Phân tích kết cấu vỏ bằng phần tử MITC3+ được làm trơn trên phần tử với hàm bubble (bCS – MITC3+)

Nội dung text: Phân tích kết cấu vỏ bằng phần tử MITC3+ được làm trơn trên phần tử với hàm bubble (bCS – MITC3+)

1. PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỎ BẰNG PHẦN TỬ MITC3+ ĐƯỢC LÀM TRƠN TRÊN PHẦN TỬ VỚI HÀM BUBBLE (bCS – MITC3+) STATIC ANALYSES OF SHELL STRUCTURES USING CELL-BASED SMOOTHED THREE-NODE FLAT SHELL WITH A BUBBLE NODE (bCS – MITC3+) (1)Châu Đình Thành, (2)Nguyễn Hoàng Phúc (1) Khoa Xây dựng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh (2) Học viên Cao học, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh TÓM TẮT Trong bài báo này, kỹ thuật biến dạng trơn trên miền phần tử được phát triển cho phần tử vỏ phẳng 3 nút được xây dựng từ các hàm dạng bậc 2 bằng cách thêm vào nút bubble tại trọng tâm phần tử. Hiện tượng “khóa cắt” khi chiều dày của phần tử tiến về không được khắc phục bằng kỹ thuật MITC3+ do Lee và cộng sự đề xuất năm 2014. Nhờ kết hợp kỹ thuật làm trơn và khử “khóa cắt” MITC3+, phần tử được phát triển trong luận văn này, gọi là bCS-MITC3+, có khả năng tính toán các kết cấu tấm, vỏ dày và mỏng. Sự hiệu quả và thiết thực của phần tử bCS-MITC3+ được đánh giá bằng việc giải quyết một số bài toán của kết cấu tấm, vỏ. Đầu tiên, phần tử bCS-MITC3+ vượt qua các bài toán kiểm tra phần tử. Thứ hai, một số bài toán kết cấu tấm với dạng hình học khác nhau được giải quyết. Cuối cùng, phần tử bCS-MITC3+ được sử dụng tập trung giải quyết các bài toán kết cấu vỏ với các dạng hình học, tải trọng và điều kiện biên phức tạp. Kết quả tính toán bằng phần tử bCS-MITC3+ tương tự với kết quả của các phần tử vỏ 3 nút khác, đặt biệt cho kết quả tốt hơn trong một số trường hợp. Từ khóa: Khóa cắt, MITC3+, kỹ thuật biến dạng trơn trên miền phần tử, phần tử bCS-MITC3+. ABSTRACT In this paper, the cell-based strain smoothing approach was developed for a three-node triangular flat shell element that uses second-order shape functions to approximate the displacement fields by adding a bubble node at the centroid of the element. The “shear locking” phenomenon, which occurs when the thickness of the element goes to zero, is eliminated by employing the MITC3+ technique derived by Lee et al., 2014. Thanks to strain smoothing and MITC3+ techniques, the proposed element, namely bCS-MITC3+, can compute both thin and thick plate and shell structures. The efficiency and robustness of the bCS-MITC3+ element are evaluated by solving some plate and shell problems. Firstly, the bCS-MITC3+ element passed the patch test and isotropic element test. Secondly, some plate structures with different geometry are solved. Lastly, the bCS-MITC3+ element is used to solve several benchmark shell problems. As compared to other similar shell elements, the bCS-MITC3+ element can give numerical results in good agreements, or more accuracy in some cases.
2. Key words: Shear locking, MITC3+, cell-based strain smoothing approach, bCS-MITC3+ element. I. GIỚI THIỆU 1.1. Trường chuyển vị Theo giả thiết của Mindlin – Reissner, trường chuyển vị được biểu diễn như sau: u(,,)(,) x y z u0 x y z x v(,,)(,) x y z v0 x y z  y (1) w(,,)(,) x y z w0 x y Trong đó các giá trị u0, v0, w0 là các thành phần chuyển vị được tính tại mặt trung bình, βx, βy là góc xoay tương ứng quanh trục y và trục x của các đoạn thẳng pháp tuyến sau khi biến dạng nhưng tuy vẫn còn thẳng nhưng không còn vuông góc với mặt trung hòa. 1.2. Trường biến dạng Biến dạng trong và ngoài mặt phẳng: uu 0 x  xz z x  x  x vv0  y  y z (2) y  x  y u  v  u00 x  v  y  xy zz y  x  y  y  x  x wuw  0 xzx  z  x x (3) wvw 0 yz y y  z  y 1.3. Quan hệ biến dạng chuyển vị của phần tử bCS-MITC3+ Xấp xỉ trường chuyển vị: 4 4 3 4 4 u00  fuvii,,,,.  fvwfw ii  iix  f iyiy    f ixi  (4) i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 1 1 Trong đó: f 1 rs ffr , ffs , ff , 27 rsrs (1 ) là các hàm dạng 13 4 2 3 4 3 3 4 4 Xấp xỉ biến dạng:
3. f i 0 x 4 u fi i εm  0,  B m d m i 1 y v i ffii yx f 00 i x wi 4 fi εb z 0 0  xi B b d b , 5 i 1 y  yi ffii 0 xy 34N i 0 f w i i ik 11x εsx  i Bd s b . 34N i f 0 i  yi ik 11y 1 Trong đó B là ma trận quạn hệ giữa biến dạng và chuyển vị. 1.4. Ma trận biến dạng chuyển vị Ma trận quạn hệ giữa biến dạng và chuyển vị màng: f  ff  f 10 0000 2 0 00003 0 0000 4 0000 x  x  x  x f1  f 2f3  f 4 Bm 0 00000 00000 00000 000 (6) y  y  y  y f1  f 1  f 2  f 2ff33  f 4  f 4 0000 0000 0000 000 y  x  y  x  y  x  y  x Ma trận quạn hệ giữa biến dạng và chuyển vị uốn: 3
4. f  ff  f 000 01 00000 2 0000 03 000 0 4 0 x  x  x  x f1  f 2f3  f 4 Bb 000 00000 00000 0000 00 (7) y  y  y  y f1  f 1  f 2  f 2ff33  f 4  f 4 000 0000 0000 000 0 x  y  x  y  x  y  x  y Ma trận quạn hệ giữa biến dạng và chuyển vị cắt: N  f  N  fNf  f 001 0 1 000 2 0 2 00033 0 0000 4 0 y  x  y  x  y  x  x Bs (8) ff12f3 00 f1 0000 f 2 0000 f 3 0000 f 4 00 y  y  y 1.5. Ma trận độ cứng của phần tử bCS-MITC3+ trong hệ trục cục bộ Khử khóa cắt: Để khắc phục hiện tượng “Shear locking” ta cần xấp xỉ lại các biến dạng cắt bằng hàm mới thông qua các các biến dạng cắt tại những “điểm buộc” (tying point) [7] như Hình với d=1/10000. Hình 1.1. Điểm buộc của phần tử MITC3+. 2 1 1 1  ( (BB )  ( ) ) (  (C)  (C) ) c(3s 1) , rt 3rt 2 st 3 rt st 3 (9) 2 1 1 1  ( (A)  (A) ) (  (C)  (C) ) c(3r 1) . st 3rt 2 st 3 rt st 3 (F) (D) (F) (E) Trong đó: c ()().rt  rt  st  st (10) MITC3 Quan hệ biến dạng chuyển vị viết lại: εs Bs d (11) Kỹ thuật làm trơn:
5. Hình 1.2. Ba tam giác con (Δ1, Δ2, Δ3) được tạo ra từ 3 nút 1, 2, 3 và điểm trọng tâm của tam giác. m (x ) (x)  (x x ) d  (12) C m C C 1 x C Trong đó: (x xC ) AC là hàm làm trơn. (13) 0x C Ma trận biến dạng chuyển vị được viết lại: nG f( x ) n 0 0 0 0 0  i kn x ii  i neg nG 1 k Bm (x ) 0 f ( x ) n 0 0 0 0 l (14) C i kn y eC AC k 1 i i nG nG fi( x kn ) n y f i ( x kn ) n x 0 0 0 0 i i i i nG 0 0 0 0fn (x ) 0  i kn x ii i neg nG 1 k Bb (xx ) 0 0 0f ( ) n 0 0 l (15) C i kn y eC AC k 1 i i nG nG 0 0 0 fi (xx kn ) n x f i ( kn ) n x 0 i i i i Ma trận độ cứng: T KBDBm ( m ) m d m e MITC33 MITC (16) TT KKKBDBBDBp b s ( b ) b d ( s ) s d bs ee kh3 10 Trong đó: (17) Ds 22 hl e 01 l KKKe mp Nén bậc tự do của nút bubble: l 1 KKKKKe 11 12 22 21 (18)           1.6. Ma trận độ cứng của phần tử bCS-MITC3+ trong hệ trục toàn cục 5
