Thiết kế bộ điều khiển trượt cho con lắc ngược kép

Nội dung text: Thiết kế bộ điều khiển trượt cho con lắc ngược kép

1. Thiết Kế Bộ Điều Khiển Trượt Cho Con Lắc Ngược Kép Trần Thanh Tâm(1) Dương Hoài Nghĩa(2) (1)Học viên cao học Trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật TP HCM Email: thanhtam08dn@gmail.com (2) Trường ĐH Bách Khoa TP HCM Email: dhoainghia@yahoo.com Tóm tắt: Bài báo giới thiệu một thiết kế của bộ điều khiển dựa trên kỹ thuật điều khiển trượt phân cấp cho hệ thống con lắc ngược kép. Mô hình toán học của con lắc ngược kép được xây dựng thông qua các định luật bảo toàn năng lượng và các đặc tính riêng của hệ thống. Bộ điều khiển trượt phân cấp được thiết kế với mục tiêu ổn định con lắc ngược kép tại vị trí cân bằng không ổn định của nó. Bộ điều khiển đã được kiểm chứng thông qua kết quả mô phỏng trên phần mềm Matlab Abstract: This paper presents the design of the controller on the basis of hierarchical sliding control techniques for Double Inverted Pendulum system. The mathematical model of the system is built to through energy conservation law and the specific characteristics of the system. A hierarchical sliding mode controller is designed to achieve the objective of stabilizing Double Inverted Pendulum in unstable equilibrium point of it. The controller is verified through simulation results using Matlab software. Key words: Sliding mode control, Hierarchical, Double Inverted pendulum, Sliding Surfaces. 1. GIỚI THIỆU Bộ điều khiển được sử dụng chủ yếu trong thiết đề điều khiển con lắc kép ổn định gặp nhiều khó kế hệ thống điều khiển hiện đại là bộ điều khiển khăn. hồi tiếp trạng thái. Tùy theo cách tính vector hồi Hệ thống con lắc ngược kép là một lĩnh vực tiếp trạng thái mà ta có phương pháp phân bố cực, quan trọng trong cơ điện. Được nghiên cứu sâu điều khiển tối ưu, điều khiển bền vững Với sự rộng trong những thập kỷ gần đây, lĩnh vực này đã phát triển của lý thuyết điều khiển số và hệ thống có nhiều kết quả quan trọng cả về lý thuyết và rời rạc, lý thuyết điều khiển hiện đại rất thích hợp thực tiễn. đề thiết kế các bộ điều khiển là các chương trình phần mềm chạy trên vi xử lý và máy tính số. Điều Hệ thống con lắc ngược kép vốn đã có hai này cho phép thực thi được các bộ điều khiển có điểm cân bằng, một sự cân bằng ổn định và một đặc tính động phức tạp hơn cũng như hiệu quả hơn không ổn định. Ở trạng thái cân bằng ổn định con so với các bộ điều khiển đơn giản như PID hay lắc sẽ hướng xuống phía dưới và khi không có lực sớm trễ pha trong lý thuyết cổ điển. nào tác động đến hệ thống thì hệ thống sẽ mặc nhiên ở trạng thái này. Trong trường hợp cân Con lắc ngược kép là loại robot ứng dụng một bằng không ổn định vị trí của con lắc sẽ hướng trong những vấn đề quan trọng trong lý thuyết lên trên và vì thế cần một lực tác động để duy trì điều khiển và được đề cập nhiều trong các tài liệu trạng thái này. Vì vậy việc điều khiển cơ bản đối về điều khiển. Mô hình thực tế con lắc ngược có với hệ thống con lắc là làm sao duy trì trạng thái thể kiểm chứng lại các lý thuyết điều khiển như đứng cân bằng hướng lên của con lắc. LQR[1,4], Fuzzy[3], Neuron Network[1], các lý thuyết điều khiển hiện đại Tuy nhiên, con lắc ngược kép cũng đặt ra nhiều thách thức đối với lý thuyết điều khiển cũng như các thiết bị điều khiển chúng. Vì vậy, đây là hệ thống phi tuyến nên vấn 1
