Phát triển lời giải ritz cho phân tích tĩnh và dao động tự do của dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

Nội dung text: Phát triển lời giải ritz cho phân tích tĩnh và dao động tự do của dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

1. PHÁT TRI ỂN L ỜI GI ẢI RITZ CHO PHÂN TÍCH T ĨNH VÀ DAO ĐỘNG T Ự DO C ỦA DẦM COMPOSITE S Ử DỤNG LÝ THUY ẾT BI ẾN D ẠNG C ẮT B ẬC CAO DEVELOPMENT RITZ SOLUTION FOR STATIC AND VIBRATION ANALYSIS OF COMPOSITE BEAM USING HIGH ORDER THEORY BEAM Nguy ễn Thi ện Nhân 1 1Học viên cao h ọc Trường Đại h ọc s ư ph ạm k ĩ thu ật Tp.HCM TÓM T ẮT Bài báo này đã phát tri ển l ời gi ải Ritz cho phân tích t ĩnh và dao độ ng t ự do d ầm composite s ử dụng lý thuy ết bi ết d ạng c ắt b ậc cao. V ật li ệu được s ử dụng là v ật li ệu composite phân l ớp v ới mỗi l ớp là v ật li ệu tr ực h ướng. Hai hàm d ạng x ấp x ỉ m ới cho l ời gi ải Ritz đượ c đề xu ất. Ph ươ ng trình ch ủ đạo đượ c rút ra t ừ ph ươ ng trình Lagrange. Ph ươ ng pháp gi ải tích được trình bày để gi ải bài toán. Các k ết qu ả số về tần s ố tự nhiên, độ võng, ứng su ất được so sánh v ới các nghiên cứu tr ước đó và rút ra các k ết lu ận h ữu ích . Từ khóa : Lời gi ải Ritz, dao động t ự do, bi ến d ạng c ắt b ậc cao, d ầm composite ABSTRACT This paper has developed the Ritz solution for static and free-vibration analysis of composite beams using high-order shear deformation theory. The material used is composite material with each layer being the orthotropic material. Two new approximation functions for the proposed Ritz solution. The governing equations of motion are derived from the Lagrange’s equation. Analytical methods are presented to solve the problem. The numerical results on natural frequencies, deflections, stresses are compared with previous studies and drawn useful conclusions. Keywords: Ritz solution, vibration, high order shearing deformation, composite beam 1. GI ỚI THI ỆU nhau. Ph ươ ng trình ch ủ đạ o xây d ựng theo ầ ố ự Ngày nay v ật li ệu composite ngày càng nguyên lý Hamilton, t n s t nhiên tìm đượ ự ươ chi ếm ưu th ế, nó được s ử dụng r ộng rãi trong c d a vào ph ng pháp Ritz. các ngành công nghi ệp, giao thông v ận t ải, Vo và Thai [22] đã nghiên c ứu dao độ ng và xây d ựng, hàng không – vũ tr ụ Composite ổn đị nh c ủa d ầm composite s ử d ụng lý thuy ết là v ật li ệu được t ổng h ợp t ừ hai hay nhi ều bi ến d ạng c ắt c ải ti ến. Nguyen và c ộng s ự lo ại v ật li ệu khác nhau, nh ằm m ục đích t ạo [27] đã phân tích ổn định và dao độ ng t ự do nên m ột v ật li ệu m ới, ưu vi ệt và b ền h ơn so của d ầm composite theo lý thuy ết bi ến d ạng với các v ật li ệu ban đầu. Hi ện nay có r ất cắt b ậc cao. Qua đó xây d ựng ph ươ ng trình nhi ều lo ại composite khác nhau được s ử chuy ển độ ng t ừ ph ươ ng trình Lagrange. Áp dụng, tuy nhiên điển hình có các lo ại nh ư dụng l ời gi ải gi ải tích để gi ải ph ươ ng trình composite sandwich, composite FGMs và dựa vào dãy l ượng giác phù h ợp v ới các điều