Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phương pháp PTHH

Nội dung text: Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phương pháp PTHH

1. University of Technical Education HCM City LIMIT STATE ANALYSIS OF CRACKED PLATE USING FINITE ELEMENT METHOD (FEM) (Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phương pháp PTHH) PGS.TS : Nguyen Hoai Son - Vu Duy Canh University of Technical Education HCM City Abstract. The finite element method is a very powerful numerical method to predict and model mechanical behavior of material and structure. In this paper, the finite element method is used to calculate stress intensity factor K, an important parameter when we predict the direction of crack in the event of crack stops propagation. The stress intensity factor KI is used in fracture mechanics to predict the stress state (stress intensity) near the tip of a crack caused by a remote load or residual stresses. Applying of finited element method for calculating stress intensity factor (FEM) is compared with KI (extended finite element method XFEM). Keywords. Limit state analysis, stress intensity factor KI , fracture mechanics, extended finite element method (XFEM). 1.GIỚI THIỆU: Trong vật liệu nói chung và vật liệu tinh thể nói riêng luôn tồn tại những lỗ hổng và những vết nứt tế vi. Đây là hai loại khuyết tật hoàn toàn có hại ảnh hưởng rất lớn đến độ bền của tấm. Lỗ hổng và vết nứt tế vi hình thành do hiệu ứng giãn nở nhiệt không đồng đều trong quá trình kết tinh kim loại. Vết nứt tế vi xuất hiện khi ứng suất tích tụ tại một vùng tế vi nào đó đủ lớn vượt giới hạn bền của tinh thể [8] Dưới tác động của ứng suất kéo giới hạn vết nứt tế vi sẽ phát triển và ảnh hưởng đến trạng thái giới hạn của tấm phẳng. Năm 1956, Irwin đã đưa ra thông số đặc trưng đó là: Hệ số cường độ ứng suất (Stress Intensity Factor) trong những điều kiện của cơ học rạn nứt đàn hồi tuyến tính (Linear Elastic Fracture Mechanics- LEFM). Trường chuyển vị, biến dạng và ứng suất trong miền gần đáy vết nứt được xác định bởi hệ số cường độ ứng suất này [1, 2, 3, 5]. PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn - Vũ Duy Cảnh Trang 1
2. University of Technical Education HCM City 2. Hệ số cường độ ứng suất (Stress Intensity Factor) Như đã đề cập trên, hệ số cường độ ứng suất được đưa ra nhằm giải quyết sự suy biến tại đáy vết nứt và nó cũng là thông số đặc trưng cho vết nứt. Nó được định nghĩa: K lim( 2 r) (1) r 0 Hệ số cường độ ứng suất có tính hữu hạn và làm cơ sở cho việc xác định lực giới hạn. Điều kiện tới hạn trong cơ học rạn nứt là sự khởi đầu và lan truyền của vết nứt tế vi. Kỹ thuật chuyển vị nút (DCT) được sử dụng để xác định hệ số cường độ ứng suất (SIF). DCT sử dụng 4 nút gần kề đỉnh vết nứt để tính SIF như hình 1 đồng thời sử dụng phần tử tứ giác và phần tử tam giác suy biến điểm ¼ sẽ cho kết quả tương đối chính xác. G 2 K [4(v v ) (v v )] (2) I  1 L 2 4 3 5 3   : đối với bài toán ứng suất phẳng 1  Hình 1: Phần tử tam giác điểm 1/4 tại đỉnh vết nứt vi : chuyển vị nút thứ i theo phương v của phần tử tam giác điểm 1/4 lân cận đỉnh vết nứt (i=2,3,4,5). G : Mô đun đàn hồi trượt L : kích thước cạnh l123, l145 của phần tử KI : hệ số cường độ ứng suất ở mode I. Với bài toán tấm nứt thuần túy theo mode I, KI có thể được tính theo công thức lý thuyết như sau: K I  a.F(a /b) (3) Trong đó, F(a/b) : hệ số hiệu chỉnh so với trường hợp tấm rộng vô hạn. F(a/b) = 1.122−0.231(a/b)+10.55(a/b)2 −21.71(a/b)3 +30.382(a/b)4 [5] Với, σ : ứng suất kéo, a : Chiều dài vết nứt, b : Chiều rộng mô hình PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn - Vũ Duy Cảnh Trang 2
