Ứng xử tĩnh và dao động tự do dầm composite với điều kiện biên khác nhau

Nội dung text: Ứng xử tĩnh và dao động tự do dầm composite với điều kiện biên khác nhau

1. ỨNG XỬ TĨNH VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO DẦM COMPOSITE VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU. STATIC BEHAVIOR AND FREE VIBRATION ANALYSIS OF COMPOSITE BEAM WITH VARIOUS BOUNDARY CONDITIONS. (1)Nguyễn Trung Kiên, (2)Ngô Phi Hải (1) Khoa Xây dựng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh (2) Công ty cổ phần Tư vấn Xây dựng Tổng hợp TÓM TẮT Bài báo nghiên cứ ứng xử tĩnh và dao động tự do của dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hiệu chỉnh. Hai loại dầm composite được nghiên cứu là dầm composite nhiều lớp (Laminated Composite Beam) và dầm phân lớp chức năng (Functionally Graded Beam). Kết quả nghiên cứu là các giá trị chuyển vị, ứng suất dọc trục, ứng suất cắt, và tần số dao động tự nhiên của dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, kết quả này được so sánh với kết quả của các nghiên cứu trước dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao khác. Tính mới của nghiên cứu này thể hiện trong ba phần chính như sau: 1. Sử dụng hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) hợp nhất từ các hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm hyperbol, hàm mũ, 2. Sử dụng phương pháp Ritz, cùng với lựa chọn hàm dạng bậc cao cho hàm xấp xỉ trường chuyển vị có tính ưu việt về khử điều kiện biên. 3. Nghiên cứu ứng xử tĩnh và dao động tự do dầm phân lớp chức năng (FG beam) sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hiệu chỉnh với nhiều điều kiện biên. Ngoài ra, luận văn còn đưa ra các phân tích về hiệu ứng của sự thay đổi của tỉ lệ giữa chiều dài dầm và chiều cao tiết diện, sự thay đổi của hệ số phân phối vật liệu đối với ứng xử của dầm composite. Từ khóa: composite, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, dầm phân lớp chức năng. ABSTRACT This paper solving static behavior and free vibration analysis of composite beam using refined high- order shear deformation theory. Two types of composite beams under study are a laminated composite beam and a functionally graded beam. The results are displacements, in-plane stresses, transverse shear stresses, and fundamental natural frequencies of composite beam using refined high-order shear deformation theory. These results were compared with the results of previous studies based on other higher-order shear deformation theories. The novelty of this paper presented in three main sections as follows: 1. Use various unified transverse shear deformation functions based on trigonometric functions, hyperbolic functions, exponential functions, 1
2. 2. Use the Ritz method, and choose the shape functions for approximation function can use for various boundary conditions. 3. Static behavior and free vibration analysis for functionally graded beams using refined high-order shear deformation theory with various boundary conditions. In addition, the thesis also gives effects of the span-to-depth ratio L/h, the power-law index p on the behavior of composite beam. Key words: composite, high-order shear deformation theory, functionally graded beams. I. GIỚI THIỆU 1.1. Vật liệu nghiên cứu Dầm composite nhiều lớp được đặc trưng bởi thuộc tính của từng lớp riêng biệt: ()()()()()()()()()k k k k k k k k k EE1,,,,,,,, 2GGG 12 13 23 12  21 1 2 . Dầm phân lớp chức năng được đặc trưng bởi thuộc tính của lớp metal và ceramic cấu thành dầm. Thể p tích của vật liệu ceramic V ()z được cho như sau: z 1 (1) c Vc ()z h 2 Thuộc tính vật liệu phân bố trong dầm theo chiều dày dầm được cho bởi luật phân phối vật liệu như sau: P()()() z Pc P m V c z P c (2) Trong đó, Pc và Pm là module đàn hồi (E), hệ số poisson ( ), khối lượng riêng ( ) của vật liệu ceramic và metal. 1.2. Trường chuyển vị u1,(,,)(,) x z t u x t zwx f()(,) z x t ; u3(,,) x z t w(,) x t (3) Với u, w, là chuyển vị dọc trục, chuyển vị đứng và chuyển vị xoay của dầm xét tại mặt phẳng giữa dầm, dấu phẩy được xem là đạo hàm theo hệ trục của chỉ số nằm dưới. Hàm biến dạng cắt bậc cao f(z) được hợp nhất từ các hàm khác nhau có dạng như sau: 2n 1 3 5 7 fz() d2n 1 z d 1 z d 3 z d 5 z d 7 z (4a) n 1 Để tìm được các hệ số của phương trình hợp nhất bậc 7, ta giải hệ phương trình sau: 2
