Oxyz) . Phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng (∆ ) ñi qua ñieåm M( x ; y ; z ) 0 0 0 0 vaø nhaän a= (; aaa1 2 ; 3 ) laøm VTCP laø : xx− yy − zz − (∆ ) : 0 = 0 = 0 a1 a 2 a 3 Ví du 1ï: Ví du 2ï: Ví du 3: 116
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn x= 1 + 2t  Cho ñieåm M(-2;1;1) vaø ñöôøng thaúng (d): y= − 1 − t . Laäp phöông trình maët phaúng (P) qua ñieåm  z= 3 + t M vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d). x z z Ví duï 4: Cho ñieåm M(1;2;3) vaø ñöôøng thaúng (d) : = = . Laäp phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñieåm 1− 1 1 M vaø ñöôøng thaúng (d) II. Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng : 1.Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng : M a (∆) (∆) a n n n M M a (∆) α α α Ñònh ly ù: Trong Kg(Oxyz) cho : xx− yy − zz − ñöôøng thaúng (∆ ) : 0 = 0 = 0 coù VTCP a= (; aaa ; ) vaø qua M( x ; y ; z ) a a a 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 vaø maët phaúng ():α Ax+ By + Cz + D = 0 coù VTPT n= (; ABC ; ) Khi ñoù : ()∆ caét (α ) ⇔++≠ Aa1Ba 2 Ca 3 0 Aa+Ba + Ca = 0 (∆ ) // (α ) ⇔  1 2 3 Ax0+ By 0 + Cz 0 +≠ D 0 Aa+Ba + Ca = 0 (∆ ) ⊂ (α ) ⇔  1 2 3 Ax0+ By 0 + Cz 0 += D 0 a n Ñaëc bieät : ()∆⊥ ()α ⇔ a:a : a = ABC : : 1 2 3 α pt (∆ ) Chuù yù: Muoán tìm giao ñieåm M cuûa ( ∆ ) vaø ( α ) ta giaûi heä phöông trình :  tìm x,y,z pt (α ) Suy ra: M(x,y,z) Ví duï 1 : Cho hai ñieåm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) vaø maët phaúng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0 Tìm toaï ñoä giao ñieåm I cuûa ñöôøng thaúng AB vaø maët phaúng (P). Ví duï 2 : Cho ñieåm M(1;1;1) vaø maët phaúng (P) coù phöông trình: x+ 2y − 3z + 14 = 0 . Tìm toïa ñoä hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân maët phaúng (P). 117
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn x1− y2 + z2 − Ví duï 3: Cho ñöôøng thhaúng (d) : = = vaø maët phaúng (P):x−− 3y 4mz2 += m 0 . Tìm m −1 5 − 4 ñeå ñöôøng thaúng (d) naèm trong maët phaúng (P). 2. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng : ∆ ∆ 1 u 1 M ' a M M 0 0 u ∆ 0 1 M M ' u u b ∆ 0 0 ' ∆ ∆ u' ∆ 1 2 u' 2 2 M ' ' 0 M M ∆ 2 0 0 Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñöôøng thaúng : xx− yy − zz − (∆== ):0 0 0 coù VTCP uabc = (;;) vaø qua M( xyz ; ; ) 1 a b c 0 0 0 0 xx−0 yy − 0 zz − 0 ' ''' '''' (∆==2 ): coù VTCP uabc = (; ;) vaø qua M(0 xyz 0 ; 0 ; 0 ) a' b ' c ' •∆∆ ( ) vaø ( ) ñoàng phaúng ⇔ uu ,'  . M M ' = 0 1 2   0 0  uu,'  . M M ' = 0   0 0 • ( ∆1 ) caét ( ∆ 2 ) ⇔  abc::≠ a' :: b ' c ' '''' ' ' •∆∆ (1 ) // ( 2 ) ⇔ a : b : c = abc::≠− ( xx00 ):( yy 00 − ):( zz 00 − ) '''' ' ' •∆≡∆ (1 ) ( 2 ) ⇔ abcabc : : = : : =− ( x00 x ):( y 00 − y):( zz 00 − ) •∆∆ ( ) vaø ( ) cheùo nhau ⇔ uu ,'  . M M ' ≠ 0 1 2   0 0 pt (∆1 ) Chuù y ù: Muoán tìm giao ñieåm M cuûa (∆1 ) vaø ( ∆ 2 ) ta giaûi heä phöông trình :  tìm x,y,z pt (∆2 ) Suy ra: M(x,y,z) III. Goùc trong khoâng gian : 1. Goùc giöõa hai maët phaúng : Ñònh ly ù: Trong Kg(Oxyz) cho hai maët phaúng α, β xaùc ñònh bôûi phöông trình : n A B C 1 = ( 1 ; 1 ; 1 ) ():α Ax1+ By 1 + Cz 1 + D 1 = 0 ():β Ax2+ By 2 + Cz 2 + D 2 = 0 n A B C 2 = ( 2 ; 2 ; 2 ) Goïi ϕ laø goùc giöõa hai maët phaúng (α )&( β ) ta coù coâng thöùc: AA+ BB + CC α cos ϕ = 12 12 12 A2 B 2 C 2 A 2 B 2 C 2 0 0 1++ 1 1. 2 ++ 2 2 0 ≤ ϕ ≤ 90 β Ví duï: Cho hai maët phaúng (P):x++ y 2 = 0&(Q): −++ x z 3 = 0 . Xaùc ñònh goùc giöõa hai maët phaúng (P) vaø (Q). 118
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng : xx− yy − zz − Ñònh ly ù: Trong Kg(Oxyz) cho ñöôøng thaúng (∆ ) : 0 = 0 = 0 a b c vaø maët phaúng ():α Ax+ By + Cz + D = 0 (∆) Goïi ϕ laø goùc giöõa hai maët phaúng (∆ )&(α ) ta coù coâng thöùc: a = (a;b;c) n A B C = ( ; ; ) Aa+ Bb + Cc sin ϕ = ABC2 2 2 abc 222 ++. ++ α 0 0 ≤ ϕ ≤ 90 0 3.Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng : Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñöôøng thaúng : xx− yy − zz − ():∆0 = 0 = 0 1 a b c xx−0 yy − 0 zz − 0 ():∆2 = = a' b ' c ' a a b c 1 = ( ; ; ) Goïi ϕ laø goùc giöõa hai maët phaúng (∆1 )&( ∆ 2 ) ta coù coâng thöùc: ∆1 aa'+ bb ' + cc ' cos ϕ = ∆ abc2 2 2 a '2 b '2 c '2 2 a a b c ++. ++ 2 = ( ;' ;' )' IV. Khoaûng caùch : 0 0 ≤ ϕ ≤ 90 0 1. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät maët phaúng : Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho maët phaúng ():α Ax+ By + Cz + D = 0 vaø ñieåm M0( x 0 ; y 0 ; z 0 ) Khoaûng caùch töø ñieåm M 0 ñeán maët phaúng (α ) ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: M (x ; y ; z ) 0 0 0 0 Ax0+ By 0 + Cz 0 + D d( M 0 ;∆ ) = 2 2 2 H A+ B + C α Ví du ï: Cho hình töù dieän ABCD bieát toïa ñoä caùc ñænh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8) Tính ñoä daøi ñöôøng cao hình töù dieän xuaát phaùt töø D. 119
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng : Ñònh ly ù: Trong Kg(Oxyz) cho ñöôøng thaúng ( ∆ ) ñi qua ñieåm M( x ; y ; z ) vaø coù VTCP 0 0 0 0 u= (; abc ; ) . Khi ñoù khoaûng caùch töø ñieåm M 1 ñeán (∆ ) ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: M 1 M M; u  u 0 1  ( ∆ ) d( M 1 ,∆ ) = M x y z H u 0 ( 0 ; 0 ; 0 ) x y−1 z + 3 Ví duï: Cho ñöôøng thaúng : (d ) : = = vaø ñieåm A(1;2;1) 3 4 1 Tính khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán ñöôøng thaúng (d). 3. Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau: Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho hai ñöôøng thaúng cheùo nhau : (∆1 ) coù VTCP uabc = ( ; ; ) vaø qua M0 ( xyz 0 ; 0 ; 0 ) ' ''' '''' (∆2 ) coù VTCP uabc = ( ; ; ) vaø qua M0 ( xyz 0 ; 0 ; 0 ) Khi ñoù khoaûng caùch giöõa (∆1 ) vaø ( ∆ 2 ) ñöôïc tính bôûi coâng thöùc u ∆1 M 0   ' uu, '  . M0 M 0 d(∆1 , ∆ 2 ) = u ' u; u '  M '   0 ∆ 2 Ví duï: Cho hai ñöôøng thaúng : x=9 + 6 t x+5 y + 5 z − 1  ():d1 == vaø (d):2  y =− 2 t 3 2− 2  z=2 − t Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng (d 1) vaø (d 2). 120
