Mô hình hoá và điều khiển tối ưu cho hệ xe hai bánh tự cân bằng

Nội dung text: Mô hình hoá và điều khiển tối ưu cho hệ xe hai bánh tự cân bằng

1. MÔ HÌNH HOÁ VÀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO HỆ XE HAI BÁNH TỰ CÂN BẰNG MODELLING AND OPTIMAL CONTROL FOR TWO-WHEELED SELF-BALANCING ROBOT Nguyễn Minh Tâm, Nguyễn Văn Đông Hải, Nguyễn Phong Lưu, Lê Văn Tuấn Trường đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM TÓM TẮT Hệ xe hai bánh tự cân bằng là một hệ thống được áp dụng nhiều trong các thí nghiệm điều khiển tự động. Đây là một hệ thống MIMO (multi-input and multi-output) mang tính lý thuyết và thực tiễn cao, đã được áp dụng trong cuộc sống. Tuy nhiên, đa phần các nghiên cứu chỉ xoay quanh việc điều khiển cân bằng dùng các giải thuật tìm kiếm thử sai hoặc phương trình toán học đơn giản. Các nghiên cứu chi tiết về phương trình toán học hệ thống và giải thuật ứng dụng chính trên sự hiểu biết mô hình là không nhiều. Bài báo phân tích phương trình toán học của một hệ xe hai bánh tự cân bằng. Qua đó, tác giả áp dụng thành công giải thuật điều khiển tối ưu cho hệ trên. Giải thuật điều khiển tối ưu được thử nghiệm với các trường hợp di chuyển khác nhau của xe. Kết quả điều khiển là tốt trên cả mô phỏng Matlab/Simulink và thực nghiệm. Từ khóa: xe hai bánh tự cân bằng, điều khiển tối ưu, LQR, Matlab/Simulink, MIMO, thực nghiệm. ABSTRACT Two-wheeled Self-balancing Cart is a popular model in automatic experiments. This is a MIMO system (multi-input and multi-output) which is theoretical, practical and has been applied in normal life. Anyway, most researches just focus on balancing this model through try-on experiments or simple form of mathematical model. There are still so few researches that focus on modelling algorithm and designing a mathematical model-based controller for this system. This paper analized mathematical equations of the system. Then, the authors successfully applied optimal control for this system. Optimal controller was tested with different cases of cart motion. Controlling results were proved to work well through both experiment and simulation on Matlab/Simulink. Keywords: Two-wheeled Self-balancing Robot/Cart, LQR, optimal control, Matlab/Simulink, experiment. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ hơn). Nhiều nghiên cứu lại áp dụng các giải thuật điều khiển thử sai (PID, FUZZY, ), Hệ xe hai bánh tự cân bằng là một đối không dựa trên mô hình toán học của hệ tượng quen thuộc trong các bài toán lý thống nên tính ổn định của hệ thống không thuyết điều khiển. Thế nhưng, phần lớn các được đảm bảo nhờ toán học [4], [5], [6]. Do đó, nghiên cứu chỉ dựa trên phương trình toán việc thiết lập một mô hình toán học chi tiết học dạng đơn giản với ngõ vào hệ thống là với ngõ vào điều khiển điện áp là cần thiết. momen bánh trái hoặc momen bánh phải và Và khi phương trình toán học chi tiết đã được chỉ hoàn thành trên mô phỏng[1], [2], [3] trong thành lập, một giải thuật điều khiển tối ưu khi mô hình thực tế thì ngõ vào là điện áp (LQR) được thiết kế để điều khiển hệ thống. cấp cho động cơ bánh trái hoặc bánh phải Việc ổn định của hệ thống được đảm bảo nhờ (phương trình toán học hệ thống phức tạp phường trình Riccati. Nhờ đó, bộ điều khiển
