Phân tích kết cấu tấm nhiều lớp bằng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT) dùng phần tử tấm MICT3 kết hợp kỹ thuật làm trơn nút

Nội dung text: Phân tích kết cấu tấm nhiều lớp bằng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT) dùng phần tử tấm MICT3 kết hợp kỹ thuật làm trơn nút

1. PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM NHIỀU LỚP BẰNG LÝ THUYẾT TẤM BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO (HSDT) DÙNG PHẦN TỬ TẤM MITC3 KẾT HỢP KỸ THUẬT LÀM TRƠN NÚT ANALYSIS OF LAMINATED COMPOSITED PLATES USING HIGH-ORDER SHEAR DEFORMATION THEORY (HSDT) AND PLATE FINITE ELEMENT MITC3 COMBINED WITH NODE-BASED SMOOTHED STRAINS Trương Đức Thái. Phòng Kinh tế - Hạ tầng huyện Châu Thành, tỉnh An Giang. Email: truongducthai81@gmail.com TÓM TẮT Trong đề tài này, phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên nút phần tử NS-FEM (the node-based smoothed finite element method) được phát triển cho phần tử tấm composite nhiều lớp. Biến dạng trượt do lực cắt sẽ được trình bày theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao dựa trên hàm bậc 3 của Reddy, miền hình học được rời rạc thành lưới phần tử tam giác ba nút với bảy bậc tự do cho mỗi nút. Ma trận độ cứng phần tử được tính toán bởi kỹ thuật biến dạng trơn bằng cách trung bình các biến dạng trên miền xung quanh nút của phần tử. Để giải quyết hiện tượng khóa cắt khi tấm có chiều dày mỏng dần, kỹ thuật nội suy các thành phần ten xơ (mixed interpolation tensorial components viết tắt là MITC) được sử dụng. Kết quả, công thức phần tử hữu hạn NS-MITC3 được xây dựng. Tính hiệu quả và độ chính xác của phần tử NS-MITC3 được kiểm chứng thông qua các ví dụ số phân tích các bài toán tĩnh của kết cấu tấm composite nhiều lớp. Từ khóa: Tấm composite nhiều lớp, phần tử MITC3, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. ABSTRACT In this topic, the node-based element smoothed finite element method NS-FEM was developed for laminated composited plates element using high – order shear deformation theory. Trausverse shear strains are based on the third order shear deformation of Reddy. The domain discvitized by is a triangular mesh of three nodes element with seven degrees of freedom for each node. Element stiffness matrices are smoothed over domain over common wodes of elements. To the phenomenon of shear locking when the thickness of plate is thin overcome, mixed interpolation tensorial components (MITC) is used. The effectiveness and accuracy of the proposed NS-MITC3 elements are venfied through examples of static analysis of laminated composited plates. Numerical results show that the Results of NS-MITC3 are similar to other references.
2. Keywords: Laminate composite plates, element MITC3, shear deformation theory high- order. 1. Giới thiệu. Tấm composite đã được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành kỹ thuật như: hàng không vũ trụ, hàng hải, cơ sở hạ tầng dân dụng v.v , bởi vì chúng có đặc tính cơ học nổi trội là độ cứng cao so với trọng lượng thấp. Tuy nhiên, vật liệu composite thường đi kèm với sự phức tạp về các phương pháp phân tích, mô hình, tính toán v.v Để sử dụng các tấm composite nhiều lớp có hiệu quả trong thực tiễn thì việc cần thiết là phải phát triển các lý thuyết phân tích thích hợp [1, 2], Noor [3,4] đề xuất lý thuyết đàn hồi 3 chiều (3D), để cải thiện tính chính xác của ứng suất cắt ngang nhưng do chi phí tính toán cho lý thuyết 3D lớn, nên các lý thuyết lớp tương đương (ESL), bao gồm lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển (CLPT); lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc 1 (FSDT); lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT) lần lược được giới thiệu. Lý thuyết FSDT vẫn tồn tại hạn chế, những hạn chế này có thể khắc phục bằng cách sử dụng lý thuyết HSDT được phát triển bởi Reddy [5], Matsunaga [6], Kant và Swaminathan [7], Liu et al [8], v.v. lý thuyết biến dạng cắt bậc cao này không cần các hệ số điều chỉnh lực cắt và cho ra ứng suất cắt ngang chính xác và ổn định hơn. Các công thức phần tử hữu hạn (PTHH) áp dụng cho lý thuyết HSDT đòi hỏi sự phức tạp khi xây dựng hàm xấp xỉ PTHH. Để khắc phục những hạn chế này, Shankara và Iyengar [9] đề xuất hình thức tính khác áp dụng cho HSDT mà chỉ đòi hỏi hàm xấp xỉ dạng tham số C0 (C0-HSDT). Trong các loại C0-HSDT, hai biến độc lập được bổ sung để biểu diễn đạo hàm của chuyển vị. Để nâng cao hiệu quả tính toán của các PTHH truyền thống, Liu và cộng sự [10] đã phát triển phương pháp biến dạng trơn bằng cách xấp xỉ trường biến dạng trên nút của phần tử, gọi là (NS-FEM), H. Nguyen – Xuan và cộng sự [11] thực hiện mở rộng việc áp dụng NS-FEM vào tấm bằng cách kết hợp NS-FEM với phần tử tấm khử khóa cắt theo kỹ thuật DSG3 [12]. Bên cạnh việc khử khóa cắt bằng DSG3, Bathe và Dvorkin [13] phát triển thành công kỹ thuật khử khóa cắt MITC, dựa trên phương pháp nội suy hỗn hợp các thành phần ten xơ biến dạng cắt cho các loại phần tử tứ giác 4 nút MITC4 [14], 8 nút MITC8 [13], 9 nút MITC9 [15], 16 nút MITC16 [16], dùng để phân tích kết cấu tấm/vỏ đồng nhất hoặc nhiều lớp. Kỹ thuật MITC còn được phát triển cho phần tử tam giác 3 nút MITC3. So với các phần tử tứ giác các phần tử tam giác có ưu thế trong việc rời rạc hóa dạng hình học phức tạp của kết cấu tấm nhiều lớp. Nhiệm vụ của đề tài là xây dựng cơ sở lý thuyết PTHH kết hợp kỹ thuật làm trơn nút cho bài toán tấm composite nhiều lớp, sau đó lập trình, tính toán, phân tích một số bài toán tĩnh cho tấm composite. So sánh kết quả nhận được với một số kết quả đã công bố trước đây và đưa ra nhận xét đánh giá hiệu quả đạt được.
