Luận văn Phân tích kết cấu có vết nứt bằng phương pháp nút ảo (Phần 1)

Nội dung text: Luận văn Phân tích kết cấu có vết nứt bằng phương pháp nút ảo (Phần 1)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ LÊ VIỆT TUẤN PHÂN TÍCH KẾT CẤU CÓ VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP NÚT ẢO NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP– 60580208 S K C0 0 4 7 1 5 Tp. Hồ Chí Minh, tháng 11/2015
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LUẬN VĂN THẠC SĨ HỌC VIÊN: LÊ VIỆT TUẤN PHÂN TÍCH KẾT CẤU CÓ VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP NÚT ẢO NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DD & CN Hướng dẫn khoa học: TS. CHÂU ĐÌNH THÀNH Tp. Hồ Chí Minh, tháng 11/2015
3. LÝ LỊCH CÁ NHÂN I. LÝ LỊCH SƠ LƯỢC: Họ & tên: Lê Việt Tuấn Giới tính: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 23 – 10 – 1985 Nơi sinh: Bình Trị Thiên Quê quán: Tp Vĩnh Long - Vĩnh Long Dân tộc: Kinh Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc: Điện thoại cơ quan: . Điện thoại nhà riêng: E-mail: leviettuan85@yahoo.com II. QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO: 1. Trung học chuyên nghiệp: Hệ đào tạo: Thời gian đào tạo: Nơi học (trường, thành phố): Ngành học: 2. Đại học: Hệ đào tạo: Chính quy Thời gian đào tạo từ 09/2006 đến 11/2011 Nơi học (trường, thành phố): Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh. Ngành học: Xây dựng dân dụng và công nghiệp. Tên đồ án, luận án hoặc môn thi tốt nghiệp: Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hoặc thi tốt nghiệp: Người hướng dẫn: III. QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC CHUYÊN MÔN KỂ TỪ KHI TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC: Thời gian Nơi công tác Công việc đảm nhiệm Công ty TNHH TK – XD – TM 2013 – 2015 Kỹ sư xây dựng Thiên An i
4. LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 8 năm 2015 Lê Việt Tuấn ii
5. LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Châu Đình Thành đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và cung cấp các thông tin cần thiết để tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Xây Dựng và Cơ Học Ứng Dụng của trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh. Xin cảm ơn tất cả người thân trong gia đình đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn. Vì kiến thức và thời gian thực hiện luận văn thạc sĩ có hạn nên không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tôi rất mong được sự đóng góp của quý thầy cô giáo, bạn bè và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 8 năm 2015 Lê Việt Tuấn iii