3. 2 4 6 zg 0: d1 3d(0) 3 5d(0) 3 7d(0) 3 (0) 2 4 6 h h h h h zg : d1 3d 3 5d 3 7d 3 6 6 6 6 6 2 4 6 (4b) h h h h h zg : d1 3d 3 5d 3 7d 3 4 4 4 4 4 2 4 6 h h h h h zg : d1 3d 3 5d 3 7d 3 0 2 2 2 2 2 d1 d3 d5 d7 Nghiên cứu 1 1 4 0 0 2 (Reddy) 3h Nghiên cứu 2 1 74 30 7 2 4 6 (Hàm lượng giác 1) 45h 37h 39h Nghiên cứu 3 1 47 3 1 2 4 6 (Hàm hyberbol) 36h 46h 625h Nghiên cứu 4 1 7 49 21 2 4 6 (Hàm lượng giác 2) 5h 250h 200h 1.3. Trường biến dạng u u u 0 (,,)x z t 1 0 z bs f  (,,)()x z t 1 3 g z (5) xx x xx xx xx xzzx xz 0 0 b s Trong đó: g() z f,z ;  xx(,)x t u, x ;xz (,)xt ;  xx(,)x t w, xx ; xx(,)xt , x (6) 1.4. Quan hệ ứng xử: ()k ()k xx  Q11 0 xx  Đối với dầm LC:   (7)  xz  0 Q55 xz  Đối với dầm FG: (,)()()()()x z E z 0 x z bs x f  x (8) xx xx xx xx xz(,)()(,)x z G z xz x z Trong đó E(z) là module đàn hồi và G() z E ()/2(1 z ()) z là module cắt tại vị trí z. 1.5. Trường năng lượng Tổng năng lượng của hệ dầm:  UVK (9) Trong đó U, V và K định nghĩa là năng lượng biến dạng, công thực hiện và động năng. L 1 1 2 2s s s 2 s 2 U ()    dV Au( ) 2 BuwDw ( ) 2 Bu 2 Dw  H (  ) Adx  xx xx xz xz 0 ,,,,,,,,,x xxx xx xx xxx x 2 V 2 (10) 3
4. Trong đó ABDBDH,,,,,s s s là các độ cứng của dầm composite, được tính: n n z zk 1 s k 1 2 LCB: s ss 22; g bdz (11) ABDBDHQ,,,,, 1,z , z , f , zf , fij bdz AQ 55  z  k z k 1 k 1 k h/2 s h/2 2 FGB: A,,,,,() B D Bs D s H s 1,z , z22 , f , zf , f E z bdz ; A g G() z bdz (12) h/2 h/2 Công thực hiện do lực phân bố q(x) được tính như sau: V qx()w (13) Động năng thể hiện qua biểu thức: L 1 22 1 22 2 2 K ( z )( U W ) dV Iu0 2 Iuw 1 ,xx Iw 2 , 2 Ju 1 2 Jw 2  ,x K 2  Iwdx 0 (14) 2 2 0 V Trong đó đạo hàm theo thời gian t được định nghĩa bằng dấu chấm đặt bên trên mỗi đại lượng; là khối lượng riêng của mỗi lớp và I0, I1, I2, J1, J2, K2 là hệ số quán tính, được định nghĩa : n z k 1 k 22 IIIJJK,,,,, z ()1,z , z , f , fz , f bdz (15) 0 1 2 1 2 2  z k 1 k Thay phương trình (13), (15), và (16) vào phương trình (12), năng lượng của hệ: 1 L  (()2Au2 BuwDw ()2 2 Bus 2 Dw s  H s ()  2 Adx s  2 ) ,,,,,,,,,x xxx xx xx xxx x 2 0 L 1 22 2 2 qxw( ) Iu0 2 IuwIw 1 ,x 2 , x 2 JuJwK 1 2 2  , x 2  Iw 0 dx (16) 2 0 Để thu được phương trình chuyển động, trường chuyển vị được xấp xỉ dưới dạng: m m m it it it u(,)() x t  jj x u e ; w(,)() x t  jj x w e ; (,)()x t  jj x  e (17) j 1 j 1 j 1 2 Trong đó,  là tần số của dao động tự do của dầm, i 1 là đơn vị ảo,(,,)uwj jj được định nghĩa là những giá trị cần xác định,  j và j là các hàm dạng. Thế các phương trình (19) vào phương trình (18) d  và áp dụng phương trình cân bằng Lagrange: 0 (18) Rjj dt R Với R j đại diện cho các giá trị của (u j,,w j j ). K11Κ 12 K 13 M 11 M 12 M 13 u  0  TT12 22 23 2 12 22 23 Phương trình cân bằng: KKK  Μ M M w  Q  (19) TTTT13 23 33 13 23 33 KKKMMM θ  0  Trong đó, các phần tử của ma trận độ cứng K, ma trận khối lượng M, và ma trận tải Q được cho như sau: 4
5. L L L K11 A dx ; K12 B dx ; K13 Bs  dx ; ij i,, x j x ij i,, x j xx ij i,, x j x 0 0 0 L L LL K22 D dx ; K23 Ds  dx ; K33 Hs   dx A   dx ; ij i,, xx j xx ij i,, xx j x ij i,, x j x s i j 0 0 00 L L L M11 I dx ; M12 I dx ; M13 J dx ; ij0 i j ij1, i j x ij1 i j 0 0 0 LL L L L M22 I dx I dx ; M23 J  dx ; M33 K dx ; Q q dx ; (20) ij0 i j 2 i , x j , x ij2, i x j ij2 i j 0 i 00 0 0 0 1.6. Điều kiện biên Sử dụng hàm dạng thỏa mãn điều kiện biên động học: j j Đối với điều kiện dầm tựa đơn (S-S):  (xx ) cos ; (xx ) sin (21) L L (2j 1) (2j 1) Đối với điều kiện dầm console (C-F):  (xx ) sin ; (xx ) 1 cos (22) 2L 2L 2 j j Đối với điều kiện dầm hai đầu ngàm (C-C):  (xx ) sin ; (xx ) sin 2 (23) L L 1.7. Công thức trực giao Để thuận tiện trong so sánh, các kết quả tính toán sẽ được trực giao về kết quả không thứ nguyên. 22 wbhE h 10 bh2  L2 LCB: w 2 ; tại (L/2, h/2); bh tại (0,0); (24) 4 xx2 xz xz  qL qL qL hE2 2 w EI bh bh L b FGB: b ; ; ; (25) w 4 xx(z ) ( L / 2, z ) xz(zz ) xz (0, ) K qL qL qL hEb bh3 5 1 1 Trong đó: I , K (S–S), K (C–F), K (C–C). 12 384 8 384 II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong nghiên cứu này, các kết quả đạt được sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: . Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao hiệu chỉnh làm lý thuyết nghiên cứu chính; . Sử dụng khai triển Taylor để hợp nhất các hàm biến dạng cắt bậc cao (hàm lượng giác, hàm mũ, hàm hyberbol, ) thành các hàm đa thức bậc cao để tối ưu hóa thời gian giải thuật; . Sử dụng lời giải dạng Ritz, trong đó trường chuyển vị được xấp xỉ bởi các hàm dạng lượng giác thỏa mãn các điều kiện biên khác nhau; . Sử dụng phần mềm Matlab hỗ trợ đưa ra kết quả cho các bài toán áp dụng lý thuyết trên; . Phương pháp so sánh kết quả đạt được so với các nghiên cứu trước đây; . Phương pháp tổng kết, đánh giá kết quả nghiên cứu. 5
