Phân tích kết cấu hai chiều có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tứ giác bốn nút

Nội dung text: Phân tích kết cấu hai chiều có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tứ giác bốn nút

1. PHÂN TÍCH KẾT CẤU HAI CHIỀU CÓ VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP NÚT ẢO DÙNG PHẦN TỬ TỨ GIÁC BỐN NÚT Lê Việt Tuấn1,* 1Công ty TNHH Thiết Kế - Xây Dựng - Thương Mại THIÊN AN 10/15 Lê Đức Thọ Phường 15, Quận Gò Vấp, Tp Hồ Chí Minh *leviettuan85@yahoo.com TÓM TẮT Phương pháp nút ảo được phát triển cho bài toán rời rạc hóa phần tử tứ giác bốn nút để mô tả các vết nứt tùy ý. Bằng cách chồng các phần tử lên nhau tại vị trí vết nứt, phương pháp này có thể xử lý các vết nứt độc lập với lưới chia. Mũi vết nứt có thể nằm bên trong phần tử nhờ một quan hệ động học mới giữa các phần tử tứ giác bốn nút chồng lên nhau được thiết lập. Hệ số tập trung ứng suất (SIFs) của nhiều bài toán cơ bản có chứa vết nứt được tính toán để kiểm chứng phương pháp đề xuất này. Tính vững chắc và hiệu quả của phương pháp khi mô hình các vết nứt tùy ý cũng được chứng minh khi giải các ví dụ về vết nứt phát triển. Từ khóa: phương pháp nút ảo, phần tử tứ giác bốn nút, vết nứt, SIFs, mỏi 1. GIỚI THIỆU cầu cạnh lưới chia phải nằm trùng với vết nứt đã đặt ra Trong quá trình làm việc của kết cấu thường xuất hiện các thách thức phải chia lại lưới khi mô hình vết nứt phát triển. vết nứt do hư hỏng vật liệu, tính toán không đúng về độ Để giải quyết việc giảm thời gian chia lại lưới bằng một bền hay độ bền do mỏi, do quá tải hay các vấn đề không số điều chỉnh nhỏ từ phương pháp FEM, phương pháp thể dự báo. Các hư hỏng đó sẽ gây ra tổn thất lớn về chi phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) [2] đã được phát triển phí cho công tác sửa chữa, bảo trì. Do đó, việc phân tích và áp dụng thành công cho không gian hai chiều/ba chiều kết cấu có vết nứt luôn đóng vai trò quan trọng trong thiết và kết cấu tấm/vỏ có chứa vết nứt. kế và bảo quản các công trình, ứng dụng của kĩ sư. Gần đây, dựa trên lý thuyết của “anh em nhà Hansbo” [3], Để phân tích các thành phần hoặc kết cấu có chứa vết nứt, một phương pháp tiếp cận thay thế, được gọi là phương cách tiếp cận giải tích hoặc phương pháp số có thể được pháp nút ảo, đã được tạo ra để mô tả vết nứt độc lập với sử dụng. Trong đó, lời giải giải tích chỉ được suy ra từ bài lưới chia FEM mà không cần sử dụng xấp xỉ trường toán vết nứt có hệ quy chiếu và điều kiện biên tương đối chuyển vị không liên tục như XFEM. Phương pháp nút ảo đơn giản. Ngược lại, khi đối mặt với các bài toán thực tế nhân đôi các nút tương đồng tạo ra các cặp phần tử chồng có các vết nứt tùy ý, hình dạng phức tạp, điều kiện biên lên nhau cho trường hợp mũi vết nứt hoàn toàn nằm trên tổng quát thì phương pháp số sẽ được áp dụng. Phương cạnh phần tử và đã được áp dụng trong không gian 2 pháp số được chia thành ba nhóm tùy thuộc vào xấp xỉ chiều/ba chiều [4-5] hay kết cấu vỏ [6]. chuyển vị và kĩ thuật rời rạc của miền bài toán, bao gồm: Khi xem xét trường hợp mũi vết nứt nằm hoàn toàn trong phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp phần phần tử, Rabczuk [7] đã phát triển ràng buộc động học cho tử biên (BEM), phương pháp không lưới (Meshless). các cặp phần tử chồng lên nhau (tam giác ba nút và tứ giác Trong các nhóm này, FEM [1] là phương pháp phổ biến bốn nút) có chứa mũi vết nứt. Ý tưởng ràng buộc động học nhất để phân tích kết cấu có vết nứt. Tuy nhiên, do yêu cho các cặp phần tử chồng lên nhau [7] đã được áp dụng 1