6. Ma trận chuyển trục: Td 00 TT 00 (19) d 00Td c11 c 12 c 13 000 c c c 000 21 22 23 c31 c 32 c 33 000 Trong đó: Td là ma trận chưa các cosin chỉ phương. (20) 000c11 c 12 c 13 000c c c 11 12 13 000c11 c 12 c 13 Ma trận độ cứng được chuyển trục: l gT KTKTe e (21) II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong nghiên cứu này, các kết quả đạt được sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: . Phương pháp nghiên cứu được thực hiện trong đề tài này là phương pháp nghiên cứu lý thuyết tấm/vỏ biến dạng cắt bậc nhất, nghiên cứu và phát triển công thức phần tử hữu hạn vỏ phẳng bCS-MITC3+. . Công thức lý thuyết sau khi thiết lập sẽ được lập trình tính toán để mô phỏng một số các bài toán điển hình của kết cấu tấm/vỏ. . Kết quả mô phỏng số của một số bài toán kết cấu vỏ điển hình sẽ được so sánh với kết quả của các nghiên cứu trước đó, để đánh giá tính hiệu quả và chính xác của nghiên cứu này. III. KẾT QUẢ 3.1. Tấm vuông liên kết ngàm chịu áp lực phân bố đều Tấm vuông liên kết ngàm chịu áp lực phân bố đều q = 1 như Hình 3.1. Các thông số hình học như sau: Chiều dài cạnh L = 10 m, chiều dày phụ thuộc vào chiều dài theo các tỷ lệ t/L = 0.001 và t/L = 0.1. Các thông số vật liệu như sau: Module đàn hồi E = 1092000 KN/m2, hệ số poisson ν = 0.3. Vì tính đối xứng qua hai trục của bài toán, chỉ ¼ tấm được mô phỏng theo các cách chia lưới Nx x Ny khác nhau với Nx = 4, 8, 10, 12, 16 và Ny = 4, 8, 10, 12, 16.
7. Hình 3.1. Tấm vuông liên kết ngàm bốn cạnh chịu tải phân bố q. Bảng 3.1: So sánh kết quả chuyển vị tương đối tại tâm của tấm. Số phần tử Kết quả t/L Phần tử chính xác % 4x4 8x8 10x10 12x12 16x16 [30] bCS-MITC3+ 0.1325 0.1281 0.1275 0.1272 0.1269 0.16 CS-DSG3 0.1123 0.1227 0.1241 0.1248 0.1256 0.87 0.001 MITC4 0.1211 0.1251 0.1256 0.1259 0.1262 0.1267 0.39 MITC3+ 0.1235 0.1259 0.1262 0.1263 0.1264 0.24 ES-DSG3 0.0904 0.1202 0.1234 0.1248 0.1259 0.63 bCS-MITC3+ 0.1567 0.1521 0.1515 0.1512 0.1509 0.67 CS-DSG3 0.1357 0.1467 0.148 0.1487 0.1495 0.27 0.1 MITC4 0.1431 0.1488 0.1494 0.1497 0.1500 0.1499 0.07 MITC3+ 0.1494 0.1503 0.1503 0.1504 0.1504 0.33 ES-DSG3 0.1306 0.1499 0.1506 0.1508 0.1508 0.60 Bảng 3.2: So sánh kết quả chuyển vị tương đối tại tâm của tấm với t/L nhỏ dần. t/L bCS-MITC3+ CS-DSG3 MITC3+ MITC4 10-1 0.1509 0.151 0.1504 0.1506 10-2 0.1272 0.1269 0.1267 0.1269 10-3 0.1269 0.1266 0.1264 0.1266 10-4 0.1269 0.1266 0.1264 0.1266 10-5 0.1269 0.1266 0.1263 0.1266 10-6 0.1269 0.1266 0.1184 0.1268 10-7 0.1269 0.1266 0.0179 0.1155 10-8 0.1269 0.1266 0.0005 0.0183 10-9 0.1269 0.1266 0.0002 0.0001 7
8. Từ Bảng 3.2 ta thấy kết quả chuyển vị tương đối của phần tử bCS-MITC3+ với tỉ lệ t/L nhỏ dần rất tốt và ổn định. Đối với tấm rất mỏng t/L =10-8 trở đi thì cho kết quả độ võng tương đối không bị suy biến trong khi phần tử MITC3+ và phần tử MITC4 cho kết quả bị suy biến. Điều đó cho thấy phần tử bCS-MITC3+ đã vượt qua hiện tượng khóa cắt. Hình 3.2. Chuyển vị tương đối tại tâm của tấm với t/L=0.001. Hình 3.3. Sai số chuyển vị tương đối tại tâm của tấm với t/L=0.001.