6. III. KẾT QUẢ 3.1. Phân tích ứng xử tĩnh LCB: dầm lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o] và lớp sợi bất đối xứng [0o/90o] có thông số vật liệu như sau: 6 E1 241.5 10 ; EE12/ 25 ;GGE12 130.5 2 ;G23 0.2E 2 ;12 0.25 . FGB: Vật liệu phân phối từ Nhôm (Al : Et E Al 70 GPa ,  t Al 0.3) ) đến đá Zironia (ZrO : E E 200 GPa ,  0.3) . 2 b ZrO22 b ZrO Bảng 3.1: Bảng hội tụ của chuyển vị không thứ nguyên của dầm composite loại 1 [00/900/00] theo tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các điều kiện biên khác nhau (NC1) ĐK biên N L/h 5 10 20 50 S-S 2 2.462 1.112 0.765 0.667 4 2.405 1.093 0.758 0.664 6 2.414 1.097 0.759 0.664 8 2.412 1.096 0.759 0.664 10 2.412 1.096 0.759 0.664 C-F 2 5.918 3.127 2.398 2.191 4 6.602 3.353 2.487 2.240 6 6.721 3.400 2.502 2.245 8 6.777 3.425 2.511 2.247 10 6.796 3.435 2.515 2.248 12 6.807 3.442 2.518 2.249 14 6.813 3.446 2.519 2.249 16 6.816 3.449 2.520 2.249 18 6.818 3.450 2.520 2.249 20 6.820 3.451 2.520 2.249 C-C 2 1.435 0.483 0.218 0.142 4 1.514 0.517 0.229 0.145 6 1.529 0.525 0.232 0.146 8 1.533 0.528 0.234 0.146 10 1.535 0.529 0.234 0.146 12 1.535 0.530 0.234 0.146 14 1.535 0.530 0.234 0.146 Bảng 3.2: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên chuyển vị đứng không thứ nguyên 0 0 0 w của dầm composite loại 1 [0 /90 /0 ] dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các điều kiện biên khác nhau. Lý thuyết Tham khảo L/h 5 10 20 50 a. Dầm tựa đơn (S-S) FOBT Aguiar et al. [21] 2.146 1.021 0.740 0.661 Khdeir and Reddy [22] 2.146 1.021 - 0.661 Chakraborty et al. [25] 2.145 1.020 - 0.660 Vo et al. [4] 2.148 1.023 0.742 0.663 HOBT Aguiar et al. [21] 2.426 1.105 0.762 0.665 Khdeir and Reddy [22] 2.412 1.096 - 0.665 Murthy et al. [23] 2.398 1.090 - 0.661 Zenkour [24] 2.414 1.098 - 0.666 Vo et al. [4] 2.414 1.098 0.761 0.666 Nghiên cứu 1 2.412 1.096 0.759 0.664 Nghiên cứu 2 2.440 1.105 0.762 0.665 Nghiên cứu 3 2.409 1.095 0.759 0.664 6
7. SSBT Vo et al. [4] 2.444 1.108 0.764 0.667 b. Dầm console (C-F) FOBT Khdeir and Reddy [22] 6.698 3.323 - 2.243 Chakraborty et al. [25] 6.693 3.321 - 2.242 Vo et al. [4] 6.703 3.328 2.485 2.248 HOBT Khdeir and Reddy [22] 6.824 3.455 - 2.251 Murthy et al. [23] 6.836 3.466 - 2.262 Vo et al. [4] 6.830 3.461 2.530 2.257 Nghiên cứu 1 6.820 3.451 2.520 2.249 Nghiên cứu 2 6.842 3.469 2.538 2.250 Nghiên cứu 3 6.842 3.469 2.528 2.251 SSBT Vo et al. [4] 6.842 3.478 2.536 2.258 c. Dầm 2 đầu ngàm (C-C) FOBT Khdeir and Reddy [22] 1.629 0.504 - 0.144 Chakraborty et al. [25] 1.629 0.504 - 0.144 HOBT Khdeir and Reddy [22] 1.537 0.532 - 0.147 Nghiên cứu 1 1.535 0.530 0.234 0.146 Nghiên cứu 2 1.528 0.534 0.237 0.147 Nghiên cứu 3 1.357 0.530 0.235 0.146 Bảng 3.3: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên chuyển vị đứng không thứ nguyên của dầm 0 0 composite loại 2 [0 /90 ] dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các điều kiện biên khác nhau. Lý thuyết Tham khảo L/h 5 10 20 50 a. Dầm tựa đơn (S-S) FOBT Khdeir and Reddy [22] 5.036 3.750 - 3.339 Chakraborty et al. [25] 5.048 3.751 - 3.353 Vo et al. [4] 5.043 3.757 3.436 3.346 HOBT Khdeir and Reddy [22] 4.777 3.688 - 3.336 Murthy et al. [23] 4.750 3.668 - 3.318 Zenkour [24] 4.788 3.697 - 3.344 Vo et al. [4] 4.785 3.696 3.421 3.344 Nghiên cứu 1 4.777 3.688 3.413 3.336 Nghiên cứu 2 4.746 3.681 3.412 3.336 Nghiên cứu 3 4.780 3.689 3.414 3.336 SSBT Vo et al. [4] 4.749 3.687 3.419 3.343 b. Dầm console (C-F) FOBT Khdeir and Reddy [22] 16.436 12.579 - 11.345 Chakraborty et al. [25] 16.496 12.579 - 11.345 Vo et al. [4] 16.461 12.604 11.640 11.370 HOBT Khdeir and Reddy [22] 15.279 12.343 - 11.337 Murthy et al. [23] 15.334 12.343 - 11.337 Vo et al. [4] 15.305 12.369 11.588 11.363 Nghiên cứu 1 15.271 12.337 11.559 11.335 Nghiên cứu 2 15.162 12.313 11.554 11.335 Nghiên cứu 3 15.283 12.340 11.560 11.336 SSBT Vo et al. [4] 15.173 12.340 11.582 11.362 c. Dầm 2 đầu ngàm (C-C) FOBT Khdeir and Reddy [22] 2.379 1.093 - 0.681 Chakraborty et al. [25] 2.381 1.094 - 0.686 HOBT Khdeir and Reddy [22] 1.922 1.005 - 0.679 Nghiên cứu 1 1.920 1.004 0.751 0.678 Nghiên cứu 2 1.880 0.996 0.750 0.678 Nghiên cứu 3 1.925 1.005 0.752 0.679 7
8. -6 x 10 12 1.2 L/h=10 L/h=9 10 1 L/h=7 L/h=5 8 0.8 S-S w 6 C-F w 0.6 C-C 4 0.4 2 0.2 0 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/L x Hình 3.1. Sự phân bố chuyển vị không thứ nguyên w Hình 3.2. Sự phân bố chuyển vị w dọc theo chiều dài dọc theo chiều dài dầm composite lớp sợi đối xứng dầm composite tựa đơn với lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o], tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện [0o/90o/0o], tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện L/h L/h=5 với các điều kiện biên khác nhau. thay đổi từ 5 đến 10. Bảng 3.4: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên ứng suất dọc trục không thứ nguyên  xx 0 0 0 0 0 của dầm composite tựa đơn S-S loại 1 [0 /90 /0 ] và loại 2 [0 /90 ] dưới tác dụng của tải phân bố đều q0. Dầm Lý thuyết Tham khảo L/h 5 10 20 50 [00/900/00] CBT Zenkour [24] 0.7776 0.7776 - - Vo et al. [4] 0.7780 0.7780 0.7780 - FOBT Zenkour [24] 0.7776 0.7776 - - Vo et al. [4] 0.7780 0.7780 0.7780 - HOBT Zenkour [24] 1.0669 0.8500 - - Vo et al. [4] 1.0670 0.8503 0.7961 - Nghiên cứu 1 1.0663 0.8491 0.7952 0.7803 Nghiên cứu 2 1.0830 0.8546 0.7963 0.7805 Nghiên cứu 3 1.0638 0.8485 0.7950 0.7803 SSBT Vo et al. [4] 1.0920 0.8566 0.7976 - [00/900] CBT Zenkour [24] 0.2336 0.2336 - - Vo et al. [4] 0.2335 0.2335 0.2335 - FOBT Zenkour [24] 0.2336 0.2336 - - Vo et al. [4] 0.2335 0.2335 0.2335 - HOBT Zenkour [24] 0.2362 0.2343 - - Vo et al. [4] 0.2361 0.2342 0.2337 - Nghiên cứu 1 0.2360 0.2341 0.2339 0.2337 Nghiên cứu 2 0.2357 0.2342 0.2338 0.2337 Nghiên cứu 3 0.2363 0.2344 0.2339 0.2337 SSBT Vo et al. [4] 0.2357 0.2341 0.2337 - 8
