Phân tích kết cấu tấm bằng phần tử biến dạng trơn CS – MITC3

Nội dung text: Phân tích kết cấu tấm bằng phần tử biến dạng trơn CS – MITC3

1. Phân tích kết cấu tấm bằng phần tử biến dạng trơn CS – MITC3 Võ Ngọc Tuyển 1 1 Công ty TNHH Xây dựng – Thương mại Thuận Việt, Số 71/19 Điện Biên Phủ,Phường 15, Quận Bình Thạnh, Tp. Hồ Chí Minh. Email: ngoctuyentp@gmail.com Tóm tắt Luận văn này sử dụng phương pháp biến dạng trơn trên ô (CS-Fem) kết hợp phần tử MITC3 tạo nên phần tử biến dạng trơn CS-MITC3 để phân tích tấm đồng nhất đẳng hướng. Phần tử CS – MITC3 có thể loại bỏ hiện tượng ―khóa cắt‖ khi bề dày của tấm rất mỏng thông qua phương pháp xấp xỉ lại trường biến dạng cuả phần tử MITC3. Tính khả thi của phần tử CS – MITC3 được đánh giá bằng việc giải quyết một số bài toán tấm đồng nhất đẳng hướng.Bằng các ví dụ tính toán như : Bài toán Patch test, các bài toán tấm đơn giản với các điều kiện biên khác nhau. So với các kết quả tham khảo, tính toán bằng phần tử biến dạng trơn CS – MITC3 cho kết quả tốt, một số trường hợp cho ra kết quả chính xác hơn, kết quả hội tụ tốt hơn so với các kết quả tham khảo. Abstract This thesis use methods in cell strain smooth (CS-FEM) combines elements MITC3 create smooth strain element CS-MITC3 to analyze homogeneous isotropic plate. Element CS-MITC3 can remove the ―shear locking‖ phenomenon when the thickness of the plate is very thin by approximation of the strain fields. The feasibility of elements CS - MITC3 be evaluated by solving a problem of isotropic homogeneous plate. By the examples calculated as: the patch test, some isotropic plates with different boundary conditions Compared to references, the present results calculated by the CS-MITC3 elements show good agreements and faster convergence in some cases. Từ khóa: lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, “khóa cắt”, MITC3. 1. Giới thiệu nay chưa có nghiên cứu nào đề cập đến việc kết hợp khử ―khóa cắt‖ bằng kỹ thuật MITC3 đồng Trong thực tế hiện nay, các kết cấu tấm thời kết hợp làm trơn trên ô(Cell) để phân tích thường chịu biến dạng uốn. Phương pháp tính kết cấu tấm. Tuy nhiên trường chuyển vị tại 3 toán cho bài toán tấm cũng đa dạng nhưng có nút của phần tử MITC3 sau khi phân tích là các phương pháp tính toán chính như: phương hằng số vì vậy việc làm trơn trên ô (CS-FEM) pháp giải tích, phương pháp phần tử hữu hạn cho kết quả không khác nhiều so với chưa làm Phương pháp phần tử hữu hạn phân tích trơn nên ta sử dụng thêm nút trọng tâm của phần tấm có hai lý thuyết cơ bản là: lý thuyết cắt bậc tử để tạo ra hàm xấp xỉ bậc cao hơn , để trường nhất Mindlin- Reissner dùng để phân tích tấm biến dạng không còn là hằng số, từ đó cho ta kết dày, lý thuyết Kirchhoff- Love dùng để phân quả phân tích tốt hơn. tích tấm mỏng. Phương pháp phần tử MITC được Trong quá trình phân tích tấm mỏng nghiên cứu để khử hiện tượng khóa cắt rất hữu dùng lý thuyết cắt bậc nhất Mindlin- Reissner hiệu khi tính toán tấm mỏng sử dụng lý thuyết thường xuất hiện ―khóa cắt‖ (shear locking) khi cắt bậc nhất Mindlin-Reissner, với các nghiên chiều dày tấm rất nhỏ so với kích thước hai cứu ban đầu xây dựng phần tử (MITC) của phương còn lại(tấm mỏng) khi đó năng lượng Phill-Seung Lee, Klaus-Jurgen Bathe [1], và biến dạng đàn hồi do các thành phần biến dạng được Klaus-Jurgen Bathe [2], Marco Gaiotti và cắt sẽ lớn hơn nhiều so với năng lượng biến cộng sự [3] ứng dụng để phân tích các kết cấu dạng đàn hồi do các thành phần uốn gây ra. Hiện tấm đặt biệt. nay có rất nhiều phương pháp đã và đang được Sau đó phần tử MITC được sử dụng nghiên cứu đưa ra để giải quyết hiện tương khóa rộng rải và phát triển thành các dạng mới như: cắt như DSG, MIN, MITC MITC3, MITC4, MITC6, MITC9 cụ thể như: Để cho kết quả chính xác hơn khi sử (MITC4) 4 nút và (MITC8) 8 nút của Dvorkin dùng các phương pháp DSG, MIN, MITC đã và Bathe[4,5] để phân tích tấm vỏ, sau