2. thành công cho kết cấu vỏ chứa vết nứt được rời rạc bởi nứt. Nói cách khác, trường chuyển vị của phần tử có thể phần tử MITC3 [8]. được kết hợp bằng hai trường chuyển vị riêng biệt vốn liên tục trên mỗi miền riêng của nó [3]. Để mô tả sự liên tục Trong bài báo này, ràng buộc động học của phần tử tứ giác trên mỗi miền riêng của phần tử hay sự không liên tục bốn nút được miêu tả sâu hơn khi mô hình mũi vết nứt ngang qua vết nứt, nút thật của phần tử sẽ được nhân đôi nằm bên trong phần tử trình bày theo [7]. Sự chính xác và để tạo thành các nút ảo. Nút thật và nút ảo sẽ được sử dụng chắc chắn của phương pháp trong việc tính toán hệ số tập để xây dựng các cặp phần tử hữu hạn hoàn chỉnh chồng trung ứng suất (SIFs) và mô hình vết nứt phát triển không lên nhau và trường chuyển vị của chúng có thể được xấp cần chia lại lưới cũng được khảo sát. xỉ giống như xấp xỉ của phần tử hữu hạn bình thường. Các điểm chính của bài báo được trình bày sau đây. Phần Đối với phần tử tứ giác bốn nút bị vết nứt cắt qua hoàn 2 trình bày về phương pháp nút ảo với ràng buộc động học toàn, có hai trường hợp xảy ra tùy thuộc vào vị trí vết nứt cho phần tử tứ giác bốn nút. Phần 3 trình bày về phương cắt qua cạnh phần tử, được thể hiện như Hình 1. Hình 1 trình cân bằng, tích phân số và ma trận độ cứng. Phần 4 cũng thể hiện các nút ảo (các hình tròn rỗng) và hai cặp trình bày về nứt phát triển do mỏi. Các ví dụ số áp dụng phần tử chồng lên nhau và . được trình bày ở phần 5. Và phần cuối trình bày về các kết + − 𝑒𝑒 𝑒𝑒 luận được rút ra và đề xuất một số kiến nghị. 𝛀𝛀 𝛀𝛀 2. PHƯƠNG PHÁP NÚT ẢO CHO PHẦN TỬ TỨ GIÁC BỐN NÚT. Xem xét một vật thể hai chiều có vết nứt được rời rạc bởi các phần tử tứ giác bốn nút. Vật thể bị vết nứt cắt qua chia làm ba loại phần tử: phần tử không nứt, phần tử nứt hoàn toàn và phần tử nứt một phần. Xấp xỉ trường chuyển vị Hình 1: Cặp phần tử chồng lên nhau của phần tử nứt của từng loại phần tử sẽ được trình bày trong các phần hoàn toàn dưới đây. Xấp xỉ tiêu chuẩn theo công thức (1) sẽ được áp dụng trên 2.1. Phần tử không nứt mỗi miền của phần tử nứt hoàn toàn. Trường chuyển vị Phần tử không nứt, nghĩa là không bị vết nứt cắt qua, là của phần tử nứt hoàn toàn có thể được viết lại như sau: các phần tử hữu hạn đẳng tham số tứ giác bốn nút. Trường ( ) chuyển vị được xấp xỉ như [9] 4 , ê + ( , ) = ⎧ � 𝑁𝑁𝐽𝐽 𝜉𝜉 𝜂𝜂 𝐮𝐮𝐽𝐽 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑛𝑛 𝛀𝛀𝑒𝑒 (2) ⎪ 𝐽𝐽=1 ( , ) = 4 ( , ) (1) 𝐮𝐮𝒄𝒄𝒄𝒄 𝜉𝜉 𝜂𝜂 4 ( , ) ê 𝐼𝐼 𝐼𝐼 ⎨ − 𝐮𝐮 𝜉𝜉 𝜂𝜂 � 𝑁𝑁 𝜉𝜉 𝜂𝜂 𝐮𝐮 𝐾𝐾 𝐾𝐾 𝑒𝑒 Ở đây, = { , }𝐼𝐼= 1là chuyển vị xấp xỉ theo phương x, y ⎪� 𝑁𝑁 𝜉𝜉 𝜂𝜂 𝐮𝐮 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑛𝑛 𝛀𝛀 Trong đó: ⎩𝐾𝐾=1 𝑇𝑇 { } của hệ tr𝐮𝐮ục tọ𝑢𝑢a đ𝑣𝑣ộ Đề-các; = , là chuyển vị tại {1 , 2 , 3, 4}, {1, 2, 3 , 4 } cho Hình 1a. 𝑇𝑇 nút I; ( , ) là hàm dạng song𝐼𝐼 tuy𝐼𝐼 ến𝐼𝐼 tính cơ bản. { ∗ ∗ } { ∗ ∗} 𝐮𝐮 𝑢𝑢 𝑣𝑣 𝐽𝐽 ∈ 1, 2 , 3, 4 , 𝐾𝐾 ∈ 1 , 2, 3 , 4 cho Hình 1b. ∗ ∗ ∗ ∗ 𝑁𝑁𝐼𝐼 𝜉𝜉 𝜂𝜂 2.2. Phần tử nứt hoàn toàn 𝐽𝐽2.3.∈ Phần tử nứ𝐾𝐾t m∈ột phần Phần tử bị vết nứt cắt qua hoàn toàn được gọi là phần tử Phần tử nứt một phần, nghĩa là chỉ bị vết nứt cắt qua một nứt hoàn toàn. Khi đó, trường chuyển bị liên tục trên mỗi phần, trường chuyển vị không liên tục ngang qua vết nứt miền của phần tử nhưng lại không liên tục ngang qua vết nhưng lại liên tục tại mũi vết nứt và phần còn lại của phần 2