6. TÓM TẮT Nội dung luận văn tập trung trình bày về việc sử dụng phương pháp nút ảo dùng phần tử tứ giác bốn nút để phân tích kết cấu hai chiều có vết nứt mà không chia lại lưới khi vết nứt phát triển. Vết nứt có thể cắt hoàn toàn qua phần tử hoặc chỉ cắt một phần. Các phần tử chồng lên nhau tại vị trí vết nứt, và sẽ được tích phân từng phần nhằm thể hiện chuyển vị không liên tục ngang qua vết nứt. Luận văn cũng xem xét đến trường hợp phần tử có chứa mũi vết nứt. Quan hệ động học giữa các phần tử chồng lên nhau được thiết lập sao cho không có bước nhảy của chuyển vị tại mũi vết nứt. Đây là sự khác biệt của đề tài vì các nghiên cứu trước đây chỉ cho phép mũi vết nứt nằm trên cạnh phần tử. Đối với vết nứt phát triển do mỏi, luận văn chỉ tập trung nghiên cứu vào giai đoạn vết nứt phát triển ổn định, nghĩa là vết nứt đã xuất hiện. Trong giai đoạn này, định luật Paris được sử dụng để mô phỏng và tính toán sự phát triển vết nứt. Phần mềm Pre - Post processor GiD được sử dụng để mô hình, chia lưới và khai báo các dữ liệu ban đầu của bài toán. Đây là dữ liệu đầu vào cho chương trình được viết bằng ngôn ngữ Fortran, trên môi trường Visual Studio 2008. Sau khi chạy chương trình kết quả sẽ được tạo theo định dạng của GID để biểu diễn ứng suất, chuyển vị và sự phát triển vết nứt của bài toán. Phương pháp nút ảo dùng phần tử tứ giác bốn nút được trình bày trong luận văn đã cho kết quả tính toán hệ số tập trung ứng suất và phát triển do mỏi phù hợp với các tài liệu tham khảo và thể hiện được sự hiệu quả của phương pháp khi mô phỏng sự phát triển vết nứt. iv
7. MỤC LỤC DANH SÁCH CÁC HÌNH vii DANH SÁCH CÁC BẢNG ix CHƯƠNG I 1 TỔNG QUAN 1 Tổng quan chung về tình hình nghiên cứu 1 Mục đích đề tài 4 Nhiệm vụ của đề tài 5 Phương pháp nghiên cứu 5 CHƯƠNG II 7 PHƯƠNG PHÁP NÚT ẢO 7 CHO PHẦN TỬ TỨ GIÁC BỐN NÚT 7 Giới thiệu phương pháp nút ảo [28] 7 Rời rạc kết cấu có vết nứt bằng phương pháp nút ảo 8 Phần tử không nứt [25] 9 Phần tử nứt [37] 11 Phần tử nứt một phần (Phần tử chứa mũi vết nứt) [37] 13 Phương trình cân bằng 20 Tích phân số 21 CHƯƠNG III 23 ÁP DỤNG TÍNH TOÁN HỆ SỐ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT 23 Giới thiệu 23 Định nghĩa hệ số tập trung ứng suất (SIF) [30] 23 Phân loại hệ số tập trung ứng suất (SIF) [30] 23 Tính hệ số tập trung ứng suất của các dạng tải trọng 24 Tính SIF bằng phương pháp tích phân tương tác [41] 25 Giới thiệu 25 Cách tính [41] 26 Ví dụ minh họa 28 v
8. Tìm hệ số tập trung ứng suất cho tấm chịu kéo 28 Tìm hệ số tập trung ứng suất cho tấm chịu cắt 31 Tấm chữ nhật chịu kéo có vết nứt xiên giữa tấm 34 Tấm vuông có hai vết nứt đối xứng qua lỗ trống giữa tấm 36 CHƯƠNG 4 39 MÔ PHỎNG VÀ DỰ BÁO VÀ SỰ PHÁT TRIỂN VẾT NỨT DO MỎI 39 Giới thiệu sự phát triển vết nứt do mỏi 39 Định luật Paris [41, 46 -48] 40 Cách mô hình vết nứt do mỏi 41 Chiều dài số gia mới của vết nứt 42 Hướng của đoạn tăng vết nứt mới 42 Ví dụ áp dụng sự phát triển vết nứt do mỏi 44 Trường hợp tấm chữ nhật có vết nứt biên nằm ngang 44 Trường hợp tấm chữ nhật có vết nứt biên nằm xiên. 46 CHƯƠNG 5 50 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 50 Kết luận 50 Kiến nghị 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 vi
