Phân tích kết cấu có vết nứt bằng phương pháp nút ảo sử dụng trường biến dạng trơn

Nội dung text: Phân tích kết cấu có vết nứt bằng phương pháp nút ảo sử dụng trường biến dạng trơn

1. PHÂN TÍCH KẾT CẤU CÓ VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP NÚT ẢO SỬ DỤNG TRƯỜNG BIẾN DẠNG TRƠN Nguyễn Văn Nhàn1,* 1Công ty TNHH Tư Vấn - Thiết Kế - Xây Dựng GIA NGUYÊN 334/11 Minh Phụng, Phường 2, Quận 11, Tp Hồ Chí Minh *nguyenthanhnhan_ts@yahoo.com TÓM TẮT Phân tích kết cấu có vết nứt bằng phương pháp nút ảo sử dụng trường biến dạng trơn. Cụ thể xây dựng phương pháp nút ảo dùng phần tử tứ giác bốn nút có trường biến dạng được làm trơn để phân tích kết cấu có vết nứt mà không chia lại lưới khi vết nứt phát triển. Trong quá trình mô phỏng, cho vết nứt cắt hoàn toàn qua một số phần tử và mũi vết nứt nằm trong phần tử (phần tử cắt một phần). Các phần tử có vết nứt cắt qua hoàn toàn được phân tích thành hai phần tử chồng lên nhau và mỗi phần tử đều có những nút thực và nút ảo, miền thực và miền ảo. Tại vị trí vết nứt là ranh giới giữa miền thực và miền ảo. Phần tử có chứa mũi nứt (phần tử cắt một phần) được phân tích thành ba phần tử chồng lên nhau và mỗi phần tử đều có những nút thực và nút ảo, miền thực và miền ảo. Quan hệ động học được thiết lập sao cho không có bước nhảy của chuyển vị tại mũi vết nứt. Cách tiếp cận bằng phương pháp nút ảo như sử dụng trường chuyển vị bất liên tục đó là điểm khác biệt so với phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng. Do đó, có thể áp dụng kỹ thuật làm trơn trường biến dạng. Kỹ thuật làm trơn được áp dụng cho các phần tử không nứt. Phương pháp này được áp dụng để tính hệ số tập trung ứng suất cho bài toán hai chiều và tính sự phát triển vết nứt do mỏi. So sánh với các kết quả tham khảo, phương pháp này cho kết quả khá tốt. Do đó, phương pháp nút ảo có thể áp dụng trong các tính toán thực tế và cho kết quả hợp lý. Từ khóa: phương pháp nút ảo, phần tử tứ giác bốn nút, biến dạng trơn, vết nứt, SIFs, mỏi 2
2. hình đã dựng và sử dụng phương pháp đã 1. Giới Thiệu chọn để giải quyết bài toán. Sự phá huỷ của nhiều công trình thường 2. Phương Pháp Nút Ảo được bắt đầu từ các vết nứt của các phần tử Xét một vật thể biến dạng trong miền Ω khi chịu lực chính. Chính vì vậy, việc phát hiện chuyển vị, chịu lực bản thân b, trên biên kịp thời các vết nứt trong kết cấu và tìm ra đặt lực kéo t= và có chuyển vị biên u = giải pháp tính toán kết cấu có vết nứt và đưa trên vật thể chứa một vết nứt như thể ra biện pháp chống nứt hữu hiệu để tránh các hiện trong Hình 2.1. Tương ứng với phần tử hư hỏng, tai nạn có thể xảy ra. Do đó, thời rời rạc hữu hạn, trong phương pháp nút ảo, gian gần đây trên các tạp chí về kỹ thuật một phần tử hoàn toàn nứt được thay thế công trình,toán học ứng dụng, dao động, cơ bằng hai phần tử hoạt động chồng lên nhau học phá hủy công bố nhiều công trình phần tử 1và phần tử 2 có các nút thực và các nghiên cứu về kết cấu có vết nứt. Có nhiều nút ảo được đánh dấu bởi các vòng tròn rắn cách phân tích tính toán kết cấu có vết nứt và trống rỗng tương ứng. Phần hoạt động bằng phương pháp số chẳng hạn: Phương 1 của 1 ,u (x) tương ứng cho (x) 0. Hai thành phần của mô hình không phần tử hữu hạn mở rộng, phương pháp nút dùng chung các nút. Do đó, chúng có biến ảo. Ngoài ra, hiện nay, các phương pháp dạng độc lập. phần tử hữu hạn sử dụng trường biến dạng trơn đang được phát triển mạnh, do có khả năng giải quyết được các bài toán có lưới không đều. Nội dung chính của chuyên đề này là: Phân tích kết cấu có vết nứt bằng phương pháp nút ảo sử dụng trường biến dạng trơn gồm hai phần: phương pháp nút ảo và biến dạng trơn, kết hợp hai vấn đề đó để tìm ra phương pháp số giải bài toán kết cấu có vết nứt. Trước tiên, ta phải xây dựng mô hình vết nứt trong Hình 2.1: Nguyên tắc tính toán của phương kết cấu và mô hình kết cấu có vết nứt, sau đó pháp nút ảo tiến hành tính toán phân tích dựa trên mô 3