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI T ẬP RÈN LUY ỆN Bài 1 : (A-2012) Bài 2: (B-2012) Bài 3: (D-2012) Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10 : 121
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 11 : Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: Bài 16: Bài 17: 122
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn MAËT CAÀU TRONG KHOÂNG GIAN I. Phöông trình maët caàu : 1. Phöông trình chính taéc : Ñònh lyù : Trong Kg(Oxyz). Phöông trình cuûa maët caàu (S) taâm I(a;b;c), baùn kính R laø : z S ( ) ():(Sxa− )2 +− ( yb ) 2 +− ( zc ) 22 = R (1) I R M ( x ; y ; z ) Phöông trình (1) ñöôïc goïi laø phöông trình chính taéc cuûa maët caàu O y Ñaëc bieät : Khi I ≡ O thì (Cx ) : 2+ y 2 + z 2 = R 2 x 2. Phöông trình toång quaùt : Ñònh lyù : Trong Kg(Oxyz). Phöông trình : x2++− y 2 z 2 222 ax − by − czd += 0 vôùi a2+ b 2 + c 2 −> d 0 laø phöông trình cuûa maët caàu (S) coù taâm I(a;b;c), baùn kính R= a2 + b 2 +− c 2 d . Ví duï: Cho 4 ñieåm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) Vieát phöông trình maët caàu ñi qua boán ñieåm A, B, C, D. Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa maët caàu II. Giao cuûa maët caàu vaø maët phaúng : Ñònh lyù: Trong Kg(Oxyz) cho maët phaúng (α ) vaø maët caàu (S) coù phöông trình : ():α Ax+ By + Cz + D = 0 ():(Sxa− )2 +− ( yb ) 2 +− ( zc ) 22 = R Goïi d(I; α ) laø khoaûng caùch töø taâm maët caàu (S) ñeán maët phaúng α Ta coù : 1. (α ) caét maët caàu (S) ⇔ d(I; α ) R S ( ) (S) I (S) I R R (C) M I R r H H M H M α α α 123
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuù yù: Khi α c t m t c u (S) thì s c t theo m t ưng tròn (C). ưng tròn (C) này có: Ax+ By + Cz + D = 0 • Ph ươ ng trình là:  2 2 2 2 ()()()xa− +− yb +− zc = R • Tâm là hình chi u vuông góc c a tâm m t c u trên m t ph ng α • Bán kính r= R2 − dI 2 ( ,α ) Ví duï: Cho maët caàu (S):x2+ y 2 +− z 2 4x + 2y + 2z −= 3 0 . Vieát phöông trình tieáp dieän cuûa maët caàu taïi ñieåm M(0;1;-2). BÀI T ẬP RÈN LUY ỆN Bài 1 : (A-2012) Bài 2: (B-2012) Bài 3: (D-2012) Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: 124
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 9: 125
Chuyên đề LT ĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuyên 14: GI I H N – LIÊN T C – O HÀM A. Gi i h n 1. Các gi i h n c ơ b n: 1) limC= C (C laø haèng soá) x→ x 0 2) limf(x)= f(x0 ) (f(x 0) phaûi xaùc ñònh) x→ x 0 1 1 C 3) limC= C , lim= 0 , lim= 0 , lim= 0 x→∞ x→∞ x x→∞ xk x→∞ xk Mt vài gi i h n c bi t a) lim x k = +∞ v i k nguyên d ơ ng x→+∞ b) lim x k = −∞ v i k là s l x→−∞ a) lim x k = +∞ v i k là s ch n. x→−∞ 2. Các quy t c tính gi i h n: 1) lim[ f(x)± g(x)] = limf(x) ± limg(x) xx→0 xx → 0 xx → 0 2) lim[ f(x).g(x)] = lim f(x).lim g(x) xx→0 xx → 0 xx → 0 lim f(x) f(x)  x→ x 3) lim   = 0 x→ x 0 g(x)  limg(x) x→ x 0 Quy t c 1 : N u lim f (x) = ±∞ và limg(x)= L ≠ 0 thì lim[ f(x).g(x)] = ? c cho trong b ng sau: x→ x 0 x→ x 0 x→ x 0 lim f (x) = ±∞ Du c a L lim[ f (x).g(x) ] x→ x 0 x→ x 0 +∞ + +∞ +∞ − −∞ −∞ + −∞ −∞ − +∞ + − (Quy t c n y v n úng cho các tr ng h p sau: x→ x;x0 → x;x 0 →+∞ ;x →−∞ ) Quy t c 2 : N u limf(x)= L ≠ 0 và limg(x)= 0 và g(x)> 0 ho c g(x)< 0 v i m i x∈ I \{x0}, x→ x 0 x→ x 0 f (x) trong ó I là m t kho ng nào ó ch a x 0 thì lim= ? c cho trong b ng sau: x→ x 0 g(x) Du c a L Du c a g(x) f (x) lim x→ x 0 g(x) + + +∞ + − −∞ − + −∞ − − +∞ 125
Chuyên đề LT ĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn + − (Quy t c n y v n úng cho các tr ng h p sau: x→ x;x0 → x;x 0 →+∞ ;x →−∞ ) 3. Các ví d : Ví d 1 : Tính các gi i h n sau a) lim(−+ x3 3x 2 − 4x + 2 ) b) lim( x3+ 3x 2 + 4 ) x→−∞ x→+∞ x4 3  c) lim(− x4 + 2x 2 + 3 ) d) lim− x 2 +  x→−∞ x→+∞ 2 2  Ví d 2 : Tính các gi i h n sau 2x+ 1 2− x a) lim b) lim x→−∞ x− 2 x→+∞ 2x+ 1 2x+ 1 2− x a) lim b) lim x→ 2 + x− 2 1  − 2x+ 1 x→ −  2  Ví d 3 : Tính các gi i h n sau 2x2 − 3x − 1 2x2 − 3x − 1  a) lim b) lim− 2x  x→+∞ x2 − 2x x→+∞ x− 2  x2 − 2x − 3 x2 − 2x − 3 a) lim b) lim x→ 2 − x− 2 x→ 2 + x− 2 B. Liên t c Các nh ngh a: • nh ngh a 1 : Gi s hàm s f(x) xác nh trên kho ng (a;b ) và x0 ∈( a;b ) . Hàm s f c g i là liên t c t i im x 0 n u limf(x)= f(x0 ) x→ x 0 • nh ngh a 2 : Gi s hàm s f(x) xác nh trên kho ng (a;b ) . Hàm s f c g i là liên t c trên kho ng (a;b ) n u nó liên t c t i m i im thu c kho ng (a;b ) • nh ngh a 3 : Gi s hàm s f(x) xác nh trên on [a;b ] .  limf(x)= f(a) Hàm s f c g i là liên t c trên on a;b n u nó liên t c trên kho ng a;b và x→ a + [ ] ( )  limf(x)= f(b) x→ b − nh lý : 1) T ng, hi u, tích, th ơ ng c a hai hàm s liên t c t i m t im là nh ng hàm s liên t c t i im ó. 2) Hàm a th c và hàm phân th c h u t (th ơ ng c a hai a th c) liên t c trên t p xác nh c a chúng (t c là liên t c t i m i im thu c t p xác nh c a chúng). 3) Các hàm l ng giác y= sinx,y = cosx,y = tanx,y = cotx liên tc trên t p xác nh c a chúng. C. o hàm 1) Ñònh nghóa ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi moät ñieåm: Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø x0 ∈ (a;b) . Ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi ñieåm x 0, kyù hieäu laø f'(x 0) hay y'(x 0) laø giôùi haïn höõu haïn (neáu coù) f(x)− f(x ) cuûa lim 0 x→ x 0 x− x 0 126
