Phân tích kết cấu tấm bằng phần tử biến dạng trơn NS – MITC3

Nội dung text: Phân tích kết cấu tấm bằng phần tử biến dạng trơn NS – MITC3

1. Phân tích kết cấu tấm bằng phần tử biến dạng trơn NS – MITC3 Nguyễn Văn Dũng1 1 Công ty Cổ phần Tư vấn và Quản lý dự án Xây dựng Quốc tế ICP, Số 136 Nguyễn Sỹ Sách, Quận Tân Bình, Tp. Hồ Chí Minh. Email: dungnv@icpprpoject.com.vn Tóm tắt Trong luận văn này, phương pháp biến dạng trơn trên nút đã được kết hợp vào phần tử tấm MITC3. Phần tử phát triển được gọi là phần tử tấm NS – MITC3. Nhờ kỹ thuật MITC3, phần tử NS – MITC3 có thể loại bỏ hiện tượng “khóa cắt” khi bề dày của tấm rất mỏng. Hơn nữa, sự xấp xỉ trường biến dạng trên miền của các phần tử cùng có chung nút giúp cải thiện khả năng tính toán của phần tử NS – MITC3 khi phần tử được dùng để phân tích kết cấu tấm. Phần tử tấm NS – MITC3 phát triển sử dụng để phân tích tấm composite nhiều lớp sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT). Sự hiệu quả và thiết thực của phần tử NS – MITC3 được đánh giá bằng việc giải quyết một số bài toán tấm. Đầu tiên, phần tử NS – MITC3 vượt qua bài toán Patch test của phần tử. Thứ hai, một số tấm đồng nhất đẳng hướng với điều kiện biên khác nhau là trường hợp đặc biệt của tấm composite nhiều lớp được giải. Cuối cùng, phần tử NS – MITC3 được dùng để tính chuyển vị của các tấm composite khác nhau bao gồm tấm có các lớp đối xứng và không đối xứng. Kết quả tính toán bằng phần tử tấm NS – MITC3 tương tự với kết quả của các phương pháp khác trong các tài liệu tham khảo, đặc biệt cho kết quả tốt hơn trong một số trường hợp. Abstract In this thesis, the node-based strain smoothing method has been integrated into the MITC3 plate element. The developed element is called NS – MITC3 plate elements. Because of MITC3 technique, the NS – MITC3 element can remove the “shear locking” phenomenon when the thickness of the plate is very thin. Moreover, approximation of the strain fields over areas, which have common nodes, helps to improve the computational ability of the NS – MITC3 element when the element is used to analyze plate structures. The developed NS – MITC3 plate element has been particularly derived to analyze composite laminated plates using the First – order Shear Deformation Theory (FSDT). The efficiency and robustness of the NS – MITC3 are evaluated by solving several benchmark problems. Firstly, the NS – MITC3 element passed the patch test. Secondly, some isotropic plates with different boundary conditions, which are special cases of the composite laminated plates, are presented. Lastly, different types of composite laminated plates including symmetric and non-symmetric laminates are solved to find the displacements. Compared to references, the present results computed by the NS – MITC3 plate elements show good agreements and faster convergence in some cases. Từ khóa: Tấm composite nhiều lớp, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, “khóa cắt”, MITC3, làm trơn trên miền nút phần tử. 1. Giới thiệu này luôn mang tính thời sự trong nhiều thập kỷ Kết cấu tấm/ vỏ là loại kết cấu đã tồn tại lâu qua. đời trong tự nhiên và được ứng dụng rộng rãi Do yêu cầu của từng loại kết cấu khác nhau trong các ngành khoa học kỹ thuật. Ngày nay, mà người ta dùng các loại tấm khác nhau như: với tốc độ phát triển nhanh chóng của ngành xây tấm mỏng, tấm dày, tấm 3 chiều (3D). Vật liệu dựng, kết cấu tấm/ vỏ đang được sử dụng phổ làm tấm có thể sử dụng vật liệu đồng nhất, biến trong nhiều công trình xây dựng khác nhau. composite, FGM. Có nhiều lý thuyết phân tích Việc phân tích tĩnh, dao động tự do và ổn kết cấu tấm đã được các nhà khoa học đưa ra định của kết cấu tấm/ vỏ đóng một vai trò ngày như lý thuyết tấm cổ điển của Kirchhoff càng quan trọng trong các ứng dụng kỹ thuật. (CLPT), lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của Đối với kết cấu tấm/ vỏ, việc sử dụng phương Mindlin – Reissner (FSDT), lý thuyết biến dạng pháp giải tích để tích toán sẽ rất phức tạp và gặp cắt bậc cao (HSDT). Trong đó, lý thuyết tấm cổ nhiều khó khăn nên trên thực tế, người ta thường điển thường được áp dụng đối với các loại tấm sử dụng phương pháp số để giải quyết bài toán. mỏng còn lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và Một trong những phương pháp số được sử dụng biến dạng cắt bậc cao áp dụng cho các loại tấm phổ biến nhất là phương pháp phần tử hữu hạn dày. Lý thuyết tấm cổ điển bỏ qua các biến dạng (FEM). Tuy nhiên, phương pháp phần tử hữu trượt nên sẽ cho kết quả không chính xác trong hạn thông thường vẫn còn những hạn chế nhất nhiều trường hợp, trong khi lý thuyết biến dạng định liên quan đến kỹ thuật rời rạc phần tử, độ cắt bậc cao tuy cho kết quả chính xác hơn nhưng chính xác, tính ổn định, chi phí tính toán, tính phức tạp và mất nhiều thời gian, công sức tính linh hoạt Do đó, việc đề xuất những cải tiến toán. Đề tài này sẽ phân tích kết cấu tấm dựa cho các phương pháp phần tử hữu hạn hiện hữu trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Khi sử trong mô phỏng ứng xử các kết cấu tấm/ vỏ luôn dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất để phân giữ vai trò rất quan trọng. Hướng nghiên cứu tích kết cấu tấm mỏng thường xảy ra hiện tượng 1
