Luận văn Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) (Phần 1)

Nội dung text: Luận văn Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ VŨ DUY CẢNH PHÂN TÍCH TRẠNG THÁI GIỚI HẠN CỦA TẤM PHẲNG CÓ VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM) NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204 S KC 0 0 4 1 6 5 Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2013
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM KHOA CƠ KHÍ CHẾ TẠO LUẬN VĂN THẠC SĨ PHÂN TÍCH TRẠNG THÁI GIỚI HẠN CỦA TẤM PHẲNG CÓ VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN NGÀNH: KỸ THUẬT CƠ KHÍ MÃ SỐ: 605204 GVHD: PGS.TS. NGUYỄN HOÀI SƠN HỌC VIÊN: VŨ DUY CẢNH MSHV : 10085204002 TP.HCM, tháng 10 năm 2013
3. LÝ LỊCH KHOA HỌC (Dùng cho nghiên cứu sinh & học viên cao học) I. LÝ LỊCH SƠ LƢỢC: Họ & tên: Vũ Duy Cảnh Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 21/12/1984 Nơi sinh: Hải Dương Quê quán: Bình Thuận. Dân tộc: Kinh Chức vụ, đơn vị công tác trước khi học tập, nghiên cứu: Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc: Thôn An vinh-Xã Sông phan-Huyện Hàm tân-Tỉnh Bình Thuận. Điện thoại : 01686861229 Điện thoại nhà riêng: Fax: E-mail:vuduycanh21@yahoo.com II. QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO: 1. Trung học chuyên nghiệp: Hệ đào tạo: Thời gian đào tạo từ / đến / Nơi học (trường, thành phố): Ngành học: 2. Đại học: Hệ đào tạo: Chính Quy Thời gian đào tạo từ 09/2002 đến 10/ 2007 Nơi học (trường, thành phố): ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp. HCM Ngành học: Cơ kỹ thuật Tên đồ án, luận án hoặc môn thi tốt nghiệp: Tính toán chuyển vị và nội lực của kết cấu nhà xưởng công nghiệp bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hoặc thi tốt nghiệp: Tại trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Tp. HCM Người hướng dẫn: Th.S Lê Thanh Phong. 3. Thạc sĩ: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo từ 09/2010 đến 10/ 2012 Nơi học (trường, thành phố): ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp. HCM Ngành học: Công nghệ chế tạo máy Tên luận văn: Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Ngày & nơi bảo vệ luận văn: /10/2013 tại trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp. HCM Người hướng dẫn: PGS. TS Nguyễn Hoài Sơn 4. Tiến sĩ: Hệ đào tạo: Thời gian đào tạo từ / đến / Tại (trường, viện, nước):
4. Tên luận án: Người hướng dẫn: Ngày & nơi bảo vệ: 5. Trình độ ngoại ngữ (biết ngoại ngữ gì, mức độ): B1 Anh văn 6. Học vị, học hàm, chức vụ kỹ thuật đƣợc chính thức cấp; số bằng, ngày & nơi cấp: III. QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC CHUYÊN MÔN KỂ TỪ KHI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: Từ tháng 3/2008 đến 3/2010 công tác tại Công ty TNHH Fusheng.VN Nơi làm việc: Khu công nghiệp Biên hòa II. Vị trí công tác: Nhân viên kỹ thuật. IV. CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ: XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN Ngày 01 tháng 10 năm 2013 (Ký tên, đóng dấu) Ngƣời khai ký tên Vũ Duy Cảnh
5. LỜI CẢM ƠN Trong khoảng thời gian học dưới mái trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật thân yêu này, tôi đã được học hỏi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu từ quý Thầy Cô, bạn bè trong học tập cũng như trong cuộc sống. Điều đó đã giúp tôi có thể hoàn thành tốt luận văn Thạc sĩ này. Có được kết quả như vậy tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới: - Toàn thể Thầy Cô trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. HCM đã nhiệt tình truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. - Thầy PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn đã tận tình hướng dẫn, cung cấp tài liệu, cho tôi những lời khuyên quí báu, truyền đạt những phương pháp nghiên cứu hiệu quả và luôn động viên tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn này. - Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. - Cuối cùng tôi xin cảm ơn đến các tác giả đã có rất nhiều cống hiến trong việc nghiên cứu và viết nhiều cuốn sách tham khảo có giá trị, đó chính là sự hỗ trợ rất lớn về mặt kiến thức để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn! Tp. Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 10 năm 2013 Vũ Duy Cảnh