đó được có nhiều nghiên cứu trên thế giới kết hợp một số mở rộng phát triển đên 9 nút (MITC9) và 16 nút phương pháp phần tử hữu hạn trơn (S-FEM) (MITC16) theo nghiên cứu của Bucalem, Bathe, thay thế phương pháp phần tử hữu hạn thông M. Cinefra cùng cộng sự [6, 7, 8] thường để phân tích kết cấu tấm cho kết quả Hiện nay, một số nghiên cứu đã kết hợp chính xác hơn như: ES-DSG, NS-DSG, CS- phần tử MITC với phương pháp làm trơn CS- DSG, ES-MIN3, CS-MIN3 với 3 phương pháp FEM để cho ra kết quả chính xác hơn: Tác giả phần tử hữu hạn trơn (S-FEM) cơ bản: làm trơn J.D.Rodrigues cùng cộng sự đã kết hợp phươg trên cạnh (Edge), nút (Node) hoặc ô (Cell). Đến pháp làm trơn CS-FEM và phần tử MITC4 để 1
2. phân tích tấm [9]. Tác giả Nguyễn Văn Hiếu Các xấp xỉ chuyển vị được xác định : cùng cộng sự đã kết hợp phương pháp làm trơn 3 CS-FEM và phần tử MITC4 để phân tích vỏ[38, w  N i wi 39]. i 1 Bài báo này trình bày phương pháp kết hợp 4 phần tử MITC3 và phương pháp làm trơn trên ô  x  f k yk (2.1) (CS-Fem) tạo nên phần tử biến dạng trơn CS- k 1 4 MITC3 để khử hiện tượng ―khóa cắt‖. Phần tử  y  f k xk CS-MITC3 được sử dụng để phân tích một số k 1 bài toán tấm đồng nhất đẳng hướng đơn giản với Trong đó, Ni là các hàm dạng, được xác các điều kiện biên khác nhau, kết quả sau khi định như sau: phân tích được so sánh với các kết quả tham NNN 1   ;  ;  (2.2) khảo từ các nghiên cứu đã được công bố. 1 2 3 2. Công thức phần tử tấm 3 nút Và : Cho phần tử ba nút như hình 2.1. Tại mỗi 1 f N f nút có 3 bậc tự do là độ võng w theo phương z, 1 1 3 4  và  là chuyển vị xoay quanh trục x,y. Điểm x y 1 thứ 4 tại trọng tâm chỉ xét đến 2 bậc tự do là  , f N f x 2 2 3 4 (2.3)  . Giả thiết vật liệu đồng nhất và đẳng hướng y với mô đun đàn hồi E và hệ số poisson . 1 f 3 N 3 f 4 3 f 4 27   (1  )  ,  là các trục tọa độ địa phương của phần tử (Hình 2.1) . Hình 2.1: Phần tử tam giác 3 nút Với biến dạng uốn được xác định : f 00 i x wi 44 f i (2.4) εb zz 00  xi B bi d bi ii 11 y  yi ffii 0 xy Trong đó :   x wi εb  y -Biến dạng uốn dbi  xi -Vectơ chuyển vị nút phần tử (2.5)   xy yi 2
3. f 00 i x 4 f i -Quan hệ giữa ma trận uốn và chuyển vị (2.6) Bbi  00 i 1 y ffii 0 xy Biến dạng cắt : w 1 x1  y1 w2 NNN 12 3  0f1 0 f 2 0 f 3 0 f 4 x2 x  x  x ε  B d (2.7) sNNN  y2 s b 12 3 f10 f 2 0 f 3 0 f 4 0 w y  y  y 3  x3  y3  x4  y4 Trong đó: wi  xz εs -Biến dạng cắt. dbi  xi -Vectơ chuyển vị phần tử. (2.8)  yz  yi Ma trận quan hệ giữa biến dạng trượt và chuyển vị : NNN 120f 0 f3 0 f 0 f x1  x 2  x 3 4 Bs (2.9) NN12N3 f10 f 2 0 f 3 0 f 4 0 y  y  y Theo nguyên lý công ảo giữa năng lượng Khi đó độ cứng của phần tử được biểu diễn biến dạng đàn hồi của tấm chịu uốn và ngoại lực dưới dạng : q phân bố đều trên bề mặt diện tích theo đề xuất k BTT D BdA B D B dA (2.12) b b b e s sc s e của xuất bởi Hughes và Brezzi [12] ta có công AA thức: ee 1 hh/2k /2 Trong đó : σTT εdzdA σ ε dzdA qwdA (2.10) 22 b b s s k : độ cứng của phần tử Ae h/2 A e h /2 A e Với k=5/6 là hệ số điều chỉnh cắt cho vật liệu Bb : ma trận quan hệ biến dạng uốn và chuyển đẳng hướng vị Khai triển biểu thức trên ta được : Bs : ma trận quan hệ biến dạng trượt và chuyển h3 kh dTT BTT D B ddA d B D B d dA qwdA vị 24 b mbs 2 s s AAAe e e Db : độ cứng uốn ; Dsc : độ cứng cắt (2.11) Ae : diện tích của phần tử. 3
4. Trong công thức (2.11) khi chiều dày h của Lee [26] như hình 3.1 và tọa độ của các điểm tấm càng mỏng thì năng lượng biến dạng cắt sẽ buộc trong hệ trục quy chiếu được trình bày lớn hơn rất nhiều so với năng lượng biến dạng trong bảng 3.1 uốn. Vì vậy tấm càng mỏng thì sẽ không có biến Bảng 3.1: Tọa độ các điểm buộc của phần dạng uốn . Hiện tượng này gọi là ‗‗Khóa cắt‘‘. tử MITC3 với d=1/10000 Để giải quyết hiện tượng này ta sử dụng phần tử Điểm buộc MITC3 để giải quyết hiện tượng ‗‗Khóa cắt‘‘.   