2. “khóa cắt” (“shear locking”) làm cho kết quả kỹ thuật MITC3 lên MITC3+ cho phân tích phi không chính xác. Hiện nay đã có nhiều kỹ thuật tuyến hình học kết cấu vỏ. Công thức Lagrange khác nhau để khử hiện tượng “khóa cắt” như được sử dụng cho chuyển vị lớn và góc xoay lớn DSG3 [22 – 24, 30 – 31], MIN3 [32], MITC3, cho kết quả phân tích chính xác hơn. MITC3+, MITC4, MITC6, MITC7, MITC8, Về phương pháp phần tử hữu hạn trơn phân MITC9, MITC16, [1 – 17]. tích kết cấu tấm/vỏ đã có nhiều tác giả xây dựng Gần đây, đã có nhiều nghiên cứu trên thế và phát triển [18 – 32]. H. Nguyen – Xuan và giới sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn các cộng sự [22] đã đề xuất một phương pháp (S – FEM) thay thế phương pháp phần tử hữu phần tử hữu hạn trơn NS – DSG3 để phân tích hạn thông thường để phân tích kết cấu tấm cho tĩnh, dao động tự do và ổn định tấm theo lý kết quả chính xác hơn như: NS – DSG3 [22], ES thuyết biến dạng cắt bậc nhất Mindlin – – DSG3 [23], CS – DSG3 [24, 30, 31], ES – Reissner. Phương pháp này xây dựng phần tử MIN3, CS – MIN3 [32] Các phương pháp này tấm tam giác 3 nút, sử dụng kỹ thuật DSG3 để sử dụng kỹ thuật DSG hoặc MIN3 để khử “khóa khử hiện tượng “khóa cắt” kết hợp với kỹ thuật cắt” kết hợp với làm trơn trên cạnh (Egde), nút làm trơn trên nút cho ra kết quả chính xác hơn (Node) hoặc ô (Cell). Hầu hết các phương pháp các phương pháp trước đó như DSG3, MIN3. trên đều tập trung phân tích kết cấu tấm đồng H.Nguyen – Xuan và các cộng sự [23] tiếp tục nhất đẳng hướng. Hiện tại, chưa có nghiên cứu đưa ra một phương pháp phân tích kết cấu tấm nào đề cập đến việc kết hợp khử “khóa cắt” Mindlin kết hợp kỹ thuật DSG3 và làm trơn trên bằng kỹ thuật MITC3 và làm trơn trên nút cạnh, được gọi là ES – DSG3 cho kết quả tốt (Node – based Smoothed) để phân tích kết cấu hơn các phương pháp trước đó. T. Nguyen – tấm đồng nhất đẳng hướng cũng như tấm Thoi và các cộng sự [24] đưa ra phương pháp composite nhiều lớp. CS – DSG3 cho phần tử tấm tam giác,sử dụng Kỹ thuật MITC đầu tiên đã được đề xuất kỹ thuật DSG3 kết hợp kỹ thuật làm trơn trên ô cho phần tử vỏ tứ giác 4 nút và 8 nút (MITC4 và để phân tích tĩnh, dao động tự do của tấm MITC8) bởi Dvorkin và Bathe [1, 2], sau đó Mindlin. Bucalem và Bathe [3, 4] mở rộng cho các phần Một số nghiên cứu gần đây cũng đã sử tử tấm 7 nút, 9 nút và 16 nút (MITC7, MITC9 dụng các kỹ thuật khử “khóa cắt” kết hợp với và MITC16) Kỹ thuật này cũng đã được sử dụng làm trơn để phân tích kết cấu tấm Composite cho các phần tử tấm và vỏ tam giác [4 – 7]. Khi nhiều lớp. Hieu Nguyen – Van [25] đã phát triển mô hình hóa kết cấu tấm/vỏ nói chung, một số và ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn phần tử tam giác thường được sử dụng vì các cho tấm Composite trên phần tử 4 nút MISQ20 phần tử tam giác có hiệu quả tốt nhất để rời rạc và MISQ24 cho kết quả tốt. Tuy nhiên khi sử các kết cấu tấm/vỏ có hình dạng bất kỳ. Tuy dụng loại phần tử 4 nút sẽ gặp nhiều hạn chế nhiên, sự phát triển của phần tử vỏ tam giác tối trong việc chia lưới phần tử hữu hạn. Chien H. ưu vẫn đang là một thách thức lớn cho các nhà Thai và cộng sự [26] sử dụng lý thuyết biến nghiên cứu [5, 7, 10 – 14] bởi để tối ưu phần tử dạng cắt bậc cao phát triển kỹ thuật NS – DSG3 vỏ tam giác cần có những yêu cầu sau đây: phải phân tích kết cấu tấm cũng cho kết quả tốt có ứng xử không gian đẳng hướng; không có các nhưng sẽ phức tạp và mất nhiều thời gian hơn mode dao động ảo; không xuất hiện khóa cắt trong tính toán. trong tấm chịu uốn; kết quả đáng tin cậy; lập Ông Kim Sang [29] đề cập đến vấn đề Phân trình đơn giản, dễ dàng mở rộng cho việc phân tích độ tin cậy của tấm vật liệu có tính chất cơ lý tích phi tuyến. biến đổi dùng phương pháp phần tử hữu hạn Phill – Seung Lee, Klaus – Jurgen Bathe trơn trên cạnh (ES – FEM). Nguyễn Quốc Huy [15] đã xây dựng không gian đẳng hướng cho [30] đưa ra phương pháp Đánh giá độ tin cậy tần phần tử vỏ tam giác 3 nút và 6 nút (MITC3, số dao động tự do của tấm, vỏ Mindlin bằng MITC6 – a, MITC6 – b) và đưa ra một phương phần tử CS – DSG3. Phạm Đức Tuấn [31] Phân pháp đơn giản để phân tích vỏ tam giác đẳng tích tấm Reissner – Mindlin có dầm Timoshenko hướng bước đầu đã cho những kết quả tốt. Tuy gia cường bằng phương pháp CS – DSG3. Đỗ nhiên, cần có những nghiên cứu xa hơn để có Chí Thanh [32] Phân tích ứng xử phi tuyến hình thể ứng dụng rộng rãi kỹ thuật này phân tích tất học của tấm composite nhiều lớp bằng phần tử cả các loại kết cấu tấm/ vỏ. Hyeong – Min Jeon hữu hạn CS – MIN3. và các cộng sự [16] đã đề xuất một phần vỏ 3 Bài báo trình bày phương pháp biến dạng nút làm giàu bằng bao phủ nội suy dựa trên các trơn trên miền xung quanh nút phần tử được kỹ thuật MITC3 phân tích kết cấu tấm vuông, vỏ phát triển cho phần tử tấm 3 nút sử dụng kỹ hình trụ, vỏ hypebol cho kết quả tốt. Hyeong – thuật MITC3 để khử hiện tượng “khóa cắt”. Min Jeon và các cộng sự [17] tiếp tục phát triển Trong phần tử này, gọi là NS-MITC3, các thành 2
3. phần biến dạng của tấm được trung bình từ biến Chuyển vị của phần tử được xấp xỉ theo chuyển dạng hằng số của các phần tử chung nút phần tử vị các nút của phần tử. trên miền định nghĩa bởi trọng tâm và trung Xấp xỉ chuyển vị cho phần tử tam giác 3 điểm các cạnh của các phần tử này. Phần tử NS- nút: MITC3 được sử dụng để phân tích tĩnh tấm ìuu00üéùNi 0000ìüi composite nhiều lớp dùng lý thuyết biến dạng ïvvïêúïï ï00ï0Ni 000ïïi cắt bậc nhất (FSDT). Kết quả phân tích một số ïïêúïï ví dụ tấm composite có các lớp đối xứng và íww00ý=êú00000íýi (2.1) không đối xứng bằng phần tử NS-MITC3 được ïïêúïï βθxêú0000Ni xi trình bày và so sánh với các nghiên cứu khác để ïïïï ïβθïêú0000-N ïï đánh giá độ chính xác và hiệu quả của phần tử îyþëûi îþyi đề xuất. Bố cục bài báo gồm 6 phần. Phần tiếp theo Trong đó, Ni là các hàm dạng, được xác xây dựng công thức phần tử tấm 3 nút. Phần 3 định như sau: trình bày công thức phần tử tấm MITC3. Công N1=1-ξ-==η;;NN23ξη (2.2) thức phần tử hữu hạn trơn sẽ được trình bày ξ , η là các trục tọa độ địa phương của trong phần 4. Phần 5 là một số kết quả số để phần tử (Hình 2.2), u , v lần lượt là chuyển minh họa. Một số nhận xét, kết luận được rút ra 0i 0i trong phần 6. vị theo trục x, y do biến dạng màng tại nút thứ i; 2. Công thức phần tử tấm 3 nút w0i là chuyển vị theo trục z tại nút thứ i; θxi, θyi 2 lần lượt là các góc xoay quanh trục x, y tại nút Xét một miền Ω Ì ¡ trên mặt trung bình thứ i của phần tử. của tấm. Gọi u0, v0, w0 và βx, βy lần lượt là chuyển vị theo phương x, y, z và chuyển vị xoay Quan hệ giữa biến dạng màng và chuyển vị nút: quanh trục y, x của tấm. Đặt x = −βy, y = βx. Hình 2.1 thể hiện phần tử tam giác gồm 3 nút, mỗi nút có 5 bậc tự do là u0i, v0i, w0i, xi, yi. ìü¶u éù¶N ïï0 êúi 0000ìuu00iiüìü ïï¶x êú¶x ïvvïïï ï00iiïïï ﶶvN0ïêúi ïïïï µ=íý==êú0000íww00iiýBm íý (2.3) ¶¶yy ïïêúïθθïïï ïïêúïxiïïïxi ¶¶uv00 ¶¶NNii ï+ïêú000ïîθθyiïþïïîþyi îþ¶¶yxëû¶¶yx y 2 t d 3 3 c h 2 1 β y x u1θ x1 b x, u x y, v v1 z, w 1 a β x θ y1 w1 Hình 2.2: Hệ trục tọa độ địa phương của phần Hình 2.1: Phần tử tam giác 3 nút tử. Với Bm là ma trận quan hệ giữa biến dạng màng và chuyển vị nút, lấy đạo hàm và khai triển ra, ta được ma trận Bm viết ở dạng tường minh: éùb c0000cb00000000 1 B =êú0d a0000da0000000 m êú (2.4) 2Ae ëûêúd-ab-c000 dc000ab000 Quan hệ biến dạng uốn và chuyển vị nút: 3
