Phân tích và dự đoán sự phát triển của vết nứt trong tấm sử dụng phƣơng pháp XFEM

Nội dung text: Phân tích và dự đoán sự phát triển của vết nứt trong tấm sử dụng phƣơng pháp XFEM

1. PHÂN TÍCH VÀ DỰ ĐOÁN SỰ PHÁT TRIỂN CỦA VẾT NỨT TRONG TẤM SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP XFEM Nguyễn Huỳnh Anh Tuấn1, Nguyễn Hoài Sơn2, Chƣơng Thiết Tú1,3 1Khoa Cơ Khí ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh 2Khoa Xây dựng và Cơ Học Ứng dụng ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh 3Khoa Cơ Khí Trường Cao Đẳng Công Thương TÓM TẮT Cơ học phá hủy là môn khoa học chuyên nghiên cứu về độ bền tuổi thọ của vật liệu, chi tiết máy hoặc cấu kiện khi có các vết nứt. Cho phép định lượng mối quan hệ giữa tính chất cơ lý vật liệu, ứng suất, sự hiện diện của các vết nứt có thể gây phá hủy kết cấu và cơ chế lan truyền các vết nứt Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) của T. Belytschko đề xuất vào năm 1999 được coi là cách xử lý đặc biệt cho các vấn đề về vết nứt. Trong nội dung của bài báo này tác giả sẽ giới thiệu một phương pháp xác định vết nứt trong tấm dựa trên sự phân tích và dự đoán sự lan truyền của vết nứt qua việc tính các tham số của cơ học nứt như hệ số cường độ ứng suất, dự doán hướng lan truyền của vết nứt khi có hiện tượng lan truyền Từ khóa: Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng XFEM, cơ học phá hủy; vết nứt; hệ số cường độ ứng suất; sự lan truyền vết nứt ABSTRACT Fracture Mechanics, which is a science subject, is majorly studied about the durable longevity of material, mechanical component or building components when they had a crack. Allow to quantify the relation between the material’s nature, tension, the presence of the crack which can destruct the structure and propagation mechanism of the cracks The extended finite element method (XFEM) proposed by T. Belytschko in 1999 is regarded as a special cure to crack problems. In this paper presents analysis of identify cracks in the plates based on the analysis and prediction of crack growth by calculating the parameters of mechanical cracking as the stress intensity factor, predicted path of the crack when the phenomenon spread appeared Keywords: Extended finite element method (XFEM ); Fracture Mechanics; Cracks; SIF; Growth of cracking những phần tử bị vết nứt cắt ngang, tại đỉnh I. GIỚI THIỆU [11] vết nứt sẽ được thêm vào những hàm mở Trong cơ hoc phá hủy, việc tìm ra vết nứt rộng để tính chuyển vị của các nút thuộc trong tấm là một vấn đề quan trọng nhưng đỉnh vết nứt. Phương pháp này cho phép vết việc tìm ra vết nứt là một điều không dễ nứt được thể hiện một cách độc lập với lưới dàng, người ta có thể tìm ra vết nứt bằng các phần tử, do đó không cần phải chia lại lưới máy dò tìm siêu âm, phương pháp đo nhiễu khi mô hình vết nứt lan truyền xạ Khi kết cấu có chứa vết nứt thì các đặc tính của nó như tần số dao động tự nhiên, II. PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU hình dạng dao động tự do sẽ bị thay đổi HẠN MỞ RỘNG (XFEM) CHO Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng xử TẤM PHẲNG [5] [6] [7] [8] lý vết nứt bằng cách mở rộng bậc tự do của Trong vài năm gần đây, sự xuất hiện của phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng đã cung cấp một công cụ giải quyết một cách 1