Chuyên đề LT ĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn f(x)− f(x0 ) f '(x0 )= lim x→ x 0 x− x 0 2. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm : • Cho haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm taïi x 0 laø f'(x 0) . (C) laø ñoà thò cuûa haøm soá M0 (x 0 ;f(x 0 ))∈ (C) vaø ∆ laø tieáp tuyeán cuûa (C) taïi M y (C): y=f(x) M 0 ∆ f(x0 ) x x 0 a) YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñaïo haøm: • Ñaïo haøm cuûa haøm soá y=f(x) taïi ñieåm x 0 laø heä soá goùc k cuûa tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñoù taïi ñieåm M0 (x 0 ;f(x 0 )) k= f'(x0 ) (k= tan α v i α =(ox; ∆ ) ) b) Phöông trình tieáp tuyeán : • Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm taïi x 0 thì phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá ñoù taïi ñieåm M0(x 0;f(x 0)) laø: y= f'(x)(x0 − x) 0 + f(x) 0 = y0 f(x) 0 hay: y− y = kx( − x ) trong ó :  0 0 = k f '(x0 ) 3. Caùc quy taéc tính ñaïo haøm : Ñaïo haøm cuûa toång hieäu tích thöông caùc haøm soá ′ a. Ñaïo haøm cuûa toång ( hieäu ) : ()u ± v = u′ ± v′ b. Ñaïo haøm cuûa tích : ′ ′ ()v.u = u′ v. + v.u ′ Ñaëc bieät ()C.u= C.u ′ Vôùi C laø haèng soá. c. Ñaïo haøm cuûa thöông : ′ ′ ′  u  u′ v. − v.u ′ 1  − 1 C  C.v'   = Ñaëc bieät   = và   = −  v  v2 v  v 2 v  v2 d. Ñaïo haøm cuûa haøm soá hôïp : Cho hai haøm soá y = f (u) vaø u = g(x) khi ñoù y = f[g(x)] ñöôïc goïi laø haøm hôïp cuûa hai haøm soá treân, khi ñoù: y′x = y′u u. ′x 127
Chuyên đề LT ĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 3. Ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá cô baûn : ′ V i u là m t hàm s ()C = 0 ( C laø haèng soá ) (x) '= 1 (C.x) '= C ′ ′ ()xn= n.x n− 1 (n∈ N,n ≥ 2 ) ()un= n.u n− 1 .u ′ ′ ′ 1  1 1  u ′   = − (x≠ 0)   = − x  x 2 u  u 2 ′ 1 ′ u′ ( x ) = (x> 0 ) ( u ) = 2 x 2 u ′ ′ ()sin x = cos x ()sin u = u′cos u ′ ′ ()cos x = −sin x ()cos u = −u′sin u ′ 1 ′ u′ ()tan x= = 1 + tan2 x ()tan u= = (1 + tan2 u).u ′ cos2 x cos2 u ′ 1 ′ u′ ()cot x=− =−() 1 + cot2 x ()cot u=− =−() 1 + cot2 u .u ′ sin2 x sin2 u ′ ′  ax + b  d.a − b.c  ax 2 + bx + c  a.a x 2 + 2a.b x + b.b − a .c   =   = 1 1 1 1  cx + d  ()cx + d 2  a x + b  a x b 2  1 1  ()1 + 1 • o hàm c a hàm s m : (ex)' = e x (ax)'= a x .ln a (eu)'= e u . u ' (v i u là m t hàm s ) (au)'= a u . ln au . ' (v i u là m t hàm s ) • o hàm c a hàm s lôgarit: 1 1 ()lnx ' = và lnx ' = x () x u ' u ' ()lnu ' = và lnu ' = (v i u là m t hàm s ) u () u x 1 x 1 ()loga ' = và ()loga ' = xln a xln a u u u ' u ' ()loga ' = và ()loga ' = (v i u là m t hàm s ) u.ln a u.ln a RÈN LUY N K N NG Ví duï 1 : Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau 1 x4 3 1) y=−+−− x3 4x 2 5x 11 2) y =−− x 2 3 2 2 2x1− 3x2x12 − − 3) y= 4) y= 3x2+ 2x1 + 128
Chuyên đề LT ĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Ví duï 2 : Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1) y=+ 2sinx sin2x 2) y =+ 3cos2x 2cosx 4 x 3) y= 2sinx− sin3 x 4) y = + sin 2 x 3 2 Ví duï 3 : Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1) y=++ x2 2x 5 2) y =+−− x 1 4 x2 x2 3) y=( 3− x) x2 + 1 4) y = x2 −1 Ví duï 4 : Tìm ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sau: x + 3 1) y = x 4 − x 2) y = x2 +1 3) y = x − 2 + 4 − x 4) y = x + 2 − x2 Ví d 5 : Tính f '(x) và gi i ph ơ ng trình f '(x)= 0 khi bi t 1) f(x)= 2x3 + 3x 2 − 36x − 10 2) f(x)= x4 − 2x 2 + 3 x2 + 2x + 2 x2 − 8x + 7 3) f (x) = 4) f (x) = x+ 1 x2 + 1 Ví d 6: Tính f '(x) và l p b ng xét d u c a f '(x) khi bi t 1 3 1) f(x)= x3 − x 2 + 5 2) f(x)=− x4 + 8x 2 + 6 4 2 3x+ 1 x2 − x + 1 3) f (x) = 4) f (x) = 1− x x− 1 Ví d 7: Vi t ph ơ ng trình ti p tuy n c a th (C) c a hàm s 1) y= x3 − 3x + 2 t i im trên (C) có hoành b ng 2. 2) y= x4 − 2x 2 t i im trên (C) có tung b ng 8. 2x+ 3 3) y = t i giao im c a (C) v i tr c tung. 2x− 1 Ví d 8 : Vi t ph ơ ng trình ti p tuy n c a th (C) c a hàm s 1) y= x3 − 3x + 2 bi t ti p tuy n có h s góc b ng 9. 2) y= x4 − 2x 2 bi t ti p tuy n song song v i ng th ng y= 24x . 2x+ 3 1 3) y = bi t ti p tuy n vuông góc v i ng th ng y= x . 2x− 1 2 C. VI PHÂN N u hàm s f có o hàm f' thì tích f '(x).∆ x g i là vi phân c a hàm s y= f(x) , ký hi u là df(x)= f'(x). ∆ x (1) . c bi t v i hàm s y= x ta có dx=( x) '. ∆=∆ x x nên (1) có th vi t thành: df(x)= f '(x).dx Ht 129
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuyeân ñeà 15: NG D NG O HÀM Bài 1: TÍNH N IU C A HÀM S Trong bài này chúng ta s ng d ng o hàm xét tính n iu (t c là tính ng bi n và ngh ch bi n) c a hàm s . ng th i s xét các ng d ng c a tính n iu trong vi c ch ng minh b t ng th c, gi i ph ư ng trình, b t ph ư ng trình và h ph ư ng trình. A. TÓM T T GIÁO KHOA Gi s K là m t kho ng, m t on ho c m t n a kho ng và f là hàm s xác nh trên K. I) NH NGH A • Hàm s f ưc g i là đồng bi ến (t ăng) trên K n u ∀x,x12 ∈ K,x 12 fx( 2 ) Minh h a: y 2.5 y=f(x)=x -x+ 2 1.5 1 0.5 x -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 K=(-;) K=( /;) -0.5 • Nu hàm s đồng bi ến trên K thì th đi lên t trái sang ph i • Nu hàm s ngh ịch bi ến trên K thì th đi xu ống t trái sang ph i • Hàm s ng bi n hay ngh ch bi n trên K ưc g i chung là hàm s ố đơn điệu trên K. II) CÁC NH LÝ 1) nh lý 1 : Cho hàm s y= f(x) có o hàm trên K. a) N u hàm s f (x) đồng bi ến trên K thì f '(x)≥ 0 v i m i x∈ K b) N u hàm s f (x) ngh ịch bi ến trên K thì f '(x)≤ 0 v i m i x∈ K • [ f(x) ng bi n trên K] ⇒ [ f '(x)≥ 0 v i m i x∈ K ] • [ f(x) ngh ch bi n trên K] ⇒ [ f '(x)≥ 0 v i m i x∈ K ] 2) nh lý 2 : Cho hàm s y= f(x) có o hàm trên K. a) N u f'x( ) > 0 v i m i x∈ K thì hàm s f (x) đồng bi ến trên K b) N u f'x( ) 0 v i m i x∈ K ] ⇒ [ f(x) ng bi n trên K] • [ f '(x)> 0 v i m i x∈ K ] ⇒ [ f(x) ngh ch bi n trên K] • [ f '(x)= 0 v i m i x∈ K ] ⇒ [ f(x) không i trên K] 126
