Luận văn Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) cho bài toán phí tuyến (Phần 1)

Nội dung text: Luận văn Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) cho bài toán phí tuyến (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ KIỀU QUỐC ANH PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALLZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN PHÍ TUYẾN S K C 0 0 3 9 5 9 NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 S KC 0 0 3 9 9 0 Tp. Hồ Chí Minh, 2013
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ KIỀU QUỐC ANH PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALLZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN PHÍ TUYẾN NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 Hướng dẫn khoa học: TS. PHAN ĐỨC HUYNH Tp. Hồ Chí Minh, 2013
3. LÝ LỊCH KHOA HỌC I. LÝ LỊCH SƠ LƢỢC Họ và tên: Kiều Quốc Anh Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 17/5/1987 Nơi sinh: Đồng Nai Quê quán: Thanh Hóa Dân tộc: Kinh Địa chỉ liên lạc: 73/4B-Lê Văn Việt – Phường Hiệp Phú – Quận 9 – TPHCM Điện thoại: 0987 560 360 Email: kieuquocanh175@gmail.com II. QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO 1. Đại học Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo từ 9/2005 đến 02/2010 Nơi học: trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TPHCM – TPHCM Ngành học: Thiết kế máy Tên đồ án tốt nghiệp: Thiết kế bộ khuôn mặt nạ xe máy Kawasaki trên Pro- Engineer và mô phỏng thiết kế trên Moldflow Người hướng dẫn: Th.S Trần Chí Thiên III. QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC Thời gian Nơi công tác Công việc đảm nhiệm 5/2010 01/2011 Cty TNHH TM-DV Nhật Long Kỹ Sư dự án 02/2011 6/2011 Cty TNHH Hồng Thuyên Trưởng bộ phận hỗ trợ kỹ thuật 6/2011 nay Trường ĐH SPKT TPHCM Học viên cao học i
4. LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác Tp. Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 201 (Ký tên và ghi rõ họ tên) ii
5. CẢM TẠ Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Xây Dựng và Cơ Học Ứng Dụng và khoa Cơ Khí Chế Tạo Máy trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn thầy TS. Phan Đức Huynh, dù rất bận rộn với công việc giảng dạy nhưng thầy vẫn luôn dành thời gian quan tâm, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi cũng chân thành cám ơn anh Lê Quốc Cƣờng đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. iii
6. ABSTRACT In numerical approximate method, for highly exact requirement the ones often mesh space and time very smooth, which common discrete methods spend a lot of time for solving that model. This studying presents a discretization technique, the Proper Generalized Decomposition (PGD), and use its ability to solve the non-linear problem such as heat tranfer and fluid flow. Applying PGD to solve Poisson equation of the two-dimensional incompressible fluid and comparing to the Successive over-relaxation (SOR), the result show that PGD is faster than SOR about 200 times with the element number is about 10000. TÓM TẮT Trong phương pháp xấp xỉ số, việc rời rạc mô hình bằng các phương pháp rời rạc thông thường đòi hỏi độ chính xác cao về không gian và thời gian sẽ mất rất nhiều chi phí tính toán. Trong nghiên cứu này, tôi trình bày một kỹ thuật rời rạc được gọi là phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD), và khả năng nó có thể sử dụng để giải các bài toán phi tuyến như bài toán truyền nhiệt, bài toán dòng chảy. Ứng dụng phương pháp PGD để giải phương trình Poisson của dòng chảy không nén được 2 chiều và so sánh với phương pháp Successive Over-Relaxation (SOR), kết quả cho thấy được giải bằng phương pháp PGD sẽ nhanh hơn phương pháp SOR khoảng 200 lần với số phần tử khoảng 10000. iv