composite nhi ều l ớp. Vi ệc gi ải bài toán phân ki ện biên khác nhau.Tuy nhiên v Nn còn m ột tích t ĩnh và dao động t ự do c ủa d ầm vài h ạn ch ế trong các nghiên c ứu này nh ư composite theo ph ươ ng pháp Ritz được các Aydogdu[21] có hàm x ấp x ỉ hội t ụ khá nhanh nhà khoa h ọc trên th ế gi ới quan tâm. Điển nh ưng k ết qu ả sai s ố lớn, hay Mantari và hình nh ư: Aydogdu [21] đã phân tích dao Canales[28] các hàm x ấp x ỉ hội t ụ ch ậm. Vì độ ng c ủa d ầm phân l ớp ngang v ới điều ki ện vậy bài báo s ẽ trình bày m ột vài hàm x ấp x ỉ biên t ổng quát theo ph ươ ng pháp Ritz. đảm b ảo tính chính xác và t ốc độ hội t ụ của Nghiên c ứu này d ựa trên lý thuy ết bi ến d ạng lời gi ải Ritz. cắt b ậc 3 để phân tích dao độ ng c ủa d ầm 2. CƠ S Ở LÝ THUY ẾT phân l ớp ngang v ới các điều ki ện biên khác
2. 2.1 D ầm composite nhi ều l ớp ph ần quan h ệ v ới các chuy ển v ị u, w , θ của Đối v ới bài toán d ầm ph ẳng ta có tr ạng thái dầm: ứng su ất nh ư sau 0 Q 0  ε11  ε (x ) = u σ =11    =Q × ε (1) xx0, x b 0 Q ε33  55  kxx( x ) = − w 0, xx (8a, 8b, 8c) với Q là ma tr ận độ cứng gi ảm trong h ệ tọa S kxx( x ) = θ0, x độ tổng th ể. Q= Qcos4θ + Q sin 4 θ Ứng su ất c ủa l ớp th ứ k : 11 11 22 (2a) 2 2 +2(Q12 + 2 Q 66 )sinθ cos θ ; ()k ()0 k bs σxx(,)xz= Q11 [() ε xx x + zkx xx () + fkx xx ()] Q= Qcos2θ + Q sin 2 θ (2b) ()k () k 55 55 44 σxz(,)xz= Q55 γ xz (,) xz (9a, 9b) E E Q = 1;Q = 2 ; (2c,2d) ()k () k 11 22 Trong đó: Q; Q là các thông s ố độ 1−νν1221 1 − νν 1221 11 55 Q12=ν 1222 QQ; 44 = GQ 23 ; 66 = G 12 (2e,2f,2g) cứng đàn h ồi trong và ngoài m ặt ph ẳng u ốn với θ là h ướ ng s ợi trong m ỗi l ớp, trong h ệ tọa độ tổng th ể tính theo (2a)(2b). EE1, ,ν , GGG , , là mo đun đàn h ồi 2 12 12 13 23 2.3 Các bi ểu th ức n ăng l ượng của v ật li ệu đẳ ng h ướ ng 2.3.1Bi ểu th ức n ăng l ượng c ủa toàn h ệ 2.2 Lý thuy ết bi ến d ạng c ắt b ậc cao U V K Tr ườ ng chuy ển v ị theo HOBT ∏ = + - (10) Trong đó U, V , K là năng l ượ ng bi ến d ạng, uxz(,)=u () x − zw + fz ()()θ x (3) 0 0,x 0 công c ủa t ải tr ọng ngoài và độ ng n ăng wxz(,)= w () x (4) 0 2.3.2 Năng l ượng bi ến d ạng 2 5 5 z U 1 f( z )= z ( − ) (5) = ∫ (σεxx xx+ σγ xz xz )dV 4 3h2 2 V 1 L u ,θ là chuy ển v ị d ọc tr ục và góc xoay t ại =[()2Au2 − Buw+ Dw ()] 2 dx 0 0 ∫0 0,x 0,0, x xx 0, xx 2 (11) L mặt trung hòa, w0 bi ểu th ị chuy ển v ị ngang 1 S S + ∫ [2Bu0,0,xxθ− 2 Dw 0, xxx θ 0, ]dx 2 0 tại m ặt trung hòa c ủa d ầm. Trong lu ận v ăn 1 L S2 S 2 + ∫ [2+H (θ0,x ) + A θ 0 ]dx này ch ỉ nghiên c ứu đến chuy ển v ị bé nên ta 2 0 có quan h ệ gi ữa chuy ển v ị và bi ến d ạng: s s s Trong đó: (,,,ABDB , D , H ) là các độ 0 b s εxx(x , z ) = ε xx + zk xx + fk xx (6) cứng c ủa d ầm: s s s (,,,ABDB , D , H ) = γ xz (,)xz= gz () θ0 (x ) (7) n zk+1 (12) = (1,z , z2 , f , zf , f 2() ) Qk bdz 0 b s ∑∫z 11 Trong đó: gz()= f,z ;ε xx ; kk xx ; xx là bi ến k=1 k dạng d ọc tr ục và độ cong c ủa d ầm. Các thành