3. Trường chuyển vị của phần tử là tổng hai 1 N1 11  trường chuyển vị của hai phần tử chồng lên 4 1 nhau. N 11  2 4 (2.2) (2.2) 2.1 Phần tử không nứt [8] 1 N 11  Phần tử không có vết cắt đi qua, cho nên vật 3 4 1 liệu của phần tử là liên tục. Dó đó, sử dụng N 11  4 4 phương pháp phần tử hữu hạn (FEM- QSC4) để tính toán. Hàm xấp xỉ toạ độ của phần tử. Xét phần tử tứ giác có 4 nút 1, 2, 3, 4 mỗi x x N x N x N x N 1 1 2 2 3 3 4 4 (2.3) (2.3) nút có 2 bậc tự do như hình vẽ 2.3. y y1 N 1 y 2 N 2 y 3 N 3 y 4 N 4 ue u1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4 x, y: là toạ độ của phần tử theo phương x và y. xi, yi: là toạ độ nút thứ i theo phương x và y. Trường biến dạng (phương trình Cauchy) u x  x Hình 2.3 Phần tử không nứt trong hệ tọa v ε  y   (2.4) (2.4) y độ vật lý và hệ tọa độ tự nhiên  xy uv Hàm xấp xỉ của chuyển vị. yx 4 x: là biến dạng theo phương x u x, y  Nii u i 1 2.1 (2.1) 4 y: là biến dạng theo phương y v x, y  Nii v i 1 xy: là biến dạng theo 2 phương x, y u,v: là các chuyển vị của phần tử theo Thay (2.1) vào (2.4) ta được: phương x và y. Ni 0  x ui, vi: là các chuyển vị theo phương x và y x 4 Ni ui ε  y 0 (2.5) (2.5) của nút thứ i.  v i 1 y i  xy N : là hàm dạng và được chọn: NNii i yx Viết lại: 4
4. 4 4 4 4 u1 n N 0 n N 0 n N 0 n N 0 xi1  xi 2  xi 3  xi 4 v1 i 1 i 1 i 1 i 1 NNN1  2N3  4 0 0 0 0 u ~ 4 4 4 4 x  x  x  x 2 B 0 n N 0 n N 0 n N 0 nN yi1  yi 2  yi 3  yi 4 NNN N  v2 i 1 i 1 i 1 i 1 ε 0 1 0 2 0 3 0 4  Bq u 4 4 4 4 4 4 4 4 y  y  y  y 3 nNyi1  nN xi 1  nN yi 2  nN xi 2  nN yi 3  nN xi 3  nN yi 4  nN xi 4 NNNNNN   NN   v i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 1 2 2 33 4 4 3 y  x  y  x  y  x  y  x u4 (2.10) (2.10) v4 (2.6) Ma trận độ cứng của phần tử (2.6) T Trong đó: ~~~ ke  ΒDΒ d (2.11) (2.11)  NNN N  e 1 0 2 0 3 0 4 0 x  x  x  x Trong đó: NNN1  2N3  4 B 0 0 0 0 y  y  y  y (2.12) NNNNNN1  1  2  2NN33  4  4 y  x  y  x  y  x  y  x (2.7) (cho trường hợp ứng suất phẳng) (2.7) (2.12) T q u1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4  (2.8) (2.8) (2.13) Biến dạng trơn là sự làm mịn miền biến dạng thành một tập hợp con không chồng lấn (Cho trường hợp biến dạng phẳng) (2.13) lên nhau và giữa các phần tử con không có Với E là mô đun đàn hồi, là hệ số Poisson. khoảng cách. Các phần tử biến dạng được làm trơn trên biên phần tử. Cho nên, việc tính toán ma trận độ cứng không còn phụ thuộc vào nút phần tử mà dựa trên biên trơn của phần tử. Áp dụng kỹ thuật làm trơn trên toàn bộ phần tử như Hình 2.4, theo [6] ma trận ,B được Hình 2.4 Phần tử được làm trơn viết lại: 2.2 Phần tử nứt hoàn toàn [5] ~ 1 εε d  với  Trong phần tử bị cắt hoàn toàn, trường  Ae e chuyển vị của phần tử bị gián đoạn tại vết ~~1 ε Bqd  Bq (2.9) nứt, nhưng trên mỗi phần tử riêng(2.9)  v à A ee e e thì liên tục. vì thế trường chuyển vị của phần Trong đó tử là tổng hai trường chuyển vị thành phần chồng lên nhau. Trường chuyển vị trong hai 5