6. Mục lục MỤC LỤC CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1 1.1. Giới thiệu tổng quan về cơ học phá hủy 1 1.2. Tổng quan về sự phát triển bài toán dao động 6 1.3. Tổng quan về sự phát triển bài toán tấm chịu uốn 8 1.4. Phương pháp phần tử hữu hạn 9 1.5. Nhiệm vụ của đề tài và phạm vi nghiên cứu 10 CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM 11 2.1. Lý thuyết cơ học rạn nứt 11 2.2. Lý thuyết đàn hồi 17 2.3. Lý thuyết tấm 21 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 26 3.1. Phương trình phần tử 26 3.2. Phần tử tứ giác 8 nút 28 3.3. Phần tử suy biến điểm ¼ 30 3.4. Tính toán ứng suất và biến dạng trong FEM 33 3.5. Phương pháp tích phân số 34 3.6. Tính toán hệ số cường độ ứng suất từ kết quả phân tích FEM 35 3.7. Ma trận khối lượng tương thích phần tử 37 3.8. Dao động tự do- Xác định tần số dao động riêng theo phần tử hữu hạn 38 3.9. Phương pháp Newmark 40
7. Mục lục CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN ÁP DỤNG 45 4.1. Sơ đồ khối 46 4.2. Khảo sát sự hội tụ cho bài toán tấm không nứt 47 4.3. Khảo sát bài toán tấm thép SM490 chịu uốn 50 4.5. Khảo sát tấm hợp kim Titanium Ti-6Al-4V. 55 4.6. Khảo sát tấm thép AISI-4147 70 CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 86 5.1. Kết luận về đề tài 86 4.2. Đề xuất và hướng phát triển đề tài 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO
8. Chương 1: Tổng quan CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU. VỚI ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Tác giả sẽ tìm hiểu về các công trình nghiên cứu trong và ngoài nước có liên quan đến đề tài, các kết quả đạt được trong lĩnh vực cơ học phá hủy và những hạn chế những vấn đề cần phải nghiên cứu. Các kết quả nghiên cứu trong và ngoài nước có liên quan đến trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt. Trong vật liệu trạng thái giới hạn là trạng thái mà nếu vƣợt quá nó thì kết cấu không sử dụng đƣợc. Trạng thái giới hạn về cường độ (kết cấu bị đổ vỡ). Trạng thái giới hạn về biến dạng (kết cấu bị biến dạng lớn đến mức nào đó). Trạng thái giới hạn về khe nứt (bị nứt hoặc bề rộng khe nứt lớn tới một trị số nào đó). Phƣơng pháp tính toán kết cấu Trạng thái giới hạn là phương pháp mới nhất đang được dùng hiện nay, được giáo sư Lôlâytơ (A. F. Lolejt; 1868 - 1933) đặt nền móng từ 1931 nhưng mãi đến năm 1953 lần đầu tiên được đưa vào tiêu chuẩn thiết kế kết cấu. Nội dung cơ bản của phương pháp này là cho phép kết cấu làm việc tới Trạng thái giới hạn. Nhờ xét đến một cách chi tiết hơn các yếu tố ảnh hưởng đến độ an toàn của kết cấu, phương pháp tính theo Trạng thái giới hạn cho kết quả sát với sự làm việc thực của kết cấu và đạt được hiệu quả kinh tế cao hơn. 1.1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC PHÁ HUỶ: Cơ học phá hủy là khoa học chuyên nghiên cứu về độ bền và tuổi thọ của vật liệu, chi tiết máy hoặc cấu kiện có vết nứt thực tế. GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Trang 1 HVTH: Vũ Duy Cảnh
