Luận văn Phân tích kết cấu có vết nứt bằng phương pháp nút ảo sử dụng trường biến dạng trơn (Phần 1)

Nội dung text: Luận văn Phân tích kết cấu có vết nứt bằng phương pháp nút ảo sử dụng trường biến dạng trơn (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SỸ NGUYỄN VAN NHÀN PHÂN TÍCH KẾT CẤU CÓ VẾT NỨT BẰNG PHUONG PHÁP NÚT ẢO SỬ DỤNG TRUỜNG BIẾN DẠNG TRON NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP : 60.58.02.08 S K C0 0 5 0 7 4 Tp. Hồ Chí Minh, tháng 5/2016
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ NGUYỄN VĂN NHÀN PHÂN TÍCH KẾT CẤU CÓ VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP NÚT ẢO SỬ DỤNG TRƯỜNG BIẾN DẠNG TRƠN NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP-60580208 Tp. Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2016
3. LÝ LỊCH CÁ NHÂN I. LÝ LỊCH SƠ LƯỢC: Họ & tên: Nguyễn Văn Nhàn Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 02-12-1982 Nơi sinh: Bình Định Quê quán: Tây Sơn-Bình Định Dân tộc: Kinh Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc: Điện thoại cơ quan: . Điện thoại nhà riêng: E-mail: nguyenthanhnhan_ts@yahoo.com II. QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO: 1. Trung học chuyên nghiệp: Hệ đào tạo: Thời gian đào tạo: Nơi học (trường, thành phố): Ngành học: 2. Đại học: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo từ 09/2009 đến 06/2012 Nơi học (trường, thành phố): Đại Học Kiến Trúc TP. Hồ Chí Minh. Ngành học: Xây dựng dân dụng và công nghiệp. Tên đồ án, luận án hoặc môn thi tốt nghiệp: Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hoặc thi tốt nghiệp: Người hướng dẫn: ii
4. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Châu Đình Thành. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa được ai công bố trong các khoá tốt nghiệp nào trước đây cũng như trên các tạp chí khoa học. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 05 năm 2016 Nguyễn Văn Nhàn iii
5. LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn khoa học TS. Châu Đình Thành đã đưa ra ý tưởng đề tài, cách tiếp cận và tận tình giúp đỡ, hướng dẫn, cung cấp các tài liệu cần thiết để tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ này. Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo bộ môn trong Khoa Xây Dựng và Cơ Học Ứng Dụng của trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập. Xin chân thành cảm ơn tất cả người thân trong gia đình, bạn bè đã giúp đỡ và động viên. Xin chân thành cảm ơn. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 05 năm 2016 Nguyễn Văn Nhàn iv
6. TÓM TẮT Phân tích kết cấu có vết nứt bằng phương pháp nút ảo sử dụng trường biến dạng trơn. Cụ thể xây dựng phương pháp nút ảo dùng phần tử tứ giác bốn nút có trường biến dạng được làm trơn để phân tích kết cấu có vết nứt mà không chia lại lưới khi vết nứt phát triển. Trong quá trình mô phỏng, cho vết nứt cắt hoàn toàn qua một số phần tử và mũi vết nứt nằm trong phần tử (phần tử cắt một phần). Các phần tử có vết nứt cắt qua hoàn toàn được phân tích thành hai phần tử chồng lên nhau và mỗi phần tử đều có những nút thực và nút ảo, miền thực và miền ảo. Tại vị trí vết nứt