Phân tích kết cấu tấm bằng phần tử biến dạng trơn ES-MITC3

Nội dung text: Phân tích kết cấu tấm bằng phần tử biến dạng trơn ES-MITC3

1. PHÂN TÍCH K ẾT C ẤU T ẤM BẰNG PH ẦN T Ử BI ẾN D ẠNG TR ƠN ES-MITC3 Nguy ễn Duy Quang 1,* 1 Cơng ty Posco E&C Vi ệt Nam Khu cơng nghi ệp Nh ơn Tr ạch 1, t ỉnh Đồ ng Nai, Vi ệt Nam Tĩm t ắt Trong lu ận v ăn này, k ỹ thu ật làm tr ơn trên c ạnh được phát tri ển cho ph ần t ử MITC3, để tạo nên m ột ph ần t ử mới được g ọi là ph ần t ử ES-MITC3. Ph ần t ử ES-MITC3 này được dùng để phân tích t ĩnh cho tấm đồng nh ất và đẳng h ướng. Do s ử dụng k ỹ thu ật ES-MITC3 để kh ử shear locking cho nên ph ần t ử này cĩ th ể được dùng để gi ải quy ết cho các bài tốn t ấm dày và tấm m ỏng. Ph ần t ử ES-MITC3 tuy cùng s ử dụng lý thuy ết c ắt b ậc nh ất nh ưng do cĩ kết h ợp v ới k ỹ thu ật MITC3 làm tr ơn trên c ạnh nên k ết qu ả của ph ần t ử ES-MITC3 v ẫn t ốt h ơn so v ới ph ần t ử MITC3 thơng th ường. Ưu điểm c ủa ph ần t ử ES-MITC3 là đơn giản và hi ệu qu ả. Vì với b ất kì lo ại t ấm nào thì ta c ũng cĩ th ể rời r ạc thành các ph ần t ử tam giác 3 nút, sau đĩ sử dụng 3 b ậc t ự do c ủa m ỗi nút c ủa các ph ần t ử tam giác này để phân tích t ĩnh cho t ấm mà khơng c ần ph ải thêm b ất c ứ bậc t ự do nào c ả. Ph ần t ử ES-MITC3 này được đem ra dùng để tính tốn cho m ột s ố bài tốn t ấm điển hình nh ằm đánh giá mức độ hội t ụ và kh ử shear locking. H ầu h ết qua các k ết qu ả ví dụ số minh h ọa đạt được, ta th ấy ph ần t ử ES-MITC3 t ỏ ra r ất t ốt cho vi ệc phân tích t ĩnh cho c ả tấm m ỏng và tấm dày. Từ khĩa: ES-MITC3, lý thuy ết bi ến d ạng c ắt b ậc nh ất. bài tốn ph ức t ạp. M ột trong các ph ươ ng pháp s ố để phân 1. Gi ới thi ệu.1 tích t ấm đĩ là ph ươ ng pháp ph ần t ử h ữu h ạn (FEM). Kết c ấu t ấm là m ột trong nh ững k ết c ấu ph ổ bi ến trong t ự Để tính tốn t ấm m ỏng, ta dùng lý thuy ết t ấm c ổ điển (lý nhiên. Ngồi ra, cịn cĩ vơ s ố k ết c ấu t ấm do chính con thuy ết Kirchhoff-Love) [1]. Khi s ử d ụng lý thuy ết t ấm bi ến ng ười t ạo ra. Do cĩ đặ c tr ưng m ỏng, nh ẹ, kh ả n ăng ch ịu dạng c ắt b ậc nh ất phân tích t ấm dày [2], th ường x ảy ra hi ện uốn, vượt nh ịp l ớn, nên t ấm đã được ứng d ụng r ất nhi ều tượng “khĩa c ắt” (shear locking) làm k ết qu ả thi ếu chính vào các l ĩnh v ực xây d ựng (sàn, t ường, tơn, vách), c ơ khí xác v ới th ực nghi ệm. Hi ện nay, cĩ nhi ều k ỹ thu ật kh ử hi ện (t ấm cách nhi ệt, tua bin, lị ph ản ứng), hàng khơng (thân v ỏ tượng “khĩa c ắt” nh ư DSG, MIN, MITC, ES-DSG, NS- máy bay), DSG, CS-DSG . Khi tính tốn t ấm theo ph ươ ng pháp gi ải tích thì ch ỉ phù Do đĩ, lu ận v ăn này trình bày m ột ph ươ ng pháp để thi ết hợp v ới các d ạng t ấm cĩ điều ki ện biên đơ n gi ản. Th ực t ế, lập ph ần t ử t ấm 3 nút cĩ s ử d ụng k ỹ thu ật MITC3 để kh ử ng ười ta th ường s ử d ụng ph ươ ng pháp s ố để gi ải quy ết các “khĩa c ắt” (shear locking) và làm tr ơn d ựa trên c ạnh biên (ES-MITC3). * Tác gi ả: Điện tho ại: (+84) 937 240 882 Email: duyquang2020@gmail.com 1