9. Chương 1: Tổng quan Nội dung nghiên cứu gồm: Trường ứng suất và biến dạng ở đầu vết nứt, quy luật phát sinh, lan truyền vết nứt, ảnh hưởng của các loại nhân tố. Cấu trúc vật liệu, chế độ tải trọng, môi trường nhiệt độ ảnh hưởng tới sự lan truyền vết nứt. Các giải pháp điều khiển và kìm hãm sự lan truyền vết nứt, phương pháp tính độ bền và tuổi thọ của các kết cấu theo các chỉ tiêu mới (các chỉ tiêu này được xác định qua thực nghiệm). Phƣơng pháp nghiên cứu là kế thừa lý thuyết đàn hồi, lý thuyết dẻo, lý thuyết vật lý kim loại Cơ học phá hủy xây dựng các giả thiết và các mô hình tính toán, trên cơ sở đó tiến hành các thí nghiệm để kiểm tra hoặc từ các kết quả thực nghiệm khái quát hoá xây dựng các công thức tính toán. Cơ học phá hủy được ứng dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp, luyện kim, xây dựng, hoá chất, đóng tàu, hàng không, tàu vũ trụ, vv. Lịch sử phát triển của cơ học phá hủy: Sử dụng kết quả phân tích ứng suất của Inglis đối với sự phát triển không ổn định của một crack, và ứng dụng định luật thứ nhất của nhiệt động lực học, năm 1920 Griffith đã xây dựng được lý thuyết phá hủy dựa trên sự cân bằng năng lượng cơ bản. 1956, Irwin đã phát triển khái niệm về tốc độ giải phóng năng lượng (The energy release rate) dựa trên lý thuyết của Griffith nhưng ở dạng dễ sử dụng cho việc giải các bài toán kỹ thuật. Sau đó trên cơ sở kết quả tính toán về quan hệ giữa ứng suất và chuyển vị của Westergaard (1938), Irwin đã xây dựng đƣợc phƣơng trình tính một tham số liên quan đến tốc độ giải phóng năng lƣợng, đƣợc gọi là hệ số cường độ ứng suất (the stress intensity factor). Trong những năm 1945 trở lại đây khi nghiên cứu các công trình bị phá hủy, người ta nhận thấy rằng nguyên nhân gây ra phá hủy là do sự xuất hiện của vết nứt GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Trang 2 HVTH: Vũ Duy Cảnh
10. Chương 1: Tổng quan trong kết cấu có ảnh rất lớn, từ đó đã hình thành ngành cơ học phá hủy (Fracture Mechanics). Với việc khảo sát lý thuyết và thực nghiệm về các vết nứt. Ngành cơ học này phát triển rất nhanh. Đó là những công trình nghiên cứu của Irwin, David Broeke Paris, về trường ứng suất ở lân cận đáy vết nứt, sự mở rộng, sự lan truyền của vết nứt với các dạng khác nhau [4, 32] Nhưng vấn đề được đặt ra là cần xác định chính xác vị trí của các vết nứt và trạng thái giới hạn của những chi tiết có vết nứt để từ đó có khả năng dự báo trình trạng làm việc hiện tại của kết cấu, đồng thời có những giải pháp kịp thời ngăn ngừa các tai nạn, thiệt hại có thể xảy ra. Các vết nứt trong các kết cấu cơ khí gây ra sự suy giảm độ cứng cục bộ. Điều này dẫn đến các đặc trưng tĩnh và động học thay đổi theo. Một số nghiên cứu về các đặc trưng này điển hình như: Richard W. Hertzberg. “Cơ học biến dạng và rạn nứt của vật liệu cơ khí” [36]. Irwin, G.R.“Động học rạn nứt”, “Sự rạn nứt của vật liệu” [18] Nguyên nhân của sự suy giảm độ cứng cục bộ là do dạng hình học của đầu vết nứt. Đầu vết nứt thường có dạng nhọn với bán kính tiệm cận bằng không. Độ nhọn này sinh ra các ứng suất cục bộ có khuynh hướng tiến đến vô cùng khi điểm quan tâm càng lúc tiến đến gần đầu vết nứt. Khi đó, các lý thuyết về hỏng hóc, chẳng hạn lý thuyết của Tresca hay Von Mises, không thể ứng dụng được và lực cần thiết để tạo ra chảy dẻo cục bộ hoặc việc bắt đầu cho sự lan truyền của vết nứt không thể dự đoán được. Vì vậy, cần phải có một lý thuyết và những thông số đặc trưng cho tính chất suy biến này. Năm 1956, Irwin đã đưa ra một thông số đặc trưng dưới những điều kiện của cơ học rạn nứt đàn hồi tuyến tính (Linear Elastic Fracture Mechanics-LEFM), nó được biết với cái tên là: Hệ số cường độ ứng suất (Stress Intensity Factor-SIF) [25, 36, 32]. Hệ số này được làm tiêu chuẩn để đánh giá sự lan truyền của vết nứt. Tuy nhiên, việc tính toán hệ số cƣờng độ ứng suất cũng gặp nhiều khó khăn vì hệ số cường độ ứng GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Trang 3 HVTH: Vũ Duy Cảnh
