Luận văn Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4 (Phần 1)

Nội dung text: Luận văn Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4 (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ MAI VĂN CHƯƠNG PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM CÓ VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP NÚT ẢO DÙNG PHẦN TỬ TẤM MITC4 NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP : 60.58.02.08 S K C0 0 5 0 8 0 Tp. Hồ Chí Minh, tháng 4/2016
2. LÝ LỊCH CÁ NHÂN I. LÝ LỊCH SƠ LƢỢC: Họ & tên: Mai Văn Chƣơng Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 01 – 12 – 1988 Nơi sinh: Bình Định Quê quán: Canh Hiển – Vân Canh – Bình Định Dân tộc: Kinh Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc: Điện thoại cơ quan: Điện thoại nhà riêng: E-mail: chuongmaivan@gmail.com II. QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO: 1. Trung học chuyên nghiệp: Hệ đào tạo: Thời gian đào tạo: Nơi học (trƣờng, thành phố): Ngành học: 2. Đại học: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo từ 09/2006 đến 01/2011 Nơi học (trƣờng, thành phố): Đại Học Sƣ Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh. Ngành học: Xây dựng dân dụng và công nghiệp. Tên đồ án, luận án hoặc môn thi tốt nghiệp: Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hoặc thi tốt nghiệp: Ngƣời hƣớng dẫn: III. QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC CHUYÊN MÔN KỂ TỪ KHI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: Thời gian Nơi công tác Công việc đảm nhiệm Công ty Cổ Phần Tƣ vấn Kỹ thuật 4/2011 – 11/2015 CB kỹ thuật Xây dựng Nam An Trung tâm Kỹ thuật Tiêu chuẩn 12/2016 - nay CB ban QLDA Đo lƣờng Chất lƣợng 3 i
3. LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Châu Đình Thành. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 5 năm 2016 Mai Văn Chƣơng ii
4. LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hƣớng dẫn khoa học là TS. Châu Đình Thành đã gợi nên ý tƣởng của đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ, hƣớng dẫn và cung cấp các tài liệu cần thiết để tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ này. Xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Xây Dựng và Cơ Học Ứng Dụng của trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và chỉ bảo trong thời gian tôi học tập và nghiên cứu ở đây. Cuối cùng tôi muốn gởi lời cảm ơn chân thành đến tất cả ngƣời thân trong gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Vì kiến thức có hạn nên không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tôi rất mong đƣợc sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô giáo, bạn bè và đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 05 năm 2016 Mai Văn Chƣơng iii
5. TÓM TẮT Nội dung luận văn tập trung trình bày về việc sử dụng phƣơng pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4 để phân tích kết cấu có vết nứt mà không chia lại lƣới khi vết nứt phát triển. Vết nứt có thể cắt hoàn toàn qua phần tử hoặc chỉ cắt một phần phần nhằm thể hiện chuyển vị không liên tục ngang qua vết nứt. Các phần tử chồng lên nhau tại vị trí vết nứt và sẽ đƣợc tích phân từng. Luận văn cũng xem xét đến trƣờng hợp phần tử có chứa mũi vết nứt mà ở đó quan hệ động học giữa các phần tử chồng lên nhau đƣợc thiết lập sao cho không có bƣớc nhảy của chuyển vị tại mũi vết nứt. Đây là sự khác biệt của đề tài vì