7. MỤC LỤC TRANG Trang tựa Quyết định giao đề tài i Lý lịch cá nhân ii Lời cam đoan iii Cảm tạ iv Tóm tắt v Mục lục vi Danh sách các hình viii Chƣơng 1. TỔNG QUAN 1 1.1 Tổng quan chung về lĩnh vực nghiên cứu 1 1.2 Các nghiên cứu trong và ngoài nước đã công bố 2 1.3 Nội dung nghiên cứu 3 1.4 Nhiệm vụ của luận văn 3 Chƣơng 2. PHƢƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION 5 2.1 Giới thiệu phương pháp Proper Generalized Decomposition 5 2.2 Cơ sở lý thuyết của phương pháp Proper Generalized Decomposition 6 Chƣơng 3. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN PHI TUYẾN 14 3.1 Bài toán 1D 14 3.1.1 Bài toán dòng chảy ổn định theo một chiều trong ống 14 3.1.2 Bài toán truyền nhiệt trên thanh 1D 19 3.2 Bài toán truyền nhiệt trên miền hình chữ nhật 2D-Phương trình Poisson 25 3.2.1 Mô hình bài toán 25 3.2.2 Giải bằng phương pháp PGD 26 3.2.3 Giải bằng phương pháp giải tích 29 3.2.4 Kết quả - nhận xét 30 v
8. 3.3 Bài toán dòng lưu chất hai chiều (2D) 31 3.3.1 Các phương trình mô tả dòng lưu chất 2D 31 3.3.1.1 Phương trình động lượng Navier-Stokes 31 3.3.1.2 Phương trình liên tục (Continuity equation) 32 3.3.1.3 Điều kiện ràng buộc của bài toán 2D 32 3.3.2 Rời rạc phương trình Navier-Stokes 34 3.3.3 Giá trị biên cho các phương trình rời rạc 41 3.3.3.1 Điều kiện không trượt (No-slip condition) 41 3.3.3.2 Điều kiện trượt tự do (Free-slip condition) 42 3.3.3.3 Điều kiện dòng chảy ra (Outflow condition) 43 3.3.3.4 Điều kiện dòng chảy vào (Inflow condition) 43 3.3.3.5 Điều kiện biên tuần hoàn (Periodic boundary condition) 43 3.3.4 Rời rạc đạo hàm theo thời gian 44 3.3.5 Thuật toán cho việc giải bài toán dòng lưu chất 2D 44 3.4 Bài toán tính vận tốc dòng lưu chất trong miền tự do 51 3.4.1 Mô tả bài toán 51 3.4.2 Dữ liệu bài toán 51 3.4.3 Phân tích bài toán 52 3.4.4 Tiến hành tính toán 53 3.4.5 Kết quả 53 3.4.6 Nhận xét 57 3.5 Bài toán tính vận tốc dòng lưu chất trong miền có vật cản 58 3.5.1 Mô hình bài toán 58 3.5.2 Dữ liệu bài toán 58 3.5.3 Điều kiện biên 58 3.5.4 Kết quả 59 Chƣơng 4. PHÁT TRIỂN GIẢI THUẬT PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION CHO BÀI TOÁN 2 CHIỀU (2D) 62 4.1 Bài toán dòng chảy lưu chất 2D 62 vi
9. 4.2 Phương trình truyền nhiệt 2D 71 Chƣơng 5. KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN 78 5.1 Kết luận 78 5.2 Hướng phát triển 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 PHỤ LỤC 81 vii
10. DANH SÁCH CÁC HÌNH HÌNH TRANG Hình 3.1 Mô hình bài toán 14 Hình 3.2 Lực tác động lên bề mặt của một vi phân khối lượng 15 Hình 3.3 Kết quả mô tả vận tốc chảy trong ống bằng phương pháp PGD 19 Hình 3.4 Nhiệt độ trên toàn miền bằng 3 phương pháp giải tích, PGD và sai phân 23 Hình 3.5 Kết quả giải theo giải tích và PGD với ô lưới và miền tính toán lớn hơn 24 Hình 3.6 Kết quả giải theo FDM với ô lưới lớn 24 Hình 3.7 Mô hình bài toán truyền nhiệt trên miền hình chữ nhật 2D 25 Hình 3.8 Nhiệt truyền trên miền hình chữ nhật (Giải tích và PGD) 30 Hình 3.9 So sánh độ chính xác của 2 phương pháp PGD và giải tích 31 Hình 3.10 Thành phần vận tốc pháp và tiếp