5. phần tử thành phần sẽ được mở rộng về phía pp v à . Trên hai miền có thêm các nút ảo địa phương 3 ,4 ,1 ,2 . Các nút ảo này có các thành phần chuyển vị nút như nút thật. Kết quả như phần tử liên tục và áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán. Hình 2.6: Phần tử nứt một phần (trường Hình 2.5: Phần tử nứt hoàn toàn hợp 1) Trường chuyển vị Trường hợp 1: xét phần tử 4 nút có vết cắt 4 qua như Hình 2.6, vết nứt phát triển từ cạnh  , u   JJ 41 vào bên trong phần tử. Lúc này ta chia u , j 1 (2.14) (2.14) cr 4 phần tử thành 3 phần tương ứng với các tứ  KK , u  k 1 t1 t2 t3 giác có diện tích e , e , e . Các tứ giác J 1*,2*,3,4 ; k= 1,2,3*,4* này có các nút thực 1,2,3,4 và nút ảo Ma trận độ cứng của phần tử: 1 ,2 ,3 ,4 . Cạnh song song truc  , giao TTT k B DBd  B DB d  B DB d  (2.15) (2.15) e điểm giữa cạnh với các biên 34 và 12    e ee là:P ( , 1) và Q ( ,1) . Từ điều kiện cho sự 2.3 Phần tử bị cắt một phần [5] khác biệt về chuyển vị bằng 0 dọc theo Trường chuyển vị có bước nhảy tại vị trí có đường có thể đặt ra một sự rang buộc vết nứt, nhưng tại đầu vết nứt không có bước nhảy. dựa vào đặc trưng trường chuyển vị động học như sau: * * của phần tử mũi vết nứt, Rabczuk [3] đã xây Xét 2 tam giác 44 P và tam giác 33 P ta có * dựng mối liên hệ động học cho phần tử uu33 1 P * k (2.16) chồng lên nhau sao cho chuyển vị tại biên uu44 1 P k bằng không. 6
6. * * Trong đó u3 là chuyển vị của nút ảo 3 và Tiếp cận tương tự, có thể xây dựng 3 phần tử P lạ toạ độ điểm P theo trục  Hình 2.7 chồng lên nhau và ràng buộc động học cho 3 Từ (2.16) suy ra trường hợp khác khi vết nứt cắt qua các cạnh còn lại 34, 23, 12. u3 u 3 kk u 4 u 4 (2.17) (2.17) * * Chuyển vị của phần tử 123 4 là 2.4 Ma trận độ cứng của kết cấu u1 Phương trình cân bằng: uu 12 I 0 0 0 0 0 (2.22) (2.35) uu 0 I 0 0 0 0 23 t   Tu1 e * u u3 0 0 I kk I 0 - I 4 Với: là ngoại lực * 0 0 0 0 0 I u* u4 1 * ấ ả ầ ử (2.36)  u4 (2.18) (2.18) là vec tơ ứng suất trên biên: 1 0 0 0 ở đây I0 ; 0 1 0 0 Độ cứng K: t ~~T T1 là ma trận 8x12, ue là ma trận 12x1. K ô ứ ΒDΒ d e Tương tự xét 2 tam giác 11*Q và tam giác Ω Ω ứ Ω Ω 22*Q ta có * 1  uu22 Q k (2.19) Ω (2.19) uu * 1  11 Q ũ Ω Từ (2.19) suy ra Ω u2 u 2 kk u 1 u 1 (2.20) (2.20) Ω Với Q là toạ độ của điểm Q theo trục  và Q=P Ω Chuyển vị của phần tử 1*2*34 là Ω u1 3. Tích phân số * u u1 0 0 0 0 I 0 2 Đối với các phần tử không bị cắt bởi vết nứt, * kkI I 0 0 - I 0 u u2 3 t   Tu2 e dùng tích phân Gauss tiêu chuẩn với 4 điểm 0 0 I 0 0 0 u u3 4 * Gauss (2x2) để tính. Phần tử bị nứt hoàn u 0 0 0 I 0 0 u1 4 * toàn hoặc nứt một phần chỉ được tính tích  u4 (2.21) phân trên phần thực, có thể là hình(2.21) tam giác, 7
7. tứ giác hoặc ngũ giác. Do đó, phải hiệu chỉnh tích phân Gauss tiêu chuẩn bằng cách chia phần thực thành các tam giác phụ sao cho cạnh của nó phải thẳng hàng với hình dạng vết nứt. Trong mỗi tam giác phụ, điểm Gauss được hiệu chỉnh ụ ụ như sau: Hình 2.11b: Các tam giác phụ được chia của ụ phần tử nứt một phần ụ 4. Vết nứt phát triển do mỏi là giá trị hàm dạng tại điểm Gauss tiêu chuẩn. là tọa độ nút của vùng tam giác phụ đo trong hệ tọa độ tự nhiên của phần tử. Hình 2.10: Ánh xạ của tam giác phụ Hình 4.1: Sự phát triển vết nứt. chứa vết nứt Trong các kết cấu thành mỏng làm bằng các vật liệu dòn, chịu tải trọng lặp với biên độ không đổi. Cho một vết nứt đi xiên qua bề dày kết cấu, trong quá trình chịu tải trọng lặp với chu kì dN,vết nứt sẽ phát triển thêm một đoạn da do mỏi. Đường cong phát triển vết Hình 2.11a: Các tam giác phụ được chia của nứt do mỏi được chia làm ba giai đoạn chính phần tử nứt hoàn toàn: [16]: Giai đoạn vết nứt ban đầu; giai đoạn (a) Dạng vết cắt 1 vết nứt phát triển ổn định và giai đoạn vết (b) Dạng vết cắt 2 nứt mất ổn định. Thể hiện ở hình Hình 4.1. 8