9. 0.5 0.5 L/h=5 0.4 0.4 L/h=10 L/h=20 0.3 0.3 L/h=50 0.2 0.2 0.1 L/h=5 0.1 L/h=10 0 z/h 0 L/h=20 z/h L/h=50 -0.1 -0.1 -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -0.4 -0.5 -0.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2   xx x (a) Dầm phân lớp đối xứng (b) Dầm phân lớp bất đối xứng Hình 3.3. Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên sự phân bố ứng suất  xx của dầm composite tựa đơn S-S, lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o] (a) và lớp sợi bất đối xứng [0o/90o] (b). Bảng 3.5: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên ứng suất cắt không thứ nguyên  xz của 0 0 0 0 0 dầm composite tựa đơn S-S loại 1 [0 /90 /0 ] và loại 2 [0 /90 ] dưới tác dụng của tải phân bố đều q0. Dầm Lý thuyết Tham khảo L/h 5 10 20 50 [00/900/00] CBT Zenkour [24] - - - - Vo et al. [4] - - - - FOBT Zenkour [24] 0.2994 0.2994 - - Vo et al. [4] 0.2925 0.2925 0.2925 - HOBT Zenkour [24] 0.4057 0.4311 - - Vo et al. [4] 0.4057 0.4311 0.4438 - Nghiên cứu 1 0.4052 0.4295 0.4400 0.4440 Nghiên cứu 2 0.4221 0.4504 0.4627 0.4677 Nghiên cứu 3 0.4035 0.4275 0.4377 0.4417 SSBT Vo et al. [4] 0.4233 0.4533 0.4683 - [00/900] CBT Zenkour [24] - - - - Vo et al. [4] - - - - FOBT Zenkour [24] 0.8553 0.8553 - - Vo et al. [4] 0.8357 0.8357 0.8357 - HOBT Zenkour [24] 0.9211 0.9572 - - Vo et al. [4] 0.9187 0.9484 0.9425 - Nghiên cứu 1 0.9133 0.9404 0.9491 0.9518 Nghiên cứu 2 0.9268 0.9578 0.9679 0.9711 Nghiên cứu 3 0.9120 0.9387 0.9472 0.9498 SSBT Vo et al. [4] 0.9308 0.9653 0.9624 - 9
10. 0.5 0.5 L/h=5 0.4 0.4 L/h=10 L/h=20 0.3 0.3 L/h=50 0.2 0.2 0.1 L/h=5 0.1 L/h=10 0 0 z/h z/h L/h=20 L/h=50 -0.1 -0.1 -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -0.4 -0.5 -0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9   xz xz (a) Dầm phân lớp đối xứng (b) Dầm phân lớp bất đối xứng Hình 3.4. Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên sự phân bố ứng suất  xz của dầm composite tựa đơn S-S, lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o] (a) và lớp sợi bất đối xứng [0o/90o] (b). Bảng 3.6: Bảng giá trị chuyển vị lớn nhất không thứ nguyên w của dầm FG với nhiều giá trị của hệ số phân phối vật liệu p với các điều kiện biên khác nhau (N=14). L/h Tham khảo Hệ số phân phối vật liệu p 0 0.2 1 2 5 10 4 Dầm tựa đơn S - S Vo [43] 0.40452 0.46805 0.64269 0.73884 0.83544 0.90566 Nghiên cứu 1 0.40452 0.46832 0.64272 0.73887 0.83547 0.90561 Nghiên cứu 3 0.40336 0.46704 0.64087 0.73642 0.83219 0.90212 Nghiên cứu 4 0.40322 0.46689 0.64064 0.73615 0.83186 0.90163 Dầm console C - F Vo [43] 0.37212 0.43209 0.59471 0.67937 0.75773 0.81997 Nghiên cứu 1 0.37165 0.43181 0.59402 0.67854 0.75670 0.81875 Nghiên cứu 3 0.37119 0.43131 0.59328 0.67752 0.75525 0.81721 Nghiên cứu 4 0.37112 0.43124 0.59317 0.67737 0.77367 0.81692 Dầm 2 đầu ngàm C - C Vo [43] 0.60773 0.69410 0.94365 1.11025 1.31813 1.43793 Nghiên cứu 1 0.60652 0.69336 0.94197 1.10821 1.31579 1.43561 Nghiên cứu 3 0.59324 0.67878 0.92171 1.08115 1.27794 1.39460 Nghiên cứu 4 0.59177 0.67726 0.91948 1.07808 1.27352 1.38907 16 Dầm tựa đơn S - S Vo [43] 0.35341 0.41129 0.56698 0.64507 0.71305 0.77071 Nghiên cứu 1 0.35341 0.41154 0.56700 0.64510 0.71308 0.77064 Nghiên cứu 3 0.35334 0.41165 0.56690 0.64497 0.71290 0.77045 Nghiên cứu 4 0.35334 0.41146 0.56688 0.64495 0.71288 0.77042 Dầm console C – F Vo [43] 0.35141 0.40907 0.56402 0.64141 0.70827 0.76543 Nghiên cứu 1 0.35134 0.40924 0.56393 0.64131 0.70813 0.76518 Nghiên cứu 3 0.35134 0.40924 0.56393 0.64130 0.70812 0.76516 Nghiên cứu 4 0.35134 0.40924 0.56393 0.64129 0.70811 0.76515 Dầm 2 đầu ngàm C – C Vo [43] 0.36676 0.42611 0.58667 0.66943 0.74488 0.80586 Nghiên cứu 1 0.36650 0.42608 0.58639 0.66912 0.74443 0.80520 Nghiên cứu 3 0.36612 0.42566 0.58579 0.66832 0.74335 0.80406 Nghiên cứu 4 0.36608 0.42562 0.58572 0.66823 0.74325 0.80390 10
11. 1.4 1.4 p=0 p=0 p=0.5 p=0.5 1.2 1.2 p=1 p=1 p=2 p=2 1 p=5 1 p=5 Full metal Full metal 0.8 0.8 o o w w 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/L x/L (a) (b) Hình 3.5. Sự phân bố chuyển vị không thứ nguyên w dọc chiều dài dầm FG tựa đơn, L/h=4 (a) và L/h=16 (b) dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 với các hệ số phân phối vật liệu p thay đổi (NC4). 0.5 0.5 L/h=5 0.4 0.4 L/h=10 L/h=20 0.3 0.3 L/h=50 0.2 0.2 0.1 L/h=5 0.1 L/h=10 0 z/h L/h=20 0 z/h L/h=50 -0.1 -0.1 -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -0.4 -0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9  xz  xz (a) Dầm phân lớp đối xứng (b) Dầm phân lớp bất đối xứng Hình 3.6. Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên sự phân bố ứng suất  xz của dầm composite tựa đơn S-S, lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o] (a) và lớp sợi bất đối xứng [0o/90o] (b). 0.35 0.5 0.4 0.3 0.3 0.25 0.2 0.1 0.2 S-S S-S o C-F w C-F 0 z/h C-C 0.15 C-C -0.1 0.1 -0.2 -0.3 0.05 -0.4 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x/L  x Hình 3.7. Sự phân bố chuyển vị w dọc chiều dài dầm Hình 3.8. Sự phân bố ứng suất  xx vị trí giữa nhịp FG, L/h=4, p=1 dưới tác dụng của tải phân bố đều q0 của dầm FG, tỉ lệ L/h = 4 dưới tác dụng của tải phân 11
