Phân tích ứng xử dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

Nội dung text: Phân tích ứng xử dầm composite sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

1. PHÂN TÍCH ỨNG XỬ DẦM COMPOSITE SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO Hoàng Thiện Tâm1,* 1 Công Ty TNHH G-tech Việt Nam 24-26, Giang Văn Minh, Phường An Phú, Quận 2, Tp HCM Tóm tắt Phân tích tần số dao động và lực tới hạn của dầm composite phân lớp được thực hiện trong các nghiên cứu hiện tại sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, không kể đến hệ số chống cắt và có kể đến biến dạng cắt. Đóng góp của bài báo là nghiên cứu ứng xử của dầm composite phân lớp bằng lý thuyết Quasi-3D có kể đến biến dạng cắt và hiệu ứng trượt theo chiều dày của tiết diện dầm, đồng thời giải quyết các ẩn số cần tìm bằng lời giải giải tích Ritz và nhân tử Lagrange. Kết quả đạt được thể hiện rõ sự tham gia vào sự làm việc của hệ dầm của hiệu ứng trượt theo chiều dày của tiết diện dầm. Từ khóa: Dầm Composite,nhân tử Lagrange, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. angle-ply với những điều kiện biên khác nhau bằng cách 1. Giới thiệu.1 sử dụng phương pháp Ritz. Vo [4] nghiên cứu dao động và Vật liệu cấu tạo composite rõ ràng có ưu điểm sự ổn định của dầm composite bằng cách sử dụng lý thuyết vượt bậc về thuộc tính vật liệu và khả năng làm việc kết biến dạng cắt điều chỉnh. Bên cạnh đó Vo[5] phát triển cấu so với vật liệu thông thường. Ngày nay, với nhu cầu sử nghiên cứu dao động và ổn định của dầm sanwich panel dụng các kết cấu phức tạp và đòi hỏi tính kinh tế, nghiên bằng lý thuyết Quasi – 3D. Neves[9] nghiên cứu bài toán cứu tiềm năng về vật liệu composite đã và đang dẫn đến sự tĩnh và dao động tự do của tấm nhiều lớp bằng lý thuyết ra đời của nhiều lý thuyết nghiên cứu. Do đó những nghiên biến dạng cắt Quasi – 3D. Phương pháp giải bài toán xấp cứu về dao động và ổn định của kết cấu composite đặc biệt xỉ Ritz cũng đã được tác giả Fiorenzo A. Fazzolari và quan trọng nhằm hiểu rõ ứng xử của kết cấu. Lý thuyết Erasmo Carrera [26] nghiên cứu để giải bài toán phân tích biến dạng cắt bậc cao (HOBT) có ưu điểm vượt trội vì lý dao động tự do của tấm FGM và tấm sandwich với nhân thuyết không kể đến hệ số chống cắt, và HOBT ngày càng FGM. Nghiên cứu được thực hiện nhằm phát triển các được áp dụng rộng rãi để phân tích kết cấu composite. Một nghiên cứu hiện hữu, nghiên cứu dao động của dầm số các nhà nghiên cứu đã nghiên cứu dao động tự do thuộc composite nhiều lớp sợi bằng lý thuyết Quasi-3D kết hợp tính của dầm composite bằng cách sử dụng biện pháp phần nhân tử Lagrange. tử hữu hạn [24]. Khdeir và Reddy [20] phát triển giải pháp 2. Cơ sở lý thuyết. cho dao động tự do và ổn định của dầm composite cross- 2.1. Phương trình động học. ply với điều kiện biên bất kỳ. Giải pháp phân tích dao Một dầm composite được làm từ nhiều lớp vật liệu đẳng động và ổn định của dầm composite đánh giá chuyển vị hướng với các hướng sợi khác nhau theo trục tọa độ x, khác nhau của Zhen và Wanji [25]. Aydogdu [22,23] tiến được minh họa như hình 1. hành nghiên cứu dao động và ổn định của dầm crossply và Trường chuyển vị của lý thuyết nghiên cứu: * Tác giả: Điêṇ thoaị: (+84) 937 090 662 U(,,)(,) x z t u x t zw,x f()() z x (1) Email: Egn.tamhoang@gmail.com 1