3. 2. Cơ sở lý thuyết. 2.1. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao: Hình 2.1. Hình học ban đầu và hình học biến dạng trên một cạnh của tấm với các lý thuyết tấm cổ điển (CLPT), biến dạng cắt bậc nhất (FSDT), và biến dạng cắt bậc 3 (TSDT). 2.1.1. Trường chuyển vị: Reddy [5] đã xây dựng trường chuyển vị của lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao như hình 2.1, dựa trên hàm xấp xỉ bậc 3 của chuyển vị như sau: 23 u u0 zx z  x( x , y ) z  x ( x , y ). 23 v v0 zy z  y( x , y ) z  y ( x , y ). (2.1) w w0 (,) x y Trong đó: u, v , w: là các chuyển vị theo phương x, y, z xy, : lần lượt là các góc xoay quanh trục y và trục x (Xem hình 2.2) xx,  y,  và  y là các hàm được xác định từ điều kiện ứng suất tiếp thẳng góc bằng 0 ở mặt trên và mặt dưới tấm. τ 0; τ 0 (2.2) xz zh /2 yz zh /2 Từ quan hệ giữa ứng suất tiếp và biến dạng trượt ta có: τγxz G xz ; τγyz G yz
4. u  w  w γ  23zz  2  xzz  x x x x  x Với v  w  w γ  23zz  2  yzz  y y y y  y Điều kiện (2.2) tương đương với: 2 h h w γ xz  x 2  x 3  x 0 (2.3.a) h/2 22 x 2 h h  w γ xz  x 2  x 3  x 0 (2.3.b) h/2 22 x (2.3) 2 h h w γ yz  y 2  y 3  y 0 (2.3.c) h/2 22 y 2 h h  w γ yz  y 2  y 3  y 0 (2.3.d) h/2 22 y Lấy (2.3.a) trừ (2.3.b) ta được: x 0 4 w Thay vào (2.3.a) và (2.3.b) suy ra  () xx3hx2  Thực hiện tương tự với phương trình (2.3.c) và (2.3.d) ta có 4 w  0 và  () y yy3hy2  Thay x,,,  y  x  y vừa tìm được vào (2.1) ta có: 4 3 w0 uxyz(,,)(,)(,) uxy0 zxx xy 2 z 3hx  4 3 w0 vxyz(,,)(,)(,) vxy0 zyy xy 2 z 3hy  w(,,)(,) x y z w0 x y w w Thay 0 bằng  và 0 bằng  x x y y Ta có trường chuyển vị (2.1) được viết lại như sau: 44zz33 u(,,); x y z u0 z 22xx 33hh 44zz33 v(,,); x y z v0 z 22yy (2.4) 33hh w(,) x y w0
5. Trường chuyển vị (2.4) chứa 7 ẩn số độc lập u0,,,,,, v 0 w 0 x  y  x  y  cần xác định. Trong đó: u00, v là các chuyển vị màng, w0 là độ võng, xy, là các góc xoay quanh trục y, và trục x, xy, là các hàm độ cong với chiều dương qui ước được định nghĩa trong Hình 2.2 Hình 2.2. Các chuyển vị u,, v w và các góc xoay xy, trong tấm. 2.1.2. Trường biến dạng: Từ trường chuyển vị (2.4) các biến dạng được xác định như sau:  Biến dạng màng. T 3 (2.5) εp xx  yy  xy ε 0 zz κ 1 κ 2 Trong đó: u  0 x x x v0 1  y ε0  (2.6); κ1  (2.7) y 2 y uv   00 x y yx yx  xx xx c yy κ 2  (2.8) 6 yy xxyy  y  x  y  x
6. 4 Với: c t 2  Biến dạng trượt. T 2 (2.9) γ xz yz εss z κ Với: w  x x xx ε (2.10); κ c (2.11) s w s yy  y y 2.1.3. Trường ứng suất: Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong một lớp composite của vật liệu trực hướng  Ứng suất trong mặt phẳng: 1 QQQ 11 12 16 1  QQQ (2.12) 2  21 22 26 2  12 QQQ 61 62 66 12  Ứng suất ngoài mặt phẳng: 23 QQ 44 45 23    (2.13) 13 QQ 54 55 13  E1 12E 2 E2 Trong đó: Q11 ; Q12 ;Q22 ; 1 12 21 1 12 21 1 12 21 QG66 12 ; QG44 23 ; QG55 13 . (2.14) Với E1, E2 là các mô đun đàn hồi Young theo phương dọc và phương ngang sợi. ij : là các hệ số Poisson. Gij : là các mô đun đàn hồi trượt Hình 2.3. Tấm composite gia cường sợi một phương với hệ tọa độ tổng thể (x,y,z) và hệ tọa độ địa phương (x1,x2,x3). Với lớp thứ k của tấm mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng có dạng:
7.  kkk kk QQQ11 12 16 00 xx  xx  kkk QQQ21 22 26 00 yy yy kkk  (2.15) xy  QQQ61 62 66 00  xy   kk yz 000QQ yz 44 45 xz  kk xz  000QQ54 55 k k 4 k (k ) 2 2 k 4 QQQQQ11 11cos 2 12 2 66 sin cos 22 sin k k k k 2 2 k 4 4 QQQQQ12 11 22 4 66 sin cos 12 sin cos k k 4 k k 2 2 k 4 QQQQQ22 11sin 2 12 2 66 sin cos 22 cos k k k k 33 k k k QQQQQQQ16 11 12 2 66 sin cos 12 22 2 66 sin cos k k k k 33 k k k QQ26 11 QQQQQ 12 2 66 sin cos 12 22 2 66 sin cos k k k k k 2 2 k 4 4 QQQQQQ66 11 22 2 12 2 66 sin cos 66 sin cos 2.1.4. Nội lực trong tấm: Các thành phần nội lực trong tấm được xác định bằng cách lấy tích phân theo chiều dày tấm:  Lực tổng trong mặt phẳng: Nxx   xx  ε0 h/2 NABE N  dz   κ (2.16) yy  h/2 yy  1  Nxy   xy  κ2  Mômen tổng ngoài mặt phẳng: M xx   xx  ε0 h/2 MBDF M  zd z   κ (2.17) yy  h/2 yy  1  M xy   xy  κ2 M xx   xx  ε0 h/2 MEFH M  z3 d z   κ yy  h/2 yy  1  M xy   xy  κ2  Lực cắt ngoài mặt phẳng: h/2 Qx   xz  ss εs QAB  d z  (2.18) Q h/2  y  yz  κs
8. h/2 Qx   xz  2 ss εs QBD  zdz  Q h/2  y  yz  κs Trong đó các thành phần ABDEFHij,,,,, ij ij ij ij ij của ma trận A,B,D,E,F,H được xác định như sau: h/2 (,,,,,ABDEFH ) (1,,,,,) zzzzzQdzij2 3 4 6 (k) , 1,2,6 ij ij ij ij ij ij ij h/2 s s s s s s Và các thành phần ABDij,, ij ij của ma trận ABD,,được xác định. h/2 (,,)As B s D s (1,,) z2 z 4 Q (k) dz i , j 4,5 ij ij ij ij h/2 2.2. Rời rạc tấm bằng phần tử tam giác 3 nút MITC3. 2.2.1. Phần tử tam giác 3 nút với kỹ thuật khử khóa cắt MITC3. Hình 2.4. Phần tử tam giác trong hệ tọa độ địa phương. Các đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử được nội suy theo các chuyển vị nút tương ứng như sau: 3 3 u  NiI u ; x  N i xI ; 1 1 3 3 v  NiI v ; y  N i y I ; (2.19) 1 1 3 3 w  NiI w ; x  N i xI ; 1 1 3 y  N i y I . 1 Trong đó, Ni là các hàm dạng được định nghĩa như sau: N1 1 r s ; Nr2 ; Ns3 . r, s là các trục tọa độ tự nhiên của phần tử (Hình 2.4) uI , vI lần lượt là chuyển vị theo trục x, y do biến dạng màng tại nút thứ I; wI là chuyển vị theo trục z