đối với phần tử bốn nút các nghiên cứu trƣớc đây chỉ cho phép mũi vết nứt nằm trên cạnh phần tử. Phần mềm Pre - Post processor GiD đƣợc sử dụng để mô hình, chia lƣới và khai báo các dữ liệu ban đầu của bài toán. Đây là dữ liệu đầu vào cho chƣơng trình đƣợc viết bằng ngôn ngữ Fortran, trên môi trƣờng Visual Studio 2008. Sau khi chạy chƣơng trình kết quả sẽ đƣợc tạo theo định dạng của GID để biểu diễn ứng suất, chuyển vị của bài toán. Phƣơng pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4 đƣợc trình bày trong luận văn đã cho kết quả tính toán hệ số tập trung ứng suất phù hợp với các tài liệu tham khảo điều này thể hiện đƣợc sự hiệu quả của phƣơng pháp khi mô phỏng bài toán tấm có vết nứt. iv
6. MỤC LỤC DANH SÁCH CÁC HÌNH viii DANH SÁCH CÁC BẢNG x CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN 1 1.1. Tổng quan chung về tình hình nghiên cứu 1 1.1.1. Tầm quan trọng của việc phân tích kết cấu có vết nứt 1 1.1.2. Mô phỏng và tính toán kết cấu có vết nứt 1 1.1.3. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nƣớc 4 1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài 5 1.2.1. Mục đích 5 1.2.2. Nhiệm vụ 5 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của luận văn 5 1.3.1. Đối tƣợng nghiên cứu 5 1.3.2. Mục đích nghiên cứu 5 1.4. Phƣơng pháp luận và phƣơng pháp nghiên cứu của luận văn 5 1.4.1. Nghiên cứu lý thuyết 5 1.4.2. Lập trình 6 1.4.3. Mô phỏng tính toán phân tích 6 1.4.4. Kiểm tra kết quả 6 1.5. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của luận văn 6 CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP NÚT ẢO CHO PHẦN TỬ TẤM MITC4 7 2.1. Phần tử không nứt 7 2.2. Phần tử nứt hoàn toàn 11 2.3. Phần tử nứt một phần 12 2.3.1. Phần tử nứt một phần dạng 1 13 2.3.2. Phần tử nứt một phần dạng 2 16 2.3.3. Phần tử nứt một phần dạng 3 17 2.3.4. Phần tử nứt một phần dạng 4 18 2.4. Phƣơng trình cân bằng 19 2.5. Tích phân số 20 CHƢƠNG 3: TÍNH HỆ SỐ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT 22 3.1. Giới thiệu 22 v
7. 3.1.1. Định nghĩa hệ số tập trung ứng suất (SIF) 22 3.1.2. Phân loại hệ số tập trung ứng suất (SIF) 22 3.2. Tính hệ số tập trung ứng suất 23 3.2.1. Đối với vật thể có kích thƣớc hữu hạn 23 3.2.2. Tải trọng màng 23 3.2.3. Tải trọng uốn – Lý thuyết Kirchhoff 23 3.2.4. Tải trọng uốn – lý thuyết Reinsser 23 3.3. Cách tính SIF bằng phƣơng pháp tích phân tƣơng tác 24 3.3.1. Giới thiệu 24 3.3.2. Cách tính 24 CHƢƠNG 4: CÁC VÍ DỤ SỐ MINH HỌA 27 4.1. Bài toán ứng suất phẳng 27 4.1.1. Tìm hệ số tập trung ứng suất cho tấm chịu kéo 27 4.1.2. Tìm hệ số tập trung ứng suất cho tấm chịu cắt 30 4.2. Bài toán tấm chịu uốn 33 4.2.1. Tìm SIF cho tấm chịu ứng suất uốn phân bố đều 33 4.2.1.1. Tấm có bốn biên tựa đơn chịu uốn 33 4.2.1.2. Tấm có hai biên tựa đơn, hai biên tự do 35 4.2.2. Tìm SIF cho tấm chịu tác dụng của mô ment uốn 36 4.2.2.1. Tấm chữ nhật chịu uốn có vết nứt ở giữa 36 4.2.2.2. Tấm vuống chịu uốn có vết nứt ở biên 39 CHƢƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 42 5.1. Kết luận 42 5.2. Kiến nghị 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 vi