2. hiệu quả các bài toán về phân tích và lan N là tập hợp các nút của phần tử chứa Tip truyền vết nứt dưới giả thuyết của cơ học rạn đỉnh của vết nứt nứt đàn hồi. b là bậc tự do làm giàu dưới ảnh hưởng So với phương pháp phần tử hữu hạn thì K XFEM tạo ra những thuận lợi trong việc mô của hàm F tại nút K phỏng sự lan truyền của vết nứt, phương K pháp này dựa trên sự mở rộng của bậc tự do NxK () là hàm dạng tại đỉnh vết nứt của những nút thuộc phần tử bị chia cắt bởi vết nứt. Sự khác biệt cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng so với phương pháp phần tử hữu hạn là sự kết hợp những hàm mở rộng vào những phần tử suy biến để tính chuyển vị ở gần đỉnh vết nứt. Hình 1. Phần tử tứ giác trong hệ tọa độ 1. Phƣơng trình cơ bản toàn cục và hệ tọa độ địa phương Khảo sát miền  có biên là Г bao Lựa chọn tiêu chuẩn của các nút được làm gồm ГГГu,, t c với ГГГГ u  t  c giàu. Г Г Với u là biên của chuyển vị; t là biên của ngoại lực; Гc bề mặt kéo tự do (biên vết nứt); t là thời gian . Phương trình cân bằng được viết như b sau:  σf 0 trong miền Ω (1) Điều kiện biên được mô tả như sau: σ n f t uu trên biên ; trên biên σn 0 trên biên Với σ là tenxơ b t ứng suất; f là lực khối; f là ngoại lực; n là vector pháp tuyến đơn vị. 2. Xấp xỉ trong phƣơng pháp phần tử mở rộng Hình 2. Phân chia các nút phần tử Trong bài toán phẳng, xấp xỉ tại một nút sẽ có dạng: Hàm mở rộng 4 ()h ()()xH ux()  NxuIIJJJKKK ()  NxHa ()  NxFb ().  . Hàm Heaviside INJNKN e Split Tip 1 h (2) Chuyển vị xấp xỉ ux()được viết lại như sau h u N. u ( NJJ . H ( ) N . H ( )). a Ne là tập hợp các nút của phần tử bình IIJJ INJN thường; e enr (3) N là tập hợp các nút của phần tử bị cắt Split H 1 tại vết nứt, H 0 tại những nơi bởi vết nứt ,i ,i khác 2
3. Ma trận B được viết lại như sau: NH 0 ix, K  a a I BNHi 0 i, y Với α là hàm phụ thuộc vào các dạng mô NHNHi,, y i x (4) hình nứt khác nhau. Hàm dốc ()()xx 2. Sự phát triển của vết nứt trong chất rắn đàn hồi tuyến tính Đạo hàm của hàm  ()x được tính ( (x )),,ii sign (  ( x ))  ( x ) , đạo hàm của Xét về sự phát triển của vết nứt, có hai đại lượng cần tính toán đó là góc độ lan tuyền ()x theo 2 biến x,y được tính như sau: và độ dài gia số da đối với phần mới của vết nứt. 1  2 ,()(,)i x N1,i N 2, i N 3, i N 4, i i x y 3  4 (5) Hàm mở rộng gần đỉnh vết nứt  Fr (,) (6) (6) 1. Hệ số cƣờng độ ứng suất Hệ số cường độ ứng suất là đại lượng đặc Hình 3. Hệ tọa độ cực kết hợp đỉnh vết nứt trưng cho mức độ tập trung ứng suất tại vùng gần đỉnh vết nứt và được xác định Phương trình xác định góc của sự lan truyền bằng công thức sau: vết nứt  được đưa ra: c KKsin( ) (3cos( ) 1) 0 KI  yy I c II c (9) KII lim 2 r xy ( MPa m ) (7) Giải phương trình (9) sẽ tìm được góc lan r 0, 0  truyền  KIII  yz c  2 1 KK  2arctan II sign ( K ) 8 c II 4 KKII II Với là các ứng suất gần đỉnh vết nứt. Tương ứng với 3 dạng phá hủy ta sẽ có các Từ công thức trên, ta có thể thấy rằng nếu hệ số cường độ ứng suất KI, KII, KIII. Với (7) và θ = 0 ta có: KII=0 thì = 0 (mode I thuần túy), KII > 0, 0 khi KII < 0. Vì thế một biểu a K 22 r  r  a (8) thức được đưa ra để tính như sau: I yy 2r 2/KKII I c 2arctan Kết quả (8) chỉ đúng trong trường hợp tấm 2 1 1 8(KKII / I ) phẳng vô hạn, đới với trường hợp tấm phẳng (10) hữu hạn với các mô hình nứt khác nhau thì : 3