9. tại nút thứ I; xI, yI là các góc xoay quanh trục y, và trục x tại nút thứ I của phần tử. Thế xấp xỉ (2.19) vào công thức biến dạng (2.6 - 2.8), (2.10 – 2.11) ta được: 3 3 3 m b1 b2 ε0  BII d ; κ1  BII d ; κ2  BII d I 1 I 1 I 1 3 3 s0 s1 εs  BII d ; κs  BII d (2.20) I 1 I 1 Trong đó: T dI u I v I w I xI  yI  xI  yI  I 1,3 là vectơ nút phần tử N I 0 0 0 0 0 0 x N m I (2.21) BI 0 0 0 0 0 0 y NNII 00000 yx N 0 0 0I 0 0 0 x N b1 I (2.22) BI 0 0 0 0 0 0 y NNII 0 0 0 0 0 yx NN 0 0 0II 0 0 xx c  N N b2 II (2.23) BI 0 0 0 0 0 3 yy NNNNIIII 000 y  x  y  x N 0 0I N 0 0 0 x I s0 (2.24) BI NI 0 0 0NI 0 0 y 0 0 0NN 0 0 s1 II (2.25) BI 0 0 0 0NNII 0
10. Hình 2.5. Phần tử tam giác trong hệ tọa độ toàn cục. Nếu 1 phần tử có các tọa độ nút trong hệ trục oxy lần lượt là (x1, y1), ( x2, y2), ( x3, y3). Và đặt: a = x2 – x1, b = y2 – y1, c = y3 – y1, d = x3 – x1. Các ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút phần tử có thể viết lại ở dạng tường minh như sau: b c0 00000 c 000000 b 000000 1 Bm 0d a 000000 d 000000 a 00000 (*) I 2Ae d a b c00000 d c 00000 a b 00000 000b c 000000 c 000000 b 000 1 Bb1 0000d a 000000 d 000000 a 00 ( ) I 2Ae 000d a b c 00000 d c 00000 a b 00 000b c 0 b c 0000 c 0 c 0000 b 0 b 0 1 c Bb2 0000d a 0 d a 0000 d 0 d 0000 a 0 a I 23Ae 0 0 0dabcdabc 0 0 0 dcdc 0 0 0 abab ( ) Từ quan hệ biến dạng và chuyển vị nút phần tử, theo công thức phần tử hữu hạn ta làm được ma trận độ cứng phần tử như sau: KBDBSDSIJ T dd  T  (2.26) e AA I J I s J ee Trong đó: m b12 b ; ss01 (2.27) BBBBIIII SBBIII ABE ABss D* = B D F ; D=* s ss BD EFH Vectơ tải phần tử: FN pd (2.28) e A e Giải phương trình cân bằng: Kd = F để tìm các chuyển vị. (2.29)
11. Nếu chỉ dừng lại ở việc dùng phương trình (2.26) để tìm các chuyển vị thì bài toán chỉ đúng với những tấm có bề dày lớn hoặc vừa phải, còn đối với tấm mỏng sẽ dẫn đến hiện tượng “khóa cắt” (Shear locking) và kết quả không còn chính xác nữa. Để khắc phục hiện tượng này, kỹ thuật MITC3 xấp xỉ lại các biến dạng cắt bằng hàm mới thông qua những “điểm buộc” (tying point) [35], như hình 2.6. (1) (2) (3) Hình 2.6. ert , est , eqt là các điểm buộc (tying point) của phần tử tam giác 3 nút. Do đó, εs được xấp xỉ lại theo kỹ thuật MITC3 như sau: 3 MITC30 s εΒs  I MITC3d I (2.30) I 1 s0 Và ΒI MITC3 có thể triển khai ở dạng tường minh như sau: (d-a)(b+c) (b-c)(b+c) 0 0 (b c ) A 0 0 1 e 66 Bs0 I-3 MITC 2A (d-a)(a+d) (b-c)(a+d) e 0 0 (d a ) A - 0 0 66e (2.30a) ac d bc c(b+c) bd a bc b 0 0c b c 0 00 0 b (b+c) (b+c) 0 0 2 6 2 6 2 6 2 6 ad d bd c ad a ac b 0 0 d (a+d) + (a+d) 0 00 0a (a+d) - (a+d) 0 0 2 6 2 6 2 6 2 6 Và ma trận độ cứng của phần tử MITC3 cho tấm composite nhiều lớp dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao là: KBDBSDSIJ MITC3 T *dd  T *  (2.31) e AA I J I s J ee Với ss (2.32) SBBI 0 I MITC 3 1 I
12. 2.2.2. Phương pháp phần tử hữu hạn trơn NS-FEM với phần tử MITC3 Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn, các biến dạng được làm trơn trên các miền địa phương, và dĩ nhiên việc tính toán ma trận độ cứng không còn phụ thuộc vào phần tử mà dựa trên các miền con này. Những miền con này được xây dựng dựa trên các nút của các phần tử như sau: k Chia miền bài toán thành Ne phần tử tam giác. Xét miền trơn  được giới hạn bởi đường  ()k quanh nút k sao cho: Nn   ()k;  i  j  ;i j (2.33) k 1 Trong đó Nn là tổng số nút của tất cả các phần tử trên miền khảo sát. Đối với phần tử tam giác 3 nút miền trơn k liên quan đến nút thứ k được tạo ra bằng cách kết nối tuần tự từ giữa cạnh điểm đến trọng tâm của hình tam giác xung quanh các nút như hình 2.7. Hình 2.7. Lưới tam giác 3 nút và làm trơn các phần tử; Miền trơn k Từ việc sử dụng các miền trơn dựa trên nút phần tử, các trường biến dạng được xấp xỉ lại trên miền nút phần tử như sau: εε (x)d  εεMITC33 MITC (x)d  00 ; ss ()k ()k κκ (x)d  κκ (x)d  11 ; 22 (2.34) ()k ()k κκ (x)d  ss ()k Trong đó:  0 và  1 (2.35) x k (x) Để đơn giản, hàm (x) được chọn là một hàm hằng số trên miền nút phần tử: 1 ( k ) ( k ) x   (x) A (2.36) ( k ) 0 x 
13. k 1 Ne Với A( k ) d  A là diện tích của miền trơn k (2.37)   i 3 i 1 k Ne là số các phần tử kết nối với nút k. Ai là diện tích của phần tử thứ i xung quanh nút k tương ứng. Đối với phần tử tam giác 3 nút MITC3, hàm dạng là tuyến tính. Do đó ma trận chuyển vị biến dạng là hằng số trên phần tử vì vậy: k Ne mm1 B()BIx k ()k  A i i ; A i 1 k Ne bb111 B()BIx k ()k  A i i A i 1 k Ne bb221 B()BIx k ()k  A i i ; (2.38) A i 1 k Ne ss001 B()BIx k ()k  A i i MITC3 A i 1 k Ne ss11c B()BIx k ()k  A i i A i 1 Trong đó: c là hằng số được xác định từ phương trình (2.8). m b1 b2 s0 s1 Bi ; Bi ; Bi ; Bi MITC3 ; Bi là các ma trận biến dạng của phần tử thứ i xung quanh nút k và được xác định từ (*), ( ), ( ), (2.30a) và (2.25). Vì vậy ma trận độ cứng phần tử NS-MITC3 KBDBSDSIJ T dd  T  (2.39) e  I J I s J Trong đó: m b12 b ; ss01 BBBBIIII SBBI I MITC3 I 3. Các ví dụ số 0 0 0 0 3.1. Tấm bốn lớp [0 90 90 0 ] vuông chịu tải hình sin và tải phân bố đều. Xét tấm hình vuông bốn lớp, cạnh a, chiều dày h, chịu tải phân bố và tải sin như hình 3.1; hình 3.2 và tỉ số chiều dài trên bề dày a/h = 4, 10, 20, 100 cho trường hợp tải hình sin, a/h = 5, 10, 20 đối với tải phân bố đều. P2 0 x x P1 a a 0 0 h/2 h/2 90 90 90 h/2 90 h/2 y 0 y 0 a z a z Hình 3.1. Tấm composite bốn lớp liên Hình 3.2. Tấm composite bốn lớp liên kết tựa đơn với tải trọng phân bố đều. kết tựa đơn với tải trọng hình sin.
