Phân tích ứng xử dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao với các điều kiện biên khác nhau

Nội dung text: Phân tích ứng xử dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao với các điều kiện biên khác nhau

1. PHÂN TÍCH ỨNG XỬ DẦM COMPOSITE SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU Trần B L nh1,* 1 Cty TNHH-XD-TM-Cƣờng Thịnh 63/9B Đƣờng 6- KP5- P. Linh Tây - Q. Thủ Đức - TP. Hồ Chí Minh Tóm tắt Phân tích tần số dao động và lực tới hạn của dầm composite phân lớp được thực hiện trong các nghiên cứu hiện tại sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, không kể đến hệ số chống cắt và có kể đến biến dạng cắt. Đóng góp của bài báo là nghiên cứu ứng xử của dầm composite phân lớp bằng lý thuyết biến dạng cắt và hiệu ứng trượt theo chiều dày của tiết diện dầm, đồng thời giải quyết các ẩn số cần tìm bằng lời giải giải giải tích và nhân tử Lagrange. Kết quả đạt được thể hiện rõ sự tham gia vào sự làm việc của hệ dầm của hiệu ứng trượt theo chiều dày của tiết diện dầm. Từ khóa: Dầm Composite,nhân tử Lagrange, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. 1. Giới thiệu chung 2. C sở thu t Vật liệu Composite là vật liệu đƣợc chế tạo tổng hợp Một dầm composite tiết diện chữ nhật đƣợc làm từ nhiều từ hai hay nhiều vật liệu khác nhau nhằm mục đích tạo ra lớp vật liệu đẳng hƣớng với các hƣớng sợi khác nhau đƣợc một vật liệu mới có tính năng ƣu việt hơn hẳn vật liệu ban minh họa nhƣ hình 1. đầu. Vật liệu Composite đƣợc cấu tạo từ các thành phần cốt . nhằm đảm bảo cho Composite có đƣợc các đặc tính cơ học cần thiết và vật liệu nền đảm bảo cho các thành phần của Composite liên kết, làm việc hài hoà với nhau. Vật liệu Composite đã xuất hiện từ rất lâu trong cuộc sống, khoảng 5.000 năm trƣớc Công nguyên ngƣời cổ đại đã biết vận dụng vật liệu composite vào cuộc sống (ví dụ: sử dụng bột đá trộn với đất sét để đảm bảo sự dãn nở trong quá trình nung đồ gốm). Ngƣời Ai Cập đã biết vận dụng vật liệu Composite từ khoảng 3.000 năm trƣớc công nguyên, sản phẩm điển hình là vỏ thuyền làm bằng lau, sậy tẩm pitum về sau này các thuyền đan bằng tre trát mùn cƣa và nhựa thông Hình 1 hay các vách tƣờng đan tre trát bùn với rơm, rạ là những sản 2.1 Luật ứng xử 1 phẩm Composite đƣợc áp dụng rộng rãi trong đời sống xã hội. Sự phát triển của vật liệu composite đã đƣợc khẳng định Phƣơng trình ứng xử tổng quát của vật liệu trong hệ tọa độ địa và mang tính đột biến vào những năm 1930 khi mà stayer và phƣơng Thomat đã nghiên cứu, ứng dụng thành công sợi thuỷ tinh; 11 c11 c 12 c 13 c 14 c 15 c 16 11 Fillis và Foster dùng gia cƣờng cho Polyeste không no và  c c c c c c giải pháp này đãđƣợc áp dụng rộng rãi trong ngành công 22 12 22 23 24 25 26 22 (1) nghiệp chế tạo máy bay, tàu chiến phục vụ cho đại chiến thế 33c13 c 32 c 33 c 34 c 35 c 36 33 giới lần thức hai .Tính ƣu việt của vật liệu Composite là khả 23 c14 c 42 c 43 c 44 c 45 c 46 23 năng chế tạo từ vật liệu này thành các kết cấu sản phẩm theo  c c c c c c những yêu cầu kỹ thuật khác nhau mà ta mong muốn, các 13 15 52 53 54 55 56 13 thành phần cốt của Composite có độ cứng, độ bền cơ học 12 c16 c 62 c 63 c 64 c 65 c 66 12 cao, vật liệu nền luôn đảm bảo cho các thành phần liên kết Đối với vật liệu trực hƣớng hài hoà tạo nên các kết cấu có khả năng chịu nhiệt và chịu sự ăn mòn của vật liệu trong điều kiện khắc nghiệt. Cho tới 11 c11 c 12 c 13 000 11 ngày nay vật liệu composite vẫn ngày càng đƣợc sử dụng  c c c 000 rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau đặc biệt trong lĩnh 22 12 22 23 22 (2)  c c c 000 vực xây dựng trong nhƣng năm gần đây thì kết cấu 33 13 32 33 33 composite thƣờng đƣợc các kỹ sƣ lựa chọn bởi độ bền, cứng 23 0 0 0c44 0 0 23 và nhẹ của chúng, khả năng chống ăn mòn và không chịu 130 0 0 0c 55 0 13 ảnh hƣởng của từ tính nhằm giải quyết một số giải pháp về 12 0 0 0 0 0 c 66 12 kết cấu.       *Tác giả: Điện thoại: (+84)987 589 916 Trong đó: c 21 31 23 12 32 13 12 EEEE 2 3 1 3 Email: tranbalinhxd@gmail.com 1 23 32 31  21  32  13  12  23 c11 , c13 EE EEEE 23 2 3 1 2 48
2. 1        Chuyển hệ trục tọa độ địa phƣơng sang hệ trục tổng thể ta có: 13 31 32 12 31 23 21 13 1 12 21 c22 , c23 , c EE EEEE 33 EE 13 1 3 1 2 12  xx c11 c 12 c 1300 c 16 xx c G;; c G c G  44 23 55 13 66 12 yy c12 c 22 c 2300 c 26 yy (7a)  12          zzc13 c 32 c 3300 c 36 zz 12 21 23 32 31 13 21 32 13 yz 0 0 0cc 0 yz EEE1 2 3 44 45 xz0 0 0cc54 55 0 xz Áp dụng cho bài toán ứng suất phẳng (σ22=σ12=σ23):  c16 c 62 c 6300 c 66 ()()kk ()()kk xy xy ()k E ()k 13E 3 12E 2 Q()k 1 Q 11 ()k 13 ()()()()k k k k Trong đó: 1 12 21 11 13  31  12  21 ()k ()k cij : Các hằng số của ma trận độ cứng trong hệ tọa độ tổng thể ()k E3 E2 Q 33 11 ()()()()k  k  k  k 4 2 2 4 13 31 12 21 c11 c 11cos 2( c 12 2 c 66 )sin  cos  c 22 sin  ()()kk ()()kk QG ; QG()()kk ;QG c ( c c 4 c )sin2 cos 2  c (sin 4  c os 4  ) 66 12 44 23 55 13 12 11 22 66 12 ()()()k k k QQ0 22 11 11 13 11 c ccos c sin 13 13 23 33 QQ 13 330 33 (3) 33 c16 ( c 11 c 12 2 c 66 )sin cos  ( c 12 c 22 2 c 66 ) c 12 sin  c os  13 00Q 55 13 4 2 2 4 c ccos 2( c 2 c )sin  cos  c sin  22 22 12 66 11 Chuyển trục tọa độ địa phƣơng sang hệ tọa độ tổng thể và c ccos22 c sin bỏ qua ứng suất theo phƣơng z (σzz=0) , phƣơng trình ứng xử 23 23 13 của dầm lúc này đƣợc viết lại: c ( c c 2 c )sin33 cos  ( c c 2 C ) c sin  c os  26 11 12 66 12 22 66 12 ' c ( c c )cos sin  Q 0  36 12 23 xx 11 xx (4) ' c ccos22 c sin (7b)  0 Q  44 44 55 xz 55 xz c ( c c )cos sin 45 55 44 QQQQQ' cos 4 2( 2 )sin 2  cos 2  sin 4  11 11 12 66 22 22 c55 c 55cos c 44 sin ' 2 2 QQQ55 55cos 44 sin c [ c c 2( c c )]sin2 cos 2  c (sin 4  c os 4  ) ’ 66 11 22 12 66 66 Qij : Hằng số độ cứng của vật liệu trong hệ tọa độ tổng thể Áp dụng cho bài toán ứng suất phẳng (σ =σ =σ =0): 2.2 Luật ứng xử 2 yy xy yz Phƣơng trình ứng xử tổng quát của vật liệu trong hệ tọa độ địa  CC11 13 0 (8) xx xx phƣơng  CC0 zz 13 33 zz  c c c c c c  00C 1111 12 13 14 15 16 11 xz 55 xz 22c12 c 22 c 23 c 24 c 25 c 26 22 (5) 2CCCCCCCCCCCC 2 2 2  c c c c c c C 12 16 26 16 22 11 26 12 66 11 22 66 33 13 32 33 34 35 36 33 11 CCC 2 22 66 26 23 c14 c 42 c 43 c 44 c 45 c 46 23 CCCCCCCCCCCCCCCCC 2 13c15 c 52 c 53 c 54 c 55 c 56 13 C 16 23 26 26 13 16 22 36 12 26 36 13 22 66 12 23 66 13 CCC 2 22 66 26 12 c16 c 62 c 63 c 64 c 65 c 66 12 2CCCCCCCCCCCC 2 2 2 Đối với vật liệu trực hƣớng C 23 26 36 26 33 22 36 23 66 33 22 66 33 CCC 2 22 66 26 11 c11 c 12 c 13 000 11 C c c c 000 45 22 12 22 23 22 CC55 55 (6) C  c c c 000 44 33 13 32 33 33 23 0 0 0c44 0 0 23 Bỏ qua sự tƣơng tác giữa các lớp vật liệu (σzz=0), phƣơng  0 0 0 0c 0 trình ứng xử của dầm lúc này đƣợc viết lại: 13 55 13  0 0 0 0 0 c xx Q11 0 xx 12 66 12 ()9 xz 0 Q55 xz C 2 C QC 13 , QCC 45 11 11 55 55 55 C C33 44 49
