Luận văn Ứng dụng phương pháp moment trong bài toán phân tích các cấu trúc điện từ - Trần Minh Tuấn

Nội dung text: Luận văn Ứng dụng phương pháp moment trong bài toán phân tích các cấu trúc điện từ - Trần Minh Tuấn

1. Cộng hoà x∙ hội chủ nghĩa Việt nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc o0o trích yếu luận án - Tên tác giả: Trần Minh Tuấn - Tên luận án: ứng dụng ph−ơng pháp moment trong bài toán phân tích các kết cấu điện từ phẳng đ−ợc kích thích bởi sóng chạy. - Ngành khoa học của luận án: Thông tin vô tuyến, phát thanh và vô tuyến truyền hình. Mã số chuyên ngành: 2.07.02 - Tên cơ sở đào tạo: Tr−ờng Đại học Bách Khoa Hà Nội. a) Đối t−ợng nghiên cứu của luận án: Trong những thập kỷ 80 - 90 của thế kỷ XX, thế giới đã đ−ợc chứng kiến những ứng dụng của vi mạch tích hợp trong các thiết bị điện tử, thông tin liên lạc phục vụ an ninh quốc phòng và đời sống hàng ngày. Việc sử dụng các vi mạch tích hợp (kết cấu mạch dải và khe dải là các thành phần cơ bản) có −u điểm dễ dàng và linh hoạt trong thiết kế mạch và nâng cao tính khai thác của kết cấu. Một ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực siêu cao tần đó là các kết cấu truyền dẫn sóng chu kỳ (còn gọi là "kết cấu chu kỳ"). Sự quan tâm đến các kết cấu dẫn sóng loại này nhờ hai tính chất cơ bản của chúng là: (i) các đặc tính lọc thông băng và chặn băng tần; (ii) hỗ trợ các sóng có vận tốc pha nhỏ hơn vận tốc ánh sáng (sóng chậm). Luận án này đi sâu vào h−ớng nghiên cứu tổng hợp và phân tích tính chất thứ hai của kết cấu chu kỳ đó là tính chất hỗ trợ các sóng chậm sử dụng các kết cấu mạch dải phẳng và kết cấu sóng rò phẳng đ−ợc kích thích bởi sóng chạy. b) Mục đích nghiên cứu: - Trên thực tế để tạo ra các đồ thị ph−ơng h−ớng (sóng thứ cấp) theo yêu cầu, bề mặt kết cấu th−ờng có dạng hết sức phức tạp. Do vậy việc phân tích các kết cấu này gặp rất nhiều khó khăn đặc biệt phải tính toán đối với các ph−ơng trình đ−ờng cong hình học rất phức tạp. Nhiều nhà khoa học nh− Aizenberg G. Z.; Yampolski V. G.; Cheriosin O. N.; Tereshin O. N.; Sedov V. M. và Chaplin A. F. trong các nghiên cứu của mình cũng đã rất cố gắng để giải quyết bài toán tổng hợp để tìm ra mô hình đ−ờng cong của kết cấu có hình dạng bất kỳ đ−ợc kích thích bởi sóng chạy. Tuy nhiên không phải là đối với bài toán nào cũng ra đ−ợc nghiệm vì sử dụng ph−ơng pháp tính nghiệm là ph−ơng pháp bình ph−ơng nhỏ nhất chỉ cho phép tính toán đối với các phép toán giải tích và nhiều khi ph−ơng trình tích phân lại có dạng không khả tích. - Các ph−ơng pháp số nh− ph−ơng pháp phần tử hữu hạn (Finite element method), ph−ơng pháp sai phân hữu hạn (Finite difference method) ch−a phát huy đ−ợc hiệu quả. Luận án đã giải quyết bài toán tổng hợp, phân tích và mô phỏng các kết cấu có hình dạng bất kỳ đ−ợc kích thích bởi sóng chạy thành các kết cấu phẳng (kết cấu mạch dải và sóng rò) sử dụng ph−ơng pháp số cho phép nhận đ−ợc kết quả chính xác với thời gian ngắn. c) Các kết quả chính và kết luận: Luận án đã giải quyết đ−ợc một số điểm đột phá nh− sau: - Thực hiện bài toán tổng hợp nhằm đ−a một kết cấu có hình dạng bất kỳ có trở kháng bề mặt là đại l−ợng ảo chuyển thành một kết cấu phẳng có trở kháng bề mặt là đại l−ợng phức bảo đảm đ−ợc mọi tính chất điện từ tr−ờng của kết cấu ban đầu.
2. 1 - Thực hiện bài toán phân tích kết cấu phẳng có trở kháng bề mặt là đại l−ợng phức để đánh giá kết quả khi chuyển kết cấu có hình dạng bất kỳ thành kết cấu phẳng. - Sử dụng ph−ơng pháp moment (MoM) với hàm cơ sở miền con để phân tích kết cấu. Đây là ph−ơng pháp tính toán sử dụng lý thuyết rời rạc để làm giảm nhẹ đáng kể bài toán về mối t−ơng quan của các đại l−ợng vật lý trong môi tr−ờng tự do đ−ợc biểu diễn qua các ph−ơng trình Maxwell và các điều kiện bờ, để biến đổi thành các ph−ơng trình tích phân có miền đ−ợc giới hạn và đủ nhỏ. Kích th−ớc nhỏ của miền là vô cùng quan trọng vì phù hợp với kích cỡ RAM của máy tính luôn không phải là một nguồn tài nguyên dồi dào. Đây chính là −u điểm của MoM so với các ph−ơng pháp số khác. Đặc biệt MoM rất thuận tiện khi khảo sát các kết cấu phẳng. Những kết quả này cho phép mở rộng phạm vi ứng dụng của bài toán tới phạm vi rộng rãi hơn. - Nghiên cứu hai dạng bài toán đặc biệt ch−a đ−ợc nghiên cứu trong thực tế đó là: + Kết cấu có dạng nh− kết cấu sóng rò đ−ợc kích thích bởi sóng chạy d−ới góc tới θi bất kỳ trên bề mặt kết cấu. + Kết cấu có dạng nh− kết cấu sóng mặt (kiểu kết cấu mạch dải) đ−ợc kích thích liên tục bởi sóng chạy d−ới góc tới θi bất kỳ. - Các ch−ơng trình Matlab và Fortran đ−ợc sử dụng để thực hiện bài toán mô phỏng bằng MoM. Thời gian mô phỏng trên máy tính nhanh hơn so với các kết quả nghiên cứu tr−ớc kia. - Với những kết quả đã đạt đ−ợc, có thể nhận thấy rằng khả năng mô phỏng bằng ph−ơng pháp số đối với kết cấu mạch dải và sóng rò là khá chính xác. d) ứng dụng của hai dạng bài toán và kết cấu nghiên cứu - Giảm nhẹ kích th−ớc các cấu tử nhờ áp dụng những kết cấu mới nh− kết cấu mạch dải và sóng rò một cách phù hợp. - Dễ dàng đ−ợc sản xuất với chi phí thấp nhờ công nghệ cấy hàng ngàn các cấu tử siêu cao tần sóng đ−ợc đ−a vào cùng một quá trình. - Các kết cấu nghiên cứu rất mỏng và nhẹ. Việc gắn chúng lên thân các thiết bị không gây ảnh h−ởng đến bề mặt của thiết bị. - Kết hợp các kết cấu sóng chậm này với các phần tử hay mạch tích cực để có anten tích cực. Hà Nội, ngày 22 tháng 7 năm 2003 Ng−ời h−ớng dẫn Nghiên cứu sinh GS. TSKH. Phan Anh Trần Minh Tuấn
3. 2 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và ch−a từng đ−ợc ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Tác giả luận án Trần Minh Tuấn
4. 3 mục lục Lời cam đoan 2 mục lục 3 danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt 5 danh mục các hình vẽ 7 mở đầu 9 ch−ơng 1: kết cấu điện từ đ−ợc kích thích bởi sóng chạy 12 1.1. Giới thiệu về các kết cấu đ−ợc kích thích bởi sóng chạy 12 1.1.1. Kết cấu sóng rò 12 1.1.2. Kết cấu sóng mặt 17 1.1.3. Các quan điểm phân tích kết cấu điện từ đ−ợc kích thích bởi sóng chạy: 20 1.1.4. Những hạn chế trong bài toán phân tích các kết cấu đ−ợc kích thích bởi sóng chạy và ph−ơng h−ớng giải quyết 24 1.2. Bài toán tổng hợp kết cấu sóng chạy (kết cấu impedance) 26 1.2.1. Xác định hàm số mặt cong của bề mặt kết cấu impedance và phân bố trở kháng bề mặt 26 1.2.2. Xây dựng mô hình mô phỏng kết cấu impedance có hình dạng bất kỳ 28 1.3. Bài toán phân tích kết cấu sóng chạy (kết cấu impedance) có hình dạng mặt cắt (Profile) bất kỳ 32 1.3.1. Ph−ơng trình tích phân đối với các bề mặt trở kháng có mặt cắt biến đổi ít 32 1.3.2. Bài toán phân tích 34 1.3.3. Đánh giá sai số của ph−ơng pháp tổng hợp 37 1.4. Xây dựng kết cấu phẳng đ−ợc kích thích bởi sóng chạy sử dụng kết cấu mạch dải và kết cấu khe trên hốc cộng h−ởng 41 1.4.1. Đặt vấn đề 41 1.4.2. Tính chất điện từ của cấu trúc răng l−ợc và cấu trúc gấp khúc 42 1.4.3. Các kết cấu đ−ợc nghiên cứu 45 1.5. Kết luận 46 Ch−ơng 2: phân tích kết cấu sóng rò đ−ợc kích thích bởi sóng chạy bằng ph−ơng pháp moment 48 2.1. Ph−ơng trình tích phân cho kết cấu khe có hình dạng bất kỳ trên hốc cộng h−ởng đ−ợc kích thích bởi sóng chạy 48 2.1.1. Xác định ph−ơng trình điều kiện biên 48 2.1.2. Xác định tr−ờng bức xạ trong miền I 49 2.1.3. Xác định tr−ờng bức xạ trong miền II 51 2.2. Giải quyết bài toán bằng ph−ơng pháp moment 52 2.2.1. Nghiên cứu cấu trúc 52 2.2.2. Chọn hàm cơ sở và thiết lập ph−ơng trình ma trận 52 2.2.3. Xác định tr−ờng bức xạ 57 2.3. Kết quả mô phỏng 59 2.4. Kết luận 67 Ch−ơng 3: phân tích kết cấu sóng mặt (kết cấu mạch dải) kích thích bởi sóng chạy bằng ph−ơng pháp moment 68 3.1. Giới thiệu kết cấu mạch dải 68
5. 4 3.2. Bài toán tổng quát phân tích kết cấu mạch dải có hình dạng bất kỳ sử dụng ph−ơng pháp moment 70 3.2.1. Xác định ph−ơng trình điều kiện biên và các thành phần của hàm Green 70 3.2.2. Xác định sự phân bố dòng trên bề mặt cấu trúc 71 3.2.3. Xác định ph−ơng trình ma trận và ma trận trở kháng 73 3.2.4. Xác định tr−ờng tán xạ và mặt cắt tán xạ ng−ợc 74 3.2.5. Các kết quả mô phỏng 75 3.3. Phân tích kết cấu mạch dải hẹp hình dạng bất kỳ đ−ợc kích thích bởi sóng chạy bằng ph−ơng pháp moment 79 3.3.1. Những căn cứ xây dựng kết cấu mạch dải hẹp có hình dạng bất kỳ 79 3.3.2. Xác định ph−ơng trình điều kiện biên 79 3.3.3. Xác định sự phân bố dòng trên bề mặt kết cấu 80 3.3.4. Chọn hàm cơ sở và xác định ph−ơng trình ma trận 81 3.3.5. Xác định ma trận trở kháng 83 3.3.6. Xác định các tích phân Sommerfeld 87 3.3.7. Các kết quả mô phỏng 92 3.4. Kết luận 97 ch−ơng 4: kết luận 98 4.1. Nhận xét các kết quả đạt đ−ợc 98 4.2. ứng dụng của kết cấu điện từ đ−ợc kích thích bởi sóng chạy 99 4.3. H−ớng nghiên cứu trong t−ơng lai 101 danh mục công trình của tác giả 102 tài liệu tham khảo 103 phụ lục 1: giới thiệu ph−ơng pháp moment 105 Phụ lục 2: hàm số biểu diễn mặt cong z0(y) của kết cấu 115 Phụ lục 3: phân bố trở kháng trên bề mặt của kết cấu 116 Phụ lục 4: Dạng hình học của kết cấu đ−ợc nghiên cứu 117 Phụ lục 5: Ch−ơng trình Matlab tính toán cấu trúc sóng rò kiểu khe hẹp có hình dạng bất kỳ trên hốc cộng h−ởng đ−ợc kích thích bởi sóng chạy 119 Phụ lục 6: phân tích hàm green, mặt cắt bức xạ và Hiệu ứng biên của kết cấu mạch dải 126 Phụ lục 7: xác định tích phân Sommerfeld đoạn cuối 134 Phụ lục 8: Ch−ơng trình fortran tính toán kết cấu mạch dải tổng quát đ−ợc kích thích bởi sóng chạy 136 Phụ lục 9: Ch−ơng trình fortran tính toán kết cấu mạch dải hẹp hình dạng bất kỳ kích thích bởi sóng chạy 150
6. 5 danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt Ký hiệu Giải nghĩa d Độ dày của lớp điện môi hoặc hốc cộng h−ởng Eb Tr−ờng điện bức xạ bởi một phần tử dòng trên mạch dải Eθ Thành phần θ của tr−ờng điện Eφ Thành phần φ của tr−ờng điện inc Thành phần tiếp tuyến của điện tr−ờng sóng tới Etan inc Thành phần tiếp tuyến của từ tr−ờng sóng tới H tan scat Thành phần tiếp tuyến của điện tr−ờng sóng bức xạ Etan scat Thành phần tiếp tuyến của từ tr−ờng sóng bức xạ H tan Biến đổi Fourier của ph−ơng thức dòng điện mn Fmn G Hàm Green dyadic Gab (x; y; z) Các thành phần của hàm Green miền không gian Gab (K x ;K y ; z) Các thành phần của hàm Green miền phổ Ph−ơng thức mn của dòng điện I mn J Dòng điện mặt t−ơng đ−ơng trên bề mặt kim loại kết cấu mạch dải M Dòng từ mặt t−ơng đ−ơng trong khe K 0 Hệ số truyền sóng trong không gian tự do Te Ph−ơng trình đặc tr−ng đối với ph−ơng thức điện ngang Tm Ph−ơng trình đặc tr−ng đối với ph−ơng thức từ ngang Vpq Các thành phần của vector thế kích thích r; θ; φ Các toạ độ cầu của điểm tr−ờng x; y; z Các toạ độ Đề các của điểm tr−ờng xm ; yn Các toạ độ của ph−ơng thức dòng mn x0 ; y0 ; z0 Các toạ độ của điểm nguồn Z mn Ma trận trở kháng mn Ts , ϖ m Hàm trọng l−ợng η0 Trở kháng sóng trong môi tr−ờng không khí ε 0 Hằng số điện môi trong môi tr−ờng không khí ε r Hằng số điện môi trong chất điện môi
7. 6 à0 Hằng số từ môi trong môi tr−ờng không khí àr Hằng số từ môi trong chất điện môi λ B−ớc sóng trong không gian tự do ϖ Vận tốc góc Z m Trở kháng bề mặt ym Dẫn nạp bề mặt (1/ Z m ) σ Mặt cắt bức xạ radar (RCS) σ EE Mặt cắt bức xạ cùng phân cực khi sóng phân cực E đ−ợc truyền đi σ EH Mặt cắt bức xạ đối phân cực khi sóng phân cực E đ−ợc truyền đi σ HE Mặt cắt bức xạ đối phân cực khi sóng phân cực H đ−ợc truyền đi σ HH Mặt cắt bức xạ cùng phân cực khi sóng phân cực H đ−ợc truyền đi ∇ Toán tử del i −1 TM Sóng từ tr−ờng ngang TE Sóng điện tr−ờng ngang
8. 7 danh mục các hình vẽ Hình 1.1: Kết cấu sóng rò đồng nhất (a) và chu kỳ (b, c, d, e) 12 Hình 1.2: Phân bố của thành phần dòng điện ngang Jx, Jy và dòng điện dọc Jz 15 trên thành rộng và thành hẹp của ống 15 Hình 1.3: Đ−ờng sức mật độ dòng điện trên thành ống dẫn sóng 15 Hình 1.4: Các loại khe trên ống dẫn sóng 16 Hình 1.5: Kích thích khe sử dụng thăm 16 Hình 1.6: Anten sóng mặt trên kết cấu chậm 17 Hình 1.7: Một số kết cấu có khả năng duy trì sóng chậm 18 Hình 1.8: Kết cấu sóng rò và các sơ đồ t−ơng đ−ơng 21 Hình 1.9: Kết cấu đ−ợc kích thích bởi nguồn liên tục (sóng chạy) 24 Hình 1.10: Kết cấu rãnh trên mặt cong 27 Hình 1.11: Mô phỏng kết cấu rãnh trên mặt cong 28 Hình 1.12: Mặt cắt x = m của kết cấu rãnh trên mặt cong và mặt phẳng impedance 29 Hình 1.13: Kết cấu bức xạ trên bề mặt impedance cong 32 Hình 1.14: Kết cấu impedance phẳng có các trở kháng trên bề mặt 42 Hình 1.15: Kết cấu răng l−ợc và kết cấu gấp khúc 43 Hình 1.16: Nguyên lý đổi lẫn tr−ờng giữa kết cấu răng l−ợc và kết cấu gấp khúc 43 Hình 1.17: Chấn tử mạch dải (khe) 45 Hình 1.18: Kết cấu 1 phần tử mạch dải (khe) 45 Hình 2.1. Cấu trúc khe có hình dạng bất kỳ trên hốc cộng h−ởng 48 Hình 2.2. Các toạ độ trên đoạn AB 52 Hình 2.3: Cấu trúc khe trên hốc cộng h−ởng 59 Hình 2.4. Mặt cắt bức xạ ng−ợc đối với tr−ờng hợp 1 60 (hình trên: Phân cực E, hình d−ới: Phân cực H) 60 Hình 2.5. Mặt cắt bức xạ ng−ợc đối với tr−ờng hợp 2 61 Hình 2.6. Mặt cắt bức xạ ng−ợc đối với tr−ờng hợp 3 62 Hình 2.7. Mặt cắt bức xạ ng−ợc trong tr−ờng hợp N=4 63 Hình 2.8. Mặt cắt bức xạ ng−ợc trong tr−ờng hợp N=8 64 Hình 2.9. Mặt cắt bức xạ ng−ợc trong tr−ờng hợp N=16 64 Hình 2.10. Mặt cắt bức xạ ng−ợc tr−ờng hợp N=16 65 Hình 2.11. Mặt cắt bức xạ ng−ợc trong tr−ờng hợp N=48 66 Hình 2.12. Mặt cắt bức xạ ng−ợc trong tr−ờng hợp N=64 66 Hình 3.1: Các loại kết cấu mạch dải 68 Hình 3.2: Sóng trong kết cấu mạch dải phẳng 68 Hình 3.3: Anten mạch dải có hình dạng bất kỳ 70 Hình 3.4: So sánh mặt cắt bức xạ tính bằng ph−ơng pháp moment sử dụng hàm cơ sở toàn miền, hàm cơ sở miền con và kết quả đo đối với kết cấu mạch dải hình chữ i nhật với các kích th−ớc Lx = 1,88cm, Ly = 1,30cm, d = 0,158 cm; εr = 2,17; θ = 600; φi = 450 77