9. DANH SÁCH CÁC HÌNH Hình 2.1: Nguyên lý tính toán của phương pháp nút ảo 7 Hình 2.2: Phân loại phần tử có vết nứt cắt qua 9 Hình 2.3: Hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ tự nhiên 10 Hình 2.4: Hai trường hợp phần tử nứt 12 Hình 2.5 : Phần tử bị nứt một phần 14 Hình 2.6 : Phần tử bị nứt một phần (Dạng 1) 15 Hình 2.7: Phần tử bị nứt một phần (Dạng 2) 17 Hình 2.8: Phần tử bị nứt một phần (Dạng 3) 18 Hình 2.9: Phần tử bị nứt một phần (Dạng 4) 19 Hình 2.10: Ánh xạ của tam giác phụ chứa vết nứt 22 Hình 2.11: Các tam giác phụ chứa vết nứt 22 Hình 3.1: Các dạng của hệ số tập trung ứng suất 23 Hình 3.2: Phân phối ứng suất tại lân cận mũi vết nứt 24 Hình 3.3: Tích phân tương tác - J 26 Hình 3.4: Tấm chữ nhật chịu kéo 29 Hình 3.5: Chia lưới và chuyển vị của tấm chữ nhật chịu kéo 31 Hình 3.6: Hệ số KI chuẩn hóa của tấm chữ nhật chịu kéo 30 Hình 3.7: Tấm chữ nhật chịu cắt 32 Hình 3.8: Hệ số KI chuẩn hóa của tấm chữ nhật chịu cắt 33 vii
10. Hình 3.9: Hệ số KII chuẩn hóa của tấm chữ nhật chịu cắt 34 Hình 3.10: Tấm chữ nhật có vết nứt xiên trung tâm 35 Hình 3.11: Hệ số tập trung ứng suất KI, KII cho tấm có vết nứt xiên trung tâm 36 Hình 3.12: Tấm vuông có hai vết nứt đối xứng qua lỗ giữa tấm 37 Hình 3.13: Chuyển vị của tấm chịu kéo 38 Hình 4.1: Các giai đoạn phát triển vết nứt do mỏi 39 Hình 4.2: Tải tuần hoàn biên độ không đổi 40 Hình 4.3: Xác định đoạn vết nứt phát triển do mỏi 42 Hình 4.4: Trình tự tính toán sự phát triển vết nứt do mỏi 44 Hình 4.5: Tấm chữ nhật có vết nứt biên nằm ngang chịu kéo 45 Hình 4.6: Hệ số SIF theo chiều dài vết nứt 46 Hình 4.7: Tấm chịu kéo có vết nứt biên nghiêng góc 400 47 Hình 4.8: Tuổi thọ mỏi của tấm có vết nứt nghiêng góc 400 ở biên 48 Hình 4.9: Bước phát triển vết nứt biên nghiêng góc 400 của tấm chữ nhật 48 viii
11. DANH SÁCH CÁC BẢNG Bảng 3.1: Hệ số tập trung ứng suất KI của tấm chịu kéo 30 Bảng 3.2: Hệ số tập trung ứng suất KI của tấm chịu cắt 32 Bảng 3.3: Hệ số tập trung ứng suất KII của tấm chịu cắt 33 Bảng 3.4: Hệ số tập trung ứng suất của tấm chịu kéo có vết nứt xiên giữa tấm 35 Bảng 3.5: Sai số của SIF giữa mô hình và lời giải chính xác 36 Bảng 3.6: Kết quả SIF của tấm có hai vết nứt đối xứng qua lỗ tròn giữa tấm 38 Bảng 4.1: Hệ số tập trung ứng suất và bước phát triển vết nứt 45 Bảng 4.2: Chiều dài và chu kỳ của vết nứt phát triển do mỏi 47 ix
12. CHƯƠNG I TỔNG QUAN Tổng quan chung về tình hình nghiên cứu Tầm quan trọng của việc phân tích kết cấu có vết nứt Vết nứt là kết quả của các khuyết tật khi chế tạo hay các hư hại cục bộ và có thể mở rộng dưới ảnh hưởng của các yếu tố tác động, dẫn đến giảm độ bền và phá hủy kết cấu. Trong cơ học rạn nứt tuyến tính, hệ số tập trung ứng suất được sử dụng như một tham số để xác định trường ứng suất quanh mũi vết nứt nhằm kiểm soát sự phát triển của vết nứt. Nhiều nghiên cứu về hệ số tập trung ứng suất đã được thực hiện, cụ thể như nghiên cứu mở đường của Williams [1], chỉ ra dao động riêng lẻ của trường ứng suất quanh mũi vết nứt giữa các vật liệu khác nhau; Erdogan [2-3], England [4], Rice và Sih [5] đã giới thiệu các lời giải tiệm cận cho trường ứng suất quanh mũi vết nứt; hay gần đây là những nghiên cứu