11. Chương 1: Tổng quan suất không những phụ thuộc vào lực tác dụng mà còn phụ thuộc vào đặc trƣng hình học của kết cấu. Trong những thập niên gần đây, các nhà khoa học không ngừng nghiên cứu đưa ra những phương pháp để giải quyết một cách chính xác các vấn đề về rạn nứt. Nhiều phương pháp đã được đưa ra, về lĩnh vực nhận diện và xác định vị trí vết nứt như: P. Cawley, R.D. Adams. “Xác định vị trí và khuyết tật trong kết cấu tấm bằng kết quả đo đạc thực nghiệm tần số tự nhiên” [31]; L.H.Tuấn. “Nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến tần số dao động của kết cấu dầm và khung” [21] Về lĩnh vực đánh giá sự phát triển của vết nứt thông qua việc tính toán hệ số cƣờng độ ứng suất nhƣ: Wu XR, Carlsson AJ. “Hàm trọng số và hệ số cường độ ứng suất” [44]. Brennan FP, Teh LS. “Xác định SIF bằng tổ hợp hàm trọng số” [6]. Chen DH, Nisitani H, Mori K. “Tính toán SIF trên tấm bán vô hạn có vết nứt elip dưới ứng suất kéo” [7]. Chongmin Song*, Zora Vrcelj. “Đánh giá hệ số cường độ và ứng suất T bằng phương pháp điều kiện biên” [8] Vào những năm 1960-1961, lý thuyết cơ học phá hủy do các nhà khoa học xây dựng lúc đó không còn đúng nữa đối với vật liệu dẻo biến dạng. Sau khi nghiên cứu, Wells phát triển lý thuyết về tham số CTOD – crack tip open displacement (độ mở đầu vết nứt) đặc trƣng cho vật liệu dẻo. 1968, Rice đã phát triển một tham số khác nữa đặc trưng cho ứng xử của vật liệu phi tuyến ở đầu vết nứt – J integral. Các lý thuyết nền tảng trên là cơ sở để các nhà khoa học nghiên cứu về lĩnh vực cơ học phá hủy trong các giai đoạn tiếp theo. Ở Việt Nam, một số nghiên cứu thành công trong lĩnh vực này có thể kể đến nhƣ: Chẩn đoán dầm đàn hồi có nhiều vết nứt – Nguyễn Tiến Khiêm – Viện cơ học, Đại học xây dựng Hà Nội. GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Trang 4 HVTH: Vũ Duy Cảnh
12. Chương 1: Tổng quan Nhận dạng vết nứt trong kết cấu dầm khung – Nguyễn Xuân Hùng – Viện cơ học ứng dụng Tp. HCM. Nhận dạng vết nứt trong kết cấu giàn khoan – Nguyễn Xuân Hùng, Nguyễn Xuân Hoàng - Viện cơ học ứng dụng Tp. HCM – Trung tâm khoa học tự nhiên và công nghệ quốc gia Việt Nam. Nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến tần số dao động của kết cấu dầm khung – Đỗ Kiến Quốc, Lê Hoàng Tuấn – Trường ĐHBK Tp. HCM 1998. Nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến đặc trưng động lực học của kết cấu tấm mỏng – Nguyễn Phi Hùng - Luận văn thạc sĩ trường ĐHBK Tp.HCM 2003. Với đề tài: Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Trong luận văn này, trước tiên tác giả sử dụng Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (FEM) viết chƣơng trình bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để: Phân tích tĩnh học, động học, cho bài toán tấm mỏng. Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt thông qua việc phân tích hệ số cường độ ứng suất K. Nhằm tăng độ chính xác của phương pháp cũng như của bài toán, tác giả chọn mô hình Phần tử đẳng tham số tứ giác bậc hai (8 nút), kết hợp với Phần tử đẳng tham số tam giác bậc hai (do phần tử đẳng tham số tứ giác bậc hai suy biến tạo nên, với nút giữa của cạnh dịch chuyển về vị trí ¼ chiều dài cạnh) do Barsoum đề xuất. Việc sử dụng Phần tử đẳng tham số tứ giác bậc hai (8 nút) và Phần tử tam giác suy biến điểm 1/4 đã mang lại kết quả rất tốt cho việc xác định hệ số cƣờng độ ứng suất K [22, 33, 34, 39]. Tóm lại: Nghiên cứu về bài toán tấm, nghiên cứu về trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt luôn có ý nghĩa lớn lao cho việc ứng dụng vào các kết cấu hữu dụng hiện hữu xung quanh chúng ta, ví dụ như sàn nhà, vách, nắp hoặc đáy bunker, hồ nước v.v GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Trang 5 HVTH: Vũ Duy Cảnh