3. tử. Thông thường, trường chuyển vị tại mũi phần tử là nút 3 và nút 4 phải bị ràng buộc để đại diện cho các trường gradient bậc cao [9] và không có bước nhảy tại mũi vết chuyển vị bình thường giữa chúng. Trong trường chuyển nứt. Để xem xét trường chuyển vị gradient bậc cao tại mũi vị tiêu chuẩn song tuyến tính của phần tử tứ giác bốn nút, vết nứt, phương pháp XFEM thêm vào các hàm làm giàu, chuyển vị tương đồng của ba xấp xỉ chuyển vị riêng biệt đó là những hàm cơ bản của chuyển vị giải tích [2,11]. chỉ là một đường thẳng ngang qua mũi vết nứt và song Tuy nhiên, chúng ta không biết có bao nhiêu hàm làm giàu song với một trong các trục của hệ tọa độ tự nhiên [7] như do chỉ có một vài lời giải tích của bài toán cơ học rạn nứt đoạn thẳng ở Hình 2. đã biết. Hơn nữa, các hàm làm giàu làm tăng độ phức tạp 𝚪𝚪𝑘𝑘 nhưng không cải thiện hiệu quả độ chính xác, đặc biệt là việc sử dụng các kỹ thuật biến dạng giả định [7,8,12] như XFEM. Một vài nghiên cứu [13,14] cho thấy các chuyển vị gradient bậc cao tại lân cận mũi vết nứt có thể được mô hình thành công bằng cách sử dụng các lưới chia mịn, mặc dù làm tăng một lượng lớn nỗ lực tính toán. Và chú ý rằng tất cả các trường hợp đều không có độ mở mũi vết nứt. Hình 2: Ba phần tử chồng lên nhau và ràng buộc động học Từ đặc trưng của trường chuyển vị tại mũi vết nứt, cho phần tử nứt một phần Rabczuk [7] đã xây dựng các ràng buộc động học cho các phần tử chồng lên nhau mà chuyển vị vết nứt mở biến mất Vì vậy, chuyển vị của nút 1 được miêu tả bằng phần tử tại mũi của vết nứt. Điều đó cũng có nghĩa là chuyển vị 12 3 4 mà nút 2 và 3 là các nút ảo tương đồng nút thật ∗ ∗ ∗ ∗ gradient bậc cao gần mũi vết nứt không được miêu tả 2 và 3. Tương tự, phần tử 1 234 đại diện cho chuyển vị ∗ ∗ nhằm tăng tốc độ hội tụ của lời giải số. Đặc biệt trong cơ của nút 2 và phần tử 1234 đại diện cho chuyển vị nút 3 và học rạn nứt đàn hồi tuyến tính, trường chuyển vị tiệm cận 4. Ngoài ra, chuyển vị tương đồng của 3 phần tử này dọc quanh mũi vết nứt được xử lý bởi lưới mịn. Thực sự thì theo đoạn thẳng dẫn đến ràng buộc động học sau giữa rất khó khăn khi tích phân các hàm gradient bậc cao trong các nút ảo. 𝛤𝛤𝑘𝑘 phương pháp nút ảo. Từ tam giác đồng dạng 2 2 và 3 3 1 ∗ ∗ Một phần tử nứt một phần tứ giác bốn nút dùng phương = = ∆ 𝑃𝑃 ∆ 𝑃𝑃 (3) ∗ 3 3 1 + 𝑃𝑃 pháp nút ảo ở đây được giải thích và suy ra chi tiết hơn từ 𝐮𝐮 − 𝐮𝐮∗ − 𝜂𝜂 Với2 là2 chuyển vị𝑃𝑃 của 𝑘𝑘nút 3 và là tọa độ tự nhiên của [7]. Xem xét một trường hợp trong đó mũi vết nứt cắt cạnh 𝐮𝐮 − 𝐮𝐮 𝜂𝜂 ∗ điểm P,3 như Hình 2 𝑃𝑃 12 và mũi vết nứt nằm bên trong phần tử, như Hình 2. Do 𝐮𝐮 𝜂𝜂 Từ phương trình (3), chuyển vị của nút ảo 3 được ràng sự không liên tục ngang qua vết nứt, chuyển vị của nút 1 buộc bởi: và 2 phải thuộc về 2 trường chuyển vị riêng biệt được xấp = + (4) xỉ bởi FEM tiêu chuẩn. Hơn nữa, sự biến mất độ mở mũi ∗ ∗ Hay chuy3 ển 2vị của 2phần t3ử 12 3 4 bị ràng buộc bởi: vết nứt dẫn đến chuyển vị của nút 3 và 4 độc lập với xấp 𝐮𝐮 𝑘𝑘𝐮𝐮 − 𝑘𝑘𝐮𝐮 𝐮𝐮 ∗ ∗ xỉ chuyển vị nút 1 và 2. Để thực hiện xấp xỉ phần tử hữu 1 hạn cơ bản cho 3 chuyển vị khác nhau này, các nút ảo 𝐮𝐮 1 = ⎧ 2⎫ (5) 𝐮𝐮∗ 𝐈𝐈 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝐮𝐮 được thêm vào vị trí tương đồng với nút thật. 2 ⎪ 3⎪ 𝐮𝐮∗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝐈𝐈 𝐮𝐮 � 3� � � 4 𝐮𝐮 𝟎𝟎 𝑘𝑘𝑰𝑰 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 −𝑘𝑘𝑰𝑰 𝐮𝐮∗ 4 ⎨ 1⎬ Tuy nhiên, để đảm bảo sự liên tục của phần tử mũi vết nứt 𝐮𝐮 �𝟎𝟎���𝟎𝟎���𝟎𝟎��𝐈𝐈���𝟎𝟎���𝟎𝟎�� ⎪𝐮𝐮∗ ⎪ 𝑇𝑇1 2 ⎩�𝐮𝐮�𝑡𝑡�⎭ ngoại trừ vết nứt, ba chuyển vị riêng biệt của nút 1, nút 2, 𝑢𝑢𝑒𝑒 3