3. 2.3 T ờn chu ển vị Tổng năng lƣợng của hệ  UVKV (13) Chuyển vị theo phƣơng trục x và trục z của 1 điểm bất f kỳ thuộc dầm đƣợc xác định theo công thức sau: Trong đó: U là năng lƣợng biến dạng của vật thể, V là công của tải trọng ngoài, K là động năng, vf là năng lƣợng biến dạng của nền. Năng lượng biến dạng của dầm: 11L 22s U (xx  xx  xz  xz ) dv [ A ( u,,,,,, x ) 2 Bu x w xx D ( w xx ) 2 B u x  x 22v 0 s s22 s 2D w H (  ) A  ] dx (14 a ) ,,,xx x x h/2 (A , B , D , Bs , D s , H s ) (1, z , z2 , f , zf , f 2 ) Q ' bdz ; (14b ) 11 h/2 h/2 s 2 Hình 2. Mô hình biến dạng của dầm composite A= g G ( z ) bdz (14 c ) h/2 w0 (10a) u x, z u0 x z f z x x Công do tải trọng ngoài: x (10b) L 2 w(,)() x z w0 x V N( w ) dx (15) 0,x 0 Trong đó: u , w là các thành phần chuyển vị của điểm o o trên mặt trung bình của dầm theo các phƣơng x và z , là góc x Động năng của hệ: quay từ giữa mặt dầm đến trục x, f(z) là một hàm dạng đặc trƣng cho sự phân bố của các lực cắt ngang và ứng suất suốt 1 L chiều sâu của dầm. Trong đề tài này hàm fz() đƣợc chọn nhƣ K ( u2 wdv 2 ) [ Iu-2Iuw 2 I(w ) 2 2 Ju  2 Jw  2 (z ) 0 1 , x 2 , x 1 2 , x sau: hz v 0 fz( ) sin 22 h k20 I w] dx (16) 2.4 T ờng bi n dạng Các thành phần biến dạng đƣợc xác định từ quan hệ biến Trong đó: ρ là khối lƣợng riêng của mỗi lớp, I0,I1,I2,J1 J2 K2 là các hệ số quán tính, dấu chấm dùng để chỉ đạo hàm theo thời dạng và chuyển vị trong lý thuyết đàn hồi và biểu diễn dƣới gian dạng: h/2 22 (IIIJJK0 , 1 , 2 , 1 , 2 , 2 ) (1, zzfzff , , , , ) (z ) bdz (17) 2 u uw00   x h/2  xx z f() z x  x  x2  x (0) z  (1) f( z )  (2) (11a) xx xx xx Năng lượng biến dạng của nền: uv  g( z )  f' ( z )  (11b) xzzx x x 2 (0) u  w Trong đó:  0 ;  (1) 0 là biến dạng màng và độ xx x xx x2 cong của dầm 2.5 T ờng ứng suất Hình 3.Mô tả sự làm việc của dầm composite trên nền đàn hồi Quan hệ tuyến tính giữa ứng suất - biến dạng đƣợc biểu diễn theo trạng thái ứng suất phẳng: 1 L w V [ k w22 -k ( ) ] dx (18) ' ' (0) (1) (2) f w s xx QQ11  xx 11[  xx z  xx f ( z )  xx ] (12a) 2 0 x ''' Q Q f( z ) (12b) Trong đó: kw , ks các hệ số độ cứng do uốn và cắt.  xz55 xz 55 x ' Thay các phƣơng trình (14), (15) , (16), (18) vào phƣơng trình xx  Q11 0 xx  (12c)  '  0 Q xz  55 xz  (13) ta có: Trong đó: ' 4 2 2 4 QQQQQ11 11cos 2( 12 2 66 )sin  cos  22 sin  ' 2 2 QQQ55 55cos 44 sin 2.6 Phi m h m năn ợn v ph n t ình L n e 50
4. 1 L L A( u )2 2 Bu w D (w ) 2 2 Bs u  2 D s w  H s (  ) 2 A s  2 dx M11 I dx; (21g) 2 ,,,,,,,,,x xxx xx xx xxx x ij 0 ij 0 0 LLL11 L [ k w k w2 ] dx [ N ( w ) 2 q w] dx [ I u 2 2 I uw I ( w )2 M12 I dx; (21h) s, xx w22 0 , x 0 1 , x 2 , x ij 1 i j , x 0 0 0 0 2J u 2 J  w K  22 I w ]dx L 1 2 ,x 2 0 M13 J dx (21i) ij 1 ij Ph n t ình L n e : 0 d LL ( ) 0 (19) 22 Mij I 0 i j dx I 2 i , x j , x dx; (21j) qjj dt q 00 L q (;;) u w  M23 J  dx(21 k ) j j j j ij 2 i , x j 0 2.7 Lời giải giả t ch. L M33 k dx(21 l ) Để thu đƣợc phƣơng trình chuyển động, trƣờng chuyển vị ij 2 ij 0 đƣợc xấp xỉ bởi các hàm sau: m 2.8 Áp dụn c c ều kiện b n kh c nh u cho dầm it u( x , t )  jj ( x ) u e (20a) composite j 1 Chọn hàm dạng. m it j 1 w( x , t )  jj w e (20b)  (xx ) ; (22a) j 1 (x ) xj 1 (22 b ) m it (x , t )  jj ( x )  e (20c) j 1 Để áp đặt các điều kiện biên khác nhau phƣơng pháp nhân tử Lagrange đƣợc sử dụng và đƣợc viết lại nhƣ sau: Trong đó ψj(x), φj(x), là các hàm dạng. uj,wj,θj là các tham *  uxˆ ( ) (23) số và sẽ đƣợc xác định từ điều kiện cực trị của thế năng toàn ii Trong đó: là nhân tử Lagrange, ˆ biểu thị các giá trị phần П.  là tần số dao động tự do của dầm, i = -1. i ui Áp dụng phƣơng trình Lagrange chuyển vị tại các vị trí xL 0, d Sử dụng phƣơng trình Lagrange. 