13. Chương 1: Tổng quan Các tính toán giải tích truyền thống đa phần dựa trên lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff với giả thuyết về mặt trung bình không biến dạng đã được phát triển, dù rất tốt với các lời giải của Ritz, Reyleigh, Lévy, Navier v.v Những đề tài này cũng chỉ giới hạn với một số điều kiện biên nhất định và phần lớn chỉ là dùng để giải tìm nội lực mà thôi. Đối với phân tích động lực học bài toán tấm, phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng thì các nghiên cứu giải tích dựa trên định luật Newton, phương trình công ảo v.v còn hạn chế hơn nữa vì các khó khăn về mặt toán học. Một số các phương pháp xấp xỉ như phương pháp biến phân, Galerkin v.v cũng được phát triển để giải quyết các khó khăn của các phương pháp truyền thống tuy nhiên cũng gặp phải các khó khăn tương tự. Cùng với sự phát triển của công nghệ máy tính hiện nay, các tiếp cận sử dụng phương pháp số như phần tử hữu hạn, phần tử biên, phương pháp không phần tử (meshless) v.v đã được nghiên cứu áp dụng và cho kết quả rất tốt. Các khó khăn vì khối lượng tính toán nhiều đã được máy tính với tốc độ và khả năng xử lý cao giải quyết. Trong tất cả các phƣơng pháp số thì phƣơng pháp phần tử hữu hạn có thể đƣợc xem nhƣ một công cụ rất mạnh để giải quyết hầu hết tất cả các bài toán cơ hiện nay đặc biệt là bài toán tấm. Với mong muốn đóng góp vào việc nghiên cứu và phát triển các vấn đề cơ học rạn nứt trong những bài toán tấm bằng phương pháp mới, tác giả đã chọn đề tài : Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn. 1.2 SỰ PHÁT TRIỂN CỦA BÀI TOÁN DAO ĐỘNG. Lịch sử hình thành và phát triển của bài toán dao động: Bài toán phân tích dao động với những ý tưởng đầu tiên khởi đầu từ những thập niên cuối thế kỷ 16 và đầu thế kỷ 17. GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Trang 6 HVTH: Vũ Duy Cảnh
14. Chương 1: Tổng quan Galileo (1564-1642) là ngƣời đầu tiên đi đầu trong lĩnh vực phân tích dao động với bài toán dao động của con lắc đơn. Ông cũng đã có nhiều thí nghiệm về các hệ dây và tấm phẳng nhưng chưa có một lời giải chính xác bằng giải tích cho các hệ này. Chỉ vài thập niên sau, Joseph Sauveur (1653-1716) đã tính đƣợc giá trị gần đúng tần số cơ bản của một hệ dao động là một hàm theo chuyển vị được đo tại tâm của nó, tương tự như cách thức tính tần số riêng của hệ dao động lò xo và khối lượng một bậc tự do từ chuyển vị tĩnh. Và đây cũng chính là thời kỳ mà khoa học gặt hái được nhiều thành quả nhất. Đầu tiên là: Robert Hooke (1635-1703) đã thiết lập được định luật đàn hồi cơ bản F=kX tiếp theo là. Newton (1642-1727) thiết lập công thức lực quán tính bằng tích số khối lượng và gia tốc chuyển động cơ hệ F=ma. Leibnitz (1646 - 1716) thiết lập được phép tính vi phân . Năm 1713, nhà toán học người Anh tên Brook Taylor (1658-1731) đã kết hợp tiếp cận vi phân với định luật hai Newton đã ứng dụng một phần tử của dây liên tục để tính toán giá trị thực của tần số cơ bản. Sự tiếp cận này dựa trên nền tảng của dạng dao động đầu tiên được giả định. Năm 1747, Jean Le Rond d’Almbert (1717-1783) đã tìm thấy nguồn gốc của phương trình vi phân truyền sóng. Nguyên lý chồng chất của các mode dao động được Daniel Bernoulli đưa ra đầu tiên vào năm 1747 và cho đến năm 1753, Euler đã chứng minh được nguyên lý này. Phương trình dao động ngang của dầm chịu uốn được Daniel Bernoulli tìm thấy vào năm 1735. Euler là người đã tìm ra các lời giải đầu tiên cho bài toán dầm đơn giản hai gối tựa và công bố trước khoa học vào năm 1744. Các công trình nghiên cứu về dao động của tấm cũng tiến triển nhanh trong giai đoạn này. Chịu ảnh hưởng thành công của Euler trong việc tìm ra phương trình dao động của màng bằng cách khảo sát sự chồng chất của các dây, James Brnoulli đã cố công tìm kiếm phương trình dao động của tấm bằng cách khảo sát sự chồng chất của các dầm giao nhau nhưng kết quả không có gì mỹ mãn. GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Trang 7 HVTH: Vũ Duy Cảnh