9. 8 Hình 3.5: So sánh mặt cắt bức xạ tính bằng ph−ơng pháp moment sử dụng 78 hàm cơ sở toàn miền và hàm cơ sở miền con đối với kết cấu mạch dải hình tròn với bán i 0 i 0 kính 2,3 cm; d = 0,159 cm; εr = 2,20; θ = 60 ; φ = 0 78 Hình 3.6: Kết cấu mạch dải hẹp hình dạng bất kỳ và hàm sin khai triển trên kết cấu này 79 Hình 3.7: Đ−ờng lấy tích phân Sommerfeld 88 Hình 3.8. Mặt cắt bức xạ ng−ợc trong tr−ờng hợp N=24, p/q=1 92 Hình 3.9. Mặt cắt bức xạ ng−ợc trong tr−ờng hợp N=24, p/q=1/2 93 Hình 3.10. Mặt cắt bức xạ ng−ợc trong tr−ờng hợp N=24, p/q=1/4 93 Hình 3.11. Mặt cắt bức xạ ng−ợc trong tr−ờng hợp N=24, p/q=1/6 94 Hình 3.12. Mặt cắt bức xạ ng−ợc trong tr−ờng hợp N=30, p/q=1/6 95 Hình 3.13. Mặt cắt bức xạ ng−ợc trong tr−ờng hợp N=36, p/q=1/6 95 Hình 3.14. Mặt cắt bức xạ ng−ợc trong tr−ờng hợp N=42, p/q=1/6 96 Hình 3.15. Mặt cắt bức xạ ng−ợc trong tr−ờng hợp N=48, p/q=1/6 96 Hình P.1.1: Hàm xung 110 Hình P.1.2: Biểu diễn gần đúng hàm số f(x) 111 Hình P.1.3: Hàm tam giác 111 Hình P.1.4: Biểu diễn gần đúng hàm f(x) 111 Hình P.1.5: Hàm sin 112 Hình P.1.6: Biểu diễn gần đúng hàm f(x) 112 Hình P.1.7: Hàm cosin 113 Hình P.1.8: Hàm đa thức 113 Hình P.6.1: Chia phiến kim loại thành các tế bào nhỏ và dòng trên các tế bào này 131 Hình P.6.2: Các hàm cơ sở tam giác trên các tế bào 131
10. 9 mở đầu Trong những thập kỷ 80 - 90 của thế kỷ XX, thế giới đã đ−ợc chứng kiến những ứng dụng của vi mạch tích hợp trong các thiết bị điện tử, thông tin liên lạc phục vụ an ninh quốc phòng và đời sống hàng ngày. H−ớng tới mục tiêu thiết kế và sản xuất các thiết bị ngày càng nhỏ nhẹ với chi phí thấp, con ng−ời đã sử dụng đã các kết cấu truyền dẫn phẳng nh− các tuyến truyền dẫn mạch dải (microstrip), khe dải (slotline) là một trong các thành phần cơ bản để chế tạo các mạch tích hợp siêu cao tần. Việc sử dụng các tuyến truyền dẫn mạch dải và khe dải có −u điểm dễ dàng và linh hoạt trong thiết kế mạch và nâng cao tính khai thác của kết cấu. Tất cả các kết cấu này th−ờng có cấu hình phẳng và các đặc tính của nó đều đ−ợc thể hiện và điều khiển trên một mặt phẳng duy nhất. Nhiều lý thuyết và thực nghiệm trên các tuyến truyền dẫn mạch dải và khe dải đã đ−ợc các nhà khoa học nghiên cứu và công bố trên các tài liệu khoa học trong thời gian qua. Một ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực siêu cao tần đó là các kết cấu truyền dẫn sóng chu kỳ (hay còn gọi là "kết cấu chu kỳ"). Sự quan tâm đến các kết cấu dẫn sóng loại này nhờ hai tính chất cơ bản của chúng đó là: (i) các đặc tính lọc thông băng và chặn băng tần và (ii) hỗ trợ các sóng có vận tốc pha nhỏ hơn vận tốc ánh sáng. Tính chất lọc thông băng và chặn băng tần đ−ợc thể hiện bởi sự tồn tại của sóng điện từ ở một số băng tần có thể đ−ợc truyền qua kết cấu mà không có bất kỳ một suy hao nào, trong khi đó sóng điện từ ở các băng tần khác thì bị ngăn lại, không truyền qua đ−ợc. Băng tần đ−ợc truyền qua đ−ợc gọi là băng thông còn băng tần bị chặn lại đ−ợc gọi là băng tần bị chặn. Đặc tính lọc thông băng và chặn băng tần đ−ợc ứng dụng nhiều trong các bộ lọc tần số. Khả năng của nhiều kết cấu chu kỳ hỗ trợ sóng có vận tốc pha nhỏ hơn vận tốc ánh sáng (sóng chậm) là một đặc tính quan trọng của các ống dẫn sóng chạy. Trong ống sóng chạy, sự t−ơng tác hiệu quả giữa luồng các điện tử và tr−ờng điện từ chỉ đạt đ−ợc khi mà vận tốc pha của tr−ờng điện từ bằng vận tốc luồng các điện tử. Do vận tốc luồng các điện tử th−ờng chỉ bằng 10 - 20% vận tốc ánh sáng do vậy cần thiết phải giảm đáng kể vận tốc pha của sóng điện từ để đạt tới sự t−ơng tác hiệu quả. Các ống dẫn sóng và các kết cấu hỗ trợ sóng chậm th−ờng đ−ợc sử dụng trong các ống dẫn sóng siêu cao tần của các hệ thống thông tin vô tuyến, sử dụng để cải thiện đặc tính bức xạ
11. 10 của anten, rút ngắn độ dài của anten và thiết lập các anten có đồ thị ph−ơng h−ớng cho tr−ớc. Các kết cấu chu kỳ th−ờng đ−ợc sử dụng hiện nay đó là các ống dẫn sóng chạy và các tuyến truyền dẫn đ−ợc mang tải theo chu kỳ với các trở kháng đồng nhất. Luận án này đi sâu vào h−ớng nghiên cứu tổng hợp và phân tích tính chất thứ hai của kết cấu chu kỳ đó là tính chất hỗ trợ các sóng có vận tốc pha nhỏ hơn vận tốc ánh sáng và tiến hành phân tích kết cấu có hình dạng bất kỳ đ−ợc kích thích bởi sóng chạy sử dụng ph−ơng pháp moment. Luận án bao gồm 4 ch−ơng trong đó: Ch−ơng 1 tập trung vào nghiên cứu bài toán tổng hợp và phân tích các kết cấu có hình dạng bất kỳ đ−ợc kích thích bởi sóng chạy, sau đó mô phỏng kết cấu có hình dạng bất kỳ thành kết cấu phẳng và đề xuất 2 dạng kết cấu phẳng để nghiên cứu. Dạng đầu tiên và chung nhất của kết cấu sóng chậm đ−ợc sử dụng đó là kết cấu rãnh có hình dạng bất kỳ. Sóng chậm đ−ợc hình thành do giao thoa của sóng trong các rãnh và sóng ngoài rãnh. Các nghiên cứu về kết cấu rãnh này đã đ−ợc các nhà khoa học nh− Phan Anh [1], Aizenberg, G. Z.; Yampolski, V. G.; Cheriosin, O. N. [2] và Tereshin, O. N.; Sedov, V. M.; Chaplin, A. F. [3] đã nghiên cứu tuy nhiên bài toán mới dừng ở việc tính nghiệm bằng ph−ơng pháp bình ph−ơng nhỏ nhất - đây là ph−ơng pháp phù hợp với việc tính toán đối với các kết cấu có hình dạng bất kỳ song đối với bài toán tổng hợp không phải là lúc nào cũng tìm ra đ−ợc nghiệm vì ph−ơng pháp sử dụng hầu hết là các phép toán giải tích và nhiều khi ph−ơng trình tích phân có nhiều dạng không khả tích. Kết quả đạt đ−ợc trong Ch−ơng 1 đó là thực hiện mô phỏng thành công kết cấu có có hình dạng phức tạp với trở kháng bề mặt thuần ảo thành một kết cấu phẳng có trở kháng bề mặt là đại l−ợng phức và đánh giá kết quả. Ngoài ra trong Ch−ơng 1, chúng tôi đã sử dụng ph−ơng pháp moment để phân tích kết cấu và đề xuất 2 dạng kết cấu cần nghiên cứu. Ch−ơng 2 tập trung nghiên cứu về kết cấu sóng rò phẳng đ−ợc kích thích bởi sóng chạy sử dụng ph−ơng pháp moment. Đây là 1 trong 2 dạng kết cấu phẳng đ−ợc đề xuất nghiên cứu ở Ch−ơng 1. Kết cấu có dạng nh− kết cấu sóng rò nh−ng điểm khác biệt đó là kết cấu đ−ợc kích thích bởi sóng chạy trên bề mặt kết cấu chứ không phải là nguồn kích thích nằm trong ống dẫn sóng. Sóng chạy sẽ kích thích bề mặt kết cấu d−ới góc tới θi bất kỳ, và 0 trong tr−ờng hợp θi = 0 thì kết cấu sẽ trở thành kết cấu sóng rò. Đây là dạng bài toán ch−a đ−ợc nghiên cứu trong thực tế. Cho đến nay phần lớn các nghiên cứu sử dụng
12. 11 ph−ơng pháp moment đều tập trung vào các anten sóng rò với nguồn kích thích là sóng chạy trong ống dẫn sóng thể hiện qua một số công trình của các tác giả Bankov, S. E. [5], Andrea Neto, Stefano Maci, Peter J. I. De Maagt [6] và Johnson R. C. et al [7]. Kết quả đạt đ−ợc trong Ch−ơng 2 đó là mô phỏng thành công một kết cấu khe hẹp có hình dạng bất kỳ trên một mặt phẳng dẫn điện tuyệt đối và nằm trên một hốc cộng h−ởng hoàn toàn phù hợp với kết quả mô phỏng đối với kết cấu đã đ−ợc kiểm chứng trong các tài liệu tham khảo [14] và [15]. Ch−ơng 3 tiếp tục nghiên cứu phân tích và mô phỏng đối với dạng kết cấu phẳng thứ hai đ−ợc đề xuất. Đó là kết cấu có dạng nh− kết cấu sóng mặt (kiểu kết cấu mạch dải) nh−ng điểm khác biệt ở đây là kết cấu mạch dải đ−ợc kích thích liên tục bởi sóng chạy chứ không phải là kích thích tại 1 điểm bởi nguồn nuôi (sóng đứng). Sóng chạy sẽ kích thích bề mặt kết cấu d−ới góc tới θi bất kỳ và kết cấu sẽ trở thành kết cấu impedance. Đây cũng là dạng bài toán ch−a đ−ợc nghiên cứu trong thực tế. Cho đến nay phần lớn các nghiên cứu sử dụng ph−ơng pháp moment đều tập trung vào các anten mạch dải với nguồn nuôi cố định đã đ−ợc các nhà khoa học Johnson R. C. et al [7], Gupta, K. C.; Benalla Abdelaziz [8] và Gupta, K. C. [9] thể hiện trong các công trình nghiên cứu của mình. Kết quả đạt đ−ợc trong Ch−ơng 3 đó là sử dụng ph−ơng pháp moment với hàm cơ sở miền con để mô phỏng thành công các đặc tính bức xạ của kết cấu mạch dải có hình dạng bất kỳ đ−ợc kích thích bởi sóng chạy. Ch−ơng cuối cùng là kết luận, nhận xét các kết quả đã đạt đ−ợc và đ−a ra đề xuất ứng dụng của các kết cấu đ−ợc nghiên cứu và h−ớng nghiên cứu trong t−ơng lai. Tôi xin chân thành cảm ơn GS. TSKH Phan Anh, GS. Nguyễn Văn Ngọ, TS. Nguyễn Quốc Trung và các đồng nghiệp đã tận tình h−ớng dẫn, giúp đỡ tôi về h−ớng nghiên cứu, tài liệu, ph−ơng pháp làm việc trong thời gian thực hiện bản luận án này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Phạm Minh Hà, PGS. TS. Đào Đức Kính, TS. Nguyễn Viết Nguyên, TS. Nguyễn Nam Quân và TS. V−ơng Đạo Vi đã đóng góp những ý kiến nhận xét hết sức quý báu để hoàn thiện bản luận án. Do thời gian hạn chế và trình độ còn có hạn, nên các vấn đề trình bày có thể vẫn ch−a đáp ứng đ−ợc hết các yêu cầu đặt ra, tôi xin sẽ tiếp tục cập nhật, sửa chữa và bổ sung cho hoàn thiện. Xin trân trọng cảm ơn! Tác giả: Trần Minh Tuấn
13. 12 ch−ơng 1: kết cấu điện từ đ−ợc kích thích bởi sóng chạy 1.1. giới thiệu về các kết cấu đ−ợc kích thích bởi sóng chạy Các kết cấu sóng chạy có thể là các kết cấu sóng rò và kết cấu sóng mặt. Chúng giống nhau ở một số điểm nh− đều có hệ dẫn sóng trong kết cấu cơ sở, tuy nhiên điểm khác nhau là quá trình kích thích sóng và do vậy mỗi kết cấu đều có các cấu trúc điện từ tr−ờng khác nhau. 1.1.1. Kết cấu sóng rò Kết cấu sóng rò đ−ợc xây dựng trên cơ sở kết cấu ống dẫn sóng cho phép bức xạ (rò rỉ) năng l−ợng dọc theo chiều dài của ống dẫn sóng. Một ví dụ đơn giản của loại kết cấu này là ống dẫn sóng hình chữ nhật với vết cắt khe dọc theo chiều dài của ống nh− trên hình vẽ 1.1a. a) b) c) d) e) Hình 1.1: Kết cấu sóng rò đồng nhất (a) và chu kỳ (b, c, d, e) Bởi vì việc bức xạ năng l−ợng diễn ra dọc theo chiều dài của ống dẫn sóng do vậy toàn bộ chiều dài của khe tạo ra góc mở hiệu dụng của kết cấu ngoại trừ tr−ờng hợp năng l−ợng bức xạ quá nhiều và bức xạ hết tr−ớc khi đạt đến điểm cuối của khe. Do xuất hiện sự rò rỉ năng l−ợng, hệ số truyền sóng của kết cấu sóng rò là một số phức với hệ số pha β bằng: 2π β = < k (1.1) λ
14. 13 và hệ số rò α > 0. Hệ số rò α lớn hay bé phụ thuộc vào sự rò rỉ năng l−ợng trên một đơn vị chiều dài lớn hay bé. Giá trị α lớn chỉ ra rằng tốc độ rò rỉ lớn trên một góc mở ngắn do vậy chùm sóng bức xạ có độ rộng chùm sóng lớn và ng−ợc lại giá trị α nhỏ cho thấy một góc mở hiệu dụng dài và chùm sóng bức xạ hẹp. Thông th−ờng một kết cấu sóng rò có chiều dài khoảng 20λ cho phép độ rộng chùm sóng khoảng 40 và h−ớng truyền sóng chếch khoảng 450 so với trục ống dẫn sóng. a) Phân loại kết cấu sóng rò: Dựa theo dạng hình học của kết cấu ống dẫn sóng ng−ời ta chia kết cấu sóng rò thành 2 loại đó là: loại đồng nhất (uniform) và chu kỳ (periodic). - Loại đồng nhất: Kết cấu sóng rò đồng nhất là kết cấu mà dạng hình học của hệ thống dẫn sóng là đồng nhất dọc theo chiều dài của ống dẫn sóng. Ví dụ đơn giản của kết cấu này là một khe đ−ợc cắt dọc theo chiều dài ống (Hình 1.1a). Trong tr−ờng hợp này b−ớc sóng trong khe bằng b−ớc sóng trong ống dẫn sóng, và hệ số rò chỉ phụ thuộc vào độ rộng của khe và độ dày của ống dẫn sóng mà thôi. H−ớng của búp sóng chính của kết cấu sóng rò đồng nhất đ−ợc xác định nh− sau: β sinθ m ≈ (1.2) k0 Độ rộng búp sóng là: 1 ∆θ ≈ (1.3) (L / λ0 )cosθ m trong đó θm là góc của búp sóng chính đ−ợc đo theo h−ớng bức xạ ra ngoài (vuông góc với trục của ống dẫn sóng), L là chiều dài của kết cấu sóng rò, ∆θ là độ rộng của búp sóng chính và k0 là hệ số sóng trong không gian tự do. Cả θm và ∆θ trong các công thức (1.2) và (1.3) đều đ−ợc đo bằng radian. Độ rộng búp sóng đầu tiên phụ thuộc vào chiều dài kết cấu L và sau đó phụ thuộc vào sự phân bố biên độ tr−ờng của góc mở. Giá trị phân bố biên độ tr−ờng góc mở vào khoảng từ 0,88 và 0,91 phụ thuộc vào tỷ lệ năng l−ợng bức xạ ra ngoài nhiều hay ít. - Loại chu kỳ: Kết cấu sóng rò chu kỳ là kết cấu mà dạng hình học của hệ thống dẫn sóng đ−ợc điều biến theo chu kỳ và chính tính chu kỳ này tạo ra sự rò rỉ năng l−ợng. Các ví dụ về kết cấu sóng rò chu kỳ đ−ợc thể hiện trên hình vẽ 1.1b, c, d, e. Điểm khác nhau quan trọng giữa kết cấu sóng rò đồng nhất và chu kỳ đó là ph−ơng thức sóng chủ đạo trong kết cấu sóng rò đồng nhất là sóng nhanh và sự bức xạ
15. 14 đ−ợc thực hiện thuận lợi khi kết cấu mở. Ng−ợc lại, ph−ơng thức sóng chủ đạo trong kết cấu sóng rò chu kỳ đó là sóng chậm và việc bức xạ năng l−ợng khó khăn hơn thậm chí khi kết cấu là mở. Đối với kết cấu sóng rò chu kỳ thì tạo ra một số vô hạn các sóng hài không gian, trong đó chỉ có một số hài là sóng nhanh còn tất cả số còn lại là sóng chậm. Do vậy để có kết cấu sóng rò bức xạ, cần thiết kế làm sao cho sóng hài đầu tiên (n = -1) là sóng nhanh. Ngoài ra đối với kết cấu sóng rò đồng nhất, h−ớng sóng chỉ có chiều h−ớng về phía tr−ớc theo h−ớng của luồng sóng, còn đối với kết cấu sóng rò chu kỳ thì h−ớng sóng là bất kỳ hầu hết là h−ớng ng−ợc lại h−ớng của luồng sóng, chỉ có một số ít là h−ớng theo h−ớng của luồng sóng mà thôi. Do vậy sự bức xạ từ kết cấu sóng dò chu kỳ đ−ợc thực hiện do thành phần sóng hài n = -1, do vậy trong công thức (1.2), β phải đ−ợc thay thế bởi β-1 nên h−ớng của búp sóng chính trong kết cấu sóng rò chu kỳ đ−ợc xác định nh− sau: β −1 sinθ m ≈ (1.4) k0 trong đó: β −1 = β 0 − 2π / d , thay thế vào (1.4), chúng ta có: β 0 2π λ0 λ0 sinθ m ≈ − = − (1.5) k0 k0 d λg 0 d Vì vậy phụ thuộc vào tỷ số λ0/d, trong đó d là chu kỳ và so sánh với λ0/λg0 (hay β0/k0), chùm sóng có thể h−ớng theo phía tr−ớc hoặc h−ớng ng−ợc lại. b) Phân tích sóng trong kết cấu sóng rò: Đối với kết cấu sóng rò đồng nhất, nguyên lý truyền sóng và bức xạ t−ơng đối đơn giản, chúng ta sẽ phân tích kỹ nguyên lý truyền sóng và bức xạ trong kết cấu sóng rò chu kỳ. Trong tr−ờng hợp này, chúng ta chọn kết cấu sóng rò đ−ợc cấu tạo từ một ống dẫn sóng chữ nhật hoặc tròn, trên thành ống đ−ợc cắt một hoặc nhiều khe có độ dài bằng nửa b−ớc sóng (khe nửa sóng) [1]. Thông th−ờng khi dùng ống dẫn sóng chữ nhật thì dạng sóng kích thích là sóng H10 còn khi dùng ống dẫn sóng tròn dạng sóng kích thích là sóng H11. Khi có sóng điện từ truyền lan trong ống, ở mặt trong của thành ống sẽ có dòng điện mặt. Véctơ mật độ của nó đ−ợc xác định bởi biểu thức : e J s = [n ì H ] (1.6) n - véctơ pháp tuyến với mặt trong của thành ống; H - véctơ c−ờng độ từ tr−ờng trên bề mặt thành ống.