0 q dt q jj  d 0 Trong đó qj là thành phần đại diện cho(uj,wj,θj) qjj dt q Thay vào ta thu đƣợc phƣơng trình động học: Ta thu đƣợc phƣơng trình động học để giải bài toán toán tải trọng ổn định tới hạn và tần số dao động tự do. 11 12 13 11 12 13 11 12 13 14 11 12 13 k k k M M M u  0  k k k k M M M 0  u0   12 22 23 2 12 22 23 k k k  M M M w 0 (20d) 12 22 23 24 12 22 23   k k k k2 M M M 0 w0     (24) k13 k 23 k 33 M 13 M 23 M 33 θ0 k13 k 23 k 33 k 34 M 13 M 23 M 33 0  0   14 24 34 k k k 0 0 0 0 0    0  Với K là ma trận độ cứng của kết cấu, M là ma trận khối lƣợng Trong đó các phần tử của ma trận k14 k24 k34 phụ thuộc và đƣợc xác định . vào điều kiện biên về chuyển vị. 11 L Bảng 1. Bảng điều kiện biên của dầm theo lý thuyết biến kij = A ψ i,x ψ j,xx dx; (21a) 0 dạng cắt bậc cao 12 L k = -B ψ φ dx; (21b) ij0 i,x j,xx Điều kiện biên Vị trí x=0 Vị trí x=L 13 s L Ngàm-Ngàm C-C u = 0, w =0, u = 0, w = 0, k = B ψ ψ dx (21c) ij0 i,x j,x θ = 0 w,x = 0 θ = 0 w,x = 0 LLL Ngàm -Tự do C-F 22 u = 0, w =0, kij D ixxjxx , , dx N 0 ixjx , , dx k wi (x) j (x)dx θ = 0 w,x = 0 0 0 0 L Ngàm -Tựa đơn C-S u = 0, w =0, -k (x)dx (21d) w=0 s i,, x j x θ = 0 w,x = 0 0 Dầm đơn giản S-S w=0 w=0 L 23 s kij = D φi,xx ψ j,x dx (21e) 0 Dầm hai đầu ngàm (C-C) LL 14 14 14 Với j = 3,4 8 ki1  i(0); k i 2 i ( L ); k ij 0 33 ss kij Hi , x  j , x dx A  i j dx ()21f 24 24 24 24 24 ki3 i(0); k i 4 i ( L ); k i 5 i , x (0); k i 6 i , x ( L ); k ij 0 00 Với j = 1,2,7,8. k34 (0); k 34  ( L ); k 34 (0) Với j = 1,2 6. i7 i i 8 i ij i , x Dầm đầu ngàm đầu tự do (C-F) 14 14 , Với j = 2,3,4. kkii1  (0); ij 0 51
5. 24 24 24 24 , Với j = 1,4. Kết quả thu được khả quan, có sự chênh lệch không lớn ki2 i(0); k i 3 i , x (0); k i 5 i , x (0); k ij 0 giữa kết quả nghiên cứu và kết quả của các tác giả nghiên cứu kk34 (0); 34 0 Với j = 1,2,3. khác được thể hiện trong Bảng 3. ii4 ij , 3.2 Tính toán lực ổn định của dầm composite tiết diện chữ Dầm đầu ngàm đầu tựa đơn (C-S) nhật 14 14 Với j = 2,3,4,5 Dầm composite cross-ply tựa đơn với hướng sợi đối xứng kkii1  (0); ij 0 [00/900/00] và hướng sợi không đối xứng [00/900]. Bài toán k24 (0); k 24 ( L ); k 24 (0); k 24 0 Với j = 1,5. i2 i i 3 i i 4 i , x ij nghiên cứu trên 2 loại vật liệu. 34 34 Với j = 1,23. kkii4 (0); ij 0 Vật liệu 2: module đàn hồi E1/E2 = 10, E1=241.5 Gpa, Dầm đơn giản (S-S) G12 = G13 = 0.6E2, 14 Với j = 1,2. G23 = 0.5E2, ; ; kij 0 24 24 34 Với j = 1,2. Vật liệu 3: module đàn hồi ki1 i(0); k i 2 i ( L ); k ij 0 E1/E2 = 10, E1=241.5 Gpa, G12=G13=0.5E2, 3. VÍ DỤ SỐ: 3.1 Tính toán tần số dao động của dầm composite. G 23 = 0.2 E 2 , ; ; Dầm composite cross-ply tựa đơn với hƣớng sợi đối Xác định lực ổn định tới hạn của dầm composite. xứng [00 /900 /00 ] và hướng sợi không đối xứng [00 /900 ]. Bảng 4: Lực ổn định tới hạn không thứ nguyên cơ bản của Trong đó vật liệu có thông số như sau: dầm composite cross-ply đối xứng và không đối xứng với Module đàn hồi điều kiện biên tựa đơn E1/E2 = 40, E1 = 241.5 GPa, G12 = G13 = 0.6E2 , G23 = 0.5E2 Lớp Sợi Lý Tham L/h ; ; ρ=10-2 kg/m3 12 0.25 12 13 12 23 ; Thuyết khảo 5 10 20 50 Vật liệu II Xác định tần số dao động của dầm. Giá trị của tần số dao 0 0 0 động tự nhiên không thứ nguyên với tỉ số nhịp - chiều cao tiết [0 /90 /0 ] FOBT Vo[4] 4.752 6.805 7.630 7.897 diện được so sánh với phương pháp chính xác [20] và phương Aydogdu pháp phần tử