là ranh giới giữa miền thực và miền ảo. Phần tử có chứa mũi nứt (phần tử cắt một phần) được phân tích thành ba phần tử chồng lên nhau và mỗi phần tử đều có những nút thực và nút ảo, miền thực và miền ảo. Quan hệ động học được thiết lập sao cho không có bước nhảy của chuyển vị tại mũi vết nứt. Cách tiếp cận bằng phương pháp nút ảo như sử dụng trường chuyển vị bất liên tục đó là điểm khác biệt so với phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng. Do đó, có thể áp dụng kỹ thuật làm trơn trường biến dạng. Kỹ thuật làm trơn được áp dụng cho các phần tử không nứt. Phương pháp này được áp dụng để tính hệ số tập trung ứng suất cho bài toán hai chiều và tính sự phát triển vết nứt do mỏi. So sánh với các kết quả tham khảo, phương pháp này cho kết quả khá tốt. Do đó, phương pháp nút ảo có thể áp dụng trong các tính toán thực tế và cho kết quả hợp lý. v
7. MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN iii LỜI CẢM ƠN iv TÓM TẮT v MỤC LỤC vi MỤC LỤC HÌNH VẼ viii MỤC LỤC BẢNG BIỂU x CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1 1. Giới thiệu chung 1 2. Tình hình nguyên cứu trong và ngoài nước 1 3. Mục tiêu nguyên cứu 3 4. Hướng nguyên cứu 3 1.4.1 Nguyên cứu lý thuyết 3 1.4.2 Lập trình tính toán 3 1.4.3 Áp dụng giải bài toán 3 1.4.4 Nhận xét và kết luận 3 CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4 2. Phương pháp nút ảo 4 2.1 Giới thiệu chung 4 2.2 Phần tử không nứt 5 2.3 Phần tử nứt hoàn toàn 8 2.4 Phần tử bị nứt một phần 9 2.5 Ma trận độ cứng của kết cấu 15 2.6 Tích phân số 15 CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ SỐ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP NÚT ẢO KẾT HỢP TRƯỜNG BIẾN DẠNG TRƠN. 17 3.1 Giới thiệu hệ số tập trung ứng suất 17 3.2 Phân loại hệ số tập trung ứng suất 17 3.2.1 Vết nứt mở 18 vi
8. 3.2.2Vết nứt trượt 18 3.2.3 Vết nứt xé 19 3.3 Tính hệ số tập trung ứng suất bằng phương pháp tích phân tương tác 19 3.3.1 Giới thiệu 19 3.3.2 Trình tự tính toán 19 3.4 Ví dụ minh hoạ 22 3.4.1 Tính hệ số tập trung ứng suất cho tấm chịu kéo. 22 3.4.2 Tính hệ số tập trung ứng suất cho tấm chịu cắt 25 3.4.3 Tính hệ số tập trung ứng suất cho tấm vuông chịu kéo có vết nứt cong giữa tấm 28 3.4.4 Tinh hệ số tập trung ứng suất cho tấm chữ nhật chịu kéo có vết nứt xiên giữa tấm 29 3.4.5 Tính hệ số tập trung ứng suất cho tấm vuông chịu kéo có hai vết nứt đối xứng qua lỗ trống giữa tấm 32 CHƯƠNG 4: MÔ PHỎNG VÀ DỰ BÁO SỰ PHÁT TRIỂN VẾT NỨT DO MỎI 4.1 Giới thiệu sự phát triển vết nứt do mỏi 34 4.2 Định luật Paris 35 4.3 Mô phỏng vết nứt do mỏi 36 4.3.1 Chiều dài số gia số gia mới của vết nứt 37 4.3.2 Hướng phát triển vết nứt 37 4.4 Ví dụ số minh hoạ 39 4.4.1 Tấm chữ nhật có vết nứt ngang ở biên 39 4.4.2 Tấm chữ nhật có vết nứt xiên ở biên 41 CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 vii