15. Chương 1: Tổng quan Cuối cùng vào năm 1811: nhà khoa học Sophie Germaine (1776-1831) đã cho lời giải gần nhƣ chính xác về phƣơng trình dao động của tấm. Độ cứng chống uốn và hằng số khối lượng riêng cũng như các điều kiện biên vẫn chưa được phát biểu đúng trong thời gian này. Lagrange là người đã tìm ra lời giải chính xác phương trình dao động quen thuộc của tấm hiện nay vào năm 1811 [31]. 1.3 SỰ PHÁT TRIỂN CỦA BÀI TOÁN TẤM CHỊU UỐN. Lịch sử hình thành và phát triển của bài toán tấm chịu uốn: Vào những năm đầu thế kỷ 19, các bài toán tấm chịu uốn được giải bằng các mô hình giải tích, tiêu biểu là công trình của S. Germaine (1776-1831), Lagrange (1736-1813) và Poisson (1781-1840). Từ những thành tựu này dẫn đến sự ra đời Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff, trong đó các biến dạng trượt được bỏ qua. Năm 1828, Poisson hoài nghi về các điều kiện biên và cho rằng cần ba điều kiện biên trên mỗi biên tự do. Tiếp đến, ông đã xác định chính xác độ cứng chống uốn vào năm 1829. Tuy nhiên, các điều kiện biên tương thích thì không được triển khai, cho đến năm 1850 Kirchhoff (1824-1887) mới đề ra Lời giải chính xác đối với tấm tròn cũng được ông công bố sau đó. Kirchhoff đưa ra lý do là hai điều kiện biên thì thích hợp hơn ba và định nghĩa lực cắt tương đương đặc biệt để giảm số lực trên biên tự do từ ba xuống còn hai. Sau đó vào năm 1883, T. William (1824-1907) và G.T. Peter (1831-1901) bổ sung biểu thức liên hệ năng lượng của lực cắt tương đương với sự giải thích rõ ràng về vật lý [1, 4, 38]. Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff là lý thuyết tấm đơn giản nhất được sử dụng rộng rãi để phân tích tấm. Tính đơn giản thể hiện bằng việc giả thiết rằng, trước và sau biến dạng pháp tuyến vẫn thẳng và vuông góc với mặt phẳng trung bình của tấm. Giả thiết này có nghĩa là bỏ qua biến dạng trượt trong tấm, nó chỉ đúng đối với tấm mỏng còn tấm dày sẽ cho lời giải với sai số lớn. GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Trang 8 HVTH: Vũ Duy Cảnh
16. Chương 1: Tổng quan Năm 1945, E. Reissner công bố lý thuyết tấm chính xác hơn bằng cách kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt trong tấm đàn hồi chịu uốn. Lý thuyết Reissner không yêu cầu hệ số hiệu chỉnh cắt bởi vì nó được thành lập bằng cách giả định sự phân bố ứng suất tiếp theo quy luật Parabol qua chiều dày của tấm. Sau đó vào năm 1951, R.D. Mindlin đưa ra lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của quán tính quay và biến dạng trượt trong dao động uốn của tấm đàn hồi đẳng hướng hoàn toàn tương thích với lý thuyết của Reissner. Lý thuyết Mindlin cho phép các pháp tuyến chịu các góc xoay bằng hằng số xoay quanh mặt phẳng trung bình trong suốt quá trình biến dạng. Tuy nhiên, sự nới lỏng về giả thiết pháp tuyến này vi phạm yêu cầu về tĩnh học, đó là ứng suất tiếp phải bằng không tại biên tự do của tấm. Để khắc phục sai sót đó, người ta đưa ra hệ số hiệu chỉnh lực cắt. Lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang được gọi là lý thuyết tấm Reissner-Mindlin. Lý thuyết này đã mở rộng lĩnh vực ứng dụng lý thuyết tấm vào trường hợp tấm dày và tấm trung bình [1, 38]. 1.4 TỔNG QUAN VỀ PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (PTHH) Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (Finite element method) là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả trong việc giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng, bằng cách rời rạc hóa các phương trình này theo các không gian nghiên cứu. Thuật ngữ Phần tử hữu hạn (Finite element) được biết đến với công trình nghiên cứu của R. W. Clough năm 1960. Ông đã đề nghị sử dụng phương pháp này như là một sự lựa chọn cho phương pháp sai phân hữu hạn đối với lời giải số của bài toán tập trung ứng suất trong cơ học môi trường liên tục. Sau đó, phương pháp phần tử hữu hạn tiếp tục phát triển và hoàn thiện với các cống hiến của nhiều nhà khoa học, có thể kể đến như: O. C Zienkiewicz, R. L. Taylor (1967, 1971, 1977, 1989), G. Strang, G. Fix (1973), J. N. Reddy (1984, 1993), S. S. Rao (1982, 1989), T. J. T. Hughes (1979), R. H Gallagher (1975), E. L. Wilson (1971), GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Trang 9 HVTH: Vũ Duy Cảnh