2. tối ưu ổn định được hệ thống trên mô phỏng điều khiển tối ưu áp dụng cho hệ xe này. Sau cũng đảm bảo việc áp dụng được trên thực tế. đó, mục IV và V lần lượt trình bày các kết quả điều khiển trên mô phỏng và thực nghiệm. Các mục tiếp theo của bài báo được trình Cuối cùng, mục VI đưa ra kết luận về điều bày như sau: Mục II sẽ đề cập cách thức mô khiển LQR cho hệ thống trên. hình hóa đối tượng hệ xe hai bánh tự cân bằng. Tiếp đó, mục III, sẽ trình bày giải thuật 2. MÔ HÌNH TOÁN HỌC Sơ đồ và hệ quy chiếu hệ xe hai bánh tự cân bằng được thể hiện như ở hình 1, 2, 3 ở dưới: Hình 1: Hình ảnh mô tả hệ Hình 2: hệ xe hai bánh tự Hình 3: hệ xe hai bánh tự cân xe hai bánh tự cân bằng cân bằng nhìn nghiêng bằng nhìn từ trên xuống Trong đó, các thành phần của hệ được liệt lê ở bảng 1: Kí hiệu Đơn vị Ý nghĩa N Tỉ số giảm tốc G Gia tốc trọng trường m kg Khối lượng của bánh xe m s2 M kg Khối lượng của robot  rad Góc trung bình của bánh trái và phải R m Bán kính bánh xe  rad Góc của bánh trái và phải W m Chiều rộng của robot lr,  rad Góc nghiêng của phần thân robot D m Chiều ngang của robot  rad Góc xoay của robot m Chiều cao của robot H x , y , z m Tọa độ bánh trái m Khoảng cách từ trọng tâm robot l l l L m Tọa độ bánh phải đến trục bánh xe xr , yr , zr Hệ số ma sát giữa bánh xe và mặt fw m Tọa độ trung bình phẳng di chuyển xm , ym , zm f Hệ số ma sát giữa robot và động F , Nm Moment phát động theo các m cơ DC  phương khác nhau 2 Moment quán tính động cơ DC F , F sss Jm kgm F Nm Moment phát động của động cơ Điện trở động cơ DC lr, Rm  bánh trái, phải K Hệ số EMF của động cơ DC b Vs rad i , i A Dòng điện động cơ bánh trái, l r phải Điện áp động cơ bánh trái, phải Moment xoắn của động cơ DC vl , vr V Kt Nm A Bảng 1: Ký hiệu và ý nghĩa của các đại lượng
3. Ta sử dụng phương pháp Euler-Lagrange 1 2 2 2 để xây dựng mô hình động học. Giả sử tại T1 m xl y l z l 2 thời điểm t = 0, robot di chuyển theo chiều dương trục x, ta có góc tịnh tiến trung bình 1 2 2 2 m xr y r z r của hai bánh xe và góc xoay của robot được 2 (7) xác định như sau: 1 m x2 y 2 z 2 1 b b b  2  2 lr (1)  R Phương trình động năng của chuyển động  W lr quay : Trong đó tọa độ trung bình của Robot trong 111 TJJJ 2  2  2 hệ qui chiếu: 2 222w l w r w 2 x 1122 x m J n Jml   (8) m 22 yy (2) 2 mm 1 2 nJmr  zm R 2 Với xm Rcos 1 2 1 2 Và (3) 2 2 nJml  ; nJmr  (9) ym Rsin 2 2 là động năng quay của phần ứng động cơ Tọa độ bánh trái trong hệ qui chiếu : trái và phải. W Phương trình thế năng: xm sin 2 U mgzl mgz r mgz b (10) xl W Phương trình Lagrange : yy cos (4) lm W z LTTU 12 (11) l z m d  L L F (12) Tọa độ bánh phải trong hệ qui chiếu : dt  W d  L L xm sin F (13) 2  xr dt  W yy cos (5) rm 2 d  L L z F (14) r z  m dt  Lấy đạo hàm L theo các biến ta được: Tọa độ tâm đối xứng giữa hai động cơ trong hệ qui chiếu : 2m M R2  2 22Jwm n J xbm x Lsin cos 2 (15) y y Lsin cos MLRcos 2 n Jm bm (6) MLR2 sin F zbm z Lcos  2 Phương trình động năng của chuyển động MLRcos ML J  tịnh tiến: 2nJ2 2 (16) m 2nJm 22 MgLsin ML  sin  cos  F