12. với các điều kiện biên khác nhau (NC4). bố đều q0 với các điều kiện biên khác nhau (NC4). 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 p=0 0.1 p=0 p=0.5 p=0.5 0 z/h p=1 0 p=1 z/h p=2 p=2 -0.1 p=5 -0.1 p=5 -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -0.4 -0.5 -0.5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7   x xz Hình 3.9. Sự phân bố ứng suất  xx vị trí giữa nhịp Hình 3.10. Sự phân bố ứng suất  xz vị trí tại gối của của dầm FG tựa đơn (L/h=4), dưới tác dụng của tải dầm FG tựa đơn(L/h=4), dưới tác dụng của tải phân bố phân bố đều q0 với các hệ số phân phối vật liệu p thay đều q0 với các hệ số phân phối vật liệu p thay đổi đổi (NC4). (NC4) 3.2. Phân tích dao động LCB: dầm lớp sợi đối xứng [0o/90o/0o] và lớp sợi bất đối xứng [0o/90o] có thông số vật liệu như sau: 6 E1 241.5 10 ; EE12/ 40 ; GGE12 130.6 2 ; G23 0.5E 2 ;12 0.25 . 3 FGB: Vật liệu phân phối từ Nhôm (Al : Et E Al 70 GPa ,  t  Al 0.3, t Al 2702 kg / m ) ) đến đá Nhôm oxit (Al O : E E 380 GPa ,   0.3, 3960 kg / m3 ) . 23 b AlO2 3 bAlO 2 3 b AlO 2 3 Bảng 3.7: Bảng hội tụ của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite loại 1 [00/900/00] theo tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện với các điều kiện biên khác nhau. ĐK biên N L/h 5 10 20 50 S-S 2 9.208 13.613 16.337 17.462 4 9.208 13.613 16.337 17.462 6 9.208 13.613 16.337 17.462 8 9.208 13.613 16.337 17.462 10 9.208 13.613 16.337 17.462 C-F 2 4.349 5.581 6.107 6.284 4 4.269 5.528 6.083 6.271 6 4.247 5.511 6.076 6.269 8 4.239 5.504 6.073 6.268 10 4.235 5.500 6.071 6.267 12 4.234 5.498 6.070 6.267 14 4.233 5.496 6.069 6.267 C-C 2 11.871 20.381 30.489 38.082 4 11.667 19.924 29.983 37.814 6 11.626 19.803 29.824 37.742 8 11.614 19.758 29.753 37.709 10 11.609 19.738 29.716 37.690 12 11.606 19.728 29.695 37.678 14 11.605 19.722 29.682 37.670 12
13. Bảng 3.8: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite loại 1 [00/900/00] với các điều kiện biên khác nhau. Lý thuyết Tham khảo L/h 5 10 20 50 a. Dầm tựa đơn (S-S) FOBT Khdeir and Reddy [26] 9.205 13.670 - - HOBT Khdeir and Reddy [26] 9.208 13.614 - - Aydogdu [3] 9.207 - 16.337 - Vo et al. [7] 9.206 13.607 16.327 17.449 Hoang [56] 9.209 13.614 16.339 17.465 Mantari [27] 9.2083 13.6097 - - Nghiên cứu 1 9.208 13.613 16.337 17.462 Nghiên cứu 2 9.220 13.613 16.337 17.462 Nghiên cứu 3 9.207 13.614 16.337 17.462 Quasi-3D Hoang [56] 8.789 13.533 16.351 17.492 b. Dầm console (C-F) HOBT Murthy et al. [23] 4.230 5.491 - - Khdeir and Reddy [26] 4.234 5.495 - - Aydogdu [3] 4.233 - 6.070 - Vo et al. [7] 4.230 5.490 6.062 - Mantari [27] 4.2211 5.4899 - - Nghiên cứu 1 4.233 5.496 6.069 6.267 Nghiên cứu 2 4.232 5.499 6.070 6.267 Nghiên cứu 3 4.233 5.497 6.070 6.267 c. Dầm 2 đầu ngàm (C-C) HOBT Murthy et al. [23] 11.602 19.719 - - Khdeir and Reddy [26] 11.603 19.712 - - Aydogdu [3] 11.637 - 29.926 - Vo et al. [7] 11.601 19.708 29.643 - Mantari [27] 11.4862 19.6517 - - Nghiên cứu 1 11.605 19.722 29.682 37.670 Nghiên cứu 2 11.728 19.789 29.701 37.671 Nghiên cứu 3 11.591 19.715 29.681 37.671 Bảng 3.9: Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện lên tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite loại 2 [00/900] với các điều kiện biên khác nhau. Lý thuyết Tham khảo L/h 5 10 20 50 a. Dầm tựa đơn (S-S) FOBT Khdeir and Reddy [26] 5.953 6.886 - - HOBT Khdeir and Reddy [26] 6.128 6.945 - - Aydogdu [3] 6.144 - 7.218 - Vo et al.[7] 6.058 6.909 7.204 7.296 Hoang [56] 6.129 6.946 7.220 7.304 Mantari [27] 6.1088 6.9133 - - Nghiên cứu 1 6.128 6.945 7.218 7.302 Nghiên cứu 2 6.149 6.952 7.220 7.303 Nghiên cứu 3 6.126 6.944 7.218 7.302 Quasi-3D Hoang [56] 6.042 6.988 7.281 7.368 13