8. Giai đoạn I: vết nứt mới hình thành và phát C và m là các hằng số vật liệu. triển chậm tỷ số da/dN tiệm cận với không a là chiều dài vết nứt khi chạm ngưỡng giá trị của . N là số chu kỳ tải và được tính bởi Giai đoạn II: là giai đoạn vết nứt phát triển và thay cho và . ổn định xảy ra. Đường cong phát triển vết nứt trong giai đoạn này là tuyến tính và Việc xác định sự phát triển vết nứt do mỏi được định nghĩa cho một số lượng lớn vật của phương pháp đề xuất dựa vào hai nhân liệu. Giai đoạn III: giai đoạn vết nứt mất ổn tố: chiều dài số gia mới của vết nứt và hướng định, tỷ lệ da/dN lớn, tốc độ phát triển vết của đoạn tăng vết nứt mới. Trong đó, hướng nứt tăng nhanh khi đạt đến độ bền của đoạn tăng vết nứt thì dựa trên định lý chống phá hoại vật liệu cho đến khi kết ứng suất chính tối đa [21]. cấu bị hư hỏng. Chu trình tính toán sự phát triển vết nứt như Định luật Paris [12, 18, 19] sau: Dựa vào thực nghiệm, Paris và Erdogan đã đưa ra công thức thực nghiệm cho vết nứt phát triển do mỏi được gọi là định luật Paris: Trong đó: là đoạn phát triển của vết nứt là sự thay đổi của số chu kỳ là tỷ lệ ứng suất là hiệu số của hệ số tập trung ứng suất trong suốt chu kì chất tải. Hình 4.4: Sơ đồ tính toán sự phát triển vết và là hệ số tập trung ứng suất nứt do mỏi tương ứng được gây ra bởi ứng suất cực đại 5. Ví Dụ Áp Dụng và ứng suất cực tiểu của chu kỳ 5.1 Hệ số tập trung ứng suất cho tấm chịu tải. cắt Định luật Paris [ 18] cho mô hình vết nứt phát triển ổn định như sau: 9
9. Xét một tấm phẳng chịu kéo với ứng suất phẳng  1, có vết nứt ở biên dài a=b/2=0,5. Tấm có kích thước các cạnh bxl=1x2, dày h=1, có điều kiện biên một đầu ngàm và một đầu tự do như (Hình 3.3). Vật liệu sử dụng cho tấm có mô-đun đàn hồi E=3x107 và hệ số Possion  0,3. Tấm chịu kéo có hệ số tập trung ứng suất KI C a theo [13] (3.22) Hình 3.3: Tấm chữ nhật chịu kéo Trong đó: Bảng 3.1: Hệ số tập trung ứng suất KI 2 3 4 a a a a của tấm chịu kéo C 1.12 0.231 10.55 21.72 30.39 b b b b Phantom_Q4 Phantom_ QSC4 Tham khảo[13] Lưới chia KI ek(%) KI ek(%) KI Thay các giá trị vào (3.22) ta được: lưới 1 3.4288 0.172 3.4698 0.134 lưới 2 3.4718 0.132 3.5006 0.096 3.533 lưới 3 3.4918 0.109 3.5146 0.073 KI=3.533 Pa mm . lưới 4 3.5025 0.094 3.5214 0.058 Dùng phần mềm Gid mô hình bài toán với Kết quả tính hệ số tập trung ứng suất thể các lưới chia khác nhau lưới(nxxny), trong đó hiện ở bảng 3.1 cho thấy, phần tử QSC4 nx là số phần tử được chia theo phương x; ny (phần tử được làm trơn vào) cho kết quả gần là số phần tử được chia theo phương y. với kết quả tham khảo hơn phần tử Q4 (phần Trong bài toán này ta khảo sát bốn loại kích tử không làm trơn). thước lưới khác nhau: lưới 1 (15x29); lưới 2 Lưới chia mịn cho kết quả tốt hơn. (25x47); lưới 3 (35x67) ; lưới 4 (45x87). Bảng 3.2: Sự hội tụ hệ số tập trung ứng suất Dung phần tử tứ giác QSC4, lưới chia đều ứng với các kích thước mắt lưới với các thông số trên ta tính ra được hệ số Phanto ES_phant Phanto Phanto tập trung ứng suất thể hiện ở Bảng 3.1. Lưới XFEM m om m m chia T3 [11] lg(h) T3 [4] T3 [6] Q4 QSC4 lg(ek) lg(ek) lg(ek) lg(ek) lg(ek) lưới 1 -1.149 -0.3798 -0.4 -0.5778 -0.764 -0.872 lưới 2 -1.382 -0.4722 -0.508 -0.6916 -0.879 -1.016 lưới 3 -1.532 -0.5356 -0.580 -0.7670 -0.964 -1.136 lưới 4 -1.643 -0.5858 -0.634 -0.8221 -1.029 -1.233 10
10. Dùng phương pháp nút ảo sử dụng phần tử tứ giác QSC4 lưới chia đều với các thông số trên ta tính ra được hệ số tập trung ứng suất ở Bảng 3.3. Hình 3.4: Biểu đồ quan hệ giữa lgh và lgek (sự hội tụ hệ số tập trung ứng suất ứng với các kích thước mắt lưới) Qua biểu đồ Hình 3.4 cho thấy, với tấm chịu kéo có vết nứt ngang ở biên, dùng phương Hình 3.5: Tấm chữ nhật chịu cắt pháp nút ảo sử dụng phần tử QSC4 cho kết Bảng 3.3: Hệ số tập trung ứng suất KI, KII quả hệ số tập trung ứng suất KI nhanh hội tụ của tấm chịu cắt hơn phần tử T3 và Q4. 