2. 2. THIẾT KẾ MÔ HÌNH HỆ THỐNG là lực điều khiển đưa vào xe; D θ ,C θ,θ và Cấu trúc của con lắc ngược kép bao gồm hai thanh G θ được trình bày như sau : được kết nối với nhau thông qua một khớp nối và thanh thấp được gắn với xe thông qua khớp nối d11 d 12 d 13 thứ hai như trong hình 1: D  d d d 21 22 23 d31 d 32 d 33 a1 a 2 cos 1 a 3 cos  2 a cos a a cos()   2 1 4 5 1 2 a3 cos 2 a 5 cos()  1  2 a 6 c11 c 12 c 13 C ,  c c c 21 22 23 c31 c 32 c 33   0 a2 sin( 1 )  1 a 3 sin(  2 )  2 0 0a sin(  )  Hình 1: Hệ thống con lắc ngược kép 5 1 2 2 0 a sin(  )  0 Với: 5 1 2 1 g 0 m0 Khối lượng của xe 11 G  g a sin  m Khối lượng của con lắc 21 7 1 1 g31 a8 sin 2 m2 Khối lượng của con lắc T G Gia tốc trọng trường H 1 0 0 0 Độ dịch chuyển của xe Lưu ý ma trận D  là ma trận đối xứng và không l1 Khoảng cách đến trọng tâm con lắc 1 suy biến.G iả sử các con lắc là thanh rắn đồng chất, trung tâm hình học cũng là trọng tâm của nó. L1 Chiều dài của con lắc 1 Khi đó ta được l L/ 2, I m L 2 /12 . Và đặt l Khoảng cách đến trọng tâm con lắc 2 i i i i i 2 các thông số như sau: L2 Chiều dài của con lắc 2 a1 m 0 m 1 m 2 1 Góc quay của con lắc 1 1 2 Góc quay của con lắc 2 a m l m L () m m L 2 1 1 2 12 1 2 1 Xét điều kiện lý tưởng tức là không có ma sát, mô hình động học hệ thống có thể được suy ra theo 1 a3 m 2 l 2 m2 L 2 dạng phương trình Euler-Lagrange như sau: 2    2 21 2 DCGH   ,    u (1) a m l m L I () m m L 4 1 1 2 11 3 1 2 1 T Với θ 0  1  2  , 0 ,1 và 2 là độ dịch 1 a5 m 2 L 1 l 2 m2 L1L 2 chuyển của xe theo phương ngang và góc của góc 2 của 2 con lắc hợp với phương thẳng đứng; θ và 2 1 2 a6 m 2 l2 I2 m2 L2 θ là vector vận tốc góc và vector gia tốc góc; u 3 2
3. 1 b (d B d B ) / (A B A B ) a (m l m L )g ( m m )L g 1 21 2 13 1 1 2 2 1 7 1 1 2 1 2 1 2 1 b (d A d A ) / (A B A B ) 1 2 31 1 21 2 1 2 2 1 a8 m2l2 g m2 L2 g 2 b3 d12 (d 21B2 d31B1 ) d13 (d13 A1 d12 A2 ) / d ( A B A B ) 1 / d Đặt  11 1 2 2 1  11 x  , x  , x  , x  , x  , x  1 1 2 1 3 2 4 2 5 0 6 0 Chúng ta chuyển mô hình toán từ dạng trên thành 3. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN dạng không gian trạng thái Dựa vào đặc điểm cấu trúc của hệ thống ta sẽ thiết x1 x2 kế bộ điệu khiển cho hệ là bộ điều khiển trượt x f (x) b (x)u phân cấp với 3 hệ thống con và 2 lớp mặt trượt. 2 1 1 Cấu trúc của mặt trượt trong điều khiển trượt phân x3 x4 (2) cấp thể hiện trong hình 2[8] x f (x) b (x)u 4 2 2 s x5 x6 x f (x) b (x)u 6 3 3 s s s 1 2 3 T Với x x1 x2 x3 x4 x5 x6  là vectơ biến trạng thái x1 x2 x3 x4 x5 x6 u là tín hiệu điều khiển Hình 2: Cấu trúc của mặt trượt trong điều khiển fi(x) và bi(x) (i 1,2,3 ) là hàm phi tuyến của biến trượt phân cấp. trạng thái, viết tắt là fi và bi được mô tả dưới đây. Trong phương pháp này, hệ thống con lắc ngược kép được chia làm ba hệ thống con, gồm con lắc 1 ở dưới, con lắc 2 ở trên, và xe. Mỗi hệ thống con Đặt đều có mặt trượt của riêng nó và chúng đều thuộc   mặt trượt lớp thứ nhất. Và sau đó chúng