2. W( x , z , t ) w ( x , t ) g ( z )wz (,)xt (2)  UVK (8) Trong đó: Trong đó U V và K định nghĩa là năng lượng biến dạng, 55z2 công thực hiện và động năng của hệ. f()( z z ) (3) 43h2 Năng lượng biến dạng của dầm được tính toán: Trong đó: 1 U ()      dV 2 x x z z xz xz g()zf ,z ; V 1 L [Au ( )2 2 Buw 2 Bus Dw ( ) 2 2 Dw s  H s (  ) 2 11,x 11,, x xx 11,, x x11 , xx 11,, xx x 11, x 2 0 ()Ns NwTuwMwwE s2 s s s wAw s 11 13z 13 , xz 13 , xxz 13 , xz 55 xzx , Ass 22 A()] w dx 55x 55 z , x (9) Trong đó (A, B, D, Bs , Ds , Hs ) là độ cứng của dầm composite: L Hình 1. Kích thước hình học của một dầm composite phân ABDBDH,,,,,s s s (1,,,,,) zz22 fzff Cbdz (10) ij lớp 0 L là chuyển vị theo phương x của mặt phẳng giữa dầm. s s s s s 22 x (,,,,)(,,,,)AETMN g fggzggCbdz ,,,,z z z z ij u,w định nghĩa là chuyển vị ngang của mặt phẳng giữa 0 (11) dầm theo phương x và z, dấu phẩy được xem là đạo hàm Công thực hiện bởi lực nén dọc trục: 2 theo hệ trục của chỉ số nằm dưới. 1 L Vd Nx0 w,x 2 Chuyển vị khác không ứng với trường chuyển vị ở phương 0 (12) trình (2) là: Động năng thể hiện qua biểu thức: U 1 (4) 22 xx(,,)x z t u,,, x zw xx f x K ( z )( U W ) dV x 2 V W L 1 22 zz(,,)x z t g, z() z w z. [Iu 2 Iuw   2 Ju  2 Jw  2 NwwIw   (  ) z 0 1 ,x 1 x 2 x , x 1 z 2 , x (5) 2 0 (13) I()] w 2 K 2 N w 2 dx WU 0 2xz 2  xz(,,)x z t g( z )( wz, x x ). xz (6) Trong đó đạo hàm theo thời gian t được định nghĩa bằng dấu chấm đặt bên trên mỗi đại lượng; là khối lượng 2.2. Phương trình ứng xử. Mối quan hệ cấu tạo tuyến tính được cho bởi: riêng của mỗi lớp và I0,I1,I2,J1,J2,K2 là hệ số quán tính, được định nghĩa : xx  CC11 13 0 xx  (7) h/2 zz  CC13 11 0 zz  IIIJJK, , , , , ( z )(1, zzfzffbdz ,22 , , , ) 0 1 2 1 2 2 xz  00C55 xz  h/2 (14a) Trong đó C11 ,C13 và C55 là độ cứng đàn hồi đã được h/2 N, N ( z )( g ( z ), g2 ( z )) bdz chuyển sang phương x. 12 h/2 (14b) 2.3. Phương trình biến phân. Thay phương trình (9),(12),(13) vào phương trình (8),năng Để thu được phương trình chuyển động, hàm Lagrangian lượng của hệ: L được sử dụng: 1 2  Nd w,x x 2 0 0 2
3. l L 14 s 1 22s K 0.5 T dx , [A11, ( ux ) 2 B 11,, u x w xx 2 B 11,, u x x D11 ( w , xx ) ij11 i , x j 0 2 0 (19d) s s22 s s s LL 22s 0 2D11 w ,xx , x H 11 ( , x ) ( N 11 N 13 ) w z T 13 u , x w z K D dx N dx, ij11 i , xx j , xx i , x j , x s s s s22 s 00 (19e) MwwEwAw13 ,xxz 13 , xz 55  xzx , A 55  x Aw 55()] zx , dx L L 1 2 2 2 23 s [Iu 2 Iuw   2 Ju  2 Jw  2 Nww  I ( w ) I ( w  ) Kij D11  i , xx j , x dx, 2 0 1 ,x 1 x 2 x , x 1 z 2 , x 0 0 0 (19f)  22 K22xz N w] dx L K24 0.5 Ms  dx , (15) ij13 i j , xx 0 (19g) Để thu được phương trình chuyển động, trường chuyển vị LL K33 Hss  dx A  dx, được xấp xỉ: ij11 i , x j , x 55 i j 00 (19h) m LL it 34 ss (16a) Kij 