Sau đây sẽ trình bày một kỹ thuật để A 1/6 2/3 khử hiện tượng ―khóa cắt‖, đó là kỹ thuật MITC3. B 2/3 1/6 3. Công thức phần tử MITC3 với nút C 1/6 1/6 bubble. D 1/3 + d 1/3 – 2d Để khắc phục hiện tượng ―khóa cắt‖ ta xấp xỉ hàm cắt bằng hàm biến dạng mới qua E 1/3 – 2d 1/3 + d những ―điểm buộc‖ theo đề xuất của Youngyu F 1/3 + d 1/3 + d Hình 3.1 : Điểm buộc của phần tử MITC3 Biến dạng cắt được xấp xỉ theo công thức : 2 1 1 1  ( ()()()()BBCC  ) (   ) cy (3 1) (3.1) xz3 xz 2 yz 3 xz yz 3 2()()()()AACC 1 1 1 yz (  xz  yz ) (  xz  yz ) cx (3 1) (3.2) 3 2 3 3 Trong đó: ()()()()FDFE c xz  xz  yz  yz (3.3) MITC33 MITC Quan hệ giữa biến dạng cắt và các chuyển vị được viết lại: εsS B. d (3.4) Ma trận độ cứng sau khi khử khóa cắt: kMITC3 k k MITC 3 ()()ΒDΒΒDΒ TdA MITC 3 T MITC 3 dA (3.5) b S b b b e s s s e Ae Ae nối 3 đỉnh với điểm trung tâm của phần tử 4. Công thức phần tử hữu hạn trơn CS (Hình 4.1) – MITC3. Phương pháp làm trơn này, các biến dạng được làm trơn trên miền tam giác con, việc tính toán ma trận độ cứng không phụ thuộc vào phần tử mà phụ thuộc vào các miền tam giác con này. Phương pháp làm trơn này mỗi phần tử được chia làm 3 tam giác con (Δ1, Δ2, Δ3), bằng cách Hình4.1 : Ba tam giác con (Δ1, Δ2, Δ3) 4
5. Xét một miền con ΩC , Biến dạng uốn tại Trong đó AC là diện tích miền tam giác con đang một điểm xC thuộc miền con được xác định nhưđư xxét. Biến dạng uốn được viết lại : sau : 1 u u j  (x ) (x)  (x x )d  ε (x ) i d  (4.4) b C b C C (4.1) b C C 2AC xx j i C C Với : Áp dụng định lý phân kỳ (Green) cho công thứ trên ta được biến dạng uốn được viết lại:  (x xC ) là hàm làm trơn thỏa kiện sau : 1 ε (x ) u n u n d  b C i j j i C (4.5) (x x ) 0 và (x xC ) 1 (4.2) 2A C C C C e Trong đó, Ai là diện tích phần tử thứ i bao Để đơn giản  (x x ) được chọn theo từng C quanh nút k, N k là số phần tử bao quanh nút k. 1 e x C mảng : (x xC ) AC (4.3) 0x C Trong đó C là biên của ô phần tử con, biến dạng uốn được viết lại chuyển vị nút dCi là : 1 C ε ()()()() f x n d x d  Β  d (4.6) b CA i hCi b C Ci C C Với : 00 fnix 1 CCCT Β ( ) 0 f n 0 d  dCi []w i xi yi và b C i y (4.7) A C C  0 fi n x f i n y Trong đó nnxy, là các thành phần của vector pháp tuyến đơn vị dương n trên đường biên d . ()k Ta sử dụng 2 điểm tích phân Gauss để tính tich phân dọc theo mỗi cạnh biên i . Phương trình trên được viết lại là : nG 0 0 fni ( kn ) x ii 1 ng nG Β i ( ) 0 f (  ) n 0 l b CA  i kn y eC (4.8) C k 1 i i nG nG 0 fi (  kn ) n x f i (  kn ) n x i i i i Trong đó nleg, eC là số cạnh biên và chiều dài cạnh biên của miền tam giác con,fi là hàm bubble ()k của phần tử tấm chịu uốn. nG 2 là số điểm tích phân Gauss của cạnh biên  Ma trận độ cứng của phần tử tấm : k K  kMITC3 ()()ΒDΒΒDΒ  T  dA MITC 3 T MITC 3 dA (4.9) b S b b b s s s Ae Ae Nghiên cứu của tác giả Bischoff M cùng tượng ―khóa cắt‖ trên Ds một lần nữa khi phân cộng sự [11], Nguyễn Thời Trung (CS-DSG3) tích tấm như sau: [27], một hệ số ổn định được sử dụng thêm 3 trong phần tử CS-MITC3 nhằm mang lại kết quả kh 10 D (4.10) chính xác và ổn định dao động của lực cắt. Bằng s 22 hl e 01 cách đổi Ds trong công thức (3.32) để khử hiện Với le : chiều dài lớn nhất của phần tử : H ệ số ổn định ; chọn = 0,1 5
6. Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để lập Module đàn hồi E = 100000, hệ số Poisson  = trình tính toán chuyển vị của tấm đồng nhất 0,25. Sử dụng phần tử CS-MITC3 cho bài toán đẳng hướng với các điều kiện biên khác nhau. tấm. Chuyển vị biên được giả định là w (x, y) = 5. Kết quả số. (1 + x + 2y + x2 + xy + y2) / 2. Kết quả kiểm tra 5.1. Bài toán Patch test Patch test phần tử CS – MITC3 được thể hiện Phần tử tấm CS-MITC3 đươc kiểm tra với trong Bảng 5.1. Kết quả cho thấy phần tử CS- bài toán Patch test để đảm bảo rằng phần tử có MITC3 cũng vượt qua Patch test tương tự như thể tái lập lại trường chuyển vị và trường ứng các phần tử DSG3, MITC3, NS – DSG3. suất một cách chính xác. Xét một tấm hình chữ nhật như Hình 5.1, có chiều dày t = 0,01; Hình 5.1: Bài toán Patch test Bảng 5.1: Kết quả bài toán Patch test Phần tử w   m m m 5 x5 y5 x5 y5 xy 5 CS-MITC3 0,6422 1,13 -0,64 -0,0111 -0,0111 -0,0033 MIN3[28] 0,6422 1,13 -0,64 -0,0111 -0,0111 -0,0033 ES-DSG3[18] 0,6422 1,13 -0,64 -0,0111 -0,0111 -0,0033 MITC4[29] 0,6422 1,13 -0,64 -0,0111 -0,0111 -0,0033 exact[30] 0,6422 1,13 -0,64 -0,0111 -0,0111 -0,0033 5.2.Tấm vuông liên kết ngàm chịu áp lực phân bố đều: Xét một tấm vuông có điều kiện biên là liên kết ngàm chịu áp lực phân bố đều q, với các thông số hình học, vật liệu nhau sau : chiều dài cạnh L = 10m , môdul đàn hồi E = 1092000 KN/m2, Tỷ lệ chiều dày và chiều dài cạnh t/L ratio = 0,1 và 0,0001 , hệ số poisson ν = 0,3. Sử dụng hệ số ổn định α =0,1. Với các điều kiện biên của bài toán : -Tại vị trí y=0 => w =0, x=0 và y = 0 -Tại vị trí y=5 => ≠0, x=0 và y ≠ 0 -Tại vị trí x=0 => = 0 , x = 0 và y = 0 -Tại vị trí x=5 => ≠ 0 , x ≠ 0 và y = 0 Vì tính đối xứng qua hai trục của bài toán, Hình 5.2: Tấm vuông liên kết ngàm chia lưới chỉ ¼ tấm được mô phỏng theo các cách chia 2x2. phần tử khác nhau 2x2, 4x4, 5x5, 6x6 và 8x8 Tiến hành so sánh kết quả tính toán của kết hợp với các tỷ lệ chiều dày và chiều dài cạnh phần tử CS-MITC3 với các kết quả đã được t/L ratio = 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001 . nghiên cứu từ trước để đánh giá tính khả thi và độ chính xác của phần tử. 6
7. Bảng 5.2: Kết quả chuyển vị của các phần tử khi phân tích tấm vuông liên kết ngàm Lời giải Chênh Chia lưới chính xác t/L Phương pháp lệch (Exact) (%) 4x4 8x8 10x10 12x12 16x16 [18] CS-MITC3 0,1720 0,1567 0,1545 0,1533 0,1521 1,4 CS-MITC3-N 0,1417 0,1494 0,1498 0,1501 0,1503 0,1267 0,27 0,1 MITC4[29] 0,1431 0,1488 0,1494 0,1497 0,15 0,07 CS-DSG3[27] 0,1357 0,1467 0,148 0,1487 0,1495 0,27 MIN3[28] 0,0915 0,1246 0,1285 0,1305 0,1324 11,67 CS-MITC3 0,1479 0,1325 0,1304 0,1292 0,1281 1,10 CS-MITC3-N 0,1127 0,1235 0,1247 0,1254 0,1259 0,63 0,001 MITC4[29] 0,1211 0,1251 0,1256 0,1259 0,1271 0,32 0,1499 CS-DSG3[27] 0,1123 0,1227 0,1241 0,1248 0,1256 0,87 MIN3[28] 0,0754 0,1102 0,116 0,1192 0,1224 3,39 Dựa vào kết quả tính toán của phần tử CS- cho ta thấy phần tử CS-MITC3 đã khử thành MITC3 cho ta một kết quả hội tụ tốt khi chia công hiện tượng ―khóa cắt ― khi sử dụng lý nhỏ tấm, kết quả bài toán tấm ngàm bắt đầu hội thuyết tấm dày Mindlin- Reissner để phân tích tụ khi ta chia lưới 6x6 trở lên, cho thấy phần tử tấm mỏng. CS-MITC3 có sử dụng hệ số ổn định α = 0,1 là Kết quả tính toán của phần tử CS-MITC3 một phần tử tốt khi phân tích tấm với điều kiện được so sánh với các phần tử CS-MITC3-N biên là ngàm (không sử dụng hệ số ), phần tử MIN3[28], phần Đánh giá kết quả khi thay đổi chiều dày tử CS-DSG3 [27] phần tử MITC4[29] và giá trị tấm với các tỷ lệ t/L khác nhau , tấm càng mỏng chính xác được thể hiện trong bảng 4.2 .Trong càng cho kết quả chính xác, bên cạnh đó xét đó kết quả của phần tử CS-MITC3 có sự hội tụ trường hợp t/L cao như : 0,1 thì phần tử vẫn cho kết quả tốt và cho kết quả chính xác hơn một số ra kết quả hội tụ và tương đối chính xác so với phần tử được nghiên cứu trước các kết quả được nghiên cứu trước đó, điều này (a) (b) Hình 5.2: Độ võng tại tâm tấm vuông đồng nhất đẳng hướng biên ngàm 4 cạnh: (a) khi tỉ lệ t/L = 0,001; (b) khi tỉ lệ t/L = 0,1. 7
8. 5.3.Tấm vuông liên kết gối tựa đơn chịu áp lực phân bố đều Xét một tấm vuông liên kết tựa đơn chịu áp lực phân bố đều q, với các thông số hình học, vật liệu nhau sau: chiều dài cạnh L = 10m, môdul đàn hồi khi kéo nén E = 1092000KN/m2, Tỷ lệ chiều dày và chiều dài cạnh t/L ratio = 0,1->0,0001 , hệ số poisson ν = 0,3. Sử dụng hệ số ổn định α = 0,1. Với các điều kiện biên của bài toán : -Tại vị trí y=0 => w =0, x≠0 và y = 0 -Tại vị trí y=5 => ≠0, x=0 và y ≠ 0 -Tại vị trí x=0 => = 0 , x = 0 và y ≠ 0 -Tại vị trí x=5 => ≠ 0 , x ≠ 0 và y = 0 Vì tính đối xứng qua hai trục của bài toán, chỉ ¼ tấm được mô phỏng theo