tạo thành H1 (c121 c132 )  mặt trượt lớp thứ hai. Từ hình 2 ta có thể thấy H 2 (c232 g21 ) x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 được coi như các biến H (c  g ) 3 32 1 31 trạng thái của hệ thống con lắc 1, hệ thống con lắc Và 2 và hệ thống con của xe. Các mặt trượt lớp thứ nhất được tạo nên bởi các biến trạng thái của mỗi A1 d21d12 d11d22 , A2 d31d12 d11d32 hệ thống con. Sau đó mặt trượt lớp thứ hai được tạo nên bởi ngõ ra của lớp thứ nhất. Theo cấu trúc B1 d21d13 d11d23 , B2 d31d13 d11d33 của mặt phẳng trượt phân cấp hai lớp, bộ điều C d H d H , C d H d H 1 21 1 11 2 2 31 1 11 3 khiển trượt phân cấp được thiết kế như bên dưới. Khi đó ta được: Mặt trượt lớp thứ nhất được định nghĩa như sau: f1 (B2C1 B1C2 ) / (A1B2 A2 B1) s1 x2 1x1 s x  x (3) f2 (A1C2 A2C1) / (A1B2 A2 B1) 2 4 2 3 s x  x f (d A d B )C (d B d A )C  3 6 3 5 3 13 2 12 2 1 12 1 13 1 2 / d11 (A1B2 A2 B1 ) H1 / d11 Với i > 0 Lấy đạo hàm của s1, s2, s3 theo thời gian t, ta được: 3
4.  b  b  b  b s1 f1 b1 u 1x2 2 2 3 3 1 1 3 3 usm ueq1 ueq2 1 b1  2 b2 3 b3 1 b1  2 b2 3 b3 s2 f2 b2 u 2 x4 (4) 1 b1 3 b3 ks  sign(s) s3 f3 b3 u 3 x6 ueq3 1 b1  2 b2 3 b3 1 b1  2 b2 3 b3 Cho s1 0,s2 0,s3 0 , luật điều khiển cân bằng (11) của ba hệ thống ở trên có thể đạt được Như vậy luật điều khiển của toàn hệ thống sẽ là: u (f  x ) / b eq1 1 1 2 1  b u  b u  b u ks  sign(s) u 1 1 eq1 2 2 eq2 3 3 eq3 ueq2 (f2 2 x4 ) / b2 (5) 1 b1 2 b2 3 b3 ueq3 (f3 3 x6 ) / b3 (12) Mặt trượt lớp thứ hai được định nghĩa như sau: 4. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG Các thông số của con lắc ngược kép s 1s1 2s2 3s3 (6) g Với i là hằng số. m0 m1 m2 L1 L2 2 Để đảm bảo mỗi hệ thống con đều bám theo mặt [kg] [kg] [kg] [m] [m] [m/s ] trượt của nó, thì luật điều khiển toàn hệ thống phải bao gồm các luật điều khiển tương đương của các 1 0,1 0,1 0,2 0,2 9,81 hệ thống con. Vì vậy luật điều khiển toàn hệ thống có dạng như sau: Các thông số bộ điều khiển trượt u ueq1 ueq2 ueq3 usm (7) Với u là luật điều khiển hiệu chỉnh của bộ điều sm K 1 2 3 1  2  3  khiển. Sử dụng phương pháp Lyapunov chọn một hàm 20 5.3 5.62 0.58 -0.01 0.6 0,4 0,03 xác định dương có dạng: 1 V s2 (8) Điều khiện ban đầu x1=0.2rad, x2=0rad/s, 2 x3=0.01rad, x4=0rad/s, x5=0m, x6=0m/s. Ta được kết quả như hình dưới đây Suy ra 0.25 V ss theta1 0.2 s[(1 b1  2 b2 3 b3 )usm ( 2 b2  3 b3 )ueq1 0.15 (1 b1 3 b3 )ueq2 (1 b1  2 b2 )ueq3 ] 0.1 (9) 0.05 Có thể chọn theta1 (rad) 0 s ks sign(s) (10) -0.05 Trong đó k và  là các hằng số dương. -0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Từ (9) và (10) suy ra Time (s) Hình 3: Đáp ứng góc của con lắc 1. 4
5. 0.01 1.5 theta2 0.005 1 0 0.5 theta2 (rad) -0.005 0 dtheta1 -0.01 -0.5 -0.015 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time (s) -1.5 Hình 4: Đáp ứng góc của con lắc 2. -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 theta1 0.045 theta0  0.04 Hình 6: Hình chiếu quỹ đạo pha của 1 và 1 lên 0.035 mặt phẳng. 