hữu hạn [22,4] HOBT [23] 4.726 6.805 7.666 7.897 Bảng 3: Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên cơ Vo[4] 4.709 6.778 7.620 7.896 bản của dầm composite cross- ply đối xứng và không đối xứng Luật với điều kiện biên tựa đơn. ứng xử 1 4.727 6.813 7.721 7.902 Luật Lớp Sợi Lý Tham L/h ứng xử 2 4.709 6.776 7.619 7.895 0 0 Thuyết Khảo 5 10 20 50 [0 /90 ] FOBT Vo[4] 1.883 2.148 2.226 2.249 Aydogdu Khdeir and HOBT [23] 1.919 - 2.241 - Reddy Vo[4] 1.910 2.156 2.228 2.249 [00/900/00 ] FOBT [20] 9.205 13.670 - - Luật Khdeir and ứng xử 1 1.923 2.169 2.241 2.262 Reddy Luật HOBT [20] 9.208 13.614 - - ứng xử 2 1.913 2.156 2.227 2.248 Vật liệu III Aydogdu 0 0 0 [22] 9.207 - 16.337 - [0 /90 /0 ] FOBT Vo[4] 4.069 6.420 7.503 7.875 Vo[4] 9.206 13.607 16.327 17.449 Aydogdu Luật HOBT [23] 3.728 - 7.459 - ứng xử1 9.224 13.614 16.336 17.462 Vo[4] 3.717 6.176 7.416 7.860 Luật Luật ứng xử2 9.222 13.608 16.326 17.448 ứng xử 1 3.688 6.174 7.409 7.859 Khdeir and Luật ứng xử 2 3.677 6.144 7.405 7.857 Reddy 0 0 [00/900 ] FOBT [20] 5.953 6.886 - - [0 /90 ] FOBT Vo[4] 1.605 1.876 1.958 1.983 Khdeir and Aydogdu Reddy HOBT [23] 1.765 - 2.226 - HOBT [20] 6.128 6.945 - - Vo[4] 1.758 2.104 2.214 2.247 Aydogdu Luật [22] 6.144 - 7.218 - ứng xử 1.771 2.117 2.227 2.260 Vo[4] 6.058 6.909 7.204 7.296 Luật Luật ứng xử 2 1.762 2.105 2.213 2.246 ứng xử 1 6.085 6.922 7.211 7.301 Luật Kết quả thu được khả quan, có sự chênh lệch không lớn ứng xử 2 6.081 6.917 7.205 7.295 giữa kết quả nghiên cứu và kết quả của các tác giả nghiên cứu khác được thể hiện trong Bảng 3.2. 52
6. 3.3 Tần số dao động của lớp sợi đối xứng của dầm composite Vẽ đồ thị biểu diễn sự biến đổi của lực ổn định tới hạn và tần với hướng sợi thay đổi và các điều kiện biên khác nhau. số dao động tự nhiên với lớp sợi đối xứng và hướng sợi thay Dầm composite nhiều lớp sợi trong các điều kiện biên đổi trong những điều kiện biên khác nhau trong các trường khác nhau với lớp sợi đối hợp: xứng [θ/- θ] trong đó góc xoay của hƣớng sợi thay đổi. L/h = 5,10 Vật liệu1: Module đàn hồi E1=144.9 Gpa, E2=9.65 Gpa; Để thuận tiện, những trƣờng hợp tính toán không thứ E2=E3, G12=G13=4.14 GPa, G23 = 3.45 GPa, 12 0.3 ; nguyên được sử dụng từ những kết quả có sẵn: 2 2 3 ; pLcr  L 12 13 12 23 ; 1389kg / m ; L/h=15 p ;  cr E bh3 hE Xác định tần số dao động tự nhiên của dầm composite sử 1 1 dụng nhân tử Lagrange ở các điều kiện biên khác nhau Bảng 5: Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite lớp sợi đối xứng, góc sợi thay đổi. Điều kiện Biên Tham Khảo Góc sợi 00 150 300 450 600 750 900 CC Aydogdu [22] 4.973 4.294 2.195 1.929 1.669 1.612 1.619 Chandrashekhara [27] 4.849 4.664 4.098 3.184 2.198 1.682 1.620 Krishnaswamy [28] 4.487 3.988 2.878 1.947 1.669 1.612 1.619 Chen [29] 4.858 3.648 2.345 1.838 1.671 1.616 1.624 Vo [4] 4.897 4.570 3.236 1.992 1.631 1.606 1.615 Luật ứng xử 1 4.957 4.758 4.160 3.211 2.206 1.684 1.622 Luật ứng xử 24.932 3.310 2.187 1.763 1.624 1.609 1.619 SS Aydogdu [22] 2.651 1.896 1.141 0.804 0.736 0.725 0.729 Chandrashekhara [27] 2.656 2.511 2.103 1.537 1.012 0.761 0.732 Vo [4] 2.649 2.404 1.554 0.908 0.736 0.725 0.730 Luật ứng xử 12.656 2.511 2.103 1.536 1.012 0.761 0.732 Luật ứng xử 22.649 1.509 0.998 0.795 0.731 0.724 0.729 CF Aydogdu [22] 0.98 0.676 0.414 0.288 0.262 0.258 0.260 Chandrashekhara [27] 0.982 0.925 0.768 0.555 0.363 0.272 0.262 Vo [4] 0.980 0.884 0.561 0.325 0.263 0.259 0.261 Luật ứng xử 1 0.983 0.926 