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chú ý quan tr ng: Kho ng K trong nh lý trên có th ưc thay b i m t on ho c m t n a kho ng. Khi ó ph i b sung gi thi t "Hàm s liên t c trên on ho c n a kho ng ó". C th • Nu hàm s liên t ục trên an [a;b ] và có o hàm f '(x)> 0 trên kho ng (a;b ) thì hàm s f ng bi n trên đọan [a;b ] • Nu hàm s liên t ục trên an [a;b ] và có o hàm f '(x)< 0 trên kho ng (a;b ) thì hàm s f ngh ch bi n trên đọan [a;b ] 3) nh lý 3 : (nh lý m r ng) Cho hàm s y= f(x) có o hàm trên K. a) N u f'x( ) ≥ 0 v i m i x∈ K và f'x( ) = 0 ch t i m t s im h u h n thu c K thì hàm s f (x) ng bi n trên K. b) N u f'x( ) ≤ 0 v i m i x∈ K và f'x( ) = 0 ch t i m t s im h u h n thu c K thì hàm s f (x) ngh ch bi n trên K. Tính ơ n iu c a hàm s b c ba 4) nh lý 4 : Cho hàm s b c ba y= f( x) =+++ ax3 bx 2 cx d ( a ≠ 0 ), ta có f '( x) = 3ax2 + 2bx + c . a) Hàm s y= fx( ) =+++ ax3 bx 2 cx d (a ≠ 0 ) đồng bi ến trên » ⇔ f '( x) = 3ax2 + 2bx +≥∀∈ c 0 x » b) Hàm s y= fx( ) =+++ ax3 bx 2 cx d (a ≠ 0 ) ngh ịch bi ến trên » ⇔ f '( x) = 3ax2 + 2bx +≤∀∈ c 0 x » B. TH C HÀNH GI I TOÁN I. CÁC D NG TOÁN C B N 1.Dng 1 : Xét chi u bi n thiên c a hàm s . Ví d 1 : Tìm các kho ng n iu c a các hàm s sau a) y= f( x) =−−+ x3 x 2 x 3 b) y = f( x) =−−++ x3 3x 2 9x 11 x4 c) y= f() x =−+ 2x2 6 d) y = f() x =−+− x4 4x 2 3 4 3x1+ x2x22 + + e) y== f() x f) y == f() x x1+ x1 + Ví d 2 : Xét chi u bi n thiên c a các hàm s sau a) y=+− x 2 x2 b) y =− x 4 x x+ 3 x 2 c) y= d) y = x12+ x1 2 − 2.Dng 2 : nh tham s hàm s ơn iu trên m t mi n K cho tr ưc. Ví d 1 : Tìm các giá tr c a tham s m hàm s 1 a) y= x3 + mx 2 ++()() m6x − 2m1 + ng bi n trên » 3 1 b) y=− x3 +−()() m1x 2 ++ m3x4 − ngh ch bi n trên » 3 Ví d 2 : Tìm các giá tr c a tham s m sao cho hàm s fx( ) =−+ x3( m1x) 2 +( 2m1xm −+−) 2 2 a) ng bi n trên » 3  b) ng bi n trên n a kho ng ;+∞  2  131
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 1 1 Ví d 3 : Tìm các giá tr c a tham s a sao cho hàm s fx() =− x3 + ax 2 +() 2a 2 ++ 3a1x3a − 3 2 a) Ngh ch bi n trên » b) Ngh ch bi n trên m i n a kho ng (−∞; − 1 ] và [3; +∞ ) II. CÁC D NG TOÁN NÂNG CAO 1.Dng 1 : S d ng tính ơn iu ch ng minh b t ng th c. a) Ví d 1 : Ch ng minh các b t ng th c sau: π  i) sinx 1 − v i m i x∈ 0;  2 2  b) Ví d 2 : Ch ng minh các b t ng th c sau: π  i) 2sinx+ tanx > 3x v i m i x∈ 0;  2  π  ii) sinx+ tanx > 2x v i m i x∈ 0;  2  2.Dng 2: S d ng tính ơn iu gi i ph ươ ng trình, h ph ươ ng trình, b t ph ươ ng trình. B sung các tính ch t c a tính ơn iu • Tính ch t 1 : Gi hàm s y= f( x ) ng bi n (ngh ch bi n) trên kho ng (a;b ) và u;v∈( a;b ) ta có: f( u) = f( v) ⇔ u = v • Tính ch t 2 : Gi hàm s y= f( x ) ng bi n trên kho ng (a;b ) và u;v∈( a;b ) ta có: f( u) v • Tính ch t 4 : N u hàm s y= f( x ) đồng bi ến trên (a;b ) và y= g( x ) làm hàm h ằng ho c là m t hàm s ngh ịch bi ến trên (a;b ) thì ph ư ng trình fx( ) = gx( ) có nhi u nh t m t nghi m thu c kho ng (a;b ) D ựa vào tính ch ất trên ta suy ra: N u có x0 ∈( a;b ) sao cho fx( 0) = gx( 0 ) thì ph ư ng trình fx( ) = gx( ) có nghi m duy nh ất trên (a;b ) a) Ví d 1 : Gi i ph ư ng trình x9++ 2x += 4 5 π 2 b) Ví d 2: Gi i ph ư ng trình x− cos x −+ = 0 4 2 c) Ví d 3: Gi i ph ư ng trình x2+ 15 = 3x −+ 2 x 2 + 8 d) Ví d 4: Gi i b t ph ư ng trình x2+− 3x −< 52x − e) Ví d 5: Gi i h ph ư ng trình cotx− coty = x − y i x, y∈ 0; π {5x+ 8y = 2 π v ( )  x− y + 1y −− 1x0 −= f) Ví d 6: Gi i h ph ư ng trình:   x+ 1y − = 2 C. BÀI T P V NHÀ Bài 1 : Tìm các kho ng n iu c a các hàm s sau 132
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn a) y= f( x) =−+++ x3 3x 2 9x 5 b) y = f( x) =−++ x4 2x 2 3 2x1− x2x32 − − c) y== f() x d) y == f() x x1− x2 − Bài 2 : L p b ng bi n thiên c a các hàm s sau a) y= x + 4 − x 2 b) y= x −+ 1 9 − x c) y= x1 ++−+ 8x()() x18x + − 1 Bài 3 : Cho hàm s y=()() a1x −3 ++− ax 2 3a2x2 + 3 Tìm a hàm s ng bi n trên » Bài 4 : Tùy theo m hãy xét s bi n thiên c a hàm s y= x2 ( mx −) − m Bài 5 : Gi i các ph ư ng trình sau: a) 4x−+ 1 4x2 −= 1 1 b) sinx+ cosx + 2x −= 1 0 c) 4x3 +−− 12x 8 cos3x + 9cosx = 0 Bài 6 : Gi i b t ph ư ng trình x2 ++ x 6x + π 2 Ht 133
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 134
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 135
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn CÁC BÀI TOÁN THI I H C Bài 1 : (A-2012) Bài 2: (B-2012) Bài 3: (D-2012) Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: 136
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 3: GIÁ TR L N NH T VÀ GIÁ TR NH NH T C A HÀM S A. TÓM T T GIÁO KHOA I) NH NGH A: Gi s hàm s y= f( x ) xác nh trên t p h p D. • S M ưc g i là GTLN c a hàm s y= f( x ) trên t p D n u các iu sau ưc th a mãn i) f( x) ≤ M ∀ x ∈ D  ii) ∃x0 ∈ D:f() x 0 = M Ký hi u: M= Max f( x ) x∈ D • S m ưc g i là GTNN c a hàm s y= f( x ) trên t p D n u các iu sau ưc th a mãn i) f( x) ≥ m ∀ x ∈ D  ii) ∃x0 ∈ D:f() x 0 = m Ký hi u: m= min f( x ) x∈ D Minh h a: 8 y 7 6 M= 5 4 y=f(x)=x -x+ 3 D=[-/;/] 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1/ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -/ -1 -2 -3 -4 m= / -5 • Quy ưc: Ta quy ưc r ng khi nói GTLN hay GTNN c a hàm s f mà không nói "trên t p D" thì ta hi u ó là GTLN hay GTNN trên TP XÁC NH c a nó. • i v i GTLN và GTNN i v i hàm nhi u bi n c ng có nh ngh a t ư ng t . II) CÁC PH NG PHÁP TH NG DÙNG TÌM GTLN & GTNN C A HÀM S M T BI N: 1) Ph ươ ng pháp 1 : S d ng b t ng th c (hay ph ươ ng pháp dùng nh ngh a). Mt s ki n th c th ưng dùng: b ∆ a) fx()= ax2 ++= bx c ax () + 2 − 2a 4 a 137
