Phân tích ứng xử phi tuyến dầm composite chịu tác dụng tải trọng điều hoà di động

Nội dung text: Phân tích ứng xử phi tuyến dầm composite chịu tác dụng tải trọng điều hoà di động

1. PHÂN TÍCH ỨNG XỬ PHI TUYẾN DẦM COMPOSITE CHỊU TÁC DỤNG TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ DI ĐỘNG NON-LINEAR VIBRATION ANALYSIS OF A COMPOSITE BEAM UNDER ACTION OF A MOVING HARMONIC LOAD Lê Ngọc Trường1 1Học viên cao học Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM TÓM TẮT Trong bài báo này, ứng xử phi tuyến của dầm Composite chịu tải trọng điều hòa di động được phân tích dựa trên lý thuyết dầm Timosenko và quan hệ biến dạng chuyển vị phi tuyến Von-Karman. Phương trình động lực học của dầm được thiết lập dựa trên nguyên lý Hamilton dưới dạng phương trình Lagrange với điều kiện biên thoả mãn hệ số nhân tử Lagrange. Phương pháp Newmark- β được sử dụng để giải phương trình động lực học. Ảnh hưởng của biến dạng lớn, vận tốc di chuyển của tải trọng, tần số lực kích thích, số lớp, hướng sợi, tỉ số giữa chiều dài và chiều cao tiết diện đến chuyển vị và nội lực của dầm được khảo sát chi tiết để rút ra những kết luận hữu ích. Từ khóa: Dầm; ứng xử phi tuyến; composite; điều hoà di động; lý thuyết dầm Timoshenko. ABSTRACT In this paper, non-linear dynamic of a Laminated Composite beam under a moving harmonic load has been performed by using Timoshenko beam theory with the Von-Karman’s nonlinear strain–displacement relationships. The governing equation of motion of the beam is derived based on Hamilton principle expressed as Lagrange’s equations with specific boundary conditions satisfied with Lagrange’s multipliers. Newmark-  method is used for solving the governing equation of motion. The effects of large deformation, velocity of moving load, excitation frequency, number of layers, fibre orientation, span-to-depth ratio on displacements and internal forces of the beam have been examined thoroughly to draw some useful conclusions. Keywords: Beams; non-linear vibration; composite; moving loads; Timoshenko beam theory. 1. GIỚI THIỆU bằng cách sử dụng lý thuyết biến dạng cắt Trong lĩnh vực xây dựng các công trình điều chỉnh. Phân tích tình hình nghiên cứu giao thông như hệ thống đường ray xe lửa, trên cho thấy, vấn đề phân tích ứng xử phi tuyến đường metro, kết cấu cầu giao thông tuyến dầm composite phân lớp chịu tải trọng di động chưa có nhiều nghiên cứu thực hiện. đã đặt ra nhiều vấn đề cần giải quyết về tải trọng di động cũng như ứng dụng các vật liệu Bài báo này phân tích ứng xử phi tuyến mới có tính năng ưu việt như composite vào của dầm composite phân lớp chịu tải trọng di các dạng kết cấu trong thực tiễn. Một số tác động sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc giả nghiên cứu về ứng xử phi tuyến dầm như nhất của Timoshenko. Hai hàm xấp xỉ dạng Simsek [2] đã phân tích dao động phi tuyến Ritz được áp dụng cho bài toán với điều kiện của dầm phân lớp chức năng Timoshenko biên khác nhau để khảo sát ảnh hưởng của chịu tải trọng điều hoà di động. Khdeir và các thông số vật lý như vận tốc của tải trọng Reddy [11] phát triển giải pháp cho dao động di động, tần số lực kích thích, tỷ số giữa tự do và ổn định của dầm composite chiều dài và chiều cao tiết diện của dầm đến cross-ply với điều kiện biên bất kỳ. Aydogdu chuyển vị và nội lực của dầm. [9,6] tiến hành nghiên cứu dao động và ổn 2. LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN định của dầm crossply và angle-ply với những điều kiện biên khác nhau bằng cách sử 2.1 Vật liệu trực hướng dụng phương pháp Ritz. Vo [7] nghiên cứu Ma trận độ cứng của vật liệu trực hướng dao động và sự ổn định của dầm composite trong hệ toạ độ địa phương.