5.2 Hệ số tập trung ứng suất cho tấm chịu Mô hình Mô hình Lời giải (phần tử Q4) (phần tử QSC4) tham khảo[23] cắt Lưới chia Xét một tấm phẳng chịu cắt với ứng suất KI KII KI KII KI KII  1, có vết nứt ở biên dài a=b/2=3,5. Tấm lưới 1 32.6122 4.7657 33.143 4.8093 lưới 2 33.3109 4.6665 33.6001 4.6665 có kích thước các cạnh bxl=7x16, dày h=1, 34 4.55 lưới 3 33.3545 4.6365 33.7788 4.6363 có điều kiện biên một đầu ngàm và một đầu lưới 4 33.6406 4.6138 33.8462 4.6117 tự do như (Hình 3.4). Vật liệu sử dụng cho tấm có mô-đun đàn hồi E=3x107 và hệ số Kết quả tính hệ số tập trung ứng suất thể possion  0,3. hiện ở Bảng 3.3 cho thấy, phần tử QSC4 cho Tấm chịu cắt có các hệ số tập trung ứng suất kết quả hệ số tập trung ứng suất KI, KII gần với kết quả tham khảo hơn phần tử Q4. KI=34 Pa mm , KII =4,55 Pa [23] Lưới chia mịn cho kết quả tốt hơn. Khảo sát Dùng phần mềm Gid mô hình bài toán với sự hội tụ của hệ số tập trung ứng suất KI, KII các lưới chia khác nhau: lưới 1 (13x31); lưới được thể hiện ở Hình 3.6 và Hình 3.7. 2 (23x51); lưới 3 (33x71) ; lưới 3 (43x91). 11
11. Vật liệu sử dụng cho tấm có mô-đun đàn hồi Ex 3 107 và hệ số possion  0,3 . Tấm chịu kéo có σ = 1 phân bố đều tại cạnh trên và dưới của tấm. Lời giải tham khảo cho hệ số tập trung ứng suất [14]: 22 1 sin cc os os  2 2 2 3 KI Rsin c os Hình 3.6: Biểu đồ quan hệ giữa lgh và lge 22 2 k1 1 sin 2 (sự hội tụ hệ số tập trung ứng suất ứng với 22 các kích thước mắt lưới) 1 sin c os sin  2 2 2 3 KII Rsin c os 22 2 1 sin 2 (3.23) Thay các số liệu vào (3.23) ta được: KI=2.0146 Pa mm KII=1.1116 Pa Hình 3.7: Biểu đồ quan hệ giữa lgh và lgek 2 (sự hội tụ hệ số tập trung ứng suất ứng với các kích thước mắt lưới) Qua biểu đồ Hình 3.4 và Hình 3.5 cho thấy, với tấm chịu cắt có vết nứt ngang ở biên, dùng phương pháp nút ảo sử dụng phần tử Hình 3.8: Tấm vuông có vết nứt cong giữa QSC4 cho kết quả hệ số tập trung ứng suất tấm KI , KII nhanh hội tụ hơn phần tử T3 và Q4. 5.3 Hệ số tập trung ứng suất cho tấm vuông chịu kéo có vết nứt cong giữa tấm Xét một tấm phẳng vuông kích thước 40x40, dày h=1, có một vết nứt cong bán kính R= Hình 3.9: Lưới chia cho tấm phẳng có vết 0 nứt cong giữa tấm 4.25, 28.0725 , a=2 ở giữa tấm Hình 12
12. Với tấm phẳng chịu kéo có vết nứt cong ở giữa tấm, dùng phần mền Gid để mô hình, chia lưới bài toán. Bằng phương pháp nút ảo sử dụng phần tử QSC4 với các thông số đầu vào cho ở trên. Kết quả tính toán hệ số tập trung ứng suất được thể hiện ở Bảng 3.5. Bảng 3.5: Kết quả KI, KII của lời giải mô hình và lời giải giải tích Phương pháp số Lời giải giải tích XFEM_Q4[15] Phantom_ Q4 Phantom_ QSC4 [14] Hình 3.10: Tấm chữ nhật có KI KII KI KII KI KII KI-ref KII-ref vết nứt xiên giữa tấm 2.0443 1.1808 2.0066 1.1262 2.0160 1.1244 2.0146 1.1116 Kết quả số cho hệ số tập trung ứng suất KI, 0 0 0 0 Qua bảng 3.5 cho thấy, phương pháp số KII ứng với góc xoay =0 ; 10 ; 20 ; 30 ; phantom_QSC4 cho kết quả hệ số tập trung 400; 450 được thể hiện trong Bảng 3.6, ứng suất KI, KII tốt hơn phương pháp Bảng 3.7 và Hình 3.11. Phương pháp nút ảo phantom_Q4 và phương pháp XFEM_Q4. sử dụng phần tử QSC4 cho ra kết quả hệ số 5.4 Hệ số tập trung ứng suất cho tấm chữ tập trung ứng suất KI, KII tốt hơn phần tử Q4 nhật chịu kéo có vết nứt xiên giữa tấm và so với kết quả giải tích khi góc nghiêng Xét tấm phẳng vuông có kích thước các cạnh thay đổi từ 00-450 khá tốt, sai số nhỏ. 10x10x1, vết nứt xiên ở giữa tấm có chiều Bảng 3.6: Kết quả KI, KII của lời giải mô dài 2a = 1, lưới chia phần tử tứ giác. Vật hình và lời giải giải tích liệu sử dụng cho tấm có mô-đun đàn hồi Góc Lời giải giải Phần tử Q4 Phần tử QSC4 nghiêng tích[23] 7 E=3x10 và hệ số Possion  0,3 . β(độ) KI KII KI KII KI-ref KII-ref Tấm chịu kéo có σ = 1 phân bố đều tại cạnh 0 1.2219 0 1.23187 0 1.2533 0 trên và dưới của tấm. Góc nghiêng β là góc 10 1.16726 0.20121 1.2032 0.21781 1.2155 0.214 hợp bởi vết nứt và phương ngang, theo chiều 20 1.0958 0.3811 1.1068 0.3822 1.1067 0.4028 30 0.9169 0.5190 0.9252 0.5232 0.9400 0.5427 ngược chiều quay kim đồng hồ. 40 0.7291 0.5899 0.7328 0.5968 0.7355 0.6171 Lời giải giải tích cho hệ số tập trung ứng 45 0.6338 0.6176 0.6313 0.6168 0.6267 0.6267 suất [11]: 13
