Xây dựng mô hình và mô phỏng hệ bóng trên dĩa dùng phương pháp backstepping

Nội dung text: Xây dựng mô hình và mô phỏng hệ bóng trên dĩa dùng phương pháp backstepping

1. XÂY DỰNG MÔ HÌNH VÀ MÔ PHỎNG HỆ BÓNG TRÊN DĨA DÙNG PHƢƠNG PHÁP BACKSTEPPING Lý Hoàng Phúc a, Nguyễn Thanh Phươngb Khoa Điện – Điện Tử, Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh aphucdt81@yahoo.com; b phuongnt@hcmhutech.edu.vn; TÓM TẮT Backstepping ù q q q q Từ khóa: H I. GIỚI THIỆU chính xác vị trí của trái bóng đang ở đâu. Hệ thống bóng và thanh là một ví dụ kinh Hệ bóng và dĩa là mô hình 3D của hệ bóng điển của bài toán điều khiển động vòng hở. Bài và thanh. Nó bao gồm cả trục x và trục y cho toán này đặc biệt thu hút bởi vì nó là hệ thống phép trái bóng lăn theo những đường khác vòng hở không ổn định, điều này có nghĩa là khi nhau từ điểm ban đầu đến điểm kết thúc. Điều trái bóng di chuyển nó sẽ lăn không bao giờ này thu hút sự chú ý trong lĩnh vực khoa học dừng nếu không có sự tác động nào xảy ra. Điều bởi vì nó cho phép chúng ta điều khiển cả vị trí này trái ngược với hệ thống ổn định vòng hở và hướng như là bóng trong tô, nơi mà nếu trái bóng bị tác - Cấu trúc của hệ bóng và dĩa bao gồm một động bởi một lực nó sẽ dao động bên trong tô mặt phẳng dĩa, cơ cấu cơ khí đề làm lệch mặt mãi mãi hay nó sẽ dừng lại dưới sự tác động của phẳng dĩa theo 2 trục, cảm biến xác định vị trí lực ma sát. trái bóng, thiết bị đo dùng để xử lý tín hiệu và Hệ thống bóng và thanh là một cấu trúc bộ điều khiển thời gian thực. đơn giản liên quan tới một thanh có thể được làm nghiêng ,quanh điểm giữa của thanh hay tại các điểm ở cạnh, và một trái bóng ở trên thanh. Trái bóng được giới hạn chỉ chuyển động trên một trục, dọc theo thanh. Vị trí của trái bóng luôn được đo thông qua việc sử dụng một cảm biến điện trở. Trái bóng được làm bằng kim loại, thường là trái bóng bằng sắt, và bắc cầu giữa 2 thanh kim loại. Khi trái bóng lăn lên hoặc lăn xuống các thanh, Hình 1 Hệ thống bóng trên dĩa thực tế nó sẽ làm tăng hoặc giản điện trở của thanh. 1. THIẾT KẾ HỆ THỐNG Nhìn chung giá trị điện trở sẽ cho ta biết được
2. Hệ thống bóng trên dĩa bao gồm hai động cơ Biểu thức Euler-Lagrange của mô hình bóng DC. Mỗi động cơ (O1 và O2) điều khiển góc trên đĩa như sau quay của một trục và được kết nối với tấm d T T V Qi (3.1) mica bằng một cơ chế liên kết không gian như dt qi qi  qi hình (1), trên tấm mica ta đặt màn hình cảm ứng. Đề cập đến sơ đồ hệ thống trong hình (1), Với qi thay thế cho các trục của tọa độ. mỗi bên của các không gian cơ chế liên kết T là động năng của hệ thống. (O1- P1- A- O và O2- P2- B- O) là một liên kết V là tổng thế năng của hệ thống. bốn thanh bình hành. Điều này đảm bảo rằng Q là tổng của các lực. chuyển động nhỏ xung quanh cân bằng, các Hệ thống có 4 bậc chuyển động 2 bậc biểu diễn góc nghiêng tấm mica (q1 và q2) bằng với góc chuyển động của quả bóng và 2 bậc biểu diễn góc nghiêng của mặt phẳng. Ta có x , y là tọa  m1  m2 b b quay của động cơ tương ứng ( và ). Tấm độ của bóng trên đĩa, , là góc nghiêng của mica được kết nối với mặt đất bằng khớp nối mặt phẳng. Chúng ta giả sử tọa độ x-y là ngay tại U tại O. Khớp tròn (tại các điểm P1, P2, A tại trung tâm của đĩa. Động năng của quả bóng và B) mối liên kết kết nối và que cung cấp đủ bao gồm cả hai sự xoay tròn với đáp ứng đối với tự do chuyển động chắc chắn rằng hệ thống tâm của khối lượng và năng lượng tịnh tiến. không ràng buộc. Các góc lệch động cơ được đo bằng các encoder có độ phân giải cao. Thiết bị thu dữ liệu gồm cảm biến điện trở, mạch xử lý Arduino Pro Mini truyền dữ liệu lên máy tính Động năng của mặt phẳng, bằng cách xem xét qua card DSP TMS320C28335 quả bóng tại một điểm ( xb, yb ) bao gồm cả năng lượng xoay đối với tâm của khối lượng. Năng lượng điện năng tương đối của quả bóng đặt tại tâm của mặt nghiêng được tính như sau Hình2 Sơ đồ kết nối giữa tấm mica và động cơ Ta có thể tính được biểu thức của hệ thống bằng phép biến đổi Lagrangian L T T V b p b Chúng ta giả định  , là moment tổng quát x y của mặt phẳng. Từ biến đổi Lagrange - Euler ta thu được d T L 2 (I p I b ) mb xb 2mb xb xb mb xb yb dt   m x y  m x y  m g cos  b b b b b b b x Hình 3 Hoạt động của hệ bóng trên dĩa khi chiếu lên hai trục x và y 2. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN Các phương trình động học của hệ bóng trên đĩa thu được từ phép biến đổi Lagranian. Các biếu thức toán chính sau đây dựa vào 4], [6], [8 .
3. với một luật điều khiển cụ thể. Bước cuối cùng sẽ xác định được sự ổn định của hệ thống với thiết kế bộ điều khiển. Sau đây là các bước tiến hành thiết kế bộ điều khiển bóng trên dĩa trên trục . d T L I b (mb 2 ) yb mb (yb  xb ) mb g sin  0 dt rb  yb  yb e1 x1 ydx Phương trình vi phân phi tuyến của hệ thống e2 x2 1 được tính như sau Với 1 là là hàm cân bằng đầu tiên được xác định I b 2 (mb 2 ).xb mb (xb . yb . . ) mb .g.sin 0 ydx là quỹ đạo đặt của hệ thống rb I b 2 Đạo hàm theo thời gian e1 là (mb 2 ).yb mb (yb . xb . . ) mb .g.sin  0 rb 2 e1 x1 y dx x2 y dx (e2 1 ) y dx  x (I p Ib mb .xb ) 2.mb .xb xb . mb .xb .yb . 1 2 mb .yb xb . mb .xb y b . mb .g.xb cos (F1.a1 F2 .a2 mb .g.xb ).cos Chọn hàm Lyapunov V1 e1 2 Đạo hàm theo thời gianV ta được  (I I m .x 2 )  2.m .y y . m .x y . 