Tóm tắt lý thuyết & Bài tập mẫu Cơ học lý thuyết

71 trang phuongnguyen 3540

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tóm tắt lý thuyết & Bài tập mẫu Cơ học lý thuyết", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tom_tat_ly_thuyet_bai_tap_mau_co_hoc_ly_thuyet.pdf

Nội dung text: Tóm tắt lý thuyết & Bài tập mẫu Cơ học lý thuyết

C‘ HOœC LYŸ THUYE¡T (Toùm taét lyù thuyeát & Baøi taäp maãu) Trònh Anh Ngoïc 15/10/2009
i Lôøi khuyeân We are what we repeatedly do. Excellence, then, is not an act, but a habit. Aristotle Khoâng ai hy voïng hoïc bôi maø khoâng bò öôùt. Cuõng khoâng coù ai hy voïng hoïc bôi maø chæ nhôø ñoïc saùch hay nhìn ngöôøi khaùc bôi. Bôi loäi khoâng theå hoïc maø khoâng coù thöïc haønh. Chæ coù moät caùch hoïc laø töï "neùm" mình xuoáng nöôùc vaø taäp luyeän haøng tuaàn, thaäm chí haøng thaùng, cho ñeán khi baøi taäp luyeän trôû thaønh phaûn xaï nheï nhaøng. Töông töï nhö vaäy, cô hoïc khoâng theå ñöôïc hoïc moät caùch thuï ñoäng. Khoâng giaûi quyeát nhieàu baøi toaùn coù tính thaùch thöùc, ngöôøi sinh vieân khoâng coù caùch naøo khaùc ñeå kieåm tra naêng löïc hieåu bieát cuûa mình veà moân hoïc. Ñaây laø nôi sinh vieân gaët haùi ñöôïc söï töï tin, caûm giaùc thoûa maõn vaø loâi cuoán naûy sinh nhôø söï hieåu bie·t xa˘c thˆÔc veà caùc nguyeân lyù aån taøng. Khaû naêng giaûi caùc baøi toaùn laø chöùng minh to·t nha·t sˆÔ naÈm vˆıng mo‚n hoÔc. Nhˆ trong bÙi lo‰i, baÔn gia˚i ca¯ng nhieàu baøi toaùn, baïn caøng saéc xaûo, naém baét nhanh caùc kyõ naêng giaûi toaùn. Ñeå thu lôïi ñaày ñuû töø caùc thí duï vaø baøi taäp ñöôïc giaûi trong taøi lieäu naøy (cuõng nhö saùch baøi taäp maø baïn coù), traùnh tham khaûo ngay lôøi giaûi quaù sôùm. Neáu baïn khoâng theå giaûi baøi toaùn sau nhöõng noå löïc ban ñaàu, haõy thöû coá gaéng laàn nöõa! Neáu baïn tìm ñoïc lôøi giaûi chæ sau nhieàu laàn noå löïc, noù seõ ñöôïc giöõ laïi trong trí baïn moät thôøi gian daøi. Coøn neáu baïn tìm ra ñöôïc lôøi giaûi cuûa rieâng mình cho baøi toaùn, thì neân so saùnh noù vôùi lôøi giaûi trong saùch. Baïn coù theå tìm thaáy ôû ñoù lôøi giaûi goïn hôn, caùch tieáp caän thoâng minh hôn. Taøi lieäu oân taäp naøy khoâng theå thay theá cho saùch lyù thuye·t va¯ sa˘ch ba¯i ta‰p veà cô hoïc. Noù chæ coù taùc duïng giuùp baïn oân taäp coù chuû ñieåm veà moät so· va·n Òe‡ quan troÔng trong chˆÙng trÏnh mo‚n cÙ hoÔc ly˘ thuye·t. Mo‰t Òie‡u quan troÔng: vÏ mo‰t cuo·n sa˘ch ba¯i ta‰p no˘i chung thˆÙ¯ng chˆ˘a ÒˆÔng nhie‡u, ra·t nhie‡u ca˘c thÌ duÔ va¯ ba¯i ta‰p, baÔn tuye‰t Òo·i ne‚n tra˘nh co· gaÈng nhÙ˘ nhie‡u kyı thua‰t va¯ lÙ¯i gia˚i cu˚a no˘; thay vÏ the·, baÔn ne‚n ta‰p trung va¯o sˆÔ hieÂu bie·t ca˘c kha˘i nie‰m va¯ nhˆıng ne‡n ta˚ng ma¯ no˘ ha¯m chˆ˘a. Haıy baÈt Òa‡u HOœC va¯ TAƒP. Chu˘c baÔn tha¯nh co‚ng.
Muïc luïc 1 —OƒNG HOœC 1 1 Phöông phaùp moâ taû chuyeån ñoäng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Heätoïañoä 1 1.2 Luaätchuyeånñoäng-Vaänto·c-Giato·c . . . . . . . . . . 3 1.3 Va¯ichuyeÂnÒo‰ngquantroÔng . 4 2 ChuyeÂnÒo‰ngcu˚aco·theÂ 5 2.1 TrˆÙ¯ng va‰n to·c cu˚a co· theÂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 HÙÔp chuyeÂn Òo‰ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 —OƒNG L÷œC HOœC 8 1 Ca˘cÒÚnhlua‰tNewton 8 1.1 LˆÔc 8 1.2 Hai ba¯i toa˘n cÙ ba˚n cu˚a Òo‰ng lˆÔc hoÔc . . . . . . . . . . 9 1.3 Ca˘c ÒÚnh ly˘ toÂng qua˘t cu˚a Òo‰ng lˆÔc hoÔc . . . . . . . . . 10 3 C‘ HOœC GIA¤I TÕCH 15 1 Ca˘ckha˘inie‰mcÙba˚n 15 2 PhˆÙng trÏnh Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1 PhˆÙng trÏnh toÂng qua˘t Òo‰ng lˆÔc hoÔc . . . . . . . . . . . 16 2.2 PhˆÙng trÏnh Lagrange loaÔi hai . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 TrˆÙ¯ng hÙÔp he‰ ba˚o toa¯n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Thu˚ tuÔc thie·t la‰p phˆÙng trÏnh Lagrange loaÔi hai . . . 18 BAÿI TAƒP 19 ii
MUÏC LUÏC iii L‘ÿI GIA¤I MOƒT SO¡ BAÿI TAƒP 33 A —e‡ thi ma„u 52 B —e‡ thi mo‚n CÙ hoÔc ly˘ thuye·t 60 Taøi lieäu tham khaûo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Chöông 1 —OƒNG HOœC —eÂ hieàu va¯ bie·t ca˘ch gia˚i ca˘c ba¯i toa˘n cÙ hoÔc sinh vie‚n nha·t thie·t pha˚i naÈm vˆıng ly˘ thuye·t ve‡ cÙ hoÔc. Pha‡n ly˘ thuye·t dˆÙ˘i Òa‚y chÊ la¯ to˘m lˆÙÔc ca˘c ÒieÂm chÌnh, sinh vie‚n ne‚n hoÔc laÔi pha‡n ly˘ thuye·t tˆÙng ˆ˘ng trong ca˘c sa˘ch ly˘ thuye·t. 1 PhˆÙng pha˘p mo‚ ta˚ chuyeÂn Òo‰ng Kie·n thˆ˘c ca‡n bie·t: (1) ÒaÔi so· vectÙ va¯ (2) gia˚i tÌch vectÙ (xem Ch. 0, [1]). La¯m ca˘c ba¯i ta‰p tˆ¯ 1 Òe·n 8. 1.1 He‰ toÔa Òo‰ HÏnh 1: VectÙ cÙ sÙ˚ ÒÚa phˆÙng 1
CHÖ‘NG 1. —OƒNG HOœC 2 + Heä toïa ñoä Descartes: M(x,y,z) r = xi + yj + zk (1.1) ⇔ dr =(dx)i +(dy)j +(dz)k (1.2) ⇒ + Heä toïa ñoä truï: M(r,ϕ,z) r = re + ze (1.3) ⇔ r z dr =(dr)e +(rdϕ)e +(dz)e (1.4) ⇒ r ϕ z trong ñoù er, eϕ, ez laø caùc vectô cô sôû ñòa phöông cuûa toïa ñoä truï taïi M. + Heä toïa ñoä caàu: M(r,ϕ,θ) r = re (1.5) ⇔ r dr =(dr)e +(rdϕ)e +(rdθ)e (1.6) ⇒ r ϕ θ trong ñoù er, eϕ, eθ laø caùc vectô cô sôû ñòa phöông cuûa toïa ñoä caàu taïi M. Heä toïa ñoä Quan heä vôùi toïa ñoä Vectô cô sôû ñòa phöông Descartes Truï x = r cos ϕ er = cos ϕi + sin ϕj (r,ϕ,z) y = r sin ϕ e = sin ϕi + cos ϕj ϕ − z = z ez = k Caàu x = r sin θ cos ϕ er = sin θ(cos ϕi + sin ϕj) + cos θk (r,ϕ,θ) y = r sin θ sin ϕ eϕ = sin θ( sin ϕi + cos ϕj) z = r cos θ e = cos θ(cos− ϕi + sin ϕj) sin θk θ − Hình 2: Vectô cô sôû ñòa phöông cuûa toïa ñoä töï nhieân. Treân ñöôøng cong C, choïn ñieåm M0 vaø moät chieàu döông treân C. Hoa¯nh Òo‰ cong cuûa ñieåm M treân C laø soá ñaïi soá s coù trò tuyeät ño·i baèng chieàu daøi cung _ M0M vaø laáy daáu coäng ne·u chie‡u tˆ¯ M0 Òe·n M la¯ chie‡u dˆÙng, da·u trˆ¯ ne·u ngˆÙÔc laÔi.
CHÖ‘NG 1. —OƒNG HOœC 3 Hình 2 theå hieän caùc vectô cô sôû ñòa phöông cuûa heä toïa ñoä töï nhieân (hoaønh ñoä cong s) cuûa ñöôøng cong coù phöông trình tham so· r = r(s). VectÙ tie·p tuye·n ÒÙn vÚ t: dr t = . (1.7) ds VectÙ pha˘p tuye·n ÒÙn vÚ n ÒˆÙÔc xa˘c ÒÚnh sao cho dt 1 = kn = n, (1.8) ds ρ trong Òo˘ k = 1/ρ la¯ Òo‰ cong, ρ la¯ ba˘n kÌnh cong (cu˚a ÒˆÙ¯ng cong) taÔi M. Chu˘ y˘, vectÙ pha˘p tuye·n ÒÙn vÚ n luo‚n hˆÙ˘ng ve‡ be‡ loım cu˚a ÒˆÙ¯ng cong C. VectÙ lˆÙıng pha˘p tuye·n ÒÙn vÚ: b = t n. (1.9) × + ToÔa Òo‰ tˆÔ nhie‚n: M(s) r = r(s) (1.10) ⇔ dr dr =(ds) =(ds)t (1.11) ⇒ ds 1.2 Luaät chuyeån ñoäng - Vaän to·c - Gia to·c PhˆÙng pha˘p Lua‰t chuyeÂn Òo‰ng Va‰n to·c Gia to·c VectÙ r = f(t) r˙ ¨r x = f(t) Descartes y = g(t) (˙x, y,˙ z˙) (¨x, y,¨ z¨) i, j, k  { }  z = h(t) r = f(t) TruÔ  ϕ = g(t) (˙r,rϕ,˙ z˙) (¨r rϕ˙ 2, 2˙rϕ˙ + rϕ,¨ z¨) er, eϕ, k  − { }  z = h(t) CˆÔc r = f(t) 2  (˙r,rϕ˙) (¨r rϕ˙ , 2˙rϕ˙ + rϕ¨) er, eϕ ϕ = g(t) − { } TˆÔ nhie‚n v2 s = f(t) (v, 0), v =s ˙ v,˙ t, n, b ρ { }
CHÖ‘NG 1. —OƒNG HOœC 4 To·c Òo‰ v = v . | | Trong toÔa Òo‰ tˆÔ nhie‚n, to·c Òo‰ v =s ˙, gia to·c tie·p wt =v ˙, gia to·c pha˘p 2 wn = v /ρ. Co‚ng thˆ˘c tÌnh ba˘n kÌnh cong (ky˘ hie‰u w = w ): | | v2 ρ = . (1.12) w2 w2 − t p TÌch vo‚ hˆÙ˘ng v w cu˚a va‰n to·c va¯ gia to·c theÂ hie‰n sˆÔ nhanh cha‰m cu˚a chuyeÂn Òo‰ng · > 0 nhanh da‡n v w = vv˙ < 0 cha‰m da‡n (1.13) ·   = 0 Òe‡u  1.3 Vaøi chuyeån ñoäng quan troïng ? ChuyeÂn Òo‰ng tro¯n. —ieÂm chuyeÂn Òo‰ng tro¯n trong Oxy quanh O. Ky˘ hie‰u: r - vectÙ ÒÚnh vÚ ÒieÂm, ϕ - go˘c quay, ω =ϕ ˙ - va‰n to·c go˘c, ~ω = ωk - vectÙ va‰n to·c go˘c. Va‰n to·c cu˚a ÒieÂm v = ~ω r. (1.14) × Gia to·c cu˚a ÒieÂm w = ~ r ω2r, (1.15) × − wt wn | {z } | {z } trong Òo˘ ~ = d~ω/dt ( = dω/dt) la¯ vectÙ gia to·c go˘c. Ne·u chuyeÂn Òo‰ng Òe‡u thÏ v = ωR (ω = const) va¯ gia to·c hˆÙ˘ng ta‚m w = ω2R (R - ba˘n kÌnh cu˚a quyı ÒaÔo). ? ChuyeÂn Òo‰ng co˘ gia to·c xuye‚n ta‚m gia to·c xuye‚n ta‚m r v = c (const) Quyı ÒaÔo pha˙ng ⇔ × ⇒ va‰n to·c die‰n tÌch d~σ = 1r v = 1c (const). ⇔ dt 2 × 2
CHÖ‘NG 1. —OƒNG HOœC 5 Coâng thöùc Binet: mc2 d2 1 1 + = F. (1.16) r2 dϕ2 r r − Phaân loaïi baøi toaùn ñoäng hoïc ñieåm ◦ Ba¯i toa˘n thˆ˘ nha·t: Tìm phöông trình chuyeån ñoäng (luaät chuyeån ñoäng), phöông trình quyõ ñaïo, vaän to·c, gia to·c, gia to·c tie·p, gia to·c pha˘p, ba˘n kÌnh cong cu˚a quyı ÒaÔo. Ba¯i toa˘n thˆ˘ hai: Kha˚o sa˘t chuyeÂn Òo‰ng nhanh da‡n Òe‡u, cha‰m da‡n Òe‡u va¯ Òe‡u. 2 Chuyeån ñoäng cuûa co· theÂ Co· theÂ la¯ cÙ he‰ ma¯ khoa˚ng ca˘ch giˆıa ca˘c ÒieÂm cu˚a no˘ kho‚ng thay ÒoÂi trong qua˘ trÏnh chuyeÂn Òo‰ng. VÚ trÌ cu˚a co· theÂ ÒˆÙÔc xa˘c ÒÚnh bÙ˚i ba ÒieÂm kho‚ng tha˙ng ha¯ng cu˚a no˘. 2.1 TrˆÙ¯ng va‰n to·c cu˚a co· theÂ —Únh ly˘ 1. TrˆÙ¯ng va‰n to·c cu˚a mo‰t co· theÂ (S) la¯ trˆÙ¯ng Òa˙ng chie·u - - v(M) MN= v(N) MN M, N (S). (1.17) · · ∀ ∈ ? ChuyeÂn Òo‰ng tÚnh tie·n Co· theÂ (S) chuyeÂn Òo‰ng tÚnh tie·n khi vectÙ no·i hai ÒieÂm ba·t ky¯ cu˚a no˘ luo‚n luo‚n cu¯ng phˆÙng vÙ˘i chÌnh no˘. TrˆÙ¯ng va‰n to·c, gia to·c trong chuyeÂn Òo‰ng tÚnh tie·n la¯ trˆÙ¯ng Òe‡u. ChuyeÂn Òo‰ng cu˚a (S) da„n ve‡ chuyeÂn Òo‰ng cu˚a mo‰t ÒieÂm thuo‰c (S). ? ChuyeÂn Òo‰ng quay quanh mo‰t truÔc co· ÒÚnh Co· theÂ (S) chuyeÂn Òo‰ng quay quanh truÔc co· ÒÚnh khi no˘ co˘ hai ÒieÂm co· ÒÚnh. TruÔc quay la¯ ÒˆÙ¯ng tha˙ng Òi qua hai ÒieÂm co· ÒÚnh na¯y. Ca˘c ÒieÂm naËm ngoa¯i truÔc quay chuyeÂn Òo‰ng tro¯n vÙ˘i ta‚m naËm tre‚n truÔc quay. GoÔi k la¯ vectÙ ÒÙn vÚ cu˚a truÔc quay (Oz), ϕ la¯ go˘c quay.