13. Bảng 3.7: Sai số KI, KII giữa lời giải mô hình liệu sử dụng cho tấm có mô-đun đàn hồi và lời giải giải tích Ex 3 107 và hệ số possion  0,3 . Tấm Góc Phần tử Q4 Phần tử QSC4 chịu kéo có σ = 1 phân bố đều tại cạnh trên nghiên g  và dưới của tấm, bề dày tấm . Có các 0 0 2.51 0 1.71 0 thông số và 100 3.97 5.98 1.01 1.78 200 0.98 5.39 0.01 5.11 =20 (Hình 3.9). 300 2.46 4.37 1.57 3.59 400 0.87 4.41 0.37 3.29 Tấm chịu kéo có hai vết nứt nằm ngang đối 0 45 1.13 1.45 0.73 1.58 xứng qua lỗ tròn giữa tấm có hệ số tập trung ứng suất K Lời giải tham khảo [11]: I Đây là bài toán đối xứng, nên ta mô hình một nửa tấm như Hình 3.9 (b) rồi suy ra nửa còn lại. Kết quả tính được sẽ so sánh với tỉ số [10]: Hình 3.11: Biểu đồ quan hệ KI, KII với góc nghiêng của vết nứt giữa tấm Qua biểu đồ Hình 3.9 cho thấy, hệ số tập trung ứng suất KI giảm dần khi góc nghiêng thay đổi từ 00 đến 450 và hệ số tập trung ứng suất KII tăng dần khi góc nghiêng thay đổi từ Hình 3.12: Tấm vuông có hai vết nứt 00 đến 450. đối xứng qua lỗ trống giữa tấm 5.5 Hệ số tập trung ứng suất cho tấm vuông Kết quả tính toán hệ số tập trung ứng suất, chịu kéo có hai vết nứt đối xứng qua lỗ chuyển vị được thể hiện trong Bảng 3.8 và trống giữa tấm Hình 3.13. Hệ số tập trung ứng suất KI khi Xét một tấm phẳng có kích thước các cạnh: sử dụng phần tử QSC4 cho kết quả tốt hơn 2hx2w=40x40. Tấm có hai vết nứt có chiều phần tử Q4. dài bằng nhau a=5 đối xứng qua lỗ tròn có bán kính r=5 ở giữa tấm ( Hình 3.9) . Vật 14
14. Lưới chia xung quanh lỗ tròn càn mịn thì suất chính tối đa [21]. Bài toán cho vết nứt cho kết quả hệ số tập trung ứng suất tốt hơn. phát triển 4 bước, mỗi bước vết nứt phát Bảng 3.8: Kết quả KI, KII cho tấm có 2 vết triển một đoạn 0.15. nứt đối xứng qua lỗ ở giữa tấm Kết quả tính toán Sự phát triển vết nứt thể hiện ở Bảng 4.1, Hình 4.5 và Hình 4.6. Số Phần phần tử [11] tử Q4 130675 1.5759 1.5627 QSC4 130675 1.5650 Hình 4.5: Tấm chữ nhật có vết nứt biên nằm ngang chịu kéo: Bảng 4.1: Hệ số tập trung ứng suất và bước phát triển vết nứt Hình 3.13: Chuyển vị của tấm có lỗ tròn ở Vị trí mũi Sai số giữa chịu kéo vết nứt [15] SIF % tham phần phần khảo 5.6 Tấm chữ nhật có vết nứt biên nằm phần XFEM x y tử tử [15] Q4 QSC4 tử T3 T3 Q4 QSC4 ngang 0.22 1.0 1.184 1.183 1.1557 1.1803 0.31 0.23 2.08 Tấm chữ nhật có kích thước , 0. 37 1.0 2.109 2.136 2.0539 2.1000 0.43 1.71 2.19 0.52 1.0 3.779 3.741 3.7474 3.8607 2.12 3.10 2.93 dày , có vết nứt ở biên nằm ngang dài 0.67 1.0 7.575 7.712 7.5327 7.6784 1.35 0.44 1.90 . Vật liệu dùng có , . Tấm chịu kéo có phân bố đều tại cạnh trên và dưới của tấm. Dùng phần mềm Gid để mô hình, chia lưới gồm 1425 phần tử, trong đó nx=25 là số phần tử chia theo phương x, ny=57 là số phần tử chia theo y. Hướng phát triển vết nứt được tính từ các hệ Hình 4.6: Hệ số tập trung ứng suất theo số tập trung ứng suất theo tiêu chuẩn ứng chiều dài vết nứt 15