tuyến so với biên 32 Hình 3.11 Miền dòng chảy và miền biên dòng chảy 33 Hình 3.12 Số lưới và khảng cách lưới trong miền dòng chảy 35 Hình 3.13 Các loại sai phân hữu hạn 35 Hình 3.14 Rời rạc sử dụng thuật toán Donor-cell 36 Hình 3.15 Lưới so le 37 Hình 3.16 Giá trị cho quá trình rời rạc theo u của phương trình động lượng 39 Hình 3.17 Giá trị biên không trượt theo các giá trị ở hai bên biên 42 Hình 3.18 Giá trị biên trượt tự do theo các giá trị ở hai bên biên 42 Hình 3.19 Mô hình bài toán dòng lưu chất trong miền tự do 51 Hình 3.20 Đường dòng trong miền lưu chất ở thời điểm t=1 bằng SOR 53 Hình 3.21 Trường áp suất trong miền lưu chất tại t=1 bằng SOR 54 Hình 3.22 Đường dòng trong miền lưu chất tại thời điểm t=1 bằng PGD 54 Hình 3.23 Trường áp suất trong miền lưu chất tại thời điểm t=1 bằng PGD 55 Hình 3.24 Trường áp suất tại thời điểm t=3.039s bằng PGD 56 viii
11. Hình 3.25 Trường áp suất tại thời điểm t=3.039s bằng SOR 56 Hình 3.26 Thời gian tính toán cho giải thuật với tf=0.2 bằng Matlab 57 Hình 3.27 Mô hình bài toán trong miền có vật cản 58 Hình 3.28 Streamline tại thời điểm t=5 bằng PGD 59 Hình 3.29 Contour Áp suất tại thời điểm t=5 bằng PGD 60 Hình 3.30 Streamline tại thời điểm t=5 bằng SOR 60 Hình 3.31 Contour Áp suất tại thời điểm t=5 bằng SOR 61 ix
12. Chƣơng 1 TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan chung về lĩnh vực nghiên cứu Trước sự phát triển vượt bậc của máy tính điện tử cũng như ngành tin học, việc ứng dụng các phương pháp số dưới sự hỗ trợ của máy tính để giải quyết các bài toán cơ học trở nên phổ biến và cần thiết bởi những tính năng tính toán vượt trội của máy tính. Vì vậy các phương pháp tính số đã và đang phát triển mạnh mẽ và trở thành một công cụ hữu hiệu không thể thiếu khi giải quyết các bài toán khoa học – kỹ thuật (phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp biên nhúng, ). Việc áp dụng phương pháp số nào cho phù hợp với bài toán cần giải cũng hết sức quan trọng. Vì nó ảnh hưởng tới thời gian hoàn thành bài toán cũng như chi phí tính toán. Mỗi phương pháp số khác nhau có những ưu nhược điểm khác nhau và tùy mỗi bài toán mà ta chọn phương pháp thích hợp nhất trên yêu cầu phải thỏa mãn các tiêu chuẩn sau: kết quả chính xác cao, sự ổn định của phương pháp và thời gian tính toán phải nhanh. Trong lĩnh vực thiết kế và khoa học, đôi lúc ta gặp phải một số mô hình được định nghĩa trong không gian đa chiều (có liên quan đến cơ học lượng tử hoặc sự mô tả tính chất vật liệu theo thuyết động học) điều đó làm cho vấn đề chiều thứ nguyên trở nên cực kỳ phức tạp khi áp dụng kỹ thuật chia lưới rời rạc thông thường. Ngay cả đối với mô hình tạm thời được định nghĩa trong không gian ba chiều cũng phải tốn rất nhiều thời gian với bước thời gian rất nhỏ. Hơn nữa các mô hình theo tiêu chuẩn có thể trở thành đa chiều khi các thông số thay đổi. Vì vậy việc phát triển một phương pháp mới nhằm giải quyết bài toán một cách nhanh chóng hơn là rất cần thiết. Phương pháp Proper Generalized Decomposition (PGD) là một kỹ thuật rời rạc hóa bài toán mạnh mẽ thường được sử dụng cho các phương trình phi tuyến phức tạp trong lưu chất, tính toán cho vật liệu không đồng nhất. Ta đã biết các bài toán đa 1