9. Từ biểu đồ Hình 3.2 và Hình 3.3 ta thấy kết quả độ võng tương đối của phần tử bCS-MITC3+ đối với tấm dày tương đối tốt. Đối với tấm mỏng thì cho kết quả độ võng tương đối hội tụ nhanh hơn phần tử CS-DSG3 và phần tử ES-DSG3. Điều đó cho thấy phần tử bCS-MITC3+ cho kết quả tốt hơn khi phân tích tấm mỏng. 3.2. Vỏ trụ liên kết ngàm chịu tải trọng tập trung Vỏ trụ với hai đầu liên kết ngàm phẳng (u = 0, w = 0) chịu tải trọng tập trung P = 1 KN như Hình 3.4. Các thông số hình học và vật liệu như sau như sau: R = 300 m, L = 600 m, t = 3 m, E = 3x106 KN/m2. Vì tính chất đối xứng qua 2 trục của bài toán, chỉ 1/8 vỏ được mô hình với hệ lưới 8 x 8, 12 x 12, 16 x 16, 20 x 20 phần tử. Kết quả phân tích chuyển vị tại điểm đặt lực của các phần tử được trình bày trong Bảng 3.3 và được so sánh ở biểu đồ trong Hình 3.5. Kết quả chính xác của chuyển vị được tham khảo từ [18] là 1.8248x10-5. Hình 3.4. Vỏ trụ liên kết ngàm ở hai đầu chịu tải trọng tập trung. Bảng 3.3: So sánh kết quả chuyển vị w (10-5) tại điểm đặt lực của vỏ. Số phần tử Kết quả Kiểu phần tử chính xác[31] 8x8 12x12 16x16 20x20 24x24 bCS-MITC3+ 1.5202 1.7269 1.7950 1.8231 1.8374 CS-DSG3 1.4349 1.6558 1.7366 1.7735 1.8248 MITC3+ 1.4123 1.6280 1.7158 1.7602 MITC4 1.3559 1.5940 1.6944 1.7450 9
10. Hình 3.5. Biểu đồ so sánh chuyển vị tại điểm đặt lực của vỏ với các kiểu phần tử khác nhau. Hình 3.6. Biểu đồ so sánh sai số chuyển vị tại điểm đặt lực của vỏ. Từ Bảng 3.5 và biểu đồ Hình 3.6 ta thấy kết quả độ võng lớn nhất trong vỏ của phần tử bCS- MITC3+ hội tụ nhanh hơn các phần tử khác được nghiên cứu trước đó và rất gần với kết quả chính xác. Điều đó cho thấy phần tử bCS-MITC3+ cho kết quả rất tốt khi phân tích kết cấu vỏ trụ chịu tải trọng tập trung.