16. 15 Khi truyền sóng H10 trong ống dẫn sóng chữ nhật, véctơ từ tr−ờng có hai thành phần: ⎛ πx ⎞ −iβ z ⎫ H x = H 0 cos⎜ ⎟e ⎪ ⎝ a ⎠ ⎪ ⎬ (1.7) πx ⎛ ⎞ −iβ z ⎪ H z = −iAH 0 sin⎜ ⎟e ⎝ a ⎠ ⎭⎪ H0 - biên độ cực đại của c−ờng độ từ tr−ờng tại tâm ống dẫn sóng (x = 0); A - hằng số; β = 2π/λ - hệ số pha của sóng trong ống dẫn sóng; a - độ rộng của thành hẹp ống dẫn sóng. Theo (1.6) và (1.7) thì ở mặt trong thành ống sẽ có ba thành phần dòng điện mặt: hai thành phần ngang Jx, Jy gây ra bởi từ tr−ờng dọc Hz và một thành phần dòng điện dọc Jz gây ra bởi từ tr−ờng ngang Hx . Phân bố của thành phần dòng điện ngang Jx, Jy và dòng điện dọc Jz trên thành rộng và thành hẹp của ống đ−ợc vẽ trên ở hình 1.2. Hình 1.2: Phân bố của thành phần dòng điện ngang Jx, Jy và dòng điện dọc Jz trên thành rộng và thành hẹp của ống Hình 1.3: Đ−ờng sức mật độ dòng điện trên thành ống dẫn sóng Nếu khe nằm trên thành ống dẫn sóng và cắt ngang đ−ờng sức mật độ dòng điện thì dòng điện dẫn trên thành ống sẽ bị gián đoạn tại khe hở và chuyển thành dòng điện dịch chảy vuông góc với hai mép khe (Hình 1.3). Trong khe sẽ hình thành điện tr−ờng
17. 16 t−ơng ứng với dòng điện dịch và giữa hai mép khe sẽ phát sinh điện áp. Nếu đặt khe vuông góc với đ−ờng sức mặt độ dòng điện mặt thì thành phần dòng điện dịch chảy ngang mép khe là cực đại, khe đ−ợc kích thích mạnh nhất. Nếu đặt khe dọc theo đ−ờng sức mặt độ dòng điện mặt thì sẽ không phát sinh dòng điện dịch chảy ngang mép khe, nghĩa là khe không đ−ợc kích thích và nó sẽ không bức xạ năng l−ợng. Các khe trên thành ống dẫn sóng có thể đ−ợc xếp đặt theo nhiều cách khác nhau (Hình 1.4). Hình 1.4: Các loại khe trên ống dẫn sóng Hình 1.5: Kích thích khe sử dụng thăm Khe dọc trên ống dẫn sóng (khe 1) đ−ợc kích thích bởi các thành phần ngang của mật độ dòng điện mặt Jx, Jy và có thể cắt trên bản rộng cũng nh− bản hẹp của ống. Tuy nhiên cần chú ý rằng dọc theo đ−ờng trung bình của bản rộng, mật độ dòng điện ngang bằng không (Jx = 0), vì vậy nếu các khe nằm dọc theo đ−ờng trung bình thì chúng sẽ không đ−ợc kích thích và không bức xạ năng l−ợng. Để kích thích cho các khe này có thể dùng các thăm kích thích đặt cạnh khe, vuông góc với mặt phẳng của khe (Hình 1.5). Dòng điện chảy trên các thăm kích thích đ−ợc tạo nên bởi các dòng điện mặt chảy trên thành ống ở điểm đặt thăm. Khe ngang trên ống dẫn sóng (khe 2) đ−ợc kích thích bởi các thành phần dọc của mật độ dòng điện mặt Jz. Khe ngang chỉ có thể cắt trên bản rộng của ống vì trên bản hẹp thì Hx = Jz = 0. Khe nghiêng (khe 3) có thể cắt trên bản rộng cũng nh− trên bản hẹp của ống dẫn sóng và đ−ợc kích thích bởi các thành phần dòng điện dọc cũng nh− ngang. C−ờng độ kích thích cho các khe đ−ợc xác định bởi hình chiếu của véctơ mật độ dòng điện mặt lên h−ớng vuông góc với trục của khe. Khe chữ thập (khe 4) là kết hợp giữa khe ngang và khe dọc. Theo (1.7) dòng điện dọc và ngang trên thành ống tại cùng một thiết diện có góc lệch pha nhau 900. Vì vậy các khe dọc và ngang sẽ đ−ợc kích thích lệch pha nhau 900. Nếu tâm của khe chữ thập
18. 17 đ−ợc đặt cách đ−ờng trung bình của bản rộng một khoảng cách x = x0 sao cho biên độ của các thành phần từ tr−ờng Hx và Hz tại đó bằng nhau thì c−ờng độ kích thích cho hai khe sẽ bằng nhau. Do đó khe chữ thập sẽ bức xạ sóng phân cực tròn theo h−ớng vuông góc với thành rộng của ống dẫn sóng. 1.1.2. Kết cấu sóng mặt Nh− chúng ta đã biết, sóng mặt chỉ có thể đ−ợc hình thành trên bề mặt của những kết cấu đặc biệt, thoả mãn những điều kiện nhất định. Các kết cấu này đ−ợc gọi là kết cấu sóng mặt hay kết cấu sóng chậm [1]. a) Tính chất của sóng mặt: - Biên độ c−ờng độ tr−ờng của sóng mặt trong môi tr−ờng không khí suy giảm nhanh theo h−ớng pháp tuyến với mặt phân giới. - Vận tốc pha của sóng mặt theo h−ớng truyền sóng nhỏ hơn vận tốc ánh sáng (v< c). - Tr−ờng của sóng mặt không phải là tr−ờng ngang, nghĩa là luôn có thành phần điện tr−ờng hoặc từ tr−ờng nằm dọc theo h−ớng truyền lan của sóng. Hình 1.6: Anten sóng mặt trên kết cấu chậm b) Phân tích sóng trong kết cấu sóng mặt: Hình 1.6 vẽ sơ đồ của anten sóng mặt trên kết cấu chậm, đối với tr−ờng hợp sóng E và sóng H. Mặt phẳng hình vẽ trong các tr−ờng hợp này và mặt cắt dọc theo ph−ơng truyền sóng của kết cấu chậm. Để thuận tiện, chúng ta chọn hệ toạ độ sao cho trục z vuông góc với mặt phẳng phân giới, nghĩa là trùng ph−ơng với vector pháp tuyến ngoài nr , trục y phù hợp với thành phần tiếp tuyến của vector điện tr−ờng trên mặt phân giới, còn trục x phù hợp với thành phần tiếp tuyến của vector từ tr−ờng. Sự giảm biên độ của các thành phần tr−ờng của sóng mặt theo h−ớng trục z đ−ợc biểu thị bởi đ−ờng đứt nét trên các hình vẽ. Vì vận tốc pha của sóng mặt luôn nhỏ hơn vận tốc ánh sáng nên sóng mặt còn đ−ợc gọi là sóng chậm. Tỷ số c/v phụ thuộc vào đặc điểm của kết cấu duy trì sóng đ−ợc
19. 18 gọi là hệ số chậm sóng hay hệ số chậm của kết cấu. Hệ số chậm của đ−ờng truyền có liên quan đến khả năng rút ngắn kích th−ớc kết cấu. Sự suy giảm của c−ờng độ tr−ờng sóng mặt theo h−ớng pháp tuyến với mặt phân giới có quan hệ với hệ số chậm c/v. Tỷ số c/v càng lớn thì năng l−ợng sóng mặt tập trung ở gần mặt phân giới càng lớn. Hệ số suy giảm có liên quan đến hiệu suất của kết cấu. Anten chấn tử thực hiện từ chức năng sóng chậm nêu ở trên đ−ợc gọi là chấn tử impedance. Một số ví dụ về các kết cấu có khả năng duy trì sóng chậm đ−ợc trình bày ở hình 1.7. b) a) c) Hình 1.7: Một số kết cấu có khả năng duy trì sóng chậm Nguyên lý hình thành sóng chậm trên kết cấu hình 1.7a đ−ợc giải thích nh− sau: Sóng chậm đ−ợc hình thành do giao thoa của sóng truyền lan trong khoảng không gian trên bề mặt kết cấu (r ≥ a2) theo đ−ờng thẳng nối giữa hai thành răng (sóng 1) và sóng truyền lan theo đ−ờng uốn khúc trong khoảng không gian rãnh giữa hai răng kim loại (sóng 2). Rõ ràng là độ dài đ−ờng đi của sóng 2 lớn hơn độ dài đ−ờng đi của sóng 1. Kết quả là sóng tổng hợp trên bề mặt kết cấu có vận tốc pha nhỏ hơn vận tốc sóng không gian tự do. Hệ số chậm của kết cấu loại này phụ thuộc chủ yếu vào độ sâu của rãnh (∆ = a2 - a1). Điều kiện để hình thành sóng mặt trên bề mặt kết cấu đó là ∆ < λ/4. Trong tr−ờng hợp này trở kháng bề mặt mang tính chất cảm kháng. Nếu tiếp tục tăng giá trị ∆ thì vận tốc pha càng giảm và khi ∆ = λ/4 thì xảy ra hiện t−ợng cộng h−ởng và sự truyền lan sóng mặt sẽ không còn nữa. Để tăng c−ờng độ chậm pha của nhánh sóng truyền theo đ−ờng uốn khúc khi không có khả năng tăng ∆, có thể thay thế môi tr−ờng không khí trong khoảng giữa hai đĩa kim loại bằng một điện môi hoặc từ môi có hệ số điện thẩm hoặc từ thẩm khá lớn. Khi ấy sóng truyền theo nhánh 2 không chỉ có đ−ờng đi dài hơn mà vận tốc pha cũng nhỏ hơn, do đó sẽ tăng góc chậm pha của sóng tổng hợp trên bề mặt kết cấu, nghĩa là tăng hệ số làm chậm của đ−ờng truyền sóng chậm.
20. 19 Kết cấu dây dẫn mà bên ngoài đ−ợc phủ lớp điện môi hoặc ferit (Hình 1.7b). Giả sử dây dẫn đ−ợc kích thích bởi một sóng phẳng truyền lan dọc theo dây. Năng l−ợng điện từ truyền theo kết cấu trên sẽ gồm hai phần, một phần truyền trong môi tr−ờng không khí bao quanh kết cấu với vận tốc pha bằng vận tốc sóng trong không gian tự do (v = c) và một phần truyền trong lớp điện môi hoặc từ môi (àr và εr là hệ số từ thẩm và điện thẩm t−ơng đối của vật liệu bao quanh dây dẫn) với vận tốc pha nhỏ hơn vận tốc sóng trong không gian tự do (v k. Các thành phần còn lại của c−ờng độ điện tr−ờng có thể xác định từ ph−ơng trình Maxwell rotH = iωε 0 E . Trong môi tr−ờng không khí ta có: h h E = H = WH e − pz e −ihy z ωε x k 0 0 (1.11) h p − pz −ihy E y = i H x = i WH 0e e ωε 0 k
21. 20 Từ (1.9) và (1.11) dễ dàng nhận thấy rằng theo h−ớng trục y có sự dịch chuyển 1 năng l−ợng của sóng mặt (vì E và H đồng pha nên S = E H * sẽ là thực), còn theo z x y 2 z x h−ớng z không có sự dịch chuyển năng l−ợng (vì Ez và Hx lệch pha nhau π / 2 nên 1 S = − E H * sẽ là ảo). y 2 z x Từ các hệ thức đã nhận đ−ợc, chúng ta xác định đ−ợc trở kháng bề mặt (hay còn gọi là impedance bề mặt): E y p p Z s = = i = i W (1.12) H x ωε 0 k Trong đó W là trở kháng sóng trong môi tr−ờng không khí bằng 377 Ohm. Vì p là số thực nên theo (1.12) trở kháng bề mặt là một số ảo và mang tính chất cảm kháng thuần. Từ đây có thể nhận thấy điều kiện tồn tại của sóng mặt trên kết cấu định h−ớng là trở kháng trên bề mặt kết cấu đó phải có đặc tính cảm kháng. Các hệ thống sóng chậm th−ờng gặp là: kết cấu rãnh trên mặt phẳng và mặt cong, các dây dẫn kim loại có phủ lớp điện môi hoặc ferit kim loại hình răng l−ợc có độ dài hữu hạn, sóng mặt truyền lan dọc theo nó sẽ phản xạ lại một phần ở đầu cuối, một phần bức xạ ra ngoài. Khi ấy hệ thống chậm sẽ trở thành hệ thống bức xạ điện từ (anten). 1.1.3. Các quan điểm phân tích kết cấu điện từ đ−ợc kích thích bởi sóng chạy: a) Quan điểm phân tích kết cấu sóng rò: Theo nguyên lý t−ơng hỗ, kết cấu sóng rò kiểu khe ống dẫn sóng có thể dùng làm anten phát cũng nh− anten thu. C−ờng độ kích thích khe (cũng có nghĩa là c−ờng độ bức xạ hoặc thu của khe) phụ thuộc vào vị trí của khe trên thành ống dẫn sóng. Khảo sát h−ớng tính của khe cắt trên thành ống dẫn sóng không thể dựa vào nguyên lý đổi lẫn vì kích th−ớc của thành ống là hữu hạn, so sánh đ−ợc với b−ớc sóng, đặc biệt là khi khảo sát h−ớng tính trong mặt phẳng E. Đồ thị ph−ơng h−ớng của khe trong mặt phẳng H có thể đ−ợc xác định gằn đúng theo nguyên lý đổi lẫn đối với chấn tử điện có cùng kích th−ớc. Điện dẫn bức xạ GΣ của khe cũng phụ thuộc vào kích th−ớc của mặt kim loại mang khe và vị trí của khe trên mặt ấy. Vì khe cắt trên thành ống dẫn sóng sẽ bức xạ năng l−ợng ra không gian bên ngoài nên nó trở thành tải của ống và sẽ ảnh h−ởng đến chế độ làm việc của ống dẫn sóng. Khi ấy, năng l−ợng truyền trong ống sẽ có một phần bức xạ qua khe, một phần phản xạ lại từ khe giống nh− khi phản xạ sóng từ các chỗ không đồng nhất của ống dẫn sóng và đi ng−ợc về phía máy phát, còn một phần tiếp
22. 21 tục truyền lan trong ống. ảnh h−ởng của khe đến chế độ làm việc của ống đ−ợc đặc tr−ng bởi dẫn nạp vào và trở kháng vào của khe. Tr−ờng hợp khe đ−ợc cắt ngang trên thành rộng của ống dẫn sóng, nó sẽ làm gián đoạn đ−ờng sức mật độ dòng điện chảy dọc theo ống. Vì vậy khe ngang trong tr−ờng hợp này có thể đ−ợc coi nh− một trở kháng mắc nối tiếp trên đ−ờng dây song hành t−ơng đ−ơng của ống dẫn sóng. Hình 1.8a vẽ ống dẫn sóng, đ−ờng dây song hành t−ơng đ−ơng và sơ đồ t−ơng đ−ơng của khe ngang trên ống dẫn sóng. Các trở kháng vẽ ở hình là trở kháng chuẩn hoá, trong đó R't là điện trở tài mắc ở đầu cuối ống dẫn sóng để phối hợp trở kháng, tạo sóng chạy trong ống. a) b) Hình 1.8: Kết cấu sóng rò và các sơ đồ t−ơng đ−ơng Tr−ờng hợp khe cắt dọc, nó sẽ làm gián đoạn đ−ờng sức mật độ dòng điện ngang trên thành ống. Dòng điện ngang này có thể coi nh− dòng phân nhánh, chảy theo đ−ờng dây nhánh mắc song song vào các dây dẫn của đ−ờng dây song hành t−ơng đ−ơng. Vì vậy khe dọc có thể đ−ợc coi t−ơng đ−ơng với trở kháng (hay dẫn nạp) mắc song song (hình 1.8b). Trở kháng vào (hay dẫn nạp vào) của khe có độ dài tuỳ ý là một đại l−ợng phức. Đối với khe cộng h−ởng thì Xv = 0. Muốn cho khe cộng h−ởng, độ dài của nó phải nhỏ hơn λ/2 chút ít. Với khe càng rộng thì độ rút ngắn so với λ/2 sẽ càng lớn. Vì c−ờng độ kích thích cho khe phụ thuộc vào vị trí của khe trên thành ống nên ảnh h−ởng của khe đến chế độ làm việc của ống dẫn sóng cũng phụ thuộc vào yếu tố này. Khi tăng c−ờng độ kích thích khe thì trở kháng vào của khe ngang và dẫn nạp vào của khe dọc sẽ tăng. Điện dẫn vào chuẩn hoá của khe dọc cộng h−ởng trên tấm rộng có thể đ−ợc tính theo công thức gần đúng: ' a Λ 2 ⎛ πλ ⎞ 2 ⎛ πx1 ⎞ Gv = GvWeq = 2,09 cos ⎜ ⎟sin ⎜ ⎟ (1.13) b λ ⎝ 2Λ ⎠ ⎝ a ⎠ Weq là trở kháng sóng của đ−ờng dây song hành t−ơng đ−ơng với ống dẫn sóng; x1 là khoảng cách từ tâm khe đến đ−ờng trung bình; a là độ rộng của tấm lớn của ống dẫn