17. Chương 1: Tổng quan Trong cùng thời kỳ, sự phát triển rất nhanh của ngành công nghệ máy tính, nhiều công trình nghiên cứu lớn đã được triển khai bằng phân tích phần tử hữu hạn. Từ đó, phương pháp này ngày càng được sử dụng rộng rãi trong thực tiễn [12, 25, 27, 29, 40, 45]. 1.5 NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU. Đề tài: Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Các nội dung nghiên cứu chính trong luận văn: Nghiên cứu cơ sở lý thuyết cho đề tài đó là lý thuyết về cơ học rạn nứt, lý thuyết đàn hồi và lý thuyết tấm mỏng. Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn và ngôn ngữ lập trình Matlab phục vụ cho đề tài trong việc lập trình tính toán và phân tích những dữ liệu tìm được. Khảo sát sự hội tụ cho bài toán tấm không nứt, vật liệu là thép tấm SM490 Khảo sát tấm chịu uốn làm bằng vật liệu thép SM490, một tấm có một vết nứt ở biên và một tấm có vết nứt ở giữa. Sử dụng phân tích phần tử hữu hạn - FEA (Finite Element Analysis) kết hợp với ngôn ngữ Matlab viết chương trình tính toán tĩnh học, động học, động lực học tìm tần số dao động riêng của các mode dao động, đáp ứng chuyển vị và vận tốc của từng nút. Khảo sát tấm chịu kéo, tấm thép hợp kim Titanium Ti-6Al-4V có một vết nứt ở biên, tấm thép AISI-4147 có một vết nứt ở giữa. Sử dụng phần tử tam giác suy biến điểm ¼ do Barsoum đề xuất nhằm tính hệ số cường độ ứng suất (Stress Intensity Factor – SIF) của chi tiết tấm chịu kéo có vết nứt. Cuối cùng, tác giả sẽ đưa ra các kết luận về kết quả đạt được, nêu lên các vấn đề đã giải quyết được, các vấn đề còn tồn đọng chưa được giải quyết và đề xuất hướng phát triển của đề tài. GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Trang 10 HVTH: Vũ Duy Cảnh
18. Chương 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM CHƢƠNG 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM. 2.1. LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT Do giới hạn của đề tài, tác giả trình bày một cách khái quát về các đặc trƣng đàn hồi của vết nứt trong phạm vi cơ học rạn nứt đàn hồi tuyến tính, trình bày phần tử suy biến nhằm mô tả sự kỳ dị của ứng suất ở đáy vết nứt. Qua đó tác giả chọn phần tử đẳng tham số Barsoum ứng dụng vào bài toán khảo sát nhằm tăng độ chính xác, làm cơ sở để giải quyết các vấn đề đã đề ra [20, 22, 23]. 2.1.1. Ảnh hưởng của vết nứt đến độ bền kết cấu [50] Khảo sát các kết cấu đã hình thành vết nứt, ngƣời ta nhận thấy rằng, kích thƣớc của vết nứt sẽ phát triển nhanh theo thời gian dƣới tác dụng của tải trọng hoặc các tác nhân môi trƣờng so với các kết cấu hoàn toàn không có nứt. Sự tập trung ứng suất càng cao đối với các vết nứt càng lớn. Khả năng làm việc của kết cấu giảm đáng kể theo sự tăng dần kích thƣớc của vết nứt. Qui luật lan truyền của vết nứt là một hàm theo thời gian và có thể biểu diễn bằng các đƣờng cong cho trên Hình 2.1a Khả năng làm việc của kết cấu giảm đáng kể theo sự tăng dần kích thƣớc của vết nứt. Giới hạn bền của kết cấu cũng suy giảm theo sự tăng dần kích thƣớc của vết nứt, Hình 2.1b. Sau một thời gian nhất định, giới hạn bền kết cấu giảm dần và không đủ khả năng để chịu một tải trọng lớn bất thƣờng có thể xảy ra trong quá trình làm việc của kết cấu. Đây chính là nguyên nhân dẫn đến kết cấu bị phá hủy. Trong trƣờng hợp tác dụng của tải trọng bất thƣờng có thể không xảy ra, lúc đó vết nứt tiếp tục phát triển cho đến khi giới hạn bền giảm đến mức thấp nhất, sự phá hủy kết cấu sẽ xảy ra ngay ở tải trọng tác dụng bình thƣờng. GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Trang 11 HVTH: Vũ Duy Cảnh