CHÖ‘NG 1. —OƒNG HOœC 6 Phöông trình chuyeån ñoäng: ϕ = ϕ(t). Tröôøng vaän to·c: v(M)= ~ω r, (1.18) × trong Òo˘ ~ω =ϕ ˙k la¯ vectÙ va‰n to·c go˘c. TrˆÙ¯ng gia to·c: w(M)= ~ r + ~ω (~ω r), (1.19) × × × trong Òo˘ ~ =ϕ ¨k la¯ vectÙ gia to·c go˘c. Gia to·c tie·p w = ~ r, gia to·c pha˘p t × w = ~ω (~ω r). n × × ? ChuyeÂn Òo‰ng toÂng qua˘t. ChuyeÂn dÚch ba·t ky¯ cu˚a co· theÂ tˆ¯ vÚ trÌ na¯y sang vÚ trÌ kha˘c, trong khoa˚ng thÙ¯i gian vo‚ cu¯ng be˘˘ (chuyeÂn Òo‰ng tˆ˘c thÙ¯i), co˘ theÂ ÒˆÙÔc thˆÔc hie‰n nhÙ¯ chuyeÂn Òo‰ng tÚnh tie·n, tˆÙng ˆ˘ng vÙ˘i chuyeÂn dÚch cu˚a mo‰t ÒieÂm, va¯ chuyeÂn Òo‰ng quay quanh truÔc Òi qua ÒieÂm a·y. TrˆÙ¯ng va‰n to·c cu˚a co· theÂ trong chuyeÂn Òo‰ng toÂng qua˘t (co‚ng thˆ˘c Euler): - v(M)= v(C)+ ω(t) CM . (1.20) × ? ChuyeÂn Òo‰ng song pha˙ng Co· theÂ (S) chuyeÂn Òo‰ng song pha˙ng khi co˘ ba ÒieÂm kho‚ng tha˙ng ha¯ng luo‚n luo‚n chuyeÂn Òo‰ng trong maÎt pha˙ng (π) co· ÒÚnh. Khi kha˚o sa˘t chuyeÂn Òo‰ng song pha˙ng ta chÊ ca‡n xe˘t chuyeÂn Òo‰ng cu˚a mo‰t tie·t die‰n cu˚a no˘ (pha‡n giao cu˚a co· theÂ vÙ˘i (π)). ChuyeÂn Òo‰ng tˆ˘c thÙ¯i cu˚a co· theÂ go‡m: chuyeÂn Òo‰ng chuyeÂn Òo‰ng quay quanh mo‰t truÔc vuo‚ng go˘c vÙ˘i (π), va¯ chuyeÂn Òo‰ng tÚnh tie·n xa˘c ÒÚnh bÙ˚i chuyeÂn Òo‰ng cu˚a giao ÒieÂm truÔc quay tˆ˘c thÙ¯i vÙ˘i maÎt pha˙ng (π) goÔi la¯ ta‚m va‰n to·c tˆ˘c thÙ¯i. Phaân loaïi baøi toaùn ñoäng hoïc co· theÂ ◦ Ba¯i toa˘n thˆ˘ nha·t: Kha˚o sa˘t chuyeÂn Òo‰ng quay cu˚a co· theÂ quanh truÔc co· ÒÚnh. Va·n Òe‡: tÏm ϕ, ω, cu˚a co· theÂ; va‰n to·c, gia to·c cu˚a mo‰t ÒieÂm na¯o Òo˘ tre‚n co· theÂ. Ba¯i toa˘n thˆ˘ hai: Ba¯i toa˘n chuye‡n Òo‰ng. Ba¯i toa˘n thˆ˘ ba: Ke·t hÙÔp vÙ˘i chuyeÂn Òo‰ng quay vÙ˘i chuyeÂn Òo‰ng tÚnh tie·n. 2.2 HÙÔp chuyeÂn Òo‰ng He‰ quy chie·u co· ÒÚnh (T )= Oxyz, chuyeÂn Òo‰ng cu˚a M Òo·i vÙ˘i (T ) goÔi • la¯ chuyeÂn Òo‰ng tuye‰t Òo·i. va, wa - va‰n to·c, gia to·c cu˚a M Òo·i vÙ˘i (T ),
CHÖ‘NG 1. —OƒNG HOœC 7 goïi laø vaän to·c, gia to·c tuye‰t Òo·i cu˚a M. He‰ quy chie·u Òo‰ng (T ) = O x y z ((T ) chuyeÂn Òo‰ng Òo·i vÙ˘i (T )), • 1 1 1 1 1 1 chuyeÂn Òo‰ng cu˚a M Òo·i vÙ˘i (T1) goÔi la¯ chuyeÂn Òo‰ng tˆÙng Òo·i. vr, wr - va‰n to·c, gia to·c cu˚a M Òo·i vÙ˘i (T1), goÔi la¯ va‰n to·c, gia to·c tˆÙng Òo·i cu˚a M. ChuyeÂn Òo‰ng cu˚a (T ) Òo·i vÙ˘i (T ) goÔi la¯ chuyeÂn Òo‰ng theo. ChuyeÂn • 1 Òo‰ng cu˚a ÒieÂm P , gaÈn vÙ˘i (T1) tru¯ng vÙ˘i M taÔi thÙ¯i ÒieÂm Òang xe˘t, Òo·i vÙ˘i (T ) goÔi la¯ chuyeÂn Òo‰ng theo cu˚a M. ve, we - va‰n to·c, gia to·c cu˚a P Òo·i vÙ˘i (T ), goÔi la¯ va‰n to·c, gia to·c theo cu˚a M. ? Co‚ng thˆ˘c co‰ng va‰n to·c: va = vr + ve. (1.21) ? Co‚ng thˆ˘c co‰ng gia to·c: wa = wr + we + wc, (1.22) trong Òo˘ w = 2~ω v (1.23) c × r la¯ gia to·c Coriolis sinh ra do chuyeÂn Òo‰ng quay cu˚a (T1) Òo·i vÙ˘i (T ). Phaân loaïi baøi toaùn hôïp chuyeån ñoäng ◦ Ba¯i toa˘n thˆ˘ nha·t: Ba¯i toa˘n toÂng hÙÔp chuyeÂn Òo‰ng. Ba¯i toa˘n thˆ˘ hai: Ba¯i toa˘n pha‚n tÌch chuyeÂn Òo‰ng. ? ChuyeÂn Òo‰ng song pha˙ng la¯ chuyeÂn Òo‰ng trong Òo˘ co· theÂ co˘ ba ÒieÂm kho‚ng tha˙ng ha¯ng thuo‰c co· theÂ luo‚n luo‚n chuyeÂn Òo‰ng trong mo‰t maÎt pha˙ng co· ÒÚnh. ChuyeÂn Òo‰ng song pha˙ng ÒˆÙÔc xe˘t baËng ca˘ch kha˚o sa˘t chuyeÂn Òo‰ng cu˚a hÏnh pha˙ng S thuo‰c co· theÂ naËm trong maÎt pha˙ng co· ÒÚnh. Giao ÒieÂm cu˚a truÔc quay tˆ˘c thÙ¯i cu˚a co· theÂ vÙ˘i maÎt pha˙ng co· ÒÚnh goÔi la¯ ta‚m quay hay ta‚m va‰n to·c tˆ˘c thÙ¯i. Phaân loaïi baøi toaùn chuyeån ñoäng song phaúng ◦ TÌnh va‰n to·c go˘c cu˚a hÏnh pha˙ng, tÌnh va‰n to·c cu˚a mo‰t ÒieÂm ba·t ky¯ tre‚n hÏnh pha˙ng. TÌnh gia to·c go˘c cu˚a hÏnh pha˙ng, tÌnh gia to·c cu˚a mo‰t ÒieÂm ba·t ky¯ tre‚n hÏnh pha˙ng. ThÌ duÔ ve‡ chuyeÂn Òo‰ng song pha˙ng sinh vie‚n ÒoÔc kyı lÙ¯i gia˚i ca˘c ba¯i ta‰p 3.2, 3.3, [1].
Chöông 2 —OƒNG L÷œC HOœC 1 Ca˘c ÒÚnh lua‰t Newton Noäi dung caùc ñònh luaät, xem Muïc 1.2, [1]. 1.1 LˆÔc Quan heä giöõa löïc vaø chuyeån ñoäng laø noäi dung cuûa ñònh luaät thöù hai F = mw. (2.1) ? Löïc ha·p da„n. Hai vaät kho·i lˆÙÔng m1, m2 hu˘t nhau bÙ˚i lˆÔc co˘ phˆÙng la¯ ÒˆÙ¯ng no·i kho·i ta‚m cu˚a chu˘ng va¯ Òo‰ lÙ˘n baËng m m F = G 1 2 , (2.2) d2 trong Òo˘ d la¯ khoa˚ng ca˘ch hai kho·i ta‚m va¯ G 6, 67 10−11m3/s2kg la¯ haËng so· ha·p da„n. ≈ × TroÔng lˆÙÔng cu˚a mo‰t va‰t la¯ mo‚Òun cu˚a lˆÔc hu˘t do tra˘i Òa·t ta˘c duÔng le‚n va‰t. ? LˆÔc ma sa˘t. LˆÔc ma sa˘t naËm trong maÎt pha˙ng tie·p xu˘c giˆıa ca˘c va‰t, ngˆÙÔc hˆÙ˘ng vÙ˘i chie‡u chuyeÂn Òo‰ng cu˚a va‰t hay chie‡u cu˚a lˆÔc ta˘c duÔng va¯o va‰t. Ve‡ Òo‰ lÙ˘n lˆÔc ma sa˘t tÊ le‰ vÙ˘i pha˚n lˆÔc pha˘p tuye·n Fms = ηRn, (2.3) 8
CHÖ‘NG 2. —OƒNG L÷œC HOœC 9 trong ñoù η laø heä so· ma sa˘t. ? LˆÔc ca˚n cu˚a mo‚i trˆÙ¯ng. Va‰t chuyeÂn Òo‰ng trong mo‚i trˆÙ¯ng nhˆ kho‚ng khÌ, nˆÙ˘c,. . . luo‚n luo‚n chÚu mo‰t sˆ˘c ca˚n co˘ hˆÙ˘ng ngˆÙÔc vÙ˘i hˆÙ˘ng chuyeÂn Òo‰ng va¯ co˘ Òo‰ lÙ˘n tÊ le‰ vÙ˘i luıy thˆ¯a cu˚a va‰n to·c F = µvα. (2.4) He‰ so· tÊ le‰ µ phuÔ thuo‰c ba˚n cha·t cu˚a mo‚i trˆÙ¯ng, kÌch thˆÙ˘c va¯ hÏnh da˘ng cu˚a va‰t; α la¯ haËng so· phuÔ thuo‰c va¯o chuyeÂn Òo‰ng. Trong ca˘c chuyeÂn Òo‰ng vÙ˘i va‰n to·c lÙ˘n nhˆng kho‚ng vˆÙÔt qua˘ va‰n to·c a‚m, thˆÔc nghie‰m cho tha·y, lˆÔc ca˚n cu˚a mo‚i trˆÙ¯ng tÊ le‰ vÙ˘i bÏnh phˆÙng cu˚a va‰n to·c (α = 2). Ne·u va‰t rÙi tˆÔ do trong kho‚ng khÌ thÏ lˆÔc ca˚n F seı taÍng da‡n tˆ¯ 0 cu¯ng vÙ˘i sˆÔ gia taÍng va‰n to·c. Cuo·i cu¯ng thÏ F cuıng seı baËng troÔng lˆÔc mg cu˚a va‰t. Sau Òo˘ va‰n to·c cu˚a va‰t seı kho‚ng taÍng le‚n nˆıa do kho‚ng co˘ gia to·c. Va‰n to·c kho‚ng ÒoÂi na¯y, goÔi la¯ va‰n to·c giÙ˘i haÔn (xa˘c ÒÚnh tˆ¯ phˆÙng trÏnh F = mg). ? LˆÔc Òa¯n ho‡i. Khi lo¯ xo bÚ ke˘o daın ∆x = x x no˘ seı ta˘c duÔng le‚n va‰t − 0 ga‚y ra lˆÔc ke˘o mo‰t lˆÔc FÒh tÊ le‰ vÙ˘i Òo‰ giaın ∆x, ngˆÙÔc vÙ˘i hˆÙ˘ng lˆÔc ke˘o FÒh = k∆x. (2.5) − He‰ so· tÊ le‰ k goÔi la¯ Òo‰ cˆ˘ng cu˚a lo¯ xo. 1.2 Hai baøi toaùn cô baûn cuûa ñoäng löïc hoïc Ca˘c bˆÙ˘c ca‡n thˆÔc hie‰n khi pha‚n tÌch mo‰t ba¯i toa˘n cÙ hoÔc: + ChoÔn he‰ quy chie·u va¯ he‰ toÔa Òo‰ gaÈn vÙ˘i he‰ quy chie·u a·y. + ChoÔn Òo·i tˆÙÔng kha˚o sa˘t (mo‰t hay nhie‡u va‰t). + Pha‚n tÌch ca˘c lˆÔc ta˘c duÔng le‚n Òo·i tˆÙÔng kha˚o sa˘t (veı sÙ Òo‡ lˆÔc). + AŸp duÔng ca˘c ÒÚnh lua‰t Newton thie·t la‰p phˆÙng trÏnh hay he‰ phˆÙng trÏnh xa˘c ÒÚnh ca˘c ÒaÔi lˆÙÔng ca‡n tÏm. Ca˘c ba¯i toa˘n Òo‰ng lˆÔc hoÔc thuo‰c ve‡ mo‰t trong hai daÔng: Ba¯i toa˘n thua‰n. Cho chuyeÂn Òo‰ng cu˚a cha·t ÒieÂm tÏm lˆÔc ta˘c duÔng le‚n cha·t ÒieÂm. Ba¯i toa˘n ngˆÙÔc. Cho lˆÔc ta˘c duÔng le‚n cha·t ÒieÂm tÏm chuyeÂn Òo‰ng cu˚a ÒieÂm.
CHÖ‘NG 2. —OƒNG L÷œC HOœC 10 1.3 Caùc ñònh lyù toång quaùt cuûa ñoäng löïc hoïc Noäi dung caùc ñònh lyù, xem Muïc 1.5, 2.1, 2.2 vaø 2.3, [1]. Löu yù moät so· kha˘i nie‰m va¯ co‚ng thˆ˘c ca‡n thie·t dˆÙ˘i Òa‚y. ? Kho·i ta‚m cu˚a mo‰t he‰ la¯ ÒieÂm hÏnh hoÔc C xa˘c ÒÚnh bÙ˚i 1 r = m r , (2.6) C M k k X trong Òo˘ rk la¯ vectÙ ÒÚnh vÚ cha·t ÒieÂm thˆ˘ k, M = mk la¯ kho·i lˆÙÔng cu˚a toa¯n he‰. P ? —o‰ng lˆÙÔng cu˚a he‰ P = mkvk = MvC. X —Únh ly˘ 2 (—Únh ly˘ Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a he‰). ˙ (e) P = Fk . (2.7) X —Únh ly˘ 3 (—Únh ly˘ chuyeÂn Òo‰ng kho·i ta‚m). (e) M¨rC = Fk . (2.8) X ? Mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a he‰ Òo·i vÙ˘i ÒieÂm O: 2 JO = mkrk, (2.9) X trong Òo˘ rk la¯ khoa˚ng ca˘ch tˆ¯ cha·t ÒieÂm thˆ˘ k Òe·n O. ? Mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a he‰ Òo·i vÙ˘i truÔc ∆: 2 J∆ = mkdk, (2.10) X
CHÖ‘NG 2. —OƒNG L÷œC HOœC 11 trong ñoù dk laø khoaûng caùch töø cha·t ÒieÂm thˆ˘ k Òe·n ∆. ? TenxÙ qua˘n tÌnh la¯ ma tra‰n J J J x − xy − xz J = Jyx Jy Jyz , (2.11)  −J J − J  − zx − zy z   trong Òo˘ Jx,Jy,Jz la¯ mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a he‰ Òo·i vÙ˘i ca˘c truÔc Ox,Oy,Oz; Jxy,Jxz, la¯ ca˘c mo‚men qua˘n tÌnh ly ta‚m cu˚a he‰ Jxy = Jyx = mkxkyk,Jyz = Jzx = mkykzk,Jzx = Jxz = mkzkxk(2.12). X X X T T Ne·u n = [cos α, cos β, cos γ] la¯ vectÙ ÒÙn vÚ cu˚a truÔc ∆ thÏ J∆ = n Jn. —Únh ly˘ 4 (—Únh ly˘ Huygens). 2 J∆ = JC + Md , (2.13) trong Òo˘ d la¯ khoa˚ng ca˘ch giˆıa hai truÔc. ? Co‚ng thˆ˘c tÌnh mo‚men qua˘n tÌnh ca‡n nhÙ˘ 1. Thanh ma˚nh Òo‡ng cha·t chie‡u da¯i l, kho·i lˆÙÔng M Òo·i vÙ˘i truÔc qua kho·i ta‚m va¯ vuo‚ng go˘c vÙ˘i thanh 1 J = Ml2. (2.14) C 12 2. Vo¯ng Òo‡ng cha·t ba˘n kÌnh R, kho·i lˆÙÔng M Òo·i vÙ˘i truÔc qua ta‚m va¯ vuo‚ng go˘c vÙ˘i maÎt pha˙ng chˆ˘a vo¯ng 2 JC = MR . (2.15) 3. —Ûa tro¯n Òo‡ng cha·t ba˘n kÌnh R, kho·i lˆÙÔng M Òo·i vÙ˘i truÔc qua ta‚m va¯ vuo‚ng go˘c vÙ˘i ÒÛa 1 J = MR2. (2.16) C 2
CHÖ‘NG 2. —OƒNG L÷œC HOœC 12 4. Hình truï troøn ñoàng cha·t ba˘n kÌnh R, kho·i lˆÙÔng M Òo·i vÙ˘i truÔc hÏnh truÔ1 2 JC = MR . (2.17) ? Mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a he‰ L = r m v = r Mv + r0 m v0 . (2.18) k × k k C × C k × k k X X —aÎc bie‰t, trong chuyeÂn Òo‰ng quay ~ω, L = J~ω. (2.19) Chie·u xuo·ng truÔc quay ∆ L∆ = J∆ω. (2.20) —Únh ly˘ 5 (—Únh ly˘ mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a he‰). L˙ = r F(e). (2.21) k × k X ? —o‰ng naÍng 1 1 T = m v2 = Mv2 + m v02. 2 k k 2 C k k X X TrˆÙ¯ng hÙÔp ÒaÎc bie‰t: (1) ChuyeÂn Òo‰ng tÚnh tie·n 1 T = Mv2 . (2.22) 2 C (2) ChuyeÂn Òo‰ng quay quanh truÔc ∆ 1 T = J ω2. (2.23) 2 ∆ 1 —a‚y la¯ co‚ng thˆ˘c tÌnh mo‚men qua˘n tÌnh cho o·ng truÔ. TrˆÙ¯ng hÙÔp kho·i truÔ (ÒaÎc) J C = 1 2 2 MR .
CHÖ‘NG 2. —OƒNG L÷œC HOœC 13 ? Co‚ng Co‚ng pha‚n to· cuûa löïc F laøm cha·t ÒieÂm thˆÔc hie‰n chuyeÂn dÚch vo‚ cu¯ng be˘ dr, ky˘ hie‰u δW , δW = F dr. (2.24) · Co‚ng (toa¯n pha‡n) la¯m cha·t ÒieÂm chuyeÂn dÚch tˆ¯ ÒieÂm A Òe·n ÒieÂm B, ky˘ hie‰u W , W = F dr, (tÌch pha‚n ÒˆÙ¯ng loaÔi 2) (2.25) · ZC(A,B) trong Òo˘ C(A, B) la¯ ÒˆÙ¯ng cong ÒÚnh hˆÙ˘ng tˆ¯ A Òe·n B. LˆÔc F goÔi la¯ lˆÔc ba˚o toa¯n ne·u to‡n taÔi ha¯m V (x,y,z) (chÊ phuÔ thuo‰c vÚ trÌ) sao cho F = V. (2.26) − 5 Ha¯m V ÒˆÙÔc goÔi la¯ ha¯m the· hay the· naÍng. Ha¯m U = V goÔi la¯ ha¯m lˆÔc. − ? Va¯i co‚ng thˆ˘c tÌnh co‚ng cu˚a lˆÔc va¯ ha¯m the· 1. Co‚ng cu˚a troÔng lˆÔc (truÔc z tha˙ng Òˆ˘ng hˆÙ˘ng le‚n): δW = mg dr = mgdz. (2.27) · − Co‚ng toa¯n pha‡n (tˆ¯ A Òe·n B) W = mg(z z ). (2.28) A − B Ha¯m the· cu˚a troÔng lˆÔc: V = mgz + C. 2. Co‚ng cu˚a lˆÔc Òa¯n ho‡i ga‚y ra do lo¯ xo Òo‰ cˆ˘ng k co˘ Òo‰ giaın x (lo¯ xo naËm ngang theo phˆÙng x, go·c toÔa Òo‰ ÒˆÙÔc choÔn Ù˚ vÚ trÌ ca‚n baËng) δW = kxdx. (2.29) − Co‚ng toa¯n pha‡n (tˆ¯ A Òe·n B) k W = (x2 x2 ). (2.30) 2 A − B k 2 Ha¯m the· cu˚a lˆÔc Òa¯n ho‡i: V = 2 x .
CHÖ‘NG 2. —OƒNG L÷œC HOœC 14 3. Co‚ng cu˚a lˆÔc ma sa˘t δW = ηR dx. (2.31) − n Coâng cuûa löïc ma saùt luoân luoân aâm (coâng caûn). Löïc ma saùt khoâng coù the·. 4. Co‚ng cu˚a lˆÔc trong chuyeÂn Òo‰ng quay quanh truÔc δW = ωM∆(F)dt, (2.32) trong Òo˘ M∆(F) la¯ chie·u cu˚a mo‚men lˆÔc F xuo·ng truÔc ∆, co¯n goÔi la¯ mo‚men cu˚a lˆÔc Òo·i vÙ˘i truÔc ∆. —Únh ly˘ 6 (—Únh ly˘ Òo‰ng naÍng cu˚a he‰). dT = F(e) δr + F(i) δr . (2.33) k · k k · k X X Pha‚n loaÔi ba¯i toa˘n a˘p duÔng ca˘c ÒÚnh ly˘ toÂng qua˘t ◦ Ba¯i toa˘n thˆ˘ nha·t: Du¯ng ÒÚnh ly˘ ba˚o toa¯n Òo‰ng lˆÙÔng va¯ ÒÚnh ly˘ ba˚o toa¯n mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng ÒeÂ tÏm chuyeÂn dÚch cu˚a mo‰t va¯i bo‰ pha‚n trong toa¯n he‰. Ba¯i toa˘n thˆ˘ hai: Du¯ng ÒÚnh ly˘ Òo‰ng lˆÙÔng ÒeÂ xa˘c ÒÚnh pha˚n lˆÔc taÔi ca˘c lie‚n ke·t. Ba¯i toa˘n thˆ˘ ba: Du¯ng ÒÚnh ly˘ mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng va¯ ÒÚnh ly˘ Òo‰ng naÍng ÒeÂ xa˘c ÒÚnh ca˘c ÒaÎc trˆng Òo‰ng hoÔc cu˚a chuyeÂn Òo‰ng.