2. CCC111213 000 Biến dạng phi tuyến theo Von – Karman [2] : CCC 000 122223 1122 xxxxxxx uwuwz,,0,0,, ()() (12) CCC133233 000 C (1) 22 00000 C44  uww (13) 00000 C xzzxx ,,0, 55 00000 C66 xx , (14) Trong đó : Trong đó: ɛxx, xz, x lần lượt là biến dạng dài, 1  C 2332 (2) biến dạng trượt và độ cong của dầm. 11 EE 23 Ứng suất của dầm theo đinh luật Hook [4]:  C 213123213213 12 (3) xxxx Q'11 (15) EEEE2313  kQ' (16)  xzsxz 55 C 312132131223 (4) 13 EEEE 2312 Trong đó: x x x, z lần lượt là ứng suất pháp 1  1  C 1331 ; C 1221 (5) và ứng suất tiếp của dầm. 22 EE 33 EE 13 12 '' QQ11, 55 là độ cứng giảm. 3212312321 13 C23 (6) ks : là hệ số hiệu chỉnh ứng suất tiếp E1312 EE E 2.3 Thiết lập phương trình chuyển động CG44 23 ; CG55 13 ; CG66 12 (7) Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm : 12       12 2123 3231 1321 32 13 (8) 1 L EEE U () dAdx (17) 123 xxxxxzxz 2 0 A Ma trận độ cứng trong hệ toạ độ tổng thể: Thực hiện tích phân ta được: CCCC' ' ' 0 0 ' 11 12 13 16 2 CCCC' ' ' 0 0 ' 1 2 12 22 23 26 Auwxxxx 0,0, 2 CCCC'13 ' 32 ' 33 0 0 ' 36 C' (9) 11 2 0 0 0CC '44 ' 45 0 UBuwdx 2 xxxxx,0,0, (18) 22 0 0 0CC '45 ' 55 0 L 2 2 CCCC'16 ' 26 ' 36 0 0 ' 66 k AwD() sxzxxxx 0,,  2.2 Chuyển vị, biến dạng và ứng suất Trong đó: A , B , D , A lần lượt là độ Trường chuyển vị theo Timoshenko [4]: xx xx xx xz cứng màng, tương tác, uốn và cắt của dầm . u( x , tux )( ,tzx0 )( t , )  (10) AQdA ' ; B Q' zdA (19) xx 11 xx 11 w(, x )(, twx ) t 0 (11) A A Trong đó: u0(x,t); w0(x,t) là chuyển vị tại trục DQz dA '2 ; A Q' dA (20) xx 11 xz 55 thanh. (x, t) là góc xoay của mặt phẳng tiết A A Động năng của dầm được định nghĩa như sau: diện ( x, t w0,x ) và t: thời gian.
3. 1 L Các hàm chuyển vị uw,, được xấp xỉ K ()()zvvdAdx22 (21) 00 2 xz 0 A bằng các hàm đa thức x x012, x , x,. . . , N : v u u z  ; v w w (22) x 0 z 0 N 1 wxt0 (,) atxn () N Trong đó vvxz, lần lượt là vận tốc theo phương uxt(,) N 1 (32)  0  btxn () (,)xt 1 N 1 x, z và đạo hàm theo thời gian t được định  ctxn () nghĩa bằng dấu chấm đặt trên mỗi đại lượng. Phiếm hàm năng lượng là : Thực hiện tích phân, ta được: Jfxt   mm(,) (33) 1 22 2 KIuwIuIdx ABD 000 2  (23)  Trong đó: mm, (f , x) t lần lượt là nhân tử 2 L Trong đó: Lagrange và giá trị chuyển vị tại xL (0 ; ) Phương trình Lagrange được cho như sau: I z d A () ; I z z d A () (24) A B A A JdJ 0;1,2, 3nNN b (34) (24) qdtqnn I z z d A ()2 (25) Trong đó: Nb =2,3,4,5,6,8 phụ thuộc vào điều D A kiện biên khác nhau của dầm. (25) Phương trình động lực học như sau: Công của lực P(t) di động [2] : LLL K0111314 KK a()t LLL WP t wxtc( )(,012 ttc )()()p tt   (26) 0 KKK b()t 222324 LLLL  KKKK31323334 c()t Trong đó: xp là vị trí của lực P(t) tại thời LLL KKK0414143 α()t điểm t bất kỳ, và được xác định như sau : NLNLNL K111213 aK ttt aK a0 a()t x vpp t (27) NL K21 a000 t b()t  0 x L ; t 0 t t L / v (28) NL c()t pp12 K31 a000 t  α()t 1;0 t 0000 ct()  0;0 t M00 11  0 aF(tt )( )  (29) 0M2223 M0 b (t )0   (35) Trong đó tt, lần lượt là thời điểm lực đi 12 0 MM03233 c (t )0 vào dầm và thời điểm lực ra khỏi dầm. 000  0 0 (t )0 Trong đó K L và K NL lần lượt là các thành Nguyên lý năng lượng Hamilton [4]: ij ij T phần ma trận độ cứng tuyến tính và phi tuyến. 