4. ìüéù ¶βx ¶Ni ïïêú0000 ìuu00iiüìü ïï¶x êú¶xïvvïïï ïï ï00iiïïï ï¶βy ïêú¶Ni ïïïï κ=íý=êú0000-=íww00iiýBbíý (2.5) ﶶyyïêúïïïï θθxixi ï¶β ¶βïêú¶¶NNïïïï xy000-ii ï+ ïêúïîθθyiïþïïîþyi îþïﶶyxëû¶¶xy Ở đây Bb là ma trận quan hệ giữa biến dạng uốn và chuyển vị nút. Khai triển ra, ta có thể viết lại ma trận Bb dưới dạng tường minh: éù0000b c0000cb0000 1 B=êú000-d+-a0000da00000 b êú (2.6) 2Ae ëûêú000-b+cd-a000 cd000 ba Trong đó: Ae là diện tích của phần tử, a=x-x;b=y-y;;c=y-yd=-xx (2.7) 21213131 Quan hệ biến dạng trượt và chuyển vị nút: ìuu00iiüìü ¶¶w N ïïïï ì0üéùi vv +βxi000Nï00iiïïï ﶶxxïêúïïïï γ===êúwwB (2.8) í¶¶wýNí00iiýsíý ï0+-βïêú000i Nïïïï yiêúθθxixi îﶶyyþïëûïïïï îïθθyiþïîþïïyi Bs là ma trận quan hệ giữa biến dạng trượt và chuyển vị tại nút, sẽ được trình bày trong mục 3.2. Độ cứng Ke của phần tử được xác định bởi: æö K=BTABdΩ+BTDBdΩ++ç÷BTBBdΩ+BTTBBddΩΩBAB eòmmòbbç÷òmbòòbmsss AeAeèøAeAAee TTTTT (2.9) =BmABmAe+BbDBbAe+(BmBBbAe++BbBBmAAe) BsABsse =Km+Kb++KKmbs Phương trình cân bằng phân tích tĩnh trong 3. Công thức phần tử MITC3. tấm: Phill – Seung Lee [15] đã phát triển kỹ KU = F (2.10) t hu ậ t M I T C 3. X é t ph ầ n t ử t a m g i ác 3 nút như Trong đó: K là độ cứng, U là chuyển vị, F Hình 3.1. Lấy các điểm “Tying point” là trung là ngoại lực được xác định bởi: điểm các cạnh của phần tử. Chuyển vị của phần F=+pNfdA (2.11) tử sẽ được xấp xỉ theo chuyển vị của các đi ểm ò b “Tying point”, và được xác định bởi: Ae (1) Với p là tải trọng phân bố trên bề mặt tấm, γγ±xz=+xz cy fb là tải trọng tác dụng trên biên của tấm. (2) γγ±yz=-yz cx (3.1) Với cách xấp xỉ chuyển vị như (2.1), khi sử (2)(1)(3)(3) dụng (2.8) trong các tấm mỏng sẽ xuất hiện hiện c =γyz-γxz-+γγyzxz tượng “khóa cắt” cho kết quả phân tích không h chính xác. Hiện tượng “khóa cắt” là hiện tượng khi dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất phân (0,1) tích tấm mỏng, theo lý thuyết tấm cổ điển thì Tying point biến dạng cắt gần như bằng không và được bỏ qua nhưng các kết quả phân tích số cho thấy biến dạng cắt không bằng không, cho kết quả x tính toán sai số và nhỏ hơn nhiều so với thực tế. (0,0) (1,0) Sau đây sẽ trình bày một kỹ thuật để Hình 3.1: Phần tử MITC3 khử hiện tượng “khóa cắt”, đó là kỹ thuật Với cách xấp xỉ lại chuyển vị như (3.1) sẽ MITC3. làm giảm biến dạng cắt khi dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất phân tích tấm mỏng. Thế (3.1) vào (2.8), khai triển ra ta có Bs viết ở dạng tường minh như (3.2): 4
5. éù(b-c)(b+c)(d-a)(b+c)bcc(b+c)acdbcbbda êú00(b-c)Ae+00c-+-(b+c)00 -b-(b+c)-+(b+c) MITC3 1 6626262626 B = êú s 2A (b-c)(a+d)(d-a)(a+d)bdcaddacbada e êú00(d-a)A+-00-d-(a+d)-+(a+d)00 a-+(a+d)-(a+d) ëûêúe 6626262626 (3.2) Thế (3.2) vào (2.9) ta có độ cứng của phần tử MITC3: MITC33TTTTTMITC Ke=BmABmAe+BbDBbAe+(BmBBbAe++BbBBmAAe) BsABsse (3.3) đường Γ()k quanh nút k như Hình 4.1 với 4. Công thức phần tử hữu hạn trơn NS Nn ()k – MITC3. Ω=Ωå , Nn là tổng số nút trên miền Ω. 2 k=1 Chia miền ΩÌ¡ thành Ne phần tử tam giác. Xét miền trơn Ω()k được giới hạn bởi k Quan hệ biến dạng màng trung bình, Ne 1MITC3311eMITC MITC3 γ% ===γγdAΩ Bu° s % biến dạng uốn trung bình κ° và biến dạng góc (k)ò(k) åii AA()k i=1 3 trung bình với chuyển vị nút trên miền Ω γ% (4.3) ()k Ω được xác định như sau: Ở đây, A(k) là diện tích của miền Ω()k k Ne 111e được xác định như sau: µ% =µµdAΩ==ii Bu° m% k AA(k)ò(k) å3 Ne1 Ω()k i=1 A(k) ==dAΩ e (4.4) ò å3i (4.1) Ω()k i=1 k Ne e 111e Trong đó, A là diện tích phần tử thứ i bao b i κ° =(k)κκdAΩ==(k) ii Bu° % òå k AA()k i=1 3 Ω quanh nút k, Nelà số phần tử bao quanh nút k. (4.2) (k) (k) G W k Hình 4.1: Chia lưới phần tử tam giác làm trơn trên nút Độ cứng của tấm trên miền Ω()k: T (k)TTTTMITC33MITC K° =B° mAB° mdΩ+B° bDB° bdΩ++B° mBB° bdΩB° bBB° mddΩΩ+ B° ssAB° òòòòò( ) s Ω(k)Ω(k)Ω(k)ΩΩ(kk)() T T(k)T(k)T(k)T(kk)MITC33MITC () =B°mAB°mA+B°bDB°bA+B°mAB°bA++B°bAB°mAAB°ssAB° ( ) s (4.5) MITC3 với chuyển vị nút trên trường biến dạng trơn NS Trong đó, B°m B°b, B°s là ma trận quan hệ biến màng, biến dạng uốn và biến dạng góc – MITC3. 5
6. Thế (3.19) vào phương trình cân bằng = 0,01; Module đàn hồi E = 100000, hệ số (3.10), sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để lập Poisson ν = 0,25. Sử dụng phần tử NS – MITC3 trình tính toán chuyển vị và nội lực của tấm. cho bài toán tấm. Chuyển vị biên được giả định 5. Kết quả số. là w (x, y) = (1 + x + 2y + x2 + xy + y2) / 2. Kết 5.1. Bài toán Patch test quả kiểm tra Patch test phần tử NS – MITC3 Trong ví dụ này, phần tử tấm NS – MITC3 được thể hiện trong Bảng 5.1. Kết quả cho thấy đươc kiểm tra với bài toán Patch test để đảm bảo phần tử NS – MITC3 cũng vượt qua Patch test rằng phần tử có thể tái lập lại trường chuyển vị tương tự như các phần tử DSG3, MITC3, NS – và trường ứng suất một cách chính xác. Xét một DSG3. tấm hình chữ nhật như Hình 5.1, có chiều dày t 4(0;0,12) 3(0,24;0,12) 5(0,1;0,08) 1(0;0) 2(0,24;0) Hình 5.1: Bài toán Patch test Bảng 5.1: Kết quả bài toán Patch test Phần tử w5 θx5 θy5 mx5 my5 mxy5 DSG3 0,6422 1,1300 – 0,6400 – 0,0111 – 0,0111 – 0,0033 MITC3 0,6422 1,1300 – 0,6400 – 0,0111 – 0,0111 – 0,0033 MITC4 0,6422 1,1300 – 0,6400 – 0,0111 – 0,0111 – 0,0033 NS – DSG3 0,6422 1,1300 – 0,6400 – 0,0111 – 0,0111 – 0,0033 NS – MITC3 0,6422 1,1300 – 0,6400 – 0,0111 – 0,0111 – 0,0033 Exact 0,6422 1,1300 – 0,6400 – 0,0111 – 0,0111 – 0,0033 