Chöông 3 C‘ HOœC GIA¤I TÕCH 1 Ca˘c kha˘i nie‰m cÙ ba˚n Cô heä goàm N cha·t ÒieÂm M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), ,MN (xN ,yN ,zN ) kho·i lˆÙÔng m1,m2, ,mN . VÚ trÌ cu˚a he‰ ÒˆÙÔc xa˘c ÒÚnh ne·u bie·t 3N toÔa Òo‰ x1,y1,z1; x2,y2,z2; ; xN ,yN ,zN . Mo‰t vÚ trÌ cu˚a he‰ ÒˆÙÔc goÔi la¯ ca·u hÏnh cu˚a he‰. Gia˚ sˆ˚ he‰ chÚu r ra¯ng buo‰c Òo‰c la‰p (haÔn che· xe˘t trˆÙ¯ng hÙÔp he‰ chÊ chÚu lie‚n ke·t hÏnh hoÔc) fα(xk,yk,zk)=0 (α = 1, 2, ,r). (3.1) Ne·u ca·u hÏnh cu˚a he‰ ÒˆÙÔc xa˘c ÒÚnh bÙ˚i ca˘c gia˘ trÚ cu˚a mo‰t bo‰ ca˘c bie·n • Òo‰c la‰p q1,q2, ,qd, thÏ q1,q2, ,qd ÒˆÙÔc goÔi la¯ mo‰t ta‰p ca˘c toïa ñoä suy roäng cu˚a he‰. So· toÔa Òo‰{ suy ro‰ng goÔi} la¯ baäc töï do cu˚a he‰. TrˆÙ¯ng hÙÔp he‰ chÚu r lie‚n ke·t hÏnh hoÔc thÏ so· toÔa Òo‰ suy ro‰ng d = 3N r. − —aÔo ha¯m theo thÙ¯i gian cu˚a ca˘c toÔa Òo‰ suy ro‰ng goÔi la¯ va‰n to·c suy ro‰ng • cu˚a he‰ q˙1, q˙2, , q˙d. ‘¤ mo‰t ca·u hÏnh cho trˆÙ˘c cu˚a he‰ x ,y ,z (k = 1, 2, ,N), gia˚ sˆ˚ ca˘c • k k k cha·t ÒieÂm thˆÔc hie‰n chuyeÂn dÚch ∆xk, ∆yk, ∆zk Òe·n ca·u hÏnh xk + ∆xk,yk +∆yk,zk +∆zk tho˚a ra¯ng buo‰c (3.1), thÏ ∂fα ∂fα ∂fα ∂fα ∆t + ∆xk + ∆yk + ∆zk = 0. (3.2) ∂t ∂xk ∂yk ∂zk Xk 15
CHÖ‘NG 3. C‘ HOœC GIA¤I TÕCH 16 Ta goïi caùc chuyeån dòch ∆xk, ∆yk, ∆zk thoûa (3.2) laø chuyeÂn dÚch kha˚ dÛ (chuyeån dòch xaûy ra döôùi taùc duïng cuûa löïc cho tröôùc - chuyeån dòch thöïc - laø moät trong so· ca˘c chuyeÂn dÚch kha˚ dÛ). Hie‰u cu˚a hai chuyeÂn dÚch kha˚ dÛ ba·t ky¯ goÔi la¯ chuyeÂn dÚch a˚o, ky˘ hie‰u • δxk,δyk,δzk, chu˘ng tho˚a Òie‡u kie‰n ∂fα ∂fα ∂fα δxk + δyk + δzk = 0. (3.3) ∂xk ∂yk ∂zk Xk 2 Phöông trình Lagrange Ca˘c phˆÙng trÏnh Lagrange ÒˆÙÔc ru˘t ra tˆ¯ nguye‚n ly˘ co‚ng a˚o, co¯n goÔi la¯ nguye‚n ly˘ chuyeÂn dÚch a˚o. 2.1 Phöông trình toång quaùt ñoäng löïc hoïc —Únh ly˘ 7 (Nguye‚n ly˘ co‚ng a˚o). Trong trˆÙ¯ng hÙÔp lie‚n ke·t ÒaÎt le‚n he‰ la¯ ly˘ tˆÙ˚ng, toÂng co‚ng pha‚n to· cu˚a ca˘c lˆÔc chu˚ Òo‰ng va¯ lˆÔc qua˘n tÌnh ta˘c duÔng le‚n cÙ he‰ tre‚n chuyeÂn dÚch a˚o ba·t ky¯ baËng kho‚ng taÔi moÔi thÙ¯i ÒieÂm [(F m x¨ )δx +(F m y¨ )δy +(F m z¨ )δz ] = 0. (3.4) xk − k k k yk − k k k zk − k k k Xk PhˆÙng trÏnh (3.4) goÔi la¯ phˆÙng trÏnh toÂng qua˘t Òo‰ng lˆÔc hoÔc. 2.2 PhˆÙng trÏnh Lagrange loaÔi hai d ∂T ∂T = Qs (s = 1, 2, ,d), (3.5) dt ∂q˙s − ∂qs trong Òo˘ T la¯ Òo‰ng naÍng cu˚a he‰, Qs (s = 1, 2, ,d) la¯ lˆÔc suy ro‰ng.
CHÖ‘NG 3. C‘ HOœC GIA¤I TÕCH 17 Trong thöïc haønh, löïc suy roäng ñöôïc ruùt ra töø heä thöùc Qsδqs = (Fxkδxk + Fykδyk + Fzkδzk) (3.6) s X Xk (toång coâng phaân to· cu˚a lˆÔc chu˚ Òo‰ng ta˘c duÔng le‚n he‰). 2.3 Tröôøng hôïp heä baûo toaøn Ta·t ca˚ ca˘c lˆÔc chu˚ Òo‰ng Òe‡u co˘ the· (he‰ ÒˆÙÔc goÔi la¯ he‰ ba˚o toa¯n hay he‰ Òo‰ng lˆÔc), nghÛa la¯ to‡n taÔi ha¯m U = U(xk,yk,zk) sao cho ∂U ∂U ∂U Fkx = , Fky = , Fkz = (k = 1, 2, ,N) ∂xk ∂yk ∂zk ∂U Qs = (s = 1, 2, ,d). ⇒ ∂qs Khi Òo˘ phˆÙng trÏnh Lagrange co˘ theÂ vie·t laÔi d ∂L ∂L =0 (s = 1, 2, ,d), (3.7) dt ∂q˙s − ∂qs trong Òo˘ L = T + U la¯ ha¯m Lagrange. Ky˘ hie‰u V = U la¯ the· naÍng cu˚a he‰ thÏ L = T V . − − TrˆÙ¯ng hÙÔp he‰ ba˚o toa¯n Òo‡ng thÙ¯i ha¯m lˆÔc va¯ Òo‰ng naÍng kho‚ng phuÔ thuo‰c hieÂn va¯o thÙ¯i gian thÏ naÍng lˆÙÔng toa¯n pha‡n cu˚a he‰ ÒˆÙÔc ba˚o toa¯n T + V = const. (3.8) Toïa ñoä cyclic la¯ toÔa Òo‰ suy ro‰ng qc kho‚ng co˘ maÎt trong ha¯m Lagrange, nghÛa la¯ ∂L = 0. ∂qc Khi Òo˘ ta co˘ mo‰t tÌch pha‚n Òa‡u ∂L = const. ∂q˙c
CHÖ‘NG 3. C‘ HOœC GIA¤I TÕCH 18 2.4 Thuû tuïc thie·t la‰p phˆÙng trÏnh Lagrange loaÔi hai 1. Xaùc ñònh baäc töï do vaø choïn caùc toïa ñoä suy roäng. 2. Tính ñoäng naêng cuûa heä T , bieåu dieãn ñoäng naêng theo caùc toïa ñoä vaø vaän to·c suy ro‰ng. 3. TÌnh toÂng co‚ng pha‚n to· cu˚a lˆÔc chu˚ Òo‰ng, bieÂu die„n no˘ theo ca˘c toÔa Òo‰ suy ro‰ng, tˆ¯ Òo˘ suy ra ca˘c lˆÔc suy ro‰ng dˆÔa va¯o he‰ thˆ˘c (d). 4. TÌnh ca˘c ÒaÔo ha¯m ∂T/∂q˙s, d(∂T/∂q˙s)/dt, ∂T/∂qs. 5. Thay va¯o phˆÙng trÏnh Lagrange loaÔi hai.
Baøi taäp —o‰ng hoÔc Baøi taäp oân veà vectô 1. Trong heä toïa ñoä Descartes, cho ba vectô: a = 2i j 2k, b = 3i 4k, c = i 5j + 3k. − − − − a) Tìm 3a + 2b 4c vaø a b 2. − | − | b) Tìm a , b vaø a b. Suy ra goùc giöõa a vaø b. | | | | · c) Tìm thaønh phaàn cuûa c theo höôùng cuûa a vaø theo höôùng cuûa b. d) Tìm a b, b c vaø (a b) (b c). × × × × × e) Tìm a (b c) vaø (a b) c vaø chæ ra raèng chuùng baèng nhau. Taäp ñöôïc saép a, b, ·c laø× heä vectô thuaän× · hay nghòch? { } f) Kieåm ñoàng nhaát thöùc (coâng thöùc Gibss): a (b c)=(a c)b (a b)c. × × · − · Hình 1: Baøi taäp 2 19
Baøi taäp 20 2. Tìm goùc giöõa hai ñöôøng cheùo kho·i la‰p phˆÙng tre‚n hÏnh 1. 3. Cho ABCD la¯ hÏnh bo·n caÔnh toÂng qua˘t (le‰ch) va¯ cho P,Q,R,S la¯ ca˘c trung ÒieÂm cu˚a ca˘c caÔnh AB, BC, CD, DA tˆÙng ˆ˘ng. Chˆ˘ng minh PQRS la¯ hÏnh bÏnh ha¯nh. 4. Trong hÏnh tˆ˘ die‰n, veı ca˘c ÒˆÙ¯ng no·i trung ÒieÂm cu˚a mo„i caÔnh vÙ˘i trung ÒieÂm cu˚a caÔnh Òo·i die‰n. Chˆ˘ng to˚ raËng ba ÒˆÙ¯ng na¯y caÈt nhau taÔi mo‰t ÒieÂm chia Òo‚i chu˘ng. 5. Cho tˆ˘ die‰n ABCD va¯ cho P,Q,R,S la¯ troÔng ta‚m cu˚a ca˘c maÎt Òo·i die‰n vÙ˘i ca˘c ÒÊnh A,B,C,D tˆÙng ˆ˘ng. Chˆ˘ng to˚ raËng ca˘c ÒˆÙ¯ng AP,BQ,CR,DS Òo‡ng quy taÔi mo‰t ÒieÂm goÔi la¯ troÔng ta‚m (centroid) cu˚a tˆ˘ die‰n, no˘ chia mo„i ÒˆÙ¯ng theo tÊ so· 3 : 1. - - H.D. —ieÂm M chia ÒoaÔn AB theo tÊ so· k MA:MB= k. ⇔ 6. Chˆ˘ng to˚ raËng ba ÒˆÙ¯ng cao cu˚a tam gia˘c Òo‡ng quy taÔi mo‰t ÒieÂm. H.D. ChoÔn O la¯ giao ÒieÂm cu˚a hai ÒˆÙ¯ng cao. 7. Chˆ˘ng minh ca˘c Òo‡ng nha·t thˆ˘c: a) (a b) (c d)=(a c)(b d) (a d)(b c). × · × · · − · · b) (a b) (c d)=[a, b, d]c [a, b, c]d. × × × − c) a (b c)+ c (a b)+ b (c a) = 0 (Òo‡ng nha·t thˆ˘c Jacobi). × × × × × × 8. Cho vectÙ v la¯ ha¯m cu˚a thÙ¯i gian t va¯ k la¯ vectÙ haËng. TÏm ÒaÔo ha¯m theo thÙ¯i gian cu˚a: a) v 2; b) (v k)v; c) [v, v˙ , k]. —.S. a) 2v v˙ ; b) (|v˙ | k)v +(·v k)v˙ ; c) [v, v¨, k]. · · · 9. TÏm vectÙ tie·p tuye·n ÒÙn vÚ, vectÙ pha˘p tuye·n ÒÙn vÚ va¯ Òo‰ cong cu˚a vo¯ng tro¯n: x = a cos θ, y = a sin θ, z = 0 taÔi ÒieÂm co˘ tham so· θ. —S. t = sin θi + cos θj, n = cos θi sin θj, k = 1/a. − − − 10. TÏm vectÙ tie·p tuye·n ÒÙn vÚ, vectÙ pha˘p tuye·n ÒÙn vÚ va¯ Òo‰ cong cu˚a ÒˆÙ¯ng xoaÈn o·c: x = a cos θ, y = a sin θ, z = bθ taÔi ÒieÂm co˘ tham so· θ. —.S. t = ( a sin θi + a cos θj + bk)/(a2 + b2)1/2, n = cos θi sin θj, k = a/(a2 + b2).− − − 11. TÏm vectÙ tie·p tuye·n ÒÙn vÚ, vectÙ pha˘p tuye·n ÒÙn vÚ va¯ Òo‰ cong cu˚a parabol x = ap2, y = 2ap, z = 0 taÔi ÒieÂm co˘ tham so· p. —.S. t =(pi + j)/(p2 + 1)1/2, n =(i pj)/(p2 + 1)1/2, k = 1/2a(p2 + 1)3/2. − Baøi taäp veà vaän to·c, gia to·c va¯ va‰n to·c go˘c
Baøi taäp 21 12. Moät ñieåm P di chuyeån doïc theo truïc x chuyeån dòch cuûa noù taïi thôøi ñieåm t ñöôïc cho bôûi x = 6t2 t3 + 1, trong ñoù x ño baèng meùt, t ño baèng giaây. Tìm − vaän toác, gia toác cuûa P taïi thôøi ñieåm t. Tìm nhöõng thôøi ñieåm P döøng vaø vò trí cuûa P taïi nhöõng thôøi ñieåm ñoù. 13. Moät ñieåm P di chuyeån doïc theo truïc x vôùi gia to·c taÔi thÙ¯i ÒieÂm t ÒˆÙÔc cho bÙ˚i a = 6t 4 ms−2. Ban Òaàu P ôû ñieåm x = 20 m vaø coù vaän to·c 15 ms−1 veà phía x aâm.− Tìm vaän to·c va¯ chuyeÂn dÚch cu˚a P taÔi thÙ¯i ÒieÂm t. TÏm thÙ¯i ÒieÂm P dˆ¯ng va¯ chuyeÂn dÚch cu˚a P taÔi thÙ¯i ÒieÂm Òo˘. 14. ? Mo‰t haÔt P chuyeÂn Òo‰ng sao cho vectÙ ÒÚnh vÚ cu˚a no˘, r tho˚a phˆÙng trÏnh vi pha‚n r˙ = c r, × trong Òo˘ c la¯ vectÙ haèng. Chöùng minh P chuyeån ñoäng vôùi to·c Òo‰ kho‚ng ÒoÂi tre‚n mo‰t ÒˆÙ¯ng tro¯n. 15. ? Cho cÙ ca·u thˆÙ˘c veı elip go‡m thanh OA quay quanh O vÙ˘i go˘c ϕ = ωt, thanh BC co˘ hai Òa‡u chuyeÂn Òo‰ng tre‚n hai truÔc x, y. Cho OA = AB = AC = 2a. Vie·t phˆÙng trÏnh chuyeÂn Òo‰ng, phˆÙng trÏnh quyı ÒaÔo cu˚a ÒieÂm M (AM = MB) (hÏnh 2). Xa˘c ÒÚnh va‰n to·c, gia to·c, gia to·c tie·p, gia to·c pha˘p cu˚a ÒieÂm M taÔi thÙ¯i ÒieÂm ba·t ky¯. HÏnh 2: Ba¯i ta‰p 15 16. ? Mo‰t ba˘nh xe ba˘n kÌnh R chuyeÂn Òo‰ng laÍn kho‚ng trˆÙÔt tre‚n ÒˆÙ¯ng tha˙ng vÙ˘i va‰n to·c Ù˚ ta‚m baËng v0. Vie·t phˆÙng trÏnh chuyeÂn Òo‰ng cu˚a ÒieÂm M naËm tre‚n va¯nh ba˘nh xe. Xa˘c ÒÚnh va‰n to·c, gia to·c ÒieÂm M, ba˘n kÌnh cong ρ cu˚a quyı ÒaÔo. Kha˚o sa˘t sˆÔ nhanh cha‰m cu˚a chuyeÂn Òo‰ng. 17. —ieÂm M chuyeÂn Òo‰ng theo phˆÙng trÏnh x = at, y = bt2 (a,b la¯ haËng so·). Xa˘c ÒÚnh quyı ÒaÔo, lua‰t chuyeÂn Òo‰ng cu˚a ÒieÂm tre‚n quyı ÒaÔo. TÌnh va‰n to·c, gia to·c cu˚a ÒieÂm va¯ ba˘n kÌnh cong cu˚a quyı ÒaÔo taÔi thÙ¯i ÒieÂm t = 0.