8. DANH SÁCH CÁC HÌNH Hình 2.1: Phân loại phần tử tấm có vết nứt cắt qua 7 Hình 2.2: Phần tử tấm MITC4 7 Hình 2.3: Phần tử ttrong mặt phẳng x - y 9 Hình 2.4: Hai trƣờng hợp phần tử nứt hoàn toàn 11 Hình 2.5: Phần tử bị nứt một phần 13 Hình 2.6: Phần tử bị nứt một phần (Dạng 1) 13 Hình 2.7: Phần tử bị nứt một phần (Dạng 2) 16 Hình 2.8: Phần tử bị nứt một phần (Dạng 3) 17 Hình 2.9: Phần tử bị nứt một phần (Dạng 4) 18 Hình 2.10: Ánh xạ của tam giác phụ chứa vết nứt 21 Hình 2.11: Các tam giác phụ chứa vết nứt 21 Hình 2.12: Các miền thực của tam giác phụ chứa vết nứt 21 Hình 3.1: Các dạng của hệ số tập trung ứng suất 22 Hình 3.2: Ứng suất trên phân tố 24 Hình 3.3: Tích phân tƣơng tác - J 25 Hình 4.1: Tấm chữ nhật chịu kéo 27 Hình 4.2: Chia lƣới cho phần tử 28 Hình 4.3: Giá trị chuẩn hóa của KI của tấm chữ nhật chịu kéo 29 Hình 4.4: Giá trị chuyển vị của tấm 29 Hình 4.5: Tấm chữ nhật chịu cắt 30 Hình 4.6: Giá trị chuẩn hóa KI của tấm chữ nhật chịu cắt 31 Hình 4.7: Giá trị chuẩn hóa KII của tấm chữ nhật chịu cắt 31 vii
9. Hình 4.8: Chuyển vị của tấm chịu cắt 32 Hình 4.9: Tấm vuông chịu uốn bốn biên tựa 33 Hình 4.10: Giá trị tích phân J bốn biên tự với b/h=6 34 Hình 4.11: Giá trị tích phân J bốn biên tựa với b/h=10 34 Hình 4.12: Tấm vuông chịu uốn hai biên tựa 35 Hình 4.13: Giá trị tích phân J hai biên tựa với b/h=6 35 Hình 4.14: Giá trị tích phân J hai biên tựa với b/h=10 36 Hình 4.15: Tấm có vết nứt ở giữa chịu tác dụng mô ment uốn 37 Hình 4.16: Các lƣới chia khác nhau của bài toán 37 Hình 4.17: Sai số của hệ số tập trung ứng suất 38 Hình 4.18: Tấm vuông có hai vết nứt ở cạnh đối xứng 39 Hình 4.19: Mô hình tƣơng đƣơng 40 Hình 4.20: Mô hình lƣới chia của bài toán 40 Hình 4.21: Tích phân J của tấm vuông chịu uốn 41 viii
10. DANH SÁCH CÁC BẢNG Bảng 4.1: Giá trị hệ số tập trung ứng suất KI của tấm chịu kéo 28 Bảng 4.2: Giá trị chuẩn hóa KI của tấm chịu kéo 28 Bảng 4.3: Hệ số tập trung ứng suất KI, KII của tấm chịu cắt 30 Bảng 4.4: Giá trị chuẩn hóa KI và KII của tấm chịu cắt 31 Bảng 4.5: Sai số SIF của tấm chữ nhật vết nứt ở giữa chịu mô ment uốn 38 Bảng 4.6: Giá trị tích phân J của tấm vuông vết nứt ở biên chịu mô ment uốn 41 ix
11. CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN 1.1. Tổng quan chung về tính hình nghiên cứu 1.1.1. Tầm quan trọng của việc phân tích kết cấu có vết nứt Trong quá trình làm việc của các cơ cấu kỹ thuật thƣờng xuất hiện các vết nứt do các lỗi vật liệu, tính toán không phù hợp với điều kiện làm việc thực tế, vật liệu bị mỏi, quá tải hoặc các vấn đề khó lƣờng khác điều này dẫn đến phải tốn chi phí rất lớn để sửa chữa và bảo trì. Và đã có nhiều tai nạn nghiêm trọng đối với công trình do sự xuất hiện vết nứt ở các cấu kiện chịu lực chính. Chính vì vậy, việc kịp thời xác định đánh giá sự nguy hiểm của các vết nứt trong kết cấu là giải pháp hữu hiệu nhất để tránh các tai nạn có thể xảy ra. Do đó, việc phân tích đánh giá chính xác vị trí, hƣớng phát triển của vết nứt là vấn đề quan trọng, cần thiết và hiện vẫn là đề tài thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu và các kĩ sƣ thể hiện qua các công trình nghiên cứu về kết cấu có vết nứt đƣợc công bố trên các tạp chí trong và ngoài nƣớc. 1.1.2. Mô phỏng và tính toán kết cấu có vết nứt bằng phƣơng pháp số Để phân tích các thành phần hoặc các cấu trúc chứa các vết nứt, các phƣơng pháp giải tích có thể đƣợc sử dụng. Tuy nhiên phƣơng pháp giải tích chỉ giải quyết vấn đề nứt với kết cấu có dạng hình học và điều kiện biên tƣơng đối đơn giản. Tuy nhiên trong cơ học rạn nứt, có nhiều bài toán thực tiễn mà ta không thể cho ra lời giải chính xác, nguyên nhân có thể là do sự phức tạp