5.2. Tấm đồng nhất đẳng hướng chính xác và các phương pháp khác. Kết quả so 5.2.1. Tấm vuông đồng nhất đẳng hướng sánh được thể hiện trong Bảng 5.2 và các Hình Cho tấm hình vuông đồng nhất đẳng hướng 5.3, Hình 5.4. cạnh L = 10, chiều dày t, biên ngàm 4 cạnh chịu Từ kết quả trong Bảng 5.2 và biểu đồ trong tải trọng phân bố đều q = 1 như Hình 5.2 (a). Hình 5.3 ta thấy khi sử dụng phương pháp NS – Module đàn hồi E = 1092000, hệ số Poisson ν = MITC3 giải bài toán tấm vuông đồng nhất đẳng 0,3. Khảo sát độ võng và mô men tại tâm tấm hướng có biên ngàm 4 cạnh chịu tải trọng phần khi chiều dày t thay đổi. bố đều trong trường hợp giải đối xứng cho kết q quả độ võng khá tốt đối với cả tấm mỏng (t/L = 0,001) và tấm dày (t/L = 0,1). Đối với tấm mỏng độ võng hội tụ nhanh hơn các phương y pháp NS – DSG3, MITC3, DSG3, hội tụ chậm hơn phương pháp MITC4, ES – DSG3, CS – x DSG3. Tuy nhiên, khi áp dụng cho tấm dày thì L độ võng chỉ hội tụ nhanh hơn phương pháp NS – y DSG3 và hội tụ chậm hơn các phương pháp x MITC3, DSG3, MITC4, ES – DSG3, CS – L DSG3. Điều này cho thấy rằng kết quả độ võng khi giải tấm mỏng có sự sai khác giữa các (a) (b) phương pháp nhiều hơn khi giải tấm dày, Hình 5.2: (a) Tấm vuông đồng nhất đẳng hướng phương pháp NS – MITC3 cho hiệu quả tốt hơn biên ngàm 4 cạnh; (b) Chia lưới phần tử hữu hạn khi giải tấm mỏng. Mặt khác ta cũng thấy, cho tấm. phương pháp NS – MITC3 và NS – DSG3 đều Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho kết quả độ võng hội tụ từ cận dưới đối với trơn NS – MITC3 giải bài toán đối xứng, lần tấm mỏng và hội tụ từ cận trên đối với tấm dày. lượt chia lưới phần tử 4 x 4, 8 x 8, 10 x 10, 12 x Nguyên nhân của hiện tượng này là vì đối với 12, 16 x 16 như Hình 5.2 (b) ta tính được độ cách làm trơn trên nút, do chuyển vị được xấp xỉ võng và mô men tại tâm tấm, so sánh với lời giải trung bình theo chuyển vị của các phần tử xung 6
7. quanh nút, khi áp dụng cho tấm dày mà chia bình được dự báo vượt lên so với kết quả thực lưới phần tử còn ít, chuyển vị của các phần tử có tế. sự chênh lệch lớn nên kết quả chuyển vị trung Bảng 5.2: Độ võng và mô men tại tâm tấm vuông đồng nhất đẳng hướng biên ngàm 4 cạnh chịu tải trọng phân bố đều. Lời giải Chênh Chia lưới chính xác t/L Phương pháp lệch (Exact) (%) 4 x 4 8x8 10x10 12x12 16x16 [33] 4 Độ võng tại tâm tấm wc/(qL /100D) CS-DSG3 0,1123 0,1227 0,1241 0,1248 0,1256 -0,87 MITC4 0,1211 0,1251 0,1256 0,1259 0,1262 -0,39 DSG3 0,044 0,0873 0,0985 0,1058 0,1141 0,1267 -9,94 0,001 ES-DSG3 0,0904 0,1202 0,1234 0,1248 0,1259 -0,63 MITC3 0,0001 0,0073 0,0226 0,0462 0,0873 -31,10 NS-DSG3 0,0005 0,0956 0,0972 0,1084 0,1162 -8,29 NS-MITC3 0,0006 0,1085 0,12 0,1209 0,1243 -1,89 CS-DSG3 0,1357 0,1467 0,148 0,1487 0,1495 -0,27 MITC4 0,1431 0,1488 0,1494 0,1497 0,15 0,07 DSG3 0,0927 0,1366 0,1419 0,1447 0,1473 -1,73 0,1 ES-DSG3 0,1306 0,1499 0,1506 0,1508 0,1508 0,1499 0,60 MITC3 0,1213 0,145 0,1471 0,1481 0,1492 -0,47 NS-DSG3 0,1974 0,175 0,1713 0,1636 0,1583 5,60 NS-MITC3 0,2179 0,1689 0,1631 0,159 0,1553 3,60 2 Mô men tại tâm tấm Mc/(qL /10) CS-DSG3 0,1574 0,211 0,2176 0,2211 0,2246 -1,96 MITC4 0,189 0,2196 0,223 0,2249 0,2267 -1,05 DSG3 0,0767 0,1627 0,1816 0,1938 0,2077 0,2291 -9,34 0,001 ES-DSG3 0,1444 0,2121 0,2188 0,2223 0,2255 -1,57 MITC3 0,0002 0,0165 0,0523 0,1074 0,196 -14,45 NS-DSG3 0,0013 0,1059 0,2478 0,1672 0,1986 -13,31 NS-MITC3 0,0011 0,1533 0,2677 0,1836 0,2031 -11,35 CS-DSG3 0,1618 0,2145 0,2208 0,2242 0,2276 -1,47 MITC4 0,1898 0,2219 0,2256 0,2275 0,2295 -0,65 DSG3 0,1253 0,207 0,2167 0,2217 0,2264 -1,99 0,1 ES-DSG3 0,1699 0,2201 0,2246 0,2269 0,2292 0,231 -0,78 MITC3 0,1686 0,222 0,2264 0,2286 0,2305 -0,22 NS-DSG3 0,3414 0,2725 0,2314 0,2499 0,2433 5,32 NS-MITC3 0,3522 0,2629 0,2244 0,2442 0,239 3,46 Từ kết quả trong Bảng 5.2 và biểu đồ trong thích là do cách xấp xỉ chuyển vị bậc nhất, khi Hình 5.4 ta thấy khi sử dụng phương pháp NS – đạo hàm chuyển vị để xác định mô men sẽ ra MITC3 đối với tấm mỏng (t/L = 0,001) cho kết hằng số. Chuyển vị trung bình được xác định quả Mô men tại tâm tấm hội tụ nhanh hơn bằng cách lấy trung bình tổng các chuyển vị của phương pháp NS – DSG3, MITC3 nhưng lại cho các phần tử xung quanh nút đó, do đó kết quả kết quả hội tụ chậm hơn các phương pháp mô men có thể không liên tục. DSG3, MITC4, ES – DSG3, CS – DSG3. Khi áp Cho tấm hình vuông đồng nhất đẳng hướng dụng cho tấm dày (t/L = 0,1) thì mô men chỉ hội cạnh L = 10, chiều dày t, biên tựa đơn 4 cạnh tụ nhanh hơn phương pháp NS – DSG3 và hội tụ chịu tải trọng phân bố đều q = 1 như Hình 5.5 chậm hơn các phương pháp MITC3, DSG3, (a). Module đàn hồi E = 1092000, hệ số Poisson MITC4, ES – DSG3, CS – DSG3. Đối với ν = 0,3. Khảo sát độ võng và mô men tại tâm phương pháp NS – MITC3 và NS – DSG3 đều tấm khi chiều dày t thay đổi. cho kết quả mô men là đường không liên tục. Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn Nguyên nhân của hiện tượng này có thể giải NS – MITC3 giải bài toán đối xứng, lần lượt 7
8. chia lưới phần tử 4 x 4, 8 x 8, 10 x 10, 12 x 12, chính xác và các phương pháp khác. Kết quả so 16 x 16 như Hình 5.5 (b) ta tính được độ võng sánh được thể hiện trong Bảng 5.3 và các Hình và mô men tại tâm tấm, so sánh với lời giải 5.6, Hình 5.7. (a) (b) Hình 5.3: Độ võng tại tâm tấm vuông đồng nhất đẳng hướng biên ngàm 4 cạnh: (a) khi tỉ lệ t/L = 0,001; (b) khi tỉ lệ t/L = 0,1. (a) (b) Hình 5.4: Mô men tại tâm tấm vuông đồng nhất đẳng hướng biên ngàm 4 cạnh: (a) khi tỉ lệ t/L = 0,001; (b) khi tỉ lệ t/L = 0,1. q Hình 5.5: (a) Tấm vuông đồng nhất đẳng hướng biên tựa đơn 4 cạnh; (b) Chia lưới phần tử hữu y hạn cho tấm. Từ kết quả trong Bảng 5.3 và biểu đồ trong x Hình 5.6 ta thấy khi sử dụng phương pháp NS – L MITC3 giải bài toán tấm vuông đồng nhất đẳng y x hướng có biên tựa đơn 4 cạnh chịu tải trọng phần bố đều trong trường hợp giải đối xứng cho L kết quả độ võng rất tốt đối với cả tấm mỏng (t/L (a) (b) = 0,001) và tấm dày (t/L = 0,1). Đối với tấm mỏng và tấm dày đều cho kết quả độ võng hội tụ 8