Baøi taäp 22 Hình 3: Baøi taäp 16 18. Moät baùnh ñaø baùn kính R = 2 m quay nhanh daàn ñeàu töø traïng thaùi ñöùng yeân. Sau 10 s moät ñieåm treân vaønh baùnh xe coù trò soá vaän to·c v = 100 m/s2. Xa˘c ÒÚnh va‰n to·c va¯ gia to·c cu˚a ÒieÂm tre‚n va¯nh ba˘nh Òa¯ Ù˚ thÙ¯i ÒieÂm t = 15 s. 19. Mo‰t Òa‡u sÙÔi da‚y kho‚ng giaın buo‰c va¯o va‰tA, co¯n Òa‡u kia qua·n va¯o ro¯ng roÔc ba˘n kÌnh R = 10 cm quay quanh truÔc O co· ÒÚnh. Cho ÒieÂm A chuyeÂn Òo‰ng Òi xuo·ng vÙ˘i phˆÙng trÏnh x = 100t2, (x(cm),t(s)). Xa˘c ÒÚnh va‰n to·c go˘c va¯ gia to·c go˘c cu˚a ro¯ng roÔc, Òo‡ng thÙ¯i xa˘c ÒÚnh gia to·c cu˚a ÒieÂm B tre‚n ro¯ng roÔc (OB = 5 cm). HÏnh 4: Ba¯i ta‰p 19 20. ? Cho cÙ ca·u chuye‡n Òo‰ng nhˆ hÏnh 5. Bie·t va‰t (1) chuyeÂn Òo‰ng vÙ˘i 2 phˆÙng trÏnh x = 70t +2(x(cm),t(s)), R2 = 50 cm, r2 = 30 cm, R3 = 60 cm, r3 = 40 cm. Xa˘c ÒÚnh va‰n to·c, gia to·c tie·p, gia to·c pha˘p va¯ gia to·c toa¯n pha‡n cu˚a ÒieÂm M khi va‰t (1) Òi ÒˆÙÔc mo‰t ÒoaÔn s = 40 cm. Chuù thích. Ba¯i toa˘n chuye‡n Òo‰ng go‡m ca˘c ba˘nh xe quay quanh ca˘c truÔc va¯ co˘ lie‚n he‰ vÙ˘i nhau (aÍn khÙ˘p baËng raÍng, tie·p xu˘c kho‚ng trˆÙÔt, no·i vÙ˘i nhau baËng ca˘c Òai chuye‡n). TÊ so· chuye‡n Òo‰ng giˆıa chu˘ng ω1 R2 z2 K12 = = = , (3.9) ω2 R1 z1
Baøi taäp 23 trong ñoù ωi, Ri vaø zi laàn löôït laø vaän to·c go˘c, ba˘n kÌnh va¯ so· raÍng cu˚a ba˘nh xe thˆ˘ i. HÏnh 5: Ba¯i ta‰p 20 Baøi taäp veà hôïp chuyeån ñoäng 21. ? Mo‰t hÏnh no˘n quay Òe‡u quanh truÔc OA vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω. —ieÂm M chuyeÂn Òo‰ng Òe‡u theo ÒˆÙ¯ng sinh cu˚a hÏnh no˘n tˆ¯ ÒÊnh Òe·n Òa˘y vÙ˘i va‰n to·c vr; go˘c ∠MOA = α. TaÔi thÙ¯i ÒieÂm Òa‡u t = 0, ÒieÂm M Ù˚ vÚ trÌ M0 (OM0 = a). TÌnh gia go·c cu˚a M taÔi thÙ¯i ÒieÂm t. HÏnh 6: Ba¯i ta‰p 21 22. Tam gia˘c ABC vuo‚ng taÔi A quay quanh caÔnh AB tha˙ng Òˆ˘ng co· ÒÚnh vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω =const. Mo‰t ÒieÂm M chuyeÂn Òo‰ng tre‚n caÔnh BC theo phˆÙng trÏnh BM = s = 20t2. Xa˘c ÒÚnh va‰n to·c, gia to·c cu˚a ÒieÂm M khi M naËm Ù˚ trung ÒieÂm BC. Bie·t BC = 40 cm, α = 30o, ω = 2 s−1. 23. ? CÙ ca·u cam co˘ daÔng hÏnh ne‚m vÙ˘i α = 30o chuyeÂn Òo‰ng tÚnh tie·n trong maÎt pha˙ng naËm ngang, vÙ˘i va‰n to·c kho‚ng ÒoÂi v1 = 30 cm/s. Cam ÒaÂy thanh AB chuyeÂn Òo‰ng tha˙ng Òˆ˘ng trong raınh co· ÒÚnh K (hÏnh 7). Xa˘c ÒÚnh va‰n to·c tuye‰t Òo·i cu˚a thanh AB va¯ va‰n to·c tˆÙng Òo·i cu˚a no˘ so vÙ˘i cam. ? 24. Mo‰t cÙ ca·u bo·n kha‚u go‡m tay quay O1A = 10 cm quay quanh O1 vÙ˘i −1 va‰n to·c go˘c ω1 = 10πs , tay quay O2B = 30 cm quay quanh O2 va¯ thanh AB chuyeÂn Òo‰ng song pha˙ng. Cho O1O2 = 50 cm. Xa˘c ÒÚnh va‰n to·c go˘c thanh o AB, va‰n to·c ÒieÂm B va¯ va‰n to·c go˘c tay quay O 2B khi α = β = 60 .
Baøi taäp 24 Hình 7: Baøi taäp 23 Hình 8: Baøi taäp 24 —o‰ng lˆÔc hoÔc Baøi taäp veà baøi toaùn thuaän 25 (Baøi taäp 1.5, [1]). Moät caàu voøm coù baùn kính cong taïi ñænh A baèng R = 250 m. a) Haõy tìm aùp löïc cuûa xe coù khoái löôïng m = 200 kg, ñang chuyeån ñoäng vôùi vaän toác v = 40 km/h, taùc duïng leân caàu taïi A. b) Tính vaän to·c to·i Òa cu˚a xe ÒeÂ no˘ va„n co¯n ba˘m va¯o maÎt ca‡u. La·y 9 = 9, 81 m/s2. 26 (Ba¯i ta‰p 1.6, [1]). Hai va‰t kho·i lˆÙÔng m1 = 2 kg, m2 = 3 kg no·i vÙ˘i nhau baËng da‚y kho‚ng giaın, kho‚ng troÔng lˆÙÔng. Ke˘o va‰t m2 bÙ˚i lˆÔc 10 N theo phˆÙng tha˙ng Òˆ˘ng. Haıy tÌnh gia to·c ca˘c va‰t va¯ lˆÔc caÍng da‚y ÒaÎt le‚n m1,m2. 27. Hai va‰t gio·ng nhau kho·i lˆÙÔng mo„i kho·i la¯ M, ÒˆÙÔc no·i vÙ˘i nhau baËng da‚y ma˚nh kho‚ng giaın va¯ co˘ theÂ di chuyeÂn tre‚n maÎt pha˙ng nha˘m naËm ngang (hÏnh 9). Hai va‰t ÒˆÙÔc ke˘o vÙ˘i to·c Òo‰ kho‚ng ÒoÂi theo ÒˆÙ¯ng tha˙ng baËng sÙÔi da‚y buo‰c va¯o mo‰t va‰t. Cho bie·t sˆ˘c caÍng trong da‚y ke˘o la¯ T0, tÏm sˆ˘c caÍng trong da‚y no·i. Ne·u sˆ˘c caÍng trong da‚y no·i ba·t thÏnh lÏnh taÍng tÙ˘i 4T0, thÏ gia to·c tˆ˘c thÙ¯i cu˚a hai kho·i va¯ sˆ˘c caÍng tˆ˘c thÙ¯i trong da‚y no·i baËng bao nhie‚u? Baøi taäp veà phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng (baøi toaùn ngöôïc)
Baøi taäp 25 Hình 9: Baøi taäp 27 28 (Muïc 1.3.2 Chuyeån ñoäng thaúng, [1]). Xaùc ñònh chuyeån ñoäng thaúng cuûa cha·t ÒieÂm dˆÙ˘i ta˘c duÔng cu˚a lˆÔc: a) PhuÔ thuo‰c thÙ¯i gian F (t); b) PhuÔ thuo‰c vÚ trÌ F (x); c) PhuÔ thuo‰c va‰n to·c F (˙x). 29 (MuÔc 1.4.2 Dao Òo‰ng tha˙ng, [1]). Mo‰t va‰t kho·i lˆÙÔng m treo va¯o Òa‡u mo‰t lo¯ xo co˘ Òo‰ cˆ˘ng k. a) Xa˘c ÒÚnh chuyeÂn Òo‰ng cu˚a va‰t khi lo¯ xo ÒˆÙÔc ke˘o giaın mo‰t ÒoaÔn λ va¯ buo‚ng ra kho‚ng va‰n to·c Òa‡u. b) VÙ˘i Òie‡u kie‰n Òa‡u nhˆ ca‚u a), tÏm chuyeÂn Òo‰ng cu˚a va‰t trong trˆÙ¯ng hÙÔp va‰t chÚu lˆÔc ca˚n cu˚a mo‚i trˆÙ¯ng co˘ Òo‰ lÙ˘n tÊ le‰ vÙ˘i va‰n to·c µx˙. ChuyeÂn Òo‰ng cu˚a va‰t seı nhˆ the· na¯o ne·u va‰t co¯n chÚu the‚m lˆÔc kÌch Òo‰ng tua‡n hoa¯n Q(t)= Q0 sin pt. 30. Ma˘y bay boÂ nha¯o tha˙ng Òˆ˘ng ÒaÔt ÒˆÙÔc va‰n to·c 1000 km/h, sau Òo˘ ngˆÙ¯i la˘i Òˆa ma˘y bay ra kho˚i hˆÙ˘ng boÂ nha¯o va¯ vaÔch tha¯nh mo‰t cung tro¯n ba˘n kÌnh R = 600 m trong maÎt pha˙ng tha˙ng Òˆ˘ng. TroÔng lˆÙÔng ngˆÙ¯i la˘i la¯ 800 N. Ho˚i ngˆÙ¯i la˘i Òaı e˘p le‚n ghe· ngo‡i mo‰t lˆÔc cˆÔc ÒaÔi baËng bao nhie‚u. 31. ? Mo‰t qua˚ ca‡u kho·i lˆÙÔng m rÙi tha˙ng Òˆ˘ng trong mo‚i trˆÙ¯ng cha·t lo˚ng va¯ chÚu lˆÔc ca˚n tÊ le‰ vÙ˘i va‰n to·c, FC = kv, k la¯ he‰ so· ca˚n, gia to·c troÔng trˆÙ¯ng g. Xa˘c ÒÚnh va‰n to·c, phˆÙng trÏnh chuyeÂn Òo‰ng cu˚a qua˚ ca‡u. Gia˚ thie·t v(0) = 0,y(0) = 0. 32. ? Mo‰t va‰t naÎng P rÙi tˆÔ do kho‚ng va‰n to·c Òa‡u. Sˆ˘c ca˚n cu˚a kho‚ng khÌ le‰ vÙ˘i bÏnh phˆÙng va‰n to·c, R = k2Pv2 (k la¯ haËng so·). Xa˘c ÒÚnh va‰n to·c vu˚a va‰t taÔi thÙ¯i ÒieÂm t va¯ va‰n to·c giÙ˘i haÔn cu˚a no˘. 33. ? Mo‰t vie‚n ÒaÔn chuyeÂn Òo‰ng trong maÎt pha˙ng Oxy tˆ¯ go·c O vÙ˘i va‰n to·c Òa‡u V0 le‰ch so vÙ˘i phˆÙng ngang go˘c α. Gia˚ sˆ˚ bo˚ qua lˆÔc ca˚n kho‚ng khÌ. a) TÏm va‰n to·c, quyı ÒaÔo chuyeÂn Òo‰ng cu˚a vie‚n ÒaÔn. 2 2 b) Xa˘c ÒÚnh α ÒeÂ vie‚n ÒaÔn baÈn tru˘ng muÔc tie‚u M(v0/2g, V0 /4g). Baøi taäp veà caùc ñònh lyù toång quaùt
Baøi taäp 26 34. Chöùng toû raèng, neáu moät heä di chuyeån töø traïng thaùi nghæ ñe·n traÔng tha˘i kha˘c trong khoa˚ng thÙ¯i gian na¯o Òo˘, thÏ trung bÏnh cu˚a lˆÔc ngoa¯i toa¯n phaàn trong khoaûng thôøi gian naøy phaûi baèng khoâng. AÙp duïng: Moät ñoàng hoà caùt khoái löôïng m ñaët treân maët saøn coá ñònh. AÙp löïc do ñoàng hoà leân maët saøn laø soá ño troïng löôïng bieåu kie·n cu˚a Òoàng hoà. Caùt ôû traïng thaùi nghæ trong khoang treân, luùc t = 0, baét ñaàu chaûy xuoáng khoang döôùi. Caùt ñeán traïng thaùi nghæ ôû khoang döôùi sau khoaûng thôøi gian τ. Tìm trung bình theo thôøi gian troïng löôïng bieåu kie·n cu˚a Òoàng hoà trong khoaûng thôøi gian [0, τ]. Troïng löôïng bieåu kieán cuûa ñoàng hoà khoâng phaûi laø haèng soá! Haõy chöùng minh, khi caùt ñang chaûy, troïng löôïng bieåu kieán cuûa ñoàng hoà lôùn hôn troïng löôïng thöïc (troïng löôïng tónh). 35. ? Moät tia nöôùc chaûy töø moät voøi phun vôùi vaän toác v = 10 m/s vaø tröïc giao vôùi töôøng cöùng. Ñöôøng kính voøi d = 4 cm. Boû qua söï neùn ñöôïc cuûa nöôùc. Haõy xaùc ñònh aùp löïc cuûa tia nöôùc leân töôøng. Coi caùc phaàn töû nöôùc sau khi va chaïm coù vaän toác höôùng doïc theo töôøng. Hình 10: Baøi taäp 35 ? 36. Hai vaät A vaø B coù kho·i lˆÙÔng la‡n lˆÙÔt la¯ m1 va¯ m2 ÒˆÙÔc no·i vÙ˘i nhau bÙ˚i sÙÔi da‚y kho‚ng giaın kho‚ng troÔng lˆÙÔng vo¯ng qua ro¯ng roÔc. Va‰t A trˆÙÔt tre‚n maÎt KL va¯ va‰t B trˆÙÔt tre‚n maÎt EK cu˚a laÍng truÔ DEKL co˘ kho·i lˆÙÔng m3 va¯ naËm tre‚n maÎt nha¸n naèm ngang. Xaùc ñònh dòch chuyeån s cuûa laêng truï khi vaät A tröôït xuo·ng mo‰t ÒoaÔn l. Bie·t ban Òa‡u he‰ Òˆ˘ng ye‚n. 37. Mo‰t chie·c thuye‡n kho·i lˆÙÔng M Òˆ˘ng ye‚n tre‚n maÎt nˆÙ˘c ye‚n tÛnh va¯ mo‰t ngˆÙ¯i Òa¯n o‚ng kho·i lˆÙÔng m Ù˚ muıi thuye‡n. NgˆÙ¯i na¯y Òˆ˘ng da‰y Òi xuo·ng Òuo‚i thuye‡n ro‡i ngo‡i xuo·ng. Ne·u nˆÙ˘c ca˚n chuyeÂn Òo‰ng vÙ˘i lˆÔc tÊ le‰ vÙ˘i va‰n to·c cu˚a thuye‡n, chˆ˘ng to˚ raËng thuye‡n seı Òe·n va¯ dˆ¯ng Ù˚ vÚ trÌ ban Òa‡u cu˚a no˘. [Ke·t qua˚ na¯y Òo‰c la‰p vÙ˘i haËng so· ca˚n va¯ chi thie·t chuyeÂn Òo‰ng cu˚a ngˆÙ¯i.]
Baøi taäp 27 Hình 11: Baøi taäp 36 Hình 12: Baøi taäp 37 38. ? Moät ta·m tro¯n Òo‡ng cha·t naÎng Q ba˘n kÌnh r co˘ theÂ quay kho‚ng ma sa˘t quanh truÔc tha˙ng Òˆ˘ng Oz trˆÔc giao vÙ˘i maÎt pha˙ng ÒÛa. Mo‰t ngˆÙ¯i troÔng lˆÙÔng P Òi theo me˘p ta·m tro¯n vÙ˘i va‰n to·c tˆÙng Òo·i u kho‚ng ÒoÂi. Ban Òa‡u he‰ Òˆ˘ng ye‚n, ho˚i ta·m tro¯n quay quanh truÔc vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω baËng bao nhie‚u? HÏnh 13: Ba¯i ta‰p 38 39. ? TruÔc hÏnh truÔ troÔng lˆÙÔng P ba˘n kÌnh R quay ÒˆÙÔc xung quanh truÔc naËm ngang nhÙ¯ qua˚ ca‚n A co˘ troÔng lˆÙÔng Q treo va¯o sÙÔi da‚y qua·n quanh hÏnh truÔ (xem hÏnh 14). Bo˚ qua kho·i lˆÙÔng cu˚a da‚y va¯ ma sa˘t Ù˚ oÂ truÔc. Haıy xa˘c
Baøi taäp 28 ñònh gia to·c go˘c trong chuyeÂn Òo‰ng quay cu˚a hÏnh truÔ khi va‰t A co˘ chuyeÂn Òo‰ng tha˙ng Òˆ˘ng. HÏnh 14: Ba¯i ta‰p 39 ? 40. Hai va‰t A va¯ B naÎng P1 va¯ P2 ÒˆÙÔc no·i vÙ˘i nhau baËng sÙÔi da‚y me‡m kho‚ng giaın kho‚ng troÔng lˆÙÔng va¯ vaét qua roøng roïc O baùn kính r troïng löôïng Q. Cho P1 > P2, kho·i lˆÙÔng ro¯ng roÔc pha‚n bo· Òe‡u tre‚n va¯nh. Xa˘c ÒÚnh gia to·c va‰t A. HÏnh 15: Ba¯i ta‰p 40 41. ? Cho tay quay OA chie‡u da¯i r trong cÙ ca·u thanh truye‡n quay vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω0. Thanh truye‡n OB cuıng co˘ chie‡u da¯i r. Tay quay va¯ thanh truyeàn laø ñoàng chaát vaø coù kho·i lˆÙÔng rie‚ng la¯ ρ (tre‚n ÒÙn vÚ da¯i). TÌnh Òo‰ng naÍng cu˚a cÙ he‰. HÏnh 16: Ba¯i ta‰p 41
Baøi taäp 29 42. ? Moät daây khoâng giaõn, khoâng troïng löôïng ñöôïc qua·n va¯o Òa‡u ÒÛa tro¯n Òoàng cha·t kho·i lˆÙÔng m ba˘n kÌnh r, co¯n Òa‡u kia buo‰c va¯o ÒieÂm co· ÒÚnh A. Khi da‚y lÙi ra, hÏnh truÔÔ rÙi xuo·ng kho‚ng va‰n to·c Òa‡u. Xa˘c ÒÚnh va‰n to·c v cu˚a ta‚m ÒÛa tro¯n khi no˘ rÙi xuo·ng mo‰t ÒoaÔn h. Xa˘c ÒÚnh gia to·c ta‚m C va¯ sˆ˘c caÍng da‚y. HÏnh 17: Ba¯i ta‰p 42 43. Mo‰t hÏnh truÔ troÔng lˆÙÔng P1 co˘ cuo‰n xung quanh baËng mo‰t sÙÔi da‚y. Da‚y vaÈt qua ro¯ng roÔc co· ÒÚnh O ro‡i no·i vÙ˘i va‰t A naÎng P2. Va‰t A trˆÙÔt tre‚n maÎt pha˙ng naËm ngang co˘ he‰ so· ma sa˘t f. Bo˚ qua ma sa˘t Ù˚ oÂ truÔc O, tÏm gia to·c cu˚a va‰t A va¯ cu˚a ta‚m C hÏnh truÔ. HÏnh 18: Ba¯i ta‰p 43 Cô hoïc giaûi tích Baøi taäp veà phöông trình Lagrange 44. ? Mo‰t haÔt kho·i lˆÙÔng m di chuyeÂn dˆÙ˘i ta˘c duÔng cu˚a lˆÔc ha·p da„n do kho·i lˆÙÔng M co· ÒÚnh ÒaÎt taÔi go·c. La·y toÔa Òo‰ cˆÔc r, θ la¯m toÔa Òo‰ suy ro‰ng, vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaÔi hai cho chuyeÂn Òo‰ng cu˚a haÔt. TÏm mo‰t tÌch pha‚n Òa‡u va¯ gia˚i thÌch y˘ nghÛa cÙ hoÔc cu˚a no˘.
Baøi taäp 30 Hình 19: Baøi taäp 44 Hình 20: Baøi taäp 45 45. ? Moät haït P kho·i lˆÙÔng m trˆÙÔt tre‚n maÎt trong trÙn cu˚a hÏnh no˘n tro¯n xoay co˘ go˘c Ù˚ ÒÊnh baèng 2α. Truïc ño·i xˆ˘ng cu˚a hÏnh no˘n tha˙ng Òˆ˘ng qua ÒÊnh O hˆÙ˘ng xuo·ng. ChoÔn ca˘c toÔa Òo‰ suy ro‰ng: r, khoa˚ng ca˘ch OP , va¯ ϕ, go˘c phˆÙng vÚ Òo·i vÙ˘i maÎt pha˙ng co· ÒÚnh Òi qua truÔc hÏnh no˘n. Vie·t he‰ phˆÙng trÏnh Lagrange. Chˆ˘ng to˚ raËng ϕ la¯ toÔa Òo‰ cyclic va¯ tÏm mo‰t tÌch pha‚n Òa‡u. Gia˚i thÌch y˘ nghÛa cÙ hoÔc cu˚a tÌch pha‚n Òa‡u na¯y. 46. ? Xe˘t va‰t kho·i lˆÙÔng m trˆÙÔt tre‚n mo‰t maÎt be‚n trÙn nghie‚ng go˘c α cu˚a ne‚mÔ kho·i lˆÙÔng M, ne‚m na¯y laÔi trˆÙÔt tre‚n maÎt pha˙ng trÙn naËm ngang nhˆ hÏnh 21. Toa¯n bo‰ chuyeÂn Òo‰ng la¯ pha˙ng. Vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaÔi HÏnh 21: Ba¯i ta‰p 46 hai cho he‰ na¯y va¯ suy ra (i) gia to·c cu˚a ne‚m, va¯ (ii) gia to·c tˆÙng Òo·i cu˚a va‰t (Òo·i vÙ˘i ne‚m).