4. Trong đó I và 0 là ma trận 2x2 tương ứng. Và ngoại lực: Để xây dựng ràng buộc động học cho phần tử chồng lên nhau 1 234 xét hai tam giác đồng dạng 1 1 và = ∗ ∗ ∗ 4 4 , có thể viết như sau: 𝑇𝑇 ∆ 𝑄𝑄 𝐟𝐟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 � � 𝐍𝐍 𝒕𝒕0𝑑𝑑Γ ∗ 1 𝑡𝑡ấ𝑡𝑡 𝑐𝑐ả Γ𝑒𝑒 ∆ 𝑄𝑄 = = = + 𝑝𝑝ℎầ𝑛𝑛 𝑡𝑡ử ∗ 1 + Trong đó, là ma trận biến dạng chuyển vị, D là ma trận 𝐮𝐮4 − 𝐮𝐮4 − 𝜂𝜂𝑄𝑄 ∗ ∗ ∗ 𝑘𝑘 ⟹ 𝐮𝐮4 𝐮𝐮4 𝑘𝑘𝐮𝐮1 − 𝑘𝑘𝐮𝐮1 biến dạng phẳng hay ứng suất phẳng cơ bản, là chuyển là𝐮𝐮 1tọ−a 𝐮𝐮độ1 tự nhiên𝜂𝜂 𝑄𝑄của điểm Q và = 𝐁𝐁 𝑒𝑒 𝑄𝑄 𝑃𝑃1 234𝑄𝑄 vị nút của phần tử không nứt, và 𝐮𝐮là chuyển vị 𝜂𝜂Ràng buộc chuyển vị nút của phần tử𝜂𝜂 𝜂𝜂 là + − 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐 ∗ ∗ nút tương ứng của cặp phần tử𝐮𝐮 ch𝑒𝑒 ồng lên𝐮𝐮𝑒𝑒 nhau của phần tử nứt hoàn toàn; và là chuyển vị tại nút của phần tử 1 ∗ 𝐮𝐮 𝑡𝑡 1 = 2 (6) nứt một phần và cộng thêm𝑒𝑒 các nút ảo của cạnh bị cắt bởi 𝐮𝐮 𝐈𝐈 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝐈𝐈 𝟎𝟎 ⎧𝐮𝐮 ⎫ 𝐮𝐮 2 ⎪ 3⎪ 𝐮𝐮 𝟎𝟎 𝐈𝐈 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝐮𝐮 đoạn vết nứt, xem phương trình (5) và (6). � 3� � � 4 𝐮𝐮∗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝐈𝐈 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝐮𝐮∗ 4 ⎨ 1⎬ 𝐮𝐮 �𝑘𝑘�𝑰𝑰��𝟎𝟎���𝟎𝟎��𝐈𝐈���−�𝑘𝑘�𝑰𝑰��𝟎𝟎� ⎪𝐮𝐮∗ ⎪ Ở đây, tích phân số Gauss được sử dụng. Để chồng các 𝑇𝑇1 2 ⎩�𝐮𝐮�𝑡𝑡�⎭ Trường hợp vết nứt cắt qua cạnh 12 như𝑢𝑢𝑒𝑒 Hình 2, phần tử phần tử lên nhau, miền mà thuộc về phần bị nứt (phần tô chứa mũi vết nứt dùng phương pháp nút ảo của phần tử tứ đậm ở Hình 1 và Hình 2) được chia thành các tam giác giác bốn nút được mô hình bằng 3 phần tử chồng lên nhau phụ và tích phân Gauss tiêu chuẩn được ánh xạ vào các và được ràng buộc bởi phương trình (5) và (6). tam giác phụ này [2] để tính toán nội lực bởi vì các phần tử chồng lên nhau này chỉ lấy được tích phân trên các miền Tiếp cận tương tự, có thể xây dựng 3 phần tử chồng lên thực mà thôi. nhau và ràng buộc động học cho 3 trường hợp khác khi vết nứt cắt qua các cạnh còn lại 23, 34, 41. 3. PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG Xét là vật thể hai chiều có chứa vết nứt chịu tải tự do. BiênΩ vật thể chịu chuyển vị cho trước𝚪𝚪 trên𝑐𝑐𝑐𝑐 và tải trên biên tự nhiên𝚪𝚪 sao cho = 𝚪𝚪và𝑢𝑢 Hình 3: Ánh xạ của tam giác phụ chứa vết nứt 𝐭𝐭0 = . Giả định rằng𝚪𝚪 𝑡𝑡biến dạng 𝚪𝚪và𝑢𝑢 ∪ chuy𝚪𝚪𝑡𝑡 ển 𝚪𝚪vị là không𝚪𝚪𝑢𝑢 ∩ đáng𝚪𝚪𝑡𝑡 k𝟎𝟎ể và vật liệu làm việc trong phạm vi đàn hồi. Vật thể được rời rạc bởi các phần tử tứ giác bốn nút . Theo quyΩ trình phần tử hữu hạn tiêu chuẩn, phương trìnhΩ𝑒𝑒 cân bằng được rời rạc của vật thể được tính như sau: = Ω (7) Hình 4: Các tam giác phụ chứa vết nứt Vớ𝑖𝑖𝑖𝑖i 𝑖𝑖nội lự𝑒𝑒𝑒𝑒c𝑒𝑒 được tính bởi: 𝐟𝐟 𝐟𝐟 (a)-Phần tử nứt; (b)-Phần tử mũi vết nứt; = ô 𝑇𝑇 𝐟𝐟𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 � � 𝐁𝐁 𝐃𝐃𝐃𝐃𝑑𝑑Ω𝐮𝐮𝑒𝑒 4. VẾT NỨT PHÁT TRIỂN DO MỎI 𝑘𝑘ℎ 𝑛𝑛𝑛𝑛 Ω𝑒𝑒 𝑛𝑛ứ𝑡𝑡 + + + − Ứng xử tiêu biểu của vết nứt phát triển do mỏi có thể chia 𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑇𝑇 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒 𝑒𝑒 à à � �+ 𝐁𝐁 𝐃𝐃𝐃𝐃𝑑𝑑Ω𝐮𝐮 �− 𝐁𝐁 𝐃𝐃𝐃𝐃𝑑𝑑Ω𝐮𝐮 � � Ω𝑒𝑒 Ω𝑒𝑒 𝑛𝑛ứ𝑡𝑡 ℎ𝑜𝑜 𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑛𝑛 làm ba giai đoạn chính [20]: giai đoạn vết nứt ban đầu, + + + giai đoạn vết nứt phát triển ổn định và giai đoạn vết nứt 𝑻𝑻 𝑇𝑇 𝑡𝑡 𝑻𝑻 𝑇𝑇 𝑡𝑡 𝑇𝑇 � � � 𝑻𝑻𝟏𝟏 𝐁𝐁 𝐃𝐃𝐃𝐃𝑻𝑻𝟏𝟏𝑑𝑑Ω𝐮𝐮𝑒𝑒 � 𝑻𝑻𝟐𝟐 𝐁𝐁 𝐃𝐃𝐃𝐃𝑻𝑻𝟐𝟐𝑑𝑑Ω𝐮𝐮𝑒𝑒 � 𝐁𝐁 𝐃𝐃𝐃𝐃𝑑𝑑Ω𝐮𝐮𝑒𝑒� 𝑛𝑛ứ𝑡𝑡 𝑡𝑡1 𝑡𝑡2 𝑡𝑡3 Ω Ω Ω 𝑚𝑚ộ𝑡𝑡 𝑝𝑝ℎầ𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑒𝑒 phát triển không còn ổn định. Phạm vi của bài báo tập 4