9. nhanh hơn các phương pháp NS – DSG3, dưới đối với tấm mỏng và hội tụ từ cận trên đối MITC3, DSG3, chỉ cho kết quả hội tụ chậm hơn với tấm dày. Nguyên nhân được giải thích như ở phương pháp MITC4. Cũng giống như tấm trên. vuông biên ngàm, kết quả độ võng hội tụ từ cận Bảng 5.3: Độ võng và mô men tại tâm tấm vuông đồng nhất đẳng hướng biên tựa đơn 4 cạnh chịu tải trọng phân bố đều. Lời giải Chia lưới Chênh chính xác t/L Phương pháp lệch (Exact) 4x4 8x8 10x10 12x12 16x16 (%) [33] 4 Độ võng tại tâm tấm wc/(qL /100D) MITC4 0,3969 0,4041 0,4049 0,4053 0,4057 –0,12 DSG3 0,2019 0,3299 0,3543 0,3689 0,3845 –5,34 0,001 MITC3 0,0043 0,1691 0,2724 0,3324 0,3801 0,4062 –6,43 NS – DSG3 0,3634 0,3982 0,4053 0,4032 0,4047 –0,37 NS – MITC3 0,1285 0,406 0,4091 0,4103 0,409 0,69 MITC4 0,419 0,4255 0,4261 0,4265 0,4268 –0,12 DSG3 0,2981 0,4001 0,4108 0,4162 0,4213 –1,40 0,1 MITC3 0,3551 0,4115 0,4174 0,4205 0,4235 0,4273 –0,89 NS – DSG3 0,5225 0,4488 0,4416 0,4362 0,432 1,10 NS – MITC3 0,4799 0,4425 0,4376 0,4345 0,4315 0,98 2 Mô men tại tâm tấm Mc/(qL /10) MITC4 0,4075 0,4612 0,4676 0,471 0,4745 –0,92 DSG3 0,2495 0,3942 0,4209 0,4369 0,4542 –5,16 0,001 MITC3 0,0055 0,2187 0,3653 0,4546 0,5021 0,4789 4,84 NS – DSG3 0,5668 0,4872 0,4413 0,4714 0,4684 –2,19 NS – MITC3 0,1674 0,4527 0,4604 0,4719 0,4794 0,10 MITC4 0,4075 0,4612 0,4676 0,471 0,4745 –0,92 DSG3 0,3223 0,4452 0,4584 0,4651 0,4714 –1,57 0,1 MITC3 0,3805 0,4573 0,4656 0,4699 0,4741 0,4789 –1,00 NS – DSG3 0,526 0,507 0,4683 0,4935 0,4878 1,86 NS – MITC3 0,5684 0,5056 0,4631 0,4899 0,4854 1,36 (a) (b) Hình 5.6: Độ võng tại tâm tấm vuông đồng nhất đẳng hướng biên tựa đơn 4 cạnh: (a) khi tỉ lệ t/L = 0,001; (b) khi tỉ lệ t/L = 0,1. 9
10. (a) (b) Hình 5.7: Mô men tại tâm tấm vuông đồng nhất đẳng hướng biên tựa đơn 4 cạnh: (a) khi tỉ lệ t/L = 0,001; (b) khi tỉ lệ t/L = 0,1. Kết quả mô men tại tâm tấm vuông tựa đơn (t/L = 0,1) thì độ võng chỉ hội tụ nhanh hơn đồng nhất đẳng hướng được thể hiện trong Bảng phương pháp NS – DSG3 và hội tụ chậm hơn 5.3 và biểu đồ trong Hình 5.7. Ta thấy khi sử các phương pháp MITC3, DSG3, MITC4. Kết dụng phương pháp NS – MITC3 đối với tấm quả mô men liên tục khi giải tấm mỏng và mỏng (t/L = 0,001) cho kết quả Mô men tại tâm không liên tục khi giải tấm dày. Cũng giống như tấm hội tụ nhanh hơn phương pháp NS – DSG3, độ võng, mô men hội tụ từ cận dưới đối với tấm MITC3, DSG3, chỉ cho kết quả hội tụ chậm hơn mỏng và hội tụ từ cận trên đối với tấm dày. phương pháp MITC4. Khi áp dụng cho tấm dày 5.2.2. Tấm xiên đồng nhất đẳng hướng. Hình 5.8: (a) Tấm xiên đồng nhất đẳng hướng Cho tấm đồng nhất đẳng hướng xiên góc biên tựa đơn 4 cạnh; (b) Chia lưới phần tử hữu 300 so với trục x, cạnh L = 100, chiều dày t = hạn cho tấm. 0,1, tựa đơn 4 cạnh, chịu tải trọng phân bố đều q Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn = 1 như Hình 5.8 (a). Module đàn hồi E = NS – MITC3 giải bài toán không đối xứng, lần 10.92, hệ số Poisson ν = 0,3. Khảo sát độ võng lượt chia lưới phần tử 4 x 4, 8 x 8, 10 x 10, 12 x và mô men tại tâm tấm. 12, 16 x 16 như Hình 5.8 (b) ta tính được độ q y võng và mô men tại tâm tấm, so sánh với lời giải chính xác và các phương pháp khác. Kết quả so sánh được thể hiện trong Bảng 5.4 và các Hình L x 5.9, Hình 5.10, Hình 5.11. 30° L (a) (b) Bảng 5.4: Độ võng và Mô men tại tâm tấm đồng nhất đẳng hướng xiên góc 300 biên tựa đơn 4 cạnh chịu tải trọng phân bố đều Lời giải Chia lưới Chênh chính xác Phương pháp lệch (Exact) 4x4 8x8 10x10 12x12 16x16 (%) [34] 4 Độ võng tại tâm tấm wc/(qL /1000D) MITC4 0,3588 0,3571 0,364 0,3717 0,3835 – 6,00 DSG3 0,2611 0,2655 0,2768 0,2895 0,3149 – 22,82 0,408 MITC3 0,0265 0,1101 0,1423 0,1711 0,2238 – 45,15 NS – DSG3 1,0016 0,5073 0,4685 0,4524 0,4392 7,65 10
11. NS–MITC3 0,4029 0,4353 0,4317 0,4299 0,4267 4,58 2 Mô men tại tâm tấm Mxc/(qL /100) MITC4 0,6738 0,859 0,9052 0,9424 0,9923 – 8,12 DSG3 0,4736 0,5488 0,5845 0,6231 0,7006 – 35,13 MITC3 0,12 0,2952 0,372 0,4424 0,5728 1,08 – 46,96 NS – DSG3 1,4681 1,3637 1,2564 1,2712 1,2408 14,89 NS–MITC3 1,1506 1,1827 1,1746 1,1906 1,1923 10,40 2 Mô men tại tâm tấm Myc/(qL /100) MITC4 1,5097 1,6756 1,7229 1,7608 1,8116 – 5,15 DSG3 1,2413 1,3065 1,3518 1,407 1,5182 – 20,51 MITC3 0,3065 0,6921 0,8501 0,9803 1,2017 1,91 – 37,08 NS – DSG3 2,2832 2,046 1,9861 1,976 1,9477 1,97 NS –MITC3 2,4636 1,9903 1,9313 1,9298 1,9112 0,06 Từ kết quả độ võng và mô men cho tấm giải bài toán tấm xiên tựa đơn. Ta thấy độ võng xiên đồng nhất đẳng hướng tựa đơn 4 cạnh ta và mô men khi sử dụng phương pháp NS – thấy phương pháp NS – MITC3 cho kết quả rất MITC3 và NS – DSG3 trong trường hợp này tốt. Độ võng và mô men My hội tụ nhanh hơn đều hội tụ từ cận trên. Nguyên nhân là do khi các phương pháp NS – DSG3, MITC3, DSG3, giải tấm xiên, sự chênh lệch chuyển vị trong các MITC4. Mô men Mx hội tụ nhanh hơn các phần tử lớn, chuyển vị trung bình xung quanh phương pháp NS – DSG3, MITC3, DSG3, hội nút sẽ được dự báo tăng vượt lên so với kết quả tụ chậm hơn phương pháp MITC4. Điều này cho thực tế. thấy phương pháp NS – MITC3 có hiệu quả khi Hình 5.9: Độ võng tại tâm tấm xiên đồng nhất đẳng hướng tựa đơn khi tỉ lệ t/L = 0,001 Hình 5.10: Mô men Mx giữa tấm xiên đồng nhất đẳng hướng tựa đơn khi tỉ lệ t/L = 0,001. 11