Baøi taäp 31 47. ? Hình 22 veõ moät hình truï taâm G baùn kính a laên khoâng tröôït treân maÎt trong cu˚a mo‰t maÎt truÔ co· ÒÚnh ta‚m O ba˘n kÌnh b>a. Vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaÔi hai, suy ra chu ky¯ dao Òo‰ng be˘ cu˚a hÏnh truÔ quanh vÚ trÌ ca‚n baËng. HÏnh 22: Ba¯i ta‰p 47 48. ? Cho he‰ nhˆ hÏnh 23. —ˆÙ¯ng ray trÙn va¯ lˆÔc cho trˆÙ˘c F (t) ta˘c Òo‰ng HÏnh 23: Ba¯i ta‰p 48 le‚n va‰t P2. Bo˚ qua troÔng lˆÔc. Vie·t he‰ phˆÙng trÏnh Lagrange loaÔi hai cho he‰. TrˆÙ¯ng hÙÔp tÌnh Òe·n troÔng lˆÔc thÏ sao? 49. TÏm quy lua‰t chuyeÂn Òo‰ng cu˚a vie‚n bi B chuyeÂn Òo‰ng doÔc trong o·ng OA Òang quay Òe‡u trong maÎt pha˙ng naËm ngang vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω. TaÔi thÙ¯i ÒieÂm ban Òa‡u vie‚n bi ca˘ch O mo‰t ÒoaÔn baËng A va¯ co˘ va‰n to·c doÔc theo o·ng baËng kho‚ng. HÏnh 24: Ba¯i ta‰p 49 50. Vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaÔi hai cho chuyeÂn Òo‰ng cu˚a con laÈc ke˘p pha˙ng (xem hÏnh 25). Gia˚ sˆ˚ kho·i lˆÙÔng cu˚a A va¯ B baËng nhau va¯ baËng m.
Baøi taäp 32 Hình 25: Baøi taäp 50 51. Vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaÔi hai cho chuyeÂn Òo‰ng cu˚a con laéc goàm cha·t ÒieÂm kho·i lˆÙÔng m treo tre‚n da‚y qua·n va¯o hÏnh truÔ co· ÒÚnh ba˘n kÌnh r (xem hÏnh 26). —o‰ da¯i cu˚a pha‡n da‚y buo‚ng thoıng taÔi vÚ trÌ ca‚n baËng la¯ l. Bo˚ qua kho·i lˆÙÔng cu˚a da‚y. HÏnh 26: Ba¯i ta‰p 51 52. Ca˘c Òa‡u mu˘t cu˚a thanh Òo‡ng cha·t AB, co˘ kho·i lˆÙÔng m, da¯i 2a trˆÙÔt kho‚ng ma sa˘t theo ca˘c thanh naËm ngang va¯ tha˙ng Òˆ˘ng cu˚a mo‰t khung quay quanh thanh tha˙ng Òˆ˘ng (xem hÏnh 27). Vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaÔi hai cho chuyeÂn Òo‰ng cu˚a thanh khi khung quay vÙ˘i va‰n to·c go˘c kho‚ng ÒoÂi ω. HÏnh 27: Ba¯i ta‰p 52
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p Trong Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p thÊnh thoa˚ng chu˘ng to‚i co˘ chua the‚m gia˚i thÌch, nha‰n xe˘t, hoaÎc bÏnh lua‰n. Ca˘c no‰i dung na¯y ÒˆÙÔc ÒaÎt trong da·u ngoaÎc vuo‚ng va¯ ÒˆÙÔc in nghie‚ng ÒeÂ pha‚n bie‰t. 14 Töø phöông trình vi phaân ta suy ra dr2 r˙ r = 2r r˙ = 0 r = R (const) (a) ⊥ ⇒ dt · ⇒ d(r c) r˙ c · = r˙ c = 0 r c = const (b) ⊥ ⇒ dt · ⇒ · Töø ñaúng thöùc (b) ta tha·y hÏnh chie·u cu˚a P le‚n truÔc Òi qua O co˘ vectÙ chÊ phˆÙng c la¯ ÒieÂm co· ÒÚnh, goÔi la¯ Q; hay no˘i ca˘ch kha˘c, P luo‚n luo‚n naËm tre‚n maÎt pha˙ng co· ÒÚnh Òi qua ÒieÂm Q va¯ nha‰n c la¯m pha˘p vectÙ. Cu¯ng vÙ˘i Òa˙ng thˆ˘c (a) ta ru˘t ra quyı ÒaÔo cu˚a P la¯ ÒˆÙ¯ng tro¯n. Ky˘ hie‰u v = r˙ la¯ va‰n to·c va¯ w = ¨r la¯ gia to·c. Ta co˘ [baËng ca˘ch la·y ÒaÔo ha¯m hai ve· phˆÙng trÏnh vi pha‚n] ¨r = r˙ c v w = 0. × ⇒ · Va‰y P chuyeÂn Òo‰ng vÙ˘i to·c Òo‰ kho‚ng ÒoÂi. 15 [Chu˘ y˘ Òe·n ca˘c mo·i lie‚n he‰ giˆıa ÒieÂm M (ca‡n kha˚o sa˘t) vÙ˘i ca˘c ÒieÂm ma¯ gia˚ thie·t cu˚a ba¯i toa˘n cho bie·t chuyeÂn Òo‰ng. Du¯ng toÔa Òo‰ descartes.] Ta co˘: - OA = (2a cos ωt, 2a sin ωt), - OB = (2xA, 0) = (4a cos ωt, 0). 33
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 34 Suy ra - 1 - - OM= (OA + OB)=(3a cos ωt,a sin ωt). 2 Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa M: x = 3a cos ωt y = a sin ωt Quyõ ñaïo (khöû t töø phöông trình chuyeån ñoäng): x2 y2 + = 1. 9a2 a2 Vaän to·c: x˙ = 3aω sin ωt, y˙ = aω cos ωt. − Gia to·c: x¨ = 3aω2 cos ωt, y¨ = aω2 sin ωt. − − —eÂ tÌnh gia to·c tie·p ta ca‡n tÌnh to·c Òo‰ (mo‚Òun vectÙ va‰n to·c) v = a ω 1 + 8 sin2 ωt. | | Gia to·c tie·p: p 4a ω ω sin 2ωt wt =v ˙ = | | . √1 + 8 sin2 ωt —eÂ tÌnh gia to·c pha˘p ta ca‡n Òe·n mo‚Òun vectÙ gia to·c: w = aω2√1 + 8 cos2 ωt. Gia to·c pha˘p: aω2 9 12 sin2 2ωt w = w2 w2 = . n t − 2 − √p1 + 8 sin ωt p
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 35 Chu˘ y˘, gia to·c pha˘p luo‚n luo‚n la¯ so· dˆÙng! 16 Chuyeån ñoäng cuûa taâm C laø chuyeån ñoäng thaúng ñeàu vaän to·c v0. Do ba˘nh xe laÍn kho‚ng trˆÙÔt ne‚n Rϕ = v0t (gia˚ thie·t lu˘c t = 0 ÒieÂm M naèm ôû go·c toÔa Òo‰ O). - - He‰ thˆ˘c lie‚n he‰ OM vÙ˘i OC - - - OM=OC + CM . Chie·u he‰ thˆ˘c vectÙ xuo·ng ca˘c truÔc toÔa Òo‰ 3π v0t x = xC + R cos 2 ϕ x = v0t R sin R − − v0t y = yC + R cos(π ϕ) ⇔ y = R R cos − − R Va‰n to·c: v t v t v t x˙ = v 1 cos 0 , y˙ = v sin 0 v = v 2 1 cos 0 . 0 − R 0 R ⇒ 0 − R s Gia to·c: v2 v t v2 v t v2 x¨ = 0 sin 0 , y¨ = 0 cos 0 w = 0 . R R R R ⇒ R —eÂ tÌnh ba˘n kÌnh cong ta ca‡n bie·t gia to·c tie·p, 2 v0t v0 sin R wt =v ˙ = , R 2 1 cos v0t − R q gia to·c pha˘p 2 2 2 v0 v0t wn = w wt = 2 1 cos . − 2Rs − R p
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 36 Suy ra v2 v t v t ρ = = 2R 2 1 cos 0 = 4R sin 0 . w − R 2R n s 20 Vaän to·c cu˚a (1): x˙ = 140t (cm/s). Do Òai chuye‡n, ba˘nh xe (2) chuyeÂn Òo‰ng quay vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω2 tho˚a −1 ω2r2 = 140t suy ra ω2 = 14t/3 (s ) [va‰n to·c cu˚a ÒieÂm tre‚n va¯nh ba˘nh xe (2) baËng va‰n to·c cu˚a va‰t (1)]. Ba˘nh xe (3) chuyeÂn Òo‰ng quay vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω3 tho˚a ω2R2 = ω3R3 −1 suy ra ω3 = R2ω2/R3 = 35t/9 (s ) [ba˘nh xe (3) va¯ ba˘nh xe (2) no·i vÙ˘i nhau baËng Òai chuye‡n. Du¯ng co‚ng thˆ˘c chuyeàn ñoäng]. —ieÂm M gaÈn vÙ˘i ba˘nh xe (3) chuyeÂn Òo‰ng quay quanh truÔc. Va‰n to·c cu˚a M la¯ v = ω3r3 = 1400t/9 (cm/s). Gia to·c go˘c cu˚a ba˘nh xe (3) la¯ 3 = 2 2 35/9 (1/s ) ne‚n gia to·c tie·p cu˚a M la¯ wt = 3r3 = 1400/9 (cm/s ) va¯ gia to·c 2 2 2 pha˘p cu˚a M la¯ wn = ω3r3 = 19000t /81 (cm/s ) [xem laïi caùc coâng thöùc lieân quan ñe·n chuyeÂn Òo‰ng cu˚a co· theÂ quanh mo‰t truÔc]. ThÙ¯i ÒieÂm (1) Òi ÒˆÙÔc s =40 (cm) la¯ t = 2/√7, thay va¯o ca˘c bieÂu thˆ˘c tre‚n ta ÒˆÙÔc ke·t qua˚ ca‡n tÏm. [Chu˘ y˘, ke·t qua˚ tÌnh va‰n to·c, gia to·c tie·p, gia to·c pha˘p cu˚a ÒieÂm M chÊ la¯ Òo‰ lÙ˘n. —eÂ xa˘c ÒÚnh hˆÙ˘ng cu˚a ca˘c vectÙ na¯y ta ca‡n xe˘t the‚m chie‡u quay cu˚a ca˘c ba˘nh xe lie‚n ke·t vÙ˘i nhau!] 21 ChuyeÂn Òo‰ng tˆÙng Òo·i cu˚a M Òo·i vÙ˘i hÏnh no˘n (he‰ toÔa Òo‰ Òo‰ng) la¯ chuyeÂn Òo‰ng tha˙ng Òe‡u ne‚n gia to·c tˆÙng Òo·i wr baËng kho‚ng. ChuyeÂn Òo‰ng theo la¯ chuyeÂn Òo‰ng tro¯n vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω -kho‚ng ÒoÂi ne‚n va‰n to·c theo cu˚a M la¯ ve = ~ω r, trong Òo˘ ~ω = ωk, r =OM. Gia to·c theo (du¯ng co‚ng thˆ˘c Gibbs): × dv w = e =(~ω r)~ω ω2r. e dt · − —eÂ y˘ raËng ~ω r = ωr cos α ne‚n · − w = ω2r cos αk ω2rr , e − − 0 trong Òo˘ r0 la¯ vectÙ ÒÙn vÚ cu˚a r. Ne·u pha‚n tÌch vectÙ r0 tha¯nh r = cos αk + sin αu 0 −
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 37 vôùi u laø vectô ñôn vò tröïc giao vôùi k (truïc z) vaø naèm trong maët phaúng (AOM), thì w = ω2r sin αu. e − Gia toác Coriolis cuûa M: w = 2~ω v = 2ωv sin αv, c × r r trong ñoù v laø vectô ñôn vò cuûa vectô k v r, vectô naøy vuoâng goùc vôùi maÎt pha˙ng (AOM). × AŸp duÔng co‚ng thˆ˘c co‰ng gia to·c, w = ω2r sin αu + 2ωv sin αv, a − r gia to·c na¯y naËm trong maÎt pha˙ng vuo‚ng go˘c vÙ˘i OA. TaÔi thÙ¯i ÒieÂm t, r = vrt + a, w = ω2(v t + a) sin αu + 2ωv sin αv. a − r r 23 He‰ toÔa Òo‰ co· ÒÚnh Oxy gaÈn vÙ˘i ne‡n. He‰ toÔa Òo‰ Òo‰ng Cs gaén vôùi maët nghieâng cuûa neâm. Hình 28 veõ hai vò trí cuûa neâm, trong ñoù hình veõ khoâng Hình 28: Hai vò trí tröôùc vaø sau cuûa neâm (baøi taäp 23). lieàn neùt öùng vôùi vò trí ban ñaàu cuûa neâm. Thanh AB chuyeån ñoäng tònh tieán, vaän toác cuûa thanh ñöôïc cho bôûi vaän to·c cu˚a A. —ieÂm A0 la¯ vÚ trÌ ban Òa‡u cu˚a A (trong he‰ co· ÒÚnh). Ta co˘: HA = ∆x, ∆yA = HA tan α = ∆x tan α, suy ra va‰n to·c tuye‰t Òo·i cu˚a thanh AB: va(A)= v tan α, hˆÙ˘ng tha˙ng Òˆ˘ng le‚n tre‚n. Ke·t qua˚ nha‰n ÒˆÙÔc baËng ca˘ch chia hai ve· cho ∆t, ro‡i qua giÙ˘i haÔn, ∆t 0. → —ieÂm A00 la¯ vÚ trÌ ban Òa‡u cu˚a A tre‚n ne‚m. Ta co˘: A0A00 = ∆s cos α, 0 00 A A = HA = ∆x, suy ra va‰n to·c tˆÙng Òo·i cu˚a A: vr(A) = v/cosα, hˆÙ˘ng ngˆÙÔc chie‡u vÙ˘i s. Du¯ng dˆı lie‰u so·: o o va(A) = 30 tan 30 = 10√3 (cm/s), vr(A) = 30/ cos 30 20√3 (cm/s).
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 38 Ta co˘ theÂ gia˚i baèng coâng thöùc hôïp vaän to·c. TrˆÙ˘c he·t, ÒeÂ y˘ raËng va‰n to·c cu˚a ne‚m v la¯ va‰n to·c theo cu˚a A, ve(A)= v. TÌnh va‰n to·c tˆÙng Òo·i cu˚a A, vr(A) (nhˆ tre‚n) ro‡i du¯ng co‚ng thˆ˘c hÙÔp va‰n to·c tÌnh va‰n to·c tuye‰t Òo·i cu˚a A, va(A). 24 Goïi I, ωAB laàn löôït laø taâm quay töùc thôøi, vaän to·c go˘c tˆ˘c thÙ¯i cu˚a thanh o AB. —ieÂm I chÌnh la¯ giao ÒieÂm cu˚a O1A va¯ O2B. ‘¤ vÚ trÌ α = β = 60 tam gia˘c O1IO2 la¯ tam gia˘c Òe‡u, suy ra: IA = O1I O1A = 40 (cm), IB = O I O B =20(cm). Tˆ¯ co‚ng thˆ˘c va‰n to·c cu˚a chuyeÂn− Òo‰ng quay cu˚a thanh 2 − 2 O1A va¯ thanh AB ta co˘ 10 10π = 40ω ω = 2, 5π (1/s). × AB ⇒ AB —ieÂm B chuyeÂn Òo‰ng vÙ˘i va‰n to·c V = 20 2, 5π = 50π (cm/s). B × Va‰n to·c go˘c cu˚a thanh O2B sinh vie‚n tˆÔ la¯m. 31 Qua˚ ca‡u chÚu ta˘c duÔng cu˚a: troÔng lˆÔc P = mg, lˆÔc ca˚n cu˚a mo‚i trˆÙ¯ng F = kv (bo˚ qua lˆÔc ÒaÂy Archime¯de). —Únh lua‰t thˆ˘ hai cho C − mw = P + FC. ChoÔn he‰ truÔc Òo‰ Oy tha˙ng Òˆ˘ng hˆÙ˘ng le‚n. Chie·u he‰ thˆ˘c vectÙ le‚n truÔc Oy, ta ÒˆÙÔc: k my¨ = mg ky˙ y¨ + y˙ = g. (a) − − ⇒ m − Gia˚i phˆÙng trÏnh vi pha‚n (a) - ca˘ch 1. Ta˘ch bie·n (xem y˙ la¯ aÂn ha¯m), dy˙ k = dt, m y˙ + g − tÌch pha‚n hai ve· m k ln y˙ + g = t + C. (b) k m − m Du¯ng Òie‡u kie‰n Òa‡u y˙(0) = 0, ta ÒˆÙÔc C = k ln g; thay va¯o (b), sau mo‰t so· bie·n ÒoÂi, ta thu ÒˆÙÔc va‰n to·c cu˚a qua˚ ca‡u: mg kt y˙ = exp 1 . (c) k −m −
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 39 —eÂ y˘ raèng khi t + , y˙ mg (vaän to·c giÙ˘i haÔn). Va‰n to·c giÙ˘i haÔn na¯y → ∞ →− k cuıng co˘ theÂ tÏm tˆ¯ phˆÙng trÏnh P + FC = 0. TÌch pha‚n (c) va¯ du¯ng Òie‡u kie‰n Òa‡u y(0) = 0 ta ÒˆÙÔc phˆÙng trÏnh chuyeÂn Òo‰ng (lua‰t chuyeÂn Òo‰ng): m2g kt mgt y = 1 exp . k2 − −m − k Ca˘ch 2. PhˆÙng trÏnh (a) la¯ phˆÙng trÏnh vi pha‚n tuye·n tÌnh ca·p hai kho‚ng thua‡n nha·t. Nghie‰m toÂng qua˘t cu˚a phˆÙng trÏnh thua‡n nha·t kt y = C + C exp . 1 2 −m TÏm nghie‰m phˆÙng trÏnh kho‚ng thua‡n nha·t dˆÙ˘i daÔng kt y = C (t)+ C (t)exp . 1 2 −m 0 0 C1(t),C2(t) tho˚a he‰ 0 kt 0 C1(t)+exp m C2(t) = 0 k exp − kt C0 (t) = g − m − m 2 − 0 0 Gia˚i ra C1(t),C2(t), ro‡i tÌch pha‚n theo t, cuo·i cu¯ng ta ÒˆÙÔc kt m2g mgt y = C exp + + C , 2 −m k2 − k 1 trong Òo˘ C1,C2 la¯ ca˘c haËng so· tÌch pha‚n phuÔ thuo‰c Òie‡u kie‰n Òa‡u. Pha‡n co¯n laÔi sinh vie‚n tˆÔ la¯m. 33 a) LˆÔc ta˘c duÔng le‚n vie‚n ÒaÔn la¯ troÔng lˆÔc P. PhˆÙng trÏnh vi pha‚n chuyeÂn Òo‰ng (ÒÚnh lua‰t thˆ˘ hai cu˚a Newton) mw = P.