3. n z m iω t sk+1 2 ( k ) = ∑ ϕ (x ) w e (18.b) A= ∑ gQbdz (13) w0 ( x , t ) j j ∫z 55 j=1 k =1 k m iω t 2.3.3 Công c ủa t ải tr ọng ngoài θ (x , t ) = ∑ ψ(x ) θ e (18.c) 0 j=1 j j 1 L V = − ∫ qwdx (14) 2 0 Trong đó ω là t ần s ố t ự nhiên c ủa d ầm, i2 = − 1, (,u ω , θ ) là các giá tr ị đượ c xác 2.3.4 Động n ăng j j j đị nh, ψ(x ), ϕ ( x ) là các hàm d ạng x ấp x ỉ 1 j j K =∫ ρ(z )( uɺ2 + w ɺ 2 ) dV Ritz th ỏa các điều ki ện biên 2 V Thay ψ(x ), ϕ ( x ) ở ph ươ ng trình (18.a), 1 L 2 2 j j =∫ [Iu0 − 2 Iuw 10ɺ ( ɺ 0, x )] dx 2 0 (15) (18.b), (18.c) vào ph ươ ng trình (17) và s ử dụng ph ươ ng trình Lagrange: 1 L ɺ ɺ + ∫ [2Ju10θɺ− 2 Jw 2 θ ɺ 0, x ] dx 2 0 ∂∏d ∂∏ − = 0 (19) 1 L ɺ2 2 ∂q dt ∂ q ɺ + ∫ [K2θ 0 + I 0 wdxɺ 0 ] j j 2 0 q với j bi ểu di ễn các giá tr ị (,u jω j , θ j ) , ta Trong đó: I012,,, II JJ 1 , 2 , K 2 là các h ệ s ố thu đượ c ph ươ ng trình ch ủ đạo: đượ c đị nh ngh ĩa nh ư sau: K11 K 12 K 13   T 12 22 23   (,,,,I012 II JJ 1 2 , K 2 ) = K K K  −  T13 T 23 33  u  0  n K K K  (20) zk+1 (16)    ()k 2 2   w =  F  = ∑∫ ρ (1,zz , , f , zf , f ) bdz 11 12 13  zk M M M      k =1    θ  0  ω 2T M 12 M 22 M 23  Kết h ợp ph ươ ng trình (10) (11) (14) (15) suy   T13 T 23 33   ra n ăng l ượng c ủa h ệ M M M   [(A u )2 − 2 Bu w + Trong đó các thành ph ần c ủa ma tr ận độ 0,x 0, x 0, xx cứng K và ma tr ận kh ối l ượ ng M đượ c tính 2 S 1 L Dw(0,xx )+ 2 Bu 0,0, xθ x nh ư sau: ∏ = ∫0 S s 2 11 L 2 −2D w0,xxθ 0, x + H ( θ 0, x ) K= Aψ ψ dx ; ij∫0 ixjx, , S 2 +Aθ ] dx 12 L 0 K= − Bψ ϕ dx ; ij∫0 ixjxx, , L − qwdx 13 s L ∫0 (17) K= Bψ ψ dx ij∫0 ixjx, , [ɺ2 2 ɺ wɺ Iu00− Iu 100, x 22 L 1 L Kij= D∫ ϕ ixxjxx, ϕ , dx ; − +I(wɺ )2 + 2 J θɺ u ɺ o ∫0 2 0,x 100 L 2 K23 = − Ds ϕ ψ dx ; ɺ ɺ 2 2 ij∫0 ixxjx, , −2J200,θ wɺx + K 20 θ + Iwdx 00 ɺ ] L L K33 = Hsψψ dxA + s ψψ dx Để rút ra đượ c ph ươ ng trình chuy ển độ ng, ij∫0 ixjx, , ∫ 0 ij các hàm chuy ển v ị đượ c x ấp x ỉ nh ư sau: 11 L Mij= I0 ∫ ψ iψ j dx ; m iω t 0 = ∑ ψ (x ) u e (18.a) u0 ( x , t ) j j L j=1 M12 = − Iψ ϕ dx ; ij1∫0 i j , x L M13 = Jψ ψ dx ij1 ∫0 i j
4. 22 L L - Vật li ệu Mij= I0∫ϕϕ ij dxI + 2,, ∫ ϕϕ ixjx dx ; 0 0 L 23 • Vật li ệu I: E/ E = open, M= − Jϕ ψ dx ; 1 2 ij2∫0 i , x j L L GG12= 13 =0.6 EG 2 , 23 = 0.5 E 2 , M33 = Kψ ψ dx; F = q ϕ dx ij2 ∫0 i j i ∫ 0 i ν12 = 0.25 2.4 Ph ươ ng pháp Ritz • Vật li ệu II: E/ E = open, Ý t ưởng c ơ b ản c ủa ph ươ ng pháp Ritz s ử 1 2 dụng nguyên lý n ăng l ượng t ối thi ểu, chuy ển GG12= 13 =0.5 EG 2 , 23 = 0.2 E 2 , vị được x ấp x ỉ bằng tổ hợp tuy ến tính nh ư ν12 = 0.25 sau: • Vật li ệu III: E1 = 144.9GPa, E2 = N 9.65GPa, G12= G 13 = 4.14GPa; G 23 = u≈ UN =∑ c jψ j + ψ 0 (21) j=1 3.45GPa, 0.3, 1389kg / m 3 Hàm x ấp x ỉ trong (18b) được vi ết l ại nh ư ν12 = ρ = sau: - Tần s ố, ứng su ất, độ võng không th ứ ϕ ()x= BxRxj ()(,) (22) j nguyên p q B( x ) = x (L− x ) (23) ωL2 ρ ω = Với các giá tr ị p,q th ỏa điều ki ện biên nh ư h E sau: 2 Bảng 1. Các giá tr ị p,q th ỏa điều ki ện bh2 L h  bh 2 σ= σ,  ; σ = σ (0,0) biên xxqL2 xx2 2  xz qL xz ĐKB p q 3 SS 1 1 100 w0 E 2 bh w = 4 CF 2 0 qL CS 2 1 3.1 Kh ảo sát h ội t ụ CC 2 2 Bảng 3. Kh ảo sát ch ỉ số hội t ụ của R1 Bảng 2. Các hàm x ấp x ỉ ĐKB Tần s ố Độ võng STT R( x ) Tên hàm j SS 7 11 1 e− jx/ L R1 CF 7 8 x CS 7 8 2 j R2 L e CC 11 11 3. VÍ D Ụ SỐ Bảng 4. Kh ảo sát ch ỉ số hội t ụ của R2 Để thu ận tiên cho vi ệc tính toán, các thông ĐKB Tần s ố Độ võng số v ật li ệu, các bi ểu th ức không th ứ nguyên SS 6 6 đượ c áp d ụng trong các ví d ụ này là: CF 6 6