0.5 E13 i j , x dx A 55  i j , x dx . u(,)() x t  jj x u e  00 j 1 (19i) LL 44 s s s m K (), N N  dx A   dx it (16b) ij11 13 i j 55 i , x i , x w(,)() x t  jj x w e 00 (19j) j 1 L 11 Mij I0  i j dx, m it 0 (19k) (,)()x t  x  e  jj L j 1 (16c) M12 I dx, ij1, i j x 0 (19m) Trong đó,  là tần số của dao động tự do của dầm, L M13 J dx, z ij1 i j i 1 là đơn vị ảo, (,,,)u w w được định nghĩa là 0 j j j j (19l) LL z 22 những giá trị cần xác định, (,,,)  w là hàm dạng. Mij I0 i j dx I 2 i , x j , x dx, j j j j 00 (19n) Thế phương trình (16) vào phương trình (15), và sử dụng L M23 J  dx, phương trình Lagrange: ij2, i x j 0 (19o) d  L 0 24 Mij N1  i i dx, qjj dt q (17) 0 (19q) z L Với qj đại diện cho các giá trị (,,,)u w w , từ đó dẫn 33 j j j j M K dx, ij2 i j đến: 0 (19r) L 44 11 12 13 14 11 12 13 14 M N dx KKKKMMMM u 0 ij2 i j TT12 22 23 24 12 22 23 24 0 (19s) KKKKMMMM2 w 0    TTTTKKKKMMMM13 23 33 34 13 23 33 34  02.4. Lời giải giải tích. x TTTTTT14 24 34 44 14 24 34 44 KKKKMMMM wz 0Để thu được lời giải, sử dụng các hàm dạng  ()x và (18) ()x cho các điều kiện biên khác nhau (S-S: dầm tựa đơn, Trong đó, các phần tử của ma trận độ cứng K và ma trận C-C: ngàm –ngàm, và C-F: ngàm – đầu tự do) được cho khối lượng M được cho: bởi: L 11 (19a) K A dx, j 1 ij11 i , x i , x  ()xx j 1 ()xx 0 , (20) L Để áp đụng cho bài toán với nhiều điều kiện biên K12 B dx, ij11 i , x i , xx 0 (19b) khác nhau, phương pháp sử dụng nhân tử Lagrange được L K13 Bs  dx, ij11 i , x j , x sử dụng, và trong đó hàm Lagrange được viết: 0 (19c) *   uxˆ () ii (21) 3
4. đơn C-S , , , Trong đó,  i là nhân tử Lagrange, là hàm hỗ trợ giải quyết điều kiện biên của bài toán, uxˆi ()được định nghĩa là giá trị chuyển vị tại vị trí x = 0,L. Bằng cách sử Bảng 2 : Hiệu ứng của hệ số L/h lên tần số dao động tự dụng phương trình Lagrange (21), thu được phương trình nhiên không thứ nguyên của một dầm composite lớp sợi giải bài toán lực ổn định tới hạn và dao động tự do: cross-ply đối xứng và không đối xứng với điều kiện biên KKKKKMMMM11 12 13 14 15 11 12 13 14 0 u  0  TT12 22 23 24 25 12 22 23 24 w 0 KKKKKMMMM 0 tựa đơn. TTTT13 23 33 34 352 13 23 33 34 KKKKKMMMM  0 x  0  TTTTTTKKKKKMMMM14 24 34 44 45 14 24 34 44 0 w 0 z TTTT15 25 35 45 Lý L/h KKKK 0 0 0 0 0 0  0 Lớp Sợi Tham Khảo   Thuyết (22) 5 10 20 50 Trong đó các phần tử của ma trận K15 , K 25 , K 35 , K 45 phụ Khdeir and [0o/90o/0o] FOBT Reddy [19] 9.205 13.670 - - thuộc vào điều kiện biên và chuyển vị. Khdeir and HOBT Reddy [19] 9.208 13.614 - - 3. Ví dụ số. Aydogdu [22] 9.207 - 16.337 - 3.1. Tính toán tần số dao động của dầm composite. Dầm composite cross-ply tựa đơn với hướng sợi đối xứng Vo[4] 9.206 13.607 16.327 17.449 Q UASI- [ 00 / 900 / ] và hướng sợi không đối xứng [ / ]. Vật 3D Nghiên cứu 8.789 13.533 16.351 17.492 Khdeir and liệu sử dụng là vật liệu 1. [0o/90o] FOBT Reddy [19] 5.953 6.886 - - Tần số dao động được trực dao thành không thứ nguyên để Aydogdu HOBT [22] 6.144 - 7.218 - có thể so sánh với các kết quả của các nghiên cứu