13. chiều có độ phức tạp tỷ lệ thuận tuyến tính với số chiều của không gian, nghĩa là bài toán xét trên nhiều chiều không gian càng phức tạp. Thông thường để có được kết quả có độ chính xác cao ta phải tăng độ mịn của phương pháp chia lưới rời rạc. Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp PGD ta có thể tách riêng các biến của bài toán và giải quyết độc lập nhờ đó có thể tăng tốc độ tính toán mà vẫn giữ nguyên độ mịn của lưới, hay nói cách khác phương pháp PGD có nền tảng dựa trên cơ sở lý thuyết của phương pháp tách biến. Phương pháp tách biến có thể hiểu như sau: N 1 D u( x11 xD )  F i ( x ) F i ( x D ) (1.1) i 1 Hệ tọa độ 푖 (푖 = 1, , ) là các chiều được định nghĩa trong không gian bài toán. Các tọa độ 푖 này có thể biểu diễn cho một biến thời gian nào đó của bài toán. Kỹ thuật tách biến này không phải là mới và đã được ứng dụng rộng rãi trong vài thập kỷ gần đây ở lĩnh vực hóa học lượng tử. Phương pháp PGD gần đây được giới thiệu bởi Giáo sư F.Chinesta cùng các cộng sự ứng dụng để giải cho dòng lưu chất, truyền nhiệt trong vật liệu đồng nhất, composite mà các phương trình vi phân đặc trưng mô tả cho bài toán thường có dạng phi tuyến. Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phương pháp PGD để ứng dụng cho các bài toán phi tuyến, tính toán lập trình dưới sự hỗ trợ của phần mềm Matlab 1.2 Các nghiên cứu trong và ngoài nƣớc đã công bố Phương pháp này chưa thấy công bố rộng rãi ở Việt Nam, sau đây tác giả xin trình bày một số công trình nghiên cứu đã công bố ở nước ngoài: [1]. Francisco Chinesta, Amine Ammar, Elías Cueto, Recent Advances and New Challenges in the Use of the Proper Generalized Decomposition for Solving Multidimensional Models, 12/2009 Nội dung của bài báo: bài báo trình bày phương pháp PGD để ứng dụng cho việc giải các mô hình có các chiều không gian lớn. Các mô hình đa chiều này được rời rạc hóa về không gian và thời gian, trong một hệ tọa độ tương đương. Sau đó sử dụng phương pháp PGD để giải quyết các mô hình này. 2
14. [2]. A.Dumon, C.Allery, A.Ammar, Proper General Decomposition (PGD) for the resolution of Navier-Stokes equations, 11/2010 Trong bài báo này, phương pháp PGD được sử dụng để giải các vấn đề của cơ lưu chất. Trong phần thứ nhất, công thức Stokes và công thức Burgers sẽ được giải quyết. Sau đó, công thức Navier-Stokes sẽ được giải ở các hệ số Reynolds khác nhau( Re=100, 1000 và 10000). Cuối cùng, phương pháp PGD sẽ được so sánh với các kỹ thuật giải khác về thời gian tính và độ chính xác tính toán. [3]. F. Chinesta, A. Ammar, A. Leygue, R. Keunings, An overview of the proper generalized decomposition with applications in computational rheology, 1/2011 Bài báo trình bày nền tảng và ứng dụng của phương pháp PGD-một kỹ thuật rời rạc hóa mô hình mạnh mẽ dùng để tính toán theo lý thuyết có nghĩa là sự làm phong phú liên tục các khoảng hở của các miền ẩn số. Sự tính toán phức tạp của phương pháp PGD tỷ lệ tuyến tính với kích thước của không gian trong định nghĩa mô hình, được đánh dấu tương phản với tỷ lệ hàm mũ của phương pháp chia lưới cơ bản. Trong bài báo giới thiệu cách sử dụng PGD cho 4 trường hợp liên quan đến lý thuyết tính toán: (i) Giải trực tiếp công thức Fokker-Planck cho dòng chảy phức tạp trong hệ không gian chiều lớn; (ii) sự phát triển thuật toán không gia tăng hiệu suất cho vấn đề điện áp; (iii) cách giải bài toán 3 chiều định nghĩa trong mặt phẳng suy biến hoặc miền hình dạng vỏ sò có trong quá trình gia công polyme hoặc composite; (iv) sự giải mô hình tham số đa chiều nhận được bằng cách giới thiệu các nguồn khác nhau của các vấn đề khác nhau trong hệ tọa độ thêm vào. 1.3 Nội dung nghiên cứu Trong nghiên cứu này, tác giả tập trung vào ứng dụng phương pháp PGD cho các bài toán phi tuyến như bài toán dòng chảy 1D, truyền nhiệt 1D, dòng chảy 2D và truyền nhiệt 2D. Từ đó, so sánh phương pháp PGD với các phương pháp tính toán khác về thời gian tính toán và độ chính xác tính toán. 1.4 Nhiệm vụ của luận văn Các nội dung nghiên cứu chính trong luận văn Vận dụng phương pháp PGD để tính toán mô phỏng các bài toán phi tuyến. 3
15. Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để tính toán và lập trình So sánh độ chính xác và thời gian tính toán của phương pháp PGD với các phương pháp tính toán khác 4
16. Chƣơng II PHƢƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION 2.1 Giới thiệu phƣơng pháp Proper Generalized Decomposition Như đã trình bày ở Chương 1 thì phương pháp PGD có nền tảng dựa trên cơ sở lý thuyết của phương pháp tách biến. Từ góc nhìn lịch sử, phương pháp tách biến được sử dụng khá thông dụng. Ta có thể tìm thấy ở bất kỳ cuốn sách nào nói về phương trình vi phân riêng phần, phân tích về kỹ thuật tách biến để tìm ra đáp án sau một vài thao tác có dạng như phương trình (1.1). Một kỹ thuật tách biến khác cũng được biết đến khá rộng rãi đó là Proper Orthogonal Decomposition (POD) hay ta có thể gọi là phương pháp tách biến trên cơ sở trực giao. Giới thiệu phương pháp tách biến trên cơ sở trực giao: Giả sử ( , 푡) là hàm thỏa mãn yêu cầu bài toán với ∈ Ω ⊂ 푅 ( = 1,2,3) và + 푡 ∈ ⊂ 푅 tại một nút lưới 푖 ta có biến thời gian tương ứng 푡 = ×△ 푡 푣ớ푖 푖 ∈ 푃 [1, , 푛 ] và ∈ [1, , 푃]. Ta viết 푖 ≡ ( 푖 , 푡 ) và lập một ma trận Q như sau: 12 P u1 u 1 u 1 12 P u u u 2 2 2 Q     u12 u u P NNNn n n Phương pháp này đòi hỏi công việc tìm trị riêng và các vecto riêng 휆, 휙1 , 푖 = 1, , 푛 cho bài toán 푄푄 휙 = 휆휙. Trong quá trình tính toán giá trị các trị riêng sẽ giảm rất nhanh dẫn đến hướng phát triển của bài toán có thể xấp xỉ thông qua các vecto riêng. Cho 푅(푅 ≪ 푛 ) là số vecto riêng được dùng và ta có thể viết như sau: 5
17. RR u x,.().() t  i x T i t  X i x T i t (2.1) ii 11 Việc giải phương trình (2.1) ta sẽ tìm được nghiệm xấp xỉ của bài toán. Cơ sở lý thuyết này có thể áp dụng để giải những bài toán tương tự, chẳng hạn như mô hình bao gồm những sự thay đổi ít về điều kiện biên hay thay đổi các thông số của mô hình . Bên cạnh đó, khả năng khác là tính toán cơ sở rút gọn từ việc giải quá trình chuyển tiếp trong khoảng thời gian ngắn và sau đó giải những phần còn lại bằng cách sử dụng cơ sở rút gọn đó. Do đó, hai hướng trên đem lại sự thách thức mới về lỗi trong quá trình mô phỏng, tính toán và rời rạc. 2.2 Cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp Proper Generalized Decomposition Xét hiện tượng đối lưu khuếch tán được mô tả bằng phương trình vi phân riêng phần như sau:  u u v  u f(,) x t (2.2) t Thuộc miền xác định D: Dt xm [0.ax ] Với các điều kiện đầu và điều kiện biên như sau: 0 u( x ,0) u x x (2.3) u( x , t ) ugm ( x , t )  (0, T ax ) vx() Với là hệ số khuếch tán và v là trường vận tốc v , trong đó , v được ux() cho trước và không đổi trong phương trình (2.2). d Miền tính toán: x R, d 1, Tmax 0 Mục tiêu của phương pháp là tính được N cặp số thành ()X và (,)XTiiiN 1 i i 1 N ()Ti i 1 N được định nghĩa trong miền khép kín  và kết quả ẩn số u của bài toán này có thể được viết dưới dạng tách rời như sau: 6