của các phƣơng trình ứng xử, hay khó khăn đến từ điều kiện biên hay điều kiện ban đầu. Để giải quyết những trở ngại đó, phƣơng pháp số đã đƣợc sử dụng. Khi phân tích kết cấu có vết nứt phải xây dựng đƣợc đồng thời mô hình kết cấu và mô hình vết nứt trong kết cấu. Sau đó, phân tích tính toán vết nứt dựa trên mô hình đã xây dựng bằng phƣơng pháp số. Các phƣơng pháp số phân tích tính toán vết nứt chủ yếu hiện nay đƣợc chia làm ba nhóm dựa trên xấp xỉ chuyển vị và kỹ thuật rời rạc của miền phần tử: - Nhóm phƣơng pháp chia lại lƣới (FEM, BEM); - Nhóm phƣơng pháp không chia lƣới (Meshless); 1
12. - Nhóm không chia lại lƣới (XFEM, Phantom-node). Mỗi phƣơng pháp đều có ƣu nhƣợc điểm riêng, và hiện nay vẫn đang đƣợc nghiên cứu và phát triển cho hoàn thiện hơn. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (FEM) đƣợc bắt đầu phát triển bởi Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant 1942. Từ thập niên 1950 đến 1970, nó đƣợc phát triển bởi các kỹ sƣ và các nhà toán học thành một phƣơng pháp tổng quát để giải các phƣơng trình đạo hàm riêng. FEM là một trong những phƣơng pháp phổ biến nhất để phân tích cấu trúc nứt cụ thể nhƣ nghiên cứu mở đƣờng của Williams [1], chỉ ra dao động riêng lẻ của trƣờng ứng suất quanh mũi vết nứt giữa các vật liệu khác nhau; Erdogan [2,3] Tuy nhiên, thách thức đối với FEM trong việc chia lại lƣới khi mô hình sự lan truyền của vết nứt. Để khắc phục những khó khăn trên Phƣơng pháp phần tử biên BEM ra đời khoảng thập niên 1970s [8]. Khác với FEM còn gọi là phƣơng pháp miền, BEM là phƣơng pháp số liên quan đến những phƣơng trình tích phân trên biên mà nền tảng là công thức Green. Phƣơng pháp này nhằm làm giảm số chiều không gian, ví dụ tính toán vấn đề không gian ba chiều thì sự rời rạc hóa chỉ diễn ra trên bề mặt biên và không gian hai chiều mà thôi. Tuy nhiên cơ sở toán học và thuật toán của BEM tƣơng đối phức tạp. Trƣớc những khó khăn của hai phƣơng pháp trên trong việc phải mô hình lƣới chia cho bài toán thì phƣơng pháp không lƣới Phƣơng pháp Meshless [9, 10] là phƣơng pháp dùng để thiết lập một hệ phƣơng trình đại số cho toàn bộ các vấn đề của miền bài toán mà không cần xác định trƣớc lƣới chia, hoặc sử dụng lƣới chia một cách tự do hơn. Phƣơng pháp Meshess sử dụng tập hợp các nút nằm phân tán trong miền hay trên biên để trình bày về miền và biên đó. Hàm của miền sẽ đƣợc xấp xỉ cục bộ thông qua các nút đó. Tuy nhiên, hàm dạng của phƣơng pháp thƣờng không thỏa điều kiện Kronecker delta vì thế áp điều kiện biên trực tiếp rất khó khăn. Hiện nay, FEM là một trong những phƣơng pháp số đƣợc phát triển và sử dụng mạnh mẽ nhất để phân tích tính toán trên một phạm vi rộng những kết cấu phức tạp về hình dạng, điều kiện biên hay tải trọng, tính chất vật liệu. FEM đã đƣợc ứng dụng để phân tích bài toán tuyến tính hai chiều, ba chiều, đối xứng trục, dầm, tấm vỏ Ngoài ra, FEM còn đƣợc dùng để phân tích bài toán phi tuyến hình học, vật liệu với mức độ tin cậy cao. FEM cũng đƣợc áp dụng để tính toán hệ số tập trung ứng suất của kết cấu có vết nứt[4, 6]hoặc sự phát triển của vết với độ chính xác chấp nhận đƣợc. Để khắc phục khó khăn trong việc chia lại lƣới thì phƣơng pháp phần tử hữu hạn mở rộng XFEM ra đời. 2
13. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) [5] là công cụ có thể xem là mạnh mẽ nhất hiện nay cho việc phân tích vấn đề có liên quan đến sự không liên tục (gián đoạn) nhƣ là vết nứt hay tƣơng tác của kết cấu lỏng hay mặt phân cách vật liệu, mà không cần chia lƣới lại XFEM thƣờng đƣợc dùng để tính toán các trƣờng ứng suất và chuyển vị cần thiết để xác định sự phát triển của vết nứt, và hiện nay có rất nhiều ứng dụng: nghiên cứu vết nứt phát triển với ma sát [5], vết nứt phân nhánh tùy ý và giao nhau [16], sự phát triển vết nứt ba chiều [14], vấn đề không liên tục của vật liệu [13] XFEM thƣờng đƣợc dùng làm phƣơng pháp tham khảo, đƣợc làm cơ sở để phƣơng pháp khác so sánh, đối chiếu kết quả của mình trong quá trình nghiên cứu. Trong XFEM, có các trƣờng chuyển vị làm giàu (enrichments) để thể hiện sự không liên tục do đó các bậc tự do đƣợc thêm vào và chúng sẽ xác định phƣơng trình cân bằng của kết cấu có vết nứt. Ví dụ bƣớc nhảy trên trƣờng chuyển vị đƣợc xác định thông qua các bậc tự do vừa thêm vào ở hai bên vết nứt. Gần đây dựa trên ý tƣởng của “Hansbo and Hansbo” [18] một cách tiếp cận khác đƣợc gọi là phƣơng pháp nút ảo đã đƣợc đặt ra để mô tả các vết nứt độc lập với lƣới chia mà không sử dụng xấp xỉ chuyển vị bất liên tục nhƣ trong XFEM. Trong phƣơng pháp này, thì đầu vết nứt có thể nằm bên trong một phần tử, vết nứt có thể phát triển tùy ý độc lập với lƣới chia. Đây là phƣơng pháp mà quan hệ động học của vết nứt đƣợc xác định bằng sự chồng lên nhau giữa các phần tử thay vì thông qua các bậc tự do chƣa biết đƣợc thêm vào nhƣ phƣơng pháp XFEM. Ngoài ra, phƣơng pháp này cũng thuận tiện hơn XFEM ở chỗ xấp xỉ các trƣờng chuyển vị mà không dựa trên các hàm làm giàu dữ liệu không liên tục. Lý thuyết của “Hansbo and Hansbo” tiếp tục đƣợc các nhà nghiên cứu sau này phát triển và ứng dụng. Cụ thể nhƣ: Mergheim [19, 20] phát triển ý tƣởng chồng chất các nút tƣơng đồng để xây dựng sự bất liên tục cho trƣờng hợp mũi vết nứt nằm đúng trên các cạnh của phần tử. Cách này đã đƣợc thực hiện để phân tích tĩnh bài toán hai chiều [19] và không gian ba chiều [20]; J.H.Song phân tích động và sự lan truyền vết nứt [21]; Areias thì ứng dụng lý thuyết này ở kết cấu vỏ [22] Để xem xét các trƣờng hợp trong đó các đỉnh của vết nứt có thể đƣợc đặt bên trong một phần tử, Rabczuk [25] đã xây dựng các ràng buộc động học cho phần tử tam giác ba nút và bốn nút tứ giác các cặp phần tử chồng chất chứa mũi vết nứt và áp dụng cho bài toán hai chiều. Ý tƣởng các cặp phần tử chồng chất trong [25] đã đƣợc mở rộng 3
14. thành công ở các cấu trúc vỏ có vết nứt rời rạc bởi phần tử vỏ ba nút MITC3 [24] và là tiền đề để áp dụng cho phần tử tấm MITC4 nhƣ trong luận văn. Năm 1970 Ahmad, Iron và Zienkiewicz [36, 37] đã giới thiệu một phần tử tham số 0 C độc lập nội suy cho chuyển vị góc xoay. Phƣơng diện phù hợp nhất của phần tử này là các hàm nội suy chỉ cần thỏa điều kiện C0. Phần tử này đƣợc biết đến nhƣ các phần tử vỏ Mindlin/Reissner [38, 39]. Dù sử dụng biến dạng cắt để phân tích vỏ dày nhƣng gặp phải khó khăn đó là hiện tƣợng “Khóa cắt” (shear locking) khi chiều dày của tấm giảm dần. vào những năm 1970 hầu hết các nghiên cứu về tấm đều dựa trên lý thuyết của Ahmad, Iron và Zienkiewicz đã xây dựng và tìm cách để khắc phục hiện tƣợng khóa cắt. Năm 1980 Bathe và Dvorkin [35] đề xuất phƣơng pháp nội suy hỗn hợp các thành phần ten xơ (mixed interpolation tensorial components viết tắt là MITC) đã giải quyết đƣợc các vấn đề về khóa cắt. Các phƣơng pháp MITC rất hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán tấm vỏ vì đã loại bỏ đƣợc hiện tƣợng khóa cắt và cho kết quả tin cậy. 1.1.3. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nƣớc Gần đây đã có nhiều nghiên cứu về phƣơng pháp nút ảo với việc giải quyết các vấn đề trong cơ học rạn nứt điển hình là các đề tài tiêu biểu sau: - Năm 2005, J.Mergheim và cộng sự, phát triển phƣơng pháp với mũi vết nứt nằm trên cạnh phân tích tĩnh bài toán hai chiều [19]. - Năm 2006, J.H.Song, PMA.Areias, T.Belytschko, phƣơng pháp nút ảo để phân tích sự lan truyền của vết nứt [21] - Năm 2007, J. Mergheim, E. Kuhl, and P. Steinmann, Towards, phân tích tĩnh bài toán có vết nứt ở không gian ba chiều [20] - Năm 2008, Timon Rabczuk, Goang seup Zi, Axel Gerstenberger and Wolf Gang A. Wall, Phƣơng pháp nút ảo cho một phần tử đỉnh nứt với các vết nứt gắn kết tùy ý [25] - Năm 2012, Thanh Chau-Dinh và cộng sự, Phƣơng pháp nút ảo cho phần tử vỏ có vết nứt khác nhau [24] - Năm 2013, N. Vu-Bac, H. Nguyen-Xuan, , Phƣơng pháp nút ảo kết hợp phƣơng pháp phần tử hữu hạn trơn (Edge-Based Strain Smoothing) cho cơ học rạn nứt tuyến tính [26] - Năm 2014, Thanh Chau-Dinh và cộng sự, Phƣơng pháp nút ảo giả quyết vấn đề các vết nứt tùy ý sử dụng phần tử tứ giác bốn nút Q4 – [29] 4
15. Theo sự hiểu biết của bản thân thông qua sự khảo sát thông tin trên các tạp chí khoa học, tác giả vẫn chƣa tìm thấy bất kỳ nhóm nào đang tiến hành nghiên cứu nội dung về phân tích tấm có vết nứt bằng phƣơng pháp nút ảo sử dụng phần tử MITC4, mũi vết nứt nằm trên phần tử thay vì nằm trên biên nhƣ các nghiên cứu khác. Đây là nguyên nhân và cũng chính là động lực để tác giả thực hiện đề tài nghiên cứu này. 1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài 1.2.1. Mục đích: - Phát triển phƣơng pháp nút ảo cho phần tử tấm (MITC4) cho phép mũi vết nứt nằm trong phần tử. - Áp dụng phƣơng pháp tích phân tƣơng tác để tính toán hệ số tập trung ứng suất và tích phân J của tấm có vết nứt. 1.2.2. Nhiệm vụ: Đối với FEM khi mô hình và tính toán kết cấu có vết nứt thì vết nứt bắt buộc trùng với cạnh lƣới chia của phần tử và mũi vết vứt nằm tại nút của phần tử. Do đó, khi vết nứt phát triển tùy ý thì buộc phải chia lại lƣới để các điều kiện ở trên đƣợc đảm bảo. Điều này khá mất thời gian vì việc chia lại lƣới không đơn giản, nhất là khi cần chia lƣới thật mịn. Hiện tại, phƣơng pháp nút ảo cho phép mũi vết nứt nằm trong phần tử đã phát triển cho phần tử tấm vỏ tam giác ba nút MITC3 [24]. Vì phần tử tấm MITC4 thƣờng cho kết quả chuyển vị, ứng suất tốt hơn phần tử tam giác MITC3, nên nhiệm vụ đặt ra cho đề tài là phát triển phƣơng pháp nút ảo cho phần tử tấm MITC4 để tính toán kết cấu có vết nứt, có khả năng cho vết nứt cắt qua hoàn toàn hoặc một phần của phần tử với mong muốn đạt đƣợc kết quả chính xác hơn phƣơng pháp nút ảo dùng phần tử tam giác ba nút MITC3. 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của luận văn 1.3.1. Đối tƣợng nghiên cứu: Kết cấu tấm có vết nứt. 1.3.2. Phạm vi nghiên cứu: Tấm làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính về vật liệu. 1.4. Phƣơng pháp luận và phƣơng pháp nghiên cứu của luận văn 1.4.1. Nghiên cứu lý thuyết Việc nghiên cứu dựa trên các cơ sở lý thuyết về phần tử hữu hạn, cơ học rạn nứt, các bài báo khoa học đã đƣợc công bố trong và ngoài nƣớc trên các tạp chí uy tín hay các hội nghị cơ học toàn quốc. 5