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 40 Chie·u xuo·ng ca˘c truÔc toÔa Òo‰: x¨ = 0 y¨ = g − TÌch pha‚n he‰ phˆÙng trÏnh tre‚n, ta ÒˆÙÔc va‰n to·c cu˚a vie‚n ÒaÔn (du¯ng Òie‡u kie‰n Òa‡u, va‰n to·c): x˙ = V0 cos α y˙ = gt + V sin α − 0 TÌch pha‚n la‡n nˆıa (du¯ng Òie‡u kie‰n Òa‡u, vÚ trÌ) ta ÒˆÙÔc phˆÙng trÏnh chuyeÂn Òo‰ng cu˚a vie‚n ÒaÔn: x = V0t cos α y = 1gt2 + V t sin α − 2 0 Khˆ˚ t trong hai phˆÙng trÏnh tre‚n ta ÒˆÙÔc phˆÙng trÏnh quyı ÒaÔo cu˚a vie‚n ÒaÔn: g 2 y = 2 2 x + x tan α. −2V0 cos α b) —eÂ vie‚n ÒaÔn baÈn tru˘ng ÒieÂm M ta pha˚i co˘ V 2 1 V 2 V 2 1 3 0 = (1 + tan2 α) 0 + 0 tan α tan2 α 2 tan α + = 0. 4g −2 4g 2g ⇔ 2 − 2 Nghie‰m: tan α = 1, tan α = 3. 35 CÙ he‰: kho·i nˆÙ˘c, ban Òa‡u ÒˆÙÔc giÙ˘i haÔn bÙ˚i a b, sau khoa˚ng thÙ¯i gian 0 0 − ∆t giÙ˘i haÔn bÙ˚i a b (hÏnh 10). − LˆÔc ngoa¯i ta˘c duÔng: troÔng lˆÔc P, pha˚n lˆÔc R cu˚a tˆÙ¯ng ta˘c duÔng le‚n kho·i nˆÙ˘c. ChoÔn truÔc x naËm ngang va¯ a˘p duÔng ÒÚnh ly˘ bie·n thie‚n Òo‰ng lˆÙÔng theo phˆÙng x. P P = R∆t. (a) 2x − 1x −
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 41 Kho·i nˆÙ˘c ban Òa‡u va¯ kho·i nˆÙ˘c lu˘c sau co˘ pha‡n chung (2). Ne·u gia˚ thie·t chuyeÂn Òo‰ng cu˚a kho·i nˆÙ˘c la¯ dˆ¯ng thÏ P P = P (1) = mv, (b) 2x − 1x − 1x − (1) trong Òo˘ P1x la¯ Òo‰ng lˆÙÔng lu˘c Òa‡u cu˚a pha‡n (1) co¯n m la¯ kho·i lˆÙÔng cu˚a no˘. Ke·t qua˚ na¯y nha‰n ÒˆÙÔc la¯ do ca˘c pha‡n (3) co˘ va‰n to·c vuo‚ng go˘c vÙ˘i truÔc x. Thay (b) va¯o (a) ta suy ra mv R = . (c) ∆t Ne·u nˆÙ˘c co˘ ma‰t Òo‰ kho·i la¯ ρ thÏ kho·i lˆÙÔng cu˚a pha‡n (1) la¯ πd2 m = ρ v∆t 4 va¯ nhˆ va‰y (ρ = 1), πd2v2 R = ρ = 125, 6 N. 4 36 He‰ quy chie·u: truÔc Ox naËm ngang co˘ chie‡u tˆ¯ tra˘i qua pha˚i. CÙ he‰: go‡m A, B, sÙÔi da‚y va¯ laÍng truÔ. Chu˘ y˘, Ù˚ Òa‚y ta kho‚ng keÂ da‚y va¯ ro¯ng roÔc vÏ chu˘ng kho‚ng co˘ kho·i lˆÙÔng ne‚n chÊ co˘ ta˘c duÔng ra¯ng buo‰c (lie‚n ke·t) ca˘c va‰t trong he‰ (xem hÏnh 11). LˆÔc ngoa¯i ta˘c duÔng: ca˘c troÔng lˆÔc P, PA, PB, va¯ pha˚n lˆÔc N cu˚a maÎt sa¯n ta˘c duÔng le‚n laÍng truÔ. —eÂ a˘p duÔng ÒÚnh ly˘ bie·n thie‚n Òo‰ng lˆÙÔng tre‚n phˆÙng Ox, trˆÙ˘c he·t, ta tÏm lie‚n he‰ giˆıa ca˘c tha¯nh pha‡n va‰n to·c theo phˆÙng x cu˚a A, B va¯ laÍng truÔ. Ne·u goÔi v la¯ va‰n to·c cu˚a laÍng truÔ Òo·i vÙ˘i O, v 0 la¯ tha¯nh pha‡n va‰n to·c theo phˆÙng x cu˚a B Òo·i vÙ˘i laÍng truÔ. ThÏ tha¯nh pha‡n va‰n to·c theo phˆÙng x cu˚a A Òo·i vÙ˘i laÍng truÔ (va‰n to·c tˆÙng Òo·i) seı la¯ v 0 cos α (do da‚y kho‚ng giaın). Tˆ¯ co‚ng thˆ˘c co‰ng va‰n to·c, ta co˘ tha¯nh pha‡n va‰n to·c theo phˆÙng x cu˚a A, B Òo·i vÙ˘i O (va‰n to·c tuye‰t Òo·i) la‡n lˆÙÔt la¯ v 0 cos α + v, v0 + v. Do ban Òa‡u he‰ Òˆ˘ng ye‚n ne‚n Òo‰ng lˆÙÔng baËng kho‚ng, P1x = 0. —o‰ng lˆÙÔng lu˘c sau (khi A Òaı trˆÙÔt xuo·ng mo‰t khoa˚ng l doÔc theo caÔnh KL cu˚a laÍng
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 42 truï): 0 0 0 P2x = m1(v cos α+v)+m2(v +v)+mv =(m1 cos α+m2)v +(m1 +m2 +m)v. Vì daây khoâng troïng löôïng neân moâmen ñoäng löôïng cuûa noù baèng khoâng. Nhö vaäy, theo ñònh lyù bieán thieân ñoäng löôïng treân phöông Ox, 0 0 (m1 cos α + m2)v (m1 cos α + m2)v +(m1 + m2 + m)v = 0 v = . ⇒ − m1 + m2 + m Ve· pha˚i cu˚a phˆÙng trÏnh tre‚n baèng khoâng do ta·t ca˚ ca˘c lˆÔc ngoa¯i Òeàu tröïc giao vôùi Ox. La·y tÌch pha‚n hai ve· tˆ¯ 0 Òe·n thÙ¯i ÒieÂm Òang xe˘t, ta ÒˆÙÔc: (m cos α + m )l s = 1 2 . − m1 + m2 + m Da·u trˆ¯ trong phˆÙng trÏnh chÊ thÚ laÍng truÔ di chuyeÂn ngˆÙÔc hˆÙ˘ng di chuyeÂn cu˚a B. 38 CÙ he‰: ta·m tro¯n va¯ ngˆÙ¯i. LˆÔc ngoa¯i ta˘c duÔng: P, Q la¯ troÔng lˆÔc cu˚a ngˆÙ¯i va¯ ta·m tro¯n, RA, RB pha˚n lˆÔc lie‚n ke·t taÔi ca˘c oÂ truÔc (xem hÏnh 13). (e) Ta co˘ mz(Fk ) = 0 ne‚n mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a he‰ ÒˆÙÔc ba˚o toa¯n theo phˆÙng z. VÏ ban Òa‡u he‰ Òˆ˘ng ye‚n ne‚n Lz = 0 taÔi moÔi thÙ¯i ÒieÂm. P TaÔi thÙ¯i ÒieÂm ba·t ky¯, gia˚ ÒÚnh va‰n to·c cu˚a ngˆÙ¯i va¯ vectÙ va‰n to·c go˘c cu˚a ta·m tro¯n nhˆ hÏnh veı. Lu˘c Òo˘ va‰n to·c tuye‰t Òo·i cu˚a ngˆÙ¯i v = rω + u. Mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a he‰ Òo·i vÙ˘i truÔc z: P r2 P L = J ω + r(rω + u) = (Q + 2P )ω + ru, z z g 2g g ta·m tro¯n ngˆÙ¯i |{z} | {z } trong Òo˘ ta Òaı du¯ng co‚ng thˆ˘c tÌnh mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a ta·m tro¯n Òo·i vÙ˘i 2 truÔc z, Jz = Qr /2g. Tˆ¯ Lz = 0 ta suy ra 2Pu ω = . −r(Q + 2P )
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 43 Chuù yù, da·u trˆ¯ trong bieÂu thˆ˘c ω chˆ˘ng to˚ va‰n to·c go˘c co˘ chie‡u ngˆÙÔc vÙ˘i chie‡u gia˚ thie·t. 39 Xem hÏnh 14. ‘¤ Òa‚y, vÏ ly˘ do tie·t kie‰m, chu˘ng to‚i kho‚ng veı hÏnh laÔi cuıng nhˆ kho‚ng the‚m nhˆıng chi tie·t boÂ sung trong qua˘ trÏnh gia˚i, cha˙ng haÔn nhˆ sÙ Òo‡ ca˘c lˆÔc ngoa¯i ta˘c duÔng le‚n he‰, he‰ toÔa Òo‰ ÒˆÙÔc du¯ng. Nhˆng trong khi trÏnh ba¯y lÙ¯i gia˚i ca˘c baÔn ne‚n veı ra ÒeÂ lÙ¯i gia˚i ÒˆÙÔc roı ra¯ng hÙn. CÙ he‰: hÏnh truÔ, sÙÔi da‚y va¯ qua˚ ca‚n A. LˆÔc ngoa¯i: troÔng lˆÔc P va¯ pha˚n lˆÔc N ta˘c duÔng le‚n hÏnh truÔ, troÔng lˆÔc Q ta˘c duÔng le‚n qua˚ ca‚n A. He‰ toÔa Òo‰: Go·c O "taâm" cuûa hình tru, truïc Ox höôùng xuoáng döôùi, truïc Oy naèm ngang höôùng töø phaûi qua traùi, vaø nhö vaäy truïc Oz vuoâng goùc vaø höôùng vaøo trong maët phaúng hình veõ. ChoÔn he‰ toÔa Òo‰ nhˆ the· na¯y thÏ hÏnh truÔ seı quay theo chie‡u thua‰n (ngˆÙÔc chie‡u kim Òo‡ng ho‡).ï Moâmen ñoäng löôïng cuûa heä ñoái vôùi truïc z: Q R2ω(P + Q) L = J ω + v R = . z z g A g hình truï quaû caân A |{z} | {z } 2 ÔÛ ñaây ta ñaõ duøng coâng thöùc tính moâmen quaùn tính cuûa hình truï Jz = P R /g, vaø lieân heä giöõa vaän to·c qua˚ ca‚n A vÙ˘i va‰n to·c go˘c cu˚a hÏnh truÔ, vA = ωR (do da‚y kho‚ng giaın). VÏ da‚y kho‚ng troÔng lˆÙÔng ne‚n mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a no˘ baèng khoâng. Moâmen cuûa löïc ngoaøi ño·i vÙ˘i truÔc z (hai lˆÔc P, N co˘ ÒˆÙ¯ng ta˘c duÔng caÎt truÔc z ne‚n mo‚men cu˚a chu˘ng baèng khoâng): Mz(Q)= RQ. AÙp duïng ñònh lyù bie·n thie‚n mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng (daÔng vi pha‚n) ta ÒˆÙÔc: R2(P + Q) = RQ. g Suy ra gia to·c go˘c cu˚a hÏnh truÔ: gQ = . R(P + Q)
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 44 40 Cô heä: roøng roïc, sôïi daây vaø hai vaät A, B. Löïc ngoaøi taùc duïng: P1, P2, Q vaø phaûn löïc R (hình 15). Heä toïa ñoä: Oxyz vôùi Ox naèm ngang höôùng töø traùi qua phaûi, Oy thaúng ñöùng höôùng leân vaø Oz vuoâng goùc vôùi maët phaúng hình veõ höôùng ra ngoaøi (trang giaáy). —eÂ y˘ raèng, ne·u va‰t A (B) co˘ va‰n to·c v thÏ ro¯ng roÔc co˘ ω = v/r. Mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a he‰ Òo·i vÙ˘i truÔc z vuo‚ng go˘c vÙ˘i maÎt pha˙ng hÏnh veı P P rv(Q + P + P ) L = J ω + 1 vr + 2 vr = 1 2 . z z g g g ro¯ng roÔc va‰t A va‰t B |{z} | {z } | {z } 2 ‘¤ Òa‚y ta Òaı du¯ng co‚ng thˆ˘c Jz = Qr /2 tÌnh mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a ro¯ng roÔc. VÏ da‚y kho‚ng troÔng lˆÙÔng ne‚n mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a no˘ baËng kho‚ng. AŸp duÔng ÒÚnh ly˘ bie·n thie‚n mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng Òo·i vÙ˘i truÔc z, ta co˘ r(Q + P + P ) L˙ =(P P )r 1 2 w =(P P )r (w =v ˙), z 1 − 2 ⇔ g 1 − 2 suy ra (P P )g w = 1 − 2 . Q + P1 + P2 41 Thanh OA thˆÔc hie‰n chuyeÂn Òo‰ng quay quanh O vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω0 ne‚n Òo‰ng naÍng baËng 1 1 J ω2 = ρr3ω2. 2 1 0 6 0 1 2 ‘¤ Òa‚y, ta Òaı du¯ng co‚ng thˆ˘c J1 = 3 Mr vÙ˘i M = ρr. Thanh AB chuyeÂn Òo‰ng song pha˙ng. ChuyeÂn Òo‰ng tˆ˘c thÙ¯i cu˚a no˘ la¯ chuyeÂn Òo‰ng quay quanh ta‚m quay tˆ˘c thÙ¯i I (hÏnh veı) vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω1. Ta tha·y A la¯ trung ÒieÂm caÔnh huye‡n cu˚a tam gia˘c vuo‚ng ∆OBI vuo‚ng taÔi B, ne‚n IA = OA = r. VÏ v(A)= OAω0 = rω0 (trong chuyeÂn Òo‰ng cu˚a thanh OA), v(A) = IAω1 = rω1 (trong chuyeÂn Òo‰ng cu˚a thanh AB) ne‚n ω1 = ω0. —eÂ tÌnh Òo‰ng naÍng cu˚a thanh AB ta ca‡n tÌnh mo‚men qua˘n tÌnh J2 cu˚a no˘
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 45 ño·i vÙ˘i truÔc Òi qua I. TrˆÙ˘c he·t, xa˘c ÒÚnh IJ vÙ˘i J la¯ kho·i ta‚m (trung ÒieÂm) cu˚a AB. AŸp duÔng co‚ng thˆ˘c co‚sin cho tam gia˘c ∆IAJ, ta co˘: 5 IJ 2 = IA2 + AJ 2 2AI AJ cos ∠IAJ = r2 cos 2ϕ . − · 4 − Do Òo˘ theo co‚ng thˆ˘c Huygens 1 5 4 J = ρr3 + ρr3 cos 2ϕ = ρr3 cos 2ϕ . 2 12 4 − 3 − —o‰ng naÍng cu˚a thanh AB baËng 1 4 ρr3 cos 2ϕ ω2. 2 3 − 0 To˘m laÔi, Òo‰ng naÍng cu˚a he‰ baËng 1 1 4 5 1 ρr3ω2 + ρr3 cos 2ϕ ω2 = ρr3 cos 2ϕ ω2. 6 0 2 3 − 0 6 − 2 0 42 CÙ he‰: ÒÛa va¯ da‚y. LˆÔc ngoa¯i ta˘c duÔng: P troÔng lˆÔc ÒaÎt le‚n ÒÛa. He‰ toÔa Òo‰ ÒˆÙÔc choÔn co˘ go·c ÒaÎt taÔi A, Ax tha˙ng Òˆ˘ng hˆÙ˘ng xuo·ng dˆÙ˘i, Ay naËm ngang hˆÙ˘ng tˆ¯ tra˘i qua pha˚i, Az vuo‚ng go˘c vÙ˘i maÎt pha˙ng hÏnh veı (Òa‡u ba¯i) hˆÙ˘ng tˆ¯ ngoa¯i va¯o trong (trang gia·p). VÙ˘i ca˘ch choÔn he‰ toÔa Òo‰ na¯y thÏ ÒÛa quay theo chie‡u thua‰n. 0 0 0 —eÂ tÌnh mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a- he‰ ta du¯ng he‰ toÔa Òo‰ K¨onig Cx y z (hÏnh tÚnh tie·n cu˚a Axyz theo vectÙ AC). —eÂ y˘ raËng, ÒÛa thˆÔc hie‰n chuyeÂn Òo‰ng song pha˙ng, do da‚y kho‚ng giaın, co˘ chuyeÂn Òo‰ng tˆ˘c thÙ¯i la¯ chuyeÂn Òo‰ng quay quanh truÔc Òi qua îÒieÂm tie·p xu˘cî cu˚a dÛa vÙ˘i truÔc Ax vÙ˘i va‰n to·c go˘c ω, vC = rω. Ne·u xe˘t chuyeÂn Òo‰ng cu˚a ÒieÂm na¯y Òo·i vÙ˘i he‰ K¨onig (xem nhˆ Òˆ˘ng ye‚n), thÏ no˘ chuyeÂn Òo‰ng quay quanh C vÙ˘i cu¯ng va‰n to·c go˘c. Nhˆ va‰y, 3 L = mrv + J ω = mr2ω, z C C 2
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 46 trong ñoù JC laø moâmen quaùn tính cuûa ñóa ño·i vÙ˘i truÔc Òi qua C va¯ cu¯ng hˆÙ˘ng 2 vÙ˘i Az. ‘¤ Òa‚y ta Òaı du¯ng co‚ng thˆ˘c JC = mr /2. VÏ da‚y kho‚ng troÔng lˆÙÔng ne‚n mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a no˘ baËng kho‚ng. Mo‚men cu˚a lˆÔc ngoa¯i (ÒaÎt taÔi C): mgr. AŸp duÔng ÒÚnh ly˘ bie·n thie‚n mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng: 3 2g mr2ω˙ = mgr =ω ˙ = . 2 ⇒ 3r VÏ C chuyeÂn Òo‰ng tha˙ng Òˆ˘ng ne‚n gia to·c cu˚a C: wC =v ˙C = 2g/3. —eÂ tÏm lˆÔc caÍng ta xe˘t he‰ chÊ go‡m ÒÛa. Khi Òo˘, lˆÔc ngoa¯i ta˘c duÔng le‚n he‰ go‡m P va¯ lˆÔc caÍng da‚y T. AŸp duÔng ÒÚnh ly˘ chuyeÂn Òo‰ng kho·i ta‚m, ta co˘: 2mg mg mw = mg T T = mg = . C − ⇒ − 3 3 Ca˘ch gia˚i kha˘c Pha‡n Òa‡u cu˚a ba¯i ta‰p na¯y co˘ theÂ gia˚i baËng ca˘ch du¯ng ÒÚnh ly˘ bie·n thie‚n Òo‰ng naÍng. ‘¤ Òa‚y ta cuıng du¯ng he‰ toÔa Òo‰ K¨onig khi tÌnh Òo‰ng naÍng. —o‰ng naÍng cu˚a he‰: 1 1 3 T = mv2 + J ω2 = mr2ω2. 2 C 2 C 4 Co‚ng sua·t cu˚a lˆÔc ngoa¯i: W = mgvC = mgrω. AŸp duÔng ÒÚnh ly˘ bie·n thie‚n Òo‰ng naÍng: 3 2g mr2ωω˙ = mgrω =ω ˙ = . 2 ⇒ 3r 44 He‰ la¯ haÔt chÊ chuyeÂn Òo‰ng trong maÎt pha˙ng qua go·c ne‚n co˘ 2 ba‰c tˆÔ do [ChuyeÂn Òo‰ng cu˚a haÔt dˆÙ˘c ta˘c duÔng cu˚a lˆÔc xuye‚n ta‚m la¯ chuyeÂn Òo‰ng pha˙ng. —a‚y la¯ ra¯ng buo‰c cu˚a haÔt]. ToÔa Òo‰ suy ro‰ng (du¯ng toÔa Òo‰ cˆÔc co˘ go·c ÒaÎt taÔi go·c).