5. Bảng 3. Kh ảo sát ch ỉ số hội t ụ của R1 Bảng 5. So sánh t ần s ố với các nghiên cứu ĐKB Tần s ố Độ võng Các nghiên cứu Tần s ố CS 9 6 CC 9 11 Nghiên c ứu 9.208 Nguyen và c ộng s ự[27 ] 9.208 Murthy[30] 9.207 Khdeir và Reddy[13] 9.208 Aydogdu[21] 9.207 Vo và Thai[22] 9.206 Mantari và Canales[ 28 ] 9.208 Hình 1. Độ hội t ụ tần s ố với hàm x ấp x ỉ R1,R2( ĐKB – CC) Hình 3. Ảnh h ưởng c ủa t ỉ số L/h đến t ần s ố dNm đối x ứng [30/ -30] s; v ật li ệu III Hình 2. Tốc độ hội t ụ của độ võng v ới hàm xấp x ỉ R1,R2( ĐKB – CC) 3.2 Phân tích dao động t ự do Trong phần này kh ảo sát tần số tự nhiên của dầm với các điều kiện biên SS, tỉ số L/ h = 5;00 / 90 0 / 0 0 , so sánh kết quả với các nghiên cứu trước . Hàm x ấp x ỉ được ch ọn để Hình 4 . Mode 1, ω = 6.9451;(00 /90 0 ) kh ảo sát là hàm R1 1
6. Hình 7 . Ứng su ất nén dọc chi ều cao d ầm(SS) 0 0 (00 /90 0 /0 0 ) Hình 5 . Mode 2, ω1 = 24.5139;(0 //90 90 ) 3.3 Phân tích t ĩnh Trong phần này khảo sát độ võng của dầm với điều kiện biên SS , tỉ số L/ h = 5;00 / 90 0 / 0 0 , so sánh kết quả với các nghiên cứu trước . Hàm x ấp x ỉ được ch ọn để kh ảo sát là hàm R1 Bảng 6. So sánh độ võng v ới các nghiên cứu Các nghiên cứu Tần s ố Nghiên c ứu 2.412 Hình 8. Ứng su ất cắt dọc chi ều cao dầm(SS) 0 0 0 Nguyen và c ộng s ự[27] 2.412 (0 /90 /0 ) Murthy [30] 2.398 Khdeir và Reddy[13] 2.412 4. KẾT LU ẬN Vo và Thai[22] 2.414 Bài báo đã trình bày gi ải pháp phân tích t ĩnh và dao động t ự do c ủa d ầm composite theo lý thuy ết bi ến d ạng c ắt b ậc cao. Trong đó l ời gi ải gi ải tích được s ử dụng để gi ải ph ươ ng trình chuy ển động, ph ươ ng pháp x ấp x ỉ Ritz được trình bày để xấp x ỉ tr ường chuy ển v ị. Một vài hàm x ấp x ỉ mới th ỏa các điều ki ện biên khác nhau phát tri ển cho ph ươ ng pháp Ritz c ũng được trình bày. T ừ các ví d ụ số cho th ấy có th ể áp d ụng các hàm x ấp x ỉ này cho các bài toán phân tích t ĩnh, dao động t ự do, ổn định c ủa d ầm composite. LỜI C ẢM ƠN Tôi xin trân tr ọng c ảm ơn PGS. TS. Nguy ễn Trung Kiên , người đã t ận tình giúp đỡ, Hình 6. Bi ểu đồ ảnh h ưởng c ủa t ỉ số L/ h hướng dẫn, định hướng đúng đắn cho tôi đến độ võng.(v ật li ệu II, 00 /90 0 ) trong nghiên cứu khoa học . Tôi xin chân