16. 1.4.2. Lập trình Dùng phần mềm lập trình Fortran trên nền tảng Visual Studio 2008. 1.4.3. Mô phỏng tính toán phân tích Việc mô phỏng bài toán đƣợc sử dụng phần mềm Pre - Post processor GiD [28]. Sử dụng phần mềm này có ƣu điểm là giúp ta tiết kiệm khá nhiều thời gian khi mô hình ban đầu và có thể hiển thị ứng xử kết cấu sau khi tính toán. Nhƣợc điểm là phải lập trình ra một module tƣơng thích với giao diện và các module xử lý kết quả, đƣa kết quả về lại GiD để hiển thị ứng xử kết cấu. 1.4.4. Kiểm tra. Sau khi ví dụ mô phỏng số có kết quả, ta sẽ so sánh với các giá trị tham khảo đã công bố trên các tạp chí để rút ra nhận xét và đánh giá phƣơng pháp. 1.5. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của luận văn: - Cung cấp lý thuyết để tính toán kết cấu tấm có vết nứt bằng phƣơng pháp nút ảo cho phần tử tấm - MITC4. Qua đó xem xét các đặc trƣng về sự phân bố ứng suất. - Dự đoán đƣợc sự xuất hiện và sự phát triển của vế nứt qua đó có biện pháp để gia cƣờng, sửa chữa nhằm hạn chế tai nạn xảy ra. 6
17. CHƢƠNG 2 PHƢƠNG PHÁP NÚT ẢO CHO PHẦN TỬ TẤM MITC4 Khi rời rạc hóa cấu kiện có vết nứt bằng lƣới phần tử căn cứ vào trƣờng chuyển vị trong phần tử ta có thể chia các phần tử làm ba loại: phần tử không bị cắt – trƣờng chuyển vị trên đó là liên tục, phần tử bị cắt hoàn toàn – trƣờng chuyển vị liên tục trên mỗi phần nhƣng không liên tục khi đi qua vết nứt và phần tử bị cắt một phần (phần tử mũi vết nứt) – không liên tục khi đi qua vết nứt nhƣng liên tục tại mũi của vết nứt, nhƣ Hình 2.1 Phần tử không nứt Phần tử nứt hoàn toàn Phần tử nứt một phần Hình 2.1: Phân loại phần tử tấm bị vết nứt cắt qua 2.1. Phần tử không nứt Phần tử không bị cắt bởi vết nứt thì trƣờng chuyển vị trên đó là liên tục, dùng phƣơng pháp phần tử hữu hạn để tính toán nhƣ phần tử MITC4 bình thƣờng Hình 2.2: Phần tử tấm MITC4 7
18. Các thành phần tọa độ đƣợc xấp xỉ bởi: 44 t k x r,, s t  Nk x k h k N k V nx kk 112 44 (2.1) t k y r,, s t  Nk y k h k N k V ny kk 112 44 t k z r,, s t  Nk z k h k N k V nz kk 112 Ở đó Nk là hàm dạng quy ƣớc sử dụng hàm dạng cho phần tử tấm bốn nút chịu uốn là: 11 N 1 r 1 s ; N 1 r 1 s 1244 (2.2) 11 N34 1 r 1 s ; N 1 r 1 s 44 k k k k là các cosin chỉ phƣơng của 0 k Vn VVV nx,, ny nz Vn 0 k là vector vuông góc với mặt phẳng tấm; Vn xk, yk, zk: là tọa độ của nút thứ k trong hệ tọa độ Đề - Các; hk: là chiều dày của tấm; Chuyển vị nút của phần tử đƣợc xấp xỉ bởi: 44 t 00kk u r,, s t  Nk u k h k N k V21 x  k V x k kk 112 44 t 00kk (2.3) v r,, s t  Nk v k h k N k V21 y  k V y k kk 112 44 t 00kk w r , s , t  Nk w k h k N k V21 z  k V z k kk 112 Với 0 k và 0 k là hai véc tơ đơn vị trực giao với 0 k V1 V2 Vn uk, vk, wk: là chuyển vị nút thứ k trong hệ tọa độ Đề - Các; Với αk và βk là góc xoay của véc tơ về phía véc tơ và Chuyển vị thuần túy trong (2.3) của tấm MITC4 không thể hiện đƣợc biến dạng cắt ngang bằng 0 khi tấm mỏng hay còn gọi là hiện tƣợng khóa cắt “shear locking”. Để hạn chế hiện tƣợng này, tính hiệp biến của biến dạng cắt ngang trong phần tử MITC4 đƣợc nội suy tách biệt từ giá trị của biến dạng cắt ngang tính tại các điểm “tying points”. Trƣờng hợp này các điểm “tying points” là trung điểm của các cạnh phần tử đẳng hƣớng nhƣ Hình 2.3 điều này đƣợc trình bày trong [12] 8