3. University of Technical Education HCM City 3. Tính hệ số cường độ ứng suất: Hệ số cường độ ứng suất KI tính bằng PP.PTHH Tổng số K Giải tích I K (FEM) Sai số (%) node (Mpa.m1/2) I 1600 427.2020 430.335 0.7% 2400 427.2020 418.6588 2.0% 3200 427.2020 418.3471 2.1% Bảng 1. Hệ số cường độ ứng suất giữa lý thuyết và FEM Hệ số cường độ ứng suất KI tính bằng PP.PTHH mở rộng Tổng số K Giải tích I K (XFEM) Sai số (%) node (Mpa.m1/2) I 1600 427.2020 413.6344 3.2% 2400 427.2020 416.4895 2.5% 3200 427.2020 419.8963 1.7% Bảng 2. Hệ số cường độ ứng suất giữa lý thuyết và XFEM [7] Nhận xét: Từ kết quả thu được ở Bảng 1 và 2 cho thấy mức độ sai số giữa lời giải lý thuyết và lời giải bằng FEM và XFEM tương đối bé (<5%). Như vậy, giải thuật tính toán hệ số cường độ ứng suất bằng FEM sử dụng phần tử Barsoum tam giác điểm ¼ trong việc xử lý đỉnh vết nứt mang lại kết quả đáng tin cậy [4, 5]. 4. Bài toán áp dụng: nghiên cứu tấm hợp kim Titanium Ti-6Al-4V: Nghiên cứu tấm Titanium một đầu ngàm một đầu chịu ứng suất kéo (σ kéo) đều đơn trục. Sử dụng phần tử Barsoum tam giác suy biến điểm 1/4 trong việc xử lý đỉnh vết nứt. Chiều dài tấm: H=80 cm, chiều rộng tấm: W=40 cm, bề dày tấm: t=0.31 cm Modun đàn hồi: E=117e5 N/cm2, Hệ số Possion: =0.34 Khối lượng riêng: =2.5e-3 kg/cm3 Chiều dài vết nứt: a=15cm, Độ hở vết nứt: anpha=0.002cm Vị trí đỉnh vết nứt: (xnut,ynut)=(0,40) cm. 3 4 2 Ứng suất kéo σ kéo = 10 Mpa=10 kg/cm 3/2 Độ bền vật liệu: KIc=8700kg/cm PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn - Vũ Duy Cảnh Trang 3
4. University of Technical Education HCM City Hình 2.Tấm Titanium (Ti-6Al-4V) Hình 3. Chia lưới tấm Titanium (Ti-6Al-4V) Hình 4. Biến dạng tấm Titanium (Ti-6Al-4V) PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn - Vũ Duy Cảnh Trang 4
5. University of Technical Education HCM City Hình 5. Ứng suất tấm Titanium (Ti-6Al-4V) 5. Phân tích trạng thái giới hạn của tấm Titanium. Tấm thép hợp kim Titanium Ti-6Al-4V, với hệ số cường độ ứng suất giới hạn 3/2 KIC=8700 kg/cm σ (kéo giới hạn) σ (kéo giới hạn) σ (kéo giới hạn) σ (kéo giới hạn) σ (kéo giới hạn) Titanium 2 2 2 2 2 (Ti6Al4V) 5790 kg/cm 3331 kg/cm 2070 kg/cm 1251 kg/cm 714 kg/cm a=5cm a=10cm a=15cm a=20cm a=25cm 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 ynut KI (kg/cm ) KI (kg/cm ) KI (kg/cm ) KI (kg/cm ) KI (kg/cm ) 10 7897.434 7750.436 7881.985 8044.552 8378.843 15 8119.745 8111.642 8263.788 8386.869 8618.771 20 8282.455 8323.44 8463.113 8531.829 8692.241 25 8405.741 8446.218 8565.073 8593.694 8716.11 30 8494.654 8517.711 8616.666 8620.818 8724.639 35 8555.264 8560.296 8643.585 8633.281 8727.932 40 8594.945 8588.014 8660.12 8640.245 8729.384 45 8622.449 8612.658 8678.045 8648.215 8730.767 50 8650.954 8656.575 8717.55 8668.38 8735.143 55 8706.954 8768.634 8826.549 8730.492 8752.911 60 8851.024 9063.608 9124.782 8922.537 8824.462 65 9231.693 9818.592 9933.676 9528.159 9119.601 70 10294.23 11856.83 12307.43 11603.3 10439.97 Bảng 3. Hệ số cường độ ứng suất tấm Titanium PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn - Vũ Duy Cảnh Trang 5
6. University of Technical Education HCM City Hình 6. Hệ số cường độ ứng suất với vị trí vết nứt của tấm Titanium (Ti-6Al-4V) Nhận xét về vi trí của vết nứt a: Vị trí của vết nứt a có ảnh hưởng rất lớn đến trạng thái giới hạn của tấm thép hợp kim Titanium Ti-6Al-4V. Khi vị trí vết nứt a càng tiến dần đến ứng suất kéo thì cường độ ứng suất K càng tăng , đến một giới hạn nào đó K > KIC tấm sẽ bị phá hủy, Có một số vị trí lân cận mà tại đó hệ số cường độ ứng suất K tăng rất chậm, và tiến dần đến tiệm cận KIC đây là giai đoạn quá độ trước khi K vượt KIC và tăng tốc rất nhanh, tấm sẽ bị phá hủy. Hình 7. Sự phát triển mở rộng của vết nứt a. PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn - Vũ Duy Cảnh Trang 6