khác. Kết Vo[4] 6.058 6.909 7.204 7.296 quả đạt được cho thấy nghiên cứu của bài báo đạt được lớn QUASI- Nghiên cứu 6.042 6.988 7.281 7.368 hơn, như vậy chứng tỏ lý thuyết Quasi 3D làm tăng độ cứng 3D của kết cấu, do xét đến biến dạng trượt theo chiều dày của tiết diện. 3.2. Tính toán lực ổn định của dầm composite. Bảng 1: Bảng điều kiện biên theo lý thuyết Quasi-3D Dầm composite cross-ply tựa đơn với hướng sợi đối xứng Điều kiện biên Vị trí x=0 Vị trí x=L [ / / ] và hướng sợi không đối xứng [ / ]. Vật Hai đầu tự do w 0 , wz 0 , liệu sử dụng là vật liệu 2. S-S Lực ổn định được trực dao thành không thứ nguyên để có thể Ngàm – Tự do u 0 so sánh với các kết quả của các nghiên cứu khác. Kết quả đạt C-F , w 0 , 0 , được cho thấy nghiên cứu của bài báo đạt được lớn hơn, như vậy chứng tỏ lý thuyết Quasi 3D làm tăng độ cứng của kết w,x 0 cấu, do xét đến biến dạng trượt theo chiều dày của tiết diện Ngàm – Ngàm u 0 Bảng 3 : Hiệu ứng của hệ số chiều dài nhip - chiều cao tiết C-C , , 0 , , , , diện lên lực ổn định tới hạn không thứ nguyên cơ bản của một dầm composite lớp sợi cross-ply đối xứng và không Ngàm – Tựa w 0 , wz 0 đối xứng với điều kiện biên tựa đơn. 4
5. Bảng 4 : Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của Lý Tham L/h Lớp Sợi Thuyết Khảo dầm composite lớp sợi đối xứng, góc sợi thay đổi. 5 10 20 50 Vật liệu II DK Tham Góc sợi B Khảo [0o/90o/0o] FOBT Vo[4] 4.752 6.805 7.630 7.897 0o 15o 30o 45o 60o Aydogdu Aydogdu HOBT [23] 4.726 - 7.666 - CC [22] 4.973 4.294 2.195 1.929 1.669 Chandrash Vo[4] 4.709 6.778 7.62 7.896 ekhara Nghiên [27] 4.849 4.664 4.098 3.184 2.198 Cứu 4.727 6.815 7.668 7.949 Krishnasw Quasi Nghiên amy [28] 4.487 3.988 2.878 1.947 1.669 3D Cứu 4.749 6.874 7.745 8.032 Vật liệu II Chen [29] 4.858 3.648 2.345 1.838 1.671 [0o/90o] FOBT Vo[4] 1.883 2.148 2.226 2.249 Vo [4] 4.897 4.570 3.236 1.992 1.631 Aydogdu HOBT [23] 1.919 - 2.241 - Quasi 3D 4.994 4.812 4.235 3.284 2.268 Aydogdu Vo[4] 1.910 2.156 2.228 2.249 SS [22] 2.651 1.896 1.141 0.804 0.736 Nghiên Chandrash Cứu 1.920 2.169 2.242 2.264 ekhara Quasi Nghiên [27] 2.656 2.511 2.103 1.537 1.012 3D Cứu 1.978 2.249 2.329 2.353 Vo [4] 2.649 2.404 1.554 0.908 0.736 Vật liệu III Quasi 3D 2.663 2.523 2.122 1.557 1.033 o o o [0 /90 /0 ] FOBT Vo[4] 4.069 6.420 7.503 7.875 Aydogdu Aydogdu CF [22] 0.981 0.676 0.414 0.288 0.262 HOBT [23] 3.728 7.459 Chandrash ekhara Vo[4] 3.717 6.176 7.416 7.860 [27] 0.982 0.925 0.768 0.555 0.363 Nghiên Cứu 3.728 6.206 7.461 7.912 Vo [4] 0.980 0.884 0.561 0.325 0.263 Quasi Nghiên 3D Cứu 3.742 6.256 7.534 7.995 Quasi 3D 0.988 0.932 0.775 0.562 0.370 Vật liệu III Aydogdu CS [22] 3.775 2.960 1.671 1.178 1.150 [0o/90o] FOBT Vo[4] 1.605 1.876 1.958 1.983 Chandrash Aydogdu ekhara HOBT [23] 1.765 - 2.226 - [27] 3.731 3.559 3.057 2.303 1.551 Krishnasw Vo[4] 1.758 2.104 2.214 2.247 amy [28] 3.887 3.243 2.213 1.388 1.146 Nghiên Cứu 1.766 2.116 2.228 2.261 Vo [4] 3.818 3.508 2.354 1.402 1.141 Quasi Nghiên 3D Cứu 1.815 2.192 2.314 2.350 Quasi 3D 3.922 3.692 2.976 2.793 1.646 3.3.Tần số dao động của lớp sợi đối xứng của dầm composite với hướng sợi thay đổi và các điều kiện biên khác nhau. Dầm composite nhiều lớp sợi trong các điều kiện biên khác với lớp sợi đối xứng [θ/- θ] trong đó góc xoay của hướng sợi thay đổi. Vật liệu sử dụng là vật liệu 1. 5