11. 3.3. Vỏ yên ngựa chịu trọng lượng bản thân Vỏ yên ngựa với phương trình hình học z = x2 – y2, x ∈ [−0.5, 0.5] và y ∈ [−0.5, 0.5] và ngàm một biên được cho trong Hình 3.7. Vỏ chịu trọng lượng bản thân q = 8000 kg/m3. Các thông số hình học và vật liệu như sau như sau: E = 2 x 1011 KN/m2, ν = 0.3, L = 1 m, t = 0.001 m. Vỏ được mô hình với hệ lưới 4 x 4, 8 x 8, 16 x 16 và 24 x 24 phần tử. Kết quả phân tích chuyển vị tại điểm E (x = L/2, y = 0) của các phần tử được trình bày trong Bảng 3.4 và được so sánh ở biểu đồ trong Hình 3.8. Kết quả chính xác của chuyển vị điểm E được tham khảo từ [20] là 6.3941 x 10-3 m. Hình 3.7. Vỏ yên ngựa ngàm một biên chịu trọng lượng bản thân. Bảng 3.4: So sánh kết quả chuyển vị w (10-3) tại điểm E (x = L/2, y = 0) của vỏ. Số phần tử Kết quả Kiểu phần tử chính xác 4x4 8x8 16x16 24x24 [33] bCS-MITC3+ 7.9980 6.6821 6.4665 6.4474 CS-DSG3 7.1416 6.3434 6.2831 6.3208 6.3941 MITC3+ 5.6097 5.6843 5.8854 5.9968 MITC4 6.3434 6.0648 6.0648 6.1400 11
12. Hình 3.8. Biểu đồ so sánh chuyển vị tại điểm E của vỏ với các kiểu phần tử khác nhau. Từ Bảng 3.4 và biểu đồ Hình 3.8 ta thấy kết quả độ võng tại điểm E của phần tử bCS-MITC3+ hội tụ tốt hơn các phần tử khác được nghiên cứu trước đó và khá gần với kết quả chính xác. Điều đó cho thấy phần tử bCS-MITC3+ cho kết quả tốt khi phân tích kết cấu vỏ yên ngựa có dạng hình học phức tạp. 3.4. Vỏ bán cầu khoét lỗ ở giữa chịu tải trọng tập trung Vỏ bán cầu khoét một lỗ 180 ở giữa và chịu tải tập trung F = 1 N như Hình 3.9. Với các thông số hình học và vật liệu như sau như sau: R = 10 m, t = 0.04 m, E = 6.825x107 KN/m2, ν = 0.3. Vì tính chất đối xứng qua 2 trục của bài toán, chỉ 1/4 vỏ được mô hình với các hệ lưới khác nhau 4x4, 8x8, 10x10, 12x12 và 16x16 phần tử. Kết quả phân tích chuyển vị dọc theo phương bán kính tại điểm đặt lực của các phần tử được trình bày trong Bảng 3.5 và được so sánh ở biểu đồ trong Hình 3.10. Kết quả chính xác của chuyển vị tại điểm đặt lực được tham khảo từ [19] là 0.0924 m.
13. Hình 3.9. ¼ vỏ bán cầu khoét một lỗ 180 chịu tải tập trung. Bảng 3.5: So sánh kết quả chuyển vị tại điểm đặt lực. Số phần tử Kết quả Kiểu phần tử 4x4 8x8 10x10 12x12 16x16 20x20 24x24 chính xác bCS-MITC3+ 0.0956 0.0937 0.0933 0.0930 0.0928 0.0928 0.0928 CS-DSG3 0.0933 0.0928 0.0927 0.0925 0.0926 0.0924 MITC3+ 0.0992 0.0954 0.0946 0.0940 0.0935 MITC4 0.0814 0.0913 0.0920 0.0925 0.0929 13
14. Hình 3.10. Biểu đồ so sánh chuyển vị tại điểm đặt lực của vỏ với các kiểu phần tử khác nhau. Từ Bảng 3.5 và biểu đồ Hình 3.10 ta thấy kết quả độ võng tại điểm đặt lực của phần tử bCS- MITC3+ hội tụ nhanh hơn phần tử MITC3+. Điều đó cho thấy phần tử bCS-MITC3+ cho kết quả khá tốt khi phân tích kết cấu vỏ bán cầu bị khoét lỗ chịu tải trọng tập trung. IV. KẾT LUẬN Bài báo đã sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, kết hợp kỹ thuật khử khóa cắt của phần tử MITC3+ và kỹ thuật làm trơn bCS để xây dựng phần tử vỏ phẳng bCS-MITC3+. Phần tử bCS- MITC3+ sau khi được sử dụng để phân tích tĩnh kết cấu vỏ cho kết quả rất tốt, khá sát với lời giải chính xác và các phần tử khác được nghiên cứu trước đó. Kết quả phân tích cho thấy phần tử bCS- MITC3+ cho kết quả hội tụ nhanh khi chia nhỏ phần tử và chính xác hơn các phần tử thông thường như MITC3, MITC3+, NS-SG3. Nghiên cứu cho thấy, phần tử bCS-MITC3+ cũng cho kết quả tốt đối với các loại kết cấu tấm khác nhau như tấm chữ nhật, tấm xiên, tấm tròn. Phần tử này cũng cho kết quả tốt đối với kết cấu tấm dày lẫn tấm mỏng, chứng tỏ phần tử bCS-MITC3+ đã khắc phục tốt hiện tượng khóa cắt. Kết quả phân tích và so sánh cho thấy phần tử bCS-MITC3+ phân tích tốt đối với cả kết cấu vỏ và kết cấu tấm với nhiều dạng hình học, điều kiện biên và tải trọng phức tạp. Vì vậy, khẳng định được độ tin cậy, chính xác và ổn định của hướng nghiên cứu này.
15. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dvorkin EN, Bathe KJ. A continuum mechanics basedfour - node shell elementfor general nonlinear analysis. EngComput 1984;1:77 – 88. [2] Bathe KJ, Dvorkin EN. A formulation of general shell elements – the use of mixed interpolation of tensorial components. Int J Numer Methods Eng 1986; 22:697 – 722. [3] Bathe KJ, Brezzi F, Cho SW. The MITC7 and MITC9 plate bending elements. Comput Struct 1989;32:797 – 814. [4] Bucalem ML, Bathe KJ. Higher - order MITC general shellelements. Int J Numer Methods Eng 1993;36:3729 – 54. [5] Lee PS, Bathe KJ. Development of MITC isotropic triangular shell finite elements. Computers and Structures 82 (2004) 945 – 962. [6] Jeon HM, Lee PS, Bathe KJ. The MITC3 shell finite element enriched by interpolation covers. Comput Struct 2014;134:128 – 42. [7] Lee Y, Lee PS, Bathe KJ. The MITC3+ shell element and its performance. Comput Struct 2014;138:128 – 23. [8] Bạch Quang Trung. Nghiên cứu phân tích phi tuyến hình học của kết cấu tấm/vỏ. Luận văn thạc sĩ, Đại học sư phạm kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh, 3/2015. [9] Đinh Công Dự. Phân tích tĩnh và dao động tự do vỏ Composite Sandwich sử dụng lý thuyết Layerwise bằng phần tử hữu hạn trơn CS_MIN3. Luận văn thạc sĩ, Đại học Mở Tp. Hồ Chí Minh, 2014. [10] Nguyen Hoai N. A smoothed strain based element for geometrically Nonlinear analysis of plate/shell structures. Thesis, Bach Khoa University, Ho Chi Minh city, 2013. [11] Nguyễn Văn Hiếu, Nguyễn Hoài Nam, Trần Đồng Kiếm Lam, Lê Văn Thông. Mô hình và phân tích phi tuyến hình học kết cấu tấm/vỏ composite sử dụng phần tử tứ giác trơn. Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI Thành phố Hồ Chí Minh, 7-9/11/2013. [12] Liu GR, Nguyen Thoi T. Smoothed Finite Element Methods. CRC Press, New York 2010. [13] Nguyen Xuan H, Liu GR. An edge-based smoothed finite element method softened with a bubble function (bES-FEM) for solid mechanics problems. Comput Struct 2013;128:14 – 30. [14] Nguyen Thanh N, Rabczuk T, Nguyen Xuan H, Bordas SPA. A smoothed finite element method for shell analysis. Comput Struct 2008;198:165 – 177. [15] Nguyen Thoi T, Phung Van P, Nguyen Xuan H. A cell - based smoothed discrete shear gap method (CS - DSG3) using triangular elements for static and free vibration analyses of shell structures. Comput Struct 2013. [16] Nguyễn Hoài Sơn, Vũ Như Phan Thiện, Đỗ Thanh Việt. Phương pháp phần tử hữu hạn với Matlab. Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia TP.HCM 2001. [17] Kwon YW, Bang H. The finite element method using Matlab. Boca Raton London New York Washington D.C 2001. 15
16. [18] Fluge W. Stress in shells. Berlin: Springer; 1960. [19] McNeal RH, Harder RL. A proposed set of problems to test finite element accuracy. Finite Elem Anal 1985;1:3 - 20. [20] Chapelle D, Bathe KJ, Iosilevich A. An evaluation of the MITC shell elements. Comput Struct 2000;75:1 - 30. Thông tin liên hệ tác giả chính (người chịu trách nhiệm bài viết): Họ tên: Nguyễn Hoàng Phúc
17. Điện thoại: 0968 229902 Email: Phucxd10@gmail.com Xác nhận của Giảng viên Hướng dẫn (Ký tên) TS. Châu Đình Thành 17
18. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2017-2018 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.