tính toán hệ số tập trung ứng suất bằng phương pháp phần tử hữu hạn [6-9] hay phương pháp phần tử biên [10- 12] Hiện nay, các kỹ thuật tính toán hệ số tập trung ứng suất chủ yếu có: toàn cục, cục bộ và tích phân đường – J. Việc toán hệ số tập trung ứng suất và tuổi thọ do mỏi của kết cấu nhằm phân tích, đánh giá chính xác vị trí, hướng phát triển của vết nứt là vấn đề quan trọng, cần thiết, và hiện vẫn là đề tài thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu và các kĩ sư trong và ngoài nước. Mô phỏng và tính toán kết cấu có vết nứt Trong cơ học rạn nứt, có nhiều bài toán thực tiễn mà ta không thể cho ra lời giải chính xác, nguyên nhân có thể là do sự phức tạp của các phương trình ứng xử, 1
13. khó khăn đến từ điều kiện biên hoặc điều kiện ban đầu. Để giải quyết những trở ngại đó, phương pháp số đã được sử dụng. Khi phân tích kết cấu có vết nứt phải xây dựng được đồng thời mô hình kết cấu và mô hình vết nứt trong kết cấu. Sau đó, phân tích tính toán vết nứt dựa trên mô hình đã xây dựng bằng phương pháp số. Các phương pháp số phân tích tính toán vết nứt chủ yếu hiện nay được chia làm ba nhóm: nhóm phương pháp chia lại lưới, nhóm phương pháp không lưới và nhóm phương pháp không chia lại lưới. Mỗi phương pháp đều có những ưu nhược điểm riêng, và hiện nay vẫn đang được nghiên cứu, phát triển và hoàn thiện. 1.1.2.1. Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) [13 - 15] Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) được đề xuất đầu tiên bởi Richard Courant vào năm 1943 [14]. Từ thập niên 1950 đến 1970, nó được phát triển bởi các kỹ sư và các nhà toán học thành một phương pháp tổng quát để giải các phương trình đạo hàm riêng. Hiện nay, FEM là một trong những phương pháp số được phát triển và sử dụng mạnh mẽ nhất để phân tích tính toán trên một phạm vi rộng những kết cấu phức tạp về hình dạng, điều kiện biên hay tải trọng, tính chất vật liệu. FEM đã được ứng dụng để phân tích bài toán tuyến tính hai chiều, ba chiều, đối xứng trục, dầm, tấm vỏ Ngoài ra, FEM còn được dùng để phân tích bài toán phi tuyến hình học, vật liệu với mức độ tin cậy cao. FEM cũng được áp dụng để tính toán hệ số tập trung ứng suất của kết cấu có vết nứt [16 - 17] hoặc sự phát triển của vết với độ chính xác chấp nhận được. Phương pháp phần tử biên (BEM) [18] Phương pháp phần tử biên (BEM) [18] ra đời khoảng thập niên 1970s. Khác với FEM còn gọi là phương pháp miền, BEM là phương pháp số liên quan đến những phương trình tích phân trên biên mà nền tảng là công thức Green. Phương pháp này nhằm làm giảm số chiều không gian. Ví dụ, tính toán bài toán không gian ba chiều thì sự rời rạc hóa chỉ diễn ra trên bề mặt biên là không gian hai chiều mà thôi. Do đó, 2