các cách chia phần tử khác nhau: 2x2, 4x4, 5x5, 6x6 và 8x8 Hình 5.3 Tấm vuông liên kết tựa đơn chia kết hợp với các tỷ lệ chiều dày và chiều dài cạnh lưới 2x2 t/L ratio = 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 Bảng 5.3: Kết quả chuyển vị các phần tử khi phân tích tấm vuông liên kết tựa đơn. Lời giải Chia lưới Chênh chính xác t/L Phương pháp lệch (Exact) 4x4 8x8 10x10 12x12 16x16 (%) [18] CS-MITC3 0,3834 0,4009 0,4029 0,4039 0,4039 0,57 CS-MITC3-N 0,3447 0,3931 0,3981 0,4007 0,4032 0,79 0,0001 MITC4[29] 0,3969 0,4041 0,4049 0,4053 0,4057 0,4062 0,12 CS-DSG3[27] 0,3517 0,3928 0,3977 0,4004 0,403 0,79 MIN3[28] 0,2948 0,3767 0,3873 0,3931 0,3989 1,80 Kết quả tính toán của phần tử CS-MITC3 được phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-MITC3 so sánh với các phần tử MIN3[28], phần tử CS- cũng cho ra kết quả hội tụ tốt và khử hiện tượng DSG3[27], phần tử MITC4[29] và giá trị chính ―khóa cắt‖ thành công , đem lại kết quả hội tụ xác[18] được thể hiện trong bảng 4.2 .Trong đó kết tốt hơn các phần tử được nghiên cứu trước. Tuy quả của phần tử CS-MITC3có sự hội tụ kết quả tốt nhiên độ hội tụ của phần tử hữu hạn trơn CS- và cho kết quả chính xác hơn một số phần tử được MITC3 vẫn không thể chính xác hơn phần tử nghiên cứu trước. hữu hạn MITC4 trong trường hợp phân tích tấm Thông qua kết quả thu được cho ta thấy đối với vuông liên kết tựa đơn trường hợp bài toán tấm với liên kết tựa đơn thì Hình 5.3: Biểu đồ so sánh đọ võng tấm khi phân tích bằng phương pháp CS-MITC3 với các phương pháp khác (với t/L=0,0001). 8
9. 5.4. Tấm xiên 300 liên kết gối tựa đơn chịu áp lực phân bố đều Xét một tấm xiên 30o chia phần tử tam giác thuận liên kết tựa đơn chịu áp lực phân bố đều q, với các thông số hình học, vật liệu nhau sau: chiều dài cạnh L = 10m, môdul đàn hồi khi kéo nén E = 1092000KN/m2,Tỷ lệ chiều dày và chiều dài cạnh t/L,ratio = 0,1; 0,0001, hệ số poisson ν = 0,3.Sử dụng hệ số ổn định α =0,1 Với các điều kiện biên của bài toán : -Tại vị trí y=0 => w =0, x≠0 và y ≠0 -Tại vị trí y=10 => =0, x≠0 và y ≠ 0 Hình 5.4 Tấm xiên 30o liên kết tựa đơn -Tại vị trí x=0 => =0, x ≠0 và y ≠ 0 chịu áp lực phân bố đều q chia lưới 4x4 -Tại vị trí x=10 => =0, x ≠ 0 và y ≠ 0 Bảng 5.4: Kết quả chuyển vị các phần tử khi phân tích tấm xiên liên kết tựa đơn Lời giải Chia lưới Chênh chính xác t/L Phương pháp lệch (Exact) 4x4 8x8 10x10 12x12 16x16 (%) [18] CS-MITC3 0,4433 0,4031 0,4004 0,3993 0,3988 2,25 CS-MITC3-N 0,2329 0,2916 0,3059 0,3161 0,3298 19,17 0,001 MITC4[29] 0,3588 0,3571 0,364 0,3717 0,3835 0,408 6,00 CS-DSG3[27] 0,5926 0,4234 0,4176 0,4179 0,4207 3,11 MIN3[28] 0,2726 0,3101 0,3228 0,3325 0,3465 15,07 Kết quả tính toán của phần tử CS- Qua kết quả thu được cho ta thấy đối MITC3 được so sánh với các phần tử MIN3[28], với trường hợp bài toán tấm xiên với liên kết tựa phần tử CS-DSG3[27], phần tử MITC4 [29] và đơn thì phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS- giá trị chính xác [31]được thể hiện trong bảng MITC3 cũng cho ra kết quả hội tụ tốt và khử 4.2 .Trong đó kết quả của phần tử CS-MITC3có hiện tượng ―khóa cắt‖ thành công , cho kết quả sự hội tụ kết quả tốt và cho kết quả chính xác hội tụ tốt hơn các phần tử được nghiên cứu hơn một số phần tử được nghiên cứu trước. trước. Hình 5.4: Biểu đồ so sánh độ võng tấm khi phân tích bằng phương pháp CS-MITC3 với các phương pháp khác (với t/L=0,001) 5.5. Tấm tròn liên kết ngàm chịu áp lực liệu nhau sau: bán kính R= 5m, môdul đàn hồi phân bố đều khi kéo nén E= 1092000KN/m2, Tỷ lệ chiều dày và chiều dài cạnh t/R ratio = 0,2-0,02, hệ số Xét một tấm tròn liên kết ngàm chịu áp lực poisson ν = 0,3. Sử dụng hệ số ổn định α = 0,1 phân bố đều q, với các thông số hình học, vật 9