0() UWK dt (30) 0 M ij và Fti () lần lượt là các thành phần ma Phiếm hàm của bài toán được xác định bởi: trận khối lượng và thành phần véc tơ tải. Điều kiện biên là Ngàm- Ngàm (C-C) :  WUK (31) Li 1 2.4 Lời giải xấp xỉ bằng hàm đa thức Kx14ij () 0 i= 1, 2 N; j = 1 (36)
4. Li 1 L L i 11 j Kx14ijL () i= 1, 2 N; j = 2 (37) K B()() x x dx i, j = 1, 2, , N (61) 23ij xx 0 , x , x Li 1 Kx () i = 1, 2 N; j = 3 (38) L 140,ijx KkAxxdxLij ()() 11 i, j = 1, 2, , N (62) 31,ijsxzx 0 L Li 1 Lij 11 Kx14,ijLx () i = 1, 2 N; j = 4 (39) KBxxdx ()() i, j = 1, 2, , N (63) 32,,ijxxxx 0 L K 0 i = 1, 2 N; j = 5,6,7,8 (40) LL 14ij KkAxxdxDxxdxLijij ()()()() 1111 33,,ijsxzxxxx 00 K L 0 24ij i = 1, 2 N; j =1,2,3,4,7,8 (41) i, j = 1, 2, , N (64) Li 1 L 2 Kx240ij () i = 1, 2 N; j = 5 (42) NLij Axx 11 Kwxxdx110,,,ijxxx ()() 2 0 KxLi () 1 i = 1, 2 N; j = 6 (43) 24ij L i, j = 1, 2, , N (65) L K 0 i = 1, 2 N; j =1,2,3,4,5,6 (44) L 34ij KAwxxdxNLij ()() 11 120,,,ijxxxxx 0 KxLi () 1 i = 1, 2 N; j = 7 (45) 340ij i, j = 1, 2, , N (66) Li 1 L Kx34ijL () i = 1, 2 N; j = 8 (46) KBwxxdxNLij ()() 11 130,,,ijxxxxx 0 Li 1 Kx410ij () i = 1; j = 1, 2 N (47) i, j = 1, 2, , N (67) Li 1 A L Kx41ijL () i = 2; j = 1, 2 N (48) NLij xx 11 Kwxxdx210,,,ijxxx ()() 2 0 KxLi () 1 i = 3; j = 1, 2 N (49) 410,ijx i, j = 1, 2, , N (68) Li 1 Kx () i = 4; j = 1, 2 N (50) B L 41ij L , x KwxxdxNLij xx ()() 11 310,,,ijxxx 0 L 2 K41ij 0 i = 5,6,7,8; j = 1, 2 N (51) i, j = 1, 2, , N (69) L K 0 i= 1,2,3,4,7,8; j = 1, 2 N (52) L 42ij MIxxdx ()()ij 11 i, j = 1, 2, , N (70) 11ijA 0 KxLi () 1 i= 5; j = 1, 2 N (53) 420ij L ij 11 MIxxdx22ijA ()() i, j = 1, 2, , N (71) Li 1 0 Kx42ijL () i = 6; j = 1, 2 N (54) L ij 11 L M I( x )( x ) dx i, j = 1, 2, , N (72) 23ij B 0 K43ij 0 i = 1,2,3,4,5,6; j = 1, 2 N (55) L Li 1 M I( xij 11 )( x ) dx i, j = 1, 2, , N (73) Kx43ij () 0 i = 7; j = 1, 2 N (56) 32ij B 0 L Li 1 ij 11 Kx43ij () L i = 8; j = 1, 2 N (57) M I( x )( x ) dx i, j = 1, 2, , N (74) 33ij D 0 L L i 11 j i 1 K k A()() x x dx i, j = 1, 2, , N (58) FPxnP () i = 1, 2, , N (75) 11ij s xz 0 , x , x L Trong đó xx, lần lượt là tọa độ gối tựa KL k A()() x i 11 x j dx i, j = 1, 2, , N (59) 0 L 13ij s xz 0 , x bên trái và bên phải dầm. L L i 11 j K22ij A xx()() x , x x , x dx i, j = 1, 2, , N(60) 0 2.5 Lời giải xấp xỉ bằng hàm lượng giác
5. Các hàm chuyển vị uw,, được xấp xỉ L L NL NL NL 00 K110 K 13 w  K 11 (()) attt K 12 (()) a K 13 (()) a w  L L NL bằng các hàm nội suy Ritz như sau: 0K22 K 23 u  K 21 ( a (t )) 0 0 u  L L L NL K31 K 32 K 33   K 31 ( a (t )) 0 0  it wxt(,)  jj()xwe  0 m w it MF11 0 0 (t )  uxt0 (,)  ()xue (76)  jj j 1 00M M u  (,)xt it 22 23   (77) 0 jj()xe 00MM 32 33   Trong đó,  là tần số của dao động tự do  2 Dạng chi tiết của các ma trận như sau : của dầm, i 1 là đơn vị ảo, (uw , , )jjj  L L KkAdx11,,ijsxzixjx ()() i, j = 1, 