Phân tích mode dao động tấm có vết nứt bằng XFEM

Nội dung text: Phân tích mode dao động tấm có vết nứt bằng XFEM

1. PHÂN TÍCH MODE DAO ĐỘNG TẤM CÓ VẾT NỨT BẰNG XFEM (ANALYZE MODE OF VIBRATION FOR CRACKED PLATE BY XFEM) PGS.TS. Nguyễn Hoài Sơn Khoa Xây dựng và Cơ học ứng dụng – Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM, 01 Võ Văn Ngân, Q. Thủ Đức, Tp. HCM, Việt Nam, Email: son55vn@yahoo.com Phan Thị Anh Tú Học viên lớp CH ngành Chế tạo máy khóa 2010 – 2012 trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp. HCM Email: hoadaoxulanh_120186@yahoo.com Summary The defects of parts in fabricating process strongly affect working capacity as well as the life of those. Therefore, it is necessary to consider internal structure of the part. Analyzing mode helps to determine the change in displacement, in strain and resonance occurrence. When the defects are discovered and prevented timely, manpower and material resources will be saved. This article presents the analysis of vibration modes for thin and homogeneous cracked plates by Extended Finite Element Method XFEM. The comparison between the result of programming and calculating free vibration of cracked plate by XFEM using Matlab software and some results of other articles posted in magazines indicates the reliability of the author’s computational model. Keyword: XFEM, vibration modes, the cracked plate. Tóm tắt Sự xuất hiện các khuyết tật ở chi tiết trong quá trình chế tạo ảnh hưởng rất lớn đến khả năng làm việc và tuổi thọ của nó. Do đó, việc xem xét ứng xử của cấu trúc bên trong là rất cần thiết. Việc phân tích Mode sẽ xác định được sự thay đổi về chuyển vị, về biến dạng và sự xảy ra cộng hưởng. Giúp tiết kiệm rất nhiều nhân lực, vật lực khi phát hiện và ngăn ngừa kịp thời các hư hỏng có thể gây nguy hại cho chi tiết. Bài báo này trình bày việc phân tích Mode dao động cho tấm vật liệu mỏng, đồng nhất có vết nứt bằng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng XFEM. Kết quả việc lập trình và tính toán dao động tự do của tấm bằng phương pháp XFEM dùng phần mềm Matlab được so sánh với một số bài báo đã công bố trên các tạp chí cho thấy độ chính xác của mô hình tính toán của tác giả là đáng tin cậy. Từ khóa: XFEM, Mode dao động, tấm có vết nứt. Nội dung liệu mới đáp ứng tốt nhu cầu làm việc, nâng 1. Đặt vấn đề cao tuổi thọ và tính kinh tế cho các chi tiết. Sự phát triển ngày càng cao của khoa học Tuy nhiên việc xuất hiện các khuyết tật ở chi và công nghệ luôn mang lại nhiều hiệu quả tiết (các bọng khí, các vết nứt vi mô ) thiết thực trong nhiều lĩnh vực đời sống, đặc trong quá trình chế tạo là rất khó tránh khỏi. biệt là trong lĩnh vực kỹ thuật nói chung và Những khuyết tật này ảnh hưởng rất lớn đến cơ học nói riêng. Công nghệ chế tạo phát khả năng làm việc và tuổi thọ của chi tiết, triển cho ra đời ngày càng nhiều những vật
2. đặc biệt là trong khoảng thời gian dài dưới ε zε p b (2) tải trọng dao động thay đổi bất kỳ. ε   0 εs Nhiều công trình đã được nghiên cứu nhằm tìm ra phương pháp để giải quyết một Với ε p , εb , εs là biến dạng của mặt cách chính xác các vấn đề về rạn nứt. Một trung hòa tương ứng với biến dạng uốn, biến trong số đó là phương pháp phần tử hữu hạn dạng trượt và được tính toán như sau: mở rộng XFEM được nghiên cứu trong đề tài này. uo,, x   x x  2. Cơ sở lý luận x w o, x εp v o,, y ;; ε b  y y  ε s (3) Trong bài báo này tác giả dựa vào  w y o, y phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng uvo,,,, y o x   x y y x  XFEM để khảo sát bài toán dao động riêng của tấm: + Với kí hiệu “,x” là đạo hàm của hàm đó Mô hình tính toán tấm: theo biến x, “,y” là đạo hàm của hàm đó theo biến y Kết quả của ứng suất màng N và ứng suất uốn M được tính toán như sau: NMxx  xx  NNABMBD yy  ε p ε b ; M yy  ε p b ε b (4) NMxy  xy  Với ma trận A Aij, B B ij , D b D ij , ( i , j 1,2,6) Chuyển vị tại một điểm (x,y,z) trong là các ma trận độ cứng gây ra do sức căng tấm sử dụng lí thuyết biến dạng Mindlin- (extensional), ma trận độ cứng kể đến sự kết Ressiner được mô tả bằng các chuyển vị của hợp của tấm chịu uốn và chịu sức căng đồng mặt trung bình uo, vo, wo và các thông số góc thời, ma trận độ cứng tấm chịu uốn, các ma quay độc lập xy, trận này được tính toán như sau: h/2 A, B , D Q 1, z , z2 d z (5) ij ij ij h/2 ij  uxyzt(,,,)(,,)(,,) uxytox z xyt Lực cắt QQQ xz, yz được định nghĩa vxyzt(,,,)(,,)(,,) vxytoy z xyt (1) tương tự như sau: QE  (6) w(,,,)(,,) x y z t wo x y t ij ij s + Trong đó: + Trong đó t là thời gian khảo sát. h/2 E Qv vd z; ( i , j 4,5) : ma trận Các hệ số biến dạng của mặt trung bình ij h/2 i j được viết như sau: hệ chống cắt theo phương ngang
3. + vi và vj là hệ số trượt không đồng nhất KM 2 0 (12) theo phương ngang, thay đổi theo độ dày của Với  là tần số góc của dao động riêng tấm trong tấm Các hệ số Q được định nghĩa như sau: ij 3. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng E(,) z T của tấm: QQ ; 11 22 1  2 a. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng  E(,) z T của tấm hình vuông: Q12 ; 1  2 (7) Các đặc trưng hình học, vật liệu của bài toán được chọn như sau: Khảo sát tấm thép QQ16 26 0 có a/b = 1, a/h = 10, y /a = 0.5, d/a = 0.5. E(,) z T c QQQ Tấm tựa trên gối ở 4 cạnh 44 55 66 2(1  ) Trong đó: Khảo sát dao động tự do của tấm, khi E (z,T) là modul đàn hồi không có ngoại lực tác động, tần số dao  là hệ số Poisson tuân theo quy luật động theo [4] được cho theo công thức sau: hàm mũ. Năng lương biến dạng U được tính như 2 b c sau: Frq  (3.1.1) hEc 1 TTTTT UABBBB() εp ε p ε p ε b ε ε p ε ε b ε s ε s d  (8) 2  bb  Trong đó: Giả sử δ(,,,,)u v w xy là vector chứa 2 các chuyển vị của các nút theo các bậc tự do, Ec=2.1e11 N/m modul Young của năng lượng biến dạng được viết lại: vật liệu thép = 7800kg/m3 khối lượng riêng 1 c UK() T  (9) 2 của thép + Với K là ma trận độ cứng tuyến tính Khảo sát tấm với mật độ lưới 26x26, số Biểu thức động năng của tấm: mũ n=1 1 T() I u2 v  2 w  2 I  2  2 d  (10)  o o o o 1 x y  2 Tần số dao động riêng của tấm được cho + Trong đó: trong bảng 3.1: hh/2 /2 I (),() zd z I z2 z d z và ()z Bảng 3.1: Tần số dao động riêng của tấm o hh/21 /2 là khối lượng riêng của tấm biến thiên theo hình vuông chiều dày của tấm theo quy luật hàm mũ. Mode I Mode II Mode III Tham Thay hàm (9), (10) và phương trình 4.122 8.526 10.250 chuyển động của Lagrange, sau đó biến đổi khảo [4] Kết quả thu gọn ta được: 4.191 7.704 10.050  tính toán MK 0 (11) Sai số 1.67 % 9.6 % 1.95% + Trong đó: M là ma trận khối lượng Từ phương trình (11) ta có thể tìm ra hàm trị riêng như sau:
4. Nhận xét: Mo Qua bảng các tần số dao động mà tác giả de đã trình bày, khi so sánh với các tần số III tham khảo [4] sự sai khác giữa các tần số ở Mode I và Mode III rất nhỏ (<5%), tuy nhiên tần số ở Mode II có sự sai khác đến 9,6%, nguyên nhân do việc xử lí về biến dạng cắt của tác giả có thể tốt hơn, do tác giả đưa thêm hệ số ổn định trượt cho tấm. Hình 3.2: Hình vẽ 3 Mode đầu tiên của tấm Mo Mode I hình vuông de I b. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng của tấm hình chữ nhật: Các đặc trưng hình học, vật liệu của bài toán được chọn như sau: Khảo sát tấm thép có a/b = 2, a/h = 100, yc/a = 0.5, d/a = 0.5, gối tựa đơn trên 4 cạnh, với mật độ chia lưới 26x26 tần số dao động được cho trong bảng 3.2, trong bảng này tác giả đối chiếu với 1 bài báo đã được kiểm chứng. Bảng 3. 2: Tần số dao động riêng của tấm ModeMo II hình chữ nhật de Mode Mode Mode Mode Mode II I II III IV V Tham 3.055 5.508 5.665 9.382 12.861 khảo [4] Kết quả 2.931 5.122 5.476 8.775 11.964 tính toán Sai số 4% 9.3% 3.3 % 6% 7%