14. b. Dầm console (C-F) HOBT Murthi et al. [23] 2.378 2.541 - - Khdeir and Reddy [26] 2.386 2.544 - - Aydogdu [3] 2.384 - 2.590 - Vo et al. [7] 2.381 2.541 2.589 - Mantari [27] 2.3752 2.5319 - - Nghiên cứu 1 2.383 2.543 2.590 2.605 Nghiên cứu 2 2.388 2.544 2.591 2.605 Nghiên cứu 3 2.382 2.543 2.591 2.605 c. Dầm 2 đầu ngàm (C-C) HOBT Murthi et al. [23] 10.011 13.657 - - Khdeir and Reddy [26] 10.026 13.660 - - Aydogdu [3] 10.103 - 15.688 - Vo et al. [7] 10.022 13.659 15.650 - Mantari [27] 9.9737 13.6282 - - Nghiên cứu 1 10.024 13.666 15.658 16.428 Nghiên cứu 2 10.141 13.728 15.679 16.432 Nghiên cứu 3 10.013 13.660 15.656 16.428 Bảng 3.10: Bảng hội tụ của tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm FG, tỉ lệ L/h = 5, p = 1, với các điều kiện biên khác nhau. ĐK Tham khảo Số lượng vòng lặp (N) biên 2 4 6 8 10 12 14 S - S Nguyen [1] - - 3.9907 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 Nghiên cứu 1 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 Nghiên cứu 3 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 Nghiên cứu 4 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 3.9904 C - F Nguyen [1] - - 1.4645 1.4638 1.4635 1.4633 1.4633 Nghiên cứu 1 1.4697 1.4655 1.4645 1.4641 1.4638 1.4637 1.4636 Nghiên cứu 3 1.4697 1.4655 1.4645 1.4641 1.4638 1.4637 1.4636 Nghiên cứu 4 1.4697 1.4655 1.4645 1.4641 1.4638 1.4637 1.4636 C - C Nguyen [1] - - 8.0309 8.0031 7.9704 7.9572 7.9493 Nghiên cứu 1 8.1029 8.0097 7.9811 7.9680 7.9610 7.9569 7.9543 Nghiên cứu 3 8.1028 8.0096 7.9808 7.9677 7.9607 7.9565 7.9539 Nghiên cứu 4 8.1033 8.0103 7.9817 7.9688 7.9618 7.9578 7.9552 3.9904 1.47 8.2 S-S C-C 1.469 C-F 3.9904 8.15 1.468 3.9904 1.467 8.1 3.9904 1.466 8.05 3.9904 1.465 8 3.9904 1.464 Nondimensional fundamental frequency fundamental Nondimensional 3.9904 frequency fundamental Nondimensional 1.463 7.95 frequency fundamental Nondimensional 2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 12 14 N N N Hình 3.11. Sự hội tụ của tần số dao động tự do không thứ nguyên của dầm FG (p=1) theo tỉ lệ chiều dài nhịp / chiều cao tiết diện (L/h = 5) với các điều kiện biên S-S, C-Fvà C-C(NC4). 14
15. Bảng 3.11: Bảng so sánh giá trị tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm FG (L/h = 5) với nhiều giá trị của hệ số phân phối vật liệu p với các điều kiện biên khác nhau (N=14). Tham khảo Hệ số phân phối vật liệu p 0 0.2 1 2 5 10 Dầm tựa đơn S - S Vo [43] 5.15275 4.80590 3.97160 3.59791 3.37429 3.26534 Nguyen [1] 5.1528 4.4102 3.9904 3.6264 3.4009 3.2815 Simsek [44] 5.15274 4.80924 3.99042 3.62643 3.40120 3.28160 Nghiên cứu 1 5.15275 4.80730 3.99042 3.62646 3.40122 3.28151 Nghiên cứu 3 5.15275 4.80730 3.99042 3.62649 3.40139 3.28161 Nghiên cứu 4 5.15277 4.80732 3.99043 3.62640 3.40090 3.28136 Dầm console C - F Vo [43] 1.89522 1.76591 1.46333 1.33260 1.25921 1.21837 Nguyen [1] 1.8957 1.6182 1.4636 1.3328 1.2594 1.2187 Simsek [44] 1.89523 1.76637 1.46328 1.33254 1.25916 1.21834 Nghiên cứu 1 1.89568 1.76603 1.46359 1.33282 1.25948 1.21866 Nghiên cứu 3 1.89568 1.76603 1.46358 1.33283 1.25951 1.21867 Nghiên cứu 4 1.89569 1.76604 1.46359 1.33282 1.25943 1.21864 Dầm 2 đầu ngàm C – C Vo [43] 10.06780 9.46237 7.95221 7.18011 6.49614 6.16623 Nguyen [1] 10.0726 8.7463 7.9518 7.1776 6.4929 6.1658 Simsek [44] 10.07050 9.46641 7.95034 7.17674 6.49349 6.16515 Nghiên cứu 1 10.07614 9.46767 7.95431 7.18072 6.49752 6.16753 Nghiên cứu 3 10.07555 9.46715 7.95390 7.18057 6.49810 6.16754 Nghiên cứu 4 10.07750 9.46886 7.95524 7.18114 6.49647 6.16771 10 11 S-S 9 10 C-F S-S C-C 9 8 C-F C-C 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 Nondimensional fundamental frequency fundamental Nondimensional Nondimensional fundamental frequency fundamental Nondimensional 2 2 1 1 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L/h p Hình 3.12. Sự phân bố tần số dao động tự do không Hình 3.13. Sự phân bố tần số dao động tự do không thứ nguyên  của dầm FG (p=1) theo tỉ lệ chiều dài thứ nguyên  của dầm FG (L/h=5) theo hệ số phân nhịp / chiều cao tiết diện (L/h) với các điều kiện biên phối vật liệu p với các điều kiện biên khác nhau khác nhau (NC4). (NC4). IV. KẾT LUẬN Kết quả các bài toán trong luận văn đã được so sánh với kết quả của các nghiên cứu trước đó và đã cho thấy sự phù hợp và đúng đắn của kết quả, đồng nghĩa với việc có thể sử dụng kết quả bài toán để áp dụng cho các bài toán khác có liên quan hoặc làm tài liệu tham khảo cho các nghiên cứu kế tiếp. 15
16. Thông qua việc phát triển các nghiên cứu từ các tác giả khác trước đây và triển khai ý tưởng mới từ Thầy hướng dẫn: bốn hàm biến dạng cắt bậc cao hợp nhất được tác giả đề xuất dùng cho bốn nghiên cứu đã mang lại kết quả tương đồng với các hàm gốc dạng lượng giác, hàm hyberbol, hàm mũ. Tuy nhiên, thời gian giải thuật ngắn hơn, có tính ưu việt hơn. Với dầm LC, có thể sử dụng hàm đa thức bậc 7, trong khi đó dầm FG vì có tính liên tục về vật liệu trong dầm nên hàm đa thức bậc 5 đã cho kết quả đồng nhất với hàm gốc dạng lượng giác, hyberbol, Bằng phương pháp áp dụng lời giải Ritz và việc xấp xỉ trường chuyển vị dưới dạng lượng giác thỏa mãn điều kiện biên động học đối với nhiều loại dầm đã đưa ra kết quả số tương đối chính xác, phù hợp với ứng xử thực tế của dầm khi chịu tải trọng tĩnh và khi dao động tự do. Với các dầm được chọn trong luận văn, đối với dầm S-S cho kết quả hội tụ rất nhanh (N < 6), đối với dầm C-F và C-C kết quả hội tụ chậm hơn (N = 1020) tùy thuộc giá trị cần tìm./. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] Trung-Kien Nguyen, T. Truong-Phong Nguyen, Thuc P.Vo, Huu-Tai Thai. Buckling and vibration analysis of functionally graded sandwich beams by a new higher-order shear deformation theory, Composite Part B 76 (2015), 273-285. [2] Reddy JN. Mechenics of laminated composite plates: theory and analysis, CRC Press; 1997. [3] Aydogdu M. Vibration analysis of cross-ply laminated beams with general boundary conditions by Ritz method, International Journal of Mechanical Sciences 47 (2005) 1740-1755. [4] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Static behavior of composite beams using various refined shear deformation theories, Composite Structure 94 (2012) 2513-2522. [5] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Vibration and buckling of composite beams using refined shear deformation theory. International journal of Mechanical Sciences 62 (2012) 67-76. [6] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai, Nguyen T-K, Maheri A, Lee J. Finite element model for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams based on a refined shear deformation theory. Eng Struct 2014;64(0):12- 22. [7] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Free vibration of axially loaded rectangular composite beams using refined shear deformation theory. Composite Structurse 94 (2012) 3379-3387. [8] K. P. Soldatos, I. Elishakoff. A transverse shear and normal deformable orthotropic beam theory. Journal of Sound and Vibration (1992) 154 (3), 528-533. [9] K. Chandrashekhara, K. M. Bangera. Free vibration of composite beams using a refined shear flexible beam element. Composite and Structures Vol. 43, No. 4, pp. 719-727, 1992. [10] H. Matsunaga. Vibration and buckling of multilayered composite beams according to higher order deformation theories. Journal of Sound and Vibration (2001) 246 (1), 47-62. [11] S. R. Marur, T. Kant. Free vibration analysis of fiber reinforced composite beams using higher order theories and finite element modelling. Journal of Sound and Vibration (1996) 194 (3), 337-351. [12] G. Shi, K. Y. Lam. Finite element vibration analysis of composite beams based on higher-order beam theory. Journal of Sound and Vibration (1999) 219 (4), 707-721. 16
17. [13] Khdeir AA, Reddy JN. Free vibration of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions. Int J Mech Sci 1994:32(12):1971-80. [14] P. Vidal, O. Polit. A family of sinus finite elements for the analysis of rectangular laminated beams. Composite Structures 84 (2008) 56-72. [15] Wanji Chen, Li Li, Ma Xu. A modified couple stress model for bending analysis of composite laminated beams with first order shear deformation. Composite Structures 93 (2011) 2723-2732. [16] Wu Zhen, Chen Wanji. An assessment of several displacement-based theories for the vibration and stability analysis of laminated composite and sandwich beams. Composite Structures 84 (2008) 337-349. [17] Assoc. Prof. Dr. Nguyen Trung Kien. Machanics of Composite Materials. HCMC University of Technology and Education. [18] 1001 Crash Copyright. Worries about new composite made airplane. www.1001crash.com (10/2011). [19] Nguyen Ngoc Duong. Free vibration analysis of laminated composite beams based on higher – order shear deformation theory. Hội nghị Khoa học toàn quốc Vật liệu và Kết cấu Composite Cơ học, Công nghệ và ứng dụng, Đại học Nha Trang, TP. Nha Trang (07/2016). [20] Yogesh Singh. Free Vibration Analysis of the Laminated Composite Beam with Various Boudary Conditions. A Master Thesis of Technology in Machine Design and Analysis: Department of Mechanical Engineering, National Institute of Technology Rourkela (2012). [21] Aguiar R, Moleiro F, Soares CM. Assessment of mixed and displacement-based models for static analysis of composite beams of different cross-sections. Compos Struct 2012;94(2):601–16. [22] Khdeir AA, Reddy JN. An exact solution for the bending of thin and thick cross-ply laminated beams. Compos Struct 1997;37(2):195–203. [23] Murthy MVVS, Mahapatra DR, Badarinarayana K, Gopalakrishnan S. A refined higher order finite element for asymmetric composite beams. Compos Struct 2005;67(1):27–35. [24] Zenkour AM. Transverse shear and normal deformation theory for bending analysis of laminated and sandwich elastic beams. Mech Compos Mater Struct 1999;6:267–83. [25] Chakraborty A, Mahapatra DR, Gopalakrishnan S. Finite element analysis of free vibration and wave propagation in asymmetric composite beams with structural discontinuities. Compos Struct 2002;55(1):23–36. [26] Khdeir AA, Reddy JN. Free vibration of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions. Int J Mech Sci 1994:32(12):1971-80. [27] Mantari JL, Canales FG. Free vibration and buckling of laminated beams via hybrid Ritz solution for various penalized boundary conditions. Compos Struct (2016): 306-315. [28] Reddy JN. A simple higher-order theory for laminated composite plates. J Appl Mech 1984;51:745–52. [29] Murthy MVV. An improved transverse shear deformation theory for laminated anisotropic plates. NASA Technical Paper; 1981. [30] Levinson M. An accurate simple theory of statics and dynamics of elastic plates. Mech Res Commun 1980;7:343–50. [31] Panc V. Theories of elastic plates. Prague: Academia; 1975. 17