14. Đặt trưng vật liệu của 1 lớp composite. E2 = 1; E1/E2 = 25; G12 = G13 = 0.5E2; G23 = 0.2E2; v12 = 0.25. Tấm được mô hình hóa và rời rạc bằng NxN phần tử tam giác, với N = 20 là số phần tử trên mỗi cạnh tấm. Các kết quả tính toán của chuyển vị và ứng suất được chuẩn hóa thành các đại lượng không thứ nguyên như sau: 100Eh3 h2 w 2 w( a / 2, a / 2,0);   (aa / 2, / 2,h/ 2) qa4 xxqa2 xx h2 h   (aa / 2, / 2,h/ 4);   (0,0,h/ 2) yyqa2 yy xyqa xy h h   (0,b/ 2,0);   (a / 2,0,0) xzqa xz yzqa yz Bảng 3.1. Trình bày kết quả tính chuyển vị và ứng suất không thứ nguyên của tấm khi chịu tải phân bố đều bằng phần tử NS-MITC3. Kết quả tính toán này được so sánh với lời giải giải tích theo FSDT [17], một số phương pháp phần tử hữu hạn khác dựa trên lý thuyết HSDT và FSDT, phương pháp không lưới theo FSDT và HSDT [18,19], hoặc lý thuyết đàn hồi 3D [19]. Bảng 3.2. So sánh kết quả tính toán tấm chịu tải trọng hình sin bằng: phần tử NS- MITC3 với các lời giải đàn hồi 3D [2], phần tử hữu hạn [21], phương pháp chuổi FSM Akhras và cộng sự [22,23], RBF-PS dựa trên lớp thông minh (layerwise) đưa ra bởi Ferreira và cộng sự [26] và phần tử NS-DSG3 của Chiến và cộng sự [20]. Bảng 3.1. Sự phân bố ứng suất dưới tải phân bố đều với a/h = 5, 10, 20 dựa trên HSDT và FSDT (trường hợp hình 3.1) a/h Phương pháp w  xx  yy  xy  xz  yz 5 FSDT-MQ [19] 1.5864 0.6840 0.6640 0.0448 0.594 0.402 FSDT-TPS [19] 1.5804 0.6840 0.6520 0.0492 0.610 0.338 HSDT-MQ [19] 1.8100 0.8400 0.6600 0.0696 0.778 0.496 HSDT-TPS [19] 1.8032 0.8360 0.6600 0.0700 0.766 0.484 3D-FEM [19] 2.1044 0.8995 0.7386 0.0991 0.534 0.4487 FSDT(NS-DSG3)[20] 1.9454 0.6507 0.7419 0.0704 0.4316 HSDT(NS-DSG3)[20] 2.1936 0.9202 0.8287 0.0900 0.5846 0.5086 HSDT (NS-MITC3) 2.1932 0.9204 0.8310 0.0816 0.4376 0.5142 10 FSDT-Exact [17] 0.9727 0.7649 0.5525 0.0436 0.6901 0.350 FSDT-EFG [18] 0.9722 0.7565 0.5490 0.0424 0.6586 0.332
15. FSDT-MQ [19] 0.9085 0.7620 0.5330 0.0419 0.6090 0.313 FSDT-TPS [19] 0.9040 0.7590 0.5310 0.0420 0.5860 0.279 HSDT-MQ [19] 0.9730 0.8020 0.5380 0.0478 0.8790 0.439 HSDT-TPS [19] 0.9675 0.7980 0.5360 0.0478 0.8550 0.430 3D-FEM [19] 1.0576 0.8201 0.5605 0.0577 0.5781 0.498 FSDT(NS-DSG3)[20] 1.0304 0.7578 0.5040 0.0534 0.5312 HSDT(NS-DSG3)[20] 1.1184 0.8331 0.5495 0.0615 0.6534 0.4274 HSDT (NS-MITC3) 1.1198 0.8338 0.5509 0.0542 0.5343 0.4303 20 FSDT- Exact [17] 0.7581 0.8080 0.4844 0.0403 0.7166 0.3228 FSDT-EFG [18] 0.7584 0.7980 0.4819 0.0399 0.6856 0.3108 FSDT-MQ [19] 0.7288 0.7975 0.4725 0.0385 0.6000 0.2845 FSDT-TPS [19] 0.7219 0.7900 0.4700 0.0383 0.5450 0.2385 HSDT-MQ [19] 0.7506 0.8100 0.4775 0.0405 0.9200 0.3925 HSDT-TPS [19] 0.7438 0.8025 0.4725 0.0400 0.8550 0.3390 3D-FEM [19] 0.7794 0.8207 0.4870 0.0444 0.6040 0.4738 FSDT(NS-DSG3)[20] 0.7745 0.80469 0.4010 0.0441 0.57975 HSDT(NS-DSG3)[20] 0.796 0.8251 0.4144 0.0469 0.6940 0.3934 HSDT (NS-MITC3) 0.7982 0.8260 0.4151 0.0433 0.5812 0.3945 Sự phân bố các ứng suất không thứ nguyên xx,,,  yy  xz  yz theo chiều dày tấm khi tấm chịu tải phân bố đều được lần lượt thể hiện trong các hình 3.3, 3.4, 3.5 và 3.6. 0.5 0.5 HSDT-NSMITC3 0.4 0.4 HSDT-NSMITC3 HSDT-ESDSG3 [34] 0.3 0.3 HSDT-ESDSG3 [34] HSDT-MITC3 0.2 0.2 HSDT-MITC3 HSDT-ESMITC3 [31] 0.1 0.1 HSDT-ESMITC3 [31] a a 0 / 0 / h h -0.1 -0.1 -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -0.4 -0.5 -0.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1  xx (a/2;b/2)  yy (a/2;b/2) Hình 3.3. Biểu đồ ứng suất tiếp  xx Hình 3.4. Biểu đồ ứng suất tiế  yy theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2) theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2) (Trường hợp tải phân bố đều) (Trường hợp tải phân bố đều)
16. 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 HSDT-NSMITC3 HSDT-NSMITC3 0.1 0.1 HSDT-ESDSG3 [34] a HSDT-ESDSG3 [34] a 0 / 0 / HSDT-MITC3 HSDT-MITC3 h h -0.1 -0.1 HSDT-ESMITC3 [31] HSDT-ESMITC3 [31] -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -0.4 -0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 -0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9  xz (0;b/2)  yz (0;a/2) Hình 3.5. Biểu đồ ứng suất cắt  xz Hình 3.6. Biểu đồ ứng suất cắt  yz theo tọa độ z tại vị trí (0;b/2) theo tọa độ z tại vị trí (0;a/2) (Trường hợp tải phân bố đều) (Trường hợp tải phân bố đều) Bảng 3.2. Sự phân bố ứng suất dưới tải trọng hình sin với a/h = 4, 10, 20, 100 dựa trên HSDT và FSDT (trường hợp hình 3.2) a/h Phương pháp w  xx  yy  xy  xz  yz 4 FEM-HSDT [21] 1.8937 0.6651 0.6322 0.0440 0.2064 0.239 FEM-FSDT [21] 1.7100 0.4059 0.5765 0.0308 0.1398 0.196 FSM-HSDT [23] 1.8939 0.6806 0.6463 0.045 0.2109 - FSM-FSDT [22] 1.71 0.4059 0.5765 0.0308 0.1398 - RBF-PS-Layerwise [26] 1.9023 0.7057 0.6309 0.0441 0.2138 - Elasticity [2] 1.954 0.72 0.666 0.0467 0.270 - FSDT (NS-DSG3) [20] 1.7316 0.4058 0.5765 0.0351 0.1378 - HSDT(NS-DSG3) [20] 1.9266 0.7076 0.6303 0.0475 0.2084 0.2404 HSDT (NS-MITC3) 1.9246 0.7076 0.6320 0.0449 0.2139 0.2461 10 FEM-HSDT [21] 0.7147 0.5456 0.3888 0.0268 0.2640 0.1530 FEM-FSDT [21] 0.6628 0.4989 0.3615 0.0241 0.1667 0.130 FSM-HSDT [23] 0.7149 0.5589 0.3974 0.0273 0.2697 - FSM-FSDT [22] 0.6628 0.4989 0.3615 0.0241 0.1667 - RBF-PS-Layerwise [26] 0.7204 0.5609 0.3911 0.0273 0.2843 - Elasticity [2] 0.743 0.559 0.403 0.0276 0.301 - FSDT (NS-DSG3) [20] 0.6688 0.4983 0.3623 0.0257 0.1663 - HSDT(NS-DSG3) [20] 0.7246 0.5609 0.3909 0.0288 0.2812 0.1566 HSDT (NS-MITC3) 0.7252 0.5612 0.3918 0.0265 0.2845 0.1592