0.768 0.555 0.363 0.272 0.262 Luật ứng xử 2 0.981 0.570 0.358 0.284 0.261 0.259 0.260 CS Aydogdu [22] 3.775 2.960 1.671 1.178 1.150 1.122 1.129 Chandrashekhara [27] 3.731 3.559 3.057 2.303 1.551 1.175 1.136 Krishnaswamy [28] 3.887 3.243 2.213 1.388 1.146 1.129 1.131 Vo [4] 3.818 3.508 2.354 1.402 1.141 1.123 1.130 Luật ứng xử 1 3.910 3.676 2.982 3.291 1.624 1.204 1.156 Luật ứng xử 2 3.899 3.230 1.596 1.259 1.154 1.145 1.153 . Hình 4 Sự thay đổi của lƣc ổn định tới hạn không thứ Hình 5 Sự thay đổi của lƣc ổn định tới hạn không thứ nguyên Pcr theo sự thay đổi của  trong các điều kiện biên nguyên theo sự thay đổi của trong các điều kiện biên khác nhau và L/h=5 khác nhau và L/h=10 53
7. 5 \ Bảng 7 Tần số dao động của dầm theo luật ứng xử 2 khi góc sợi không đối xứng. 4 kw 0 10 100 1000 3 CC ks 2 SS 10 7.209 7.204 7.164 6.743 CF 102 7.225 7.221 7.180 6.760 1 103 7.387 7.383 7.344 6.934 0 104 8.848 8.844 8.811 8.473 0 15 30 45 60 75 90 Trƣờng hợp góc sợi đối xứng [00 /900 /00 ] Hình 6 Sự thay đổi của tần số dao động không thứ Bảng 8 Tần số dao động của dầm theo luật ứng xử 1 khi nguyên theo sự thay đổi của  trong các điều góc sợi đối xứng. kiện biên khác nhau và L/h=15 kw 0 10 100 1000 Kết quả thu được khả quan, có sự chênh lệch ks không lớn giữa kết quả nghiên cứu và kết quả của các 10 15.562 15.560 15.541 15.351 tác giả nghiên cứu khác được thể hiện trong bảng 5 102 15.569 15.567 15.548 15.358 Đồ thị biểu thị sự làm việc của cấu kiện trong các 103 15.646 15.644 15.625 15.436 điều kiện biên khác nhau, trong đó khả năng chịu dao 104 16.389 16.387 16.369 16.189 động và ổn định của cấu kiện C-C là lớn nhất đổi và Bảng 9. Tần số dao động của dầm theo luật ứng xử 2 khi thấp nhất là C-F. Kết quả là hợp lý. Đồng thời đồ thị góc sợi đối xứng. cho thấy rõ khi góc sợi thay đổi làm ảnh hưởng lớn kw 0 10 100 1000 đến độ cứng của cấu kiện. Góc sợi càng tăng từ 00 ks 0 đến 90 làm độ cứng của cấu kiện càng giảm. 10 15.552 15.550 15.532 15.341 3.4 Tính toán tần số dao động của dầm composite trên nền 102 15.560 15.558 15.539 15.349 đàn hồi 103 15.636 15.634 15.616 15.426 Dầm composite cross-ply trên nền đàn hồi hƣớng sợi đối 104 16.381 16.378 16.361 16.180 xứng [00/900/00] và hướng sợi không đối xứng [00/900]. Trong đó vật liệu có thông số như sau: 3.5. Tính lực ổn định của dầm composite trên nền đàn hồi . Module đàn hồi E /E = 40, E = 241.5 GPa , 1 2 1 Dầm composite cross-ply trên nền đàn hồi với hƣớng sợi 0 0 0 0 0 G12 = G13 = 0.6E2 , G23 = 0.5E2 đối xứng [0 /90 /0 ] và hướng sợi không đối xứng [0 /90 ]. Trong đó vật liệu có thông số như sau:  0.25 ;  ; 12 12 13 12 23 Module đàn hồi E1 /E2 = 40, E1= 241.5GPa , Xác định tần số dao động của dầm . G12 = G13 = 0.6E2 , G23 = 0.5E2 0 0 Trƣờng hợp góc sợi không đối xứng [0 /90 ]. ; ; Xác định lực ổn định tới hạn của dầm . Bảng 6 Tần số dao động của dầm theo luật ứng xử 1 khi góc Trƣờng hợp góc sợi không đối xứng [00 /900 ]. sợi không đối xứng. Bảng 10 Lực ổn định theo luật 1 khi góc sợi không đối xứng kw kw 0 10 100 1000 0 10 100 1000 ks ks 10 7.224 7.219 7.179 6.758 10 5.305 5.298 5.239 4.643 2 10 7.240 7.236 7.195 6.775 102 5.329 5.323 5.263 4.667 3 10 7.403 7.398 7.359 6.948 103 5.571 5.564 5.505 4.908 4 10 8.864 8.860 8.827 8.488 104 7.987 7.981 7.921 7.325 54