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn a+ b b) Bt ng th c Cô-si : V i hai s a, b không âm (a,b≥ 0 ) ta luôn có: ≥ ab 2 D u "=" x y ra khi a= b 2) Ph ươ ng pháp 2 : S d ng iu ki n có nghi m c a ph ươ ng trình (hay ph ươ ng pháp mi n giá tr ). Mt s ki n th c th ưng dùng: a) Ph ư ng trình ax2 + bx += c 0 ( a ≠ 0 ) có nghi m ⇔ ∆ ≥ 0 b) Ph ư ng trình acosx+ bsinx = c ( a,b ≠ 0 ) có nghi m ⇔a2 + b 2 ≥ c 2 Cơ s lý thuy t c a ph ươ ng pháp : Cho hàm s xác nh b i bi u th c d ng y= f( x ) • Tập xác đị nh c a hàm s ưc nh ngh a là : D = { x∈ » | f(x) có ngh a} • Tập giá tr ị c a hàm s ưc nh ngh a là : T = { y∈ » | Ph ư ng trình f(x) = y có nghi m x∈ D } Do ó n u ta tìm ưc t p giá tr T c a hàm s thì ta có th tìm c GTLN và GTNN c a hàm s ó. 3) Ph ươ ng pháp 3 : S d ng o hàm (hay ph ươ ng pháp gi i tích ). • iu ki n t n t i GTLN và GTNN : nh lý: Hàm s liên t ục trên m t on [a;b ] thì t ưc GTLN và GTNN trên on ó. (Weierstrass 2) • Ph ươ ng pháp chung : Mu n tìm GTLN và GTNN c a hàm s y= f( x ) trên mi n D, ta l p B NG BI N THIÊN c a hàm s trên D r i d a vào BBT suy ra k t qu . • Ph ươ ng pháp riêng : • Chú ý: Ph i ki m tra tính liên t c c a hàm s y= f( x ) trên on [a;b ] , tránh áp d ng m t cách hình th c. B. TH C HÀNH GI I TOÁN 1) Ph ươ ng pháp 1 : S d ng b t ng th c Ví d 1 : Tìm GTLN c a hàm s fx( ) =− 2x2 + 8x1 + Ví d 2 : Tìm GTNN c a hàm s f() x= 2x2 − 4x + 12 Ví d 3 : Tìm GTNN c a các hàm s sau 2 a) f() x= x + v i x∈( 1; +∞ ) x− 1 138
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 7 b) f(x)= x − 3 + x− 3 2) Ph ươ ng pháp 2 : S d ng iu ki n có nghi m c a ph ương trình x2 + x + 2 Ví d 1 : Tìm GTLN và GTNN c a hàm s y = x2 − x + 2 1+ sinx Ví d 2: Tìm GTLN và GTNN c a hàm s y = 2+ cos x 3) Ph ươ ng pháp 3 : S d ng o hàm Ví d 1 : Tìm GTLN và GTNN c a các hàm s sau: x− 2 a) y= x3 − 3x 2 − 9x + 35 trên on [−4,4 ] b) y = trên on [0;2 ] x+ 2 π π  c) y= sin2x − x trên on − ; d) y= x + 2 − x 2 2 2  x + 2 e) y=2025 − 2011 x trên on [0;1 ] f) y = trên on [0;1 ] x −1 x2 −3 x + 6 g) y = − trên on [2;6 ] h) y= x − e 2x trên on [−1;0 ] x −1 Ví d 2 : Tìm GTLN và GTNN c a hàm s 4 a) y= 2sinx − sin3 x trên on [0; π] b) y= cos4 x − 6cos 2 x + 5 3 139
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn NG D NG GTLN VÀ GTNN C A HÀM S TRONG PT VÀ BPT A. TÓM T T GIÁO KHOA C S LÝ THUY T C A NG D NG VÀ VÍ D M= Max f( x ) Gi s f( x ) là hàm s liên t c trên mi n D và t GTLN, GTNN trên mi n y. Ký hi u:  x∈ D m= min f() x  x∈ D Khi ó ta có các k t lu n sau: 1) Ph ư ng trình f( x) = a có nghi m x∈ D ⇔m ≤ a ≤ M Ví d 1: Tìm a ph ư ng trình sau có nghi m 2x+ + 4x − = a Ví d 2: Tìm m ph ư ng trình sau có nghi m xm−+ 4x −2 = 0 Ví d 3: Tìm m ph ư ng trình sau có nghi m ()()x3x1− −+ 4xx −−2 2m10 += Ví d 4: Tìm m ph ư ng trình sau có nghi m x∈[ − 3;0 ] 2 (x2+ 2x) −+() m1x( 2 + 2x) ++= m10 2) B t ph ư ng trình f( x) ≥ a có nghi m x∈ D ⇔a ≤ M B t ph ư ng trình f( x) ≤ a có nghi m x∈ D ⇔a ≥ m Ví d : Tìm a b t ph ư ng trình sau có nghi m x1+− 4x − ≥ a 3) B t ph ư ng trình f( x) ≥ a nghi m úng v i m i x∈ D ⇔a ≤ m B t ph ư ng trình f( x) ≤ a nghi m úng v i m i x∈ D ⇔a ≥ M Ví d : Tìm m b t ph ư ng trình sau nghi m úng v i m i x∈[ − 2;2 ] xm−+ 4x −2 ≤ 0 140
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn B. TH C HÀNH GI I TOÁN Bài 1 : Cho ph ư ng trình 2x−++− 2x()() 2x2x − += m (1) Tìm m ph ư ng trình (1) có nghi m Bài 2: Cho ph ư ng trình 22x( −++− 6x) ()() 2x6x + −− 3m10 += (1) Tìm m ph ưng trình (1) có nghi m 2 Bài 3: Cho ph ư ng trình (x2−+ 1) 2x2x −− 2 3m2 += 0 (1) Tìm m ph ư ng trình (1) có nghi m Bài 4: Cho ph ư ng trình x+ 2x −+2 x2x −− 2 5m10 −= (1) Tìm m ph ư ng trình (1) có nghi m Bài 5: Cho ph ư ng trình m1x( +−−+=22 1x 2) 21x −++−− 422 1x 1x (1) Tìm m ph ư ng trình (1) có nghi m Bài 6: Cho ph ư ng trình 2( sin4 x+ cos 4 x) + cos4x + 2sin2x += m 0 (1) π  Tìm m ph ư ng trình (1) có nghi m x∈ 0; 2  Bài 7: Cho b t ph ư ng trình ()()x46x+ −≤−+ x2 2xm (1) Tìm m b t ph ư ng trình (1) nghi m nghi m úng v i m i −4 ≤ x ≤ 6 Ht 141
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 4: CUNG L I - CUNG LÕM VÀ IM U N TÓM T T GIÁO KHOA 1. Khái nhi m v cung l i, cung lõm và di m u n • Ti m i im c a cung AC , ti p tuy n luôn luôn phía trên ca AC . Ta nói AC là m t cung l i. • Ti m i im c a cung CB , ti p tuy n luôn luôn phía d ưi ca CB . Ta nói CB là m t cung lõm. • im C phân cách gi a cung l i và cung lõm ưc g i là im u n c a th . T i im u n ti p tuy n i xuyên qua th . 2. D u hi u nh n bi t l i, lõm và im u n nh lý 1 : Cho hàm s y= f(x) có o hàm c p hai trên kho ng (a;b ) . • Nu f ''(x) 0 v i m i x∈( a;b ) thì th c a hàm s lõm trên kho ng ó. nh lý 2 : Cho hàm s y= f(x) có o hàm c p hai trên kho ng (a;b ) và x0 ∈( a;b ) • Nu f "(x) i d u khi x i qua x 0 thì im M0( x 0 ;f(x 0 ) ) là im u n c a th hàm s ã cho. 3. Áp d ng Ví d : Tìm kho ng l i lõm và im u n c a th các hàm s sau a) y=− x3 − 3x 2 + 2 b) y= x4 − 2x 2 − 3 Ht 142
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 5: NG TI M C N C A TH HÀM S TÓM T T GIÁO KHOA 1. ưng ti m c n ng và ưng ti m c n ngang nh ngh a 1 nh ngh a 2 143
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2. ưng ti m c n xiên nh ngh a 3 144
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 3. Áp d ng Ví d : Tìm các ưng ti m c n c a th các hàm s sau 2x− 1 1− 2x a) y = b) y = x− 1 x+ 2 x2 − 2x − 3 x2 + 2x + 2 c) y = d) y = x− 2 x+ 1 Ht 145