10. Với các điều kiện biên của bài toán : Vì tính đối xứng qua hai trục của bài toán, -Tại vị trí y=0 => w ≠0, x=0 và y ≠ 0 chỉ ¼ tấm được mô phỏng theo các cách chia -Tại vị trí x=0 => ≠0, x ≠0 và y =0 lưới khác nhau: 6T3, 24T3, 54T3, 96T3 tương ứng với các tỷ lệ chiều dày và bán kính 0,2-0,02 (a) (b) Hình 5.5: (a) Tấm tròn đồng nhất đẳng hướng biên ngàm; (b) Chia lưới phần tử hữu hạn cho tấm. Bảng 5.5: Kết quả chuyển vị các phần tử khi phân tích tấm tròn liên kết ngàm Lời giải Số phần tử chính xác Chênh t/L Phương pháp (Exact) [32, lệch 6T3 24T3 54T3 96T3 33] (%) CS-MITC3 10,8495 11,4444 11,5160 11,5349 0,14 CS-MITC3-N 8,7865 10,8434 11,2397 11,3776 1,5 0,2 MITC4[29] 10,755 11,42 11,494 11,519 11,5513 0,28 CS-DSG3[27] 9,6481 11,089 11,354 11,442 0,95 MIN3[28] 6,4409 9,3587 9,9418 10,133 12,28 CS-MITC3 9144,3 9677,6 9745,1 9764,1 1,11 CS-MITC3-N 6944,8 9051,8 9460,0 9603,0 2,7 9873,48 0,02 MITC4[29] 9068,1 9692,6 9738,5 9759,2 1,16 CS-DSG3[27] 7896,2 9304,3 9576,1 9668,9 2,07 MIN3[28] 5409,8 8433,2 9158,8 9428,5 4,51 (a) (b) Hình 5.5: Độ võng tại tâm tấm tròn đồng nhất đẳng hướng biên ngàm: (a) khi tỉ lệ t/R = 0,02; (b) khi tỉ lệ t/R = 0,2 10
11. hiện tượng ―khóa cắt‖ thành công , đem lại kết Kết quả tính toán của phần tử CS- quả tốt hơn các phần tử được nghiên cứu trước. MITC3 được so sánh với các phần tử MIN3[28], Trong các bài toán đã khảo sát như tấm phần tử CS-DSG3[27], phần tử MITC4[29] và vuông trường hợp liên kết ngàm , tấm vuông giá trị chính xác[32,33] được thể hiện trong trường hợp liên kết tựa đơn , tấm xiên góc 30o bảng 4.2 .Trong đó kết quả của phần tử CS- liên kết tựa đơn được phân tích trong bài luận MITC3có sự hội tụ kết quả tốt và cho kết quả văn thì tấm tròn cho ra kết quả chính xác nhất chính xác hơn một số phần tử được nghiên cứu trong các phương pháp phần tử hữu hạn đã trước . nghiên cứu trước. Từ đó ta có thể đáng giá phần Thông qua kết quả thu được cho ta thấy đối tử hữu hạn trơn CS-MITC3 tốt nhất và thích hợp với trường hợp bài toán tấm tròn với liên kết để chọn làm phương pháp phân tích khi tiến ngàm thì phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS- hành phân tích tấm tròn. MITC3 cũng cho ra kết quả hội tụ tốt và khử 6. Kết luận [4] Dvorkin EN, Bathe KJ. A continuum Dựa vào những cơ sở lý thuyết đã trình bày mechanics basedfour-node shell elementfor ở trên kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn general nonlinear analysis. EngComput trơn CS-MITC3 để phân tích các bài toán tấm , 1984;1:77–88. có thể rút ra các kết luận sau : [5] Bathe KJ, Dvorkin EN. A formulation + Nghiên cứu này sử dụng phần tử hữu hạn of general shell elements–the use of mixed trơn CS-MITC3 khử thành công hiện tượng interpolation of tensorial components. Int J ―khóa cắt ― khi sử dụng lý thuyết cắt bậc nhất Numer Methods Eng1986;22:697–722. Mindlin- Reissner để phân tích tấm mỏng có [6] Bathe KJ, Brezzi F, Cho SW. The chiều dày rất nhỏ so với hai phương còn lại dẫn MITC7 and MITC9 plate bending elements. đến năng lượng biến dạng đàn hồi do thành phần Computers and Structures 1989;32:797–814. biến dạng cắt (tỉ lệ với h) sẽ lớn hơn nhiều so [7] Bucalem ML, Bathe KJ. Higher-order với năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành MITC general shellelements. Int J Numer phần biến dạng uốn (tỉ lệ với h3). Và cho ra kết Methods Eng 1993;36:3729–54. quả xác với các kết quả nghiên cứu trước thông [8] M. Cinefra, C. Chinosi, L. Della qua các kết quả của các trường hợp t/L khác Croce. MITC9 shell elements based on refined nhau, khảo sát từ 0,1->0,0001. theories for the analysis of isotropic cylindrical + Kết quả thông qua một số bài toán có sự structures. In :Mechanics of Advanced Materials hội tụ tốt so với các bài nghiên cứu trước khi and Structures vol. 20, pp. 91-100. - ISSN 1537- chia nhỏ lưới cho thấy phương pháp phần tử hữu 6532. hạn trơn CS-MITC3 là một phương pháp tốt khi [9] J.D.Rodrigues, S.Natarajan, phân tích tấm mỏng . A.J.M.Ferreira, E.Carrera, M.Cinefra, + Một số kết quả nghiên cứu các bài toán S.P.A.Bordas. Analysis of