5. Mode I Nhận xét: Mo de I Qua 2 bảng 3.1 và 3.2 cho thấy kết quả của tác giả và kết quả tham khảo không sai lệch nhiều tất cả các sai số đều <10%, điều này chứng tỏ tính chính xác của mô hình toán mà tác giả đã xây dựng. Qua hai hình vẽ 3.2 và 3.3: Đối với các Mode I và III chúng ta không thể nào phát hiện được vết nứt ModeMo II ở vị trí nào trong tấm de Đối với Mode II là Mode xé nên ta II có thể nhìn thấy khá trực quan về vết nứt, tuy nhiên khó phát hiện vị trí chính xác của vết nứt Để có thể tìm được vị trí của vết nứt một cách trực quan và chính xác, tác giả sẽ giới thiệu một phương pháp phân tích, dựa trên các hình ảnh của Mode shape để tìm ra vị trí của vết nứt với bất kỳ Mode dao động nào. 4. Kết luận: ModeMo III Bài báo này trình bày lí thuyết về phần tử hữu hạn mở rộng XFEM đặc biệt là phương de pháp XFEM dùng phần tử MITC4, và lí III thuyết biến dạng, lí thuyết tấm đàn hồi phục vụ cho việc tính toán trong bài báo, trong bài báo này tác giả đã ứng dụng lí thuyết Reissner – Mindlin để tính toán cho tấm đồng nhất. Tác giả đã lập trình và tính toán được dao động tự do của tấm bằng phương pháp XFEM dùng phần mềm Matlab, tác giả đã so sánh kết quả tính toán với một số bài báo đã công bố trên các tạp chí, kết quả tính toán của tác giả có sai số so với các bài đăng Hình 3.3: Hình vẽ 3 Mode đầu tiên của tấm trước đó khoảng 10%, điều này chứng tỏ hình chữ nhật mức độ chính xác của mô hình toán mà tác giả xây dựng là đáng tin cậy.
6. Phương pháp này cần được kiểm chứng 7. P. Nguyen-Vinh (2005) An object bằng thực nghiệm để có thể ứng dụng chẩn oriented approach to the Extended Finite đoán vết nứt trong kết cấu thực. Phát triển Element Method with Applications to bài toán đối với các kết cấu phức tạp hơn Fracture Mechanics. Master's thesis, (khung, dàn, dầm, ) và những loại vật liệu EMMC-Ho Chi Minh University of không đẳng hướng (vật liệu composite, ) Technology, Vietnam. để có thể mở rộng phạm vi ứng dụng trong thực tế. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. D. Noel (2008) Crack simulation with Extended Finite Element Methods. Master's Thesis, University of Glasgow. 2. Soheil Mohammadi (2008) Extended Finite Element Method for Fracture Analysis of Structures. Blackwell Publishing Ltd. 3. Franck Haziza (2006) The Extended Finite Element Method and Its Implementation in 2D in the Aster Code. Master's Thesis in Numerical Analysis at the Scienetific Computing International Master Program, Royal Insitute of Technology, Sweden. 4. Huynh Minh Phuoc (2007) Parameters study of Extended Finite Element Method for Fracture Mechanics. Master’s Thesis. EMMC – Ho Chi Minh University of Technology. 5. N. Moes, N. Sukumar, B. Moran, T. Belytschko (2000) An Extended Finite Element Method (X-FEM) for Two- and Three-Dimensional Crack Modeling. European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering. 6. Nguyen V.P (2006) How to implement XFEM into SYSTUS. Master’s Thesis. EMMC-Ho Chi Minh University of Technology, Vietnam.
7. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2016-2017 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.