4. Độ dài gia số của vết nứt có thể được xác định bằng việc sử dụng định luật Paris: da CK()m dN Khi C và m là hằng số vật liêu , được xác định thông qua thí nghiệm thử độ bền mỏi tiêu chuẩn, dN là số vòng KKK max min là độ biến thiên hệ số cường độ ứng suất. Trong thực nghiệm có một số công thức để tính K : KKK 4 44 8 I II (Tanaka, 1974) KKK 22 I II (Rhee, 1987) 1 Hình 4. Tấm phẳng có vết nứt cạnh KKK cos( / 2)I (1 cos  ) 3 II sin  2 KẾT QUẢ PHÂN TÍCH III. KẾT QUẢ SỐ Trong phần này tác giả sử dụng phương Bảng 1. Hệ số mật độ ứng suất KI pháp phần tử hữu hạn mở rộng XFEM để phân tích sự phân bố trường ứng suất tại KI đỉnh vết nứt và sự phát triển của vết nứt Chiều Kích dài thước Giải tích XFEM Sai số % trong tấm 2D với vết nứt ở cạnh Nứt lưới 60x120 1.51 9.4 Khảo sát tấm thép có: a = 0.4 90x180 1.38 1.48 7.2 - Chiều rộng x cao( W x H ) =5x10 m 120x240 1.42 4 - Chiều dài vết nứt a = 1 m 60x120 2.69 9.34 - Mô đun đàn hồi E= 2x10e6 kPa 75x150 2.62 6.5 a =0.8 2.46 - Hệ số poisson  = 0.3 90x180 2.6 5.69 - Chịu ứng suất kéo đều đơn trục σ = 1 Mpa 120x240 2.58 4.87 3 Đối với Tấm phẳng với một vết nứt biên a=0.8 chịu ứng suất kéo đều đơn trục thì hệ số 2.8 2.69 cường độ ứng suất (SIF) được tính theo 2.62 2.6 2.58 công thức sau: 2.6 KI Ka  I 2.4 KI-XFEM (11) 2.46 2.46 2.46 2.46 2.2 60x12 75x150 90x180 120x24 0 2 Hình 5. Đồ thị đánh giá mức độ sai số của KI so với giải tích theo lưới phần tử 4
5. Nhận xét: Từ kết quả thu được ở Bảng 1 và Nhận xét: Từ kết quả thu được ở Hình 7 Hình 5, sai số của SIF tính bằng XFEM và cho thấy phương pháp phần tử hữu hạn mở lý thuyết là bé. Ngoài ra, qua đồ thị ở Hình rộng tương đối chính xác trong tính toán độ 5 ta thấy được độ chính xác của KI tỉ lệ dài gia số của vết nứt [3] [4] thuận với kích thước chia lưới ( độ mịn ), chia lưới độ mịn càng cao thì cho ta kết quả càng chính xác. Từ đó ta có thể lựa chọn cách chia cho phù hợp theo từng mô hình để thu được kết quả chính xác mà không tốn nhiều thời gian và tài nguyên máy tính [1][2] Hình 8. So sánh sự phát triển vết nứt giữa XFEM và Bordas Bảng 1. Sự phát triển vết nứt ở 10 phần tử kế tiếp Hình 6. Trường phân bố ứng suất theo Y Tọa độ nứt tại 10 phần tử kế tiếp STT x y STT x y 1 1.093 3.9133 6 1.5787 3.7935 2 1.191 3.8929 7 1.6745 3.7647 3 1.289 3.8704 8 1.7698 3.7344 4 1.386 3.8465 9 1.8648 3.7032 5 1.483 3.8208 10 1.9595 3.6711 Nhận xét: Từ kết quả thu được ở Hình 8 cho thấy phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng tương đối chính xác trong tính toán sự phát triển của vết nứt so với phương pháp Hình 7. So sánh giữa phân tích Paris và XFEM trong tính toán độ dãn dài của vết Bordas [9] [10] nứt bằng định luật Paris 5
6. IV. KẾT LUẬN - Việc tìm ra khuyết tật trong vật liệu phần mềm Matlab, trong đó hai đại chế tạo kết cấu chi tiết máy và dự lượng quan trọng đối với bài toán nứt đoán khả năng làm việc của kết cấu là là hệ số cường độ ứng suất và độ giãn một việc cấp thiết. Trong thực tế dài của vết nứt cũng được tác giả tính ngành công nghiệp chế tạo các chi tiết toán và so sánh kết quả tính toán với làm ra bao giờ cũng không thể hoàn một số bài báo đã công bố trên các tạp thiện 100% về cấu trúc, các khuyết tật chí. Kết quả tính toán của tác giả có tồn tại trong sản phẩm sẽ làm suy sai số so với các bài đăng trước đó giảm khả năng chịu tải cơ học của kết không vượt quá 10%, điều này chứng cấu, hơn nữa trong quá trình chịu tải tỏ mức độ chính xác của mô hình toán cơ học liên tục trong một thời gian mà tác giả xây dựng và phương pháp dài, vật liệu của kết cấu sẽ có hiện XFEM là đáng tin cậy. tượng “mỏi” do đó sẽ sinh ra các khuyết tật đặc biệt là những vết nứt sẽ - Các số liệu tính toán của tác giả là gây phá hủy chi tiết. số liệu từ vệc phân tích lý thuyết nên chưa sát với thực tế, vì vậy để - Qua việc tính toán các đại lượng của kết quả có tính thực tế hơn chúng ta tấm bằng phương pháp XFEM dùng cần phải tiến hành đo đạc bộ số liệu thực tế và phân tích thêm. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Chen Lei, Stephane Bordas, Hung Nguyen-Xuan, Timon Rabczuk, N. Sundararajan, S. Dal Pon, K.Y. Zeng (2009) An ES-XFEM formulation for 2D fracture mechanics analysis. GACM, Sept 21-23, 2009. 2. D. Noel (2008) Crack simulation with Extended Finite Element Methods. Master's Thesis, University of Glasgow. 3. Elie Chahine, Patrick Laborde, Yves Renard (2006) Crack tip enrichment in the XFEM method using a cut-off function. International Journal for Numerical Methods in Engineering 00:1-15. 4. Franck Haziza (2006) The Extended Finite Element Method and Its Implementation in 2D in the Aster Code. Master's Thesis in Numerical Analysis at the Scienetific Computing International Master Program, Royal Insitute of Technology, Sweden. 5. J.E. Tarancon, A. Vercher, E. Giner, F.J. Fuenmayor (2009) Enhanced blending elements for XFEM applied to linear elastic fracture mechanics. International Journal for Numerical Methods in Engineering 77:126-148. 6
7. 6. Mathew Paris, Nam-Ho Kim , Timothy Davis (2010) Reanalysis of XFEM for Quasi- Static Crack Growth 7. Mathew Paris, Nam-Ho Kim (2010) Reanalysis of XFEM for Crack Initiation and Propagation. University of Florida Gainesville 8. Nguyen Vinh Phu, An Object-Oriented approach to the Extended Finite Element Method with Application to Fracture Mechanics 9. Stephane P.A. Bordas, Sundararajan Natarajan, Pierre Kerfriden, Charles Edward Augarde, D. Roy Mahapatra, Timon Rabczuk, Stefano Dal Pont (2011) On the performance of strain smoothing for quadratic and enriched fi nite element approximations (XFEM/GFEM/PUFEM). International Journal for Numerical Methods in Engineering 86:637-666. 10. Stephane P.A. Bordas, Timon Rabczuk, Nguyen-Xuan Hung, Vinh Phu Nguyen, Sundararajan Natarajan, Tino Bog, Do Minh Quan, Nguyen Vinh Hiep (2009) Strain smoothing in FEM and XFEM. Computers and Structures. . 11. Nguyễn Hoài Sơn (chủ biên), “Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán kết cấu”, NXB Đại học Quốc gia Tp. HCM, 2008 Tác giả chịu trách nhiệm bài viết: Họ tên: NGUYỄN HUỲNH ANH TUẤN Đơn vị: Khoa Cơ khí Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật-TP.HCM Điện thoại: 093 311 9094 Email: tuannguyen0429@gmail.com 7
8. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn B n ti ng Vi t ©, T NG I H C S PH M K THU T TP. H CHÍ MINH và TÁC GI Bản quếy n táệc ph mRƯ ãỜ cĐ bẠ o hỌ b Ưi Lu tẠ xu t Ỹb n vàẬ Lu t S hỒ u trí tu Vi t Nam. NgẢhiêm c m m i hình th c xu t b n, sao ch p, phát tán n i dung khi c a có s ng ý c a tác gi và ả ng ề i h ẩ pđh đưm ợK thuả tộ TP.ở H ậChí Mấinh.ả ậ ở ữ ệ ệ ấ ọ ứ ấ ả ụ ộ hư ự đồ ủ ả Trườ Đạ ọCcÓ Sư BÀI BạÁO KHỹ OA ậH C T ồT, C N CHUNG TAY B O V TÁC QUY N! ĐỂ Ọ Ố Ầ Ả Ệ Ề Th c hi n theo MTCL & KHTHMTCL h c 2017-2018 c a T vi n ng i h c S ph m K thu t Tp. H Chí Minh. ự ệ Năm ọ ủ hư ệ Trườ Đạ ọ ư ạ ỹ ậ ồ