17. 20 FEM-HSDT [21] 0.506 0.5393 0.3043 0.0228 0.2825 0.1230 FEM-FSDT [21] 0.4912 0.5273 0.2957 0.0221 0.1749 0.109 FSM-HSDT [23] 0.5061 0.5523 0.311 0.0233 0.2883 - FSM-FSDT [22] 0.4912 0.5273 0.2957 0.0221 0.1749 - RBF-PS-Layerwise [26] 0.5078 0.5436 0.3052 0.0230 0.3066 - Elasticity [2] 0.517 0.543 0.309 0.0230 0.328 - FSDT (NS-DSG3) [20] 0.4950 0.526 0.2968 0.0225 0.1784 - HSDT(NS-DSG3) [20] 0.5089 0.5433 0.3050 0.0234 0.3051 0.1266 HSDT (NS-MITC3) 0.5099 0.5438 0.3055 0.0224 0.3069 0.1276 100 FEM-HSDT [21] 0.4343 0.5387 0.2708 0.0213 0.2897 0.139 FEM-FSDT [21] 0.4337 0.5382 0.2705 0.0213 0.178 0.139 FSM-HSDT [23] 0.4343 0.5507 0.2769 0.0217 0.2948 - FSM-FSDT [22] 0.4337 0.5382 0.2705 0.0213 0.178 - RBF-PS-Layerwise [26] 0.432 0.5387 0.2697 0.0213 0.3154 - Elasticity [2] 0.4347 0.539 0.271 0.0214 0.339 - FSDT (NS-DSG3) [20] 0.4369 0.5372 0.2716 0.0211 0.2911 - HSDT(NS-DSG3) [20] 0.4345 0.5384 0.2706 0.0211 0.3183 0.1183 HSDT (NS-MITC3) 0.4355 0.5390 0.2710 0.0210 0.3167 0.1146 Hình 3.7, 3.8, 3.9 biểu diễn quan hệ giữa ứng suất không thái nguyên xx,,  xz  yz và chiều dày tấm khi tấm chịu tải trọng hình sin. 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 3D analytical [32] 3D analytical [32] 0.1 0.1 HSDT-NSMITC3 a HSDT-NSMITC3 a / 0 / 0 HSDT-NSDSG3 [ 20 ] HSDT-NSDSG3 [ 20 ] h h -0.1 -0.1 HSDT-ESMITC3 [31] HSDT-ESMITC3 [31] -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -0.4 -0.5 -0.5 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 xx (a/2;0) xz (0;b/2) Hình 3.7. Biểu đồ ứng suất tiếp xx theo Hình 3.8. Biểu đồ ứng suất cắt xz theo tọa độ z tại vị trí (a/2;0) tọa độ z tại vị trí (0;b/2)
18. 0.5 0.4 0.3 0.2 3D analytical [32] Các kết quả phân bố ứng suất dọc theo 0.1 a HSDT-NSMITC3 chiều dày tấm ở (Hình 3.3, 3.4, 3.5, 3.6 (tải / 0 h HSDT-NSDSG3 [ 20 ] phân bố) và hình 3.7, 3.8, 3.9 (tải sin)) cho -0.1 HSDT-ESMITC3 [31] thấy kết quả của phần tử NS-MITC3 tương -0.2 đương so với kết quả của các phương pháp -0.3 vừa nêu ở trên. -0.4 -0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 yz (a/2;0) Hình 3.9. Biểu đồ ứng suất cắt yz theo tọa độ z tại vị trí (a/2;0) Các kết quả trình bày trong bảng 3.1 và bảng 3.2 cho thấy: khi các giá trị a/h thay đổi phần tử NS-MITC3 đều có khả năng cho ra kết quả tương đối tốt so với lời giải đàn hồi và các phương pháp RBF-PS-Layerwise [26], phần tử NS-DSG3 [20], 3D-FEM. Điều đó cho thấy được khả năng khử hiện tượng khóa cắt (shear locking) cho tấm composite nhiều lớp của phần tử NS-MITC3. 0 0 0 0 3.2. Tấm composite 16 lớp ((45 /90 /-45 /0 )2)sym chịu tải trọng hình sin. Phân tích một tấm composite trực hướng vuông cạnh a có chiều dày h tựa đơn xung quanh với 16 lớp ((45/90/-45/0)2)sym. Các đặt trưng vật liệu như sau: E2 = 1, E1 = 25E2, G12 = G13 = 0.5E2, G23 = 0.2E2, ν12 = 0.25. Giả thiết các lớp có chiều dày bằng nhau, tấm chịu tải trọng hình sin: 0.5 xy HSDT-NSMITC3 pqz 0 sin sin 0.4 aa 0.3 HSDT-ESMITC3[31] 0.2 3D FEM [19] Trong ví dụ này, phần tử NS-MITC3 sẽ 0.1 HSDT-ESDSG3 [34] được so sánh với các phần tử ES-MITC3 [31] của a / 0 Nguyễn Hòa, 3D FEM [19] của J.R. Xiao và đồng h sự, ES-DSG3 [34] của Loc V. Tran và đồng sự. -0.1 Kết quả được hiển thị qua các biểu đồ ứng suất ở -0.2 hình 3.10, 3.11, 3.12 và 3.13. -0.3 -0.4 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 xx (a/2; b/2) Hình 3.10. Biểu đồ ứng suất tiếp theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2)
19. 0.5 0.5 HSDT-NSMITC3 HSDT-NSMITC3 0.4 0.4 HSDT-ESMITC3 [31] 0.3 HSDT-ESMITC3[31] 0.3 HSDT-ESDSG3 [34] 0.2 3D FEM [19] 0.2 0.1 HSDT-ESDSG3 [34] 0.1 a a / 0 / 0 h h -0.1 -0.1 -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -0.4 -0.5 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35  yy (a/2; b/2) xz (0; b/2) Hình 3.11. Biểu đồ ứng suất tiếp Hình 3.12. Biểu đồ ứng suất cắt theo tọa độ z tại vị trí (a/2;b/2) theo tọa độ z tại vị trí (0;b/2) 0.5 0.4 0.3 Các kết quả của ứng suất tiếp và ứng suất 0.2 HSDT-NSMITC3 cắt hiển thị trên biểu đồ hình 3.10, 3.11, 3.12, 3.13 0.1 HSDT-ESMITC3 [31] a cho thấy phần tử NS-MITC3 cho kết quả tương tự / 0 HSDT-ESDSG3 [34] h -0.1 với các phần tử ES-MITC3, phần tử ES-DSG3. -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35  yz (a/2; 0) Hình 3.13. Biểu đồ ứng suất cắt theo tọa độ z tại vị trí (a/2;0) 3.3. Tấm composite vuông 02 lớp [00/ 900] không đối xứng. Trong ví dụ này, phần tử NS-MITC3 được sử dụng để phân tích tĩnh tấm composite vuông [00/ 900] cạnh a không đối xứng. Vật liệu được cho như sau: E2 = 1, E1 = 25E2, G12 = G13 = 0.5E2, G23 = 0.2E2, ν12 = 0.25 Điều kiện biên của tấm được cho với gối tựa đơn: uw 0; 0; yy 0;  0 tại y 0; y a ; vw 0; 0; yy 0;  0 tại x 0; x a ; Tải trọng tác dụng lên tấm là tải sin.