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 47 —o‰ng naÍng cu˚a haÔt la¯ (xem hÏnh 19) 1 T = m(˙r2 + r2θ˙2). 2 The· naÍng cu˚a haÔt (Òo·i vÙ˘i vo‚ cu¯ng) la¯ GMm V = . − r Ha¯m Lagrange L = T V : − 1 GMm L = m(˙r2 + r2θ˙2)+ . 2 r TÌnh ca˘c ÒaÔo ha¯m ro‡i thay va¯o he‰ phˆÙng trÏnh Lagrange, ta ÒˆÙÔc: MG mr¨ m rθ˙2 = 0, − − r2 d m(2rr˙θ˙ + r2θ¨) = 0 (r2θ˙) = 0. ⇒ dt TÌch pha‚n Òa‡u: r2θ˙ =const. Chu˘ y˘, ta co˘ theÂ nha‰n ra chuyeÂn Òo‰ng co˘ mo‰t tÌch pha‚n Òa‡u tˆ¯ nha‰n xe˘t ∂L/∂θ (ha¯m Lagrange kho‚ng phuÔ thuo‰c θ, nghÛa la¯ θ la¯ toÔa Òo‰ cyclic). TÌch pha‚n Òa‡u na¯y chÌnh la¯ mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a haÔt mr2θ˙ ÒˆÙÔc ba˚o toa¯n. 45 He‰ la¯ haÔt. VÏ vectÙ ba˘n kÌnh cu˚a haÔt: r = rer, trong Òo˘ er = (sin α cos ϕ, sin α sin ϕ, cos α), ne‚n he‰ co˘ 2 ba‰c tˆÔ do. ToÔa Òo‰ suy ro‰ng: r, θ. Va‰n to·c cu˚a haÔt: r˙ =r ˙er + re˙ r. —eÂ y˘ raËng, e˙ =ϕ ˙ sin α( sin ϕ, cos ϕ, 0)=ϕ ˙ sin αe . r − ϕ
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 48 Nhö vaäy, ñoäng naêng cuûa haït: 1 T = m(˙r2 + r2ϕ˙ 2 sin2 α). 2 The· naÍng cu˚a haÔt (Òo·i vÙ˘i O): V = mgr cos α. Ha¯m Lagrange: 1 L = T V = m(˙r2 + r2ϕ˙2 sin2 α) mgr cos α. − 2 − He‰ phˆÙng trÏnh Lagrange (sv ne‚n tÌnh toa˘n tˆÙ¯ng minh) r¨ rϕ˙2 sin2 α + g cos α = 0, − 2rr˙ϕ˙ + r2ϕ¨ = 0 (sin α> 0). Do ha¯m Lagrange kho‚ng phuÔ thuo‰c ϕ ne‚n ϕ la¯ toÔa Òo‰ cyclic. TÌch pha‚n Òa‡u: r2varphi˙ = const. Sv tˆÔ gia˚i thÌch y˘ nghÛa va‰t ly˘. 46 He‰ hai ba‰c tˆÔ do. ChoÔn toÔa Òo‰ suy ro‰ng: x, chuyeÂn dÚch cu˚a ne‚m Òo·i vÙ˘i ÒieÂm co· ÒÚnh tre‚n sa¯n; y, chuyeÂn dÚch cu˚a va‰t Òo·i vÙ˘i ÒieÂm co· ÒÚnh tre‚n ne‚m. —o‰ng naÍng va¯ the· naÍng cu˚a he‰: 1 1 T = Mx˙ 2 + m(˙x2 +y ˙2 +2˙xy˙ cos α), 2 2 V = mgy sin α. − Ha¯m Lagrange: 1 1 L = T V = Mx˙ 2 + m(˙x2 +y ˙2 +2˙xy˙ cos α)+ mgy sin α. − 2 2 TÌnh ca˘c ÒaÔo ha¯m ∂L ∂L d ∂L = 0, =(M + m)˙x +(m cos α)˙y, =(M + m)¨x +(m cos α)¨y; ∂x ∂x˙ dt ∂x˙ ∂L ∂L d ∂L = mg sin α, = my˙ +(m cos α)˙x, = my¨ +(m cos α)¨x. ∂y ∂y˙ dt ∂y˙
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 49 Heä phöông trình Lagrange loaïi hai: (M + m)¨x +(m cos α)¨y = 0, my¨ +(m cos α)¨x mg sin α = 0. − Giaûi ra ta ñöôïc mg sin α cos α (M + m)g sin α x¨ = , y¨ = . − M + m sin2 α − M + m sin2 α 47 Ne·u kho‚ng co˘ Òie‡u kie‰n "laên khoâng tröôït" thì heä hai baäc töï do vôùi caùc toïa ñoä suy roäng: θ, goùc giöõa OG vaø truïc thaúng ñöùng höôùng xuoáng; ϕ, goùc quay cuûa hình truï (ñoái vôùi vò trí tham chieáu naøo ñoù). Ñieàu kieän laên khoâng tröôït cho (b a)θ˙ = aϕ˙ (b a)θ = aϕ. (a) − ⇒ − ÔÛ ñaây ta ñaõ choïn vò trí tham chie·u thÌch hÙÔp ÒeÂ cho ϕ = 0 khi θ = 0. Va‰y he‰ mo‰t ba‰c tˆÔ do. ChoÔn toÔa Òo‰ suy ro‰ng la¯ θ. —o‰ng naÍng cu˚a he‰: 1 1 T = m((b a)θ˙)2 + Jϕ˙ 2 2 − 2 3 = m(b a)2θ˙2 4 − trong Òo˘ ta Òaı du¯ng phˆÙng trÏnh lie‚n ke·t (a) va¯ co‚ng thˆ˘c tÌnh mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a hÏnh truÔ J = ma2/2. The· naÍng: V = mg(b a) cos θ. − − Ha¯m Lagrange 3 L = T V = m(b a)2θ˙2 + mg(b a) cos θ. − 4 − − TÌnh ca˘c ÒaÔo ha¯m: ∂L ∂L 3 d ∂L 3 = mg(b a) sin θ, = m(b a)2θ,˙ = m(b a)2θ.¨ ∂θ − − ∂θ˙ 2 − dt ∂θ˙ 2 −
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 50 Phöông trình Lagrange loaïi hai: 3 2g m(b a)2θ¨ + mg(b a) sin θ = 0 θ¨ + sin θ = 0. 2 − − ⇒ 3(b a) − (chuù yù, phöông trình naøy truøng vôùi phöông trình chính xaùc cho dao ñoäng con laéc ñôn coù chieàu daøi l = 3(b a)/2). − Vôùi giaû thieát dao ñoäng beù ta xa·p xÊ sin θ θ trong phˆÙng trÏnh Lagrange, ta ÒˆÙÔc ≈ 2g θ¨ + θ = 0. 3(b a) − Chu ky¯ cu˚a dao Òo‰ng theo co‚ng thˆ˘c cu˚a con laéc ñôn l 3(b a) 2π = 2π − . sg s 2g 48 Heä hai baäc töï do. Choïn caùc toïa ñoä suy roäng: x, θ nhö treân hình 23. —ieÂm ÒaÎc bie‰t Ù˚ thÌ duÔ na¯y la¯ lˆÔc F ta˘c duÔng le‚n P2 ÒˆÙÔc cho phuÔ thuo‰c thÙ¯i gian (kho‚ng ba˚o toa¯n) ne‚n ta caàn tính caùc löïc suy roäng! Chuyeån dòch aûo cuûa P2 theo phöông ngang: δx + a cos θδθ. neân coâng phaân to· cu˚a lˆÔc chu˚ Òo‰ng (chÊ co˘ lˆÔc F ) la¯ F (t)(δx + a cos θδθ)= Qxδx + Qθδθ, suy ra Qx = F (t), Qθ =(a cos θ)F (t). —o‰ng naÍng cu˚a he‰: 1 1 T = mx˙ 2 + m[(˙x + a cos θθ˙)2 +(a sin θθ˙)2] 2 2 1 = mx˙ 2 +(ma cos θ)˙xθ˙ + ma2θ˙2. 2
Lôøi giaûi moät so· ba¯i ta‰p 51 Heä phöông trình Lagrange loaïi hai: d [2mx˙ +(ma cos θ)θ˙] = F (t), dt d [(ma cos θ)˙x + ma2θ˙] [ (ma sin θ)˙xθ˙] = (a cos θ)F (t). dt − −
Phuï luïc A —e‡ thi ma„u Ca‚u 1 (2ñ) Moät con ong bay treân moät quyõ ñaïo theo luaät chuyeån ñoäng cho trong toïa ñoä cöïc laø bt t r = (2τ t), ϕ = (0 t 2τ), τ 2 − τ ≤ ≤ trong ñoù b vaø τ laø nhöõng haèng soá döông. Chöùng toû raèng toác ñoä nhoû nha·t cu˚a con ong la¯ b/τ. TÏm gia to·c cu˚a con ong taÔi thÙ¯i ÒieÂm na¯y. Ca‚u 2 (2Ò) Mo‰t cha·t ÒieÂm P kho·i lˆÙÔng m chuyeÂn Òo‰ng dˆÙ˘i lˆÔc ha·p da„n HÏnh 1: Ca‚u 2 cu˚a va‰t co˘ kho·i lˆÙÔng M ÒaÎt taÔi O. Ban Òa‡u P Ù˚ ca˘ch O khoa˚ng ca˘ch a, ÒˆÙÔc baÈn ra xa O vÙ˘i to·c Òo‰ (2MG/a)1/2. TÏm khoa˚ng ca˘ch tˆ¯ P Òe·n O taÔi thÙ¯i ÒieÂm t. Chˆ˘ng to˚ P chuyeÂn Òo‰ng ra vo‚ cu¯ng. ‘¤ Òa‚y G la¯ haËng so· ha·p da„n. Ca‚u 3 (1Ò) Cho ÒÛa tro¯n Òo‡ng cha·t ba˘n kÌnh a, kho·i lˆÙÔng M. —eÂ thay ÒoÂi mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a ÒÛa ngˆÙ¯i ta gaÈn the‚m va¯o ÒÛa kho·i lˆÙÔng m ca˘ch ta‚m khoa˚ng ca˘ch a/2. TÌnh mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a he‰ Òo·i vÙ˘i truÔc Òi qua ta‚m va¯ 52
PHUÏ LUÏC A. —E¿ THI MA√U 53 Hình 2: Caâu 3 vuoâng goùc vôùi ñóa. Ne·u kho‚ng the‚m va¯ kho·i lˆÙÔng m thÏ truÔc pha˚i dÙ¯i song song Òe·n ÒieÂm na¯o tre‚n ÒÛa ÒeÂ mo‚men qua˘n tÌnh va„n baËng nhˆ trˆÙ¯ng hÙÔp trˆÙ˘c? Caâu 4 (2.5Ò) Mo‰t ÒÛa tro¯n kho·i lˆÙÔng M ba˘n kÌnh a co˘ theÂ quay kho‚ng ma HÏnh 3: Ca‚u 4 sa˘t quanh truÔc naËm ngang Òi qua ta‚m cu˚a no˘. Mo‰t con boÔ kho·i lˆÙÔng m chaÔy vÙ˘i va‰n to·c kho‚ng ÒoÂi u quanh me˘p ÒÛa. Ban Òa‡u ÒÛa ÒˆÙÔc giˆı Ù˚ traÔng tha˘i nghÊ va¯ ÒˆÙÔc tha˚ ra khi con boÔ Ù˚ vÚ trÌ tha·p nha·t. TÌnh mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a he‰ (go‡m ÒÛa va¯ con boÔ) Òo·i vÙ˘i truÔc quay. Vie·t phˆÙng trÏnh bie·n thie‚n Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a he‰. Chˆ˘ng to˚ raËng 4mg u2 ϕ˙ 2 = (cos ϕ 1) + . a(M + 2m) − a2 trong Òo˘ ϕ la¯ go˘c xa˘c ÒÚnh vÚ trÌ con boÔ so vÙ˘i phˆÙng tha˙ng Òˆ˘ng hˆÙ˘ng xuo·ng. Caâu 5 (2.5Ò) Mo‰t o·ng truÔ ba˘n kÌnh a, trong lˆÙÔng P1 co˘ cuo·n xung quanh baËng mo‰t sÙÔi da‚y. Da‚y vaÈt qua ro¯ng roÔc co· ÒÚnh O ro‡i no·i vÙ˘i va‰t naÎng A troÔng lˆÙÔng P2. Va‰t A trˆÙÔt tre‚n maÎt pha˙ng ngang co˘ he‰ so· ma sa˘t f. Bo˚ qua ma sa˘t Ù˚ oÂ truÔc O. Vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaÔi hai cho he‰. TÏm gia to·c cu˚a A va¯ ta‚m C cu˚a o·ng truÔ. Chuù thích —e‡ thi go‡m 5 ca‚u ÒˆÙÔc ca·u tru˘c nhˆ sau: Ca‚u 1 - —o‰ng hoÔc ÒieÂm; kieÂm tra kie·n thˆ˘c va¯ kyı naÍng tÌnh toa˘n ca˘c
PHUÏ LUÏC A. —E¿ THI MA√U 54 Hình 4: Caâu 5 khaùi nieäm ñoäng hoïc cô baûn: phöông trình (luaät) chuyeån ñoäng, quyõ ñaïo, vaän to·c, gia to·c, gia to·c tie·p, gia to·c pha˘p, ba˘n kÌnh cong. Ca‚u 2 - —o‰ng lˆÔc hoÔc ÒieÂm; kieÂm tra kha˚ naÍng thie·t la‰p phˆÙng trÏnh vi pha‚n chuyeÂn Òo‰ng va¯ kyı naÍng gia˚i phˆÙng trÏnh vi pha‚n. Ca‚u 3 - KieÂm tra kie·n thˆ˘c ve‡ kho·i ta‚m, mo‚men qua˘n tÌnh. Ca‚u 4 - KieÂm tra kyı naÍng va‰n duÔng mo‰t trong ba ÒÚnh lua‰t toÂng qua˘t (Òo‰ng lˆÙÔng, mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng va¯ Òo‰ng naÍng). Ca‚u 5 - CÙ hoÔc gia˚i tÌch; kieÂm tra kyı naÍng pha‚n tÌch lie‚n ke·t, thie·t la‰p phˆÙng trÏnh Lagrange loaÔi hai. —a˘p a˘n Ca‚u 1 Va‰n to·c cu˚a con ong taÔi thÙ¯i ÒieÂm t: 2b bt v = (τ t), v = (2τ t). r τ 2 − ϕ τ 3 − To·c Òo‰ cu˚a con ong taÔi thÙ¯i ÒieÂm t: b 2 1 2 2 v = 2 4(τ t) + 2 (2τt t ) , τ r − τ − b2 v2 = f(t). τ 4 2 1 2 2 ‘¤ Òa‚y ta Òaı ÒaÎt f(t)=4(τ t) + 2 (2τt t ) . —eÂ tÏm to·c Òo‰ nho˚ nha·t cu˚a − τ −
PHUÏ LUÏC A. —E¿ THI MA√U 55 ong ta khaûo saùt haøm f(t). 2 f 0(t) = 8(τ t)+ (2τt t2)(2τ 2t) − − τ 2 − − 4 = (τ t)(t2 2τt + 2τ 2) −τ 2 − − Xeùt da·u f 0(t) trong khoa˚ng [0, 2τ] co˘ theÂ tha·y f(t) nho˚ nha·t (va¯ nhˆ va‰y va‰n to·c nho˚ nha·t) khi t = τ. Va‰n to·c nho˚ nha·t baËng b/τ. Gia to·c cu˚a con ong taÔi thÙ¯i ÒieÂm t: 2b bt 4b w = (2τ t), w = (τ t). r −τ 2 − τ 4 − ϕ τ 3 − Lu˘c t = τ, 3b 3b w = , w = 0 w = . r −τ 2 ϕ ⇒ τ 2 Caâu 2 ChoÔn he‰ toÔa Òo‰ nhˆ hÏnh veı. LˆÔc ta˘c duÔng: lˆÔc ha·p da„n co˘ Òo‰ lÙ˘n F = GMm/x2 va¯ hˆÙ˘ng ve‡ O. PhˆÙng trÏnh vi pha‚n chuyeÂn Òo‰ng GMm GM mx¨ = x¨ = . − x2 ⇒ − x2 Ky˘ hie‰u v =x ˙ x¨ =v ˙. Nha‚n va¯o hai ve· phˆÙng trÏnh vÙ˘i vdt = dx, ta ÒˆÙÔc ⇒ 1 GMdx d(v2)= . 2 − x2 TÌch pha‚n hai ve· tˆ¯ thÙ¯i ÒieÂm Òa‡u Òe·n thÙ¯i ÒieÂm t: 1 1 v(t)2 v(0)2 = 2GM . − x(t) − x(0)
PHUÏ LUÏC A. —E¿ THI MA√U 56 Duøng ñieàu kieän ñaàu, v(0)2 = 2MG/a, x(0) = a, ta suy ra 2GM v(t)= . s x(t) Nhaân vaøo hai veá vôùi dt, ta ñöôïc 2GM dx = dt x1/2dx = √2GMdt. r x ⇒ Tích phaân hai ve·, ta ÒˆÙÔc 3 3 2/3 x(t)3/2 x(0)3/2 = √2GM t x(t)= a3/2 + √2GMt . − 2 ⇒ 2 —a‚y chÌnh la¯ khoa˚ng ca˘ch tˆ¯ O Òe·n P taÔi thÙ¯i ÒieÂm t. Cho t , x(t) , nghÛa la¯ P chuyeÂn Òo‰ng ra vo‚ cu¯ng. →∞ →∞ Caâu 3 Mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a he‰ co˘ tÌnh cha·t co‰ng tÌnh. GoÔi ∆ la¯ truÔc Òi qua ta‚m (kho·i ta‚m cu˚a ÒÛa), ta co˘ 1 a 2 a2(2M + m) J = Ma2 + m = . 2 2 4 GoÔi ∆0 la¯ truÔc ca‡n tÏm va¯ d la¯ khoa˚ng ca˘ch giˆıa hai truÔc. Theo ÒÚnh ly˘ Huygens, 2 1 2 2 J 0 = J + Md = Ma + Md . ∆ ∆ 2 —eÂ mo‚men qua˘n tÌnh va„n baËng nhˆ trˆÙ¯ng hÙÔp trˆÙ˘c, ta pha˚i co˘ 1 a2(2M + m) a m Ma2 + Md2 = d = . 2 4 ⇒ 2 M r
PHUÏ LUÏC A. —E¿ THI MA√U 57 Vaäy truïc ∆0 phaûi choïn ñi qua ñieåm caùch taâm ñóa khoaûng caùch d xaùc ñònh nhö treân. Caâu 4 Goïi θ laø goùc quay cuûa ñóa (chieàu choïn nhö hình veõ). —Ûa thˆÔc hie‰n chuyeÂn Òo‰ng quay ne‚n mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng Òo·i vÙ˘i truÔc quay la¯ 1 L = Jθ˙ = Ma2θ.˙ Ò 2 ChuyeÂn Òo‰ng cu˚a con boÔ go‡m: chuyeÂn Òo‰ng tˆÙng Òo·i - chuyeÂn Òo‰ng tro¯n vÙ˘i va‰n to·c da¯i kho‚ng ÒoÂi u; chuyeÂn Òo‰ng theo la¯ chuyeÂn Òo‰ng quay quanh truÔc cu¯ng vÙ˘i ÒÛa. Va‰n to·c tuye‰t Òo·i cu˚a con boÔ: u + aθ.˙ − (chu˘ y˘ kyı ca˘ch choÔn chie‡u quay dˆÙng). Mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a con boÔ: L = ma(u aθ˙). b − − Mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a he‰ Òo·i vÙ˘i truÔc quay: 1 2 L = LÒ + L = Ma θ˙ ma(u aθ˙). b 2 − − LˆÔc ta˘c duÔng le‚n he‰: troÔng lˆÔc cu˚a ÒÛa va¯ cu˚a con boÔ. LˆÔc ta˘c duÔng le‚n ÒÛa quy ve‡ lˆÔc ÒaÎt taÔi ÒieÂm ma¯ truÔc quay Òi qua ne‚n mo‚men cu˚a lˆÔc baËng kho‚ng. Mo‚men cu˚a lˆÔc ta˘c duÔng le‚n he‰ cuıng la¯ mo‚men cu˚a lˆÔc ta˘c duÔng le‚n con boÔ: MO = mga sin ϕ (chu˘ y˘ kyı ca˘ch choÔn chie‡u quay dˆÙng). ‘¤ Òa‚y ϕ la¯ go˘c xa˘c ÒÚnh vÚ trÌ con boÔ Òo·i vÙ˘i phˆÙng tha˙ng Òˆ˘ng hˆÙ˘ng xuo·ng. AŸp duÔng ÒÚnh ly˘ bie·n thie‚n mo‚men Òo‰ng lˆÙÔng cu˚a he‰, d 1 Ma2θ˙ ma(u aθ˙) = mga sin ϕ dt 2 − − (M + 2m)a2θ¨ = mga sin ϕ. 2