composite plates tấm mỏng cho kết quả khá sát với kết quả chuẩn through cell-based smoothed finite element and hơn các phương pháp trước đó, vì vậy khẳng 4-noded mixed interpolation of tensorial định được độ tin cậy và độ chính xác của hướng components techniques. In : Computers and nghiên cứu này Structures, vol.135, pp. 83-87 – ISSN 0045- Tài liệu tham khảo 7949. [1] Phill-Seung Lee, Klaus-Jurgen Bathe. [10] Nguyễn Xuân Hùng, Ngô Thanh Development of MITC isotropic triangular shell Phong. Application of the curvature smoothing. finite elements. Computers and Structures 82 Technique for four-node quadrilateral reissner- (2004) 945–962. mindlin plate element. Vietnam Journal of [2] Klaus-Jurgen Bathe, Eduardo N. Mechanics, VAST, Vol. 29, No. l (2007), pp. 13 Dvorkin. A formulation of general shell – 24. elements-the use of mixed interpolation of [11] Bischoff M, Bletzinger KU. Stabilized tensorial components. International journal for DSG plate and shell element. In Trend In numerical methods in engineering, vol. 22,697- Computational Mechanics. CIMNE : Barcelona, 722 (1986) Spain, 2001. [3] E. Reissner. The effect of transverse [12] GR Liu, H Nguyen Xuan, T Nguyen shear deformation on the bending of elastic Thoi. A theoretical study on the smoothed FEM plates. ASME Journal of Applied Mechanis, (S-FEM) models: Properties, accuracy and Vol. 12, pp. A68-77, 1945. convergence rates. International Journal for 11
12. Numerical Methods in Engineering 84 (10), vibration analyses of composite and sandwich 1222-1256. plates by an edge-based smoothed discrete shear [13] H Nguyen-Xuan, GR Liu, C Thai- gap method (ES-DSG3) using triangular Hoang, T Nguyen-Thoi. An edge-based elements based on layerwise theory, Composite smoothed finite eleme nt method (ES-FEM) Part B, 60, 227-238, 2014 with stabilized discrete shear gap technique for [22] Brezzi F, Fortin M, Stenberg R. Error analysis of Reissner–Mindlin plates. Computer analysis of mixed – interpolated element for Methods in Applied Mechanics and Engineering Reissner-Mindlin plate. Math. Models. Meth. 199 (9), 471-489. Appl. Sci. 1, 125-151(1991). [14] T. Nguyen-Thoi, P. Phung-Van, H. [23] Tessler A, Hughes T.J.P . A three- Nguyen-Xuan, Chien H. Thai. A cell-based node Mindlin plate with improved transverse smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) shear. Comp. Meth. Appl. Mech. Engreg. 50, 71- using triangular elements for static and free 101 (1985). vibration analyses of Reissner–Mindlin plate. [24] E. Reissner. The effect of transverse International Journal For Numerical Methods shear deformation on the bending of elastic In Engineering. Int. J. Numer. Meth. plates. ASME Journal of Applied Mechanis, Vol. Engng(2012). 12, pp. A68-77, 1945. [15] P. Phung-Van, T. Nguyen-Thoi, H. [25] R. D. Mindlin. Influence of rotatory Luong-Van, C. Thai-Hoang , H Nguyen-Xuan. inertia and shear on flexural motions of A cell-based smoothed discrete shear gap isotropic. Elastic plates, ASME Journal of method (CS-FEM-DSG3) using layerwise Applied Mechanis, Vol. 18 pp. 31-38, 1951. deformation theory for dynamic response of [26] Youngyu Lee, Phill-Seung Lee, Klaus- composite plates resting on viscoelastic Jurgen Bathe. The MITC3+ shell element and foundation . CMA 10147 21 January 2014 its performance. Computers and Structures 138 [16] Lương Văn Hải, Lê Đỗ Phương An, (2014) 12–23. Đặng Trung Hậu, Nguyễn Thời Trung, Lê Trọng [27] T. Nguyen-Thoi, P. Phung-Van, Chien Nghĩa., Phân tích tương tác tấm Mindlin trên H. Thai, H. Nguyen-Xuan. Cell-based smoothed nền đàn nhớt có gia cường Top Base chịu tải discrete shear gap method (CS-DSG3) using trọng di động sử dụng phương pháp phần tử hữu triangular elements for static and free vibration hạn trơn CS-MIN3. , Tạp chí Xây dựng,, Số 8, analyses of shell structures, International 84-89., 2014 Journal of Mechanical Sciences, 74, 32-45, [17] Eugenio Onate, O. C. Zienkiewicz , 2013 Benjamín Suárez , R. L. Taylor . A methodology [28] Tessler A, Hughes TJR. A three-node for deriving shear constrained Reissner–Mindlin mindlin plate element with improved transverse plate elements .International Journal for shear. Computer Methods Applied Mechanics Numerical Methods. In: Engineering (Impact Engineering 1985; 50; 71-101 Factor: 1.96). 