2. 2. Cơ s ở lý thuy ết. σ=E () ε + υε  x−υ 2 x y 2.1. Gi ả thuyết:  1 σ=E υε + ε y() x y Là lý thuy ết cho t ấm dày ch ịu u ốn,  1−υ 2 (2.3) σ =  Z 0 Lý thuy ết: đoạn th ẳng vuơng gĩc v ới m ặt trung bình c ủa  τ= E γ tấm sau khi bi ến d ạng s ẽ chuy ển v ị võng xu ống m ột đoạn xy xy  2(1+υ )  w(x, y) và gĩc xoay βx, βy. τ= E γ  xz2(1+υ ) xz 2.2. Tr ường chuy ển v ị:  τ= E γ yz yz x,u  2(1+υ ) β y z,w F Khi đĩ, tr ường ứng su ất (2.3) cĩ th ể được vi ết l ại d ưới E B H dạng ma tr ận: h/2 F' A G w h/2 Z D E Ứng su ất do bi ến d ạng u ốn: β x C w E'   A y,v B' w v σ   υ  x 1 0 (2.4) D H' H   E   A' G' σ= υ κκκ y  z 2 1 0  u D' 1−υ D −∂     C' γ w τ1− υ yz ∂y xy  0 0  β 2  γ −∂ w xz y ∂ x β Trong đĩ κ là vect ơ bi ến d ạng u ốn, được xác đị nh b ởi: x ∂β  Hình 2.1: Tr ường chuy ển v ị trong t ấm. x  ∂x  (2.5)  ∂β  u(x, y,z)= z βx (x, y) κκκ = y  (2.1)   ∂y  v(x,y,z)= z βy (x, y)  ∂β ∂β  w(x,y,z)= w(x,y) x + y  ∂y ∂ x  2.3. Tr ường bi ến d ạng: Ứng su ất do bi ến d ạng c ắt:  ∂u ∂β ε = = x τ  x z   ∂x ∂ x xz = E γγγ (2.6)  τ  +υ  ∂v ∂β yz  2(1 ) ε = = z y  y ∂y ∂ y  Với γ là vect ơ bi ến d ạng c ắt, được xác đị nh nh ư sau: ε = 0 (2.2)  z ∂w   ∂u ∂ v ∂β ∂β  + β γ =+=x + y ∂ x   xy z   x (2.7) ∂∂yx ∂ x ∂ y  γγ==γ =    ∂w   ∂ ∂ ∂ + β γ=u +w = β + w ∂ y   xz x y   ∂z ∂ x ∂ x  ∂ ∂ ∂ γ=v +w = β + w 2.5. N ội l ực:  yz y  ∂z ∂ y ∂ y x M 2.4. Tr ường ứng su ất: x Mxy x Myx M τ y Q xz x τ xy y Q σ y x τ τ σ y yz yx y Hình 2.3: Các thành ph ần nội l ực của t ấm Hình 2.2: Các thành ph ần ứng su ất c ủa t ấm 2
3. Moment: 3. Cơng th ức ph ần t ử h ữu h ạn t ấm bi ến d ạng c ắt b ậc nh ất.  h/2 M= zdAσ = z σ .1. dz  x∫ x ∫ x 3.1. X ấp x ỉ tr ường chuy ển v ị:  A− h /2 (2.8)  h/2 w =σ = σ 2 My∫ zdA y ∫ z y .1. dz  A− h /2 θ y2  h/2 M= zτ dA = z τ .1. dz 3 xy∫ xy ∫ xy 2 θ  A− h /2 x2 w mặt trung bình tấm 2 1 (z = 0) Th ế ma tr ận ứng su ất do bi ến d ạng u ốn (2.4) vào tr ường β h y x moment (2.8), ta cĩ ma tr ận moment: x β y   υ M x 1 0  Hình 3.1: Ph ần t ử tam giác 3 nút.     (2.9) M  = D υ 1 0 κκκ y    3   0 0 1 −υ  w= N w M xy     ∑ i i  i=1  3 β= θ (3.1)  x∑ N i yi Với D là độ c ứng tr ụ c ủa t ấm, đặ c tr ưng v ề hình h ọc và v ật  i=1  3 li ệu c ủa t ấm khi ch ịu u ốn: β= − θ  y∑ N ixi  = Eh 3 i 1 D = (2.10) 12(1−υ 2 ) Trong đĩ: N là các hàm d ạng: =−−ξη = ξ = η (3.2) i N11 ; N 2 ; N 3 Lực c ắt: 3.2. Cơng th ức ph ần t ử h ữu h ạn cho t ấm Reissner-Mindlin:  h/2 Cơng th ức (3.1) bi ểu di ễn d ưới d ạng ma tr ận: =τ = τ Qx∫ xz dA ∫ xz .1. dz  A− h /2 (2.11) wN 0 0   w  3 i h/2    (3.3)  β= 0 0 N θ Q=τ dA = τ .1. dz x∑  i   x  y∫ yz ∫ yz i=1  A− h /2 β0−N 0   θ y i   y i Ni Thế ma tr ận ứng su ất do bi ến d ạng c ắt (2.6) vào tr ường lực Từ tr ường ứng su ất (2.5), (2.7) vect ơ bi ến d ạng u ốn, vect ơ cắt (2.11), ta cĩ ma tr ận l ực cắt: bi ến d ạng c ắt được vi ết l ại d ưới d ạng ma tr ận:   ∂β    Qx  1 0  x ∂N   = µGh   γγγ (2.12)   