9. MỤC LỤC HÌNH VẼ Hình 2.1: Nguyên tắc tính toán của phương pháp nút ảo 4 Hình 2.2: Phân loại phần tử 5 Hình 2.3: Phần tử không nứt trong hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ tự nhiên 5 Hình 2.4: Phần tử được làm trơn 8 Hình 2.5 : Hai trường hợp phần tử nứt 9 Hình 2.6 : Phần tử bị nứt một phần (trường hợp 1) 10 Hình 2.7: Phần tử bị nứt một phần (trường hợp 2) 12 Hình 2.8: Phần tử bị nứt một phần (trường hợp 3) 13 Hình 2.9: Phần tử bị nứt một phần (trường hợp 4) 14 Hình 2.10: Ánh xạ của tam giác phụ chứa vết nứt 16 Hình 2.11a: Các tam giác phụ được chia của phần tử nứt hoàn toàn 16 Hình 2.11b: Các tam giác phụ của phần tử nứt một phần 16 Hình 3.1: Các dạng vết nứt 17 Hình 3.2: Tính tích phân đường_j 21 Hình 3.3: Tấm chữ nhật chịu kéo 23 Hình 3.4: Biểu đồ quan hệ giữa lgh và lgek 24 Hình 3.5: Tấm chữ nhật chịu cắt 25 Hình 3.6: Biểu đồ quan hệ giữa lgh và lgek1 27 Hình 3.7: Biểu đồ quan hệ giữa lgh và lgek 2 27 viii
10. Hình 3.8: Tấm vuông có vết nứt cong giữa tấm 28 Hình 3.9: Lưới chia cho tấm phẳng có vết nứt cong giữa tấm 29 Hình 3.10: Tấm chữ nhật có vết nứt xiên trung tâm 30 Hình 3.11: Biểu đồ quan hệ KI, KII với góc nghiên của vết nứt xiên giữa tấm 31 Hình 3.12: Tấm vuông có hai vết nứt đối xứng qua lỗ tròn giữa tấm 32 Hình 3.13: Chuyển vị của tấm có lỗ tròn ở giữa chịu kéo 33 Hình 4.1: Sự phát triển vết nứt do mỏi 34 Hình 4.2: Tải trọng lặp với biên độ không đổi 35 Hình 4.3: Xác định đoạn vết nứt phát triển do mỏi 37 Hình 4.4: Sơ đồ tính toán sự phát triển vết nứt do mỏi 38 Hình 4.5: Tấm chữ nhật có vết nứt biên nằm ngang chịu kéo 39 Hình 4.6: Hệ số tập trung ứng suất KI theo chiều dài vết nứt 40 Hình 4.7: Tấm chịu kéo có vết nứt biên nghiêng góc 400 41 Hình 4.8: Tuổi thọ mỏi của tấm có vết nứt nghiêng góc 400 ở biên 42 Hình 4.9: Bước phát triển vết nứt biên nghiêng góc 400 của tấm chữ nhật 43 ix
11. MỤC LỤC BẢNG BIỂU Bảng 3.1: Khảo sát bán kính rd của vùng lấy tích phân –j cho tấm chịu kéo 22 Bảng 3.2: Hệ số tập trung ứng suất KI của tấm chịu kéo 23 Bảng 3.3: Sự hội tụ hệ số tập trung ứng suất KI của tấm chịu kéo 24 Bảng 3.4: Khảo sát bán kính rd của vùng lấy tích phân –j cho tấm chịu cắt 26 Bảng 3.5: Hệ số tập trung ứng suất KI, KII của tấm chịu cắt 26 Bảng 3.6: Sự hội tụ hệ số tập trung ứng suất KI, KII của tấm chịu cắt 26 Bảng 3.7: Kết quả KI, KII của tấm có vết nứt cong 29 Bảng 3.8: Kết quả KI, KII của tấm có vết nứt xiên 30 Bảng 3.9: Sai số KI, KII giữa mô hình và lời giải chính xác của tấm có vết nứt xiên 31 Bảng 3.10: Kết quả KI, KII của tấm có hai vết nứt đối xứng qua lỗ tròn giữa tấm 33 Bảng 4.1: Hệ số tập trung ứng suất và bước phát triển vết nứt 40 Bảng 4.2: Chiều dài và chu kỳ của vết nứt phát triển do mỏi 42 x
12. CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu chung Sự phá huỷ của nhiều công trình thường được bắt đầu từ các vết nứt của các phần tử chịu lực chính. Chính vì vậy, việc phát hiện kịp thời các vết nứt trong kết cấu và tìm ra giải pháp tính toán kết cấu có vết nứt và đưa ra biện pháp chống nứt hữu hiệu để tránh các hư hỏng, tai nạn có thể xảy ra. Do đó, thời gian gần đây trên các tạp chí về kỹ thuật công trình,toán học ứng dụng, dao động, cơ học phá hủy công bố nhiều công trình nghiên cứu về kết cấu có vết nứt. Có nhiều cách phân tích tính toán kết cấu có vết nứt bằng phương pháp số chẳng hạn: Phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên, phương pháp không lưới, phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng, phương pháp nút ảo. Ngoài ra, hiện nay, các phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng trường biến dạng trơn đang được phát triển mạnh, do có khả năng giải quyết được các bài toán có lưới không đều. Nội dung chính của chuyên đề này là: Phân tích kết cấu có vết nứt bằng phương pháp nút ảo sử dụng trường biến dạng trơn gồm hai phần: phương pháp nút ảo và biến dạng trơn, kết hợp hai vấn đề đó để tìm ra phương pháp số giải bài toán kết cấu có vết nứt. Trước tiên, ta phải xây dựng mô hình vết nứt trong kết cấu và mô hình kết cấu có vết nứt, sau đó tiến hành tính toán phân tích dựa trên mô hình đã dựng và sử dụng phương pháp đã chọn để giải quyết bài toán. 1.2 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước Những năm gần đây, việc mô phỏng số kết cấu có vết nứt được nghiên cứu nhiều ở trong nước cũng như ở ngoài nước, đặc biệt là nghiên cứu theo phương pháp nút ảo và biến dạng trơn. Phương pháp phần tử hữu hạn là công cụ rất mạnh để giải quyết các bài toán cơ học liên tục nhưng gặp khó khăn ở những bài toán cơ học rạn nứt khi vết nứt phát triển, lúc này bắt buộc tác giả phải chia lại lưới, tốn nhiều thời gian. Do đó, Năm 1999, Belytschko T, Black T đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng để 1
13. nghiên cứu sự phát triển vết nứt không cần chia lại lưới [1]. Năm 2005 Areias PMA và Belytschko T [2] đã mô phỏng thành công sự phát triển của vết nứt bằng phương pháp XFEM mà không liên kết vết nứt với cạnh phần tử. Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng(XFEM) ra đời đã khắc phục nhược điểm của phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống. Đây là sự cải tiến mới mẻ cho phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống, tiết kiệm được thời gian cho việc mô hình khi vết nứt phát triển. Tuy nhiên, khi sử dụng phương pháp này thì số bậc tự do của kết cấu tăng lên đáng kể vì phải sử dụng hàm bất liên tục, gây khó khăn trong việc tính toán. Gần đây một phương pháp thay thế cho XFEM đã được đề xuất bởi Hansbo and Hansbo mà không sử dụng hàm bất liên tục. Đó là phương pháp nút ảo với đầu vết nứt luôn nằm trên biên phần tử. Năm 2008, Timon Rabczuk, Goangseup Zi, Axel Gerstenberger and Wolfgang A. Wall đã phát triển phương pháp nút ảo với mũi vết nứt nằm trong phần tử tam giác cho bài toán 2D [3]. Năm 2010, Thanh Chau-Dinh , Goangseup Zi, Phill-Seung Lee Timon Rabczuk, Jeong-Hoon Song đã sử dụng Phương pháp nút ảo (phần tử tam giác ba nút) để mô hình vết nứt cho tấm vỏ [4]. Năm 2014, Chau Dinh Thanh, Le Viet Tuan, Nguyen Van Hieu, Goangseup Zi sử dụng Phương pháp nút ảo (phần tử tứ giác 4 nút) để mô hình vết nứt cho phần tử 2D [5]. Năm 2009, G.R. Liu, T.Nguyen-Thoi, K.Y.Lam đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp biến dạng trơn trên cạnh phần tử(ES_FEM) để phân tích tĩnh, tự do và dao động cưỡng bức của các vật rắn [6]. Năm 2013, N. Vu-Bac,H. Nguyen-Xuan, L. Chen, C. K. Lee, G. Zi, X. Zhuang, G. R. Liu, and T. Rabczuk. Sử dụng phương pháp nút ảo(phần tử 3 nút) với biến dạng trơn để phân tích kết cấu có vết nứt với vật liệu đàn hồi tuyến tính [7]. Phương pháp nút ảo (phần tử 4 nút) kết hợp biến dạng trơn trên toàn phần tử là hướng nguyên cứu mới để phân tích kết cấu có vết nứt. 2
14. 1.3 Mục tiêu nghiên cứu Phân tích kết cấu có vết nứt bằng phương pháp nút ảo (phần tử 4 nút) sử dụng trường biến dạng trơn để tìm ra phương pháp số, giải quyết các bài toán nứt. 1.4 Hướng nghiên cứu 1.4.1 Nghiên cứu lý thuyết Dựa trên cơ sở lý thuyết phần tử hữu hạn, lý thuyết cơ học phá huỷ và các bài báo có liên quan dăng trên các tạp chí uy tín trong và ngoài nước. 1.4.2 Lập trình Dùng ngôn ngữ Fortran trên nền tảng Visual Studio 2008 để lập trình tính toán. 1.4.3 Áp dụng tính toán Sử dụng phần mềm Post Processor GID để mô hình, chia lưới và nhập dữ liệu đầu vào để tính toán các bài toán cơ học rạng nứt. 4.1.4 Nhận xét và kết luận Sau khi có kết quả số, ta đem so với kết quả của phương pháp giải tích (công thức chính xác). Trường hợp chưa có kết quả chính xác thì phải so sánh với các kết quả đã công bố trên tạp chí. Các kết quả đem so sánh được thực hiện cùng một mô hình, tính chất vật liệu như nhau. 3
15. CHƯƠNG 2 CƠ SỞ Ý THUYẾT 2. Phương pháp nút ảo 2.1 Giới thiệu chung Xét một vật thể biến dạng trong miền Ω khi chuyển vị, chịu lực bản thân b, trên biên đặt lực kéo t= và có chuyển vị biên u = trên vật thể chứa một vết nứt như thể hiện trong Hình 2.1. Tương ứng với phần tử rời rạc hữu hạn, trong phương pháp nút ảo, một phần tử hoàn toàn nứt được thay thế bằng hai phần tử hoạt động chồng lên nhau phần tử 1và phần tử 2 có các nút thực và các nút ảo được đánh 1 dấu bởi các vòng tròn rắn và trống rỗng tương ứng. Phần hoạt động của 1 ,u (x) 2 tương ứng cho (x) 0. Hai thành phần của mô hình không dùng chung các nút. Do đó, chúng có biến dạng độc lập. Hình 2.1: Nguyên tắc tính toán của phương pháp nút ảo  Trường chuyển vị của phần tử là tổng hai trường chuyển vị của hai phần tử chồng lên nhau. 4
16. Mô hình có vết nứt được chia làm 3 loại phần tử: phần tử không nứt, phần tử nứt hoàn toàn, phần tử nứt một phần (có chứa mũi cắt). Trong luận văn này tác giả áp dụng kỹ thuật làm trơn cho phần tử không bị cắt. phần tử nứt hoàn toàn Phần tử không nứt Phần tử có đầu vết nứt Hình 2.2: Phân loại phần tử 2.2 Phần tử không nứt [8] Phần tử không có vết cắt đi qua, cho nên vật liệu của phần tử là liên tục. Dó đó, sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM- QSC4) để tính toán. Xét phần tử tứ giác có 4 nút 1, 2, 3, 4 mỗi nút có 2 bậc tự do như hình vẽ 2.3. ue u1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4 Hình 2.3 Phần tử không nứt trong hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ tự nhiên Hàm xấp xỉ của chuyển vị. 4 uxy ,  Nuii Nu1 1 Nu 2 2 Nu 3 3 Nu 4 4 i 1 (2.1) 4 vxy ,  Nvii Nv1 1 Nv 2 2 Nv 3 3 Nv 4 4 i 1 u,v: là các chuyển vị của phần tử theo phương x và y. 5
17. ui, vi: là các chuyển vị theo phương x và y của nút thứ i. Ni : là hàm dạng và được chọn: 1 N 11  1 4 1 N2 11  4 (2.2) 1 N 11  3 4 1 N 11  4 4 Hàm xấp xỉ toạ độ của phần tử. x x N x N x N x N 1 1 2 2 3 3 4 4 (2.3) y y1 N 1 y 2 N 2 y 3 N 3 y 4 N 4 x, y: là toạ độ của phần tử theo phương x và y. xi, yi: là toạ độ nút thứ i theo phương x và y. Trường biến dạng (phương trình Cauchy) u x  x v ε  y   (2.4) y  xy uv yx x: là biến dạng theo phương x y: là biến dạng theo phương y xy: là biến dạng theo 2 phương x, y Thay (2.1) vào (2.4) ta được: N i 0  x x 4 Ni ui ε  y  0 (2.5) i 1 y vi  xy NN ii yx 6
18. Viết lại: u1 v1 NNN1  2N3  4 0 0 0 0 x  x  x  x u2 NNN N  v2 ε 0 1 0 2 0 3 0 4  Bq (2.6) u y  y  y  y 3 NNNNNN   NN   v 1 1 2 2 33 4 4 3 y  x  y  x  y  x  y  x u4 v4 Trong đó: NNN N  1 0 2 0 3 0 4 0 x  x  x  x NNN1  2N3  4 B 0 0 0 0 (2.7) y  y  y  y NNNNNN1  1  2  2NN33  4  4 y  x  y  x  y  x  y  x T q u1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4  (2.8) Biến dạng trơn là sự làm mịn miền biến dạng thành một tập hợp con không chồng lấn lên nhau và giữa các phần tử con không có khoảng cách. Áp dụng kỹ thuật làm trơn trên toàn bộ phần tử như Hình 2.4, theo [6] ma trận ,B được viết lại: ~ 1 εε d  với  A e e ~~1 ε Bqd  Bq (2.9) A e e Trong đó: ~ N Β i d  N n d  (2.9a) x ixi ee 7
19. 4 4 4 4 nxi N1 0  n xi N 2 0  n xiN 3 0  n xi N 4 0 i 1 i 1 i 1 i 1 ~ 4 4 4 4 B 0 nyi N1 0  n yi N 2 0  n yi N 3 0  nNyi 4 (2.10) i 1 i 1 i 1 i 1 4 4 4 4 4 4 4 4 nNyi1  nN xi 1  nN yi 2  nN xi 2  nN yi 3  nN xi 3  nN yi 4  nN xi 4 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 Ma trận độ cứng của phần tử ~~~ T ke  ΒDΒ d (2.11) e Trong đó: (cho trường hợp ứng suất phẳng) (2.12) (Cho trường hợp biến dạng phẳng) (2.13) Với E là mô đun đàn hồi, là hệ số Poisson. Hình 2.4 Phần tử được làm trơn 2.3 Phần tử nứt hoàn toàn [5] Trong phần tử bị cắt hoàn toàn, trường chuyển vị của phần tử bị gián đoạn tại vết nứt, nhưng trên mỗi phần tử riêng ee v à thì liên tục. vì thế trường chuyển vị của phần tử là tổng hai trường chuyển vị thành phần chồng lên nhau. Trường chuyển vị trong hai phần tử thành phần sẽ được mở rộng về phía pp v à . Trên hai miền có thêm các nút ảo địa phương 3 ,4 ,1 ,2 . Các nút ảo này có các thành 8
20. phần chuyển vị nút như nút thật. Kết quả như phần tử liên tục và áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán. Hình 2.5: Phần tử nứt hoàn toàn Trường chuyển vị 4  JJ , u  u , j 1 (2.14) cr 4  KK , u  k 1 J 1*,2*,3,4 ; k= 1,2,3*,4* Ma trận độ cứng của phần tử: TTT k B DBd  B DB d  B DB d  (2.15) e    e ee 2.4 Phần tử bị cắt một phần [5] Trường chuyển vị có bước nhảy tại vị trí có vết nứt, nhưng tại đầu vết nứt không có bước nhảy. dựa vào đặc trưng trường chuyển vị của phần tử mũi vết nứt, Rabczuk 9
21. [3] đã xây dựng mối liên hệ động học cho phần tử chồng lên nhau sao cho chuyển vị tại biên k bằng không. Hình 2.6: Phần tử nứt một phần (trường hợp 1) Trường hợp 1: xét phần tử 4 nút có vết cắt qua như Hình 2.6, vết nứt phát triển từ cạnh 41 vào bên trong phần tử. Lúc này ta chia phần tử thành 3 phần tương ứng với t1 t2 t3 các tứ giác có diện tích e , e , e . Các tứ giác này có các nút thực 1,2,3,4 và nút ảo 1 ,2 ,3 ,4 . Cạnh song song truc  , giao điểm giữa cạnh với các biên 34 và 12 là:P ( , 1) và Q ( ,1) . Từ điều kiện cho sự khác biệt về chuyển vị bằng 0 dọc theo đường có thể đặt ra một sự rang buộc động học như sau: Xét 2 tam giác 44*P và tam giác 33*P ta có 10
22. S K L 0 0 2 1 5 4