1 y p b b b b b b b b b V 1 e .e1 e .(e y ) mb .yb xb . mb .xb y b . mb .g.xb cos (F1.b1 F2 .b2 mb .g.yb ).cos 1 1 2 1 dx Để giảm bớt sự phức tạp của hệ thống, vận tốc Với 1 c1.e1 y dx và c1 , lúc đó và gia tốc của dĩa được giới hạn trong các thuật toán điều khiển. Từ các bài báo đã thực hiện, e1 c1.e1 e2 ảnh hưởng của lực nối xem như không đáng kể 2 V 1 c1e1 e1.e2 \ và có thể được bỏ qua. Hệ thống đề xuất được xem như hai hệ thống ball and beam độc lập và V 1 là không xác định có thể phân tích thành hai hệ thống độc lập cho Bƣ c 2 Tiếp theo các kết quả tính toán ở trục x và trục y. bước 1, cho e2 , lúc đó sẽ được xác định Hệ thống bóng trên dĩa cho trục x: âm. Vì vậy, hàm Lyapunov được chỉnh sửa lại x1 như sau x2 0 2 1 2 2 x2 B(x1 x4 g sin x3 ) 0 ' u V 2 .(e1 e2 ) x 2 x4 0 x3 0 1 bao gồm biến lỗi 2e , lúc đó đạo hàm theo thời x 4 gian e2 là Hệ thống bóng trên dĩa cho trục y 2 e x2 1 B.x .x B.g.sin x 1 2 1 4 3 2 2 x5 B.x1.x4 B.g.sin x3 c1 .e1 c1.e2 y dx x2 0 2 Bằng cách chọn hàm ổn định kế tiếp , cho x B(x x g sin x ) 0 2 6 5 8 7 ' u y x 0 sin x3 2 , hệ thống con x 8 7 0 1 2 x 2 B.x1.x4 B.g sin x3 có thể ổn định. iả sử x8 sin x là một ng vào điều khiển ảo, biến sai số Hai hệ thống độc lập có đặc điểm giống nhau. 3 Quá trình thiết kế bộ điều khiển cho trục sẽ được tạo ra như sau e3 sin x3 2 . tương tự cho trục . Hệ thống bóng trên dĩa là Thay e3 vào, e2 trở thành một hệ thống phi tuyến. Việc thiết kế bộ 2 2 điều khiển không chỉ ở ổn định vòng kín mà còn e2 B.x1.x4 B.g.(e3 2 ) c1.e2 c1 .e1 ydx đặc tính bám. Theo thuyết ổn dịnh Lyapunov, Để chứng minh hệ thống ổn định, tính đạo hàm bộ điều khiển này được thực hiện qua 4 bước theo thời gian V2
4. 1 2 2 2 B.g.e2 3 [(c1 c2 )( B.g.e3 c2 .e2 e1 ) (1 c1 )(e2 c1e1 ) y dx ] V 2 e1.e1 e2 .e2 c1.e1 B.g.e2 .e3 B.x1.x4 .e2 B.g c e 2 3 3 e2 .(e1 B.g. 2 c1e2 c1 e1 y dx ) Và 3c , khi đó hàm cân bằng thu được 3 2 Đặt e1 B.g. 2 c1e2 c1 e1 y dx c2 .e2 và như sau 1 c2 . Lúc đó hàm cân bằng có thể thu được như 2 3 c3e3 B.g.e2 [(c1 c2 )( B.g.e3 c2.e2 e1) (1 c1 )(e2 c1e1) y dx ] B.g 1 2 sau: 2 (c2.e2 c1.e2 c1 .e1 e1 y dx ) B.g Sau khi sắp xếp lại V 3 và e3 ta được kết quả như sau Bây giờ thì e2 và V 2 có thể viết lại như sau 2 2 2 1 2 2 V 3 c .e c .e e .e B.x .x .e (c c )x .x .e e B.x .x B.g.e c .e e 1 1 2 2 3 4 1 4 2 1 2 1 4 3 2 1 4 3 2 2 1 g 2 2 2 1 2 V 2 c .e c .e B.g.e .e B.x .x .e e3 c e e B.g.e (c c ).x .x 1 1 2 1 2 3 1 4 2 3 3 4 2 g 1 2 1 4 Vì vậy không xác định. Kết quả của r ràng là bất định. Bƣ c 3 Lặp lại các