0 0 i  ∂x ∂x (3.4) Qy  0 1      w  ∂β  3 ∂N    κκκ =y = − i θ   ∑ 0 0  x  ∂y= ∂ y   i 1   θ  ∂β ∂β   ∂N ∂ N  y  i Trong đĩ: = E : mơ đun đàn h ồi tr ượt x + y  0 − i i  G ∂ ∂  ∂x ∂ y 2(1+υ ) y x    Bbi Do các ứng su ất ti ếp τxz , τyz là một d ạng hàm khơng ph ải ∂w  ∂N  bậc nh ất, khi quy ứng su ất này sang d ạng b ậc nh ất thì ta + β i 0 N w  ∂x  3  ∂ i    (3.5) γγγ =x  =  x  θ ph ải hi ệu ch ỉnh l ại theo m ột h ệ s ố. Trong bài báo này ta ∂w ∑ ∂ N x  + β  i=1 i −  yN i 0 θ  ∂y   ∂ y  y  i ch ọn hệ s ố hi ệu ch ỉnh c ắt là µ = 5 .     6 Si 3
4. Hệ ph ươ ng trình r ời r ạc c ủa t ấm Reissner–Mindlin cĩ s ử Nh ưng th ực t ế, khi t ấm tr ở nên m ỏng d ần thì γ sẽ d ần tr ở dụng ph ần t ử h ữu h ạn cho phân tích t ĩnh là: thành 0. Ku = F Vì v ậy, t ấm s ẽ b ị “khĩa c ắt” (shear locking), hi ện t ượng Khi đĩ độ c ứng ph ần t ử: này đã được nhi ều bài báo nghiên c ứu khoa h ọc đề xu ất ra =T + T (3.6) các ph ươ ng pháp gi ải quy ết khác nhau. Trong lu ận v ăn ke∫ BCB bbbdA ∫ SCS s dA Ae A e này, tác gi ả th ực hi ện ph ươ ng pháp gi ải là s ử d ụng ph ần t ử ES-MITC3 để gi ải quy ết hi ện t ượng “khĩa c ắt” c ủa t ấm. α n d si Để kh ử hi ện tượng khĩa c ắt, theo Phill-Seung Lee [23], ma 3 1 = (x ,y ) h 3 3 3 tr ận S trong (3.6) được vi ết: MITC3  c 2 Sγ SMITC3 = xz  (3.12) α (x ,y ) MITC3 2 2 b S  1 γyz  (x ,y ) a 1 1 Với: 1 (bc−+ )(b c) ( dabc −+ )( ) bccbcacd ( + ) bcb bda  Hình 3.3: Tọa độ đị a ph ươ ng ph ần t ử 3 nút SMITC3 =−(bc ) A + c −+ −+−−+−++() bcbbc () () bc γxz  e  2Ae  6 6 22326 26 26  Trong đĩ, (3.13) Bb: là ma tr ận quan h ệ gi ữa bi ến d ạng u ốn và chuy ển v ị, 1 (bcad−+ )( ) ( dad −+ )(a ) bdc add acb ada  SMITC3 =(daA −−− ) − −−+−++ dd (a ) (a da ) −++ (a d ) −+ (a d ) γyz 2A  e 6 6 26 26 2626  được vi ết l ại e (3.14) 0bc− 00 c 00 − b 0  =1  − −  (3.7) 3.4. Cơng th ức ph ần t ử ES-MITC3 : Bb 00da 00 d 00 a  2A A e −−− −  (k) 0dabc 0 dc 0 ab  Γ (đường biên phia trong k (CD) ) H (biên phần tử m (AB) I D C (k) Với: Γ (các đường biên: CH, HD, DO, OC) Γ (m) (các đường biên: AB, BI, IA) O Ω (k) =− =− =− =− Ω(m) (miền 4 nút CHDO) ax xby; ycy ; ydx ; x (3.8) phần tử tam giác ABI 21 21 31 31 B nút phần tử nút trọng tâm phần tử (ví dụ: I, O, H) e A : di ện tích c ủa ph ần t ử tam giác Hình 3.4: Phân chia t ấm thành các mi ền ph ần t ử tam giác   1υ 0  Trong k ỹ thu ật này, khi tính ma tr ận độ c ứng ph ần t ử Ke, 3   : độ c ứng u ốn (3.9) = Eh υ Cb 1 0  chúng ta s ẽ k ể đế n k ỹ thu ật làm tr ơn d ựa trên c ạnh biên, 12(1−υ 2 ) 1−υ  0 0  mi ền làm tr ơn được xây d ựng d ựa trên biên c ủa các ph ần 2  tử: Eh µ 1 0  : độ c ứng c ắt (3.10) C = Ned() k () i () j s   Ω= Ω Ω Ω= ≠ (3.15) 2(1+υ ) 0 1  ∪k=1 , ∩ 0 , (i j ) 3.3. K ĩ thu ật MITC3: Với Ned là t ổng s ố biên c ủa các ph ần t ử trong mi ền tính S là ma tr ận quan h ệ gi ữa bi ến d ạng c ắt và chuy ển v ị, tốn. (k) nh ưng v ới cách x ấp x ỉ ( w; βx; βy) c ủa ph ươ ng trình (3.1), Trong ph ần t ử tam giác, mi ền làm m ịn Ω quanh biên k khi t ấm tr ở nên m ỏng d ần thì S sẽ b ị “khĩa c ắt”: được t ạo b ằng cách n ối 2 điểm mút c ủa biên và các tr ọng ∂w ∂ w  là m ột h ằng s ố và (β ; β ) là các hàm s ố b ậc nh ất tâm c ủa các ph ần t ử k ế bên nĩ nh ư Hình 3.4. ;  x y ∂x ∂ y  ∂ w + β  nên ∂ x  là m ột h ằng s ố, và γ sẽ khác 0. γγγ = x  ∂ w + β  y ∂y  4