19. Chương 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM Kích thƣớc Giới vết nứt hạn bền Giới hạn bền khi thiết kế Khả năng chịu tải lớn nhất Khả năng chịu tải bình thƣờng Phá hủy có thể Phá xảy ra hủy Tần số Kích thƣớc vết Thời gian a) b) nứt (t) Thời gian (t) Hình 2.1: Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số và độ bền kết cấu 2.1.2. Ứng suất và chuyển vị tại đáy vết nứt Trong bài toán tổng quát ba chiều, có ba kiểu hình thành vết nứt có thể xảy ra: a) Kiểu I b) Kiểu II c) Kiểu III Hình 2.2: Các kiểu hình thành vết nứt - Kiểu I: Vết nứt có dạng mở rộng tách vuông góc, Hình 2.2a. - Kiểu II: Vết nứt có dạng trƣợt dọc, Hình 2.2b. - Kiểu III: Vết nứt có dạng trƣợt ngang, Hình 2.2c. Khi ứng suất bình thƣờng trong kết cấu gia tăng có thể dẫn đến sự hình thành vết nứt theo kiểu I. Bề mặt của vết nứt di chuyển theo phƣơng vuông góc với mặt phẳng có chứa vết nứt. Kiểu II thƣờng hình thành dƣới tác dụng của lực cắt trong mặt phẳng. Khi đó, sự chuyển dịch của bề mặt vết nứt ở trong mặt phẳng của vết nứt và vuông góc với cạnh có chứa vết nứt. Kiểu III thƣờng xảy ra do tác dụng của các lực cắt ngoài mặt phẳng, chuyển dịch của bề mặt vết nứt ở trong mặt phẳng của vết nứt và song song với cạnh có chứa vết nứt. GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Trang 12 HVTH: Vũ Duy Cảnh
20. Chương 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM Khảo sát vết nứt trên một tấm vô hạn có bề dày không đổi chịu ứng suất kéo phân bố, Hình 2.3 y y xy dy x r dx  x 2a Hình 2.3: Vết nứt trong trường hợp ứng suất kéo Khi đó, ứng suất tại một điểm bất kỳ trong lân cận đáy vết nứt đối với kiểu hình thành vết nứt kiểu I cho vật liệu đàn hồi đẳng hƣớng đƣợc xác định: a   3  x . .cos . 1 sin .sin 2r 2 2 2 a   3 (2.1)  y . .cos . 1 sin .sin 2r 2 2 2 a   3  xy . .sin .cos .cos 2r 2 2 2 Ứng suất tại những điểm lân cận đáy vết nứt phụ thuộc vào khoảng cách r. Các ứng suất này sẽ tiến đến vô hạn (kỳ dị) khi r 0 (đáy vết nứt). Điều này không phù hợp với thực tế, cho nên khái niệm Hệ số cường độ ứng suất [17, 41] đƣợc đƣa ra nhằm giải quyết sự kỳ dị ở đáy vết nứt và thể hiện đặc trƣng của vết nứt ở lân cận đáy vết nứt. Từ đó, công thức (2.1) có thể viết lại: K I   3  x .cos . 1 sin .sin 2 r 2 2 2 K   3 I (2.2)  y .cos . 1 sin .sin 2 r 2 2 2 K I   3  xy .sin .cos .cos 2 r 2 2 2 Chuyển vị: GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Trang 13 HVTH: Vũ Duy Cảnh
21. Chương 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM K1 r  2  ux . .cos .  1 2sin 2G 2 2 2 (2.3) K r   u 1 . .cos .  1 2sin 2 y 2G 2 2 2 Trong đó: 3   : đối với bài toán ứng suất phẳng 1  G : module trƣợt.  : hệ số poisson Ở mặt phẳng  0 , K1   , xy 0 (2.4) x y 2 r Đối với các kiểu hình thành vết nứt thứ II và thứ III, ứng suất và chuyển vị ở lân cận đáy vết nứt là: K II   3  x .sin . 2 cos .cos 2 r 2 2 2 K II   3 (2.5)  y .sin .cos .cos 2 r 2 2 2 K II   3  xy .cos . 1 sin .sin 2 r 2 2 2 K II r  2  ux . .sin .  1 2cos 2G 2 2 2 (2.6) K r   u II . .cos .  1 2sin 2 y 2G 2 2 2 K III   xz .sin 2 r 2 K III  (2.7)  yz .cos 2 r 2 K III r  u z . .sin  2 2 Trong đó: KI, KII, KIII là hệ số cƣờng độ ứng suất của dạng nứt kiểu I, kiểu II và kiểu III tƣơng ứng. Nếu trong cấu trúc có sự kết hợp của 3 kiểu mở rộng vết nứt xảy ra cùng một lúc thì: GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Trang 14 HVTH: Vũ Duy Cảnh
22. S K C 0 0 4 1 6 0