14. nó khắc phục được một số nhược điểm của FEM, như trường hợp biên chuyển động. Mặc dù bài toán biên chuyển động tuy là thách thức đối với FEM nhưng lại là một vấn đề dễ dàng đối với BEM. Phương pháp không lưới (Meshless) [19] Phương pháp Meshless [19] là phương pháp dùng để thiết lập một hệ phương trình đại số cho toàn bộ các vấn đề của miền bài toán mà không cần xác định trước lưới chia, hoặc sử dụng lưới chia một cách tự do hơn. Phương pháp Meshess sử dụng tập hợp các nút nằm phân tán trong miền hay trên biên để trình bày về miền và biên đó. Hàm của miền sẽ được xấp xỉ cục bộ thông qua các nút đó. Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng [20 - 21] Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) [20 - 21] có thể xem là công cụ mạnh mẽ nhất hiện nay cho việc phân tích các vấn đề có liên quan đến sự không liên tục (gián đoạn) như vết nứt hay tương tác của kết cấu lỏng hay mặt phân cách vật liệu, mà không cần chia lưới lại XFEM với các hàm làm giàu không liên tục cho phép vết nứt cắt phần tử, vì vậy giải quyết được rất nhiều dạng bài toán khác nhau [22 – 25]. Trong XFEM, các hàm làm giàu không liên tục và các bậc tự do được thêm vào sẽ thể hiện trường chuyển vị bất liên tục qua vết nứt. Để mô hình vị trí vết nứt, bao gồm vị trí mũi vết nứt thì phương pháp “Level Set” [26] và phương pháp “Level Set mở rộng” [27] thường được dùng kết hợp với XFEM. Sự kết hợp đó giúp cho việc mô hình chuyển động của bề mặt, sự phát triển điểm đầu trên đoạn cong cũng như mô hình sự phát triển vết nứt dễ dàng hơn trong cả không gian hai chiều và ba chiều. Phương pháp nút ảo [128] “Hansbo and Hansbo” [28] đưa ra lý thuyết phương pháp nút ảo và tiếp tục được các nhà nghiên cứu sau này phát triển và ứng dụng. Cụ thể như: Mergheim [29] phát triển ý tưởng để phân tích tĩnh ở không gian 2D và 3D; Song [30] giới thiệu 3
15. phương pháp nút ảo hai chiều ở hai chiều; Areias thì ứng dụng lý thuyết này ở kết cấu vỏ [31] Trong phương pháp này, mũi vết nứt có thể cắt qua phần tử, nằm bên trong một phần tử mà không phụ thuộc vào lưới chia. Quan hệ động học của vết nứt được xác định bằng sự chồng lên nhau giữa các phần tử thay vì thông qua các bậc tự do chưa biết được thêm vào như phương pháp XFEM [20 - 21]. Phương pháp này cũng thuận tiện hơn XFEM [20 - 21] ở chỗ xấp xỉ các trường chuyển vị mà không dựa trên các hàm làm giàu bất liên tục. Khi nghiên cứu phần tử chứa mũi vết nứt của phần tử tam giác và tứ giác, “Rabczuk và các cộng sự” [32] đã phát triển ý tưởng xây dựng các ràng buộc động học cho các cặp phần tử chồng lên nhau mà có chứa mũi vết nứt. Ý tưởng này hiện tại đã được mở rộng, áp dụng thành công cho kết cấu phần tử vỏ bị nứt dùng phần tử tam giác và là tiền đề để áp dụng cho các phần tử đa giác cụ thể là phần tử tứ giác. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước Gần đây có nhiều nghiên cứu về phương pháp nút ảo và ứng dụng của nó đã được công bố: phương pháp nút ảo cho phần tử vỏ có vết nứt tùy ý [34], phương pháp nút ảo kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn trơn cho cơ học rạn nứt tuyến tính [35]. Tuy nhiên, theo sự hiểu biết của tác giả thông qua sự khảo sát thông tin trên các tạp chí khoa học, tác giả vẫn chưa tìm thấy bất kỳ nhóm nào đang tiến hành nghiên cứu nội dung về phân tích kết cấu hai chiều có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tứ giác bốn nút. Đó là nguyên nhân và động lực để tác giả nghiên cứu và thực hiện về đề tài mới mẻ này. Mục đích đề tài  Phát triển phương pháp nút ảo cho phần tử tứ giác bốn nút nhằm tìm ra kết quả tính toán tốt hơn khi dùng phần tử tam giác ba nút.  