7. thành c ảm ơn Ths.NCS Nguy ễn Ng ọc Dựng và C ơ H ọc Ứng D ụng c ủa Tr ườ ng Đại Dươ ng , ng ười đã nêu ra nhi ều ý t ưởng c ũng Học S ư Ph ạm K ỹ Thu ật Thành Ph ố Hồ Chí nh ư góp ý t ận tình để tôi có th ể hoàn thành Minh. Xin c ảm ơn t ất c ả ng ườ i thân trong gia các nghiên c ứu c ủa mình.Tôi xin chân thành đình và đồ ng nghiệp đã giúp đỡ và t ạo điều cảm ơn quý th ầy cô giáo trong Khoa Xây ki ện thu ận l ợi để tôi hoàn thành bài báo TÀI LI ỆU THAM KH ẢO [1] J-M Berthelot. Composite Materials –3 Mechanical behavior and Structural analysis. Springer, 1999 [2] J. N. Reddy. Mechanics of laminated composite plates and shells – Theory and Analysis. CRC Press, 2004 . [3] K.K. Pradhan, S. Chakraverty. Free vibration of Euler and Timoshenko functionally graded beams by Rayleigh–Ritz method, Composites: Part B 51, 175–184, 2013. [4] M. Karama, B. Abou Harb, S. Mistou and S. Caperaa. Bending, buckling and free vibration of laminated composite with a transverse shear stress continuity model. Composites Part B 29B, 223-234, 1998. [5] M. Latifi ,M. Kharazi and H.R Ovesy. Nonlinear dynamic response of symmetric laminated composite beams under combined in-plane and lateral loadings using full layerwise theory. Thin-Walled Structures, Volume 104, Pages 62-70, July 2016 [6] M. A. Ramos Loja, J. Infante Barbosa, and C. M. Mota Soares. Static and dynamic behaviour of laminated Composite beams . International Journal of Structural Stability and Dynamics Vol. 01, No. 04, pp. 545-560 , 2001 [7] M. Mohammad Abadi và A.R. Daneshmehr. An investigation of modified couple stress theory in buckling analysis of micro composite laminated Euler–Bernoulli and Timoshenko beams.International Journal of Engineering Science 75, pp.40–53, 2014 [8] A. A. Khdeir & J. N. Reddy. Buckling of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions. Composite Structures Vol. 31. No. 1, pp. l-3, 1997 [9] M. Aydogdu. Buckling analysis of cross-ply laminated beams with general boundary conditions by Ritz method. Composites Science and Technology 66, pp. 1248–1255, 2006 [10] P. Subramanian. Dynamic analysis of laminated composite beams using higher order theories and finite elements. Composite Structures 73, pp. 342–353, 2006 [11] H.E Guanghui, Y. Xiao. Dynamic analysis of two-layer composite beams with partial interaction using a higher order beam theory. International Journal of Mechanical Sciences, 2014 [12] S. J. Song and A. M. Waas. Effects of shear deformation on buckling and free vibration of laminated composite beams. Composite Structures Vol. 37. No. 1, pp. 33-43, 1997 [13] A. A. Khdeir & J. N. Reddy. Buckling of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions. Composite Structures Vol. 31. No. 1, pp. l-3, 1997 [14] K.Chandrashekhara and K.M.Bangera. Free vibration of composite beams using a refined shear flexible beam element. Computers& Structures vol.43. no.4. pp. 719-727, 1992 [15] S.R.MATUR and T.KANT. Free vibration analysis of fiber reinforced Composite beams using higher order theories and finite element modelling. Journal of Sound and Vibration 194(3), pp. 337 – 351, 1996 [16] Thuc P. Vo and Huu-Tai Thai. Free vibration of axially loaded rectangular composite beams using refined shear deformation theory. Composite Structures 94, pp.3379–3387,