4. 1 2 22 mW J 2m M R 2 Jwm 2 n J  2  W 2 2 22 (17) MLRcos2 n Jm 2 Jwm n J  2R (28) 2 22 MLR sin  v v ML sin  lr 22 fw   2 2ML sin  cos  F 2 MLR cos ML J Momen động lực do động cơ DC sinh ra:  2nJ2 2nJ2 m m 22 FFF lr (18) MgLsin ML  sin  cos  (29) FF vvlr 22   FW FFlr R 1 mW2 J Và: 2  2 W 22 Fl nK t i l f m  l f w  l (19) 2 Jwm n J  2R 22 Fr nK t i r f m   r f w  r (20) ML sin  F nKt i l nK t i r f m  l 2 (21) 2ML sin  cos  (30) 2 fmr  WW vr v l 2  f w  Sử dụng phương pháp PWM để điều khiển 22RR động cơ nên chuyển từ dòng điện sang điện 3. ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU áp động cơ: Từ (28), (29), (30), ta có hệ phương trình mô tả hệ thống xe hai bánh cân bằng có Lmlri ,,,, v lr K b  lr R mlr i (22) dạng sau: Xem điện cảm phần ứng tương đối nhỏ (gần xx bằng 0), có thể bỏ qua, suy ra: 12 x f x,,,,,,, x x x x x v v 2 1 1 2 3 4 5 6 lr vKl,, r b l r xx34 ilr, (23) (31) R x f x,,,,,,, x x x x x v v m 4 4 1 2 3 4 5 6 lr xx Từ đó, các moment lực sinh ra: 56 x6 f 6 x 1,,,,,,, x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 vlr v F vl v r 22  f w   (24) Với : F vlr v 22   (25) T x  x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6  nK nK K 32) Với t và  tb f (26) T m       Rm Rm WW2 Nếu chọn điểm làm việc là: F v v ()  f  (27)  22RRr l2 w T T x0 000000 ; u0 00 (33) Thu được phương trình động lực học mô tả chuyển động của robot như sau: Ta có thể tuyến tính hoá hệ thống (31) về dạng: x Ax Bu (34)
5. 00 0 1 0 0 0 0 ff22 f2  f 2  f 2  f 2  f 2  f 2 vvlrxx 0 xx 0 x1x x0  x 2 x x 0  x 3x x0  x 4 x x 0  x 5 x x 0  x 6 x x 0 uu 0 uu 0 u u0 u u 0u u0 u u 0 u u 0 u u 0 v 00 0 0 0 1 0 0 Với: u l ; ; (35) v B ff A f4  f 4  f 4  f 4  f 4  f 4 r 44 vvlrxx 0 xx 0 x1x x0  x 2 x x 0  x 3x x0  x 4 x x 0  x 5 x x 0  x 6 x x 0 u u u uu u u u u u u u uu 0 uu 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 ff66 f6 f6  f 6  f 6  f 6  f 6 vvlrxx 0 xx 0 x1 xx 0 x23455x x00  xx x0  x x x  x x x 0  x x x 0 uu 0 uu 0 u u0 u u 0u u0 u u 0 u u 0 u u 0 Lúc này, ta có các ma trận trọng số như sau: ứng nhanh nhưng đôi khi mất ổn định. Thông số ma trận R nếu nhỏ thì mô hình Q1 0 0 0 0 0 chạy êm hơn nhưng đôi lúc không đủ đáp 0Q2 0 0 0 0 ứng nhanh và mạnh để điều khiển được hệ 0 0Q3 0 0 0 Q thống. 0 0 0Q4 0 0 0 0 0 0Q5 0 Sau khi chọn được thông số điều khiển tương ứng, ta tiến hành xây dựng thông số 0 0 0 0 0 Q6 hồi tiếp K với tín hiệu điều khiển u= - K*x R1 0 Thông số K được tính dựa vào phương trình and R 0 R2 Riccati. Tuy nhiên, Matlab đã hỗ trợ ta hàm Với các thông số Q , Q , Q , Q , lqr() để tính ra thông số K khi đã biết ma 1 2 5 6 trận A, B, Q, R. R1 và R2 để tinh chỉnh cho bộ điều khiển LQR. Trong đó, thông số , , Q3 , Q4 , , lần lượt là các trọng số tối ưu tương ứng cho các giá trị  ,  ,  ,  ,  ,  , tín hiệu điều khiển cho góc tiến tới và tín hiệu điều khiển cho góc xoay. Nếu muốn biến trạng thái nào được ưu tiên trong việc điều khiển thì ta cho thông số trọng số Hình 4: Sơ đồ chi tiết bộ điều khiển LQR tương ứng đó lớn hơn tương đối so với các cho hệ xe hai bánh tự cân bằng thông số trọng số khác. Ví dụ : nếu ta tăng 4. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG Q thì giá trị sẽ được ưu tiên hiệu chỉnh, 1 Thông số mô hình được chọn như sau: sẽ ổn định hơn so với các biến trạng thái m 1 ; M 5 ; R 0.0725 ; W 0.24 ; khác. Tuy nhiên, nếu tất cả các thông số D 0.2 ; H 0.5 ; L 0.18 ; f 0.18 ; f 0.002 ; cùng được tăng thì việc ưu tiên một biến bất w m kì không còn tác dụng. Như vậy, việc tăng 2 22 Jm 0.01 ; J 23 ML ; JMWD 12 ; các thông số cũng trở thành vô nghĩa. Riêng Rm 50 ; Kb 0.468 ; Kt 0.317 ; n 40 ; ma trận R thì việc chọn R1 và R2 phải bằng nhau vì hai bánh xe là tỉ lệ với nhau. Mặt g 9.81;T 0.01 khác, nếu chọn thông số ma trận R lớn quá Ma trận trọng số LQR được chọn như sau: thì tín hiệu điều khiển hai bánh sẽ mạnh, đáp
6. 1 0 0 0 0 0 Lúc này, ta được ma trận K theo lệnh 0 1 0 0 0 0 ; 10 K=lqr(A,B,Q,R) R 0 0 1 0 0 0 01 Q 0.7 236.3 6066 1390.9 0.7 10.4 0 0 0 1 0 0 K 0 0 0 0 1 0 0.7 236.3 6066 1390.9 0.7 10.4 0 0 0 0 0 1 4.1. Giá trị đặt bằng 0 Hình 5: Góc bánh xe  (rad) Hình 6: Góc nghiêng  (rad) Hình 7: Góc xoay  (rad) 4.2. Giá trị đặt khác 0 Chọn là  đặt = (rad),  đặt = 2(rad) (xe tiến tới 1 đoạn bằng chiều quay của một vòng hai bánh xe và quay 1 góc 90 độ quanh trục của xe) Hình 8: Góc bánh xe  (rad) Hình 9: Góc nghiêng  (rad) Hình 10: Góc xoay  (rad) 4.3. Nhận xét Như kết quả mô phỏng ở các hình 5-9, ta thấy trạng thái xe luôn bám sát tín hiệu đặt, bộ điều khiển LQR đáp ứng tốt. Điều này chứng tỏ xe có thể đi tới, lui, quẹo phải, trái tùy giá trị đặt. Thời gian quá độ còn dài và có thể được cải thiện thông qua việc chọn ma trận trọng số phù hợp. 5. KẾT QUẢ THỰC TẾ Mô hình thực nghiệm được thể hiện ở 1. Nguồn Pin hình 11 như sau: 2. Mạch cầu H 3. Vi điều khiển DSP 4. Cảm biến MPU 6050 5. Bánh xe mô hình Hình 11: Mô hình phần cứng thực nghiệm Hình 12: Sơ đồ kết nối phần cứng
7. Việc tối ưu hóa thông số LQR trong các ma trận Q và R có thể sử dụng giải thuật di truyền để tối ưu hóa trên mô phỏng. Ngoài ra, ta có thể thử sai các thông số trong ma trận Q, R theo cách hiệu chỉnh ở phần 3 của Hình 17: Giá trị góc nghiệng (độ) bài báo này. Thông qua việc thử sai các thông số ma trận Q và R và kiểm tra đáp ứng thực tế, ta chọn các ma trận như sau: 20 0 1000 0 0 0 0 0 ; R 0 100 0 0 0 0 0 20 0 0 100 0 0 0 Q Hình 18: Giá trị góc xoay (độ) 0 0 0 0.1 0 0 0 0 0 0 1000 0 Thí nghiệm 2: Điều khiển quẹo phải 0 0 0 0 0 100 Như vậy, với thông số hệ thống thực tế, ta tính toán ra: 0.7 236.3 6066 1390.9 0.7 10.4 K 0.7 236.3 6066 1390.9 0.7 10.4 5.1. Điều khiển đứng yên tại vị trí cân Hình 19: Giá trị góc tới (độ) bằng Hình 20: Giá trị góc nghiệng (độ) Hình 13: Giá trị góc tới  (độ) Hình 21: Giá trị góc xoay (độ) Hình 14: Giá trị góc nghiệng  (độ) Thí nghiệm 3: Điều khiển đi lùi Hình 15: Giá trị góc xoay  (độ) 5.2. Điều khiển với vị trí đặt khác 0 Hình 22: Giá trị góc tới (độ) Thí nghiệm 1: Điều khiển quẹo trái Hình 23: Giá trị góc nghiệng (độ) Hình 16: Giá trị góc tới (độ)