bước tương tự như hai Bƣ c 4 Bước cuối cùng để điều chỉnh hàm bước trên. Hàm Lyapunov V3 được điều chỉnh Lyapunov V4 có bao gồm biến sai số e4. Đạo liên quan đến biến lỗi e3. Tính đạo hàm theo thời hàm theo thời gian 4V và e4. gian e3 như sau ' 2 e4 x 4 .cosx x3 x .sin x 3 u cosx x .sin x e3 x3 .cos x3 2 3 4 3 x 3 4 3 1 2 x .cos x [(c c ).e2 (1 c ).e1 y 1 4 3 B.g 1 2 1 dx c .e3 B.g.e2 [(c c )( B.g.e3 c .e2 e1 ) 3 B.g 1 2 2 1 x4 .cos x3 [(c1 c2 ).( B.g.e3 c2e2 e1 ) (4) B.g 2 (1 c1 ).(e2 c1.e1 ) y ] 1 dx (1 c 2 )(e e .c ) y ] (c c ).x .x 2 1 2 1 1 dx g 1 2 1 4 Để loại bỏ thành phần vi phân, biểu thức trên Tiếp tục chọn hàm ổn định 3 . Cho được sắp xếp lại như sau ' 2 1 2 3 x4 .cosx3 , hệ thống con x3 x4 có thể ổn e4 u cosx x .sin x (c c c )[ c e e B.g.e [(c c )x .x ] x 3 4 3 1 2 3 3 3 4 2 g 1 2 1 4 định. iả sử x4 .cosx3 là một ng vào điều khiển 1 2 2 2 [B.g (1 c1 c1.c2 c2 )](B.x1.x4 B.g.e3 c2e2 e1 ) ảo, biến sai số e4 được xác định B.g 1 1 e4 x4 .cosx3 3 . 3 (4) (2c1.c2 c2 c2 )( c1e1 e2 ) .ydx B.g B.g Thay vào e3 và sắp xếp lại e3 : Để chứng minh tính ổn định của hệ thống, chọn 1 e3 e [(c c ).( B.g.e c e e ) 3 4 B.g 1 2 3 2 2 1 hàm Lyapunov như sau 2 1 2 1 2 2 2 2 (1 c )(e c .e ) y ] (c c ).x .x V4 (e1 e2 e3 e4 ) 1 2 1 1 dx g 1 2 1 4 2 Để chứng minh tính ổn định của hệ thống, điều Theo công thức (4. ) và (4.2 ) đạo hàm theo chỉnh lại hàm Lyapunov như sau thời gian V4 chuyển đổi được như sau 1 2 2 2 2 2 2 ' 2 V3 (e1 e2 e3 ) V 4 c .e c .e c .e e .{u .cosx x .sin x (c c c ).e 2 1 1 2 2 3 3 4 x 3 4 3 1 2 3 4 2 2 2 2 2 B .g 2 (c1 c2 c3 c1.c2 c2 .c3. c3c1 ).e3 ] [B.g.(c1 2c2 c3 ) Đạo hàm theo thời gian V3 như sau 1 1 (2c c 2 .c c .c 2 c 2 2c c3 )]e [B.g (1 3c 2 2c .c c 2 2c c 4 )]e 2 1 2 1 2 3 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 B.g B.g 2 2 V 3 e1.e1 e2 .e2 e3.e3 c1.e1 c2 .e2 e3.e4 1 (4) 2 1 2 2 1 2 .ydx } B.x1.x4 .e2 (c1 c2 ).x1.x4 .e3 [B .g (1 c1.c2 c1.c3 c2 .c3 ).x1.x4 .e4 1 2  B.g g g e3 B.g.e2 3 [(c1 c2 )( B.g.e3 c2 .e2 e1 ) (1 c1 )(e2 c1e1 ) y dx ] B.g Để việc tính toán thuận lợi, một vài thông số 1 B.x .x 2 .e (c c )x .x 2 .e 1 4 2 g 1 2 1 4 3 được định nghĩa lại như sau iả sử
5.  {u ' .cosx x 2 .sin x (c c c ).e x 3 4 3 1 2 3 4 (*) cho hệ thống bóng trên dĩa trên trục thu được [B 2 .g 2 2 (c 2 c 2 c 2 c .c c .c c .c ].e 1 2 3 1 2 2 3 1 3 3 như sau 1 2 2 3 3 [B.g(c 2c c ) (2c 2c c .c c .c c c )].e e1 x1 ydx 1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 2 A.g 1 1 [B.g (1 3c 2 .c 2c .c c 2 c 4 )]e .y (4) e2 x2 c1e1 y dx 1 2 1 2 2 1 1 dx B.g B.g 1 e sin x (c .e c .e c2 .e e y Do 3 3 Bg 1 2 2 2 1 1 1 dx 1 e x cosx c e Bge B1 (c1 c2 ) 4 4 3 3 3 2 g 1 [(c c )( Bge c e e ) (1 c 2 )(e c e ) y ] 1 Bg 1 2 3 2 2 1 1 2 1 1 dx B [B2.g (1 c .c c .c c .c ) 2 1 2 1 3 2 3 1 3 g u ' {x 2 sin x (c c c c ).e x cosx 4 3 1 2 3 2 4 4 và  x .x 2 . 