PHUÏ LUÏC A. —E¿ THI MA√U 58 —eÂ y˘ raèng goùc chuyeån ñoäng cuûa con boï taïi thôøi ñieåm t so vôùi vò trí ban ñaàu baèng θ + ϕ. Con boï chuyeån ñoäng ñeàu neân a(θ + ϕ)= ut, suy ra θ˙ =(u/a) ϕ˙, − ϕ¨ = θ¨. Thay vaøo phöông trình bieán thieân moâmen ñoäng löôïng ta ñöôïc sau moät soá− bie·n ÒoÂi: 2mg ϕ¨ = sin ϕ. −a(M + 2m) Nha‚n hai ve· vÙ˘i ϕdt˙ = dϕ, ta ÒˆÙÔc: 1 2mg d(˙ϕ)2 = sin ϕdϕ. 2 −a(M + 2m) TÌch pha‚n hai ve· tˆ¯ thÙ¯i ÒieÂm Òa‡u Òe·n thÙ¯i ÒieÂm t: 1 2mg [˙ϕ(t)2 ϕ˙(0)2]= [cos(ϕ(t)) cos(ϕ(0))]. 2 − a(M + 2m) − Du¯ng Òie‡u kie‰n Òa‡u, ϕ(0) = 0, ϕ˙(0) = u/a, ta suy ra: 4mg u2 ϕ˙ 2 = (cos ϕ 1) + . a(M + 2m) − a2 Caâu 5 He‰: o·ng truÔ ta‚m C va¯ va‰t naÍng A Va‰t A thˆÔc hie‰n chuyeÂn Òo‰ng tÚnh tie·n theo phˆÙng ngang. HÏnh truÔ thˆÔc hie‰n chuyeÂn Òo‰ng song pha˙ng, bao go‡m: tÚnh tie·n theo phˆÙng tha˙ng Òˆ˘ng (cu¯ng vÙ˘i A) va¯ quay (tˆ˘c thÙ¯i) quanh B. He‰ co˘ 2 ba‰c tˆÔ do. ToÔa Òo‰ suy ro‰ng: x - vÚ trÌ A theo phˆÙng ngang, ϕ go˘c quay cu˚a o·ng truÔ. Ca˘c lˆÔc chu˚ Òo‰ng: troÔng lˆÔc P1, lˆÔc ma sa˘t Fms = fP2, troÔng lˆÔc P2. —o‰ng naÍng cu˚a A: P T = 2 x˙ 2. A 2g —eÂ tÌnh Òo‰ng naÍng o·ng truÔ, du¯ng co‚ng thˆ˘c tÌnh Òo‰ng naÍng theo kho·i ta‚m C, trˆÙ˘c he·t ta tÌnh va‰n to·c cu˚a C baËng co‚ng thˆ˘c Euler (ÒieÂm cˆÔc la¯ B - ta‚m
PHUÏ LUÏC A. —E¿ THI MA√U 59 quay töùc thôøi) v =x ˙ +aϕ˙ w =x ¨ + aϕ.¨ C ⇒ C vB |{z} —o‰ng naÍng o·ng truÔ (J = Ma2) P 1 P P T = 1 (˙x + aϕ˙)2 + Jϕ˙ 2 = 1 (˙x2 + 2ax˙ϕ˙ + a2ϕ˙ 2)+ 1 a2ϕ˙ 2. C 2g 2 2g 2g —o‰ng naÍng cu˚a he‰: P + P P a P a2 T = T + T = 1 2 x˙ 2 + 1 x˙ϕ˙ + 1 ϕ˙ 2. A C 2g g g Co‚ng cu˚a ca˘c lˆÔc chu˚ Òo‰ng (giu˘p tÏm ca˘c lˆÔc suy ro‰ng): fP δx + P δx + P aδϕ Q = fP + P , Q = P a. − 2 1 1 ⇒ x − 2 1 ϕ 1 TÌnh ca˘c ÒaÔo ha¯m ro‡i thay va¯o phˆÙng trÏnh Lagrange, ta ÒˆÙÔc: P + P P a 1 2 x¨ + 1 ϕ¨ = fP + P , g g − 2 1 P a 2P a2 1 x¨ + 1 ϕ¨ = P a. g g 1 Gia˚i ra ta ÒˆÙÔc g(P 2fP ) x¨ = 1 − 2 (gia to·c cu˚a A), P1 + 2P2 gP2(1+2f) g(P1 + P2) ϕ¨ = wC = (gia to·c cu˚a C). a(P1 + 2P2) ⇒ P1 + 2P2
Phuï luïc B —e‡ thi mo‚n CÙ hoÔc ly˘ thuye·t Thôøi gian: 120 phuùt Ngaøy thi: 4/6/2009 (Sinh vieân ñöôïc pheùp tham khaûo taøi lieäu chæ ñònh) Ca‚u 1 (2ñ) —ieÂm chuyeÂn Òo‰ng tre‚n ÒˆÙ¯ng cycloid, x = a(θ sin θ), y = a(1 cos θ), − − theo lua‰t θ = bt/a, trong Òo˘ a va¯ b la¯ nhˆıng haèng so· dˆÙng. ‘¤ thÙ¯i ÒieÂm ba·t ky¯, xa˘c ÒÚnh va‰n to·c, gia to·c cu˚a ÒieÂm va¯ ba˘n cong cu˚a quyı ÒaÔo taÔi vÚ trÌ cu˚a ÒieÂm. Ca‚u 2 (2.5Ò) Mo‰t va‰t kho·i lˆÙÔng m trˆÙÔt kho‚ng ma sa˘t tre‚n maÎt pha˙ng nghie‚ng mo‰t go˘c α (0 <α<π/2) so vÙ˘i phˆÙng ngang. Cho bie·t va‰t chÚu sˆ˘c ca˚n kho‚ng khÌ co˘ Òo‰ lÙ˘n tÊ le‰ vÙ˘i bÏnh phˆÙng va‰n to·c, kv2. Ban Òa‡u va‰t Ù˚ ÒÊnh do·c O va¯ ÒˆÙÔc buo‚ng ra kho‚ng va‰n to·c Òa‡u. Vie·t phˆÙng trÏnh vi pha‚n chuyeÂn Òo‰ng cu˚a va‰t. Chˆ˘ng minh va‰n to·c cu˚a va‰t bie·n thie‚n theo quy lua‰t mg sin α v = (1 e−2kx/m), r k − trong Òo˘ x la¯ khoa˚ng ca˘ch tˆ¯ va‰t Òe·n ÒÊnh do·c. TÏm va‰n to·c giÙ˘i haÔn cu˚a va‰t. Ca‚u 3 (1Ò) Mo‰t qua˚ laÈc Òo‡ng ho‡ go‡m: thanh Òo‡ng cha·t chie‡u da¯i 2a, kho·i lˆÙÔng m va¯ ÒÛa tro¯n Òo‡ng cha·t ba˘n kÌnh a/2, kho·i lˆÙÔng M gaÈn vÙ˘i nhau nhˆ hÏnh 1. TÌnh mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a qua˚ laÈc Òo·i vÙ˘i truÔc Òi qua O (ÒieÂm giˆıa cu˚a thanh), cho bie·t OC = 3a/4. 60
PHUÏ LUÏC B. —E¿ THI MO¬N C‘ HOœC LYŸ THUYE¡T 61 Hình 1: a) Caâu 3; b) Caâu 5. Caâu 4 (2ñ) Moät vaät kho·i lˆÙÔng 4m Ù˚ traÔng tha˘i nghÊ (Òˆ˘ng ye‚n) khi no˘ bÚ noÂ tung tha¯nh ba ma˚nh co˘ kho·i lˆÙÔng la‡n lˆÙÔt la¯ 2m, m va¯ m. Sau khi noÂ tung, hai ma˚nh kho·i lˆÙÔng m ÒˆÙÔc quan sa˘t tha·y chuyeÂn Òo‰ng vÙ˘i cu¯ng to·c Òo‰ u theo hai hˆÙ˘ng hÙÔp vÙ˘i nhau go˘c 120o. TÏm va‰n to·c cu˚a ma˚nh co˘ kho·i lˆÙÔng 2m. TÌnh Òo‰ng naÍng toa¯n pha‡n cu˚a he‰ (go‡m ba ma˚nh). VÚ trÌ ban Òa‡u cu˚a va‰t la¯ ÒieÂm gÏ cu˚a he‰? Caâu 5 (2.5Ò) Con laÍn A laÍn kho‚ng trˆÙÔt tre‚n maÎt pha˙ng nghie‚ng mo‰t go˘c α so vÙ˘i phˆÙng ngang, la¯m va‰t C troÔng lˆÙÔng P ÒˆÙÔc na‚ng le‚n nhÙ¯ mo‰t sÙÔi da‚y vaÈt qua ro¯ng roÔc B. Con laÍn A va¯ ro¯ng roÔc B la¯ hai ÒÛa tro¯n Òo‡ng cha·t co˘ cu¯ng troÔng lˆÙÔng Q va¯ ba˘n kÌnh R. Bo˚ qua ma sa˘t laÍn va¯ ma sa˘t cu˚a truÔc ro¯ng roÔc. Vie·t phˆÙng trÏnh Lagrange loaÔi hai cho he‰. Chˆ˘ng minh gia to·c cu˚a C baËng (Q sin α P )g w = − . C 2Q + P Haıy chÊ ra Òie‡u kie‰n tre‚n ca˘c dˆı kie‰n cu˚a Òa‡u ba¯i (kho‚ng ÒˆÙÔc cho mo‰t ca˘ch tˆÙ¯ng minh). —a˘p a˘n Ca‚u 1 Va‰n to·c: x˙ = b(1 cos θ), y˙ = b sin θ v = b 2(1 cos θ). − ⇒ − p Gia to·c: b2 b2 b2 x¨ = sin θ, y¨ = cos θ w = . a a ⇒ a
PHUÏ LUÏC B. —E¿ THI MO¬N C‘ HOœC LYŸ THUYE¡T 62 Tính baùn kính cong. Gia to·c tie·p: b2 sin θ wt =v ˙ = . a 2(1 cos θ) − p Gia to·c pha˘p: 2 2 2 b 1 cos θ wn = w wt = − . − a r 2 p Suy ra v2 ρ = = 2a 2(1 cos θ). wn − p Caâu 2 HÏnh 1: Ca‚u 2. He‰ quy chie·u ÒˆÙÔc choÔn nhˆ hÏnh veı, truÔc Ox hˆÙ˘ng song song vÙ˘i maÎt nghie‚ng. LˆÔc ta˘c duÔng le‚n va‰t: troÔng lˆÔc P, pha˚n lˆÔc N va¯ lˆÔc ca˚n kho‚ng khÌ Fc. Chie·u phˆÙng trÏnh vi pha‚n chuyeÂn Òo‰ng (ÒÚnh lua‰t thˆ˘ hai cu˚a Newton) le‚n truÔc x, ta ÒˆÙÔc: mx¨ = mg sin α kx˙ 2. − Nha‚n va¯o hai ve· vÙ˘i xdt˙ = dx, ta ÒˆÙÔc: m d(v2)=(mg sin α kv2)dx, 2 − trong Òo˘ v =x ˙. Ta˘ch bie·n, md(v2) = dx, 2(mg sin α kv2) −
PHUÏ LUÏC B. —E¿ THI MO¬N C‘ HOœC LYŸ THUYE¡T 63 roài tích phaân hai ve· (chu˘ y˘, bie·n la·y tÌch pha‚n be‚n ve· tra˘i la¯ v2), ta ÒˆÙÔc: m v2 ln mg sin α kv2 = x x(0). −2k | − | v2(0) − Du¯ng Òie‡u kie‰n Òa‡u, v(0) = 0,x(0) = 0, mg sin α kv2 2kx ln − = , mg sin α − m suy ra mg sin α v = (1 e−2kx/m). r k − Qua giÙ˘i haÔn, t , ta thu ÒˆÙÔc (do x ): →∞ →∞ mg sin α mg sin α v = lim (1 e−2kx/m)= . gh →∞ x r k − r k Caâu 3 Mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a thanh Òo·i vÙ˘i truÔc Òi qua O: 1 4ma2 J = m(2a)2 = . t 3 3 Mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a ÒÛa Òo·i vÙ˘i truÔc Òi qua O (du¯ng co‚ng thˆ˘c Huygens): 1 a 2 3a 2 11Ma2 J = M + M = . Ò 2 2 4 16 Va‰y, mo‚men qua˘n tÌnh cu˚a qua˚ laÈc Òo·i vÙ˘i truÔc qua O: 4m 11M 2 J = J + JÒ = + a . t 3 16
PHUÏ LUÏC B. —E¿ THI MO¬N C‘ HOœC LYŸ THUYE¡T 64 Hình 2: Caâu 4. Caâu 4 Heä goàm ba vaät coù kho·i lˆÙÔng laàn löôït laø m, m, 2m (ban ñaàu chuùng keát dính vôùi nhau). Theo giaû thie·t ban Òa‡u chu˘ng Òˆ˘ng ye‚n, Òieàu ñoù coù nghóa laø löïc taùc duïng leân chuùng baèng khoâng! Ta aùp duïng ñònh lyù baûo toaøn ñoäng löôïng. Goïi v laø ñoä lôùn vaän toác cuûa vaät 2m. Do ñoäng löôïng ban ñaàu cuûa heä baèng khoâng neân ñoäng löôïng cuûa heä luùc sau cuõng vaäy. Do ñoù vaän toác cuûa vaät 2m coù phöông chieàu nhö hình veõ, vaø ñoä lôùn ñöôïc tính nhôø söï baûo toaøn ñoäng löôïng u mu cos 60o + mu cos 60o 2mv = 0 v = . − ⇒ 2 Ñoäng naêng cuûa heä: mu2 mu2 2m u 2 5mu2 T = + + = . 2 2 2 2 4 Vò trí ban ñaàu cuûa vaät (O) laø khoái taâm cuûa heä. Caâu 5 Cô heä goàm: con laên A, roøng roïc B, vaät C. Löïc chuû ñoäng taùc duïng leân heä: troïng löïc Q, phaûn löïc NA, troïng löïc Q, phaûn löïc NB, troïng löïc P (xem hình veõ). Lieân keát: Con laên A chuyeån ñoäng song phaúng. Chuyeån dòch tònh tieán s vaø quay quanh taâm goùc ϕ. Do laên tröôït neân δs = Rδϕ (s˙ = Rϕ˙). Roøng roïc B thöïc hieän chuyeån ñoäng quay goùc ϕ (choïn go·c thÌch hÙÔp). Va‰t C dÚch chuyeÂn tÚnh tie·n x. Do da‚y kho‚ng giaın δx = δs (x˙ =s ˙). Nhˆ va‰y, he‰ co˘ 1 ba‰c tˆÔ do, choÔn toÔa Òo‰ suy ro‰ng la¯ x (toÔa Òo‰ va‰t C).
PHUÏ LUÏC B. —E¿ THI MO¬N C‘ HOœC LYŸ THUYE¡T 65 Hình 3: Caâu 5. —o‰ng naÍng cu˚a con laÍn A: Q QR2 3Q T = s˙2 + ϕ˙ 2 = x˙ 2. A 2g 4g 4g —o‰ng naÍng cu˚a ro¯ng roÔc B: QR2 Q T = ϕ˙ 2 = x˙ 2. B 4g 4g —o‰ng naÍng cu˚a va‰t C: P T = x˙ 2. C 2g —o‰ng naÍng cu˚a he‰: P + 2Q T = T + T + T = x˙ 2. A B C 2g Co‚ng toa¯n pha‡n do lˆÔc chu˚ Òo‰ng ta˘c duÔng le‚n he‰: δW = Q sin αδs Pδx =(Q sin α P )δx. − − Do Òo˘, lˆÔc suy ro‰ng Q = Q sin α P . x −
PHUÏ LUÏC B. —E¿ THI MO¬N C‘ HOœC LYŸ THUYE¡T 66 Tính caùc ñaïo haøm roài thay vaøo phöông trình Lagrange, ta ñöôïc: P + 2Q (Q sin α P )g x¨ = Q sin α P w =x ¨ = − . g − ⇒ C P + 2Q —ieàu kieän: ñeå vaät C ñi leân ta phaûi coù ñieàu kieän Q sin α P . ≥ Lôøi baøn Caâu 4 Caâu naøy thöôøng laøm cho caùc baïn luùng tuùng veà löïc taùc duïng leân heä. Tuy nhieân, neáu ñeå yù ñe·n cuÔm tˆ¯ "ôû traïng thaùi nghæ (ñöùng yeân)" thì ta coù theå xem, theo ñònh luaät thöù nhaát cuûa Newton, heä khoâng chòu taùc duïng bôûi löïc naøo caû, hay noùi khaùc ñi, caùc löïc taùc duïng leân heä caân baèng. Caâu 5 Moät soá baïn cho laø heä coù 2 baäc töï do! Thaät ra vôùi ñieàu kieän "laên Hình 4: Tính ñoäng naêng trong chuyeån ñoäng song phaúng. khoâng tröôït" cuûa con laên thì baøi naøy chæ coù 1 baäc töï do. Moät soá baïn aùp duïng maùy moùc caùch tính ñoäng naêng cuûa con laên gioáng nhö caùch tính ñoäng naêng cuûa oáng truï (caâu 5 cuûa ñeà thi maãu). Nhö treân hình 4a), oáng truï thöïc hieän chuyeån ñoäng song phaúng ñöôïc phaân tích baèng caùch choïn B laøm ñieåm cöïc, goàm: chuyeån ñoäng tònh tieán cuûa ñieåm B vaø chuyeån ñoäng quay quanh truïc ñi qua B cuûa oáng truï. Coøn trong baøi naøy, hình 4b), chuyeån ñoäng cuûa con laên goàm: chuyeån ñoäng tònh tieán cuûa ñieåm A vaø chuyeån ñoäng quay quanh A cuûa con laên. Caùc baïn neân ñoïc laïi lôøi giaûi trong hai tröôøng hôïp ñeå so saùnh.
Taøi lieäu tham khaûo [1] —aÎng —Ïnh AŸng, TrÚnh Anh NgoÔc, Ngo‚ Tha¯nh Phong, Nhaäp moân Cô hoïc, NXB —aÔi hoÔc Quo·c gia TP. HCM 2003. [2] Nguye„n TroÔng Chuye‡n, Phan VaÍn Cu˘c, Baøi taäp cô hoïc lyù thuye·t, NXB Khoa hoÔc va¯ Kyı thua‰t, Ha¯ no‰i, 1991. [3] R. Douglas Gregory, Classical Mechanics - An Undergraduate Text, Cambridge University Press, 2006. [4] R. Douglas Gregory, Classical Mechanics - Solution Manual, Cambridge Uni- versity Press, 2006. [5] X.M. Targ, Gia˘o trÏnh gia˚n ye·u cÙ hoÔc ly˘ thuye·t, NXB —aÔi hoÔc & Trung hoÔc Chuye‚n nghie‰p Ha¯ no‰i, Mir MatxcÙva 1979. 67