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 6: KH O SÁT & V TH HÀM S Sơ chung kh o sát s bi n thiên và v th hàm a th c Da vào ch ươ ng trình SGK + áp án c a BGD biên so n Ch ươ ng trình Cơ b n + Nâng cao 1. Hàm s y= ax3 + bx 2 ++ cx d (a ≠ 0 ) 1) T p xác nh: D = » 2) S bi n thiên: • a) Chi u bi n thiên: + y'= ? y'= 0 ⇔ x = ? + Xét d u y': x −∞ ? +∞ y' ? - K t lu n v các kho ng n iu c a hàm s . • b) C c tr : k t lu n v c c tr c a hàm s . • c) Gi i h n: lim y= ? và lim y= ? x→−∞ x→+∞ (Ch nêu k t qu không c n gi i thích chi ti t) • d) B ng bi n thiên: x - ∞ ? + ∞ y' ? y ? (B ng bi n thiên ph i y m i chi ti t) 3) th : Giao im c a th v i các tr c t a : + Giao im v i Oy: x= 0⇒ y?= + Giao im v i Ox (n u có) : y= 0 ⇔ x? = y 8 6 4 2 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -4 -6 -8 146
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2. Hàm s y= ax4 + bx 2 + c (a ≠ 0 ) 1) T p xác nh: D = » 2) S bi n thiên: • a) Chi u bi n thiên: + y'= ? y'= 0 ⇔ x = ? + Xét d u y' x −∞ ? +∞ y' ? - K t lu n v các kho ng n iu c a hàm s . • b) C c tr : k t lu n v c c tr c a hàm s . • c) Gi i h n: lim y= ? và lim y= ? x→−∞ x→+∞ (Ch nêu k t qu không c n gi i thích chi ti t) • d) B ng bi n thiên: x - ∞ ? + ∞ y' ? y ? (B ng bi n thiên ph i y m i chi ti t) 3) th : Giao im c a th v i các tr c t a : + Giao im v i Oy: x= 0⇒ y?= + Giao im v i Ox (n u có) : y= 0 ⇔ x? = y 8 6 4 2 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -4 -6 -8 147
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Sơ chung kh o sát s bi n thiên và v th hàm phân th c h u t Da vào ch ươ ng trình SGK + áp án c a BGD biên so n Ch ươ ng trình Cơ b n + Nâng cao ax+ b 3. Hàm s y= ()c ≠ 0, ad −≠ bc 0 cx+ d d  1) T p xác nh: D=» \  −  c  2) S bi n thiên: • a) Chi u bi n thiên: ad− bc d + y' = ; k t lu n y' 0 vi m i x ≠ − ()cx+ d 2 c - K t lu n v các kho ng n iu c a hàm s • b) C c tr : hàm s không có c c tr • c) Gi i h n và ti m c n: d + lim y= ? vaø lim y = ? ⇒ x = − là ti m c n ng − + d  d c x→− x →−  c  c a a a + limy= vaø limy = ⇒ y = là ti m c n ngang x→−∞c x →+∞ c c (Ch nêu k t qu không c n gi i thích chi ti t) • d) B ng bi n thiên: x d - ∞ − + ∞ c y' ? ? y ? ? (B ng bi n thiên ph i y m i chi ti t) 3) th : Giao im c a th v i các tr c t a : + Giao im v i Oy: x= 0⇒ y?= + Giao im v i Ox: y= 0 ⇔ x? = y 8 6 4 2 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -4 -6 -8 148
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI T P RÈN LUY N Bài 1 : Kh o sát s bi n thiên và v th các hàm s sau 1) y= x3 + 3x 2 − 4 2) y=− x3 + 3x 2 − 4 3) y=− x3 + 3x 2 − 4x + 2 4) y= x3 − 3x 2 + 4x − 2 5) y= x3 − 3x 2 + 3x − 2 6) y=− x3 + 3x 2 − 3x + 2 2 7) y= x3 −2 x + 2 8) y=− x3 +3 x + 1 3 9) y=3 x2 − x 3 10) yx=3 −3 x 2 + 3 x − 9 Bài 2: Kh o sát s bi n thiên và v th các hàm s sau 1) y= x4 − 2x 2 − 3 2) y=− x4 + 2x 2 + 3 3) y=− x4 − 2x 2 + 3 4) y= x4 + 2x 2 − 3 1 1 x4 3 5) y= x4 − x 2 + 3 6) y= − x 2 − 4 2 2 2 2 7) y=( x 2 − 1) 8) y=8 x2 − x 4 Bài 3 : Kh o sát s bi n thiên và v th các hàm s sau 2x− 1 1− x 4x + 1 1) y = 2) y = 3) y = x− 1 x+ 2 2x − 3 1− 2 x −x − 2 3− 2 x 4) y = 5) y = 6) y = −x − 2 2 − x x −1 Bài 4: Cho hàm s y=− x3( 2m1x +) 2 +( m 2 −+ 3m2x4) + 1) Tìm m th hàm s ã cho có im c c i và im c c ti u. 2) Tìm m th hàm s ã cho có im c c i và im c c ti u v hai phía c a tr c tung. 1 Bài 5 : Cho hàm s y= x3 + mx 2 ++()() m6x − 2m1 + 3 Tìm m th hàm s ã cho ng bi n trên » 149
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 7: CAÙC BAØI TOAÙN CÔ BAÛN COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ 1.BAØI TOAÙN 1 : ÑOÀ THÒ CUÛA HAØM SOÁ COÙ MANG DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA Phöông phaùp chung : Ñeå veõ ñoà thò cuûa haøm soá coù mang daáu giaù trò tuyeät ñoái ta coù theå thöïc hieän nhö sau: Böôùc 1 : Xeùt daáu caùc bieåu thöùc chöùa bieán beân trong daáu giaù trò tuyeät ñoái . Böôùc 2 : Söû duïng ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái ñeå khöû daáu giaù trò tuyeät ñoái Phaân tích haøm soá ñaõ cho thaønh caùc phaàn khoâng coù chöùa daáu giaù trò tuyeät ñoái ( Daïng haøm soá cho bôûi nhieàu coâng thöùc) Böôùc 3 : Veõ ñoà thò töøng phaàn roài gheùp laïi( Veõ chung treân moät heä truïc toïa ñoä). * Caùc kieán thöùc cô baûn thöôøng söû duïng: 1. Ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái : A neáu A ≥ 0 A =  − A neáu A < 0 3. Moät soá tính chaát veà ñoà thò: a) Ñoà thò cuûa hai haøm soá y=f(x) vaø y=-f(x) ñoái xöùng nhau qua truïc hoaønh b) Ñoà thò haøm soá chaün nhaän truïc tung laøm truïc ñoái xöùng c) Ñoà thò haøm soá leû nhaän goác toïa ñoä laøm taâm ñoái xöùng * Hai daïng cô baûn Baøi toaùn toång quaùt : (C):y= f(x) Töø ñoà thò (C) :y=f(x), haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau:  1 (C2 ):y= f(x) Ví d : (C):y= x3 − 3x + 2 Töø ñoà thò (C) : y= x3 − 3x + 2 , haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau:  1 =3 − + (C):y2 x 3x 2 150