8. Bảng 11. Lực ổn định tới hạn của dầm theo luật ứng xử 2 khi pL2 cr ; pcr 3 góc sợi không đối xứng E bh kw - Công thức tần số dao động tự nhiên 0 10 100 1000  L2 ks  hE 10 5.297 5.290 5.231 4.634 2 4. K t luận 10 5.321 5.315 5.255 4.658 Nghiên cứu này đã giải quyết đƣợc bài toán động lực học 103 5.563 5.556 5.497 4.900 của dầm làm từ vật liệu composite phân lớp với các điều kiện biên khác nhau . 4 10 7.979 7.972 7.913 7.317 Xây dựng mô hình, thiết lập bài toán để phân tích ứng xử của dầm composite trên nền đàn hồi. Chƣơng trình cũng đã kiểm chứng với các kết quả đã có 0 0 0 Trƣờng hợp góc sợi đối xứng [0 /90 /0 ] của các nghiên cứu trƣớc tƣơng tự từ đó thấy mức độ tin cậy Bảng 12. Lực ổn định tới hạn của dầm theo luật ứng xử 1 khi và chính xác nhất định của bài toán. góc sợi đối xứng TÀI LIỆU THAM KHẢO kw 0 10 100 1000 [1] Ghugal YM, Shimpi RP. A review of refined shear k s deformation theories forisotropic and anisotropic laminated 10 24.568 24.553 24.502 23.909 beams. Jonrnal of Reinforced Plastics and Composite, 20, 255-72, 2001. 102 24.590 24.586 24.524 23.928 [2] Aguiar R, Moleiro F, Soares CM. Assessment of mixed 103 24.830 24.822 24.768 24.176 and displacement-basedmodels for static analysis of composite 4 beams of different cross-sections.Compos Struct, 94, 601–16 10 27.252 27.241 27.184 26.582 ,2012. [3] T.P.Vo, H-T-Thai. A quasi-3D theory for vibration and Bảng 13. Lực ổn định tới hạn của dầm theo luật ứng xử 2 buckling of functionally graded sandwich beams. Composite Structures, 119, 1-12, 2015. khi góc sợi đối xứng [4] T.P.Vo,H-T-Thai. Vibration and buckling of composite beams using refined shear deformation theory. International kw 0 10 100 1000 journal of Mechanical Sciences , 62, 67-76, 2012. ks [5] T.P.Vo, H-T-Thai. Static behavior of composite beams 10 24.538 24.531 24.472 23.876 using various refined shear deformation theories. Compos Struct , 94, 2513–22, 2012 102 24.562 24.556 24.496 23.900 [6] Nguyen Dinh Duc, Hoang Van Tung. Mechanical and 103 24.804 24.797 24.738 24.142 thermal postbuckling of higher order shear deformable functionally graded plates on elastic foundations. Composite 104 27.220 27.214 27.154 26.558 Structures, 93,1854-1865, 2011. [7] Dao Huy Bich, Dao Van Dung. Nonlinear dynamical 3.6 Vật liệu v côn thức trực giao. analysis of eccentrically stiffened functionally graded Để dễ dàng theo dõi và đối chiếu, tất cả các vật liệu được sử cylindrical panels. Composite Structures, 94, 2465-2473, dụng các ví dụ số được tập hợp. Đồng thời công thức trực giao 2011. được giải thích rõ vì các kết quả của tần số và lực ổn định tới [8] Nguyen Trung Kien, Nguyen T. Truong Phong, Thai Huu hạn trong các ví dụ số đều được trực giao bằng các công thức Tai, Vo Thuc P. Vibration and buckling analysis of này nhằm đưa các giá trị tính toán được về giá trị không thứ Functionally graded sandwich beams by a new higher-order nguyên để dễ dàng so sánh. shear deformation theory, Composite Part B, 76, 273-285, a) Vật liệu . 2015. [9] Reddy JN. Mechenics of laminated composite plates: Vật liệu1: Module đàn hồi E1 = 144.9 Gpa, E2 = 9.65 Gpa; theory and analysis, CRC Press; 1997. E1 = E3, G12 = G13 = 4.14 GPa, G23 = 3.45GPa, L/h=15,  0.3 , , , 1389kg / m3 . [10] Neves AMA, Ferreira AJM, Carrera E, Roque CMC, 12 12 13 12 23 Cinefra M, Jorge RMN, et al. A quasi-hyperbolic shear Vật liệu 2: module đàn hồi E1/E2 = 10, E1=241.5 Gpa, deformation theory for the static and free vibration analysis of G12 = G13 = 0.6E2, functionally greade plates. Compos Struct, 94, 1814-25, 2012.   G23 = 0.5E2, 12 0.25 ; 12 13 ; 12 23 [11] Neves AMA, Ferreira AJM, Carrera E, Roque CMC, Cinefra M, Jorge RMN, et al. Static, free vibration and Vật liệu 3: module đàn hồi: E1/E2 = 10, E 1= 241.5 Gpa, buckling analysis of isotropic and sandwich functionally G12 = G13 = 0.5 E2, graded paltes using a quasi-3D higher-order shear deformation G23 = 0.2E2, ; ; . theory and a meshless technique. Compos Part B Eng, 44,657- 74, 2013. b) Công thức trực giao . - Công thức lực ổn định tới hạn 55