12. Hình 5.11: Mô men My giữa tấm xiên đồng nhất đẳng hướng tựa đơn khi tỉ lệ t/L = 0,001. 5.2.3. Tấm tròn đồng nhất đẳng hướng. Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn NS Cho tấm tròn đồng nhất đẳng hướng bán – MITC3 giải bài toán đối xứng với cách chia kính R = 5, chiều dày t, biên ngàm, chịu tải lưới phần tử như Hình 5.12 (b) ta tính được độ trọng phân bố đều q = 1 như Hình 5.12 (a). võng và mô men tại tâm tấm, so sánh với lời giải Module đàn hồi E = 10,92; hệ số Poisson ν = chính xác các phương pháp khác. Kết quả so 0,3. Khảo sát độ võng và mô men tại tâm tấm sánh được cho trong Bảng 5.5 và Hình 5.13, khi chiều dày t thay đổi. Hình 5.14. q y R = 5 x (a) (b) Hình 5.12: (a) Tấm tròn đồng nhất đẳng hướng biên ngàm; (b) Chia lưới phần tử hữu hạn cho tấm. Bảng 5.5: Độ võng và mô men tại tâm tấm tròn đồng nhất đẳng hướng ngàm chịu tải trọng phân bố đều Lời giải Số phần tử chính xác Chênh t/L Phương pháp (Exact) [35, lệch 6T3 24T3 54T3 96T3 36] (%) Độ võng ở tấm tấm wc MITC4 9068,1 9692,6 9738,5 9759,2 – 1,16 DSG3 3565,1 7184,3 8471,8 9038,5 – 8,46 0,02 MITC3 1075,458 7524,5 9059,83 9449,79 9873,48 – 4,29 NS – DSG3 735,5665 8262,33 9668,84 9843,14 – 0,31 NS – MITC3 4675,444 9652,57 10086,1 9992,1 1,20 MITC4 10,755 11,42 11,494 11,519 – 0,28 DSG3 6,3788 10,155 10,974 11,245 – 2,65 0,2 11,5513 MITC3 7,4801 10,4942 11,085 11,2908 – 2,26 NS – DSG3 9,1059 11,9613 11,8247 11,7549 1,76 12
13. NS – MITC3 13,0311 12,1447 11,8939 11,7606 1,81 Mô men Mc MITC4 1,8818 1,9404 2,0036 2,0127 – 0,91 DSG3 0,7463 1,5861 1,8337 1,9182 – 5,57 0,02 MITC3 0,2409 1,7362 1,923 1,9816 2,03125 – 2,44 NS – DSG3 0,1736 1,7639 2,0041 2,0236 – 0,38 NS – MITC3 1,0412 1,8331 2,0952 2,0258 – 0,27 MITC4 1,835 1,9541 1,9949 2,0113 – 0,98 DSG3 1,0006 1,7784 1,9312 1,9811 – 2,47 0,2 MITC3 1,3104 1,8498 1,9539 1,9897 2,03125 – 2,05 NS – DSG3 1,8834 2,0219 2,1614 2,0077 – 1,16 NS – MITC3 2,6073 2,0716 2,1099 2,0435 0,60 (a) (b) Hình 5.13: Độ võng tại tâm tấm tròn đồng nhất đẳng hướng biên ngàm: (a) khi tỉ lệ t/R = 0,02; (b) khi tỉ lệ t/R = 0,2 (a) (b) Hình 5.14: Mô men tại tâm tấm tròn đồng nhất đẳng hướng biên ngàm: (a) khi tỉ lệ t/R = 0,02; (b) khi tỉ lệ t/R = 0,2 Từ kết quả độ võng và mô men cho tấm thấy phương pháp NS – MITC3 cho kết quả khá tròn đồng nhất đẳng hướng tựa đơn 4 cạnh ta tốt. Đối với tấm mỏng (t/R = 0,02) độ võng và 13
14. mô men đều hội tụ nhanh hơn các phương pháp các phương pháp NS – DSG3, MITC3, DSG3, NS – DSG3, MITC3, DSG3, hội tụ chậm hơn hội tụ chậm hơn phương pháp MITC4. Cả độ phương pháp MITC4. Đối với tấm dày (t/R = võng và mô men khi sử dụng phương pháp NS – 0,2) độ võng hội tụ nhanh hơn các phương pháp MITC3 đều hội tụ từ cận dưới đối với tấm mỏng MITC3, DSG3, hội tụ chậm hơn phương pháp và hội tụ từ cận trên đối với tấm dày. Nguyên NS – DSG3, MITC4; mô men hội tụ nhanh hơn nhân được giải thích như các ví dụ trước. 5.3. Tấm composite nhiều lớp Hình 5.15: (a) Tấm vuông composite nhiều 5.3.1. Tấm vuông composite nhiều lớp lớp biên ngàm; (b) Chia lưới phần tử hữu hạn Cho tấm vuông composite trực hướng gồm cho tấm hai lớp có hướng sợi phản xứng [θ0 / – θ0] như Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn Hình 5.15 (a) , cạnh L = 10, chiều dày t = 0,02, NS – MITC3 giải bài toán đối xứng, lần lượt biên ngàm 4 cạnh chịu tải trọng phân bố đều q = chia lưới phần tử 4 x 4, 6 x 6, 8 x 8, 10 x 10 như 6 6 1. Module đàn hồi E1 = 40 x 10 , E2 = 10 , Hình 5.15 (b) ta tính được độ võng không thứ 6 3 4 Module trượt G12 = G13 = G23 = 0,5 x 10 , hệ số nguyên w*=100E2wt /(q0a ) tại tâm tấm, so sánh Poisson ν12 = ν23 = ν13 = 0,25. Khảo sát độ võng với lời giải chính xác và các phương pháp khác. tại tâm tấm khi góc θ thay đổi. Kết quả so sánh được thể hiện trong Bảng 5.6 q và Hình 5.16. Từ kết quả độ võng trong Bảng 5.6 và Hình 5.16 ta thấy phương pháp NS – MITC3 cho kết quả khá tốt đối với tấm mỏng (t/L = y 0,002). Kết quả độ võng hội tụ nhanh hơn các x phương pháp MITC3 và NS – DSG3. Khi góc L hướng sợi càng tăng thì kết quả hội tụ càng nhanh và chính xác. Đặc biệt, khi góc hướng sợi y x là [450/ – 450] cho kết quả gần như chính xác tuyệt đối, chỉ chênh lệch so với lời giải giải tích L 0,03%. (a) (b) Bảng 5.6: Độ võng tại tâm tấm composite trực hướng gồm hai lớp có hướng sợi phản xứng [θ0 / – θ0], biên ngàm 4 cạnh chịu tải trọng phân bố đều Lời giải Chia lưới chính Chênh Hướng sợi Phương pháp xác lệch (Exact) (%) 4 x 4 6 x 6 8 x 8 10 x 10 [25] 3 4 Độ võng không thứ nguyên w*=100E2wt /(q0a ) tại tâm tấm MITC3 0,0717 0,0966 0,0984 0,099 4,65 [50/ – 50] NS – DSG3 0,1095 0,1076 0,1055 0,1046 0,0946 10,57 NS – MITC3 0,1066 0,1078 0,1063 0,1052 11,21 MITC3 0,0918 0,1493 0,1648 0,1716 –14,58 [150/ – 150] NS – DSG3 0,177 0,1925 0,1946 0,1943 0,2009 – 3,29 NS – MITC3 0,1884 0,1979 0,1975 0,196 – 2,44 MITC3 0,1042 0,1849 0,2118 0,2228 – 5,39 [250/ – 250] NS – DSG3 0,2031 0,2397 0,248 0,2495 0,2355 5,94 NS – MITC3 0,2336 0,2532 0,2546 0,2531 7,47 MITC3 0,1181 0,2199 0,253 0,2647 – 8,41 [450/ – 450] NS – DSG3 0,2144 0,2668 0,2812 0,2841 0,289 – 1,70 NS – MITC3 0,2559 0,2863 0,2902 0,2889 – 0,03 6 6 Cho tấm vuông composite trực hướng gồm 10 , Module trượt G12 = G13 = 0,5 x 10 , G23 = 6 nhiều lớp cạnh L = 10 như Hình 5.17 (a), chiều 0,2 x 10 , Hệ số Poisson ν12 = ν23 = ν13 = 0,25. dày t, biên tựa đơn 4 cạnh chịu tải trọng phân bố Khảo sát độ võng tại tâm tấm khi số lớp và 6 đều q = 1. Module đàn hồi E1 = 25 x 10 , E2 = chiều dày thay đổi. 14
15. (a) (b) (c) (d) Hình 5.16: Độ võng tấm composite trực hướng hai lớp có hướng sợi phản xứng biên ngàm 4 cạnh: (a) [50/ – 50]; (b) [150/ – 150]; (c) [250/ – 250]; (d) [450/ – 450]. q Hình 5.17: (a) Tấm vuông composite nhiều lớp biên tựa đơn; (b) Chia lưới phần tử hữu hạn cho tấm y Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn NS – MITC3 giải bài toán đối xứng, lần lượt x chia lưới phần tử 3 x 3, 6 x 6, 12 x 12, 18 x 18 L như Hình 5.17 (b) ta tính được độ võng không 3 4 y thứ nguyên w*=100E2wt /(q0a ) tại tâm tấm, so x sánh với lời giải chính xác và các phương pháp L khác. Kết quả so sánh được thể hiện trong Bảng 5.7 và Hình 5.18. (a) (b) cho kết quả rất tốt đối với cả tấm mỏng (t/L = Từ kết quả độ võng trong Bảng 5.7 và 0,01) và tấm dày (t/L = 0,01) trong trường hợp Hình 5.18 ta thấy phương pháp NS – MITC3 số lớp đối xứng và không đối xứng. Kết quả độ 15