5. Xét trên mi ền cong trung bình, bi ến d ạng c ắt c ủa vùng làm 4. Ví d ụ số. (k) mịn Ω được xác đị nh b ởi: 4.1. Bài tốn ki ểm tra: 1 D (0.2;0.12) C (0.44;0.12) κκκɶ =κ (x ) d Ω k (k ) ∫ (3.16) A Ω(k ) E (0.3;0.6) 1 γγγɶ =γ (x ) d Ω k (k ) ∫ A Ω(k ) A (0.2;0) B (0.44;0) (k) (k) Trong đĩ A là di ện tích vùng làm m ịn Ω và được tính Hình 4.1: Ví d ụ s ố ki ểm tra theo: Bảng 4.1. Bài tốn ki ểm tra k 1 Ne (k ) = Ω = (3.17) Ph ần t ử ωE θxE θyE mxE myE mxyE A∫ d∑ A i Ω(k ) 3 i=1 ES-DSG3 0.6422 1.1300 -0.6400 -0.0111 -0.0111 -0.0033 MITC4 0.6422 1.1300 -0.6400 -0.0111 -0.0111 -0.0033 N k là s ố l ượng ph ần t ử đính kèm v ới biên k (N k = 1 cho e e MITC3 0.6422 1.1300 -0.6400 -0.0111 -0.0111 -0.0033 k ES-MITC3 0.6422 1.1300 -0.6400 -0.0111 -0.0111 -0.0033 cạnh biên t ấm, và Ne =2 cho biên trong t ấm) nh ư Hình 3.4. Lời gi ải chính xác 0.6422 1.1300 -0.6400 -0.0111 -0.0111 -0.0033 A là di ện tích c ủa ph ần t ử th ứ i tươ ng ứng v ới biên th ứ k. i Dựa vào Bảng 4.1 , ta th ấy ph ần t ử ES-MITC3 c ũng cho ra Khi đĩ bi ến d ạng trung bình ở biên k cĩ th ể được bi ểu di ễn kết qu ả chính xác gi ống nh ư các ph ần t ử ES-DSG3, dưới d ạng sau: MITC4, MITC3. k Nn κκκɶ = Bɶ b (x ) d 4.2 T ấm hình vuơng ngàm 4 c ạnh ch ịu t ải phân b ố đề u: k ∑ I k I (3.18) i=1 k Xét ví d ụ s ố cho t ấm vuơng ngàm, ch ịu t ải phân b ố đề u Nn γγγɶ = Sɶ MITC3 (x ) d k ∑ I k I i=1 nh ư Hình 4.2 , v ới các điều ki ện s ử d ụng: t ấm vuơng c ạnh Với: L, chi ều dày t, t ấm ngàm 4 c ạnh, chịu t ải tr ọng phân b ố đề u k Nn là t ổng s ố nút c ủa các ph ần t ử k ết n ối tr ực ti ếp t ới biên q = 1, cĩ h ằng s ố v ật li ệu: module đàn h ồi E = 1092000, h ệ k k k (Nn = 3 cho c ạnh biên c ủa t ấm, Nn = 4 cho c ạnh n ằm phía số Poisson ν = 0.3. trong c ủa t ấm nh ư Hình 3.4 ) y (k) ɶ b ɶ MITC3 ậ ươ ứ ị Ω q=1 BI(x k ), S I ( x k ) là các ma tr n ngã t ng ng ơ m n được cho b ởi: x k 1Ne 1 Bɶ b(x ) = A B b Hình 4.2: Mơ hình t ấm vuơng ngàm 4 c ạnh Ik(k ) ∑ i i (3.19) A i=1 3 k Ne ɶ MITC3= 1 1 MITC3 SI(xk ) (k ) ∑ A i S I A i=1 3 4x4 8x8 10x10 12x12 16x16 a) b) c) d) e) ɶ b ɶ MITC3 lần l ượt là các ma tr ận (3x3), (2x3): BI(x k ), S I ( x k ) Hình 4.3: a), b), c), d), e) Các cách chia l ưới 4x4, 8x8, Do đĩ: 10x10, 12x12, 16x16 c ủa t ấm vuơng thành các ph ần t ử tam Ned (k ) : độ c ứng t ổng th ể c ủa ph ần t ử (3.20) Kɶ= ∑ K ɶ giác – Lưới trái. k=1 Trong đĩ: Kɶ (k ) : độ c ứng c ạnh (3.21) 4x4 8x8 10x10 12x12 16x16 a) b) c) d) e) Khi đĩ ma tr ận độ c ứng của ph ần t ử ES: Hình 4.4: a), b), c), d), e) Các cách chia l ưới 4x4, 8x8, T T kɶ=( BCB ɶ) ɶ dA + ( SɶMITC3) CS ɶ MITC3 dA kbbb∫ ∫ s (3.22) 10x10, 12x12, 16x16 c ủa t ấm vuơng thành các ph ần t ử tam Ae A e T T =ɶ ɶ ()k + ɶMITC3 ɶ MITC3 ()k giác – Lưới ph ải. ()BCBbbbA() S CS s A 5