3 1 4 2 2 2 2 2 [B .g 2 (c1 c2 c3 c1c2 c2c3 c1c3 )].e3 1 Nên V được chỉ rỏ như sau [B.g(c 2c c ) (2c 2c c 2c c c 2 c3 c3 )].e 4 1 2 3 Bg 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 4 1 (4) V 4 c .e c .e c .e e . B..e B ..e B ..e [B.g (1 3c 2c c c c )].e .y } 1 1 2 2 3 3 4 1 1 3 2 4 Bg 1 1 2 2 1 1 Bg dx c c c c c .e2 2 .e2 3 .e2 e . 2 .e2 B. .e 3 .e2 B . .e B . .e 1 1 2 2 2 3 4 2 2 2 2 3 1 3 2 4 Thực hiện tương tự như vậy, thiết kế bộ điều 2 2 2 c2 2 c3 2 c2 1 2 B . c3 1 2 c1.e1 .e2 .e3 e4 . .( e2 B. ) ( e3 B1 . ) khiển Backstepping cho hệ thống bóng trên dĩa 2 2 2 c2 2.c2 2 c3 1 c 1 c B 22 trên trục B 2 .2 4 .( e B . )2 4 e2 2 2.c 1 2 4 c 2 2 4 2.c 3 4 4 - Kết quả thiết kế bộ điều khiển cho hệ thống 2 c2 2 c3 2 c2 1 2 c3 1 2 c4 B2 2 c1.e1 .e2 .e3 ( e2 B. ) ( e3 B1 . ) .( e4 . ) bóng trên dĩa thu được như sau 2 2 2 c2 2 c3 2 c4 2 2 2 c4 1 B B1 B2 2 e4 ( e4 ) ( ). 2 2 c2 c3 c24 Vì vậy có thể được viết như sau 2 2 2 2 c2 2 c3 2 c4 1 B B1 B2 2 V 4 c1.e1 .e2 .e3 e4 .( .e4 ) ( ). 2 2 2 2 c2 c3 c24 Bây giờ để chắc chắn V 4 0 nếu thỏa mãn hai điều kiện sau c   4 .e c .e ,c 0 ( ) 2 4 4 4 4 2 2 2  2 1 B B1 B2 2 cm e1,e2 ,e3 ,e4 ( ). 2 c2 c3 c4 c c c với c  min(c , 2 , 3 , 4 ) m 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Vì e1,e2 ,e3 ,e4 e1 e2 e3 e4 nên e2 Hình 4 M hình to n của hệ bóng trên dĩa xác định. Moment tác dụng lên hệ bóng và dĩa có thể tính được bằng việc giải phương trình (*), ( ): 3  .e ,c 2 4 4 ' 1 2 3 u x {x4 sin x3 (c1 c2 c3 c4 ).e4 cosx3 2 2 2 2 2 2 [B .g 2 (c1 c2 c3 c1c2 c2c3 c1c3 )].e3 1 [B.g(c 2c c ) (2c 2c c 2c c c 2 c3 c3 )].e 1 2 3 Bg 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 4 1 (4) [B.g (1 3c1 2c1c2 c2 c1 )].e1 .ydx } Bg Bg Như vậy thiết kế bộ điều khiển Backstepping
6. II. KẾT U MÔ PHỎNG. . Đi u khi n bóng n đ nh tại đi m cn b ng. T n hiệu đ t của trục x và trục y 3. Đi u khi n bóng di chuy n theo qu đạo hình tr n T n hiệu đ t của trục x và trục y * V tr của bóng và góc nghiêng của mt phẳng * V tr của bóng và góc nghiêng của mt 2. Đi u khi n bóng di chuy n t đi m t i phẳng đi m T n hiệu đ t của trục x và trục y * V tr của bóng và góc nghiêng của mt phẳng * Nhận xét - Kết quả cho ta thấy tín hiệu ng ra bám theo tín hiệu đặt ban đầu ở ng vào. Đúng theo như lý thuyết ban đầu. - Các thông số của bộ điều khiển được tìm bằng giải thuật di truyền A.