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn C y f x C y f x Daïng 1: Töø ñoà thò ( :) = ( ) → ( 1 :) = ( ) Caùch giaûi  f (x) neáu f(x) ≥ 0 (1) C y f x B1. Ta coù : ( 1 :) = ( ) =  − f (x) neáu f(x) < 0 (2) B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C 1) nhö sau: • Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía treân truïc Ox ( do (1) ) • Laáy ñoái xöùng qua Ox phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ( do (2) ) • Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía döôùi truïc Ox ta seõ ñöôïc (C 1) Minh hoïa y f(x)=x^3-3*x+2 y f(x)=x^3-3*x+2 f(x)=abs(x^3-3*x+2) 8 8 3 6 y=x -3x+2 6 y = x 3-3x+2 4 4 C y x3 x ( 1 :) = − 3 + 2 2 2 x x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 3(C): y = x 3-3x+2 -2 y=x -3x+2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 Daïng 2 : Töø ñoà thò (C):y= f(x) → (C):y2 = f(x) ( ñaây laø haøm soá chaün) Caùch giaûi f(x) x≥ 0 (1) B1. Ta coù : (C ):y= f(x) = neáu 2 {f(− x) neáu x < 0 (2) B2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ ta coù theå suy ra ñoà thò (C 2) nhö sau: • Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân phaûi truïc Oy ( do (1) ) • Laáy ñoái xöùng qua Oy phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân phaûi truïc Oy ( do do tính chaát haøm chaün ) • Boû phaàn ñoà thò (C) naèm phía beân traùi truïc Oy (neáu coù) ta seõ ñöôïc (C 2) Minh hoïa : y f(x)=x^3-3*x+2 y f(x)=x^3-3*x+2 y y f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2 8 x 8 3 6 y=x -3x+2 6 y = x 3-3x+2 4 C y x 3 x 4 2 ( 2 :) = − 3 + 2 x 2 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x -2 x (C): y = x 3-3x+2 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 -4 -2 y=x -3x+2 -6 -4 -8 Minh ho -6 151
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn BÀI T P RÈN LUY N Baøi 1: Cho haøm soá : y = −x 3 + 3x (1) 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1) 2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau: 3 a) y = − x 3 + 3x b) y = − x + 3 x x +1 Baøi 2 : Cho haøm soá : y = (1) x −1 1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1) 2. Töø ñoà thò (C) ñaõ veõ, haõy suy ra ñoà thò caùc haøm soá sau: x +1 x +1 x +1 x +1 a) y = b) y = c) y = d) y = x −1 x −1 x −1 x −1 152
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2.BAØI TOAÙN 2 : SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA HAI ÑOÀ THÒ Baøi toaùn toång quaùt : (C ):y= f(x) Trong mp(Oxy) . Haõy xeùt söï töông giao cuûa ñoà thò hai haøm soá :  1 (C2 ) : y= g(x) y (C ) y (C ) y (C ) 1 y 1 1 M 2 M 1 2 C y ( 2 ) M 1 0 x x x x x O 1 O 2 O (C ) C 2 ( 2 ) (C 1) vaø (C 2) khoâng coù ñieåm chung (C 1) vaø (C 2) caét nhau (C 1) vaø (C 2) tieáp xuùc nhau Phöông phaùp chung : * Thieát laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñoà thò hai haøm soá ñaõ cho: f(x) = g(x) (1) * Tùy theo soá nghi m cuûa phöông trình (1) mà ta k t lu n v s im chung c a hai th (C 1) vaø (C 2) . Lưu ý: Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) chính laø soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C 1) vaø (C 2). Ghi nhô ù: Soá nghieäm cuûa pt (1) = soá giao ñieåm cuûa hai ñoà thò (C 1) vaø (C 2). Chuù yù 1 : * (1) voâ nghieäm ⇔ (C 1) vaø (C 2) khoâng coù ñieåm ñieåm chung * (1) coù n nghieäm ⇔ (C 1) vaø (C 2) coù n ñieåm chung Chuù yù 2 : * Nghieäm x 0 cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä ñieåm chung cuûa (C 1) vaø (C 2). Khi ñoù tung ñoä ñieåm chung laø y 0y = f(x 0) hoaëc y 0 = g(x 0). y 0 x x 0 O AÙp duïng : Dng 1: Tìm t a giao im c a hai th Bài 1: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C): y= x2 + x2 − vaø ñöôøng thaúng y= x + 2 Bài 2: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng cong (C): y= x2 − 4 vaø (C'): y= − x2 − 2x 1 5 Bài 3: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C): y= x3 − x 2 vaø ñöôøng thaúng (d) : y= 3x + 3 3 2x −1 Bài 4: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C): y = vaø ñöôøng thaúng (d :) y = −3x −1 x +1 Bài 5: Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong (C): y= x vaø ñöôøng thaúng (d):y= x − 2 153
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Dng 2: Tìm tham s hai th c t nhau t i 2( 3, 4) im phân bi t 2x+ 1 Baøi 1 : Cho hàm s y = . Tìm t t c các giá tr c a tham s m ưng th ng y= mx + 2 c t th x+ 2 hàm s ã cho t i hai im phân bi t. 3− 2x Baøi 2 : Cho hàm s y = . Tìm t t c các giá tr c a tham s m ưng th ng y= mx + 2 c t th x− 1 hàm s ã cho t i hai im phân bi t. Baøi 3: Cho haøm soá y=−( x 1)( x2 + mx + m ) (1) Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät. Baøi 4: Cho haøm soá y= x3 +3 x 2 + mx +− m 2 (1) Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 3 ñieåm phaân bieät. Baøi 5 : Cho haøm soá y= x4 − mx 2 +− m 1 (1) Xaùc ñònh m sao cho ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi 4 ñieåm phaân bieät. Dành riêng cho ch ươ ng trình nâng cao Ñieàu kieän tieáp xuùc cuûa ñoà thò hai haøm soá : (C ):y= f(x) Ñònh lyù : Cho hai th  1 (C2 ) : y= g(x) f(x)= g(x) (C 1) tieáp xuùc vôùi (C 1) ⇔ heä :  coù nghieäm f(x)'= g(x) ' y C ( 1 ) M x O ∆ (C ) 2 5 Bài 1: Ch ng minh r ng hai ưng cong (C):y= x3 + x − 2 và (C'):y= x2 + x − 2 ti p xúc nhau.t i m t 4 im nào ó. Bài 2: Tìm k ưng th ng (d):y= kx ti p xúc v i ưng cong (C) : y= x3 + 3x 2 + 1 Bài 3: Tìm k ưng th ng (d):y= kx( − 2) − 7 ti p xúc v i ưng cong (C) : y= x3 − 3x 2 + 2 2x+ 1 Bài 4: Tìm k ưng th ng (d):y= kx( + 1) + 3 ti p xúc v i ưng cong (C) : y = x+ 1 x2 − x − 1 Bài 5: Tìm k ưng th ng (d):y= k( x + 5 ) ti p xúc v i ưng cong (C) : y = x+ 1 154