5. trung vào giai đoạn II, giai đoạn vết nứt phát triển ổn định. 5. CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG Nghĩa là vật thể đã xuất hiện vết nứt ban đầu. Để đánh giá độ chính xác và chắc chắn của phương pháp đề xuất, tác giả đã tính toán SIFs của bốn ví dụ tiêu biểu Định luật Paris [16] cho mô hình vết nứt phát triển phát và hai ví dụ về dự đoán sự phát triển vết nứt do mỏi mà biểu như sau: không cần chia lại lưới. = (8) 𝑚𝑚 5.1. Tính toán SIFs 𝑑𝑑𝑑𝑑 Với: C và𝐶𝐶 m�Δ là𝐾𝐾 𝐼𝐼các𝑒𝑒𝑒𝑒� đặc trưng vật liệu; a là chiều dài vết 5.1.1. Tấm chữ nhật có vết nứt 𝑑𝑑𝑑𝑑 nứt; N là số chu kỳ tải và được tính bởi và Xét trạng thái ứng suất phẳng của một tấm có kích thước 𝐼𝐼𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐼𝐼 thay cho và . Δ𝐾𝐾 ∆𝐾𝐾 bxl = 7x16, dày h = 1, có vết nứt ở biên dài a = b/2 = 3.5. ∆𝐾𝐾𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝐾𝐾(𝐼𝐼 )𝐾𝐾𝐼𝐼𝐼𝐼+ ( ) (9) Vật liệu dùng có E = 3e7, ν = 0.25. 2 2 làΔ 𝐾𝐾ph𝐼𝐼𝑒𝑒𝑒𝑒ạm vi� củ∆a𝐾𝐾 h𝐼𝐼 ệ số tậ∆p𝐾𝐾 trung𝐼𝐼𝐼𝐼 ứng suất trong suốt Lời giải giải tích SIFs của mode I cho tấm chịu kéo [2]: = (11) ∆chu𝐾𝐾 kì chất tải, được tính bởi = = ( ) ( ) (10) 𝐼𝐼 = 1.12 0.231 + 10.55 21.72 + 30.39 𝐾𝐾 𝐶𝐶𝐶𝐶√𝜋𝜋𝜋𝜋 2 3 4 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎 và 𝑚𝑚𝑚𝑚 là𝑚𝑚 hệ s𝑚𝑚ố𝑚𝑚𝑚𝑚 tập trung𝑚𝑚𝑚𝑚 ứng𝑚𝑚 suất tương𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ứng được 𝐶𝐶 − � � � � − � � � � ∆𝐾𝐾 𝐾𝐾 − 𝐾𝐾 𝐾𝐾 𝜎𝜎 − 𝐾𝐾 𝜎𝜎 Và lời giải giải tích𝑏𝑏 SIFs tham𝑏𝑏 khảo cho t𝑏𝑏ấm chịu cắt𝑏𝑏 [15] gây𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚ra bởi 𝑚𝑚ứ𝑚𝑚𝑚𝑚ng suất cực đại, , và ứng suất cực tiểu, 𝐾𝐾 𝐾𝐾 KI = 34, KII = 4.55 , của chu kỳ tải. 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜎𝜎Vi𝑚𝑚ệ𝑚𝑚𝑚𝑚c xác định sự phát triển vết nứt do mỏi của phương pháp đề xuất dựa vào hai nhân tố: chiều dài số gia mới của vết nứt và hướng của đoạn tăng vết nứt mới. Trong đó, hướng của đoạn tăng vết nứt thì dựa trên định lý ứng suất chính tối đa [2]. Sự phát triển của vết nứt ổn định sẽ ngừng khi SIFs tương đương đạt đến độ cứng phá hoại. Chu trình tính toán sự phát triển vết nứt như sau: Hình 5: Tấm chịu kéo (a) và tấm chịu cắt (b) Tấm được rời rạc thành × phần tử tứ giác bốn nút, trong đó , lần lượt 𝑛𝑛là𝑥𝑥 số 𝑛𝑛ph𝑦𝑦 ần tử dọc theo trục x và trục y tương𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑛𝑛 ứ𝑦𝑦ng. Có 4 loại lưới chia, 15x33, 45x99, 75x165 và 135x297 phần tử, được dùng để so sánh độ chính xác và tốc độ hội tụ của phương pháp trình bày với phương pháp nút ảo dùng phần tử tam giác ba nút và phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng XFEM dùng phần tử tứ giác bốn nút. Hệ số SIFs chuẩn hóa, là tỷ số của kết quả tính toán số và kết quả tham khảo ở trên, được thể hiện ở Hình 6 cho tấm chịu kéo và Hình 7 và 8 cho tấm chịu cắt 5
6. Bảng 1: Hệ số tập trung ứng suất KI tấm chịu kéo Hệ số tập trung ứng suất Lưới chia KI –ref KI chuẩn KI 𝐼𝐼 𝐼𝐼−𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 [2] hóa 𝐾𝐾 − 𝐾𝐾 𝐾𝐾(𝐼𝐼%−𝑟𝑟𝑟𝑟) 𝑟𝑟 15x33 8.5 0.9090 9.1 45x99 9.03 0.9657 3.75 9.351 75x165 9.13 0.9764 2.36 135x297 9.21 0.9849 1.5 Hình 7: SIFs KI chuẩn hóa của tấm chịu cắt. Bảng 3: SIFs KII của tấm chịu cắt Hệ số tập trung ứng suất Lưới chia KII KII-exact KII chuẩn [29] hóa 𝐾𝐾𝐼𝐼𝐼𝐼 − 𝐾𝐾𝐼𝐼𝐼𝐼−𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐾𝐾𝐼𝐼𝐼𝐼−𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 15x33 4.44 0.9758 2.42 45x99 4.5 0.9890 1.1 4.55 75x165 4.51 0.9912 0.88 135x297 4.52 0.9934 0.66 Hình 6: SIFs KI chuẩn hóa của tấm chữ nhật chịu