6. Non-dimensional critical buckling load respect to fiber angle change L/h=50 2 Pcr(CC) Aydogdu 1.8 Pcr(SS) Pcr(CF) HOBT [23] 3.376 - 5.225 - 1.6 Vo[4] 3.373 4.697 5.219 5.387 1.4 Quasi Nghiên 1.2 3D Cứu 3.407 4.773 5.315 5.492 1 Pcr 0.8 Effect of material anisotropy on the non dimensional critical buckling loads - L/h=50 10 0.6 Anti-symmetric cross-ply 9 Symmetric cross-ply 0.4 8 0.2 7 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 6  Pcr 5 Hình 2: Sự biến đổi của lực ổn định tới hạn với lớp sợi 4 đối xứng và hướng sợi thay đổi trong những điều kiện biên 3 khác nhau L/h = 50. 2 1 3.4. Lực ổn định tới hạn với tỉ số Module đàn hồi thay đổi. 10 15 20 25 30 35 40 45 50 E1/E2 Lý Tham L/h Hình 3: Đồ thị hiệu ứng của vật liệu không đẳng hướng Lớp Sợi Thuyết Khảo lên lực ổn định tới hạn không thứ nguyên của vật liệu có 5 10 20 50 Vật liệu II góc sợi đối xứng và không đối xứng L/h=5. 3.5. Lực ổn định tới hạn với tỉ số L/h thay đổi. [0o/90o/0o] FOBT Reddy[20] 8.606 18.989 - - Dầm composite Vật liệu sử dụng là vật liệu 4. HOBT Reddy[20] 8.613 18.832 27.154 30.882 Aydogdu [23] 8.613 - - - Vo[4] 8.609 18.814 27.084 30.859 Quasi Nghiên 3D Cứu 8.616 18.860 27.149 30.994 Vật liệu II [0o/90o] FOBT Vo[4] 3.680 4.848 5.265 5.395 Aydogdu Hình 4: Đồ thị biểu diễn hiệu ứng của sự đổi L/h lên lực ổn HOBT [23] 3.906 - 5.296 - định tới hạn không thứ nguyên của vật liệu. Vo[4] 3.903 4.936 5.290 5.399 Quasi Nghiên 4. Vật liệu và công thức trực giao. 3D Cứu 3.950 5.020 5.390 5.504 Để dễ dàng theo dõi và đối chiếu, tất cả các vật liệu được Vật liệu III sử dụng các ví dụ số được tập hợp. Đồng thời công thức [0o/90o/0o] FOBT Vo[4] 6.600 16.253 25.620 30.549 Aydogdu trực giao được giải thích rõ vì các kết quả của tần số và lực HOBT [23] 5.896 - 24.685 - ổn định tới hạn trong các ví dụ số đều được trực giao bằng Vo[4] 5.895 14.857 24.655 30.319 các côgn thức này nhằm đưa các giá trị tính toán được về Quasi Nghiên 3D Cứu 5.899 14.886 24.737 30.448 giá trị không thứ nguyên để dễ dàng so sánh. Vật liệu III a) Vật liệu [4] [0o/90o] FOBT Vo[4] 3.110 4.571 5.180 5.381 6
7. - Vật liệu 1 : module đàn hồi E1 = 114.9 GPa, hơn thông qua việc kể đến ảnh hưởng của cả biến dạng cắt , G =G =5.18 GPa, G = 3.45 E2 18.98 GPa EE32 12 13 23 và hiệu ứng căng của chiều dày tiết diện. GPa, 0.24 ,  ,  3 12 13 12 23 12 2015kg / m Mô hình bài toán này có thể dự đoán chính xác tần số - Vật liệu 2: E1/E2 = hệ số mở, E 241.5 GPa , EE , 1 32 dao động tự nhiên và lực ổn định tới hạn với tất cả các điều G12=G13=0.6E2, G23 = 0.5E2,  0.25 , , 12 kiện biên khác nhau. 23 12 . Các kết quả phân tích của phương pháp này khá sát - Vật liệu 3: E1/E2 = hệ số mở, so với các kết quả nghiên cứu trước đó, vì vậy khẳng định , ,G12=G13=0.5E2, G23 = 0.2E2, được độ tin cậy và độ chính xác của phương pháp đã sử , , . dụng trong nghiên cứu này. - Vật liệu 4: E = 144.9 GPa, E = 9.65 GPa, , 1 2 Tài liệu tham khảo G12=G13=4.14 GPa, G23 = 3.45 GPa,  0.3 , 12 [1] Trung-Kien Nguyen. Vibration and buckling analysis , . 