15. Qua Hình 4.6 cho thấy, bài toán tấm chịu kéo có vết nứt ngang ở biên, phát triển vết nứt qua 4 bước. Bằng phương pháp nút ảo sử dụng phần tử QSC4 cho kết quả hệ số tập trung ứng suất KI ở từng bước gần với lời giải giải tích và phương pháp XFEM_T3 [15]. Độ dốc của biểu đồ qua từng bước thay đổi và có xu thế tăng nhanh ở bước thứ 3 trở đi. 5.7 Tấm chữ nhật có vết nứt biên nằm xiên Xét tấm chữ nhật hai chiều chịu tải trọng lặp không đổi như [19], kích thước tấm Hình 4.7: Tấm chịu kéo có vết nứt biên 0 100x200mm, có vết nứt biên dài 20mm, nghiêng góc 40 nghiêng một góc 400 so phương ngang, chịu Bảng 4.2: Chiều dài và chu kỳ của vết nứt ứng suất kéo trong khoảng: đến phát triển do mỏi (Hình 4.7). Tấm được làm từ vật liệu có các thông số như sau: Bước Chiều KIeq Số chu kỳ ( ) Mô đun đàn hồi: phát dài Phần tử Phần tử Phần tử Phần tử Tham khảo Hệ số Poisson triển (mm) Q4 QSC4 Q4 QSC4 [22] 0 20 364.3 360.8 0 0 0 Độ bền 1 25 508.7 510.8 7.5054 7.7499 7.0895 Số mũ Paris 2 30 611 603.8 9.9826 10.1935 9.9552 Hằng số Paris 3 35 725.4 700.8 11.3309 11.5958 11.5432 Dung phần mềm Gid mô hình, chia lưới gồm 4 40 861.4 839.2 12.0935 12.4510 12.2895 5 45 1025 1018 12.5245 12.9211 12.7193 12880 phần tử tứ giác, lưới chia có 80 phần 6 50 1226 1243 12.7665 13.1686 12.9790 tử theo phương x và 161 phần tử theo 7 55 1480 1481 12.9001 13.2962 13.1133 phương y. Xây dựng bài toán vết nứt phát 8 60 1808 1827 12.9715 13.3675 13.1580 triển 8 bước, mỗi bước phát triển một đoạn 9 65 2238 2356 13.0083 13.4031 13.2028 5mm (Bảng 4.2), và hướng được xác định bởi tiêu chuẩn ứng suất chính tối đa [12]. 16
16. dài 60.75mm so với kết quả tham khảo [22] 61.3mm là khá gần nhau. 6. Kết Luận Qua nghiên cứu và thực hiện mô phỏng các bài toán có vết nứt bằng phương pháp nút ảo với phần tử tứ giác bốn nút và kết hợp trường biến dạng trơn thu được kết quả khá tốt. Các kết quả hệ số tập trung ứng suất cho thấy tốt hơn phương pháp nút ảo được sử Hình 4.8: Tuổi thọ mỏi của tấm có vết nứt dụng hiện nay với phần tử 3 nút và phần tử 0 nghiêng 40 ở biên bốn nút không áp dụng kỹ thuật làm trơn. Ngoài ra , phương pháp này còn được áp dụng tính mỏi cho bài toán vết nứt phát triển mà không cần chia lại lưới và kết quả thu được gần với lời giải tham khảo. Dựa vào kết quả số thu được trong luận văn này, ta tin tưởng sử dụng phương pháp nút ảo với phần tử 4 nút và kết hợp trường biến dạng trơn để mô hình tính toán cho các kết (a) (b) cấu có vết nứt. Hình 4.9: Tấm chữ nhật có vết nứt biên Tuy nhiên, phương pháp nút ảo còn tồn tại nghiêng góc 400 : hạn chế không thể hiện được trường chuyển (a) Vết nứt 20mm ban đầu vị liên tục tiệm cận tại mũi vết nứt khi giải (b) Vết nứt phát triển quyết bài toán đàn hồi tuyến tính. Qua Hình 4.9 cho thấy vết nứt phát triển ổn Do đó, cần phải chia mịn lưới xung quanh định ở bước phát triển ban đầu với chu kỳ mũi vết nứt mới có độ chính xác cao. 7749 ứng với chiều dài vết nứt 25mm. Vết 7. Kiến Nghị nứt phát triển tới giai đoạn tới hạn khi Hạn chế của đề tài chỉ áp dụng kỹ thuật làm Kmax=KIc =1897.36 ứng với số chu kỳ là trơn cho phần tử không nứt. Do đó, nghiên 133722 và chiều dài vết nứt là 60.75mm. cứu tiếp theo áp dụng kỹ thuật làm trơn cho Vậy tuổi thọ mỏi của kết cấu ứng với chiều phần tử nứt hoàn toàn và phần tử nứt một phần. 17
17. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] T. Belytschko, T. Black. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1999; 45:601– 620. [2] Areias PMA, Belytschko T. Analysis of three-dimensional crack initiation and propagation using the extended finite element method. International Journal for Numerical Methods in Engineering 2005; 63:760–788. [3] Timon Rabczuk, Goangseup Zi, Axel Gerstenberger and Wolfgang A. Wall. A new crack tip element for phantom-nod method with arbitrary cohesive cracks. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2008;75:577–599. [4] T. Chau-Dinh, G. Zi, P.-S. Lee, T. Rabczuk, and J.-H. Song, “Phantom-nodemethod for shellmodels with arbitrary cracks,” Computers and Structures, vol. 92-93, pp. 242– 246, 2012. [5] Thanh Chau-Dinh, Tuan Le-Viet, Hieu Nguyen-Van,Goangseup Zi. Phantom node method for arbitrary cracked problems with 4-node quadrilateral elements. 