19. y s y s 2 2 1 1 A A B r B r D 2 D y 2 3 C 4 x 3 C 4 x 2 x2 Hình 2.3: Phần tử trong mặt phẳng x-y Xem xét đầu tiên phần tử khi dạng hình học của nó (2x2) (với hệ tọa độ (x,y)sẽ đƣợc thay thế bằng hệ tọa độ đẳng tham số (r,s). phần tử này chúng ta sử dụng phép nội suy. 11  11 ss AC  rz22 rz rz (2.4) 11  11 rr DB  sz22 sz sz Ở đó với ACDB là biến dạng cắt vật lý tại điểm A, B, C và D. rz,,,  rz  sz  sz Các thành phần biến dạng đƣợc xác định nhƣ 1 (2.5) ij gi u j g j u i 2 Với xu (2.6) guii ;,,, 1 r  2 s  3 t ii Căn cứ vào mối quan hệ giữa các thành phần biến dạng với chuyển vị và góc xoay tại nút ta đƣợc: MITC44 MITC ij BU ij (2.7) Với: B là ma trận chuyển vị và biến dạng của phần tử. Ui = (u, v, w)i là chuyển vị và góc xoay của vector tại các nút của phần tử. C là ma trận đƣợc cấu thành bởi quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong hệ tọa độ Đề - Các và đƣợc thể hiện trong [12] C QT DQ (2.8) 9
20. Với D và Q đƣợc cho bởi: 1 0 0 0 0  1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (2.9) E 1  D= 0 0 0 0 0 1  2 2 1  0 0 0 0k 0 2 1  0 0 0 0 0 k 2 2 2 2 l1 m 1 n 1 l 1 m 1 m 1 n 1 n 1 l 1 2 2 2 l2 m 2 n 2 l 2 m 2 m 2 n 2 n 2 l 2 l2 m 2 n 2 l m m n n l Q 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (2.10) 2ll12 2 mm 12 2 nn 12 lm 1221 lm mn 12 mn 21 nl 12 nl 21 2ll 2 mm 2 nn lm lm mn mn nl nl 23 23 23 2332 23 32 23 32 2ll 2 mm 2 nn lm lm mn mn nl nl 31 31 31 3113 31 13 31 13 lcee1 os,; x r mcee 1 os,; y r ncee 1 os, z r lcee2 os,; x s mcee 2 os,; y s ncee 2 os, z s lcee3 os,; x t mcee 3 os,; y t ncee 3 os, z t Với ex, ey, ez lần lƣợt là véc tơ đơn vị trong hệ tọa độ tổng thể. er, es, et lần lƣợt là véc tơ đơn vị trong hệ tọa cục bộ E là mô đun đàn hồi, 푣 là hệ số poisson. Theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn, ta tính đƣợc độ cứng phần tử: ℎô푛𝑔 푛ứ푡 T 퐊 = 퐁 퐂퐁 Ω푒 (2.11) 푒 Ω푒 10
21. 2.2. Phần tử nứt hoàn toàn Phần tử nứt là phần tử bị vết nứt cắt qua hoàn toàn. Trƣờng chuyển vị ngang qua vết + − nứt là không liên tục nhƣng trên mỗi phần riêng 훀푒 và 훀푒 thì lại liên tục một cách độc lập. Vì thế trƣờng chuyển vị có thể đƣợc chồng lên nhau bằng hai trƣờng chuyển vị riêng biệt mà mỗi cái liên tục trên miền của mình. Hình 2.4: Hai trƣờng hợp của phần tử tấm bị nứt hoàn toàn Phƣơng pháp trên đƣợc trình bày theo “Hansbo và Hansbo”[18].Tuy phƣơng pháp này đã đƣợc chứng minh rằng tƣơng đƣơng với phƣơng pháp XFEM (theoAreias và Belytschko [30]) nhƣng xấp xỉ của trƣờng chuyển vị cho phần tử nứt theo phƣơng pháp này có nhiều thuận lợi hơn vì không cần các hàm làm giàu không liên tục. + Cho phần tử nứt bốn nút 훀푒 bị một vết nứt chia thành hai phần bù nhau, Ω푒 và − Ω푒 . Trƣờng chuyển vị trong phần tử nứt có thể đƣợc trình bày nhƣ sau: + + 풖 trong Ω푒 퐮 = − − ( . ) 풖 trong Ω푒 Để có thể sử dụng xấp xỉ FEM của trƣờng chuyển vị trên mỗi phần riêng của + − phần tử nứt thì các phần thực Ω푒 và Ω푒 đƣợc mở rộng ra về phía đối diện của nó, thành 푃− 푃+ phần mới tƣơng ứng gọi là Ω푒 ,Ω푒 , bằng cách thêm vào các nút địa phƣơng tại vị trí tƣơng đồng gọi là nút ảo. Đối với phần tử tứ giác bốn nút, có hai trƣờng hợp vết nứt cắt qua phần tử hoàn toàn. − + - Trƣờng hợp nhƣ Hình 2.4 (a): phần mới Ω푒 , Ω푒 . Phần mới này sẽ có thêm các ∗ ∗ + ∗ ∗ − nút ảo địa phƣơng 3 , 4 trên Ω푒 và 1 , 2 trên Ω푒 . Các nút ảo sẽ có cùng tọa độ nhƣ nút thật. Kết quả là tạo ra đƣợc phần tử liên tục và có thể tính toán chúng bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn. 11
22. S K L 0 0 2 1 5 4