20. xy q( x , y ) q sin sin 0 aa Chuyển vị và các ứng suất tại tâm tấm được chuẩn hóa theo các giá trị: 32 E2 h h ww 100 42 ; xx  ; qa qa hh22 y  y 22 ;.  xy  xy qa qa Với: a a a a h ww , ,0 ; xx  , , ; 2 2 2 2 2 a a h h y  y , , ;  xy  xy 0,0, 2 2 2 2 Độ võng và các ứng suất được tính toán theo tỉ lệ chiều dài trên chiều dày của tấm được tính theo bốn giá trị a/h = 4, 10, 20 và 100. Kết quả tính toán được trình bày trong bảng 3.3. Bảng 3.3. Độ võng lệch tâm và các ứng suất của tấm composite 02 lớp với gói tựa đơn chịu tải trọng hình sin. a/h Phương pháp w  x  y xy 4 Elasticity [2] 1.7287 -0.7723 0.8036 -0.0586 HSDT *[28] 1.6800 -0.7510 0.7720 -0.0557 HSDT [28] 1.7037 -0.7662 0.7762 -0.0572 HSDT (NS-MITC3) 2.0624 -0.8330 0.8330 -0.0548 10 Elasticity [2] 1.2318 -0.7317 0.7353 -0.0540 HSDT * [28] 1.2192 -0.7269 0.7273 -0.0533 HSDT [28] 1.2274 -0.7286 0.7286 -0.0539 HSDT (NS-MITC3) 1.2278 -0.7370 0.7370 -0.0520 20 Elasticity [2] 1.1060 -0.7200 0.7206 -0.0529 HSDT * [28] 1.1025 -0.7189 0.7186 -0.0527 HSDT [28] 1.1078 -0.7185 0.7185 -0.0530 HSDT (NS-MITC3) 1.1076 -0.7214 0.7214 -0.0515 100 Elasticity [2] 1.0742 -0.7219 0.7219 -0.0529 HSDT * [28] 1.0651 -0.7161 0.7161 -0.0525 HSDT [28] 1.0695 -0.7152 0.7152 -0.0527 HSDT (NS-MITC3) 1.0690 -0.7159 0.7159 -0.0514
21. Kết quả phân tích cho thấy phần tử NS-MITC3 cho kết quả tương đương với lời giải đàn hồi [2]. Điều này cho thấy phần tử NS-MITC3 cho kết quả đúng khi chiều dày của tấm composite 02 lớp giảm dần. 0.5 0.5 0.4 0.4 a/h = 4 0.3 0.3 a/h = 10 0.2 0.2 a/h = 4 a/h = 20 z 0.1 0.1 a/h = 10 z / a/h = 100 0 / 0 h a/h = 20 h -0.1 -0.1 a/h = 100 -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -0.4 -0.5 -0.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Stress x Stress xy Hình 3.14. Phân bố ứng suất theo Hình 3.15. Phân bố ứng suất theo chiều dày tấm của phần tử NS – MITC3 chiều dày tấm của phần tử NS – MITC3 Kết quả hiển thị từ biểu đồ ứng suất tiếp và biểu đồ ứng suất cắt trong các hình 3.14 và 3.15 cho thấy khi chiều dày tấm thay đổi (a/h thay đổi) thì các ứng suất vẫn gần nhau, điều này cho thấy phần tử NS-MITC3 có khả năng khử hiện tượng “khóa cắt” tốt. 0 0 3.4. Tấm composite không đối xứng [45 / -45 ]4 với gối tựa đơn chịu tải trọng hình sin hoặc phân bố đều. Trong ví dụ này, phần tử NS-MITC3 được sử dụng để phân tích tĩnh tấm composite 0 0 vuông 08 lớp [45 / -45 ]4 có cạnh a không đối xứng. Điều kiện biên của tấm được cho với gối tựa đơn: uw 0; 0; yy 0;  0 tại y 0; y a ; uw 0; 0; yy 0;  0 tại x 0; x a ; Chuyển vị và các ứng suất được chuẩn hóa theo các giá trị: 32 E2 h h ww 100 42 ; xx  ; qa qa hh22 y  y 22 ;.  xy  xy qa qa hh xz  xz 22 ;.  yz  yz qa qa
22. Trong đó: a a a a h ww , ,0 ; xx  , , ; 2 2 2 2 2 a a h h y  y , , ;  xy  xy 0,0, ; 2 2 2 2 aa xz  xz 0, ,0 ;  yz  yz ,0,0 . 22 3.4.1. Trường hợp chịu tải trọng hình sin. Sử dụng vật liệu được cho như sau: E2 = 1; E1/E2 = 25; G12 = G13 = 0.5E2; G23 = 0.2E2; v12 = 0.25. xy Tải trọng tác dụng lên tấm là tải sin: q( x , y ) q sin sin 0 aa Độ võng và các ứng suất được tính toán theo tỉ lệ chiều dài trên chiều dày của tấm được tính theo hai giá trị a/h = 10 và 100. Kết quả tính toán được trình bày trong Bảng 3.4. 0 0 Bảng 3.4. Độ võng lệch tâm và các ứng suất của tấm composite 08 lớp [45 /-45 ]4 với gối tựa đơn chịu tải trọng hình sin. a/h Phương pháp w  xx  yy  xy  xz  yz 10 HSA4 [29] 0.4206 0.1612 0.1612 0.1545 0.2361 0.2361 HSD4 [29] 0.4190 0.1603 0.1603 0.1536 0.2349 0.2349 Elasticity [30] 0.4208 0.1627 0.1627 0.1547 0.2400 0.2400 3D-FEM [33] 0.4193 0.1633 0.1633 0.1601 0.2347 0.2347 NS-MITC3(16) 0.4263 0.1622 0.1622 0.1534 0.2382 0.2382 NS-MITC3(24) 0.4231 0.1621 0.1621 0.1543 0.2380 0.2380 100 HSA4 [29] 0.2475 0.1439 0.1439 0.1379 0.2398 0.2398 HSD4 [29] 0.1604 0.0930 0.0930 0.0891 0.1320 0.1320 Elasticity [30] 0.2479 0.1456 0.1456 0.1377 0.2395 0.2395 3D-FEM [33] 0.2469 0.1462 0.1462 0.1430 0.2344 0.2344 NS-MITC3(16) 0.2489 0.1447 0.1447 0.1348 0.2615 0.2615 NS-MITC3(24) 0.2484 0.1447 0.1447 0.1367 0.2494 0.2494
23. Kết quả tính toán của NS-MITC3 với NxN = 16x16 phần tử trên mỗi cạnh tấm cho kết quả gần với lời giải đàn hồi [30] và phương pháp phần tử hữu hạn dùng lý thuyết 3D [33]. 0.5 0.4 NS-MITC3 (24x24) NS-MITC3 (16x16) 0.3 HSD4 [29] HSA4 [29] 0.2 3D-FEM [33] Hình 3.16 cho thấy, biểu đồ ứng suất tiếp 0.1 cho bởi phần tử NS-MITC3 với lưới 16x16, lưới 0 24x24 hiển thị gần với kết quả của 3D-FEM [33] -0.1 và HSA4 [29] hơn so với HSD4 [29]. -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Stress x Hình 3.16. Phân bố ứng suất tiếp dưới tải hình 0 0 sin của tấm 8 lớp [45 / -45 ]4 với tỉ lệ a/h = 10 0.5 0.4 0.3 Biểu đồ ứng suất cắt xz ở hình 3.17 0.2 cho thấy sự khác biệt giữa HSD4 với NxN = 16 0.1 NS-MITC3 (24X24) z [29] với các phần tử còn lại. Phần tử HSA4 [29] NS-MITC3 (16X16) / 0 HSD4 [29] h với NxN = 32 được đưa ra để cải thiện HSD4 và -0.1 HSA4 [29] 3D-FEM [33] kết quả của HSA4 gần với Kand and Pandya -0.2 -0.3 [33]. Phần tử NS-MITC3 với NxN = 16 và NxN -0.4 = 24 vẫn cho kết quả gần với kết quả hiển thị -0.5 của Kant and Pandya [33] và HSA4. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Stress Hình 3.17. Phân bố ứng suất cắt dưới tải hình 0 0 sin của tấm 8 lớp [45 / -45 ]4 với tỉ lệ a/h =100. 3.4.2. Trường hợp chịu tải trọng phân bố. Sử dụng vật liệu được cho như sau: E2 = 1; E1/E2 = 40; G12 = G13 = 0.6E2; G23 = 0.5E2; v12 = 0.25. Tải trọng tác dụng lên tấm là tải phân bố. q( x , y ) 1 Độ võng được tính toán theo tỉ lệ chiều dài trên chiều dày của tấm được tính theo bốn giá trị a/h = 4, 10, 20 và 100. Kết quả tính toán được trình bày trong Bảng 3.5.
24. 0 0 Bảng 3.5. Độ võng lệch tâm của tấm composite 08 lớp [45 / -45 ]4 với gối tựa đơn chịu tải phân bố. HSA4 HSD4 NS-MITC3 NS-MITC3 FEM-Solution a/h [53] [53] (16x16) (24x24) [55] 4 1.2274 1.2272 1.2370 1.2297 1.2223 10 0.4065 0.4051 0.4091 0.4074 0.4062 20 0.2856 0.2804 0.2870 0.2863 0.2856 100 0.2468 0.1617 0.2483 0.2476 0.2470 0.5 0.5 0.4 a/h = 4 0.4 a/h = 10 0.3 a/h = 20 0.3 0.2 a/h = 100 0.2 0.1 0.1 z z / 0 / 0 h h -0.1 -0.1 -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -0.4 -0.5 -0.5 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Stress x Stress xz Hình 3.18. Phân bố ứng suất tiếp x theo Hình 3.19. Phân bố ứng suất cắt xz theo chiều dày tấm của NS-MITC3(NxN=16x16) chiều dày tấm của NS-MITC3 (NxN = 16x16) 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 z z / 0 / 0 h h -0.1 -0.1 -0.2 -0.2 -0.3 -0.3 -0.4 -0.4 -0.5 -0.5 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Stress x Stress Hình 3.20. Phân bố ứng suất tiếp x theo Hình 3.21. Phân bố ứng suất cắt theo chiều dày tấm của NS-MITC3 (NxN=24x24) chiều dày tấm của NS-MITC3 (NxN = 24x24)
25. Khi chiều dày tấm mỏng dần theo tỉ lệ thì giá trị độ võng của a/h = 10, a/h = 20, a/h = 100 gần nhau. Về mặt hiển thị trên biểu đồ thì tấm càng mõng sẽ cho ra kết quả hiển thị các đường phân bố ứng suất tương đương nhau. 4. Kết luận Luận văn đã trình bày công thức phần tử hữu hạn NS-MITC3 dùng để phân tích bài toán tấm composite nhiều lớp, dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Các kết quả số cho thấy phần tử NS-MITC3 có khả năng khử hiện tượng khóa cắt và cho kết quả tính độ võng, ứng suất tương đương với các loại phần tử khác. Khi kết hợp phần tử NS-MITC3 với lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao HSDT mà cụ thể là hàm bậc 3 của Reddy đã đem lại những kết quả chính xác hơn đối với độ võng, ứng suất tiếp và ứng suất cắt của tấm composite nhiều lớp, đối xứng và không đối xứng. Kết quả hiển thị các ứng suất theo chiều dày của tấm là những đường cong, từ đó cho thấy lý thuyết biến dạng cắt bậc cao HSDT mô tả các ứng suất cắt thực tế hơn lý thuyết tấm nhiều lớp cổ điển (CLPT) và lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất FSDT Kết quả của phần tử NS-MITC3 kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao cho kết quả tốt về độ võng và các ứng suất, nhưng về biểu đồ hiển thị so với kết quả của lời giải 3D thì có sự chênh lệch giữa các đường hiển thị. Do đó, cần cải thiện phần tử NS-MITC3 để kết quả gần với kết quả của lời giải 3D hơn. 5. Lời Cám ơn Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy hướng dẫn khoa học là PGS.TS. Nguyễn Trung Kiên, người đã đưa ra những gợi ý đầu tiên để hình thành nên ý tưởng của đề tài và hướng dẫn tôi rất nhiều về cách nhận định đúng đắn trong những vấn đề nghiên cứu mà quan trọng nhất là sự trung thực trong làm nghiên cứu khoa học. Thầy cũng hướng dẫn tôi cách tiếp cận nghiên cứu hiệu quả cũng như tìm kiếm các nguồn tài liệu khoa học rất hữu ít cho luận văn này. Với sự tận tâm hướng dẫn nghiêm túc, khoa học và hiệu quả của Thầy đã giúp Tôi đạt đến kết quả nghiên cứu cuối cùng. Tài liệu tham khảo [1] A.A. Khdeir, L. Librescu, Analysis of symmetric cross-ply laminated elastic plates using a higher-order theory, Compos. Struct. 9 (1988) 189–213. [2] N.J. Pagano, Exact solutions for rectangular bidirectional composites and sandwich plates, J. Compos. Mater. 4 (1970) 20–34. [3] A.K. Noor, Free vibration of multilayered composite plates, AIAA J.11 (1973)1038– 1039. [4] A.K. Noor, Stability of multilayered composite plates, Fibre Sci. Technol. 8 (1975) 81– 89. [5] J.N. Reddy, Mechanics of Laminated Composite Plates – Theory and Analysis, CRC Press, New York, 1997. [6] H. Matsunaga, Vibration and stability of cross-ply laminated composite plates according to a global higher-order plate theory, Compos. Struct. 48 (2000) 231–244.