2, , N (78) là những giá trị cần xác định, ( , , ) jjj  là 0 các hàm dạng được xác định tương ứng với L KkAdxL ()()  i, j = 1, 2, , N (79) các điều kiện biên [13] thể hiện qua bảng1 13,ijsxzixj 0 L Bảng 1. Hàm dạng lượng giác KAdxL ()() i, j = 1, 2, , N (80) 22,,ijxxixjx 0 ĐKB ()x  ()x  ()x j j j L L KBdx23,,ijxxixjx ()() i, j = 1, 2, , N (81) j j j 0 C-C s in x c o s x c o s x L L L L L Kk31,ijsxzij Adx x ()() i, j = 1, 2, , N (82) (2j 1) (2j 1) (2j 1) 0 C-F 1 cos x sin x sin x 2L 2L 2L L KBdxL ()() i, j = 1, 2, , N (83) 32,,ijxxi xj x 0 S-S 2 j 2 j 2 j LL sin x sin x sin x KkL AdxDdx ()()()() L L L 33,,ijsxzijxxi xj x 00 Bảng 2. Điều kiện biên của dầm i, j = 1, 2, , N (84) L 2 ĐKB Vị trí Vị trí NL Axx Kwdx110,,,ijxi xj x ()() 2 0 x= 0 x= L i, j = 1, 2, , N (85) C-C wt0 (0,)0 wLt0 (,)0 L NL wt0,x (0,)0 wLt0,x (,)0 KAwdx ()() 120,,,ijxxxi xi x 0 ut0 (0,)0 uLt0 (,)0 (0,)0t (,)0Lt i, j = 1, 2, , N (86) L KBwdxNL ()() 130,,,ijxxxi xj x 0 C-F wt0 (0,)0 i, j = 1, 2, , N (87) wt0,x (0,)0 L ut0 (0,)0 NL Axx Kwdx210,,,ijxi xi x ()() (0,)0t 2 0 i, j = 1, 2, , N (88) S-S wt0 (0, ) 0 wL0 (,)0 t L NL Bxx K31ij w 0, x ( i , x )( j , x ) dx 2 0 Áp dụng phương trình Lagrange, ta được i, j = 1, 2, , N (89) phương trình động lực học như sau:
6. L M I( )( ) dx i, j = 1, 2, , N (90) Bảng 4. Chuyển vị tuyến tính của dầm theo N 11ij A 0 i j xấp xỉ bằng hàm lượng giác L MIdx ()() i, j = 1, 2, , N (91) 22ijAij 0 N L C-F C-C S-S MIdx ()() i, j = 1, 2, , N (92) 23ijBij 0 2 0.0632 0.0465 0.0291 L 4 0.1000 0.0477 0.0291 MIdx ()() i, j = 1, 2, , N (93) 32ijBij 0 6 0.1024 0.0481 0.0291 8 - - 0.0291 L 10 - - 0.0291 MIdx33ijDij ()() i, j = 1, 2, , N (94) 0 12 - - 0.0291 14 - - 0.0291 FPni () i = 1, 2, , N (95) Phương trình động lực học phi tuyến này 3.2 So sánh với các nghiên cứu trước Bảng 5. Hiệu ứng L/h lên tần số dao động tự được giải bằng phương pháp Newmark- . nhiên không thứ nguyên của dầm composite 3. VÍ DỤ SỐ lớp sợi không đối xứng với điều kiện biên S-S 3.1 Khảo sát sự hội tụ Tham L/h Dầm composite cross-ply hướng sợi khảo 5 10 20 50 L Khdeir [0o/90o] tiết diện b=0.5m, h=1m; 20 ; 5.953 6.886 - - h [11] P0=1000kN; =20rad/s; vp=10m/s. Vo [7] 5.886 6.848 7.187 7.294 Nguyen E1 6.128 6.945 7.219 7.302 Module đàn hồi 40 ; E 241.5 GPa ; [13] E 1 2 Đa 5.953 6.883 7.201 7.300 GGE12132 0.6 ; GE232 0.5 ; 12 0.25 ; thức 23 Lượng 13122312 ; ; 110/xKNm ; 5.953 6.883 7.201 7.300 giác ks=5/6. Tần số không thứ nguyên cơ bản thứ  L2 Kết quả thu được phù hợp với kết quả i: i . Hệ số vận tốc không thứ  i của các tác giả nghiên cứu trước đó. hE2 2 v 3.3 Khảo sát các tham số nghiên cứu nguyên  p .Trong đó ww, lần lượt 12 Bảng 6. Chuyển vị phi tuyến lớn nhất theo tần 1L là chuyển vị tuyến tính và phi tuyến của dầm. số lực kích thích  Bảng 3. Chuyển vị tuyến tính của dầm theo N  wm2 () xấp xỉ bằng hàm đa thức (rad/s) vP=10m/s vP=20m/s vP=30m/s wm() 0 0.024547 0.023864 0.031610 N 1 10 0.027155 0.024322 0.032553 C-F C-C S-S 20 0.208925 0.101124 0.073530 2 0.0000 0.0000 0.0000 30 0.025149 0.034059 0.039498 4 0.0149 0.0000 0.0327 40 0.008829 0.010012 0.012584 6 0.0351 0.0479 0.0293 50 0.004632 0.004920 0.005192 8 0.0369 0.0485 0.0295 60 0.002857 0.003124 0.003426 10 0.0375 0.0493 0.0296 Bảng 7. Chuyển vị lớn nhất theo hệ số vận tốc 12 0.0377 0.0496 0.0296 14 0.0379 0.0498 0.0296 không thứ nguyên 