7. University of Technical Education HCM City Nhận xét về độ mở rộng của vết nứt a: ( Crack open displacements) Tấm thép hợp kim Titanium Ti-6Al-4V, với hệ số cường độ ứng suất giới hạn 3/2 KIC=8700 kg/cm , có một vết nứt cạnh a ngày càng mở rộng ( Crack open displacements ), dưới tác dụng của ứng suất kéo. 3/2 Để duy trì được cường độ ứng suất giới hạn KIC=8700 kg/cm trong tấm hợp kim Titanium, khi mà độ mở rộng của vết nứt cạnh a ngày càng tăng từ a=5 cm đến a=25 cm thì bắt buộc ứng suất bền kéo của tấm phải giảm đi rất lớn để bảo đảm hệ số cường độ ứng suất KI không vượt khỏi giới hạn cho phép ( KI< =KIC ) tấm không bị phá hủy. Kết luận: Trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt ( tấm hợp kim Titanium Ti-6Al-4V) phụ thuộc rất lớn vào độ mở rộng của vết nứt và ứng suất kéo của tấm. Tấm có vết nứt a càng rộng thì cường độ ứng suất KI và ứng suất kéo càng giảm và ngược lại, Tấm có vết nứt a càng nhỏ thì cường độ ứng suất KI và ứng suất kéo càng lớn, tấm càng bền. Hình 8. Đồ thị so sánh giữa đường Kfem thực tế và đường Kf(x) tìm được. Qua việc sử lý số liệu tìm được theo luật đa thức bậc cao ta tìm được hàm: 2 3 Kf(x) =5873 + 281X – 8,7X + 0,08X thể hiện tương đối chính xác quỹ đạo phát triển của hệ số KI: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn - Vũ Duy Cảnh Trang 7
8. University of Technical Education HCM City Hình 9. Đồ thị thể hiện ảnh hưởng của sự phát triển mở rộng vết nứt a đối với giới hạn bền của tấm Titanium. 6. Kết luận: Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phương pháp phần tử hữu hạn đã đạt được một số kết quả tốt : Hệ số cường độ ứng suất KI tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) có sai số rất nhỏ so với giá trị KI tính bằng lý thuyết và tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM), chứng tỏ giải thuật FEM là hợp lý và có khả năng ứng dụng cao trong bài toán rạn nứt. Sự phát triển mở rộng của vết nứt a và vị trí của vết nứt trong tấm có ảnh hưởng rất lớn đến trạng thái giới hạn của tấm phẳng. Vết nứt càng mở rộng và vị trí vết nứt càng tiến dần đến vị trí ứng suất kéo trạng thái giới hạn của tấm càng giảm. Tính suy biến tại đáy vết nứt là một trong những vấn đề rất quan trọng trong cơ học rạn nứt. Bằng việc sử dụng phần tử suy biến điểm ¼ do Barsoum đề xuất nhằm tăng độ chính xác trong quá trình tính hệ số cường độ ứng suất, trường chuyển vị bằng phương pháp phần tử hữu hạn. PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn - Vũ Duy Cảnh Trang 8
9. University of Technical Education HCM City TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. A.D. Dimarogonas, Viration Engineering, West Pulisher, St, Paul, MN, 1976. 2. T. Chondros, Dynamic response of cracked beams, M. Sc. Thesis, University of Patras, Greece, 1977. 3. H.J. Petroski, Simple static and dynamic models for the cracked elastic beam, International Journal of Fracture 17 (1981) R71–R76. 4. R.S. Barsoum, Quadrilateral quarter-point elements as elastic and perfectly- plastic crack tip elements. Int J Num Meth Engng, 1977, 11, 85-98. 5. G. P. Nikishkov, “Introduction To The Finite Element Method”, Lecture Notes. University of Aizu, Aizu-Wakamatsu 965-8580, Japan, 2007 6. Nguyễn Hoài Sơn (chủ biên), “Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán kết cấu”, NXB Đại học Quốc gia Tp. HCM, 2011. 7. TS Vũ Công Hòa, Nguyễn Công Đạt “ Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng trong việc tính hệ số cường độ ứng suất”, Trường Đại học Bách Khoa,ĐHQG.TP.HCM. 8. GS.TS Đỗ Minh Nghiệp, PGS.TS Trần Quốc Thắng “ Độ dẻo và độ bền kim loại”, NXB Bách khoa Hà Nội 2007. Hết PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn - Vũ Duy Cảnh Trang 9
10. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2016-2017 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.