kéo Bảng 2: SIFs KI của tấm chịu cắt Hệ số tập trung ứng suất Lưới chia KI KI chuẩn 𝐼𝐼 𝐼𝐼−𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝐾𝐾𝐼𝐼[2]−𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟 hóa 𝐾𝐾 − 𝐾𝐾 𝐾𝐾(𝐼𝐼%−𝑟𝑟𝑟𝑟) 𝑟𝑟 15x33 30.74 0.9041 9.59 Hình 8: SIFs KII chuẩn hóa của tấm chịu cắt 45x99 32.94 0.9688 3.12 34 75x165 33.35 0.9809 1.91 Kết quả tính toán số chỉ ra rằng khi lưới chia càng mịn thì 135x297 33.65 0.9897 1.03 SIFs tính toán bằng phương pháp trình bày càng tiến gần về lời giải tham khảo. Phương pháp nút ảo cho phần tử tứ giác bốn nút làm tăng độ chính xác đáng kể so với phương 6
7. pháp nút ảo dùng phần tử tam giác ba nút. Nhưng phương = sin( ) cos( ) (14) pháp trình bày không có độ chính xác và tốc độ hội tụ 𝐾𝐾𝐼𝐼𝐼𝐼 𝜎𝜎√𝜋𝜋𝜋𝜋 𝛽𝛽 𝛽𝛽 ngang bằng với XFEM vốn xấp xỉ chuyển vị tiệm cận. 5.1.2. Bài toán tấm có lỗ Xét bài toán tấm chữ nhật có = = 1 và ( ) 2 + = như Hình 9. Chọn 2hℎ=⁄𝑤𝑤2w =𝑎𝑎⁄40𝑟𝑟 và = =𝑟𝑟 5.𝑎𝑎 Vật li𝑤𝑤ệu có E = 3e7, ν = 0.25, bề dày tấm = 1𝑟𝑟, σ =𝑎𝑎 1 phân bố đều tại cạnh trên và dưới của tấm. δ Lời giải tham khảo [18]: Hình 10: Tấm chữ nhật có vết nứt xiên giữa tấm = 1.5627 ( + ) (12) 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 Bảng 5 và 6 thể hiện kết quả SIFs và sai số của mô hình. Do𝐾𝐾 𝐼𝐼tính chất đối x𝜎𝜎ứ�ng,𝜋𝜋 đ𝑟𝑟ể đơn𝑎𝑎 giản ta mô hình một nửa Quan hệ giữa SIFs và góc β được thể hiện ở Hình 11. tấm. Bảng 5: So sánh lời giải mô hình và lời giải chính xác Lời giải tham khảo Góc β Mô hình [2] Đv: Độ KI KII KI-ref KII-ref 0 1.24 0 1.25 0 10 1.22 0.22 1.22 0.214 20 1.107 0.4013 1.1067 0.4028 30 0.95 0.57 0.9399 0.542 Hình 9: Tấm vuông có vết nứt đối xứng qua lỗ 40 0.747 0.65 0.74 0.62 Bảng 4: SIFs cho tấm có vết nứt đối xứng qua lỗ. 45 0.604 0.607 0.611 0.611 Số phần ( + ) Bảng 6: Sai số giữa mô hình và lời giải chính xác ( + ) 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 tử 𝐼𝐼 [18] 𝐾𝐾 �𝜎𝜎�𝜋𝜋 𝑟𝑟 𝑎𝑎 Hệ số tập trung ứng suất 𝐾𝐾𝐼𝐼 �𝜎𝜎�𝜋𝜋 𝑟𝑟 𝑎𝑎 95160 1.6 1.5627 (%) (%) 130675 1.57 𝐾𝐾𝐼𝐼 − 𝐾𝐾𝐼𝐼−𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝐾𝐾𝐼𝐼𝐼𝐼 − 𝐾𝐾𝐼𝐼𝐼𝐼−𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 0 0 𝐾𝐾𝐼𝐼−𝑟𝑟𝑟𝑟0.8𝑟𝑟 𝐾𝐾𝐼𝐼𝐼𝐼−𝑟𝑟𝑟𝑟0𝑟𝑟 Kết quả tính toán hệ số tập trung ứng suất được thể hiện 100 0 2.8 trong Bảng 4. Lưới chia càng mịn thì kết quả hệ số tập 200 0.027 0.37 trung ứng suất càng gần với kết quả tham khảo [18]. 300 1.07 5.1 5.1.3. Bài toán tấm có vết nứt nằm nghiêng giữa tấm 400 0.95 4.8 450 1.15 0.65 Tấm chữ nhật như Hình 10, kích thước 10x10x1, ½ vết nứt ở giữa tấm có chiều dài a = 0.5. Vật liệu dùng có E = Kết quả SIFs KI, KII tính bằng phương pháp đề xuất khá 7 3x10 , ν = 0.25. σ = 1 phân bố đều tại cạnh trên và dưới tốt so với kết quả giải tích khi góc thay đổi từ 0-450. Đối của tấm, β là góc hợp bởi vết nứt và phương ngang. với bài toán này, bài báo chỉ khả𝛽𝛽o sát độ chính xác chứ Lời giải giải tích cho hệ số tập trung ứng suất [2]: không khảo sát độ hội tụ. = ( ) (13) 2 𝐾𝐾𝐼𝐼 𝜎𝜎√𝜋𝜋𝜋𝜋𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽 7