7.  Hàm đa thức Hàm lượng giác 0.2 0.15 Linear wm1() wm2 () wm2 () Non-Linear  0.1 0.1 0.02349 0.02349 0.02307 0.02302 0.2 0.02455 0.02456 0.02415 0.02413 0.05 0.3 0.02619 0.02622 0.02578 0.02574 0 0.4 0.02378 0.02377 0.02379 0.02379 -0.05 0.5 0.02810 0.02812 0.02786 0.02780 -0.1 0.6 0.03152 0.03152 0.03116 0.03107 Midspan Displacement (m) Displacement Midspan 0.7 0.03417 0.03416 0.03374 0.03365 -0.15 0.8 0.03610 0.03609 0.03570 0.03559 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Time(s) 0.9 0.03733 0.03733 0.03711 0.03700 1.0 0.03800 0.03801 0.03805 0.03794 Hình 2. Chuyển vị lớn nhất của dầm theo 1.1 0.03833 0.03833 0.03861 0.03850 thời gian khi tỉ số L/h=20 1.2 0.03842 0.03842 0.03884 0.03873 4. KẾT LUẬN 1.3 0.03840 0.03840 0.03880 0.03870 Bài báo đã phân tích ứng xử phi tuyến 1.4 0.03828 0.03829 0.03855 0.03846 của dầm composite phân lớp chịu tải trọng Bảng 8. Chuyển vị lớn nhất theo tỉ số L/h điều hoà di động dựa trên lý thuyết biến dạng Hàm lượng giác Hàm đa thức cắt bậc nhất. Trong đó hai hàm xấp xỉ dạng L/h Ritz được áp dụng cho bài toán với các điều wm() wm() 2 2 kiện biên khác nhau để mang lại các đáp ứng 5 0.00117 0.00117 0.00111 0.00111 động lực học của dầm. Từ các kết quả đã 10 0.00657 0.00656 0.00659 0.00658 được thực hiện trong bài báo này có thể tiếp 15 0.02432 0.02432 0.02436 0.02424 tục phát triển cho lý thuyết dầm biến dạng 20 0.17733 0.17748 0.17774 0.15467 cắt bậc cao kết hợp sử dụng các giải thuật 25 0.22930 0.22954 0.22805 0.21283 khác để giải bài toán phi tuyến hình học x 10-3 nhằm dự đoán chính xác hơn cho ứng xử của 8 Linear dầm. 6 Non-Linear LỜI CẢM ƠN 4 Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Xây 2 isplacement (m)isplacement dựng đã truyền đạt kiến thức trong suốt quá 0 trình học tập. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn cùng sự kính trọng sâu sắc đến với -2 Thầy PGS.TS Nguyễn Trung Kiên và Thầy Midspan D Midspan -4 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 NCS. Nguyễn Ngọc Dương về sự tận tâm Time(s) hướng dẫn, định hướng nghiên cứu, cung cấp Hình 1. Chuyển vị lớn nhất của dầm theo các tài liệu và thông tin cần thiết để tôi hoàn thời gian khi tỉ số L/h=10 thành bài báo này. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M. Simsek. Vibration analysis of a functionally graded beam under a moving mass by using different beam theories. Composite Structures 2010; 92: 904–917. [2] M. Simsek. Non-linear vibration analysis of a functionally graded Timoshenko beam under action of a moving harmonic load. Composite Structures 2010; 92: 2532–2546.