01/1992; 33(2):345 – 367 [29] Bathe KJ, Dvorkin EN. A four-node [18] Taylor RL, Auricchio F. Linked plate bending element based on Mindlin- interpolation for Reissner–Mindlin plate Reissner plate theory and mixed interpolation. element. International Journal For Numerical International Journal For Numerical Methods Methods In Engineering 1993; 36; 3057-3066. In Engineering 1985; 21; 367-383. [19] Kaliti I. A new discrete Kirchhoff- [30] Taylor RL, Auricchio F. Linked Mindlin element based on Mindlin- Reissner interpolation for Reissner–Mindlin plate plate theory and assumed shear strain fields-Part element. Part II – a simple triangle. II: An extended DKQ element for thick-plate International Journal For Numerical Methods bending analysis. International Journal For In Engineering 1993; 36; 3057-3066. Numerical Methods In Engineering 1993; 36; [31] Morley LSD. Skew plate and 1885-1908 structures. Pergamon Press: Oxford, 1963. [20] Kaliti I. A new discrete Kirchhoff- [32] Ayad R, Dhatt G, Batoz JL. A new Mindlin element based on Mindlin- Reissner hybrid-mixed variational approach for Reissner– plate theory and assumed shear strain fields-Part Mindlin plate. The MiSP Model. International I : An extended DKT element for thick-plate Journal For Numerical Methods In Engineering bending analysis. International Journal For 1998; 42; 1149-1179. Numerical Methods In Engineering 1993; 36; [33] Ayad R, Rigolot A. An improved four- 1859-1883. node hybrid-mixed element based upon [21] P Phung-Van, Chien H Thai, T Mindlin‘s plate theory. International Journal Nguyen-Thoi, H Nguyen-Xuan, Static and free 12
13. For Numerical Methods In Engineering 2002; Interpolation Tensorial Components (MITC) 55; 705-731. shell element approach for modeling the [34] T. J. R Hughes, F. Brezzi. On drilling buckling behavior of delaminated composites. degrees freedom. Computer Method in Applied Computers and Structures V 108, February Mechanics and Engineering, 1989; 72: 105-121. 2014, Pages 657–666 [35] Bathe KJ, Brezzi F. A simplified [38] Nguyen Van Hieu, Nguyen Hoai Nam, analysis of two plate bending elements—the Chau Dinh Thanh, Nguyen Thoi Trung. MITC4 and MITC9 elements . Numberical Geometrically nonlinear analysis of composite Methods in Engineering : Theory and plates and shells via a quadrilateral element with Applications , University College (Swansea , good coarse – mesh accuracy. Composite UK , 1998 ), Martinnus Nijholff Publ (Kluwer ) Structures, Vol. 112: pp. 327 – 338, 2014. [36] H. Luong-Van, T. Nguyen-Thoi, G.R. [39] Nguyen Van Hieu, Vo Anh Vu, Liu, P. Phung-Van. A cell-based smoothed finite Nguyen Hoai Nam, Chau Dinh Thanh, Nguyen element method using three-node shear-locking Ngoc Duong. Analysis of shell structure via a free Mindlin plate element (CS-FEM-MIN3) for smoothed four – node flat element. Proceeding dynamic response of laminated composite plates of the International Conference On Advances In on viscoelastic foundation . Engineering Computational Mechanics (ACOME), 2012, Ho Analysis with Boundary Elements 42 (2014) 8– Chi Minh City, Viet Nam, pp. 219-233. 19 [37] Marco Gaiotti, Cesare M. Rizzo, Kim Brannerb, Peter Berringb. An high order Mixed Tp. Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 5 năm 2016 Hướng dẫn khoa học Tác giả TS. Châu Đình Thành Võ Ngọc Tuyển 13
14. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2017-2018 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.