23. 22 sóng; b là độ rộng của tấm nhỏ của ống dẫn sóng; Λ là b−ớc sóng trong ống dẫn sóng; λ là b−ớc sóng trong không gian tự do Từ công thức trên ta thấy rằng điện dẫn vào của khe dọc cộng h−ởng sẽ bằng không nếu khe nằm dọc trên đ−ờng trung bình của tấm lớn (x1 = 0), và cực đại nếu khe nằm ở mép của tấm lớn (x1 = a/2) hoặc nằm dọc trên tấm nhỏ của ống. Điện trở vào chuẩn hoá của khe ngang cộng h−ởng đ−ợc xác định theo công thức: 3 2 ' Rv ⎛ Λ ⎞ λ 2 ⎛ πλ ⎞ 2 ⎛ π ⎞ Gv = ≈ 0,523⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟cos ⎜ x1 ⎟ (1.14) Weq ⎝ λ ⎠ ab ⎝ 4a ⎠ ⎝ a ⎠ Từ công thức này ta thấy điện trở vào của khe ngang cộng h−ởng sẽ cực đại khi tâm của khe nằm trên đ−ờng trung bình của tấm rộng (x1 = 0) vì ở vị trí này dòng điện dọc có giá trị cực đại, và Rv sẽ giảm khi tâm của khe càng lùi ra xa đ−ờng trung bình. b) Các quan điểm phân tích kết cấu sóng mặt: Mỗi kết cấu sóng mặt th−ờng bao gồm 2 phần chính: bộ kích thích và kết cấu định h−ớng sóng chậm. Bộ kích thích tạo ra sóng điện từ phẳng đồng nhất, còn kết cấu chậm biến đối sóng phẳng đồng nhất thành sóng chậm, duy trì sự bức xạ của sóng. Bức xạ của kết cấu sóng mặt có thể đ−ợc khảo sát theo hai quan điểm nh− sau: - Quan điểm 1: Coi bức xạ của kết cấu đ−ợc thực hiện bởi các dòng điện và dòng từ mặt t−ơng đ−ơng phân bố trên bề mặt của hệ thống chậm. Tr−ờng kích thích cho mặt bức xạ trong tr−ờng hợp này là các thành phần Ey và Hx. Đồng thời trở kháng bề mặt đ−ợc xác định bởi (1.12) là đại l−ợng thuần ảo. Đây là bài toán bức xạ của một diện tích phẳng đ−ợc kích thích bởi tr−ờng có trở kháng bề mặt là đại l−ợng ảo. - Quan điểm 2: Theo quan điểm này, bức xạ của kết cấu đ−ợc coi nh− xảy ra tại chỗ gián đoạn của kết cấu. Do đó, mặt bức xạ đ−ợc coi là diện tích nằm ở đầu cuối và vuông góc với bề mặt kết cấu chậm. Diện tích này chính là một phần của mặt đồng pha của sóng mặt ở đầu cuối. Trên diện tích đó, pha của tr−ờng đồng đều, còn biên độ phân bố theo quy luật hàm mũ âm giảm dần theo h−ớng vuông góc với bề mặt kết cấu. Kích th−ớc của mặt bức xạ đ−ợc giới hạn ở chỗ mà biên độ của tr−ờng giảm đến một mức cho tr−ớc. Trong tr−ờng hợp này, tr−ờng kích thích cho mặt bức xạ sẽ gồm các thành phần Ez, Hx. Theo (1.9) và (1.11), chúng ta có đ−ợc trở kháng bề mặt của mặt bức xạ: Ez h Z s = = W0 (1.15) H x k Trong tr−ờng hợp này, trở kháng bề mặt là đại l−ợng thực. Ký hiệu đại l−ợng này là Ws thì:
24. 23 h W = W (1.16) s k 0 Đây là bài toán bức xạ của bề mặt (đ−ợc kích thích bởi tr−ờng) có trở kháng bề mặt là thực. Nh− vậy, bài toán bức xạ của kết cấu sóng mặt nếu đ−ợc khảo sát theo quan điểm 2 thì để xác định đồ thị ph−ơng h−ớng của kết cấu, chúng ta không cần tính đến độ dài của kết cấu. Do đó ph−ơng pháp này sẽ cho kết quả không chính xác nếu độ dài kết cấu là nhỏ. Ngoài ra để phân tích định tính đặc tính bức xạ của kết cấu sóng mặt cũng có thể áp dụng lý thuyết đã biết đối với các hệ thống bức xạ thẳng. Trong tr−ờng hợp này kết cấu sóng mặt đ−ợc coi nh− tập hợp của các phần tử sắp xếp theo đ−ờng thẳng với dòng kích thích cho các phần tử có góc pha biến đổi theo quy luật sóng chậm c) Quan điểm chung để phân tích các kết cấu điện từ đ−ợc kích thích bởi sóng chạy Nh− đã phân tích ở trên, đối với kết cấu sóng rò, sự bức xạ xảy ra liên tục trên bề mặt của ống dẫn sóng, tuy nhiên đối với kết cấu sóng mặt thì tồn tại 2 quan điểm để phân tích kết cấu này. Để có đ−ợc một ph−ơng pháp chung phân tích các kết cấu đ−ợc kích thích bởi sóng chạy bao gồm cả kết cấu sóng rò và sóng mặt, chúng ta sử dụng quan điểm coi bức xạ của kết cấu đ−ợc thực hiện bởi các dòng điện và dòng từ mặt t−ơng đ−ơng phân bố trên bề mặt của hệ thống. Tr−ờng kích thích cho mặt bức xạ trong tr−ờng hợp này là các thành phần Ey và Hx. Đồng thời trở kháng bề mặt đ−ợc xác định là đại l−ợng phức (đối với kết cấu sóng rò) và thuần ảo (đối với kết cấu sóng mặt). Nh− vậy bài toán sẽ đ−ợc chuyển thành bài toán bức xạ của một diện tích nào đó đ−ợc kích thích bởi tr−ờng có trở kháng bề mặt là đại l−ợng phức. Do vậy quy luật phân bố dòng trên kết cấu có thể đ−ợc xác định khi hệ thống kết cấu đ−ợc coi là tập hợp của các phần tử bức xạ sắp xếp trong không gian đ−ợc kích thích liên tục bởi sóng điện từ (sóng chạy), khi ấy kết cấu sẽ biến đổi sóng kích thích (sóng sơ cấp) thành sóng bức xạ thứ cấp thỏa mãn hàm phân bố dòng đã cho trên bề mặt kết cấu. Sơ đồ kết cấu đ−ợc kích thích bởi nguồn liên tục đ−ợc vẽ trên hình 1.9. Nếu kết cấu có các thông số đồng nhất thì sóng sơ cấp hoặc là sẽ đ−ợc duy trì và truyền lan dọc theo kết cấu đó (tr−ờng hợp kết cấu làm nhiệm vụ định h−ớng) hoặc là sóng sơ cấp sẽ biến đổi h−ớng truyền lan nh−ng bảo toàn đặc tính (tr−ờng hợp kết cấu làm nhiệm vụ phản xạ).
25. 24 Hình 1.9: Kết cấu đ−ợc kích thích bởi nguồn liên tục (sóng chạy) Để có thể tạo ra bức xạ thứ cấp với đồ thị ph−ơng h−ớng cho tr−ớc, sóng sơ cấp cần đ−ợc biến đổi thành một tổ hợp sóng thứ cấp có các thông số khác nhau. Thật vậy, đặc tính bức xạ của kết cấu sóng mặt về cơ bản đ−ợc xác định bởi vận tốc pha của sóng mặt (hoặc bởi hằng số pha h). Khi có sự chồng chất một số sóng mặt với hằng số pha khác nhau trên kết cấu sẽ dẫn đến sự chồng chất tr−ờng tạo bởi các sóng đó ở khu xa, và về nguyên tắc có thể tạo thành đồ thị ph−ơng h−ớng bức xạ theo yêu cầu. 1.1.4. Những hạn chế trong bài toán phân tích các kết cấu đ−ợc kích thích bởi sóng chạy và ph−ơng h−ớng giải quyết Trên thực tế để tạo ra các đồ thị ph−ơng h−ớng (sóng thứ cấp) theo yêu cầu, bề mặt kết cấu th−ờng có dạng hết sức phức tạp. Do vậy việc phân tích các kết cấu này gặp rất nhiều khó khăn đặc biệt phải tính toán đối với các ph−ơng trình đ−ờng cong hình học rất phức tạp. Aizenberg, G. Z.; Yampolski, V. G.; Cheriosin, O. N. [2] và Tereshin, O. N.; Sedov, V. M.; Chaplin, A. F. [3] cũng đã rất cố gắng để giải quyết bài toán tổng hợp để tìm ra mô hình đ−ờng cong của kết cấu có hình dạng bất kỳ đ−ợc kích thích bởi sóng chạy. Tuy nhiên không phải là đối với bài toán nào cũng ra đ−ợc nghiệm vì ph−ơng pháp sử dụng hầu hết là các phép toán giải tích và nhiều khi ph−ơng trình tích phân có nhiều dạng không khả tích. Các ph−ơng pháp để phân tích các kết cấu này cũng chỉ giới hạn bằng các ph−ơng pháp tính nghiệm bằng ph−ơng pháp bình ph−ơng nhỏ nhất. Ph−ơng pháp này phù hợp với tính toán đối với các kết cấu có dạng phức tạp vì sử dụng giải tích, song lại rất mất thời gian đối với bài toán không tìm đ−ợc nghiệm bằng ph−ơng pháp giải tích.
26. 25 Giải quyết bài toán phân tích kết cấu có hình dạng bất kỳ đ−ợc kích thích bởi sóng chạy sử dụng ph−ơng pháp số cho phép nhận đ−ợc kết quả chính xác với thời gian ngắn. Luận án đ−a ra một số điểm đột phá nh− sau: a) Mô phỏng kết cấu có hình dạng phức tạp với trở kháng bề mặt thuần ảo thành một kết cấu phẳng có trở kháng bề mặt là đại l−ợng phức: Khi kết cấu dạng cong đ−ợc chuyển thành phẳng, việc tính toán sẽ trở nên rất dễ dàng. Quy luật phân bố dòng trên kết cấu mới đ−ợc xác định khi hệ thống kết cấu đ−ợc coi là tập hợp của các phần tử bức xạ sắp xếp trên một mặt phẳng đ−ợc kích thích liên tục bởi sóng chạy, khi ấy kết cấu sẽ biến đổi sóng kích thích (sóng sơ cấp) thành sóng bức xạ thứ cấp thỏa mãn hàm phân bố dòng đã cho trên bề mặt kết cấu. b) Sử dụng ph−ơng pháp moment để phân tích kết cấu: Ph−ơng pháp moment [4] (Phụ lục 1) là ph−ơng pháp tính toán sử dụng lý thuyết rời rạc để làm giảm nhẹ đáng kể bài toán về mối t−ơng quan của các đại l−ợng vật lý trong môi tr−ờng tự do đ−ợc biểu diễn qua các ph−ơng trình Maxwell và các điều kiện bờ, để biến đổi thành các ph−ơng trình tích phân (hoặc vi phân) có miền đ−ợc giới hạn và đủ nhỏ. Thực vậy, bài toán đó đ−ợc xem xét một cách rất cụ thể trong một miền t−ơng đối nhỏ và trong miền đó chúng ta sẽ thực hiện sự rời rạc hoá và khai triển các ẩn số thành dãy các hàm cơ sở. ở đây cần ghi nhớ một điểm rằng kích th−ớc nhỏ của miền là vô cùng quan trọng vì kích th−ớc này cần phù hợp với thể tích bộ nhớ của máy vi tính mà luôn luôn không phải là một nguồn tài nguyên vô hạn. Trong khi đó ph−ơng pháp phần tử hữu hạn và ph−ơng pháp sai phân hữu hạn th−ờng xử lý các ph−ơng trình tích phân một cách trực tiếp trên toàn bộ miền của tích phân đó. Đó chính là −u điểm của ph−ơng pháp moment, khiến cho ph−ơng pháp này trở nên đ−ợc −a chuộng nhất trong giải quyết các bài toán điện từ tr−ờng do bản chất tự do, không bị giới hạn của sóng điện từ nh− việc bức xạ sóng vào không gian mở, có thể đ−ợc thu hẹp lại trong một miền giới hạn bởi các ph−ơng trình tích phân. Đặc biệt ph−ơng pháp moment rất thuận tiện khi khảo sát các kết cấu phẳng. Những kết quả này cho phép mở rộng phạm vi ứng dụng của bài toán tới phạm vi rộng rãi hơn. c) Đánh giá kết quả khi thực hiện chuyển kết cấu có dạng cong thành kết cấu phẳng có trở kháng bề mặt là đại l−ợng phức: Bài toán tổng hợp kết cấu impedance cho ta phân bố trở kháng bề mặt và hàm biến dạng của bề mặt (hay còn gọi là hàm biến dạng mặt cắt của bề mặt). Th−ờng
27. 26 th−ờng mặt cắt của bề mặt (profile) có biến đổi tuy nhiên sự biến đổi này so với b−ớc sóng là rất nhỏ và khi thực hiện các kết cấu thực tế ng−ời ta th−ờng bỏ qua sự biến đổi z0(y), trong khi vẫn giữ nguyên hàm phân bố trở kháng bề mặt. Bài toán phân tích sử dụng ph−ơng pháp moment sẽ giúp việc đánh giá lại kết quả khi thực hiện tổng hợp kết cấu impedance. d) Kết cấu điện từ đ−ợc đề xuất nghiên cứu trong luận văn: - Kết cấu có dạng nh− kết cấu sóng rò nh−ng điểm khác biệt đó là kết cấu đ−ợc kích thích bởi sóng chạy trên bề mặt kết cấu chứ không phải là nguồn kích thích nằm trong ống dẫn sóng. Sóng chạy sẽ kích thích bề mặt kết cấu d−ới góc tới θi bất kỳ, và 0 trong tr−ờng hợp θi = 0 thì kết cấu sẽ trở thành kết cấu sóng rò. - Kết cấu có dạng nh− kết cấu sóng mặt (kiểu kết cấu mạch dải) nh−ng điểm khác biệt ở đây là kết cấu mạch dải đ−ợc kích thích liên tục bởi sóng chạy chứ không phải là kích thích tại 1 điểm bởi nguồn nuôi (sóng đứng). Sóng chạy sẽ kích thích bề mặt kết cấu d−ới góc tới θi bất kỳ và kết cấu sẽ trở thành kết cấu impedance. Đây là hai dạng bài toán ch−a đ−ợc nghiên cứu trong thực tế. Cho đến nay phần lớn các nghiên cứu sử dụng ph−ơng pháp moment đều tập trung vào các anten sóng rò với nguồn kích thích là sóng chạy trong ống dẫn sóng [5], [6], [7] nh− đã phân tích trong mục 1.1.1 và anten mạch dải với nguồn nuôi cố định [7], [8], [9]. Việc sử dụng ph−ơng pháp moment để phân tích các kết cấu điện từ kích thích bởi sóng chạy và cụ thể trong luận án này là hai kết cấu có dạng sóng rò và mạch dải kích thích bởi sóng chạy đ−ợc tác giả nghiên cứu lần đầu tiên. Cho đến thời điểm hiện nay, theo ý kiến của tác giả, ch−a có công trình nào đề cập đến vấn đề này. D−ới đây, chúng ta sẽ đi vào giải quyết bài toán bằng ph−ơng pháp moment với hai dạng bài toán và kết cấu trên. 1.2. Bài toán tổng hợp kết cấu sóng chạy (kết cấu impedance) 1.2.1. Xác định hàm số mặt cong của bề mặt kết cấu impedance và phân bố trở kháng bề mặt Một kết cấu rãnh trên mặt cong đ−ợc xác định bởi hàm số z = z0(y) đ−ợc thể hiện trên hình 1.10 [2]. Chúng ta sẽ tìm lời giải bài toán tổng hợp kết cấu đối với tr−ờng hợp kết cấu nhị biến, nghĩa là điều kiện bờ cũng nh− phân bố tr−ờng trên kết cấu đó chỉ phụ thuộc vào hai tọa độ y và z, các thành phần tr−ờng đ−ợc coi là không biến đổi theo tọa độ x.