8. 2012 [17] A.Catapano , G. Giunta , S. Belouettar , E. Carrera. Static analysis of laminated beams via a unified formulation. Composite Structures 94 , 75–83, 2011. [18] M. Mohammad-Abadi, A.R. Daneshmehr. Modified couple stress theory applied to dynamic analysis of composite laminated beams by considering different beam theories . International Journal of Engineering Science 87, pp.83–10, 2015 [19] Nikhila Naik. Composite beam on elastic foundation. Journal of Thermoplastic Composite Material, Vol.13, 2000 [20] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai . Static behavior of composite beams using various refined shear deformation theories. Composite Structures 94, pp.2513–2522, 2012 [21] M. Aydogdu. Vibration analysis of cross-ply laminated beams with general boundary conditions by Ritz method. International Journal of Mechanical Sciences 47, pp.1740–1755, 2005 [22] Thuc P.Vo, Huu-TaiThai. Vibration and buckling of composite beams using refined shear deformation theory. International Journal of Mechanical Sciences 62, pp.67–76, 2012. [23] H. MATSUNAGA. Vibration and buckling of multilayered composite beams according to higher order deformation theories. Journal of Sound and Vibration, 246(1), pp.47 - 62, 2001 [24] R.M. Aguiar, F. Moleiro, C.M. Mota Soares. Assessment of mixed and displacement-based models for static analysis of composite beams of different cross-sections. Composite Structures 94, 601–616, 2012. [25] Wu Zhen, W Chen. An assessment of several displacement-based theories for the vibration and stability analysis of laminated composite and sandwich beams. Composite Structures, 337–349,2008. [26] J. Vojin and K. Sergiy. The Ritz Method for Boundary Problems with Essential Conditions as Constraints. Advances in Mathematical Physics Volume 2016 , Article ID 7058017, 2016 [27] Trung-Kien Nguyen, T. Ngoc-Duong Nguyen, Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Trigonometric-series solution for analysis of laminated composite beams. Composite and Structures, Volume 160 , pp.142-151, 2017. [28] J. Mantari, F. Canales. Free vibration and buckling of laminated beams via hybrid Ritz solution for various penalized boundary conditions. Composite Structures 152:306–15,2016 [29] AM. Zenkour. Transverse shear and normal deformation theory for bending analysis of laminated and sandwich elastic beams. Mech Composite Mater Struct ,6(3):267–83,1999 [30] M Murthy, DR Mahapatra, K Badarinarayana, S Gopalakrishnan. A refined higher order finite element for asymmetric composite beams. Compos Struct 67(1):27–35,2005 [31] W Chen, C Lv, Z Bian. Free vibration analysis of generally laminated beams via state-space-based differential quadrature. Compos Struct 63 (34):417–25,2004 Tác gi ả ch ịu trách nhi ệm bài vi ết: Họ tên: Nguy ễn Thi ện Nhân Đơ n v ị: Tr ường Đại h ọc s ư ph ạm k ĩ thu ật Tp.HCM Điện tho ại: 0918.946.181 Email: nhan_gr_kg@yahoo.com
9. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2017-2018 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.