3 1389Kg / m of Functionally graded sandwich beams by a new higher- b) Công thức trực giao [4]. order shear deformation theory, Composite Part B - Công thức lực ổn định tới hạn 76(2015),273-285. [2] Reddy JN. Mechenics of laminated composite plates: Đối với vật liệu 1,2 và 3: theory and analysis, CRC Press; 1997. PL2 Pcr cr [3] Vo. Static behavior of composite beams using various E bh3 2 refined shear deformation theories,Composite Structure 94 Đối với vật liệu 4: (2012) 2513-2522. PL2 [4] Vo. Vibration and buckling of composite beams using Pcr cr 3 refined shear deformation theory. International journal of E1 bh Mechanical Sciences 62(2012) 67-76. - Công thức tần số dao động tự nhiên [4] [5] Vo. A quasi-3D theory for vibration and buckling of Đối với vật liệu 1,2 và 3: functionally graded sandwich beams. Composite  L2 Structures 119 (2015) 1-12.  hE2 [6] Jun L, Hongxing H. Free vibration analyses of axially Đối với vật liệu 4: loaded laminated composite beams based on higher-order shear deformation theory, Meccanica 2011;46:1299-317.  L2  [7] Vo TP, Thai H –T, Nguyen T-K, Maheri A, Lee hE1 J Finite element model for vibration and buckling of 5. Kết Luận. functionally graded sandwich beams based on a refined Dựa vào những cơ sở lý thuyết trình bày ở các phần shear deformation theory-order shear deformation theory. trên, kết hợp với một số ví dụ tính toán diễn giải lý thuyết, Eng Struct 2014;64(0):12-22. có thể rút ra một số kết luận cho luận văn này như sau: [8] Neves AMA, Ferreira AJM, Carrera E, Cinefra M, Nghiên cứu này sử dụng lý thuyết Quasi – 3D kết Jorge RMN, Soares CMM. Buckling analysis of sandwich hợp nhân tử Lagrange có thể cho kết quả chính xác ứng xử plates with functionally graded skins using a new quasi-3D của dầm composite nhiều lớp sợi, sát với ứng xử thực tế hyperbolic sine shear deformation theory and collacation 7
8. with radial basis function. ZAMM – J Appl Math Mech [18] Nguyen T-K, Vo TP, Thai H-T. Static and free 2012;92(9):749-66. vibration of axially loaded functionally graded beams [9] Neves AMA, Ferreira AJM, Carrera E, Roque CMC, based on the first-order shear deformation theory. Compos Cinefra M, Jorge RMN, et al. A quasi-3D sinusoidal shear Part B: Eng 2013:55(0):147-57. deformation theory for the static and free vibration [19] Thai H-T, Vo TP. Bending and free vibration beam analysis of functionally graded plates. Compos Part B: Eng theories.Int J Mech Sci 2012:62(1):57-66. 