9. [12] Mantary JL,Soares CG. Generalized hybrid quasi-3D [22] Aydogdu M. Vibration analysis of cross-ply laminated shear deformation theory for the static analysis of advanced beams with general boundary conditions by Ritz method.Int J composite plates. Compos Struct, 94,2561-75, 2012. Mech Sci,47,1940-55, 2005. [13] Thai H-T, Vo TP, Bui TQ, Nguyen T-K.A quasi–3D [23] Aydogdu M. Buckling analysis of cross-ply laminated hyperbolic shear deformation theory for functionally beams with general boundary conditions by Ritz gradedplates. Acta Mech , 1-14, 2013. Method.Compos Sci Technol ,66,1248-55, 2006. [14] Thai H-T Choi D-H. A simple quasi-3D sinusoidal shera [24] Chandrashekhara K, Bangera K. Free vibration of deformation theory for functionally graded plates. Compos composite beams using a refine shear flexible beam element. Struct, 99,172-80, 2013. Compos Struct, 43,719-27, 1992. [15] Thai H-T Choi D-H. Improved refined plate theory [25] Zhen W, Wanji C. An assessment of several displacement accounting for effect of thickness stretching in functionally – based theries for the vibration and stability analysis of graded plates. Compos Part B: Eng, 56,705-16, 2014. laminated composite and sandwich beams. Compos Struct, [16] Mashat DS, Carrera E, Zenkour AM, Khateeb SAA, 84,337-49, 2008. Filippi M. Free vibraion of FGM Layered beams by various [26] Fiorenzo A. Fazzolari, Erasmo Carrera.Refined theories and finite elements. Compos Part B: Eng, 59,269-78, hierarchical kinematics quasi-3D Ritz models for free 2014. vibration analysis of doubly curved FGM shells and sandwich [17] Reddy JN. A simple higher-order theory for laminated shells with FGM core. Journal of Sound and composite plates. J appl Mech, 51,745-52, 1984. Vibration,Volume 333, Issue 5, 28 February 2014, Pages [18] Nguyen T-K, Vo TP, Thai H-T. Static and free vibration 1485–1508 of axially loaded functionally graded beams based on the first- [27] Chandrashekhara K, Krishnamurthy K,Roy S. Free order shear deformation theory. Compos Part B: Eng, 55,147- vibration of composite beams Including rotary inertia and 57, 2013. shear deformation. Compos Struct,14,269-79, 1990. [19] Thai H-T, Vo TP. Bending and free vibration beam [28] Krishnaswamy S, Chandrashekhara K,WU WZB. theories.Int J Mech Sci, 62,57-66, 2012. Analytical solutions to vibration of generally layered [20] Khdeir AA, Reddy JN. Free vibration of cross-ply composite beams. J Sound Vib, 159, 85-99, 1992. laminated beams with arbitrary boundary conditions. Int J [29] Chen WQ, Lv CF, Bian ZG. Fre vibration analysis of Mech Sci, 32,1971-80, 1994. generally laminated beams via state-space-based differential [21] Khdeir AA, Reddy JN. Buckling of cross-ply laminated quadrature. Compos Struct, 63, 417-25, 2004. beams with arbitrary boundary conditions.Compos Struct, 37,1-3, 1997. 56
10. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2017-2018 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.