8. [3] Trung-Kien Nguyen, T. Truong-Phong Nguyen, Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Vibration and buckling analysis of functionally graded sandwich beams by a new higher-order shear deformation theory. Composite PartB 2015; 76: 273-285. [4] J.N. Reddy. Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis, CRC Press, BocaRaton 2004. [5] Khdeir AA, Reddy JN. Buckling of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions. Composite Structures 1997; 37(1):1-3. [6] Aydogdu M. Buckling analysis of cross-ply laminated beams with general boundary conditions by Ritz Method.Compos Sci Technol 2006; 6610 :1248-55. [7] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Vibration and buckling of composite beams using refined shear deformation theory. International journal of Mechanical Sciences 2012; 62: 67-76. [8] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Static behavior of composite beams using various refined shear deformation theories, Composite Structure 2012; 94: 2513-2522. [9] Metin Aydogdu. Vibration analysis of cross-ply laminated beams with general boundary conditions by Ritz method. International Journal of Mechanical Sciences 2005; 47: 1740–1755. [10] Aydogdu M. Free vibration analysis of angle-ply laminated beams with general boundary conditions. J Reinf Plast Compos 2006;25(15):1571–83. [11] Khdeir AA, Reddy JN. Free vibration of cross-ply laminated beams with arbitrary boundary conditions. Int J Eng Sci 1994;32(12):1971–80 cited By (since 1996) 47. [12] Thai H-T, Vo TP. Bending and free vibration beam theories.Int J Mech Sci 2012:62(1):57-66. [13] Trung-Kien Nguyen, Ngoc-Duong Nguyen, Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Trigonometric-series solution for analysis of laminated composite beams. Composite Structures 2017; 160: 142–115. [14] Jean-Marie Berthelot. Composite Materials: Mechanical Behavior and Structural Analysis, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York in 1999. [15] Matsunaga. Vibration and bucking of multilayered composite beams according to higher order. Journal of Sound and Vibration 2001; 246(1): 47-62 [16] S. J. Song , A. M. Waas. Effects of shear deformation on buckling and free vibration of laminated composite beams. Composite Structures 1997; Vol. 37. No. 1, pp. 33-43. [17] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai. Static behavior of composite beams using various refined shear deformation theories. Composite Structures 94 2012; 2513–2522 [18] K. Chandrashekhara, K. M. Bangera. Free vibration of composite beams using a refined shear flexible beam element. Computers& Structures 1992; V ol. 43. No. 4. pp. 719-727. [19] Chandrashekhara K, Krishnamurthy K, Roy S. Free vibration of composite beams including rotary inertia and shear deformation. Compos Struct 1990; 14(4):269–79. Tác giả chịu trách nhiệm bài viết: Họ tên: Lê Ngọc Trường Đơn vị: Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM Điện thoại: 0918629283 Email:kslengoctruong@gmai.com
9. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2017-2018 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.