2012; 43(2):711-25. [20] Khdeir AA, Reddy JN. Free vibration of cross-ply [10] Neves AMA, Ferreira AJM, Carrera E, Roque CMC, laminated beams with arbitrary boundary conditions Int J Cinefra M, Jorge RMN, et al. A quasi-hyperbolic shear Mech Sci 1994:32(12):1971-80. deformation theory for the static and free vibration [21] Khdeir AA, Reddy JN. Buckling of cross-ply analysis of functionally greade plates. Compos Struct laminated beams with arbitrary boundary 2012; 94(5):1814-25. conditions.Compos Struct 1997;37(1):1-3. [11] Neves AMA, Ferreira AJM, Carrera E, Roque CMC, [22] Aydogdu M. Vibration analysis of cross-ply Cinefra M, Jorge RMN, et al. Static, free vibration and laminated beams with general boundary conditions by Ritz buckling analysis of isotropic and sandwich functionally method.Int J Mech Sci 2005;47(11):1940-55. graded paltes using a quasi-3D higher-order shear [23] Aydogdu M. Buckling analysis of cross-ply laminated deformation theory and a meshless technique. Compos beams with general boundary conditions by Ritz Part B Eng 2013;44(1):657-74. Method.Compos Sci Technol 2006;66(10):1248-55. [12] Mantary JL,Soares CG. Generalized hybrid quasi-3D [24] Chandrashekhara K, Bangera K. Free vibration of shear deformation theory for the static analysis of composite beams using a refine shear flexible beam advanced composite plates. Compos Struct element. Compos Struct1992;43(4):719-27. 2012;94(8):2561-75. [25] Zhen W, Wanji C. An assessment of several [13] Thai H-T, Vo TP, Bui TQ, Nguyen T-K.A quasi – 3D displacement – based theries for the vibration and stability hyperbolic shear deformation theory for functionally analysis of laminated composite and sandwich beams. gradedplates. Acta Mech 2013: 1-14. Compos Struct 2008;84(4):337-49. [14] Thai H-T Choi D-H. A simple quasi-3D sinusoidal [26] Fiorenzo A. Fazzolari, Erasmo Carrera.Refined shera deformation theory for functionally graded plates. hierarchical kinematics quasi-3D Ritz models for free Compos Struct 2013;99(0): 172-80. vibration analysis of doubly curved FGM shells and [15] Thai H-T Choi D-H. Improved refined plate theory sandwich shells with FGM core. Journal of Sound and accounting for effect of thickness stretching in functionally Vibration, Volume 333, Issue 5, 28 February 2014, Pages graded plates. Compos Part B: Eng 2014:56(0):705-16. 1485–1508 [16] Mashat DS, Carrera E, Zenkour AM, Khateeb SAA, [27] Chandrashekhara K, Krishnamurthy K,Roy S. Free Filippi M. Free vibraion of FGM Layered beams by vibration of composite beams Including rotary inertia and various theories and finite elements. Compos Part B: Eng shear deformation. Compos Struct 1990;14(4):269-79. 2014:59(0):269-78. [28] Krishnaswamy S, Chandrashekhara K,WU WZB. [17] Reddy JN. A simple higher-order theory for laminated Analytical solutions to vibration of generally layered composite plates. J appl Mech 1984;51(4):745-52. composite beams. J Sound Vib 1992;159(1):85-99. 8
9. [29] Chen WQ, Lv CF, Bian ZG. Fre vibration analysis differential quadrature. Compos Struct 2004;63(3-4):417- of generally laminated beams via state-space-based 25. 9
10. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2016-2017 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.