8. số các hệ thống SISO. 6. KẾT LUẬN Bài báo đã tính toán mô hình hóa về phương trình toán học của một hệ xe hai bánh Hình 24: Giá trị góc xoay  (độ) tự cân bằng với ngõ vào là điện áp để có thể áp dụng cho đối tượng trên cả mô phỏng và Thí nghiệm 4: Điều khiển đi tới thực tế. Từ đó, dựa trên mô hình vừa tính toán ra của hệ thống, nhóm tác giả thiết kế giải thuật điều khiển tối ưu cho hệ thống trên. Kết quả điều khiển cho kết quả tốt ở cả mô phỏng và thực tế. TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình 25: Giá trị góc tới  (độ) [1] A. N. K. Nasir, M. A. Ahmad, R. M. T. Raja Ismail, The Control of a Highly Nonlinear Two-wheeled Balancing Robot: A Comparative Assessment between LQR and PID-PID Control Schemes, International Journal of Mechanical, Aerospace, Industrial, Mechatronic and Manufacturing Engineering, Vol. 4, No. 10, Hình 26: Giá trị góc nghiệng  (độ) 2010. [2] Nguyen Ngoc Son, Ho Pham Huy Anh, Adaptive Backstepping Self-balancing Control of a Two-wheel Electric Scooter, International Journal of Advanced Robotic Systems, Vol. 11, No. 1, 2014. Hình 27: Giá trị góc xoay (độ) [3] Ming Yue, Wei Sun, Ping Hu, Sliding Mode Robust Control for Two-wheeled Mobile Robot 5.3. Nhận xét with Lower Center of Gravity, International Qua các hình 16-27, ta nhận thấy hệ Journal of Innovative Computing, Information thống xe hai bánh cân bằng thực tế đã điều and Control, Vol. 7, No. 2, 2011. khiển được theo các trạng thái đi tới, đi lui, [4] Samer Miasa, Mohammad Al-Mjali, Anas quẹo trái, quẹo phải để đạt các giá trị đặt cho Al-Haj Ibrahim, and Tarek A. Ttunji, Fuzzy trước. Tuy nhiên, biến trạng thái trong thực Control of a Two-Wheel Balancing Robot using tế không bám hoàn toàn các giá trị đặt. Đó là DSPIC, 7th International Multi-Conference on vì tính chất thỉa hiệp trong điều khiển LQR- Systems, Signals and Devices, 2010. sự sai lệch trong một biến trạng thái được bù [5] Unluturk, A, Aydogdu, O, Guner, U., Design đắp bằng sự sai lệch của một biến trạng thái and PID control of two wheeled autonomous tương ứng khác nhưng đủ để đảm bảo tính balance robot, International Conference on hiệu điều khiển vẫn đúng giá trị thiết kế. Electronics, Computer and Computation Đây là một khuyết điểm của điều khiển LQR (ICECCO), (IEEE), pp. 260-264, 2013. so với các giải thuật điều khiển phi tuyến [6] Congying Qiu, Yibin Huang, The Design of khác. Tuy nhiên, một giải thuật điều khiển Fuzzy Adaptive PID Controller of Two-Wheeled LQR là đơn giản rất nhiều và dễ thiết kế cho Self-Balancing Robot, International Journal of hệ MIMO phức tạp so với các giải thuật điều Information and Electronics Engineering, Vol. 5, khiển phi tuyến khác vốn chỉ phù hợp với đa No. 3, 2015.
9. Thông tin liên hệ tác giả chính (người chịu trách nhiệm bài viết): Họ tên: Nguyễn Phong Lưu Đơn vị: Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện-điện tử, ĐH SPKT TPHCM Điện thoại: 0918 119 083 Email: luunp@hcmute.edu.vn; aphongluu@gmail.com
10. BÀI BÁO KHOA HỌC THỰC HIỆN CÔNG BỐ THEO QUY CHẾ ĐÀO TẠO THẠC SỸ Bài báo khoa học của học viên có xác nhận và đề xuất cho đăng của Giảng viên hướng dẫn Bản tiếng Việt ©, TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH và TÁC GIẢ Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ bởi Luật xuất bản và Luật Sở hữu trí tuệ Việt Nam. Nghiêm cấm mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phát tán nội dung khi chưa có sự đồng ý của tác giả và Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh. ĐỂ CÓ BÀI BÁO KHOA HỌC TỐT, CẦN CHUNG TAY BẢO VỆ TÁC QUYỀN! Thực hiện theo MTCL & KHTHMTCL Năm học 2017-2018 của Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh.