Luận văn Phân tích kết cấu tấm bằng phần tử biến dạng trơn CS – MITC3 (Phần 1)

Nội dung text: Luận văn Phân tích kết cấu tấm bằng phần tử biến dạng trơn CS – MITC3 (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ VÕ NGỌC TUYỂN PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM BẰNG PHẦN TỬ BIẾN DẠNG TRON CS-MITC3 NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP : 60.58.02.08 S K C0 0 5 0 8 3 Tp. Hồ Chí Minh, tháng 4/2016
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ VÕ NGỌC TUYỂN PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM BẰNG PHẦN TỬ BIẾN DẠNG TRƠN CS-MITC3 NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP - 60580208 Tp. Hồ Chí Minh, tháng 04/2016 1
3. LÝ LỊCH KHOA HỌC I. LÝ LỊCH SƠ LƯỢC: Họ & tên: Võ Ngọc Tuyển Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 15 – 09 – 1989 Nơi sinh: Bình Định Quê quán: Tuy Phước – Bình Định Dân tộc: Kinh Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc: Phước Nghĩa – Tuy Phước – Bình Định. Điện thoại cơ quan: . Điện thoại nhà riêng: E-mail: ngoctuyentp@gmail.com II. QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO: 1. Trung học chuyên nghiệp: Hệ đào tạo: Thời gian đào tạo: Nơi học (trường, thành phố): Ngành học: 2. Đại học: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo từ 09/2007 đến 01/2013 Nơi học (trường, thành phố): Đại Học Tôn Đức Thắng. Ngành học: Xây dựng dân dụng và công nghiệp. Tên đồ án, luận án hoặc môn thi tốt nghiệp: Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hoặc thi tốt nghiệp: Người hướng dẫn: III. QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC CHUYÊN MÔN KỂ TỪ KHI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: Thời gian Nơi công tác Công việc đảm nhiệm Công ty TNHH XD-TM Thuận 04/2013 – 03/2016 Kỹ sư xây dựng Việt i
4. LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tp. Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2016 Võ Ngọc Tuyển ii
5. LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Châu Đình Thành đã giúp đỡ, hướng dẫn và cung cấp các thông tin cần thiết để tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Xây Dựng và Cơ Học Ứng Dụng của trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh. Xin cảm ơn tất cả người thân trong gia đình đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn. Vì kiến thức và thời gian thực hiện luận văn thạc sĩ có hạn nên không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tôi rất mong được sự đóng góp của quý thầy cô giáo, bạn bè và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn. Tp. Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2016 Võ Ngọc Tuyển iii
6. MỤC LỤC Quyết định giao đề tài Lý lịch cá nhân i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Danh sách các ký hiệu vi Danh sách các hình vii Danh sách các bảng viii Chương 1. TỔNG QUAN 1 1.1. Tổng quan chung về lĩnh vực nghiên cứu, các kết quả trong nước và ngoài nước đã công bố 1 1.1.1. Giới thiệu 1 1.1.2. Tổng quan tình hình nghiên cứu 2 1.1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước 3 1.1.4. Tình hình nghiên cứu nước ngoài 4 1.2. Mục đích nghiên cứu 5 1.3. Nhiệm vụ của đề tài và giới hạn đề tài 5 1.4. Phương pháp nghiên cứu 5 Chương 2. LÝ THUYẾT TẤM BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT 7 2.1. Trường chuyển vị đặc trưng 7 2.2. Trường biến dạng 8 2.3. Trường ứng suất 9 2.4. Các thành phần nội lực 10 Chương 3. CÔNG THỨC PHÂN TỬ HỮU HẠN TRƠN CS-MITC3 12 3.1. Xây dựng phần tử tấm 3 nút 12 3.2. Công thức phần tử MITC3 với nút bubble 17 3.3. Công thức phần tử hữu hạn trơn CS-MITC3 18 Chương 4. VÍ DỤ SỐ 22 iv
7. Chương 5. KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 v
8. DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU εx, εy, εz Biến dạng dài theo các phương x, y, z u, v, w Chuyển vị theo phương x, y, z θx, θy, θz Chuyển vị xoay quanh trục x, y, z βx, βy Chuyển vị xoay quanh trục y, x γxy, γxz, γyz Biến dạng cắt trong mặt phẳng xy, xz, yz  x ,  y Ứng suất pháp tuyến theo trục x, y  xy ,  xz ,  yz Ứng suất cắt trên các mặt có vector pháp tuyến là x, y, z ν Hệ số poisson của vật liệu E Mô đun đàn hồi h Bề dày tấm/vỏ a, L Chiều dài cạnh tấm Mx, My Môment uốn trên mỗi đơn vị chiều dài theo trục x, y trong mặt phẳng Oxy Mxy Môment xoắn trên mỗi đơn vị chiều dài trong mặt phẳng Oxz Qx, Qy Lực cắt theo trục x, y Dm Ma trận độ cứng vật liệu khi chịu uốn Ds Ma trận độ cứng vật liệu khi chịu cắt db Vector chuyển vị nút của phần tử Bb Ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị uốn Bs Ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị cắt fb Vector lực k Độ cứng của phần tử kMITC3 Độ cứng của phần tử MITC3 ΔΔΔ1,, 2 3 Tam giác phụ 1, 2, 3 dCi Chuyển vị nút của miền con ΩC . vi
9. CCC wi , xi , yi Chuyển vị theo phương z và chuyển vị xoay quanh trục x,y của miền con ΩC Hệ số ổn định le Chiều dài lớn nhất của phần tử Ds Ma trận độ cứng vật liệu khi chịu cắt có hệ số ổn định . kp Ma trận độ cứng của phần tử uốn Db Độ cứng uốn Dsc Độ cứng cắt Ae Diện tích phần tử εb Biến dạng uốn εb Biến dạng uốn trơn εs Biến dạng cắt MITC3 εs Biến dạng cắt MITC3 MITC3 Bs Ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị cắt MITC3 Bb Ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị uốn trơn vii
10. DANH SÁCH CÁC HÌNH Hình 2.1: Mô hình Mindlin – Reissner 7 Hình 2.2: Các thành phần ứng suất được phân bố theo chiều dày tấm 9 Hình 2.3: Các thành phần nội lực trong phần tử tấm 10 Hình 3.1: Phần tử tam giác 3 nút 12 Hình 3.2: Điểm buộc của phần tử MITC3 17 Hình 3.3: Thể hiện ba tam giác con (Δ1, Δ2, Δ3) được tạo ra từ 3 nút 1, 2, 3 và điểm trọng tâm của tam giác 19 Hình 4.1: Mô phỏng tấm Patch test 23 Hình 4.2: Tấm vuông liên kết ngàm chia lưới 2x2, 4x4, 5x5, 6x6 và 8x8 24 Hình 4.2.1: Biểu đồ so sánh độ võng khi phân tích tấm bằng phương pháp CS-MITC3 với các phương pháp khác (Với t/L=0.1) tấm liên kết ngàm 26 Hình 4.2.2: Biểu đồ so sánh độ võng khi phân tích tấm bằng phương pháp CS-MITC3 với các phương pháp khác (Với t/L=0.001) tấm liên kết ngàm 27 Hình 4.3: Tâm vuông liên kết tựa đơn chia lưới 2x2, 4x4, 5x5, 6x6 và 8x8 28 Hình 4.3.1: Biểu đồ so sánh đọ võng khi phân tích tấm bằng phương pháp CS-MITC3 với các phương pháp khác (Với t/L=0.0001) tấm liên kết tựa đơn 30 Hình 4.4: Tấm xiên 300 liên kết tựa đơn chịu áp lực phân bố đều q chia lưới 4x4, 8x8 ,10x10, 12x12, 16x16 31 Hình 4.4.1: Biểu đồ so sánh đọ võng khi phân tích tấm bằng phương pháp CS-MITC3 với các phương pháp khác (Với t/L=0.001) tấm xiên liên kết tựa đơn 33 Hình 4.5: Tấm tròn liên kết ngàm chịu áp lực phân bố đều q, chia lưới 6T3, 24T3, 54T3, 96T3 34 Hình 4.5.1: Biểu đồ so sánh độ võng khi phân tích tấm bằng phương pháp CS-MITC3 với các phương pháp khác (Với t/R=0.02) tấm tròn liên kết ngàm. 36 Hình 4.5.2: Biểu đồ so sánh độ võng khi phân tích tấm bằng phương pháp CS-MITC3 với các phương pháp khác (Với t/R=0.2) tấm tròn liên kết ngàm 36 viii
11. DANH SÁCH CÁC BẢNG Bảng 3.1: Tọa độ các điểm buộc của phần tử MITC3 với d=1/10000 17 Bảng 4.1: Chuyển vị w góc xoay , và mô men m,, m m các phần tử 5 xy55 x5 y 5 xy 5 23 Bảng 4.2: Kết quả chuyển vị của các phần tử khi phân tích tấm vuông liên kết ngàm 25 Bảng 4.3: Kết quả chuyển vị các phần tử khi phân tích tấm vuông liên kết tựa đơn 29 Bảng 4.4: Kết quả chuyển vị các phần tử khi phân tích tấm xiên liên kết tựa đơn 32 Bảng 4.5: Kết quả chuyển vị các phần tử khi phân tích tấm tròn liên kết ngàm 35 ix
12. Chương 1 TỔNG QUAN 1.1.Tổng quan chung về lĩnh vực nghiên cứu, các kết quả trong nước và ngoài nước đã công bố 1.1.1. Giới thiệu Trong thực tế hiện nay, các kết cấu tấm thường chịu biến dạng uốn. Phương pháp tính toán cho bài toán tấm cũng đa dạng nhưng có các phương pháp tính toán chính như: phương pháp giải tích, phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng nhiều trong phân tích tấm vì những ưu điểm nổi trội như kết quả tính toán có độ chính xác cao, mạnh mẽ khi phân tích các tấm phức tạp, kết hợp tốt các lý thuyết tấm trong quá trình phân tích Phương pháp phần tử hữu hạn phân tích tấm có hai lý thuyết cơ bản là: lý thuyết cắt bậc nhất Mindlin- Reissner dùng để phân tích tấm dày, lý thuyết Kirchhoff- Love dùng để phân tích tấm mỏng. Trong quá trình phân tích tấm mỏng dùng lý thuyết cắt bậc nhất Mindlin- Reissner thường xuất hiện “khóa cắt” (shear locking) khi chiều dày tấm rất nhỏ so với kích thước hai phương còn lại(tấm mỏng) khi đó năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành phần biến dạng cắt sẽ lớn hơn nhiều so với năng lượng biến dạng đàn hồi do các thành phần uốn gây ra. Hiện nay có rất nhiều phương pháp đã và đang được nghiên cứu đưa ra để giải quyết hiện tương khóa cắt như DSG, MIN, MITC Để cho kết quả chính xác hơn khi sử dùng các phương pháp DSG, MIN, MITC đã có nhiều nghiên cứu trên thế giới kết hợp một số phương pháp phần tử hữu hạn trơn (S-FEM) thay thế phương pháp phần tử hữu hạn thông thường để phân tích kết cấu tấm cho kết quả chính xác hơn như: ES-DSG, NS-DSG, CS-DSG, ES- MIN3, CS-MIN3 với 3 phương pháp phần tử hữu hạn trơn (S-FEM) cơ bản: làm trơn trên cạnh (Edge), nút (Node) hoặc ô (Cell). Đến nay chưa có nghiên cứu nào đề 1
13. cập đến việc kết hợp khử “khóa cắt” bằng kỹ thuật MITC3 đồng thời kết hợp làm trơn trên ô(Cell) để phân tích kết cấu tấm. Tuy nhiên trường chuyển vị tại 3 nút của phần tử MITC3 sau khi phân tích là hằng số vì vậy việc làm trơn trên ô (CS-FEM) cho kết quả không khác nhiều so với chưa làm trơn nên ta sử dụng thêm nút trọng tâm của phần tử để tạo ra hàm xấp xỉ bậc cao hơn , để trường biến dạng không còn là hằng số, từ đó cho ta kết quả phân tích tốt hơn. Đề tài này phân tích kết cấu tấm dựa trên các cơ sở lý thuyết đã được nghiên cứu là cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và phương pháp phần tử hữu hạn trơn trên ô CS-FEM kết hợp với phần tử tam giác 3 nút MITC3 để phân tích chính xác kết cấu tấm. Phương pháp này gọi là CS-MITC3. 1.1.2.Tổng quan tình hình nghiên cứu Phương pháp phần tử MITC được nghiên cứu để khử hiện tượng khóa cắt rất hữu hiệu khi tính toán tấm mỏng sử dụng lý thuyết cắt bậc nhất Mindlin-Reissner, với các nghiên cứu ban đầu xây dựng phần tử (MITC) của Phill-Seung Lee, Klaus- Jurgen Bathe [1], và được Klaus-Jurgen Bathe [2], Marco Gaiotti và cộng sự [3] ứng dụng để phân tích các kết cấu tấm đặt biệt. Sau đó phần tử MITC được sử dụng rộng rải và phát triển thành các dạng mới như: MITC3, MITC4, MITC6, MITC9 cụ thể như: (MITC4) 4 nút và (MITC8) 8 nút của Dvorkin và Bathe[4,5] để phân tích tấm vỏ, sau đó được mở rộng phát triển đên 9 nút (MITC9) và 16 nút (MITC16) theo nghiên cứu của Bucalem, Bathe, M. Cinefra cùng cộng sự [6, 7, 8] Hiện nay, một số nghiên cứu đã kết hợp phần tử MITC với phương pháp làm trơn CS-FEM để cho ra kết quả chính xác hơn: Tác giả J.D.Rodrigues cùng cộng sự đã kết hợp phươg pháp làm trơn CS-FEM và phần tử MITC4 để phân tích tấm [9]. Tác giả Nguyễn Văn Hiếu cùng cộng sự đã kết hợp phương pháp làm trơn CS-FEM và phần tử MITC4 để phân tích vỏ[38, 39]. 2
14. 1.1.3.Tình hình nghiên cứu trong nước Hiện nay, tại Việt Nam một số nghiên cứu đã đề cập đến bài toán phân tích tấm/vỏ bằng phương pháp phân tử hữu hạn để khử hiện tượng “khóa cắt”, một số công trình nghiên cứu như: Tác giả Nguyễn Xuân Hùng cùng cộng sự [10] đã nghiên cứu phát triển phần tử 4 nút (CS-MITC4) dựa trên nền tảng phần tử MITC4 để khử hiện tượng “khóa cắt “ khi phân tích tấm. Tác giả Nguyễn Văn Hiếu cùng cộng sự đã nghiên cứu, sử dụng phần tử MITC4 để phân tích tuyến tính phi tuyến hình học cấu trúc vỏ [11] Tác giả Nguyễn Thời Trung cùng cộng sự đã nghiên cứu phương pháp làm trơn S-FEM [12] và phương pháp làm trơn ES-FEM [13] kết hợp với phần tử tam giác DSG để khử hiện tượng “ Khóa cắt” khi phân tích tấm bằng lý thuyết cắt bậc nhất Mindlin- Reissner . Tác giả Lương Văn Hải cùng cộng sự [14] đã nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn MIN3 để giải quyết hiện tượng khóa cắt kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-FEM để tính toán các bài toán tấm composite. Tác giả Phùng Văn Phúc và cộng sự [15] đã sử dụng phần tử hữu hạn DSG3 kết hợp với phương pháp làm trơn CS-FEM để khử hiện tượng “khóa cắt” khi phân tích tấm composite theo lý thuyết biến dạng Layerwise Tác giả Lương Văn Hải cùng cộng sự [16] đã phân tích tương tác tấm Mindlin trên nền đàn nhớt có gia cường Top Base chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-MIN3. Các nghiên cứu trong nước tập trung nhiều vào các phương pháp phần tử MIN và DSG kết hợp với các phương pháp phần tử hữu hạn trơn để khử hiện tượng “khóa cắt” khi phân tích kết cấu tấm, vỏ. Một vài nghiên cứu sử dụng phần tử MITC4 để phân tích tấm nhưng chưa có nghiên cứu nào đề cập đến phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên nút sử dụng phần tử MITC3. 3
15. 1.1.4.Tình hình nghiên cứu nước ngoài Phân tích tấm vỏ bằng phương pháp phần tử hữu hạn đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả trên thế giới, một số nghiên cứu như: Tác giả Onate E cùng cộng sự [17] đã nêu ra các mặt hạn chế khi sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Reissner–Mindlin phân tích tấm mỏng đồng thời xấp xỉ lại ma trận biến dạng cắt, tạo tiền đề cho các hướng nghiên cứu khử hiện tượng “khóa cắt” sau này. Một nghiên cứu khác của Taylor RL[18] áp dụng lý thuyết tấm cắt bậc nhất Reissner–Mindlin sử dụng các hàm nội suy để thể hiện chuyển vị và góc xoay tại mỗi nút để phân tích sự làm việc của tấm. Tác giả Kaliti [19,20] nghiên cứu và phát triển hai phẩn tử DKQ và phần tử DKT dựa trên cơ sở lý thuyết cắt bậc nhất Mindlin- Reissner. Tác giả Phill-Seung Lee cùng cộng sự [1] đã xây dựng phần tử hữu hạn MITC để khử hiện tượng “ khóa cắt “ khi phân tích các kết cấu tấm. Tác giả Bathe KJ, Brezzi F [6] đã phát triển phần tử hữu hạn MITC thành phương pháp phần tử hữu hạn MITC 7 nút và 9 nút để phân tích tấm và so sánh giữa hai phương pháp. Tác giả Youngyu Lee và cộng sự [21] đã phát triển phần tử MITC3 thành phần tử MITC3+ để giải quyết một số bài toán phức tạp, cho ra kết quả chính xác hơn các phương pháp được đưa ra trước đó. Tác giả Brezzi F cùng cộng sự [22] đã nghiên cứu và khắc phục một số lỗi cơ bản khi sử dụng phần tử MITC3 để phân tích tấm theo lý thuyết tấm Mindlin- Reissner Tác giả Tessler A cùng cộng sự [23] đã sử dụng phần tử MIN3 dựa trên sơ sở phần tử MIN4 để khử hiện tượng “ Khóa cắt” khi phân tích tấm . Ngoài ra, còn nhiều nghiên cứu của các tác giả khác về sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn để phân tích kết cấu tấm cho ra kết quả khá tin cậy. Qua các đề tài trên cho thấy hầu hết các nghiên cứu ngoài nước đều sử dụng kỹ thuật DSG hoặc MIN3 để khử hiện tượng “khóa cắt” khi phân tích tấm, một số 4
16. tác giả sử dụng MITC để nghiên cứu tấm nhưng chưa có đề tài kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-FEM kết hợp phương pháp MITC. Trong đề tài này sẽ đề xuất phương pháp CS-MITC3 để giải quyết hiện tượng “khóa cắt” khi phân tích tấm. 1.2.Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài này là đưa ra một phương pháp phân tích kết cấu tấm mới, sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn MITC3 kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-FEM tạo thành phương pháp phần tử hữu hạn CS-MITC3 . Nghiên cứu này sẽ phát triển khả năng ứng dụng của phương pháp CS- MITC3 cho phân tích kết cấu tấm qua đó so sánh và đánh giá kết quả đạt được. 1.3.Nhiệm vụ của đề tài và giới hạn đề tài Phương pháp phần tử hữu hạn MITC3 được sử dụng để giải quyết hiện tượng “khóa cắt” khi phân tích tấm mỏng, nhưng kết quả thu được có độ hội tụ chưa cao. Vì vậy nhiệm vụ của đề tài là sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn MITC3 kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn trơn CS-FEM áp dụng cho tấm để xử lý kết quả một cách chính xác đồng thời giải quyết các vấn đề gặp phải trong quá trình phân tích các tấm có hình dạng phức tạp . Việc phân tích ứng xử của kết cấu tấm là một vấn đề rất phức tạp và thời gian nghiên cứu còn hạn chế, vì vậy giới hạn nghiên cứu của đề tài này là phân tích tĩnh kết cấu tấm làm việc đàn hồi tuyến tính . 1.4.Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu được thực hiện trong đề tài này là phương pháp nghiên cứu lý thuyết, sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất kết hợp với công thức phần tử hữu hạn tấm CS-MITC3 để tạo ra phương pháp phân tích mới cho tấm. Lý thuyết tính toán sau khi thiết lập sẽ được lập trình tính toán để mô phỏng một số các bài toán điển hình về tấm chịu uốn. 5
17. Kết quả mô phỏng số của các bài toán điển hình về kết cấu tấm sẽ được so sánh với kết quả của các nghiên cứu trước đó, để đánh giá tính hiệu quả và chính xác của nghiên cứu này. 6
18. Chương 2 LÝ THUYẾT TẤM BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT MINDLIN-REISSNER 2.1.Trường chuyển vị đặc trưng Trường hợp tấm mỏng, lý thuyết tấm cổ điển dựa trên giả thiết của Krichhoff mà biến dạng cắt trượt γzx = γzy = 0 cho kết quả khá chính xác. Hình 2.1: Mô hình Mindlin – Reissner. Trường hợp tấm dày có kể đến biến dạng cắt ta áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (lý thuyết của Mindlin – Reissner) [24] [25]. Điểm khác là các đoạn thẳng pháp tuyến sau khi biến dạng không còn vuông góc với mặt trung hòa nữa, mà xoay quanh trục x, y một góc tương ứng βy, βx. 7
19. Các thành phần chuyển vị được tính theo công thức như sau u x, y, z z x v x, y, z z y (2.1 w x, y, z w(x, y) Trong đó u, v, w là các thành phần chuyển vị theo lần lượt các phương x,y và z được tính tại mặt trung hòa, βy, βx là các góc xoay tương ứng quanh trục x, y của các đoạn thẳng pháp tuyến sau khi biến dạng. 2.2. Trường biến dạng: Từ các trường chuyển vị ở (2.1) , trường biến dạng uốn được xác định theo công thức : u   z x x x x v  y  y z y y (2.2) v u   y x  xy z x y x y Trường biến dạng cắt được xác định theo công thức : u w w   xz z x x x (2.3) v w w  yz  y z y y 8
20. 2.3. Trường ứng suất: Các trạng thái ứng suất phẳng của kết cấu tấm được thể hiện như hình : Hình 2.2 : Các thành phần ứng suất được phân bố theo chiều dày tấm . Theo định luật Hooke, ta có mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng được thể hiện thông qua công thức :  x  x yy Dm (2.4)   xy xy Ứng suất do biến dạng cắt:  xz  xz Ds   (2.5) yz yz Với: x, y, : các ứng suất pháp xy, xz, yz : các các ứng suất tiếp Dm, Ds : ma trận độ cứng vật liệu khi chịu uốn và chịu cắt. 9
21. 10v E D v 10 m 1 v2 (2.6) 1 v 00 2 E 10 Ds (2.7) 2(1 v ) 01 Trong đó : E : mô-đun đàn hồi của vật liệu  : hệ số poisson. 2.4.Các thành phần nội lực Hình 2.3: Các thành phần nội lực trong phần tử tấm. 10
22. S K L 0 0 2 1 5 4