16. võng hội tụ nhanh hơn các phương pháp MITC3 quả chỉ chênh lệch so với lời giải giải tích và NS – DSG3. Trong trường hợp số lớp đối 0,11%. Kết quả đều hội tụ từ cận trên. xứng [00/900/00], đối với tấm dày (t/L=0,1), kết Bảng 5.7: Độ võng tại tâm tấm composite trực hướng biên tựa đơn 4 cạnh chịu tải trọng phân bố đều Lời giải Chia lưới chính xác Chênh Hướng sợi t/L Phương pháp (Exact) lệch 3x3 6x6 12x12 18x18 [25] (%) 3 4 Độ võng không thứ nguyên w*=100E2wt /(q0a ) tại tâm tấm MITC3 1,4469 1,6535 1,6877 1,6935 –0,27 0,01 NS – DSG3 1,7021 1,7109 1,7039 1,7009 1,698 0,17 NS – MITC3 1,7838 1,729 1,7064 1,7018 0,22 [00/900] MITC3 1,792 1,9092 1,9377 1,9428 –0,21 0,1 NS – DSG3 2,1037 1,981 1,9529 1,9488 1,9468 0,10 NS – MITC3 2,0486 1,9735 1,954 1,9501 0,17 MITC3 0,606 0,6558 0,6663 0,6682 –0,22 0,01 NS – DSG3 0,6935 0,6781 0,6736 0,6717 0,6697 0,30 NS – MITC3 0,7087 0,6828 0,6731 0,6712 0,22 [00/900/00] MITC3 0,9713 1,0105 1,0193 1,0208 –0,11 0,1 NS – DSG3 1,2234 1,0773 1,0385 1,0309 1,0219 0,88 NS – MITC3 1,0722 1,0306 1,0243 1,023 0,11 5.3.2. Tấm xiên composite nhiều lớp. Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn NS Cho tấm composite trực hướng gồm nhiều – MITC3 giải bài toán không đối xứng, lần lượt lớp, xiên góc ∝ so với trục x, cạnh L = 10 như chia lưới phần tử 8 x 8, 10 x 10, 12 x 12, 14 x 14 Hình 5.19 (a), chiều dày t = 0,1, biên tựa đơn 4 như Hình 5.19 (b) ta tính được độ võng và mô cạnh chịu tải trọng phân bố đều q = 1. Module men tại tâm tấm, so sánh với lời giải chính xác 6 6 đàn hồi E1 = 25 x 10 , E2 = 10 , Module trượt và các phương pháp khác. Kết quả so sánh được 6 6 G12 = G13 = 0,5 x 10 , G23 = 0,2 x 10 , hệ số thể hiện trong Bảng 5.8 và Hình 5.17. Poisson ν12 = ν23 = ν13 = 0,25. Khảo sát độ võng tại tâm tấm khi hướng sợi và góc xiên thay đổi. (a) (b) 16
17. (c) (d) Hình 5.18: Độ võng tấm composite trực hướng biên tựa đơn 4 cạnh: (a) [00/900], t/L=0,01; (b) [00/900], t/L=0,1; (c) [00/900/00], t/L=0,01; (d) [00/900/00], t/L=0,1. Từ kết quả độ võng trong Bảng 5.8 và với tấm xiên composite nhiều lớp do sử dụng lý Hình 5.20 ta thấy phương pháp NS – MITC3 thuyết lớp tương đương, sự chênh lệch chuyển cho kết quả khá tốt đối với tấm mỏng (t/L = vị giữa các lớp là đáng kể nên ảnh hưởng lớn 0,01). Kết quả độ võng hội tụ nhanh hơn các đến kết quả tính toán. phương pháp MITC3 và NS – DSG3. Trong q y trường hợp số lớp đối xứng [00/900/00], với tấm xiên 600, kết quả chỉ chênh lệch so với lời giải L giải tích 0,84%. Kết quả độ võng theo phương x pháp NS – MITC3 và NS – DGS3 đều hội tụ từ α cận trên và không liên tục. Nguyên nhân của L hiện tượng này là do đối với tấm xiên, các phần tử là các tam giác dẹt có trọng tâm ở khá xa (a) (b) nhau, chênh lệch chuyển vị trong các phần tử là Hình 5.19: (a) Tấm xiên composite nhiều lớp khá lớn, do vậy khi lưới phần tử chưa đủ mịn thì biên tựa đơn; (b) Chia lưới phần tử hữu hạn cho kết quả trung bình chuyển vị của các phần tử có tấm cùng chung nút sẽ chênh lệch nhau nhiều và không ổn định. Trường hợp này chỉ xảy ra đối Bảng 5.8: Độ võng tại tâm tấm xiên composite trực hướng biên tựa đơn 4 cạnh chịu tải trọng phân bố đều Lời giải Chia lưới Chênh Góc chính xác Hướng sợi Phương pháp lệch α (Exact) 8x8 10x10 12x12 14x14 [25] (%) 3 4 Độ võng không thứ nguyên w*=1000E2wt /(q0a ) tại tâm tấm MITC3 3,3151 3,4289 3,4894 3,5269 –2,84 45 NS – DSG3 3,9892 3,7787 3,8916 3,7368 3,63 2,94 NS – MITC3 3,8699 3,7292 3,7901 3,7064 2,10 [00/900/00] MITC3 5,1106 5,2385 5,3058 5,3467 –2,17 60 NS – DSG3 5,7465 5,5292 5,659 5,5029 5,4654 0,69 NS – MITC3 5,667 5,5385 5,5751 5,5112 0,84 MITC3 3,3187 3,4312 3,4909 3,5278 –2,82 [450/–450/450] 45 3,6301 NS – DSG3 4,0001 3,7744 3,9071 3,7336 2,85 17
18. NS – MITC3 3,882 3,7258 3,801 3,7039 2,03 MITC3 5,553 5,6491 5,7023 5,7361 –0,94 60 NS – DSG3 6,6025 6,1929 6,3607 6,081 5,7904 5,02 NS – MITC3 6,2005 5,9658 6,0852 5,9507 2,77 (a) (b) (c) (d) Hình 5.20: Độ võng tấm xiên composite trực hướng xiên góc, biên tựa đơn 4 cạnh: (a) [00/900/00], α = 450; (b) [00/900/00], α = 600; (c) [450/ – 450/450], α = 450; (d) [450/ – 450/450], α = 600 6. Kết luận pháp NS – MITC3 cho kết quả hội tụ nhanh, Từ những kết quả nghiên cứu ở trên có thể chính xác hơn các phương pháp phần tử hữu hạn rút ra một số kết luận cho nghiên cứu này như thông thường như MITC3, DSG3 và phương sau: pháp phần tử hữu hạn trơn NS – DSG3. - Luận văn đã sử dụng lý thuyết biến dạng - Nghiên cứu cũng cho thấy, phương pháp cắt bậc nhất, kết hợp kỹ thuật khử “khóa cắt” NS – MITC3 cho kết quả tốt đối với các loại MITC3 và kỹ thuật làm trơn NS để phân tích tấm khác nhau như tấm hình chữ nhật, tấm xiên, tĩnh kết cấu tấm đồng nhất đẳng hướng và tấm tấm tròn có các điều kiện biên khác nhau như composite nhiều lớp cho kết quả khá sát với lời ngàm, tựa đơn. Phương pháp này cũng cho kết giải chính xác và các phương pháp phần tử hữu quả tốt đối với cả tấm mỏng và tấm dày, tấm hạn khác. Kết quả phân tích cho thấy phương 18
19. composite nhiều lớp có hướng sợi khác nhau đối shell element: theoretical and numerical xứng hoặc không đối xứng. investigation. Comput Methods Appl Mech Eng - Kết quả phân tích tấm đồng nhất đẳng 2000;182:217 – 45. hướng hoàn toàn trùng khớp với tấm composite [12] Bernadou M, Eiroa PM, Trouve P. On nhiều lớp khi số lớp bằng một. Kết quả nghiên the convergence of a discrete Kirchhoff triangle cứu trên đây là khá sát với các nghiên cứu của method valid for shells of arbitrary shape. các tác giả trước đó nên đảm bảo độ tin cậy và Comput Methods Appl Mech Eng 1994; 118:373 chính xác. – 91. - Vì thời gian có hạn nên luận văn này mới [13] Sze KY, Zhu D. A quadratic assumed chỉ tập trung phân tích tĩnh kết cấu tấm natural strain curved triangular shell element. composite nhiều lớp. Những nghiên cứu tiếp Comput Methods Appl Mech Eng 1999;174:57 – theo sẽ sử dụng phương pháp NS – MITC3 phân 71. tích dao động, ổn định cho kết cấu tấm. [14] Kim JH, Kim YH. Three – node macro - Phương pháp trên sử dụng lưới phần tử triangular shell element based on the assumed tam giác ba nút, cho kết quả tốt đối với các tấm natural strains. Comput Mech 2002;29:441 – 58. có hình dạng khác nhau, có chiều dày khác nhau [15] Phill – Seung Lee, Klaus – Jurgen nên có thể phát triển cho trường hợp tấm có hình Bathe. Development of MITC isotropic dạng phức tạp hoặc vỏ. triangular shell finite elements. Computers and Structures 82 (2004) 945 – 962. Tài liệu tham khảo [16] Hyeong – Min Jeon, Phill – Seung [1] Dvorkin EN, Bathe KJ. A continuum Lee, Klaus – Jürgen Bathe. The MITC3 shell mechanics based four – node shell elementfor finite element enriched by interpolation covers. general nonlinear analysis. Eng Comput 1984; Computers and Structures 134 (2014) 128 – 1:77 – 88. 