8. Bảng 7: SIFs và bước phát triển vết nứt. Sai Sai số Vị trí mũi SIFs số % vết nứt [19] Tham % 𝐼𝐼 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 1425𝐾𝐾 2808 khảo PP PP x y phần phần tử [2] Nút XFEM tử Q4 T3 ảo 0.22 1.0 1.181 1.1557 1.1803 0.06 2.08 0. 37 1.0 2.108 2.0539 2.1 0.38 2.19 0.52 1.0 3.786 3.7474 3.8607 1.93 2.93 0.67 1.0 7.596 7.5327 7.678 1.07 1.9 Hình 11: SIFs KI, KII cho tấm có vết nứt nghiêng. 5.2. Tính toán tuổi thọ do mỏi 5.2.1. Tấm có vết nứt thẳng Tấm chữ nhật như Hình 12 có kích thước × = 1 × 2, dày = 1, có vết nứt ở biên nằm ngang dài𝑏𝑏 =𝑙𝑙0.22. Vật liệu ℎdùng có = 3 7, = 0.25. Tấm chị𝑎𝑎u kéo có = 0~1 phân bố 𝐸𝐸đều tại𝑒𝑒 cạnh𝜈𝜈 trên và dưới của tấm. 𝜎𝜎 Chia lưới × = 25 × 57, gồm 1425 phần tử. Hướng Hình 13: Hệ số SIFs theo chiều dài vết nứt Trong bài toán này, phương pháp nút ảo cho kết quả hệ số phát triển v𝑛𝑛ế𝑥𝑥t nứ𝑛𝑛t 𝑦𝑦được tính từ các hệ số tập trung ứng suất theo tiêu chuẩn ứng suất chính tối đa [2]. Bài toán cho vết tập trung ứng suất khá sát với lời giải tham khảo [2] 𝐼𝐼 nứt phát triển 4 bước, mỗi bước vết nứt phát triển một 5.2.2. Tấm có vết𝐾𝐾 nứt nghiêng đoạn 0.15. Tấm chữ nhật hai chiều chịu tải trọng biên độ không đổi như mô hình theo [16], kích thước 100x200 mm, có vết nứt biên dài 20mm, nghiêng một góc 400 so phương ngang, chịu ứng suất kéo trong khoảng = 0 đến = 40 / (Hình 14). Đặc trưng v𝜎𝜎ậ𝑚𝑚t li𝑚𝑚𝑚𝑚ệu tấm như sau:𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚mô đun𝑁𝑁 đàn𝑚𝑚𝑚𝑚 hồi: = 74000 / ; hệ số Poisson: 2 = 0.3; độ bền: 𝐸𝐸 = 897.36 𝑁𝑁 𝑚𝑚𝑚𝑚 ; số mũ và 3⁄2 h𝜐𝜐ằng số Paris: 𝐾𝐾=𝐼𝐼𝐶𝐶 3.32; = 2𝑁𝑁.087136⁄𝑚𝑚𝑚𝑚 × 10 −13 Chia lưới gồm 12880𝑚𝑚 phần tử𝐶𝐶 tứ giác, lưới chia (80x161) gồm 80 phần tử theo phương ngang và 161 phần tử theo phương đứng. Bài toán cho vết nứt phát triển 9 bước, mỗi Hình 12: Tấm có vết nứt biên nằm ngang chịu kéo bước phát triển một đoạn 5mm, và hướng được xác định Sự phát triển vết nứt thể hiện qua Bảng 7 và Hình 13 bởi tiêu chuẩn ứng suất chính tối đa [2]. 8
9. 6. KẾT LUẬN Bài báo đã trình bày phương pháp nút ảo với cho phần tử tứ giác bốn nút, dùng ràng buộc động học cho chồng lên nhau của các phần tử, trong đó cho phép vết nứt cắt toàn bộ hoặc một phần các phần tử. Các điều kiện ràng buộc động học được phát triển để thể hiện sự bất liên tục của vết nứt. Do đó khi vết nứt phát triển tùy ý thì không cần chia lại lưới, giúp tiết kiệm rất nhiều thời gian tính toán. Phương pháp nút ảo dùng phần tử tứ giác bốn nút khi tính toán hệ số tập trung ứng suất cho tấm chịu kéo hay chịu cắt thu được kết quả gần với lời giải giải tích và độ chính Hình 14: Tấm chịu kéo có vết nứt biên nghiêng góc 400 xác cao hơn so với phương pháp nút ảo phần tử tam giác ba nút. Phương pháp nút ảo dùng phần tử tứ giác bốn nút khi áp dụng cho bài toán vết nứt phát triển do mỏi cũng thu được kết quả tốt so với lời giải giải tích và kết quả của các phương pháp khác như XFEM. 7. KIẾN NGHỊ Đề tài còn giới hạn trong tính toán vật thể chỉ bị một vết nứt cắt qua. Do đó, trong tương lai có thể nghiên cứu tính toán thêm cho trường hợp vật thể bị cắt bởi nhiều vết nứt. Lưới chia càng mịn thì phương pháp nút ảo dùng cho phần tử bốn nút càng cho ra kết quả chính xác. Những nghiên Hình 15: Tuổi thọ mỏi của tấm có vết nứt nghiêng 400 cứu tiếp theo có thể kết hợp với các phương pháp kĩ thuật Kết quả tính toán tuổi thọ mỏi bằng phương pháp nút ảo làm mịn lưới như phương pháp phần tử trơn để phát phần tử tứ giác bốn nút khá phù hợp với kết quả tham huy thêm ưu điểm của phương pháp này. khảo khi tính bằng phương pháp Meshless [17]. Tuổi thọ mỏi của kết cấu ứng với chiều dài vết nứt là 61.5mm, so với [17] có chiều dài vết nứt là 61.3mm. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R. S. Barsoum, On the use of isoparametric finite elements in linear fracture mechanics, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 10, pp. 25–37, 1976. [2] N. Moes, J. Dolbow, T. Belytschko. A finite element method for crack growth without remeshing. International̈ Journal for Numerical Methods in Engineering, 1999; 46:131–150. [3] A. Hansbo, P. Hansbo. A finite element method for the simulation of strong and weak discontinuities in solid mechanics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 2004; 193(33–35):3523–3540. [4] J. Mergheim, E. Kuhl, P. Steinmann. A finite element method for the computational modelling of cohesive cracks. Int J Numer Methods Eng 2005;63:276–89. 9