18. N u(,)()() x t  Tii t X x (2.4) i 1 Ta xét phương trình (2.4), giả sử hệ nghiệm với 0<n<N đã biết và ở (,)XTiiiN 1 bước lặp n hiện tại ta đã tìm được cặp nghiệm (R ( t ), S ( x )) sau khi hội tụ sẽ dẫn đến sự hình thành cặp nghiệm kế tiếp (,)XTnn 11. Như vậy hàm u tại bước lặp (n+1) có thể được viết như sau: n n 1 u(,)()()()() xt  TtXxii RtSx (2.5) i 1 Giả sử hàm Rt() và Sx() có dạng: 01 n R( t ) CRRR t C t C t 01 n (2.6) S( x ) C x01 C x C xn SSS01 n Trong đó: C ,C là các tham số chưa biết Ri Si u Gọi: F()(,) u u v  u f x t (2.7) t Suy ra: Fu( ) FxtCC ( , , , , , CCC , , , , C ) (2.8) RRRSSS0 1nn 0 1 Khi tính nghiệm u(,) x t theo công thức (2.4) với N hữu hạn thì nghiệm u(,) x t có sai số, vì vậy phương trình (2.2) không thỏa mãn hay hàm Fu( ) 0 . Khi đó, hàm Fu() cũng chính là sai số tổng trên toàn miền khi giải phương trình Fu( ) 0 . Sai số tổng được tìm bằng cách lấy tích phân hàm Fu() trên toàn miền khảo sát, và được gọi là hàm thặng dư. Tuy nhiên trong quá trình tính tích phân, các sai số âm dương có thể triệt tiêu nhau. Do đó, để tránh sự triệt tiêu này ta cần nhân Fu() với một hàm u* nào đó phù hợp, rồi mới tích phân trên toàn miền xác định D. Cụ thể: tmax u*. F ( u ) dxdt 0 (2.9) x 0 7
19. Ta gọi dạng tích phân trên là dạng yếu của phương trình (2.2) Và hàm u* được gọi là hàm trọng số. Theo phương pháp bình phương tối thiểu, sai số tổng có dạng toàn phương như sau: tmax F2 () u dxdt (2.10) x 0 Điều kiện cực tiểu của (2.8) để tìm các tham số Ci :  tmax F2 ( u ) dxdt 0 (2.11) C x 0 tmax F Hay: F( u ) dxdt 0 (2.12) C x 0 Suy ra hàm trọng số như sau: F ()()() RS  R  S u* S R (2.13) CCCC    i i Rii S RS Đặt: RS ; u SR RS (2.14) CC RSii Dạng yếu của phương trình (2.2) được viết lại như sau: tmax * u u uvufxtdxdt  ( , ) 0 (2.15) t x 0 Với hàm trọng số Thay phương trình (2.5) và (2.14) vào (2.15) ta được: 8
20. n  T X RS  ii n i 1 tmax Tii X RS (SR RS ) t i 1 dxdt 0 x 0 n v T X RS  ii i 1 Với: TTti i(); X i Xx i (); RRt (); SSx () Phương trình trên tương đương: tmax R SR RS S SR () v  S R dxdt t x 0 tmax n n n Ti ()(,)SR RS fxt  Xi  XT i i  vXTdxdt  i i (2.17) i 1 i 1 i 1 x 0 t Với ý kiến ban đầu là tách hàm số theo các biến độc lập, ta có thể áp dụng để tính các hàm R.S trên bằng cách giả sử giá trị hàm Rt() đã biết trước để tìm Sx(), và cho trước Sx() để tìm hàm Rt() thông qua phương trình (2.17) Để giải phương trình (2.17) ta thực hiện tính và theo các bước sau: Bước 1: Với được giả sử đã biết trước, giải phương trình vi phân bậc 2 tìm S Bước 2: Với đã biết trước, giải phương trình vi phân bậc 1 tìm R  Tính S(x): R Ta giả sử R đã biết hay các tham số C const nên ta có R* 0 Rt C Ri Khi đó phương trình (2.17) được viết lại như sau: 9
21. tmaxR t max t max S* S Rdt S R 2 dt () v  S R 2 dt dx t x 0 0 0 ttmaxn max T R.(,) f x t dt X RI dt  i i 1 t * 00 S dx (2.18) nnttmmax ax x X RT dt () v  X RT dt i i i i ii 11 00 Đặt: tmax R R()() t t dt t 0 t t max T i R()() ti t dt t t 0 tmax  R2 () t dt t 0 tmax  i R()() t T t dt ti 0 tmax  ()()(,)()x R t f x t dt  x  t 0 Thay vào (2.18) ta được: S*(()) S  S v  S  dx t t i  n n n S* () x i X  i X  i v  X dx (2.19) t t i  t i  t i  i 1 i 1 i 1 Phương trình dạng yếu (2.19) đúng với mọi S * . Ta có thể sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để tính S(x), hoặc có thể đưa về phương trình vi phân rồi sử dụng các phương pháp số như sai phân (FDM), Runge-Kutta : Dạng vi phân của phương trình (2.19): 10