Áp dụng phương pháp nút ảo dùng phần tử tứ giác bốn nút để tính toán hệ số tập trung ứng suất và dự đoán sự phát triển vết nứt do mỏi. 4
16. Nhiệm vụ của đề tài FEM khi mô hình và tính toán kết cấu có vết nứt thì vết nứt bắt buộc trùng với cạnh lưới chia của phần tử và mũi vết vứt nằm tại nút của phần tử. Do đó, khi vết nứt phát triển tùy ý thì buộc phải chia lại lưới để các điều kiện ở trên được đảm bảo. Điều này khá mất thời gian vì việc chia lại lưới không đơn giản, nhất là khi cần chia lưới thật mịn. Hiện tại, phương pháp nút ảo cho phép mũi vết nứt nằm trong phần tử đã phát triển cho phần tử tam giác [34]. Vì phần tử tứ giác bốn nút thường cho kết quả chuyển vị, ứng suất tốt hơn phần tử tam giác ba nút, nên nhiệm vụ đặt ra cho đề tài là xây dựng được phương pháp nút ảo cho phần tử tứ giác bốn nút, có khả năng cho vết nứt cắt qua hoàn toàn hoặc một phần phần tử và cho kết quả chính xác hơn phương pháp nút ảo dùng phần tử tam giác ba nút. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết Việc nghiên cứu dựa trên các cơ sở lý thuyết về phần tử hữu hạn, cơ học rạn nứt, các bài báo khoa học đã được công bố trong và ngoài nước trên các tạp chí uy tín hay các hội nghị cơ học toàn quốc. Lập trình Sử dụng ngôn ngữ lập trình Fortran trên nền tảng môi trường Visual Studio 2008. Mô phỏng, tính toán, phân tích Sử dụng phần mềm Pre - Post processor GiD [36] để chuẩn bị dữ liệu đầu vào và xem kết quả. Việc sử dụng phần mềm này có ưu điểm là giúp tiết kiệm khá nhiều thời gian khi mô hình ban đầu và có thể hiển thị ứng xử kết cấu sau khi tính toán. Khó khăn là phải lập trình ra một module tương thích với giao diện GiD và các module xử lý kết quả để đưa kết quả về lại GiD nhằm hiển thị ứng xử kết cấu. 5
17. Kiểm tra Sau khi ví dụ mô phỏng số có kết quả, ta sẽ so sánh với các công thức tính chính xác. Trường hợp chưa có công thức tính chính xác thì ta sẽ so sánh với các kết quả đã công bố. 6
18. CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP NÚT ẢO CHO PHẦN TỬ TỨ GIÁC BỐN NÚT Giới thiệu phương pháp nút ảo [28] = 𝛕𝛕 𝛕𝛕0 𝚪𝚪𝑡𝑡 ( ) > 0 𝑓𝑓 𝐗𝐗 ( ) < 0 𝑓𝑓 𝐗𝐗 Ω0 𝑢𝑢 𝚪𝚪 = + 0 0 𝐮𝐮 𝐮𝐮 Ω + Ω𝑝𝑝 Ω0 − Ω𝑝𝑝 − Ω0 Hình 2.1: Nguyên lý tính toán của phương pháp nút ảo: tích phân phần diện tích gạch chéo để xây dựng phương trình động học riêng lẻ; hình tròn màu đen đại diện cho nút thật, hình tròn rỗng đại diện cho nút ảo. Xét một vật thể hai chiều có chứa vết nứt như Hình 2.1, được rời rạc hóa thành các phần tử hữu hạn. Biên chính𝛀𝛀 chịu chuyển vị qui định trên và chịu 𝚪𝚪 𝐮𝐮0 𝚪𝚪𝑢𝑢 7
19. ngoại lực = tác dụng trên biên , sao cho = và = 0. Vật thể bị cắt sẽ đư𝝉𝝉ợc thay𝝉𝝉0 bằng hai phần tử ch𝚪𝚪𝑡𝑡 ồng lên nhau.𝚪𝚪𝑢𝑢 ∪ Hai𝚪𝚪𝑡𝑡 ph𝚪𝚪ần tử𝚪𝚪 𝑢𝑢này∩ 𝚪𝚪s𝑡𝑡ẽ chứa các nút thật và nút ảo. Phần bị cắt mà thuộc về miền thực sẽ được mở rộng đến miền ảo . Nội suy chuyển vị trên miền thực bằng cách s𝛀𝛀ử0 dụng bậc tự do từ các nút trên 𝛀𝛀mi𝑝𝑝ền ảo . Công𝛀𝛀𝑝𝑝 thức tính trường chuyển vị xấp xỉ cho bởi [28]: ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( . ) ℎ , , 𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝐽𝐽 𝐽𝐽 𝐮𝐮 𝐗𝐗 �+ − 𝐮𝐮 𝑁𝑁 𝐗𝐗 𝐻𝐻�𝑓𝑓 𝐗𝐗 � �− + 𝐮𝐮 𝑁𝑁 𝐗𝐗 𝐻𝐻�−𝑓𝑓 𝐗𝐗 � 𝟐𝟐 𝟏𝟏 Trong đó: 𝐼𝐼∈�𝒲𝒲0 𝒲𝒲𝑝𝑝 � 𝐽𝐽∈�𝒲𝒲0 𝒲𝒲𝑝𝑝 � ( ) là hàm khoảng cách đo được từ vết nứt; , , , là tập hợp những + − − + nút𝑓𝑓 𝑿𝑿 nằm trên miền , , , tương ứng; 𝒲𝒲0 𝒲𝒲𝑝𝑝 𝒲𝒲0 𝒲𝒲𝑝𝑝 + − + − ( ) là hàm Heaviside:𝛀𝛀0 𝛀𝛀 0 (𝛀𝛀)𝑝𝑝>𝛀𝛀0𝑝𝑝 thì H = 1 và ( ) 0, và (𝐮𝐮) gi𝐗𝐗ữ cho 0; J là nút ảo trên phần tử 2 < 0 Bước nhảy trong trường ⇔chuy𝑓𝑓 ể𝑿𝑿n 𝑰𝑰vị được thể hiện bằng cách chỉ l⇔ấy 𝑓𝑓tích�𝑿𝑿 𝑱𝑱phân� phần diện tích có nút thật tới vị trí đoạn vết nứt. Rời rạc kết cấu có vết nứt bằng phương pháp nút ảo Khi một kết cấu có chứa vết nứt được rời rạc bằng FEM thì sẽ có ba loại phần tử trong kết cấu bao gồm: phần tử không nứt, phần tử nứt và phần tử nứt một phần (phần tử chứa mũi vết nứt). 8
20. Phần tử không nứt Phần tử nứt Phần tử nứt một phần Hình 2.2: Phân loại phần tử có vết nứt cắt qua Phần tử không nứt [25] Phần tử không bị cắt bởi vết nứt thì trường chuyển vị trên đó là liên tục, dùng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) [15] để xấp xỉ trường chuyển vị của phần tử đẳng tham số tứ giác bốn nút như sau:  Hàm chuyển vị: = 4 𝑢𝑢 � 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑢𝑢𝑖𝑖 𝑖𝑖=1 = 4 ( . ) 𝑣𝑣 � 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑣𝑣𝑖𝑖 𝟐𝟐 𝟐𝟐 , là chuyển vị của phần tử tương ứng 𝑖𝑖theo=1 phương x và y 𝑢𝑢 ,𝜈𝜈 là chuyển vị tương ứng của nút thứ i theo 2 phương x, y. 𝑢𝑢𝑖𝑖 là𝑣𝑣𝑖𝑖 hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên. 𝑖𝑖 𝑁𝑁 Tọa độ của phần tử được xấp xỉ: = 4 𝑥𝑥 � 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑖𝑖=1 = 4 ( . ) 𝑦𝑦 � 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑦𝑦𝑖𝑖 𝟐𝟐 𝟑𝟑 , là tọa độ của phần tử tương ứng theo𝑖𝑖 =21 phương x, y. 𝑥𝑥 ,𝑦𝑦 là tọa độ tương ứng của nút thứ i theo 2 phương x, y. 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑦𝑦𝑖𝑖 9
21. Hình 2.3: Hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ tự nhiên  Trường biến dạng cho bài toán hai chiều: 𝜕𝜕𝜕𝜕 = = ⎧ ⎫ ( . ) 𝜀𝜀𝑥𝑥 ⎪ 𝜕𝜕𝜕𝜕 ⎪ ⎪ 𝜕𝜕𝜕𝜕 ⎪ 𝜀𝜀𝑦𝑦 𝛆𝛆 � � + 𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑥𝑥 ⎨ 𝜕𝜕𝜕𝜕 ⎬ ⎪𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕⎪ Thay xấp xỉ chuyển vị (2.2) vào⎩ (2.4𝜕𝜕𝜕𝜕) ta𝜕𝜕 đư𝜕𝜕⎭ợc: 0 𝜕𝜕𝑁𝑁𝑖𝑖 ⎡ 0 ⎤ 𝑥𝑥 = 4 𝜕𝜕𝜕𝜕 ( . ) 𝜀𝜀 ⎢ 𝑖𝑖⎥ 𝑖𝑖 𝑦𝑦 ⎢ 𝜕𝜕𝑁𝑁 ⎥ 𝑢𝑢 � 𝜀𝜀 � � � 𝑖𝑖� 𝟐𝟐 𝟓𝟓 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑖𝑖=1 ⎢ 𝜕𝜕𝜕𝜕 ⎥ 𝑣𝑣 𝛾𝛾 ⎢ 𝑖𝑖 𝑖𝑖⎥ ⎢𝜕𝜕𝑁𝑁 𝜕𝜕𝑁𝑁 ⎥ Trong đó: là biến dạng theo phương⎣ 𝜕𝜕𝜕𝜕 x 𝜕𝜕𝜕𝜕 ⎦ 𝜀𝜀𝑥𝑥 là biến dạng theo phương y 𝜀𝜀𝑦𝑦 là biến dạng theo 2 phương x, y Có thể viết lại𝛾𝛾 như𝑥𝑥𝑥𝑥 sau: = ( . ) Với 𝛆𝛆 𝐁𝐁𝐁𝐁 𝟐𝟐 𝟔𝟔 10
22. S K L 0 0 2 1 5 4