10. [5] J. Mergheim, E. Kuhl, and P. Steinmann, Towards the algorithmic treatment of 3D strong discontinuities, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 23, pp. 97–108, 2007. [6] P. M. A. Areias, J. H. Song, T. Belytschko. Analysis of fracture in thin shells by overlapping paired elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering 2006; 195:5343–5360. [7] T. Rabczuk, G. Zi, A. Gerstenberger, W. A. Wall. A new crack tip element for the phantom-node method with arbitrary cohesive cracks. Int J Numer Methods Eng 2008;75:577–99. [8] Thanh Chau-Dinh, Goangseup Zi, Phill-Seung Lee, Timon Rabczuk, Jeong-Hoon Song. Phantom-node method for shell models with arbitrary cracks. Computers and Structures 92-93 (2012) 242–256. [9] K.-J. Bathe. Finite Element Procedures. Prentice Hall International, Inc., 1996. [10] T.-P. Fries and T. Belytschko, The extended/generalized finite element method: An overview of the method and its applications, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 84, pp. 253–304, 2010. [11] A. Asadpoure and S. Mohammadi, Developing new enrichment functions for crack simulation in orthotropic media by the extended finite element method, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 69, pp. 2150–2172, 2007. [12] N. Moes, and T. Belytschko, Modeling fracture in Mindlin-Reissner plates with the extended finite element method, International Journal of Solids and Structures, 37, pp. 7161–7183, 2000. [13] H. Nguyen-Dang and N. Tran-Thanh, Analysis of cracked plates and shells using ‘metis’ finite element model, Finite Elements in Analysis and Design, 40, pp. 855–878, 2004. [14] C. H. Furukawa, M. L. Bucalem, and I. J. G. Mazella, On the finite element modeling of fatigue crack growth in pressurized cylindrical shells, International Journal of Fatigue, 31, pp. 629–635, 2009. [15] J. F. Yau, S. S. Wang, and H. T. Corten, A mixed-mode crack analysis of isotropic solids using conservation laws of elasticity, Journal of Applied Mechanics, 47, pp. 335–341, 1980. [16] P. C. Paris and F. Erdogan, A critical analysis of crack propagation laws. Journal of Basic Engineering, 85, pp. 528–534, 1963 [17] M. Duflot and H. Nguyen-Dang. A meshless method with enriched weight functions for fatigue crack growth, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 59, pp. 1945–1961, 2004. [18] Chungchu Chang, Mark E. Mear. A boundary element method for two dimensional linear elastic fracture analysis. International Journal of Fracture 74:219-251, 1995. [19] P. Nguyen-V. An object oriented approach to the extended finite element method with applications to fracture mechanics. Master’s thesis, EMMC – Ho Chi Minh University of technology, Vietnam, November (2005). [20] L. T. Anderson. Fracture Mechanics - Fundamentals and Applications. Taylor & Francis, 3rd edition, 2005. 10
11. Tp, Hồ Chí Minh, ngày tháng 11 năm 2005 Giảng viên hướng dẫn (Ký & ghi rõ họ tên) 2
12. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2016-2017 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.