7. III. KẾT U N Bàibáo đã trình bày về thiết kế phần cứng, thiết kế bộ điều khiển và mô phỏng mô hình bằng phương pháp Backstepping. Kết quả mô phỏng cho ta thấy quỹ đạo của bóng thay đổi theo góc nghiêng mặt phẳng và bám theo tín hiệu đặt ban đầu, sai số dần về đúng theo lý thuyết của Lyapunov.
8. IV. TÀI LIỆU THAM KH O [1] US2004041419 Ball plate handle assembly Dugan Brent Nelson [US]; Bonaparte John Charles [US]; Gillespie Robert William [US] [2] Basketball Robot: Ball-on-Plate with Pure Haptic Information Kwang-Kyu Lee, Georg B¨atz, and Dirk Wollherr Institute of Automatic Control Engineering (LSR) Technische Universit¨at M¨unchen, D-80290 Munchen, Germany [3] US6552907 BGA heat ball plate spreader, BGA to PCB plate interface Caldwell Barry [US] 4 D. uan and Z. Zhang, “Modelling and control scheme of the ball-plate trajectory-tracking pneumatic system with a touch screen and a rotary cylinder” IET Control Theory & Applications, vol 4 , no 4 , p.p 573 – 589, 2010 [5] Zhao, Qiang ; Yue, Yongheng ; Guan, Qiang “A PSO-Based Ball-Plate Calibration for Laser Scanner” International Conference on Vol 2 Digital Object Identifier: 10.1109/ICMTMA.2009.620 , p.p : 479 – 481, 2009 [6] A J Š J jč š R šč “Modelling and pid control design of nonlinear educational model ball & plate” Department of Cybernetics and Artificial Intelligence, Faculty of E E U f š -mail:Anna.Jadlovska@tuke.sk, stefan.jajcisin@gmail.com, Richard.Lonscak@tuke.sk [7] D. Liu, Y. Tian, and H. Duan, \Ball and plate control system based on sliding mode control with uncertain items observe compensation," in IEEE International Conference on Intelligent Computing and Intelligent Systems, ICIS09, vol. 2. IEEE, 2009, pp. 216{221}. [8] K. kyu Lee, G. Btz, and D. Wollherr, \Basketball robot: Ball-on-plate with pure haptic information," in IEEE International Conference on Robotics and Automation, May 2008. [9] F. Golnaraghi and B. Kuo, Automatic control systems, vol. 2. [10] R. Dorf and R. Bishop, Modern control systems, 11th ed. Pearson Printice Hall, 2008. [11] W. Bolton, Mechatronics: electronic control systems in mechanical and electrical engineering. Prentice Hall, 2004. [12] X. Fan, N. Zhang, and S. Teng, \Trajectory planning and tracking of ball and plate system using hierarchical fuzzy control scheme," Fuzzy Sets and Systems, vol. 144, no. 2, pp. 297{312, 2004}. [13] D. Haessig and B. Friedland, \On the modeling and simulation of friction," in American Control Conference. IEEE, 2009, pp. 1256{1261}. Họ tên Hoàng Ph c Đơn v Điện thoại945036077
9. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2016-2017 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.