2nd International Conference on Green Technology and Sustainable Development, 2014 (Volume 2). [6] G.R. Liua, T.Nguyen-Thoi, K.Y.Lamc. An edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) for static, free and forced vibration analyses of solids. Journal of Sound and Vibration 320 (2009) 1100–1130. [7] N. Vu-Bac, H. Nguyen-Xuan, L. Chen,C. K. Lee, G. Zi, X. Zhuang, G. R. Liu,and T. Rabczuk. A Phantom-Node Method with Edge-Based Strain Smoothing for Linear Elastic Fracture Mechanics. Journal of Applied Mathematics Volume 2013, Article ID 978026. [8] T. Belytschko, N. , S. Usui and C. Parimi. Arbitrary discontinuities in finite elements. Int. J. Numer.Methods Eng 2001. 50 993–1013 [9] J.H. Song, PMA. Areias, T. Belytschko. A method for dynamic crack and shear band propagation with phantom nodes. International Journal for Numerical Methods in Engineering 2006; 67(6):868–893. [10] Timoshenko and Goodier (1970). Theory of Elasticity. McGraw-Hill. 18
18. [11] Kanninen, M. and C. Popelar (1985). Advanced fracture mechanics, Volume Oxford Engineering Science Series. Oxford University Press. [12] N. , J. Dolbow and T. Belytschko. A finite element method for crack growth without remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 46:131-150, 1999. [13] Ewalds H, Wanhill R. Fracture Mechanics. Edward Arnold: New York; 1989. [14] Gdoutos, E. (1979). Fracture mechanics. Boston:Kluver Academics Publisher. [15] P. Nguyen-V. An object oriented approach to the extended finite element method with applications to fracture mechanics. Master’s thesis, EMMC – Ho Chi Minh University of technology, Vietnam, November (2005). [16] L. T. Anderson. Fracture Mechanics - Fundamentals and Applications. Taylor & Francis, 3rd edition, 2005. [17] S. Chand and S. B. L. Garg. Crack propagation under constant amplitude loading. Engineering Fracture Mechanics, 21:1-30, 1985. [18] P. C. Paris and F. Erdogan, A critical analysis of crack propagation laws. Journal of Basic Engineering, 85, pp. 528–534, 1963. [19] G. Zi, J. H. Song, E. Budyn, S. H. Lee, and T. Belytschko. A method for growing multiple cracks without remeshing and its application to fatigue crack growth. Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering, 12:901-915, 2004 [20] J. A. Bannantine, J. J. Comer, and J. L. Handrock. Fundamentals of MetalFatigue Analysis. Prentice Hall, 1990. [21] F. Erdogan and G. Sih. On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear. Journal of Basic Engineering, ASME, 85:519-527, 1963. [22] M. Duflot and H. Nguyen-Dang. A meshless method with enriched weight functions for fatigue crack growth, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 59, pp. 1945–1961, 2004. [23] S.S. Wang, J. F. Yau, and H. T. Corten, “A mixed-mode crack analysis of rectilinear anisotropic solids using conservation laws of elasticity,” International Journal of Fracture, vol. 16, no. 3, pp. 247–259, 1980 19
19. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 05 năm 2016 Giảng viên hướng dẫn (Ký & ghi rõ họ tên) 20
20. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn B n ti ng Vi t ©, T NG I H C S PH M K THU T TP. H CHÍ MINH và TÁC GI Bản quếy n táệc ph mRƯ ãỜ cĐ bẠ o hỌ b Ưi Lu tẠ xu t Ỹb n vàẬ Lu t S hỒ u trí tu Vi t Nam. NgẢhiêm c m m i hình th c xu t b n, sao ch p, phát tán n i dung khi c a có s ng ý c a tác gi và ả ng ề i h ẩ pđh đưm ợK thuả tộ TP.ở H ậChí Mấinh.ả ậ ở ữ ệ ệ ấ ọ ứ ấ ả ụ ộ hư ự đồ ủ ả Trườ Đạ ọCcÓ Sư BÀI BạÁO KHỹ OA ậH C T ồT, C N CHUNG TAY B O V TÁC QUY N! ĐỂ Ọ Ố Ầ Ả Ệ Ề Th c hi n theo MTCL & KHTHMTCL h c 2017-2018 c a T vi n ng i h c S ph m K thu t Tp. H Chí Minh. ự ệ Năm ọ ủ hư ệ Trườ Đạ ọ ư ạ ỹ ậ ồ