26. [7] T. Kant, K. Swaminathan, Analytical solutions for free vibration of laminated composite and sandwich plates based on a higher order refined theory, Compos. Struct. 53 (2001)73– 85. [8] L. Liu, L.P. Chua, D.N. Ghista, Mesh-free radial basis function method for static, free vibration and buckling analysis of shear deformable compositelaminates, Compos. Struct. 78 (2007) 58–69. [9] C.A. Shankara, N.G.R. Iyengar, AC0 element for the free vibration analysis of laminated composite plates, J. Sound Vib. 191 (1996) 721–738. [10] G.R. Liu, T. Nguyen-Thoi, H. Nguyen-Xuan, K.Y. Lam, A node-based smoothed finite element method (NS-FEM) for upper bound solutions to solid mechanics problems, Comput. Struct. 87 (2009) 14–26 [11] H. Nguyen-Xuan, T. Rabczuk, N. Nguyen-Thanh, T. Nguyen-Thoi, S. Bordas, A node- based smoothed finite element method with stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner–Mindlin plates, Comput. Mech. 46 (2010) 679–701. [12] K.U. Bletzinger, M. Bischoff, E. Ramm, A unified approach for shear-locking free triangular and rectangular shell finite elements, Comput. Struct. 75 (2000) 321–334. [13] Bathe KJ, Dvorkin EN. A formulation of general shell elements – the use of mixed interpolation of tensorial components. Int J Numer Meth Eng 1986; 22: 697–722. [14] Dvorkin EN, Bathe KJ. A continuum mechanics based four-node shell element for general nonlinear analysis. Eng Comput 1984;1: 77–88. [15] Bathe et al. Towards improving the MITC9 shell element. Comput Struct 2003;81:477– 89. [16] Bucalem ML and Bathe KJ. Higher-order MITC general shell elements. Int J Numer Meth Eng 1993;36:3729–54. [17] J.N. Reddy, Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis, second ed., CRC Press, London, 2004. [18] J. Belinha, L.M.J.S. Dinis, Analysis of plates and laminates using the element-free Galerkin method, Compos. Struct. 84 (2006) 1547–1559. [19] J.R. Xiao, D.F. Gilhooley, R.C. Batra, J.W. Gillespie, M.A. McCarthy, Analysis of thick composite laminates using a higher-order shear and norm al deformable plate theory (HOSNDPT) and a meshless method, Composites: Part B 39 (2008) 414–427 [20] Chien H. Thai, Loc V. Tran, Dung T. Tran, T. Nguyen-Thoi, H. Nguyen-Xuan. Analysis of laminated composite plates using higher-order shear deformation plate theory and node-based smoothed discrete shear gap method, Viet Nam, 2012. [21] J.N. Reddy, A simple higher-order theory for laminated composite plates, J. Appl. Mech. 51 (1984) 745–752. [22] G. Akhras, M.S. Cheung, W. Li, Static and vibrations analysis of anisotropic laminated plates by finite strip method, Int. J. Solids Struct. 30 (22 ) (1993) 3129–3137. [23] G. Akhras, M.S. Cheung, W. Li, Finite strip analysis for anisotropic laminated composite plates using higher-order deformation theory, Comput . Struct. 52 (3) (1994) 471–477.
27. [24] Ferreira AJM. Analysis of composite plates using a layerwise theory and multiquadrics discretization. Mech Adv Mater Struct 2005;12:99–112. [25] Neeraj Grover, D.K. Maiti, B.N. Singh. A new inverse hyperbolic shear deformation theory for static and buckling analysis of laminated composite and sandwich plates. Composite Structures 95 (2013) 667–675 [26] A.J.M. Ferreira, G.E. Fasshauer, R.C. Batra, J.D. Rodrigues, Static deformations and vibration analysis of composite and sandwich plates using a layerwise theory and RBF-PS discretizations with optimal shape parameter, Compos. Struct. 86 (2008) 328–343. [27] A cell-based smoothed three-node Mindlin plate element (CS-FEM-MIN3) based on the C0-type higher-order shear deformationfor geometrically nonlinear analysis of laminated composite plates. [28] Kant T, Swaminathan K. Estimation of transverse/interlaminar stresses in laminated composites- a selective review and survey of current developments. Compos Struct 2000; 49: 65- 75. 343. [29] Sang Jin Lee* and Ha Ryong Kim, ADOPT Research Group, Department of Architectural Engineering, Gyeongsang N a-tional University , Republic of Korea. Received 01 Mar 2012 In revised form 05 Aug 2012. [30] Latheswary S, Valasrajan KV, Rao YVKS. Behavior of laminated composite plates using higher order shear deformation theory. IE(I) J- AS 2004;85:10- 17. [31] Nguyễn Hòa. Kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-MITC3, sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao (HSDT). [32] Liu, G.R., Dai, K.Y., Nguyen-Thoi T., A smoothed finite element method for mechanics problems, Computational Mechanics 39(6) (2007) 859–877. [33] Kant T, Pandya BN. A simple finite element formulation of a higher order theory of unsymmetrically lami-nated composite plates. Compos Struct 1988 ; 9 : 215 - 246 . [34] An Edge-based smoothed discrete shear gap method (ES-DSG) using the C0-type Higher-order shear deformation Theory for Analysis of Laminated Composite Plates. Loc V. Tran , T. Nguyen-Thoi, Chien H. Thai, H. Nguyen-Xuan. Mechanics of Advanced Materials and Structures. [35] Phill-Seung Lee, Klaus-Jurgen Bathe. Development of MITC isotropic triangular shell finite elements. Computers and Structures 82 (2004) 945–962. [36] Reissner, E. (1945), “The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates”, J. Appl. Mech., 12, pp. 69–76. [37] Mindlin, R.D. (1951), “Influence of rotatory inertia and shear in flexural motions of isotropic elastic plates”, J. Appl. Mech., 18, pp. 31–38. [38] J.S. Chen, C.T. Wu, S. Yoon, Y. You, A stabilized conforming nodal integration for Galerkin mesh-free methods, Int. J. Numer. Methods Eng. 50 (2001) 435–466. [39] Hyeong-Min Jeon, Phill-Seung Lee, Klaus-Jürgen Bathe. The MITC3 shell finite element enriched by interpolation covers.Computers and Structures 134 (2014) 128–142.
28. Thông tin liên hệ tác giả chính (người chịu trách nhiệm bài viết): Họ tên: Trương Đức Thái. Đơn vị: Phòng Kinh tế - Hạ tầng huyện Châu Thành, tỉnh An Giang. Điện thoại: 0984122864. Email: truongducthai81@gmail.com Chuyên ngành chính (hướng nghiên cứu): Kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp.
29. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2017-2018 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.