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 3.BAØI TOAÙN 3: TIEÁP TUYEÁN VÔÙI ÑÖÔØNG CONG a. Daïng 1 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C):y = f(x) taïi ñieåm M0 (x 0 ;y 0 )∈ (C) y (C): y=f(x) y M 0 0 ∆ x x 0 Phöông phaùp : Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi M(x 0;y 0) coù daïng: y - y 0 = k ( x - x 0 ) hay y= f'(x)(x0 − x) 0 + f(x) 0 Trong ñoù : x 0 : hoaønh ñoä tieáp ñieåm y 0: tung ñoä tieáp ñieåm vaø y 0 = f(x 0) ' k : heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán vaø ñöôïc tính bôûi coâng thöùc : k = f (x 0) AÙp duïng : Bài 1 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y = x 3 − 3x + 3 taïi im trên th có hoành x= 2 . 2x+ 3 Bài 2: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y = taïi im trên th có hoành x= − 3 . x+ 1 3x− 2 Bài 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y = taïi im trên th có tung y= − 2 . x+ 1 Bài 4: Cho hàm s y=− 2x3 + 3x 2 − 1 (1). Vi t ph ư ng trình ti p tuy n v i th (C) c a hàm s (1) t i im trên (C) có hoành x0 , bit r ng y''(x0 )= 0 Bài 5: Cho hàm s y= x4 −8 x 2 + 12 (C). Vi t ph ư ng trình ti p tuy n c a (C), khi bi t tung ti p im là y =12 . b. Daïng 2 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñoà thò (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k cho tröôùc y (C): y=f(x) y M 0 0 ∆ x x 0 155
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn Phöông phaùp : Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau Böôùc 1 : Goïi Mxy(0 ; 0 )∈ () C laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán vôùi (C) ' Böôùc 2 : Tìm x 0 baèng caùch giaûi phöông trình : f( x0 ) = k , töø ñoù suy ra y0= f( x 0 ) =? Böôùc 3 : Thay caùc yeáu toá tìm ñöôïc vaøo pt: y - y 0 = k ( x - x 0 ) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm. Bài 1 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y= − x3 + 3x bi t ti p tuy n có h s góc k= − 9 2x+ 1 Bài 2 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá y = bi t ti p tuy n có h s góc b ng −5 x− 2 Chuù yù : Ñoái vôùi daïng 2 ngöôøi ta coù theå cho heä soá goùc k döôùi daïng giaùn tieáp nhö : tieáp tuyeán song song, tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc . y y (C): y=f(x) (C): y=f(x) k = a ∆ y = ax + b x x ∆ O 1 k a ∆ = − /1 2 y ax b ∆2 : = + Khi ñoù ta caàn phaûi söû duïng caùc kieán thöùc sau: Ñònh lyù 1 : Neáu ñöôøng thaúng ( ∆ ) coù phöông trình daïng : y= ax+b thì heä soá goùc cuûa ( ∆ ) laø: k∆ = a Ñònh lyù 2: Trong mp(Oxy) cho hai ñöôøng thaúng (∆1 ) vaø ( ∆ 2 ) . Khi ñoù: ∆∆1// 2 ⇔ k∆ = k ∆ 1 2 ∆⊥∆ ⇔ k .k =− 1 1 2 ∆1 ∆ 2 AÙp duïng : 1 1 4 Bài 3 : Cho ñöôøng cong (C): y= x3 + x 2 −−2 x 3 2 3 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán song song vôùi ñöôøng thaúng (d): y = 4x+2. 2x+ 3 Bài 4 : Cho ñöôøng cong (C): y = 2x− 1 1 3 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán vuông góc vôùi ñöôøng thaúng (∆ ):y = x + 2 2 −x − 2 Bài 5: Cho ñöôøng cong (C): y = 2− x Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán vuông góc vôùi ñöôøng thaúng (∆ ):y = 4x + 2011 156
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn c. Daïng 3 : Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C): y=f(x) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(x A;y A) y (C :) y = f (x) A(xA ; y A ) x O ∆ : y − yA = k(x − xA ) ⇔ y = k(x − xA ) + yA Phöông phaùp : Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau Böôùc 1 : Vi t ph ư ng trình ti p tuy n (d) v i (C) t i im M 0(x 0;y 0)∈(C ) dy fxxx fx ():= '()(0 − 0 ) + () 0 (*) Böôùc 2 : Ñònh x 0 ñeå (d) i qua im A(x A;y A). Ta coù: y fxx x fx (d) i qua im A(x A;y A) ⇔=A'(0 )( A −+ 0 ) ( 0 ) (1) Böôùc 3 : Giaûi pt (1) tìm x0. Thay x 0 tìm ñöôïc vaøo (*) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm. AÙp duïng : Bài 6: Cho ñöôøng cong (C): y = x 3 + 3x 2 + 4 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(0;-1) 2x − 5 Bài 7 : Cho ñöôøng cong (C): y = x − 2 Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(-2;0). Ph ươ ng pháp dành cho ch ươ ng trình nâng cao Phöông phaùp : Ta coù theå tieán haønh theo caùc böôùc sau Böôùc 1 : Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ( ∆ ) qua A vaø coù heä soá goùc laø k bôûi coâng thöùc: yy−=A kxx( − A ) ⇔= ykxx ( − AA ) + y (*) Böôùc 2 : Ñònh k ñeå ( ∆ ) tieáp xuùc vôùi (C). Ta coù: f(x)=k(x-xA ) + yA ∆ tieáp xuùc (C) ⇔ heä  coù nghieäm (1) f' (x ) = k Böôùc 3 : Giaûi heä (1) tìm k. Thay k tìm ñöôïc vaøo (*) ta seõ ñöôïc pttt caàn tìm. 157
Chuyên đề LT ĐH Hu ỳnh Chí Hào – boxmath.vn 4.BAØI TOAÙN 4: BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH BAÈNG ÑOÀ THÒ Cô sôû cuûa phöông phaùp : Xeùt phöông trình f(x) = g(x) (1) Nghieäm x 0 cuûa phöông trình (1) chính laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C 1):y=f(x) vaø (C 2):y=g(x) y C ( 1 ) C ( 2 ) x x 0 Bài toán : Baèng ñoà thò haõy bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình dng : f(x) = m (*) Phöông phaùp : Böôùc 1 : Xem (*) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa hai ñoà thò: • (C ): y = fx ( ) : (C) laø ñoà thi coá ñinh •∆= ( ):y m : ( ∆ ) laø ñöôøng thaúng di ño äng cuøng phöông Ox vaø caét Oy taïi M(0;m) Böôùc 2 : Veõ (C) vaø ( ∆ ) leân cuøng moät heä truïc toïa ñoä Böôùc 3 : Bieän luaän theo m soá giao ñieåm cuûa ( ∆ ) vaø (C) Töø ñoù suy ra soá nghieäm cuûa phöông trình (*) y C y = f x ( :) ( ) m Minh hoïa : 2 x O m 1 ∆ y = m ;0( m) AÙp duïng : Bài 1 : 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) c a haøm soá y=− x3 + 3x 2 − 4 2) D a vào th (C), b ieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình: −x3 + 3x 2 −= 4 m 3) Tìm m ñeå phöông trình sau coù 3 nghieäm phaân bieät: x3− 3x 2 +− 2 m = 0 Bài 2 : 1) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s y= 2x3 − 6x + 1 2) D a vào th (C), bi n lu n theo m s nghi m c a ph ư ng trình: 2x3 − 6x +− 1 m = 0 Bài 3 : 1) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s y= x3 + 3x 2 2) D a vào th (C), bi n lu n theo m s nghi m c a ph ư ng trình: x3+ 3x 2 + m = 0 158