28. 27 Hình 1.10: Kết cấu rãnh trên mặt cong Tr−ờng trên kết cấu bao gồm sóng kích thích và sóng bức xạ thứ cấp, đ−ợc coi nh− một nguồn tr−ờng chung tạo ra có cấu trúc của sóng TM với các thành phần Hx, Ez, Ey liên hệ với nhau bởi quan hệ: i ∂H x i ∂H x Ez = E y = − (1.17) ωε a ∂y ωε a ∂z Trở kháng trên bề mặt kết cấu Z1 sẽ là một hàm số của z0(y) và có các thành phần đ−ợc biểu diễn nh− sau: Eτ Ez sinγ + Ey cosγ Z1 = = (1.18) H x H x trong đó γ là góc giữa tiếp tuyến của bề mặt kết cấu tại điểm cần xác định trở kháng, trong đó: 1 z' cosγ = sinγ = 0 (1.19) 2 2 z'0 +1 z'0 +1 ’ trong đó z 0 là đạo hàm của hàm z0(y) theo y của bề mặt cong, vì vậy công thức (1.18) có dạng: ∂H ∂H x z ' − x i ∂y 0 ∂z Z = (1.20) 1 ωε 2 a H x z'0 +1 Trong tr−ờng hợp chung, Hx là đại l−ợng phức và có thể đ−ợc biểu diễn d−ới dạng: H x = A( y, z) + iB( y, z) (1.21)
29. 28 Đặt (1.21) vào (1.20), có: ⎛ ∂A ∂A ⎞ ⎛ ∂B ∂B ⎞ ⎜ z' − ⎟ + i⎜ z' − ⎟ i ⎜ ∂y 0 ∂z ⎟ ⎜ ∂y 0 ∂z ⎟ Z = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.22) 1 ωε 2 a ()A + iB z'0 +1 Để kết cấu có khả năng duy trì sóng chậm thì trở kháng bề mặt của kết cấu phải là số thuần ảo, có nghĩa là: ⎛ ∂A ∂B ⎞ ⎜ B − A⎟ ∂z ∂z z ' = ⎝ ⎠ (1.23) 0 ⎛ ∂A ∂B ⎞ ⎜ B − A⎟ ⎝ ∂y ∂y ⎠ Để thoả mãn điều kiện (1.23), phân bố trở thuần kháng đ−ợc xác định nh− sau: ∂B ∂A ∂B ∂A − i ∂y ∂z ∂z ∂y Z1 = (1.24) ωε a ⎛ ∂A ∂B ⎞ 2 ⎜ B − A⎟ z'0 +1 ⎝ ∂y ∂y ⎠ Khả năng của việc bức xạ có hiệu quả sóng phẳng theo h−ớng đ−ợc định sẵn chỉ có thể thực hiện đ−ợc với sự giúp đỡ của các trở thuần kháng (ReZ = 0). Phân bố trở kháng dạng thuần kháng rất cần thiết để có thể ngoài việc đ−a chùm sóng thứ cấp chính theo h−ớng yêu cầu ϕ, còn có sóng phản xạ bao gồm cả sóng không gian và sóng mặt. Nh− vậy kết cấu thuần kháng sẽ tạo ra ít nhất hai sóng đồng nhất phản xạ mà một trong số đó là sóng phản chiếu và sóng thứ hai là sóng tán xạ. 1.2.2. Xây dựng mô hình mô phỏng kết cấu impedance có hình dạng bất kỳ Hình 1.11: Mô phỏng kết cấu rãnh trên mặt cong
30. 29 Chúng ta mô phỏng kết cấu rãnh mặt cong có hình dạng bất kỳ z = z0(y) đ−ợc vẽ trên hình 1.11 thành một mặt phẳng impedance trong đó tr−ờng E tại toạ độ z nào đó sẽ đ−ợc mô phỏng đúng theo tr−ờng E của kết cấu mặt cong tại toạ độ z đó. Đối với bài toán tổng hợp, chúng ta cần phải xác định điều kiện ng−ợc tức là tìm phân bố trở kháng và cấu trúc kết cấu. Tr−ớc hết, cần xác định phân bố trở kháng trên mặt phẳng z mô phỏng đó rồi sau đó xác định hàm số mặt cong z0(y) và phân bố trở kháng trên mặt cong z0(y). Để tiện cho bài toán tổng hợp, chúng ta xác định điểm cao nhất của mặt cong, giả sử tại tung độ z = m. Đặt một kết cấu mặt phẳng impedance mô phỏng kết cấu trên tại tung độ z = m (Hình 1.12). Chúng ta sẽ tìm phân bố trở kháng trên bề mặt kết cấu phẳng này tr−ớc. Hình 1.12: Mặt cắt x = m của kết cấu rãnh trên mặt cong và mặt phẳng impedance Giả sử sóng đến và sóng tán xạ là các sóng phẳng đ−ợc xác định nh− sau: I iαz iβy H sc = C'e−iγze−iξy H x = C1e e x α sc αC' −iγz −iξy I iαz iβy E = e e Ey = C1e e (1.25) y (1.26) ϖε a ϖε a I β iαz iβy sc βC' −iγz −iξy Ez = C1e e Ez = e e ϖε a ϖε a trong đó: α = k0sinθ, β = k0cosθ, γ = k0sinϕ, ξ = k0cosϕ. θ là góc của sóng đến, ϕ là góc của sóng tán xạ. Để tiện tính toán, chúng ta giả sử C1 = C’ = C. Chúng ta có tổng giá trị tr−ờng tiếp tuyến Hx(y,z) đ−ợc xác định nh− sau: I sc H x (y, z) = H x (y, z) + H x (y, z) (1.27) trong đó: H I = Ceiαz eiβy = C[cos(αz + βy) + isin(αz + βy)] x (1.28) sc −iγz −iξy H x = Ce e = C[]cos(γz + ξy) − isin(γz + ξy)
31. 30 Thực hiện biến đổi, chúng ta có: H x ( y, z) = C[]cos(αz + βy) + cos(γz + ξy) + iC[sin(αz + βy) − sin(γz + ξy)] (1.29) Thấy rằng Hx(y,z) có dạng A + iB, trong đó: A(y, z) = C[cos(αz + βy) + cos(γz +ξy)] (1.30) B(y, z) = C[]sin(αz + βy) − sin(γz +ξy) Đặt các giá trị của A(y,z) và B(y,z) vào biểu thức (1.24) và thực hiện các phép biến đổi, chúng ta nhận đ−ợc: i (βγ − αξ ) ⎡(α + γ )z + (β + ξ )y ⎤ Z(y, z) = tan = iZ 0 tanηy (1.31) 2 2 ⎢ ⎥ ϖε a (β − ξ ) + (α − γ ) ⎣ 2 ⎦ Trong đó: z = m = const; [(α + γ)m + (β + ξ)]/2 = η; và: (βγ −αξ ) Z = 0 2 2 ϖε a (β −ξ ) + (α −γ ) Nh− vậy phân bố trở kháng trên mặt impedance phẳng z = m đã đ−ợc xác định. Tiếp đây cần xác định hàm số mặt cong z0(y) và phân bố trở kháng trên mặt cong Z1(y). Chúng ta đã có tr−ờng điện từ trên bề mặt mặt phẳng z = m đ−ợc xác định trong biểu thức (1.25). Đó là tr−ờng điện từ trên miền I với z > m. Còn tr−ờng điện từ trong miền II với z < m (ở d−ới mặt phẳng z = m) (Hình 1.12) đ−ợc xác định nh− sau: II iαz iβy iβy H x = C2e e + D2 cosα(z − m)e II α iαz iβy iβy Ey = []C2e e + D2 sinα(z − m)e (1.32) ϖε a II β iαz iβy iβy Ez = []C2e e + D2 cosα(z − m)e ϖε a Trên mặt phẳng z = m, áp dụng điều kiện biên đối với thành phần tiếp tuyến điện I II tr−ờng thấy rằng thành phần tiếp tuyến của điện tr−ờng Ey và Ey là liên tục trên mặt I II phẳng z = m, do vậy để có Ey = Ey chúng ta phải có C1 = C2 = C. Chúng ta thấy rằng các thành phần tiếp tuyến điện tr−ờng và từ tr−ờng tại hai miền I, II và trên mặt phẳng z = m đ−ợc xác định theo các công thức (1.25) và (1.33), tuy nhiên trong tr−ờng hợp này thành phần tiếp tuyến của điện tr−ờng là không thay I II đổi Ey = Ey , còn thành phần tiếp tuyến của từ tr−ờng sẽ bằng hiệu hai thành phần tiếp tuyến do từ tr−ờng nằm ở hai phía ng−ợc nhau. Do vậy: E ( y, z) E I α C Z ( y) = y = y = eiαm (1.33) H ( y, z) H I − H II ϖε D x z=m x x z=m a 2
32. 31 Mặt khác nh− biểu thức (1.31) chúng ta có: Z(y) = iZ0 tanηy (1.34) Thay (1.34) vào (1.33) chúng ta có: α C iαm Z (y) = iZ0 tanηy = e (1.35) ϖε a D2 Từ đây chúng ta xác định đ−ợc: α C iαm D2 = −i e = −ibC cotηy (1.36) ϖε a Z0 tanηy trong đó: b là một hằng số và α eiαm b = (1.37) ϖε a Z 0 II Đặt giá trị Hx trong biểu thức (1.32) với các giá trị D2 và b trong các biểu thức (1.36), (1.37) vào biểu thức (1.23). Chúng ta có: II iαz iβy iβy H x ( y, z) = Ce e − ibC cotηy cosα (z − m)e (1.38) II II Thực hiện biến đổi thấy rằng Hx (y,z) có dạng Hx (y,z) = A + iB. Trong đó: A(y, z) = C[]cos(αz + βy) + b cosα(m − z)sin βy cotηy (1.39) B(y, z) = C[]sin(αz + βy) − bcosα(m − z)cos βy cotηy Đặt các giá trị của A(y,z) và B(y,z) vào biểu thức (1.23) và thực hiện các phép biến đổi, chúng ta nhận đ−ợc đạo hàm z’0 nh− sau: 8α sinηy(−bcosηysinαm + sinηy) z , = 0 4bη cosαm + 4bη cosα(m − 2z) + β{4 + 2b 2 + 2b 2 cos2α(m − z) + 2(b 2 − 2)cos2ηy − 2bcos(αm − 2ηy) + 2bcos(αm − 2αz − 2ηy) + b 2 cos[2(αm −αz −ηy)] + b 2 cos[2(αm −αz +ηy)] + 2bcos(αm + 2ηy) − 2bcos(αm − 2αz + 2ηy)} (1.40) Giải ph−ơng trình (1.40), chúng ta có hàm số của mặt cong z0(y). Kết quả đ−ợc trình bày trong Phụ lục 2. Sử dụng biểu thức (1.24), chúng ta có thể xác định đ−ợc phân bố trở thuần kháng Z1(y) trên mặt cong z0(y): i bα{−4η sinαm + 4η sinα(m − 2z0 ) + β[2bsin 2α(m − z0 ) + Z1 (y) = − ϖε 2 2 a 1+ z'0 {4ηbcosαm + 4ηbcosα(m − 2z0 ) + β[4 + 2b + + 2sin(αm − 2αz0 − 2ηy) + bsin(2αm − 2αz0 − 2ηy) + bsin(2αm − 2αz0 + 2ηy)]} 2 2 (1.41) + 2b cosα(m − 2z0 ) + 2(b − 2)cos2ηy − 2bcos(αm − 2ηy) + 2 2 + 2bcos(αm − 2αz0 − 2ηy) + b cos(2αm − 2αz0 − 2ηy) + b cos(2αm − 2αz0 + 2ηy) + + 2bcos(αm + 2ηy) − 2bcos(αm − 2αz0 + 2ηy)]}
33. 32 Kết quả đầy đủ của phân bố trở kháng Z1(y) trên mặt cong z0(y) đ−ợc trình bày trong Phụ lục 3. 1.3. Bài toán phân tích kết cấu sóng chạy (kết cấu impedance) có hình dạng mặt cắt (Profile) bất kỳ Tổng hợp kết cấu impedance cho ta phân bổ trở kháng bề mặt và hàm biến dạng của bề mặt (hay còn gọi là hàm biến dạng mặt cắt của bề mặt). Th−ờng mặt cắt của bề mặt (profile) có biến đổi tuy nhiên sự biến đổi này so với b−ớc sóng là rất nhỏ và khi thực hiện các kết cấu thực tế ng−ời ta th−ờng bỏ qua sự biến đổi z0(y), trong khi vẫn giữ nguyên hàm phân bố trở kháng bề mặt. Bài toán này sẽ giúp đánh giá lại kết quả khi thực hiện tổng hợp kết cấu impedance sử dụng ph−ơng pháp moment. 1.3.1. Ph−ơng trình tích phân đối với các bề mặt trở kháng có mặt cắt biến đổi ít. Một kết cấu mặt cong z = z0(y) đ−ợc vẽ trên hình 1.13 với các tọa độ θ và φ đ−ợc xác định trong hệ toạ độ cầu [3]. Giả sử kết cấu là kết cấu nhị biến, tức là hình dạng kết cấu, điều kiện biên cũng nh− phân bố nguồn tr−ờng trên kết cấu đó chỉ phụ thuộc vào hai tọa độ y và z mà không phụ thuộc vào toạ độ x. Hình 1.13: Kết cấu bức xạ trên bề mặt impedance cong Giả sử sóng đến có dạng: ∞ F(χ) 2 2 E i = e−iχy± χ −k zdχ z ∫ 2 2 −∞ χ − k ∞ − iF(χ) 2 2 E i = e−iχy± χ −k zdχ y ∫ (1.42) −∞ χ ∞ F(χ) 2 2 H i = ϖε e−iχy± χ −k zdχ x a ∫ 2 2 −∞ χ χ − k
34. 33 Sóng phản xạ có dạng: ∞ f (χ) 2 2 E s = e−iχy− χ −k zdχ z ∫ 2 2 −∞ χ − k ∞ f (χ) 2 2 E s = i e−iχy− χ −k zdχ y ∫ (1.43) −∞ χ ∞ f (χ) 2 2 H s = ϖε e−iχy− χ −k zdχ x a ∫ 2 2 −∞ χ χ − k Chúng ta biến đổi bề mặt của kết cấu trở kháng z0(y) bằng cách mở rộng nó thành mặt phẳng có toạ độ z = 0 và giữ nguyên hàm phân bố trở kháng trên bề mặt kết cấu Z(y). Điều kiện biên trở kháng trên bề mặt impedance z = 0 nh− sau: ∞ e−iχy []f (χ ) − F(χ ) dχ E (y, z) i ∫ χ Z(y) = y = −∞ (1.44) H (y, z) ωε ∞ f (χ ) − F(χ ) e−iχy x z=0 a dχ ∫ 2 2 −∞ χ − k χ Hàm phân bố trở kháng Z(y) là một biến đổi Fourier đ−ợc biểu diễn d−ới dạng: ∞ ~ Z(y) = ∫ Z (χ)e−iχyzdχ (1.45) −∞ Do vậy chúng ta biến đổi quan hệ (1.44) sử dụng phép biến đổi Fourier nh− sau: ∞ ~ f (η) + F(χ) f (χ) F(χ) − iωε a Z (χ −η) dη = − (1.46) ∫ 2 2 −∞ η η − k χ χ Biểu diễn f(χ)/χ = ϕ(χ) và F(χ)/χ = Φ(χ), biểu thức (1.46) sẽ có dạng: ∞ ~ Φ(η) ∞ ~ ϕ(η) ϕ(χ) = Φ(χ) − iωε a Z (χ −η) dη − iωε a Z (χ −η) dη (1.47) ∫ 2 2 ∫ 2 2 −∞ η − k −∞ η − k Biểu thức (1.47) sẽ là biểu thức cơ sở đối với bài toán phân tích mà chúng ta nghiên cứu. Trong bài toán phân tích hàm ẩn số sẽ là ϕ(x). Hai số hạng đầu tiên ở vế phải là hai số hạng tự do. Do vậy biểu thức (1.47) trong bài toán phân tích này có dạng ~ một ph−ơng trình tích phân Fredhom bậc hai với nhân Z (χ −η) / η 2 − k 2 . Chúng ta có thể biến đổi ph−ơng trình này thành dạng ph−ơng trình hiệu nếu đ−a vào hàm ẩn số 2 2 mới ϕ1 (χ) = ϕ(χ) / χ − k . Lúc này (1.47) sẽ chuyển thành dạng ph−ơng trình sau: ∞ iωε a ~ ϕ1 (χ) =ψ (χ) − Z (χ −η)ϕ1 (χ)dη (1.48) 2 2 ∫ χ − k −∞
35. 34 Φ(χ) iωε ∞ ~ Φ(η) trong đó: ψ (χ) = − a Z (χ −η) dη . 2 2 2 2 ∫ 2 2 χ − k χ − k −∞ η − k Theo sách tra cứu, ph−ơng trình tích phân (1.48) có dạng gần nh− các ph−ơng trình hiệu. Điều kiện để ph−ơng trình này có nghiệm tối −u trong không gian (-∝, +∝) iωε đó là biểu thức delta: σ (χ, y) = 1+ a Z(y) không đ−ợc tiến tới 0 khi χ → +∝, χ 2 − k 2 có nghĩa là: iωε σ (±∞, y) = 1+ a Z(y) ≠ 0 đối với - ∝ < y < ∝ (1.49) (±∞) 2 − k 2 thì các điều kiện trên đ−ợc thoả mãn đối với mọi giá trị của hàm số Z(y) trong giới hạn, còn nếu phần ảo ImZ(y) → 0 và phần thực ReZ(y) = 0 thì điều kiện cần là phần ảo ImZ(y) phải là giá trị âm. áp dụng nguyên lý t−ơng đ−ơng tr−ờng vào biểu thức (1.47), chúng ta có thể thay thế thành phần từ tr−ờng tiếp tuyến Hx(y) bằng dòng điện mặt Jeq t−ơng đ−ơng. Trong biểu thức (1.47), chúng ta có mật độ phổ của dòng điện mặt sẽ bằng []ϕ(χ) − Φ(χ) / χ 2 − k 2 . Ngoài ra, chúng ta có: ∞ −iχy± χ 2 −k 2 z e i (2) 2 2 dχ = − H 0 (k (y − y') + (z − z') (1.50) ∫ 2 2 −∞ χ − k 2 (2) Trong đó H0 là hàm Hankel loại 2, bậc 0. Do vậy từ biểu thức (1.47) sử dụng phép biến đổi Fourier ng−ợc và định lý tích chập, trên mặt phẳng z = 0 chúng ta có đ−ợc ph−ơng trình tích phân đối với dòng điện mặt t−ơng đ−ơng: ϖε ∞ J (y') = − a H (2) (k y − y' Z(y')J (y')dy'+2H i (y) y ∫ 0 y x (1.51) 2 −∞ trong đó Jy(y’) là thành phần dòng điện mặt t−ơng đ−ơng tiếp tuyến với trục y. 1.3.2. Bài toán phân tích Trong bài toán phân tích, trên cơ sở đã có đ−ợc hàm phân bố trở kháng Z(y), chúng ta sẽ tìm phân bố dòng điện mặt Jx(y), rồi từ đó chúng ta sẽ tìm các thành phần của tr−ờng tán xạ Esc và Hsc. a) Xác định phân bố dòng điện mặt:
36. 35 Giả sử tr−ờng đến đ−ợc xác định nh− sau: i −iαz −iβy H x = e e i α −iαz −iβy E y = e e (1.52) ϖε a i β −iαz −iβy Ez = e e ϖε a Trong đó α = k0sinθ, β = k0cosθ. Vì phân bố trở kháng trên bề mặt kết cấu không phụ thuộc x và chỉ phụ thuộc y mà thôi (z = 0), chúng ta có thể hình dung rằng mặt phẳng z = 0 nh− mặt phẳng với các dải hoặc khe trở kháng nằm trên một mặt dẫn điện tuyệt đối z = 0. Do vậy chỉ cần tìm phân bố dòng điện mặt tại biên của các dải này. Rồi sau đó khi có đ−ợc phân bố của dòng điện mặt, chúng ta có thể dễ dàng tìm ra tr−ờng tại mọi điểm trên phần nửa trên mặt phẳng nhờ có sự giúp đỡ của hàm Green thoả mãn điều kiện biên Et = 0 trên mặt phẳng z = 0. Để giải ph−ơng trình này bằng ph−ơng pháp moment chúng ta chọn giá trị ∆y < 0,1λ, trong đó λ là độ rộng của dải. Rõ ràng giá trị ∆y đ−ợc chọn đã đủ nhỏ để trở kháng và dòng điện mặt trong đoạn này là không thay đổi và khai triển dòng Jy(y) bởi hàm cơ sở có dạng xung nh− sau: N J y (y) ≈ ∑ J n Pn (y) (1.53) n=1 trong đó: ⎧1 nếu y nằm trên đoạn ∆y thứ n ∈ S Pn (y) = ⎨ ⎩0 trong các tr−ờng hợp khác Thay biểu thức (1.53) vào biểu thức (1.51) chúng ta có đ−ợc ph−ơng trình tích phân rời rạc trên mặt S nh− sau: ∆yn yn + N ϖε N 2 2H i (y ) = J P (y) + a J P (y)Z(y ) H (2) (k y − y'dy' x s ∑ n n ∑ n n n ∫ 0 s (1.54) n=1 2 n=1 ∆y y − n n 2 Tiếp theo, chọn hàm Delta Dirac đóng vai trò là hàm trọng l−ợng, có: Wm (y) = δ (ym ) (1.55) trong đó ym là điểm nằm ở trung tâm đoạn ∆ym. Sử dụng ph−ơng pháp phối hợp điểm. Triển khai phép nhân đối xứng với Wm đối với biểu thức (1.54), chúng ta có đ−ợc ph−ơng trình ma trận tuyến tính sau: i {Zmn }{J n }= {H x } (1.56)
37. 36 trong đó: i −iβ ( ymn ) H x = 2e (1.57) N ϖε a (2) Z mn = ∆y∑ Z ( yn )H 0 (k ym − yn ) (1.58) 2 n=1 ∆y ϖε 2 Z = 1+ a Z(y ) H (2) (k y')dy' mm m ∫ 0 (1.59) 2 ∆y − 2 Tích phân (1.59) có thể dễ dàng tính bằng giải tích, trong đó: (2) 2 ⎛ γky ⎞ H 0 (k y ) ≈ 1− i ln⎜ ⎟ (1.60) π ⎝ 2 ⎠ và: ∆y ∆y 2 2 H (2) (k y')dy' = 2 H (2) (k y')dy' ∫ 0 ∫ 0 (1.61) ∆y − 0 2 do vậy: ϖε a ⎧ 2 ⎡ ⎛ γk∆yn ⎞ ⎤⎫ Zmm ≈ 1+ ∆yn ⎨1− i ⎢ln⎜ ⎟ −1⎥⎬ (1.62) 2 ⎩ π ⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎦⎭ Trong đó γ = 0,17810725 và lnγ = 0,5772157 là các hằng số Euler. Nhờ các biểu thức (1.57), (1.58), (1.59) và (1.62), chúng ta hoàn toàn xác định đ−ợc các thành phần của ph−ơng trình ma trận (1.56) và do đó phân bố dòng điện mặt Jx(y) hoàn toàn đ−ợc xác định. b) Xác định tr−ờng điện tán xạ: Trên cơ sở đã xác định đ−ợc phân bố dòng điện mặt Jx(y) tại trung tâm các đoạn ∆yn chúng ta hình dung mặt phẳng trở kháng nh− là một kết cấu các chấn tử có góc mở tại điểm yn. Tuy nhiên các chấn tử này có trở kháng khác nhau vì kết cấu impedance z = 0 đ−ợc mô phỏng từ kết cấu impedance có hình dạng bất kỳ. s Tr−ờng điện tán xạ Ex đ−ợc xác định nh− sau: ∞ ∞ E s (r) = iϖε G(r, r') ⋅ J (y)dxdy 0 ∫∫ x (1.63) −∞−∞ trong đó: G(r,r’) là hàm Green dyadic trong không gian tự do. Hàm Green trong bài toán hai chiều (toạ độ không phụ thuộc x) có dạng:
38. 37 ∞ −ix( y−y')± χ 2 −k 2 ( z−z') 1 e i (2) G(y, z; y', z') = dχ = − H (kR) (1.64) ∫ 2 2 0 4π −∞ χ − k 4 trong đó R = (y − y')2 + (z − z')2 là khoảng cách giữa điểm quan sát và bề mặt kết cấu impedance phẳng. Nhờ biểu thức (1.64) tích phân (1.63) có thể dễ dàng đ−ợc tính toán sử dụng ph−ơng pháp moment nh− đã miêu tả ở trên. 1.3.3. Đánh giá sai số của ph−ơng pháp tổng hợp Đối với bài toán tổng hợp – tức là cho tr−ớc tr−ờng bức xạ (sóng thứ cấp), chúng ta cần tìm phân bố trở kháng trên bề mặt kết cấu và hàm số biểu diễn mặt cong của kết cấu. Sau khi thực hiện bài toán mô phỏng một kết cấu có hình dạng bất kỳ thành một kết cấu phẳng và thực hiện việc xác định phân bố trở kháng trên bề mặt kết cấu phẳng đó nhằm bảo đảm mọi tính chất tr−ờng của kết cấu ban đầu thì việc đánh giá sai số là rất quan trọng với mục đích làm sao để đồ thị h−ớng tính của sóng bức xạ từ kết cấu phẳng có dạng gần nhất với đồ thị h−ớng tính của sóng bức xạ của kết cấu ban đầu. Nh− đã biết lời giải của bài toán tổng hợp mặt phẳng impedance trong điều kiện trở kháng thuần ảo đã đ−a tới việc cần thiết giải ph−ơng trình tích phân bậc 2 và có thể dẫn đến hệ các ph−ơng trình bậc 2. Hệ các ph−ơng trình tuyến tính này có thể thu đ−ợc từ ph−ơng trình (1.54) sau khi chúng ta chia ph−ơng trình này thành các phần thực và phần ảo t−ơng đối so với các giá trị thuần kháng X(ys). Do vậy bài toán tổng hợp kết cấu phẳng có trở kháng bề mặt thuần ảo đ−ợc quy về bài toán tìm cực trị có điều kiện, đ−ợc biểu diễn d−ới dạng sau: ⎧ yc pta ⎪ ()E, H − (E, H ) L p = min (I) ⎨ (1.65) cp ()II ⎩⎪{}()E, H : Re Z()y = 0 ở đây ()E, H yc đ−ợc hiểu là tập hợp các phân bố tr−ờng cho tr−ớc theo yêu cầu; ()E, H pta là tập hợp các phân bố tr−ờng thỏa mãn điều kiện trở kháng thuần ảo trên mặt phẳng mô phỏng (II) (pta – ký hiệu là kết cấu phẳng trở kháng thuần ảo). Điều kiện để trở kháng trên bề mặt là đại l−ợng thuần ảo nghĩa là phần thực ReZ(y) = 0. Với mục đích này, chia tử số và mẫu số của ph−ơng trình (1.44) ra các thành phần thực và ảo, chúng ta có: i a(y) + ib(y) Z(y) = (1.66) ϖε a c(y) + id(y) Điều kiện trở kháng thuần ảo nh− sau:
39. 38 a(y)d(y) = b(y)c(y) (1.67) Khi chia các phần thực và phần ảo của phân số (1.44), chúng ta ký hiệu phần thực là r, phần ảo là i và chia các hàm số biểu diễn mật độ phổ trong (1.44) ra làm 2 phần: χ k; ⎩ f 2 (χ), χ > k. trong đó k là hệ số sóng trong không gian tự do. Sau khi tính toán gần đúng các hàm số (1.65) theo ph−ơng pháp moment, bài toán (1.65) có thể đ−ợc xem là bài toán lập trình toán học phi tuyến, trong đó hiệu số đ−ợc xác định trong không gian Lp (I) là hàm sai số mục tiêu phải đạt đ−ợc càng nhỏ càng tốt, còn (II) – là giới hạn bình ph−ơng. Cách thức xác định tr−ờng thứ cấp cho tr−ớc theo yêu cầu có thể khác nhau, đ−ợc chia làm 2 dạng: a) Tr−ờng cho tr−ớc nằm trong toàn bộ mặt phẳng phía trên b) Tr−ờng cho tr−ớc nằm ở khu xa. Khi giải bài toán dạng a) thì điều kiện trở kháng thuần ảo không có các hàm số tự do, còn khi giải bài toán dạng b) thì các tr−ờng ở khu gần, có nghĩa là các phần thực và r i phần ảo f 2 (χ) và f 2 (χ) trong ph−ơng trình (1.43) có thể có dạng bất kỳ và các thành phần này sẽ đ−ợc sử dụng để thực hiện điều kiện thuần ảo. Nếu bài toán tiếp cận gần tới đồ thị h−ớng tính của tr−ờng đã cho tr−ớc tại khu xa trong không gian hàm số L2(-k, k), thì hàm sai số mục tiêu có dạng: k 2 ϕ yc (χ) −ϕ pta (χ) dχ = min (1.69) ∫ 1 1 −k và theo (1.67) điều kiện trở kháng thuần ảo đ−ợc xác định nh− sau: k −iχy k ⎧ pta e ⎫ ⎧ pta −iχy ⎫ ⎪ []ϕ1 (χ) + Φ1 (χ) dχ ⎪ ⎪ []ϕ1 (χ) − Φ1 (χ) e dχ ⎪ ∫ 2 2 ⎪ ∫ ⎪ ⎪−k i k − χ ⎪ Re⎨−k ⎬Im⎨ ⎬ = pta −iχy −iχy pta e ⎪+ []ϕ 2 (χ) − Φ 2 (χ) e dχ ⎪ ⎪ ⎪ ∫ + []ϕ 2 (χ) + Φ 2 (χ) dχ ⎪ χ >k ⎪ ⎪ ∫ 2 2 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ χ >k i k − χ ⎭ (1.70) k −iχy k ⎧ pta e ⎫ ⎧ pta −iχy ⎫ ⎪ []ϕ1 (χ) + Φ1 (χ) dχ ⎪ ⎪ []ϕ1 (χ) − Φ1 (χ) e dχ ⎪ ∫ 2 2 ⎪ ∫ ⎪ ⎪−k i k − χ ⎪ = Im⎨−k ⎬Re⎨ ⎬ pta −iχy −iχy pta e ⎪+ []ϕ 2 (χ) − Φ 2 (χ) e dχ ⎪ ⎪ ⎪ ∫ + []ϕ 2 (χ) + Φ 2 (χ) dχ ⎪ χ >k ⎪ ⎪ ∫ 2 2 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ χ >k i k − χ ⎭ Điều kiện hạn chế khi chuyển kết cấu có dạng bất kỳ thành kết cấu phẳng có trở kháng bề mặt là đại l−ợng phức đ−ợc xác định là điều kiện hạn chế của bài toán tìm
40. 39 cực trị có điều kiện (trong bài toán này là xác định cực tiểu nhỏ nhất) đ−ợc mô tả trong hệ ph−ơng trình (1.65) nh− sau: - Số l−ợng ẩn số của hàm số; và - Hàm số có nhiều cực tiểu tại các miền khác nhau của hàm, cần phải xác định cực tiểu nhỏ nhất trên toàn miền của hàm số. Ph−ơng pháp giảm bớt số l−ợng các ẩn số phải tìm trong mỗi giai đoạn và xác định cực tiểu nhỏ nhất đ−ợc trình bày d−ới đây. Bài toán hàm số sai số mục tiêu là hàm lồi, do đó giới hạn phải là hàm không lồi. Dạng bài toán lập trình phi tuyến có nhiều cực trị và nghiệm của nó đòi hỏi phải tìm thấy cực trị nhỏ nhất. Ph−ơng pháp hiệu quả nhằm tìm ra cực trị nhỏ nhất trong các loại bài toán dạng này là t−ơng đối phức tạp. Khi cho tr−ớc ϕ1 (χ) , chúng ta cần phải tính toán một cách gần đúng điều kiện cân bằng năng l−ợng tức là: ∞ k f (χ) 2 k F(χ) 2 Re E y (y)H& x (y)dy = dχ − dχ ∫ ∫ 2 2 2 ∫ 2 2 2 −∞ −k χ k − χ −k χ k − χ (1.71) ⎧−k ∞ ⎫ k f (χ)F * (χ) − f * (χ)F(χ) + ⎨ + ⎬ dχ = 0 ∫ ∫ ∫ 2 2 2 ⎩−∞ −k ⎭−k χ k − χ trong đó số hạng thứ nhất ở vế phải (1.71) biểu diễn năng l−ợng của sóng phản xạ mang tính chất sóng nhanh, còn số hạng thứ hai biểu diễn năng l−ợng của sóng tới cũng mang tính chất sóng nhanh và số hạng thứ ba – năng l−ợng của sóng t−ơng tác giữa sóng phản xạ và sóng tới. Điều kiện cân bằng năng l−ợng là điều kiện cần và đủ để trở kháng bề mặt mang tính chất thuần ảo. Do đó cần đặc biệt chú ý đến số hạng thứ ba trong (1.71). Khi số hạng này bằng 0: ⎧−k ∞ ⎫ k f (χ) F(χ) sin[arg f (χ) − arg F(χ)] ⎨ + ⎬ dχ = 0 (1.72) ∫ ∫ ∫ 2 2 2 ⎩−∞ −k ⎭−k χ k − χ cần nhất thiết thỏa mãn điều kiện cân bằng năng l−ợng giữa các sóng nhanh tới và sóng nhanh phản xạ: k f (χ) 2 k F(χ) 2 dχ = dχ (1.73) ∫ 2 2 2 ∫ 2 2 2 −k χ k − χ −k χ k − χ Để xem xét bài toán tổng hợp nh− một bài toán tối −u vô điều kiện, chúng ta cần xác định cực tiểu của hàm số sau: k 2 α ϕ yc (χ) −ϕ pta (χ) dχ +α R ϕ yc (χ),ϕ pta (χ),Φ (χ),Φ (χ) = min (1.74) 1 ∫ 1 1 2 []1 1 1 2 −k
41. 40 trong đó ký hiệu R biểu diễn điều kiện trở kháng thuần ảo. Trong hoàn cảnh này việc xác định cực tiểu của hàm số (1.74) không bảo đảm tính chất thuần ảo của trở kháng, mà chỉ bảo đảm cực tiểu phần thực của trở kháng khi chúng ta giảm đến mức tối thiểu góc chênh lệch giữa đồ thị h−ớng tính kết cấu phẳng với đồ thị h−ớng tính cho tr−ớc. Các hệ số trọng l−ợng α1 và α2 biểu diễn trọng l−ợng t−ơng đối của hai số hạng trong hàm số (1.74) bảo đảm sai số bình ph−ơng nhỏ nhất khi tiến đến đồ thị h−ớng tính yêu cầu cho tr−ớc và độ chính xác khi thực hiện điều kiện trở kháng thuần ảo. Bài toán đặt ra một số tr−ờng hợp sau: i) α1 = 0. Nếu ϕ1(χ) và ϕ2(χ) đ−ợc xác định trong tr−ờng hợp này từ điều kiện cực tiểu (1.74), thì điều này dẫn đến việc tìm kiếm một phân bố tr−ờng phản xạ nào đó bảo pta đảm cực tiểu phần thực của trở kháng. Nh−ng nếu thay thế ϕ1 (χ) trong điều kiện yc thuần ảo chúng ta đặt giá trị ϕ1 (χ) , thì khi giải quyết bài toán: yc pta R[ϕ1 (χ),ϕ1 (χ),Φ1 (χ),Φ 2 (χ)]= min (1.75) chúng ta sẽ xác định phân bố tr−ờng ở khu gần từ điều kiện tối thiểu phần thực của trở kháng khi đã cho tr−ớc tr−ờng ở khu xa. Việc hàm số (1.75) đạt đến giá trị 0 có nghĩa rằng chúng ta đã thể hiện đ−ợc chính xác tr−ờng theo yêu cầu đã cho nhờ sự giúp đỡ của phân bố trở kháng thuần ảo. Trong tr−ờng hợp ng−ợc lại, chúng ta cần thiết phải tìm cực tiểu của hàm số (1.75), lúc đó bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn. Chúng ta sẽ không tìm cực tiểu của hàm số trên toàn miền của hàm số đó mà tìm cực tiểu cục bộ trong một đoạn nào đó bằng các ph−ơng pháp xác định xác suất. Sau khi xác định đ−ợc cực tiểu cục bộ của (1.75) cho phép có đ−ợc đồ thị ph−ơng h−ớng thỏa mãn các yêu cầu của đồ thị ph−ơng h−ớng cho tr−ớc theo các tiêu chuẩn đặt ra thì việc xác định các cực tiểu khác là không cần thiết. Một yếu tố rất quan trọng đ−ợc xác định trên quan điểm bảo đảm tính băng rộng và giảm thiểu suy hao năng l−ợng trong hệ thống kết cấu mà chúng ta sẽ đặc biệt quan tâm đó là việc giảm thiểu năng l−ợng dự trữ ở khu gần. Hay nói một cách khác là chúng ta có thể dừng lại việc tìm kiếm cực tiểu cục bộ khi đạt đ−ợc năng l−ợng thuần ảo nhỏ nhất, tức là khi có đ−ợc giá trị ϕ2(χ) nhỏ nhất. Đây sẽ là ph−ơng pháp đơn giản nhất để giải quyết tr−ờng hợp này đối với bài toán tổng hợp. ii) α1 ≠ 0, α2 ≠ 0. Đây là tr−ờng hợp tổng quát nhất khi giải quyết hàm số (1.75) không tìm đ−ợc cực tiểu trên toàn miền của hàm số. Nh−ng cùng một lúc phải tìm cực tiểu cả hai số hạng trong (1.74) sẽ dẫn đến bài toán rất phức tạp. Chúng ta có thể sử