6. 4x4 8x8 10x10 12x12 16x16 a) b) c) d) e) Hình 4.5: a), b), c), d), e) Các cách chia l ưới 4x4, 8x8, 10x10, 12x12, 16x16 c ủa t ấm vuơng thành các ph ần t ử tam giác – Lưới méo. Hình 4.10: Kết qu ả h ội t ụ chu ẩn hĩa moment t ại tâm t ấm dày vuơng ngàm, với t/L = 0.1. 2x2 4x4 5x5 6x6 8x8 a) b) c) d) e) Tĩm l ại, đố i v ới t ấm vuơng ngàm ch ịu t ải phân b ố đề u, Hình 4.6: a), b), c), d), e) Các cách chia l ưới 2x2, 4x4, nhìn chung thì ph ần t ử ES-MITC3 cho ta giá tr ị độ võng và 5x5, 6x6, 8x8 c ủa t ấm vuơng thành các ph ần t ử tam giác – moment là khá t ốt, t ốt h ơn h ẳn các ph ần t ử MITC4, Lưới ¼ t ấm. MITC3, ES-DSG3. Vi ệc chia l ưới trong ph ần t ử ES- MITC3 c ủng ảnh h ưởng đế n độ chính xác c ủa k ết qu ả, trong đĩ giá tr ị thu được t ừ vi ệc ph ần t ử ES-MITC3 chia ki ểu l ưới trái và l ưới ph ải là gi ống nhau. Ph ần t ử ES- MITC3 ki ểu l ưới ¼ t ấm cho ra giá tr ị moment t ốt h ơn giá tr ị độ võng đem l ại. Hình 4.7: Kết qu ả hội t ụ chu ẩn hĩa độ võng tại tâm t ấm Bây gi ờ ta ch ỉ xét đế n 2 ki ểu l ưới méo c ủa t ấm vuơng mỏng vuơng ngàm, với t/L = 0.001. ngàm, cho 2 ph ần t ử MITC3 và ES-MITC3, nh ằm áp d ụng để tìm hi ểu hi ện t ượng kh ử “khĩa c ắt” c ủa t ấm. Hình 4.8: Kết qu ả h ội t ụ chu ẩn hĩa độ võng t ại tâm t ấm dày vuơng ngàm, với t/L = 0.1 Hình 4.11: Kết qu ả h ội t ụ chu ẩn hĩa độ võng t ại tâm t ấm mỏng vuơng ngàm, với t/L = 0.001, xét cho ki ểu l ưới méo. Hình 4.9: Kết qu ả h ội t ụ chu ẩn hĩa moment t ại tâm t ấm mỏng vuơng ngàm, với t/L = 0.001 Hình 4.12: Kết qu ả h ội t ụ chu ẩn hĩa độ võng t ại tâm t ấm dày vuơng ngàm, với t/L = 0.1 , xét cho ki ểu lưới méo. 6
7. Hình 4.13: Kết qu ả h ội t ụ chu ẩn hĩa moment t ại tâm t ấm Hình 4.17: Kết qu ả h ội t ụ chu ẩn hĩa độ võng t ại tâm t ấm dày vuơng t ựa đơn, với t/L = 0.1. mỏng vuơng ngàm, với t/L = 0.001, xét cho ki ểu l ưới méo. Hình 4.18: Kết qu ả h ội t ụ chu ẩn hĩa moment t ại tâm t ấm Hình 4.14: Kết qu ả h ội t ụ chu ẩn hĩa moment t ại tâm t ấm mỏng vuơng t ựa đơn, với t/L = 0.001. dày vuơng ngàm, với t/L = 0.1, xét cho ki ểu l ưới méo. Từ các hình v ẽ Hình 4.11 – 4.14 , ta th ấy ph ần t ử ES- MITC3 kh ử được hi ện t ượng “khĩa c ắt” t ốt h ơn ph ần t ử MITC3. 4.3 T ấm hình vuơng t ựa đơn 4 c ạnh ch ịu t ải phân b ố đề u: Xét ví d ụ s ố t ấm vuơng t ựa đơn ch ịu t ải phân b ố đề u, t ấm Hình 4.19: Kết qu ả hội t ụ chu ẩn hĩa moment t ại tâm t ấm được mơ hình nh ư Hình 4.15 , v ới các điều ki ện s ử d ụng: dày vuơng t ựa đơn, với t/L = 0.1. tấm vuơng c ạnh L, chi ều dày t, t ấm t ựa đơn 4 c ạnh. Ch ịu Tĩm l ại, xét ph ần t ử ES-MITC3 cho tấm t ựa đơn, nhìn tải tr ọng phân b ố đề u q = 1, các h ằng s ố v ật li ệu module chung: Khi xét cho độ võng, thì ph ần t ử ES-MITC3 kém đàn h ồi E = 1092000 và h ệ s ố Poisson ν = 0.3. hơn ph ần t ử MITC4 nh ưng v ẫn t ốt h ơn các ph ần t ử cịn l ại. y Cịn khi xét cho giá tr ị moment, thì ph ần t ử ES-MITC3 tốt q=1 hơn các ph ần t ử MITC3, MITC4, ES-DSG3. V ề cách chia lưới trong ph ần t ử ES-MITC3, thì c ả 2 ph ần t ử ES-MITC3 x ki ểu l ưới trái và ph ần t ử ES-MITC3 ki ểu l ưới ph ải cùng Hình 4.15: Mơ hình t ấm vuơng t ựa đơn 4 c ạnh cho ra k ết qu ả gi ống nhau. Ph ần t ử ES-MITC3 ki ểu l ưới ¼ tấm, xét cho độ võng, ở l ưới thơ thì ch ỉ kém h ơn ph ần t ử MITC4, nh ưng ở ki ểu l ưới m ịn thì v ẫn t ốt h ơn ph ần t ử MITC4, MITC3, ES-DSG3. Ngồi ra ph ần t ử ES-MITC3 ki ểu l ưới ¼ t ấm này cho k ết qu ả moment khá t ốt, g ần v ới lời gi ải chính xác h ơn các ph ần t ử MITC3, MITC4, ES- DSG3. Hình 4.16: Kết qu ả h ội t ụ chu ẩn hĩa độ võng tại tâm t ấm mỏng vuơng t ựa đơn, với t/L = 0.001. 7
8. Mặt khác, khi ta ch ỉ xét đế n 2 ki ểu l ưới méo c ủa 2 ph ần t ử Qua các hình v ẽ trên Hình 4.20 – 4.23 , ta v ẫn th ấy ph ần t ử MITC3 và ES-MITC3 áp d ụng để nghiên c ứu hi ện t ượng ES-MITC3 v ẫn kh ử được hi ện t ượng “khĩa c ắt” t ốt h ơn kh ử “khĩa c ắt” cho t ấm: ph ần t ử MITC3. 5. K ết lu ận. Lu ận v ăn này đã phát tri ển t ừ kỹ thu ật MITC3 được làm tr ơn d ựa trên c ạnh biên, và qua các ví dụ số điển hình, ta rút ra được m ột vài k ết lu ận: Ph ần t ử ES-MITC3 khi tính tốn ch ỉ sử dụng 3 b ậc t ự do của ph ần t ử tam giác 3 nút, nên ph ươ ng pháp này t ỏ ra đơn gi ản h ơn khi so sánh v ới lo ại ph ần t ử 4 nút, và do ph ần t ử Hình 4.20: Kết qu ả h ội t ụ chu ẩn hĩa độ võng t ại tâm t ấm ES-MITC3 được th ực hi ện làm tr ơn d ựa trên c ạnh biên nên mỏng vuơng t ựa đơn, v ới t/L = 0.001 xét cho ki ểu lưới tỏ ra chính xác h ơn ph ần t ử MITC3 thơng th ường. méo. Khi so v ới các ph ần t ử khác tham gia trong lu ận v ăn thì ph ần t ử ES-MITC3 nhìn chung v ẫn cho ra giá tr ị chính xác hơn các ph ần t ử ES-DSG3, MITC3 và các ph ần t ử khác tham gia trong các bài báo được tham kh ảo trong lu ận v ăn, th ậm chí trong vài tr ường h ợp v ẫn cho k ết qu ả tốt h ơn ph ần t ử MITC4. Qua h ầu h ết các ví dụ số, h ầu nh ư ta th ấy ph ần t ử ES- MITC3 cho ra giá tr ị hội t ụ rất g ần v ới v ới l ời gi ải chính Hình 4.21: Kết qu ả h ội t ụ chu ẩn hĩa độ võng t ại tâm t ấm xác. Do đĩ, ph ần t ử ES-MITC3 r ất cĩ kh ả quang cho phân tích t ĩnh c ủa t ấm Reissner-Mindlin, áp d ụng được cho vi ệc dày vuơng t ựa đơn, với t/L = 0.1 xét cho ki ểu l ưới méo. tính tốn cho c ả tấm m ỏng l ẫn t ấm dày, l ưới thơ lẫn l ưới mịn mà vẫn cho k ết qu ả chính xác h ơn. Tài li ệu tham kh ảo [1] S. B. Dong, K. S. Pister, and R. L. Taylor (1962) "On the theory of laminated anisotrophic plates and shells" Hình 4.22: Kết qu ả h ội t ụ chu ẩn hĩa moment t ại tâm t ấm Journal of Aeronautical Science , 29(8):969–75 mỏng vuơng t ựa đơn, với t/L = 0.001 xét cho ki ểu l ưới [2] E. Reissner (1972) "A consistent treatment of méo. transverse shear deformations in laminated anisotropic plates" American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal AIAAJ , 10(5):716–8 [3] J. N. Reddy (1984) "A simple higher-order theory for laminated composite plates" Journal of Applied Mechanics , 51:745–752 Hình 4.23: Kết qu ả h ội t ụ chu ẩn hĩa moment t ại tâm t ấm dày vuơng t ựa đơn, v ới t/L = 0.1 xét cho ki ểu l ưới méo. 8
9. [4] Arya H., Shimpi R. P., and Naik N. K. (2002) "A [16] Phill-Seung Lee, Klaus-J€urgen Bathe, Development zigzag model for laminated composite beams" Composite of MITC isotropic triangular shell finite elements, Structures ; 56(1):21-24 Computers and Structures 82 (2004) 945–962 [5] J. Mackerle, Finite element linear and nonlinear, static [17] G. R. Liu, T. Nguyen-Thoi, K. Y. Lam, An edge- and dynamic analysis of structural elements: a based smoothed finite element method (ES-FEM) for static bibliography (1999–2002), Engrg Comput 19 (5) (2002) , and dynamic problems of solid mechanics, J Sound Vib 520–594 320 (2008) 1100–1130 [6] A. W. Leissa, Vibration of Plates, NASA, SP-160, [18] P. Phung-Van, Chien H. Thai, T. Nguyen-Thoi, H. Washington DC, 1969 Nguyen-Xuan, Static and free vibration analyses of [7] A. W. Leissa, Plate vibration research: 1981–1985: composite and sandwich plates by an edge-based smoothed classical theory, Shock Vib Dig 19 (1987) 11–18 discrete shear gap method (ES-DSG3) using triangular [8] A. W. Leissa, A review of laminated composite plate elements based on layerwise theory, Composites Part B: buckling, Appl Mech Rev 40 (5) (1987) 575–591 Engineering , Volume 60, April 2014, Pages 227–238 [9] A. W. Leissa, Buckling and postbuckling theory for [19] T. Nguyen-Thoi, T. Bui-Xuan, Phuc Phung-Van, S. laminated composite plates, in: G. J Turvey, I. H. Marshall Nguyen-Hoang, H. Nguyen-Xuan, An edge-based (Eds), Buckling and Postbuckling of Composite Plates , smoothed three-node Mindlin plate element (ES-MIN3) for Chapman & Hall, London, U. K., 1995, pp 1–29 static and free vibration analyses of plates, KSCE Journal [10] K. M. Liew, Y. Xiang, S. Kitipornchai, Research on of Civil Engineering18 (2014) 1072-1082 thick plate vibration: a literature survey, J. Sound Vib 180 [20] Phan-Dao H. H., Nguyen-Xuan H., Thai-Hoang C., (1) (1995) 163–176 Nguyen-Thoi T., Rabczuk T. An edge-based smoothed [11] K. M Liew, J. Wang, T. Y. Ng., M. J. Tan, Free finite element method for analysis of laminated composite vibration and buckling analyses of shear-deformable plates plates, International Journal of Computational Methods 10 based on FSDT meshfree method, J Sound Vib 276 (2004) (2013) 997–1017 [21] Timoshenko & Woinowsky, Theory of Plates and [12] O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. M. Too, Reduced Shells, Mcgraw-Hill College, 2 edition (June 1959) integration technique in general analysis of plates and [22] H. Nguyen-Xuan, G. R. Liu, C. Thai-Hoang, T. shells Simple and efficient element for plate bending, Int J Nguyen-Thoi. An edge-based smoothed