0.2 0.03 0.025 0.15 0.02 0.1 theta0 theta0 (m) 0.015 0.01 0.05 0.005 0 0 dtheta2 -0.005 -0.05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time (s) -0.1 Hình 5: Đáp ứng vị trí xe của xe. -0.15 Các giá trị ban đầu của con lắc là -0.2 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 1 2  0 0.2 0.01 . Giá trị mong muốn theta2  của con lắc là ổn định tại 0. Trong hình 3 nhận Hình 7: Hình chiếu quỹ đạo pha của 2 và 2 lên thấy con lắc 1 giảm biên độ từ 0.2rad về -0.095rad mặt phẳng. và dao động quanh 0 cho đến khi về 0 trong 0.2 khoảng 2.6s. Trong hình 4 nhận thấy con lắc 2 giảm biên độ dao động quanh 0 cho đến khi về 0 0.15 trong khoảng 3.2s. Trong hình 5, xe di chuyển với 0.1 biên độ lớn 0.041m để đưa các con lắc về vị trí ổn định, sau đó nó tự ổn định quanh 0. Như vậy hệ 0.05 thống tự ổn định sau khoảng 3.2s, kết quả mô 0 phỏng đạt giá trị mong muốn dtheta0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 theta0  Hình 8: Hình chiếu quỹ đạo pha của 0 và 0 lên mặt phẳng. 5
6. Từ hình 6, 7, 8 là hình chiếu của  và  lên mặt Tài Liệu Tham Khảo phẳng. Hình 6, mặt trượt bắt đầu từ (1.06,0) tương  [1] Alexander Bogdanov, Optimal Control of a ứng với ( 11 , 1 ). Tương tự ở hình 7 và 8 là (0.56,0) và (0,0). Sau đó đường quỹ đạo này cũng Double Inverted Pendulum on a Cart, Technical hội tụ về 0, đúng như yêu cầu đề ra. Report CSE-04-006, 2004 4 [2] Henrik Niemann, Jesper Kildegaard Poulsen, Analysis and Design of Controllers for a Double 3.5 Inverted Pendulum, Technical University of 3 Denmark, Page 2803-2807, 2003 2.5 [3] Qing-Rui Li, Wen-hua Tao, Sun Na, Chong- 2 yang Zhang, Ling-hong Yao ,Stabilization Control 1.5 of Double Inverted Pendulum System, 2008 u (N) 1 [4] Narinder Singh Bhangal, Design and 0.5 Performance of LQR and LQR based Fuzzy Controller for Double Inverted Pendulum System, 0 2013 -0.5 [5] Dianwei Qian, Jianqiang Yi and Dongbin -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zhao, Hierarchical sliding mode control for a Time (s) class of SIMO under-actuated systems, 2008 Hình 9: Tín hiệu điều khiển u. [6] Lijuan Zhang, Yaquing Tu, Research of Car Tín hiệu điều khiển u có giá trị khoảng 4N, Lực Inverted Pendulum Model Based on Lagrange tác dụng này tác dụng 1 lực lớn vào xe để xe di Equation, 6/2006 chuyển, sau đó giảm dần rồi cũng hội tụ về 0 [7] Chih-Min Lin and Yi-Jen Mon: Decoupling KẾT LUẬN Control by Hierarchical Fuzzy Sliding-Mode Bộ điều khiển trượt phân cấp đã được thiết Controller, 7/2005 kế để điều khiển con lắc ngược kép ổn định tại vị [8] Dianwei Qian, Jianqiang Yi, Dongbin Zhao trí cân bằng. Cấu trúc phân của mặt trượt đã được and Yinxing Hao: Hierarchical sliding mode thiết kế dựa trên đặc tính của hệ thống. Luật điều control for series double inverted pendulums khiển được đưa ra. Kết quả mô phỏng đã kiểm system, 2004 chứng tính khả thi cho việc thiết kế và chiến lược điều khiển cho hệ một cách đúng đắn. [9] Jean-Jacques e. Slotine, Weiping Li, Applied Nonlinear Control, Massachusetts Institute of Technology, Prentice Hall, 1991 [10] Huynh Xuan Dung, Nguyen Thanh Nghia, Pham Thanh Nhan, Doan Xuan Toan, Tran Thanh Trang, Hierarchical Sliding Mode Control of an Inverted Pendulum, Sop Transactions On Applied Mathematics, 2014 6
7. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2016-2017 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.