42. 41 dụng ph−ơng pháp lặp để lần l−ợt tìm thấy các hàm số ϕ1(χ) và ϕ2(χ) trong (1.74) nh− sau: yc pta a) Từ điều kiện R[ϕ1 (χ),ϕ1 (χ),Φ1 (χ),Φ 2 (χ)]= min chúng ta tìm đ−ợc pta 0 ϕ1 (χ) = ϕ 2 (χ) ; k 2 ϕ yc (χ) −ϕ 0 (χ) dχ + R ϕ yc (χ),ϕ 0 (χ),Φ (χ),Φ (χ) = min b) Từ điều kiện ∫ 1 1 []1 2 1 2 −k pta 0 chúng ta tìm đ−ợc ϕ 2 (χ) khi cố định giá trị ϕ 2 (χ) ; 0 1 1 c) Từ điều kiện R[ϕ1 (χ),ϕ 2 (χ),Φ1 (χ),Φ 2 (χ)]= min chúng ta tìm đ−ợc ϕ 2 (χ) ; k 2 ϕ yc (χ) −ϕ 1 (χ) dχ + R ϕ 1 (χ),ϕ 1 (χ),Φ (χ),Φ (χ) = min d) Từ điều kiện ∫ 1 1 []1 2 1 2 chúng −k 1 ta tìm đ−ợc ϕ1 (χ) v.v. Theo ph−ơng pháp này có thể cho phép giảm bớt số l−ợng các ẩn số phải tìm trong mỗi giai đoạn. Các ẩn số này đ−ợc xác định bởi các giá trị và hệ số ϕ1(χ), ϕ2(χ). Các giá trị α1, α2 có thể tự chọn bất kỳ. Trong các công thức trên, chúng ta tạm chọn α1 = α2 =1. iii) α2 = 0. Đây là tr−ờng hợp đặc biệt, trong đó bỏ qua điều kiện trở kháng thuần ảo và bài toán về bản chất lại quay lại điểm xuất phát đầu tiên là bài toán tổng hợp anten phẳng. Do vậy qua việc xác định bài toán tối −u hóa đồ thị h−ớng tính của kết cấu phẳng có trở kháng bề mặt là đại l−ợng phức để đạt đ−ợc đồ thị ph−ơng h−ớng theo yêu cầu, chúng ta hoàn toàn xác định đ−ợc sai số của bài toán tổng hợp và cách tối thiểu các sai số này theo các chuẩn mực cần thiết. Mức độ chính xác khi chuyển kết cấu có dạng bất kỳ thành kết cấu phẳng có trở kháng bề mặt là đại l−ợng phức phụ thuộc vào bài toán tối −u đồ thị ph−ơng h−ớng mà chúng ta tính toán so với đồ thị ph−ơng h−ớng cho tr−ớc. Việc xác định cực tiểu nhỏ nhất trên toàn miền của hàm số nh− đã phân tích ở trên cho phép sai số của bài toán tổng hợp là nhỏ nhất quyết định mức độ chính xác của bài toán này 1.4. xây dựng kết cấu phẳng đ−ợc kích thích bởi sóng chạy sử dụng kết cấu mạch dải và kết cấu khe trên hốc cộng h−ởng 1.4.1. Đặt vấn đề Chúng ta biết rằng các kết cấu sóng chậm hiện tại rất to lớn và cồng kềnh. Để giảm bớt kích th−ớc và khối l−ợng của kết cấu sóng chậm, chúng ta có thể sử dụng kết
43. 42 cấu chấn tử bằng dây dẫn hoặc khe có đ−ờng kính rất nhỏ so với b−ớc sóng (r/λ << 1 và r là bán kính dây dẫn) có phủ chất điện môi hoặc từ môi. Tuy nhiên, các chấn tử impedance sử dụng chất điện môi hoặc từ môi có nh−ợc điểm là phải sử dụng các vật liệu điện môi hoặc từ môi gây tổn hao sóng trong các môi tr−ờng ấy và do đó giảm hiệu suất của kết cấu. Để khắc phục nh−ợc điểm trên có thể thay thế môi tr−ờng bao quanh dây dẫn (điện môi hay ferit) bởi đ−ờng dây (hoặc khe) gấp khúc hay xoắn. Khi ấy sóng truyền lan dọc theo kết cấu đ−ợc hình thành từ hai sóng truyền lan với vận tốc pha khác nhau, trong đó một sóng truyền lan với vận tốc c và một sóng truyền lan theo đ−ờng dây (khe) gấp khúc hoặc xoắn với vận tốc v < c. Hình 1.14 thể hiện ý t−ởng đó, trong đó chúng ta thấy rằng các dải ∆y đ−ợc thể hiện bằng các miếng mạch dải hình vuông và các miếng đó đ−ợc kết nối với nhau bởi một trở kháng ZH nào đó. Biến đổi trở thuần kháng trên mạch dải là bất kỳ tuy nhiên trở kháng của từng dải là không thay đổi vì dạng kết cấu không biến đổi theo trục x. Chúng ta giả sử khoảng cách giữa các dải là cố định và cách nhau một đoạn ∆y1 nào đó đủ nhỏ để không ảnh h−ởng đến phân bố trở kháng theo trục y và trở kháng của từng dải là khác nhau t−ơng ứng theo biến đổi trở thuần kháng ZH(y) của bề mặt kết cấu impedance. Hơn nữa bố trí của các dải có tính chất đều nhau, chúng ta sẽ xem xét cụ thể một dải ∆y điển hình. Chúng ta sẽ chọn dải có toạ độ y = 0. Hình 1.14: Kết cấu impedance phẳng có các trở kháng trên bề mặt 1.4.2. Tính chất điện từ của cấu trúc răng l−ợc và cấu trúc gấp khúc Theo [9] khi thiết kế các dung kháng và cảm kháng trên cơ sở kết cấu mạch dải, chúng ta thấy rằng mạch dải kiểu răng l−ợc (interdigital) (Hình 1.15a) cho phép tạo ra
44. 43 dung kháng phù hợp với trở thuần kháng Z(y) = itanηy mà chúng ta đã xác định trong (1.34). a) b) Hình 1.15: Kết cấu răng l−ợc và kết cấu gấp khúc Chúng ta hãy xét cụ thể tr−ờng trên một đoạn của kết cấu răng l−ợc này và so sánh nó với một kết cấu có hình gấp khúc (Hình 1.15b) mà có đ−ợc khi chúng ta đổi lẫn phần dẫn điện của kết cấu răng l−ợc thành phần hở (ví dụ nh− là khe hay điện môi) của kết cấu kia và ng−ợc lại. Khi đặt chồng hai kết cấu này lên nhau chúng ta có một mặt phẳng kín dẫn điện tuyệt đối. Đối với 2 kết cấu bù trừ nhau này chúng ta thấy rằng tr−ờng mà hai kết cấu này tạo ra hoàn toàn đ−ợc đổi lẫn cho nhau và cả hai kết cấu đều có tính chất tán xạ giống nhau. Hình 1.16: Nguyên lý đổi lẫn tr−ờng giữa kết cấu răng l−ợc và kết cấu gấp khúc Để chứng minh điều này [10], chúng ta đặt kết cấu răng l−ợc lên mặt phẳng z = 0 trong không gian tự do (Hình 1.16a). Chúng ta sẽ nghiên cứu ph−ơng thức truyền sóng của tr−ờng điện ngang (theo thành phần x hoặc y). Thấy rằng thành phần tiếp tuyến của điện tr−ờng Et (theo trục x hoặc y) có dạng là một hàm chẵn theo z (ví dụ nh− hàm sin) để bảo đảm cho thành phần tiếp tuyến của điện tr−ờng là liên tục khi dịch chuyển từ
45. 44 môi tr−ờng trên và d−ới mặt phẳng z = 0. Vì ∇.E = 0, chúng ta có ∂Ez / ∂z = −∇t .Et , và vì vậy ∂Ez / ∂z là hàm chẵn đối với z và Ez phải là hàm lẻ đối với z (ví dụ nh− hàm cosin). Từ biểu thức ∇ ì E = −iϖà0 H chúng ta có thể kết luận đ−ợc rằng Ht phải là hàm lẻ của z và Hz phải là hàm chẵn của z. Kết cấu tr−ờng đ−ợc thể hiện trên hình 1.16a. Tr−ờng Et sẽ triệt tiêu trên mặt dẫn điện và vì Ht là hàm lẻ của z cho nên nó bị triệt tiêu tại phần hở (khe) trên mặt phẳng z = 0. Trên kết cấu răng l−ợc, theo điều kiện biên, tổng thay đổi của H t trên cả kết cấu răng l−ợc ∆y khi chuyển dịch từ môi tr−ờng trên xuống d−ới phải bằng tổng mật độ dòng trên cả dải ∆y đó do vậy để đảm bảo điều kiện biên thì giá trị tuyệt đối H t trên 1 tuyến mạch dải sẽ bằng 1/2 tổng mật độ dòng (bởi vì cả kết cấu gồm có 2 tuyến mạch dải chạy song song đan xen kẽ). Các tr−ờng đổi lẫn E’, H’ đ−ợc xác định bởi: E'= ±Z0 H H '= mY0 E Thấy rằng, các tr−ờng đổi lẫn này hoàn toàn thoả mãn các ph−ơng trình Maxwell nếu các tr−ờng E và H cũng thoả mãn các ph−ơng trình Maxwell. ∇ ì E'= −iϖà0 H ' ∇ ì H '= iϖε 0 E' (1.65) Rõ ràng các tr−ờng đổi lẫn E’, H’ là giải pháp của bài toán kết cấu gấp khúc trên hình 1.16b, với điều kiện chúng ta chọn quan hệ: E'= Z 0 H H '= −Y0 E (1.66a) đối với tr−ờng phía trên mặt phẳng kết cấu gấp khúc và quan hệ: E'= −Z0 H H '= Y0 E (1.66b) đối với tr−ờng phía d−ới mặt phẳng kết cấu gấp khúc. Trong cả hai khu vực trên và d−ới mặt phẳng z = 0, các tr−ờng đều thoả mãn các ph−ơng trình Maxwell. Tr−ờng E’t sẽ triệt tiêu trên phần dẫn điện của kết cấu gấp khúc vì tr−ờng Ht bằng 0 trên các phần hở của kết cấu răng l−ợc. T−ơng tự, tr−ờng H’t triệt tiêu trên phần hở của kết cấu gấp khúc vì tr−ờng Et bằng 0 trên phần dẫn điện của kết cấu răng l−ợc. Tất cả các điều kiện biên đều đ−ợc thoả mãn và chúng ta có thể có lời giải chính xác rằng cả hai kết cấu đều có các đặc tính tán xạ giống hệt nhau. Kích th−ớc của kết cấu răng l−ợc trong điều kiện lý t−ởng sẽ có chiều rộng y = +∝ và tuyến răng l−ợc dài vô hạn nh−ng trong thực tế tr−ờng bị giới hạn bởi các tr−ờng phụ cận gần vết cắt do vậy kích th−ớc của kết cấu răng l−ợc cũng sẽ không v−ợt quá nhiều kích th−ớc các răng của nó tr−ớc khi
46. 45 tr−ờng của nó bị triệt tiêu bởi sự nhiễu loạn đáng kể của các tr−ờng lân cận. T−ơng tự, chúng ta cũng suy ra kích th−ớc có giới hạn của kết cấu gấp khúc. 1.4.3. Các kết cấu đ−ợc nghiên cứu Trên cơ sở những phân tích tại mục 1.4.1, chúng ta nhận thấy rằng để có đ−ợc kết cấu mô phỏng kết cấu impedance có hình dạng bất kỳ bởi một kết cấu mạch dải phẳng sẽ có 2 loại kết cấu thoả mãn điều kiện đó là: a) Kết cấu các mạch dải hình gấp khúc đ−ợc nằm trên một lớp điện môi đ−ợc đặt trên một mặt phẳng dẫn điện tuyệt đối, đ−ợc biểu diễn trên hình 1.17 khi các đ−ờng liền biểu diễn mạch dải dẫn điện). b) Kết cấu răng l−ợc có khe (slot) hình gấp khúc trên một mặt phẳng dẫn điện tuyệt đối đ−ợc đặt trên một hốc cộng h−ởng (cavity), đ−ợc biểu diễn trên hình 1.17 khi các đ−ờng liền biểu diễn các khe. Nh− đã đề cập trong mục 1.4.1, vì biến đổi trở thuần kháng trên kết cấu là bất kỳ, chúng ta coi khoảng cách giữa các dải (a), khe (b) là cố định bằng giá trị D nào đó, song trở kháng của từng dải (khe) là khác nhau t−ơng ứng theo biến đổi trở thuần kháng ZH(y) của mặt phẳng impedance. D ∆y #N #16 #15 #14 #12 #13 #11 #10 #8 #9 #7 #6 #4 #5 #3 #2 #1 Hình 1.17: Chấn tử mạch dải (khe) Hình 1.18: Kết cấu 1 phần tử mạch dải (khe) Vì kết cấu mạch dải (khe) có dạng gần nh− biến đổi theo chu kỳ (khoảng cách giữa các dải bằng nhau, chỉ khác ở giá trị trở kháng ZH(y) của mỗi mạch dải hoặc khe) chúng ta chỉ cần xem xét một dải (khe) điển hình của kết cấu gấp khúc mạch dải đặt trên một lớp điện môi nằm trên một mặt phẳng dẫn điện tuyệt đối z = 0 và kết cấu gấp
47. 46 khúc khe trên một mặt phẳng dẫn điện tuyệt đối mà ở d−ới là một hộp cộng h−ởng. Giả sử độ rộng của dải (khe) W rất nhỏ so với b−ớc sóng λ0 tại tần số trung tâm f0. H−ớng trục của mỗi phần của dải (khe) song song với trục x và y. Phần phía trên của kết cấu (z > 0) là môi tr−ờng không khí. Hình dạng kết cấu một phần tử mạch dải (khe) đ−ợc thể hiện trên hình 1.18. 1.5. Kết luận Nh− vậy chúng ta thấy rằng bài toán với kết cấu sóng điện từ có hình dạng bất kỳ đ−ợc kích thích bởi sóng điện từ (sóng chạy) sẽ đ−ợc chuyển thành bài toán bức xạ của một diện tích nào đó có trở kháng bề mặt là đại l−ợng phức đ−ợc kích thích bởi sóng chạy. Do vậy quy luật phân bố dòng trên kết cấu có thể đ−ợc xác định khi hệ thống kết cấu đ−ợc coi là tập hợp của các phần tử bức xạ sắp xếp trong không gian đ−ợc kích thích liên tục bởi sóng chạy, khi ấy kết cấu sẽ biến đổi sóng kích thích (sóng sơ cấp) thành sóng bức xạ thứ cấp thỏa mãn hàm phân bố dòng đã cho trên bề mặt kết cấu. Trên thực tế để tạo ra các đồ thị ph−ơng h−ớng (sóng thứ cấp) theo yêu cầu, bề mặt kết cấu th−ờng có dạng hết sức phức tạp. Do vậy việc chuyển đổi phân tích các kết cấu này thành kết cấu có phẳng để tránh những khó khăn đặc biệt phải xử lý đối với các ph−ơng trình đ−ờng cong hình học rất phức tạp là rất cần thiết trong việc tính toán mô phỏng cũng nh− vấn đề giảm thiểu chi phí thiết kế, sản xuất các kết cấu này. Khi kết cấu dạng phức tạp đ−ợc chuyển thành phẳng, việc tính toán sẽ trở nên rất dễ dàng và đặc biệt với sự ứng dụng ph−ơng pháp moment để phân tích kết cấu cho phép có thể xử lý mọi bài toán dù là phức tạp nhất cũng có thể chuyển thành đơn giản. Ph−ơng pháp moment với việc sử dụng lý thuyết rời rạc làm giảm nhẹ đáng kể bài toán điện từ tr−ờng với các ph−ơng trình Maxwell và các điều kiện bờ để biến đổi thành các ph−ơng trình tích phân (hoặc vi phân) có dạng không khả tích có miền đ−ợc giới hạn và đủ nhỏ thành các ph−ơng trình ma trận dễ dàng đ−ợc giải quyết trên máy tính. Đó chính là −u điểm của ph−ơng pháp moment, khiến cho ph−ơng pháp này trở nên đ−ợc −a chuộng nhất trong giải quyết các bài toán điện từ tr−ờng do bản chất tự do, không bị giới hạn của sóng điện từ. Với kết quả của bài toán tổng hợp mà hàm số biểu diễn mặt cắt z0(y) đ−ợc đ−a ra trong Phụ lục 2 và phân bố trở kháng trên bề mặt kết cấu trong Phụ lục 3 việc sử dụng ph−ơng pháp moment trong bài toán ng−ợc (bài toán phân tích) đối với kết cấu phẳng có hàm phân bố trở kháng đ−ợc giữ nguyên cho phép đánh giá kết quả của bài toán tổng hợp kết cấu impedance.
48. 47 Trong bài toán phân tích, việc rời rạc hóa kết cấu impedance bởi các dải đủ hẹp theo trục y và có trở kháng từng dải theo trục x là không đổi để biểu diễn sự biến đổi hàm trở kháng bề mặt của kết cấu đã cho phép ứng dụng triệt để những lợi thế của ph−ơng pháp moment. Việc sử dụng các hàm cơ sở là hàm xung, hàm sin, cosin đơn giản nh−ng không làm ảnh h−ởng đến độ chính xác của phép tính đã giúp bài toán hội tụ để có kết quả rất nhanh chóng. Dạng bài toán đ−ợc đề xuất trong luận án là hai dạng bài toán đặc biệt ch−a đ−ợc nghiên cứu hiện nay. Cho đến nay phần lớn các nghiên cứu sử dụng ph−ơng pháp moment đều tập trung vào các anten sóng rò với nguồn kích thích là sóng chạy trong ống dẫn sóng và anten mạch dải với nguồn nuôi cố định và do vậy việc nghiên cứu các kết cấu điện từ này đ−ợc kích thích bởi sóng chạy trong không gian mở là một h−ớng đi mới trong việc nghiên cứu các đặc tính điện từ của kết cấu mạch dải, cấu trúc khe và cấu trúc sóng rò.