18. [32] Reissner E. On transverse bending of plates including the effects of transverse shear deformation . Int J Solids Struct 1975;25:495–502 [33] Touratier M. An efficient standard plate theory. Int J Eng Sci 1991;29(8):901–16. [34] Karama M, Afaq KS, Mistou S. Mechanical behaviour of laminated composite beam by new multi-layered laminated composite structures model with transverse shear stress continuity. Int J Solids Struct 2003;40:1525– 46. [35] Soldatos KP. A transverse shear deformation theory for homogeneous monoclinic plates. Acta Mech 1992;94:195–200. [36] Arya H, Shimpi RP, Naik NK. A zigzag model for laminated composite beams. Composite Structures 2002;56(1):21-4. [37] Kaczkowski Z. Plates-statistical calculations. Warsaw: Arkady 1968. [38] Nguyen VH, Nguyen TK, Thai HT, Vo TP. A new inverse trigonometric shear deformation theory for isotropic and functionally graded sandwich places. Composites Part B: Engineering 2014;66:233-46. [39] Levy M. Mémoire sur la thé orie des plaques élastiques planes. Journal de mathématiques pures et appliquées 1877;:219-306. [40] Stein M. Nonlinear theory for plates and shells including the effects of transverse shearing. AIAA Journal 1986;24(9):1537-44. [41] Akavci SS, Tanrikulu AH. Buckling and free vibration analyses of laminated composite beams by using two new hyperbolic shear-deformation theories. Machanics of Composite Materials 2008;44(2):145-54. [42] Ambartsumian SA. On the theory of bending of anisotropic plates and shallow shells. Journal of Applied Mathematics and Mechanics 1960;24(2):500-14. [43] Vo PT, Thai HT, Nguyen TK. Static and vibration analysis of functionally graded beams using refined shear deformation theory. Meccanica (2014) 49: 155-168. [44] Simsek M (2010). Fundamental frequency analysis of functionally graded beams by using different higher- order beam theories. Nucl Eng Des 240(4):697–705 [45] Thai H-T, Vo TP (2012). Bending and free vibration of functionally graded beams using various higher- order shear deformation beam theories. Int J Mech Sci 62(1):57–66 [46] Aydogdu M, Taskin V. Free vibration analysis of functionally graded beams with simply supported edges. Mater Des 2007;28(5):1651–6. [47] Aydogdu M. Semi-inverse method for vibration and buckling of axially functionally graded beams. J Reinf Plast Compos 2008;27(7):683–91. [48] Alshorbagy AE, Eltaher M, Mahmoud F. Free vibration characteristics of a functionally graded beam by finite element method. Appl Math Modell 2011;35(1):412–25. [49] X-F Li. A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of functionally graded Timoshenko and Euler–Bernoulli beams. J Sound Vib 2008;318(4-5):1210–29. [50] X.-F. Li, B.-L. Wang, J.-C. Han. A higher-order theory for static and dynamic analyses of functionally graded beams. Archive of Applied Mechanics 80 (2010) 1197–1212. [51] Nguyen TK, Sab K, Bonnet G. First-order shear deformation plate models for functionally graded materials. Compos Struct 2008;83(1):25–36. [52] Nguyen TK, Vo PT, Thai HT. Static and free vibration of axially loaded functionally graded beams based on the first-order shear deformation theory. Composites Part B: Engineering 55 (2013) 147 – 157. 18
19. [53] Tuan N. Nguyen, Chien H. Thai, H. Nguyen-Xuan. On the general framework of high order shear deformation theories for laminated composite plate structures: A novel unified approach. International Journal of Mechanical Sciences (2016). Tiếng Việt [54] GS. TSKH. Nguyễn Đình Đức. Vật liệu composite – Tiềm năng và ứng dụng. Đại học Quốc gia Hà Nội. [55] NAACO. Vật liệu composite FRP trong xây dựng. www.slideshare.net. [56] ThS. Hoàng Thiện Tâm, PGS. TS. Nguyễn Trung Kiên. Phân tích ứng xử dầm Composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh (2015). [57] ThS. Nguyễn Thế Trường Phong, TS. Nguyễn Trọng Phước. Phân tích ứng xử phi tuyến dầm phân lớp chức năng (FGMs) trên nền đàn hồi Winkler chịu tải trọng điều hòa di động. Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh (2011). Thông tin liên hệ tác giả chính (người chịu trách nhiệm bài viết): Họ tên: Ngô Phi Hải Đơn vị: Công ty Cổ phần Tư vấn Xây dựng Tổng hợp Điện thoại: 0968 229902 Email: hai.ngophi@gmail.com Xác nhận của Giảng viên Hướng dẫn (Ký tên) PGS. TS. Nguyễn Trung Kiên 19
20. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2017-2018 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.