finite element Numer Methods Engrg 3 (1971) 275–290 method (ES-FEM) with stabilized discrete shear gap [13] T. J. R. Hughes, R. L. Taylor, W. Kanoknukulchai, technique for analysis of Reissner–Mindlin plates. Simple and efficient element for plate bending, Int J Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Numer Methods Engrg 11 (1977) 1529–1543 199 (2010) 471–489. [14] T. J. R. Hughes, M. Cohen, M. Haroun, Reduced and [23] Development of MITC isotropic triangular shell finite selective integration techniques in finite element method of elements, Phill-Seung Lee, Klaus-Jürgen Bathe, plates, Nucl Engrg Des 46 (1978) 203–222 Computers and Structures 82 (2004) 945–962 [15] D. S. Malkus, T. J. R. Hughes, Mixed finite element [24] H. Nguyen-Xuan, T. Rabczuk, N. Nguyen-Thanh, T. methods-reduced and selective integration techniques: a Nguyen-Thoi, S. Bordas. A node-based smoothed finite unification of concepts, Comput Methods Appl Mech element method with stabilized discrete shear gap Engrg 46 (1978) 203–222 9
10. technique for analysis of Reissner–Mindlin plates. Comput Mech (2010) 46:679–701. [25] Phill-Seung Lee, Klaus-Jurgen Bathe. Development of MITC isotropic triangular shell finite elements. Computers and Structures 82 (2004) 945–962. [26] G. R. Liu, T. Nguyen-Thoi, K. Y. Lam. An edge- based smoothed finite element method (ES-FEM) for static, free and forced vibration analyses of solids. Journal of Sound and Vibration 320 (2009) 1100–1130. [27] T. Nguyen-Thoi, P. Phung-Van, H. Nguyen-Xuan, C. Thai-Hoang. A cell-based smoothed discrete shear gap method using triangular elements for static and free vibration analyses of Reissner–Mindlin plates. International journal for numerical methods in engineering (2012). [28] Chen Wanji and Y. K. Cheung. Refined 9-Dof triangular Mindlin plate elements. International journal for numerical methods in engineering (2001); 51:1259–1281. [29] A. Razzaque. Program for triangular bending elements with derivative smoothing. International Journal for Numerical Methods in Engineering , 6:333–345, 1973. [30] H. Nguyen-Xuan, T. Rabczukb, Stéphane Bordasc, J. F. Debongnied. A smoothed finite element method for plate analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , Volume 197, Issues 13–16, 15 February 2008, Pages 1184–1203. [31] L. S. D. Morley. Skew plates and structures. Pergamon Press: Oxford, 1963. [32] Mohammad Rezaiee-Pajand, Mohammad Karkon, Hybrid stress and analytical function for analysis of thin plates bending, Latin American Jounal of Solids and Structures 11 (2014) 556-579. 10
11. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CƠNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên cĩ xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa cĩ sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CĨ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2017-2018 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.