49. 48 Ch−ơng 2: phân tích kết cấu sóng rò đ−ợc kích thích bởi sóng chạy bằng ph−ơng pháp moment Trong phần này, chúng ta sẽ phân tích một kết cấu sóng rò kiểu khe hẹp trên hốc cộng h−ởng đ−ợc kích thích bởi sóng chạy sử dụng ph−ơng pháp moment. 2.1. ph−ơng trình tích phân cho kết cấu khe có hình dạng bất kỳ trên hốc cộng h−ởng đ−ợc kích thích bởi sóng chạy 2.1.1. Xác định ph−ơng trình điều kiện biên Chúng ta có hình dạng của kết cấu đ−ợc nghiên cứu thể hiện trên hình 2.1. Hình 2.1. Cấu trúc khe có hình dạng bất kỳ trên hốc cộng h−ởng áp dụng nguyên lý t−ơng đ−ơng tới khoảng hở khe, bài toán đ−ợc chia thành hai miền không gian. Miền I là phần không gian nằm trên màn chắn kim loại z = 0 với z > 0 là không khí có hằng số điện môi ε0 và miền II là phần không gian nằm trong hốc cộng h−ởng chứa chất điện môi có hằng số điện môi εr. Trên hình vẽ 2.1 chúng ta xác định hốc cộng h−ởng đ−ợc làm bằng chất dẫn điện tuyệt đối với kích th−ớc D x C x -d. Các trục x, y luôn luôn vuông góc với các cạnh bên của hốc cộng h−ởng. Vì khe rất hẹp so với b−ớc sóng nên dòng từ chỉ có một thành phần dọc theo khe. Chúng ta có thể hình dung rằng khe có thể t−ơng đ−ơng với một dây mỏng dẫn từ. Giả sử sóng tới là sóng phẳng có h−ớng sóng tới tạo với mặt phẳng của màn chắn kim loại một góc θi : r inc ˆ ˆ −iki ⋅r H = (θH θ ,i + φH φ ,i )e (2.1) trong đó: ki = −k 0 (xˆ sinθ i cosφi + yˆ sinθ i sinθ i + zˆ cosθ i ) Các tr−ờng từ trong 2 miền đ−ợc xác định nh− sau:
50. 49 r r r H I = H I + H I sc scat (2.2) r II r II H = H scat r I trong đó: H sc là tr−ờng từ trong miền I đ−ợc tạo ra bởi các tr−ờng đến và phản xạ r I trên màn chắn kim loại; H scat là tr−ờng từ trong miền I do dòng từ t−ơng đ−ơng trên r II khe; H scat là tr−ờng từ trong miền II do dòng từ t−ơng đ−ơng trên khe. Dọc theo khe chúng ta có điều kiện biên trong đó các thành phần tiếp tuyến của tr−ờng từ là liên tục: r r z) ì H I = z) ì H II (2.3a) hay là: ) r I r I ) r II z ì (H sc + H scat ) = z ì H scat (2.3b) r I H sc : là tr−ờng từ trong miền I đ−ợc tạo ra bởi các tr−ờng đến và phản xạ trên màn chắn kim loại: r I r I r I H scat = H inc + H refl (2.4) Do vậy: ) r I r I r I ) r II z ì (H inc + H refl + H scat ) = z ì H scat (2.5) Trên màn chắn kim loại, các thành phần tiếp tuyến của từ tr−ờng đến và phản xạ là bằng nhau: ) r I ) r I z ì H inc = z ì H refl (2.6) Do vậy: ) r I ) r I z ì H sc = 2(z ì H inc ) (2.7) Thay vào ph−ơng trình (2.3b) chúng ta có: ) r I ) r II r I 2(z ì H inc ) = z ì (H scat − H scat ) (2.8) 2.1.2. Xác định tr−ờng bức xạ trong miền I Theo nguyên tắc t−ơng đ−ơng, trong cùng một tr−ờng, tr−ờng điện E và tr−ờng từ H tồn tại bên ngoài mặt biên của một vật thể nếu trong lòng vật thể đó không chứa nguồn thì trên mặt biên của vật thể đó sẽ đ−ợc bao bọc bởi các dòng mặt t−ơng đ−ơng. Các dòng này bao gồm: r r J = n) ì H s (2.9) r r ) M s = E ì n
51. 50 trong đó: n) là vector pháp tuyến với bề mặt biên, trong tr−ờng hợp chúng ta nghiên cứu n) trùng với z) và: r r r r r r ∇ì H = iωεE + J sδ (r − rs ) (2.10) r r r r r r − ∇ì E = iωàH + M sδ (r − rs ) (2.11) Thành phần phụ thuộc thời gian là eiωt chúng ta tạm không xét đến. Vì các tr−ờng bằng 0 trong lòng vật thể, do vậy chúng ta có thể đặt bất kỳ một vật nào trong lòng vật thể đó mà vẫn hoàn toàn không ảnh h−ởng gì đến tr−ờng bên ngoài vật thể. Do vậy biên của vật thể đó có thể đ−ợc thay thế bằng một vật dẫn điện tuyệt đối (Et = 0) mà kết cuối dòng Js. T−ơng tự, biên của vật thể cũng có thể đ−ợc thay thế bằng vật dẫn từ (Ht = 0) mà kết cuối dòng từ Ms. Chúng ta có ph−ơng trình (2.10) đ−ợc viết ngắn lại nh− sau: r r r ∇ì H = iωεE (2.12) Từ ph−ơng trình liên tục giữa điện tích và dòng điện, nếu không có dòng điện sẽ không có điện tích. Nếu không có điện tích thì divergence của tr−ờng điện E sẽ bằng 0. Khi divergence của tr−ờng E bằng 0 thì, vector thế điện có thể đ−ợc xác định nh− sau: r 1 r r E = − ∇ì F (2.13) ε Các ph−ơng trình Maxwell có thể đ−ợc kết hợp nh− sau: r 2 2 r r (∇ + k0 )F = −εM (2.14) trong đó: k0 = ω à0ε 0 . Sau này chúng ta viết ngắn gọn là k. Tr−ờng từ đ−ợc xác định nh− sau: r iωε ⎛ r 1 r r r ⎞ H = − 0 ⎜ε k 2 F − ∇ ∇ • F ⎟ (2.15) 2 ⎜ r ()⎟ 4πk ⎝ à r ⎠ Ph−ơng trình (2.14) có thể đ−ợc giải bằng hàm số Green nh− sau: (∇ 2 + k 2 )G(r,r ') = −εδ (r − r') (2.16) và r r F(r ) = 2∫∫M (r )G(r,r')ds' (2.17) S trong đó: S là diện tích của khe. Hệ số 2 trong ph−ơng trình (2.17) là do hiệu ứng ảnh của dòng mặt dọc theo khoảng hở khe. Nếu dòng từ là dòng mặt đ−ợc xác định trong biểu thức (2.11) thì điều kiện biên phải thoả mãn nh− sau: r M (r)⋅ z) = 0 trên đ−ờng biên C (2.18)
52. 51 ở đây C là đ−ờng biên bao bọc khoảng hở khe trên mặt phẳng z = 0. Do vậy theo [11], chúng ta có: r r r r r r ' r r r r r r ) r r ∇t ⋅ M (r')G(r,r')ds' = ∇t ⋅ M (r')G(r,r ')ds' − M (r') ⋅ zG(r,r ')dl' (2.19) ∫∫ ∫∫ ∫C S S r ' Trong đó ∇t là toán tử del đối với hệ toạ độ nguồn. Xét theo điều kiện (2.18) thì ph−ơng trình (2.15) trở thành: r − iωε ⎛ r 1 r r r ⎞ z) ì H I (r ) = z) ì 0 ⎜ε k 2 M (r )G(r,r ')ds' − ∇ ∇' • M (r) G(r,r ')ds'⎟ (2.20) scat 2 ⎜ r ∫∫ ∫∫() ⎟ 2πk ⎝ s àr s ⎠ trong đó S là diện tích của khe. 2.1.3. Xác định tr−ờng bức xạ trong miền II Trong miền II tr−ờng từ đ−ợc xác định d−ới dạng khai triển theo ph−ơng thức tr−ờng ống dẫn sóng nh− sau [12]: M r II r − iγ m z + −iγ m z r H scat (r) = ∑(ime + ime )ψ m (r ) (2.21) m=0 M r II r − iγ m z + −iγ m z r Escat (r ) = ∑ Z m (ime + ime )ψ m (r ) (2.22) m=0 trong đó: Z m = γ m /ϖε 2 ; ψ m biểu diễn sự biến đổi của tr−ờng theo h−ớng ngang; γ m là hệ số truyền sóng trong môi tr−ờng ống dẫn sóng. ⎧ 2 2 2 ⎛ mπ ⎞ 2 ⎛ mπ ⎞ ⎪ k2 − ⎜ ⎟ ,k2 > ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ D ⎠ ⎝ D ⎠ ⎪ (2.23) γ m = ⎨ ⎪ 2 2 ⎪ ⎛ mπ ⎞ 2 2 ⎛ mπ ⎞ − i − k ,k < ⎪ ⎜ ⎟ 2 2 ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ D ⎠ ⎝ D ⎠ ⎧ mπ cos r với m = 0, 2, 4 ε ⎪ n ⎪ D (2.24) ψ m (r) = ⎨ D mπ ⎪sin r với m = 1, 3, 5 ⎩⎪ D Thấy rằng tr−ờng trong hốc cộng h−ởng đ−ợc tạo thành bởi 2 thành phần với các − + hệ số im biểu diễn sự phản xạ từ khoảng hở lên mặt phẳng z = 0 và hệ số im biểu diễn sự phản xạ từ mặt phẳng z = -d. Sử dụng điều kiện biên đối với mặt phẳng z = -d, chúng ta xác định đ−ợc hệ số + − im ; hệ số im đ−ợc xác định từ điều kiện trực giao của các ph−ơng thức trong ống dẫn sóng. Do vậy chúng ta có đ−ợc ph−ơng trình biểu diễn tr−ờng từ trong miền II nh− sau:
53. 52 r ∞ H II (r ) = −i y cotγ dψ (r ) E II (r)ψ * (r ')ds' (2.25) scat ∑ m m m ∫∫ scat m m=0 S r r ) Trong đó: S là diện tích khe. Theo ph−ơng trình (2.9) chúng ta có: M s = E ì n và theo ph−ơng trình (2.8), thấy rằng: r ∞ z) ì H II (r) = −i y cotγ dψ (r) z) ì E II (r ) ψ * (r ')ds' scat ∑ m m m ∫∫()scat m m=1 S (2.26) M r = −i y cotγ dψ (r ) M (r )ψ * (r')ds' ∑ m m m ∫∫ m m=0 S trong đó: ym là dẫn nạp (admitance), ym = 1/Zm. Thay các ph−ơng trình (2.18) và (2.19) vào ph−ơng trình (2.8) chúng ta có: r iωε ⎛ r 1 r r r ⎞ 2(z) ì H I ) = z) ì 0 ⎜k 2ε M (r )G(r,r ')ds' − ∇ ()∇ ' • M (r ) G(r,r ')ds'⎟ inc 2πk 2 ⎜ r ∫∫ à ∫∫ ⎟ ⎝ s r s ⎠ (2.27) ∞ r − i y cotγ dψ (r ) M (r )ψ * (r ')ds' ∑ m m m ∫∫ m m=0 S Ph−ơng trình (2.27) là ph−ơng trình tích phân cho kết cấu sóng rò kiểu khe hẹp có hình dạng bất kỳ trên một hốc cộng h−ởng đ−ợc kích thích bởi sóng chạy. 2.2. giải quyết bài toán bằng ph−ơng pháp moment 2.2.1. Nghiên cứu cấu trúc Trong mục này, chúng ta sẽ giải ph−ơng trình tích phân (2.27) bằng ph−ơng pháp moment. Để bài toán đ−ợc giải bằng ph−ơng pháp moment sử dụng hàm cơ sở là hàm miền con, chúng ta chia đ−ờng cong AB của khe hình dạng bất kỳ thành M đoạn con, mỗi đoạn con dài l0. Chúng ta đánh số các đoạn con trên đoạn AB là 1, 2, 3, M. Ký r hiệu vector đơn vị trên mỗi đoạn con thứ k là sk (k = 1, 2, 3, M) và ký hiệu toạ độ các điểm chia trên đ−ờng cong khe là s0 (t−ơng ứng gốc 0), s1, s2, s3, sM nh− đ−ợc phác họa lại trong hình 2.2 d−ới đây. 0 #1 #2 #3 #4 #5 #6 #M (A) • • • • • • • • • (B) s0 s1 s2 s3 s4 s5 s6 sM-1 sM Hình 2.2. Các toạ độ trên đoạn AB Toạ độ dài của điểm sn là: sn = nl0 (n là một số nguyên) 2.2.2. Chọn hàm cơ sở và thiết lập ph−ơng trình ma trận Chúng ta chọn hàm sin làm hàm cơ sở và khai triển dòng từ M(s’) theo toạ độ điểm nguồn (trùng với gốc toạ độ) các hàm cơ sở sin này nh− sau:
54. 53 M M (s') = ∑ M n f n (s') (2.28) n=1 trong đó, hàm f n (s') là hàm xung miền con đ−ợc xác định nh− sau: ⎧1 với sn < s’ < sn+1 fn (s') = ⎨ (2.29) ⎩0 tại các vị trí khác trong đó: k = k0 / β với β = ∆y / L . k0 là hằng số truyền sóng trong không gian tự do ( k0 = 2π / λ = ω / c ). Hệ số Mn là ẩn số. Các hệ số Mn (n = 0, 1, 2, M-1) đ−ợc xác định bằng ph−ơng pháp moment trong đó sử dụng hàm khai triển fn(s’) và hàm trọng l−ợng Tm(s), m = 1, 2, M. Ph−ơng trình (2.27) sẽ đ−ợc biến đổi thành ph−ơng trình ma trận có dạng: M ∑ K mn M n = H m (2.30) n=0 hay: {K mn }{M n }= {H m } (2.31) trong đó: iωε ⎛ L L 1 L L ⎞ K = 0 ⎜k 2ε T (s) • f (s')G(r,r')ds'ds − ()∇ •T (s) ()∇' • f (s') G(r,r')ds'ds⎟ mn 2πk 2 ⎜ r ∫ m ∫ n à ∫ m ∫ n ⎟ ⎝ 0 0 r 0 0 ⎠ (2.32) L L M − T (s) • i y cotγ dψ (sr) f (s')ψ * (sr')ds'ds ∫ m ∫ ∑ m m m n m 0 0 m=0 và: L H (s) = 2 T (s) • H I ds (2.33) m ∫ m inc 0 Do hàm fn(s’) chỉ tồn tại trên sn-1, sn+1 do vậy các cận tích phân từ 0 đến L t−ơng ứng thay đổi thành từ sn-1, sn+1. Chọn hàm trọng l−ợng Tm là hàm Delta Dirac, sử dụng ph−ơng pháp phối hợp điểm (point-matching) cho cả hai vế của ph−ơng trình (2.33) tại * các điểm quan sát sm là điểm nằm trên bề mặt anten và nằm giữa đoạn con thứ m (m = 1, 2, 3 M), chúng ta có: iωε ⎛ Sn+1 1 Sn+1 ⎞ K = 0 ⎜k 2ε f (s')G(r,r')ds'− ∇' • f (s') G(r,r')ds'⎟ mn 2 ⎜ r ∫ n ∫ ()n ⎟ 2πk à r ⎝ Sn−1 Sn−1 ⎠ (2.34) Sn+1 ∞ − i y cotγ dψ (s* ) f (s')ψ * (s')ds' ∫ ∑ m m m m n m m=0 Sn−1 * I * và: H m (sm ) = 2H inc (sm ) (2.35)
55. 54 Nghiệm Mn có thể xác định đ−ợc qua phép nghịch đảo ma trận: −1 {M n }= {K mn } {H m } (2.36) Để tìm đ−ợc phân bố dòng từ, chúng ta cần xác định cụ thể giá trị Kmn. Kmn đ−ợc tạo thành từ hai số hạng. Chúng ta sẽ nghiên cứu từng số hạng của Kmn. a) Số hạng thứ nhất: iωε ⎛ Sn+1 1 Sn+1 ⎞ K = 0 ⎜k 2ε f (s')G(r,r')ds'− ∇' • f (s') G(r,r')ds'⎟ (2.37) 1 2 ⎜ r ∫ n ∫()n ⎟ 2πk à r ⎝ Sn−1 Sn−1 ⎠ * ikr(sm ,s') r r e r* r G(r,r') = * sm ,s' (2.38) r(sm ,s') * * trong đó: r(sm ,s') là khoảng cách trung bình giữa sm (là điểm quan sát trên bề r* r mặt và nằm giữa đoạn con thứ m) và điểm s' là điểm nguồn, các vector sm ,s' là các * vector đơn vị tại các điểm t−ơng ứng sm ,s' . Chúng ta có: 2 * 2 r = aeq + (sm − s') (2.39) w a đ−ợc gọi là bán kính t−ơng đ−ơng của dây dẫn từ và a = e−πd /(2w) , trong đó eq eq 4 w là độ rộng của khe, d là độ sâu của khe w, d << λ. Vì mặt dẫn điện đ−ợc coi là rất mỏng nên có thể coi aeq ≈ 0,25w. Cuối cùng, chúng ta có: S S iωε ⎛ n+1 1 n+1 r ⎞ K = 0 ⎜k 2ε f (s')G(s* ,s')ds'− ∇' • f (s') G(s* ,s')ds'⎟ (2.40) 1 2 ⎜ r ∫ n m ∫ ()n m ⎟ 2πk à r ⎝ Sn−1 Sn−1 ⎠ Vì hàm f n (s') là hàm xung miền con: ⎧1 với sn < s’ < sn+1 fn (s') = ⎨ ⎩0 tại các vị trí khác Giả sử môi tr−ờng trong hốc cộng h−ởng là không khí có εr = 1 và àr = 1, do đó: iωε (k 2 −1) Sn+1 K = 0 G(s* ,s')ds' (2.41) 1 2πk 2 ∫ m Sn−1 Do vậy tích phân (2.41) hoàn toàn xác định đ−ợc bằng ph−ơng pháp tích phân số (ph−ơng pháp Gauss-Legendre). Vì vậy K1 sẽ đ−ợc xác định. b) Số hạng thứ hai: Sn+1 ∞ K = − i y cotγ dψ (s* ) f (s')ψ * (s')ds' (2.42) 2 ∫ ∑ m m m m n m m=0 Sn−1
56. 55 Thấy rằng vì hàm f n (s') là hàm xung miền con: ⎧1 với sn ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ D ⎠ ⎝ D ⎠ ⎪ (2.44) γ m = ⎨ ⎪ 2 2 ⎪ ⎛ mπ ⎞ 2 2 ⎛ mπ ⎞ ⎪− i ⎜ ⎟ − k2 ,k2 < ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ D ⎠ ⎝ D ⎠ Do đó: Admitance (dẫn nạp) ym = 1/Zm với Z m = γ m /ϖε 2 bằng: k2 ym = (2.45) W2γ m trong đó: W2 = à2 / ε 2 , k2 = ω à1ε1 ⎧ mπ cos s với m = 0, 2, 4 ε ⎪ n ⎪ D (2.46) ψ m (s) = ⎨ D mπ ⎪sin s ⎩⎪ D với m = 1, 3, 5 Để giảm bớt thời gian tính toán của máy tính, chúng ta cần cải thiện tính hội tụ của dãy này bằng cách nh− sau: * − ik2 Ym (sm , s') = (S0 + ∑1 + ∑ 2 ) (2.47) DW2 trong đó: cot k2 d S0 = (2.48) k2 ∞ 2cotγ d 2mπ 2mπ 2m * (2.49) ∑1 = ∑ cos sm cos s' m=1 γ 2m D D ∞ 2cotγ d (2m −1)π (2m −1)π 2m−1 * (2.50) ∑ 2 = ∑ sin sm sin s' m=1 γ 2m−1 D D mπ Nhận thấy rằng khi m → ∝, thì biểu thức cotγ d /γ tiến tới −1/( ) , do vậy để m m D tăng tính hội tụ của dãy chúng ta sử dụng biến đổi Kummer bằng cách thêm và bớt từ (2.49) và (2.50) các dãy tiệm cận đối với Σ1 và Σ2 nh− sau:
57. 56 ∞ ∞ − 2 2mπ * 2mπ (2.51) ∑1 = ∑ cos sm cos s' m=1 2mπ D D D ∞ ∞ − 2 (2m −1)π * (2m −1)π (2.52) ∑ 2 = ∑ sin sm sin s' m=1 (2m −1)π D D D Ký hiệu Σ1 = S1 và Σ2 = S2 chúng ta có: ⎛ ⎞ ∞ ⎜ cotγ d 1 ⎟ 2mπ 2mπ ∑ = 2⎜ 2m + ⎟cos s* cos s'+S (2.53) 1 ∑ ⎜ γ 2mπ ⎟ D m D 1 m=1 ⎜ 2m ⎟ ⎝ D ⎠ ⎛ ⎞ ∞ ⎜ cotγ d 1 ⎟ (2m −1)π (2m −1)π ∑ = 2⎜ 2m−1 + ⎟sin s* sin s'+S (2.54) 2 ∑ ⎜ γ (2m −1)π ⎟ D m D 2 m=1 ⎜ 2m−1 ⎟ ⎝ D ⎠ Chúng ta xác định cụ thể giá trị S1 và S2 nh− sau: 2mπ * 2mπ ∞ cos sm cos s' 2D D D (2.55) S1 = − ∑ π m=1 2m (2m −1)π (2m −1)π sin s* sin s' 2D ∞ D m D S2 = − ∑ π m=1 2m −1 (2.56) ⎧ mπ mπ 2mπ 2mπ ⎫ sin s* sin s' sin s* sin s' 2D ⎪ ∞ D m D ∞ D m D ⎪ = − ⎨∑ − ∑ ⎬ π ⎪m=1 m m=1 2m ⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ Theo công thức l−ợng giác, chúng ta có: ∞ cos mxcos my 1 ∑ = − ln[4(cos x − cos y) 2 ] (2.57) m=1 m 4 ∞ sin mxsin my 1 sin[(x + y) / 2] ∑ = ln (2.58) m=1 m 2 sin[](x − y) / 2 Thay thế (2.57) và (2.58) vào (2.53) và (2.54), chúng ta có: ⎡ 2 ⎤ D ⎛ 2π * 2π ⎞ S1 = ln⎢4⎜cos sm − cos s'⎟ ⎥ 4π ⎣⎢ ⎝ D D ⎠ ⎦⎥ (2.59) D ⎡ 2 π * 2 π * ⎤ = ln 16sin ()sm + s' sin ()sm − s' 4π ⎣⎢ D D ⎦⎥ ⎡ π * ⎤ ⎢ tan (sm + s') ⎥ D 2D (2.60) S2 = − ln⎢ ⎥ 2π ⎢ π * ⎥ ⎢ tan (sm − s') ⎥ ⎣ 2D ⎦