142. [2] Bathe KJ, Dvorkin EN. A formulation [17] Hyeong – Min Jeon, Youngyu Lee, of general shell elements – the use of mixed Phill – Seung Lee, Klaus – Jürgen Bathe. The interpolation of tensorial components. Int J MITC3+ shell element in geometric nonlinear Numer Methods Eng 1986;22:697 – 722. analysis. Computers and Structures 146 (2015) [3] Bathe KJ, Brezzi F, Cho SW. The 91 – 104. MITC7 and MITC9 plate bending elements. [18] G. R. Liu, K. Y. Dai, T.T. Nguyen. A Comput Struct 1989;32:797 – 814. smoothed finite element method for mechanics [4] Bucalem ML, Bathe KJ. Higher – problems. Computational Mechanics, pp. 859 – order MITC general shell elements. Int J Numer 877, 2007. Methods Eng 1993;36:3729 – 54. [19] N. Nguyen – Thanh, Timon [5] Bucalem ML, Nobrega SHS. A mixed Rabczuk.A smoothed finite element method for formulation for general triangular isoparametric shell analysis. Computer Methods in Applied shell elements based on the degenerated solid Mechanics and Engineering, Vol. 198, pp. 165 – approach. Comput Struct 2000;78:35 – 44. 177, 2008. [6] Bathe KJ, Iosilevich A, Chapelle D. [20] Nguyen – Thoi T, Liu GR, Nguyen – An inf – sup test for shell finite elements. Xuan H. Additional properties of the node – Comput Struct 2000;75:439 – 56. based smoothed finite element method (NS – [7] Bathe KJ, Iosilevich A, Chapelle D. FEM) for solid mechanics problems. An evaluation of the MITC shell elements. International Journal of Computational Comput Struct 2000;75:1 – 30. Methods, 6(4): 633 – 666, 2009. [8] [13] Bathe KJ. The inf – sup condition [21] G. R. Liu, T. Nguyen – Thoi, H. and its evaluation for mixed finite element Nguyen – Xuan, K.Y. Lam. A node – based methods. Comput Struct 2001;79:243 – 52, 971. smoothed finite element method (NS – FEM) for [9] Hiller JF, Bathe KJ. Measuring upper bound solution to solid mechanics convergence of mixed finite element problems. Computers and Structures, pp. 14 – discretizations: an application to shell structures. 26, 2009. Comput Struct 2003;81:639 – 54. [22] H. Nguyen – Xuan, T. Rabczuk, N. [10] Bletzinger KU, Bischoff M, Ramm E. Nguyen – Thanh, T. Nguyen – Thoi, S. Bordas. A unified approach for shear – locking – free A node – based smoothed finite element method triangular and rectangular shell finite elements. with stabilized discrete shear gap technique for Comput Struct 2000;75:321 – 34. analysis of Mindlin – Reissner plates. Comput [11] Argyris JH, Papadrakakis M, Mech (2010) 46:679 – 701. Apostolopoulou C, Koutsourelakis S. The TRIC 19
20. [23] H. Nguyen – Xuan, G.R. Liu, C. Thai phương pháp phần tử hữu hạn trơn trên cạnh – Hoang, T. Nguyen – Thoi. An edge – based (ES – FEM). Luận văn thạc sĩ, Đại học Bách smoothed finite element method (ES – FEM) khoa Tp. Hồ Chí Minh, 2/2012. with stabilized discrete shear gap technique for [30] Nguyễn Quốc Huy. Đánh giá độ tin analysis of Reissner – Mindlin plates. Comput. cậy tần số dao động tự do của tấm, vỏ Mindlin Methods Appl. Mech. Engrg. 199 (2010) 471 – bằng phần tử CS – DSG3. Luận văn thạc sĩ, Đại 489. học Bách khoa Tp. Hồ Chí Minh, 9/2012. [24] T. Nguyen – Thoi, P. Phung – Van, H. [31] Phạm Đức Tuấn. Phân tích tấm Nguyen – Xuan and C. Thai – Hoang. A cell – Reissner – Mindlin có dầm Timoshenko gia based smoothed discrete shear gap method using cường bằng phương pháp CS – DSG3. Luận văn triangular elements for static and free vibration thạc sĩ, Đại học Bách khoa Tp. Hồ Chí Minh, analyses of Reissner – Mindlin plates. Int. J. 9/2012. Numer. Meth. Engng (2012). [32] Đỗ Chí Thanh. Phân tích ứng xử phi [25] Hieu Nguyen – Van. Development and tuyến hình học của tấm composite laminate bằng application of assumed strain smoothing finite phần tử hữu hạn CS – MIN3. Luận văn thạc sĩ, element technique for composite plate/shell Đại học Bách khoa Tp. Hồ Chí Minh, 2/2013. structures. Doctor of Philosophy (PhD) thesis, [33] Taylor RL, Auricchio F. Linked Faculty of Engineering and Surveying, interpolation for Reissner–Mindlin plate University of Southern Queensland, 2009. element. Part II – a simple triangle. [26] Chien H. Thai, Loc V. Tran, Dung T. International Journal for Numerical Methods in Tran, T. Nguyen – Thoi, H. Nguyen – Xuan. Engineering 1993; 36:3057–3066. Analysis of laminated composite plates using [34] Morley LSD. Skew plates and higher – order shear deformation plate theory structures. Pergamon Press: Oxford, 1963. and node – based smoothed discrete shear gap [35] Ayad R, Dhatt G, Batoz JL. A new method. Applied Mathematical Modelling 36 hybrid-mixed variational approach for Reissner– (2012) 5657 – 5677. Mindlin plates. The MiSP Model. International [27] J. N. Reddy. Mechanics of Laminated Journal for Numerical Methods in Engineering Composite Plates and Shells Theory and 1998; 42:1149–1179. Analysis. CRC Press, Second Edition, 2003. [36] Ayad R, Rigolot A. An improved four- [28] G.R. Liu, Nguyen Thoi Trung. node hybrid-mixed element based upon Smoothed Finite Element Methods. CRC Press, Mindlin’s plate theory. International Journal for NewYork 2010. Numerical Methods in Engineering 2002; [29] Ông Kim Sang. Phân tích độ tin cậy 55:705–731. của tấm vật liệu có tính chất cơ lý biến đổi dùng Tp. Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 5 năm 2016 Hướng dẫn khoa học Tác giả TS. Châu Đình Thành Nguyễn Văn Dũng 20
21. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2017-2018 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.